常见刚体的转动惯量
转动惯量公式表
常见几何体]转动惯量公式表对于细杆当回转轴过杆的中点并垂直于杆时；J=m(L^2)/12 其中m是杆的质量，L是杆的长度。
当回转轴过杆的端点并垂直于杆时：J=m(L^2)/3 其中m是杆的质量，L是杆的长度。
对于圆柱体当回转轴是圆柱体轴线时；J=m(r^2)/2其中m是圆柱体的质量，r是圆柱体的半径。
对于细圆环当回转轴通过中心与环面垂直时，J=mR^2；当回转轴通过边缘与环面垂直时，J=2mR^2；R为其半径对于薄圆盘当回转轴通过中心与盘面垂直时，J=﹙1/2﹚mR^2；当回转轴通过边缘与盘面垂直时，J=﹙3/2﹚mR^2；R为其半径对于空心圆柱当回转轴为对称轴时，J=﹙1/2﹚m[（R1）^2+（R2）^2]；R1和R2分别为其内外半径。
对于球壳当回转轴为中心轴时，J=﹙2/3﹚mR^2；当回转轴为球壳的切线时，J=﹙5/3﹚mR^2；R为球壳半径。
对于实心球体当回转轴为球体的中心轴时，J=﹙2/5﹚mR^2；当回转轴为球体的切线时，J=﹙7/5﹚mR^2；R为球体半径对于立方体当回转轴为其中心轴时，J=﹙1/6﹚mL^2；当回转轴为其棱边时，J=﹙2/3﹚mL^2；当回转轴为其体对角线时，J=（3/16）mL^2；L为立方体边长。
只知道转动惯量的计算方式而不能使用是没有意义的。
下面给出一些（绕定轴转动时）的刚体动力学公式。
角加速度与合外力矩的关系：角加速度与合外力矩式中M为合外力矩，β为角加速度。
可以看出这个式子与牛顿第二定律是对应的。
角动量：角动量刚体的定轴转动动能：转动动能注意这只是刚体绕定轴的转动动能，其总动能应该再加上质心动能。
只用E=（1/2）mv^2不好分析转动刚体的问题，是因为其中不包含刚体的任何转动信息，里面的速度v 只代表刚体的质心运动情况。
由这一公式，可以从能量的角度分析刚体动力学的问题。
转动惯量(Moment of Inertia)是刚体绕轴转动时惯性（回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性）的量度，用字母I或J表示。
常见刚体的转动惯量
习题答案
第一章
F (h − 3r ), M y = 3 F (r + h ), M z = − Fr . 1-3 4 4 2 2 bc ab ca a ab M ξ = −513.36 N ⋅ m . 1-4 M x = M − F ，My = M + F ，Mz = M， k1 k1 k1 2k 2 2k 2 abc 2 2 2 2 2 2 F. 其中： k1 = (ab ) + (bc ) + (ca ) ， k2 = a + b / 4 + c . 1-5 M τ = rAB b 2 + c 2
ρz =
3 r 10 3 (4r 2 + l 2 ) 80
ρx = ρy
=
圆环
3 J z = m( R 2 + r 2 ) 4
ρ z = R2 + r2
3 4
Jz =
椭圆形 薄 板
m 2 (a + b2 ) 4 m J y = a2 4 m J y = b2 4
1 2 a + b2 2 a ρx = 2 b ρy = 2
附录常见几种均质物体的转动惯量和回转半径物体的转动惯量简图回转半径形状m为物体的质量m2ljlzzcc1223细直杆m2ljzlz33薄壁2jmrr圆筒zz12rjmrzz22jj圆柱xyxym221223rl3rl1212空心m22122jzrrzrr圆柱22薄壁222jzmrzr空心球33222实心球jzmrzr55171323jzmrzr1010jj圆锥体xyxy322322m4rl4rl8080232232圆环jzmrrzrr44m22122jzabzab42椭圆形m2ajyax薄板42m2bjyby42m22122jzabzab1212m22122长方体jyacxac1212m22122jy12bcy12bcm22jz12ab122zab矩形m212ja薄板y120289axm20289bjbyy12172参考书目1朱照宣周起钊殷金生编
刚体的转动惯量
ol
擦，经过时间 t 后杆静止，
求摩擦力矩 M阻。
解：由匀变速转动公式: 0 t
0
t 细杆绕一端的转动惯量
J 1 ml 2 3
摩擦阻力矩为：
M阻
J
1 ml 3
2
0
t
例8、质量为 m1 和m2 两个物体， 跨在定滑轮上 m2 放在光滑的桌 面上，滑轮半径为 R，质量为 M，求：m1 下落的加速度，和 绳子的张力 T1、T2。
m
1 mR2 mR2
R
2
刚体绕质心轴的转动惯量最小
三、垂直轴定理
定理表述：质量平面分布的刚体，绕垂直于
平面轴的转动惯量等于平面内两正交轴的转
动惯量之和：J z J x J y
证明：
z
Jx y2dm , J y x2dm
Jz r2dm
(x 2 y2 )dm
o
yy
x
r dm
y2dm x 2dm
刚体的转动惯量
一、转动惯量
刚体的转动惯量的定义是：
n
J miri2 i 1
若刚体为连续体，则用积分代替求和：
J r2dm
比较以下两个式子：
M j
,
F
ma
转动惯量是表示转动惯性的量。
例1、长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕与杆垂 直的质心轴转动，求转动惯量 J。 解：建立坐标系，分割质量元
J x2dm
l 2 x2 m dx 1 ml 2
l 2 l
12
x o x dx
例2、长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕细杆一 端轴转动，求转动惯量 J。
解： J x2dm
l x2 m dx 1 ml2
0l
各类刚体转动惯量公式的推导
各类刚体的转动惯量的证明1.转轴通过圆环中心与环面垂直的转动惯量2mR J =.在圆环上取一质元，其质量为dl dm λ=，dl 为圆弧元，λ为线密度（Rm πλ2=）。
该质元对中心垂直轴Z 的元转动惯量dl R dm R dJ 22λ==，圆环对该轴的转动惯量为220322mR R dl R dJ J R====⎰⎰ππλλ2.转轴沿圆环直径的转动惯量22mR J =.在圆环上靠近转轴的一处取一质元dm ，其弧长为dl ，质元与圆心的连线和转轴Z 的夹角（微夹角）为θd 圆环的线密度Rmπλ2=，其中=dl θRd ，θπθπλd m Rd R m dl dm 22===.该质元的转动惯量为θθπθπθd mR d m R dm R dJ 2222sin 22)sin (===θθππθθπd mR mR d mR )2cos 44()22cos 1(2222-=-=则圆环对该转轴的转动惯量为22sin 84)2cos 44(220202222mR mR mR d mR mR dJ J =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-==⎰⎰ππθππθθππ3.转轴通过薄圆盘中心与圆盘垂直的转动惯量22mR J =.在圆盘上取一半径为r ，宽度为dr 的细圆环，圆盘的质量面密度为2R mπσ=，该圆环的元面积为rdr dS π2=，圆环的质量为dr r dS dm σπσ2==.该圆环对转轴的转动惯量为dr r dm r dJ 322σπ==则整个圆盘的转动惯量为22121224403mR R r dr r dJ J RR=====⎰⎰σπσπσπ4.转轴沿圆筒几何轴的转动惯量)(222r R m J +=.在圆筒上取一微截圆筒，其质量为dm ，再在该微截圆筒上取一宽度为dr ，半径为r 的元圆筒，记取得的元圆筒质量为dM （由于微截圆筒和元圆筒的厚度非常微小，可将微截圆筒和元圆筒看成质量为dm 和dM 的圆环）.圆环的面密度)(22r R dm-=πσ.元圆筒的面积rdrdS π2=元圆筒的质量rdr dS dM σπσ2==元圆筒对Z 轴的转动惯量为drr r rdr dJ RrRr⎰⎰==322)2(πσπσ))((21)(21212222444r R r R r R r Rr+-=-==πσπσπσdm r R r R r R 2)()()(21222222-=-+=σπ则整个圆筒的转动惯量为)(2222022r R mdm r R dJ J m+=+==⎰⎰.5.转轴沿圆柱体几何轴的转动惯量22mR J =.在圆柱体上取一微圆柱体，其质量为dm ，由于该微圆柱体厚度极小，可将该微圆柱体看成一圆盘。
最新《力学》漆安慎(第二版)答案07章
力学（第二版）漆安慎习题解答第七章刚体力学第七章 刚体力学 一、基本知识小结⒈刚体的质心定义：∑⎰⎰==dm dm r r mr m r c i i c //求质心方法：对称分析法，分割法，积分法。
⒉刚体对轴的转动惯量定义：∑⎰==dm r I r m I ii 22平行轴定理 I o = I c +md 2 正交轴定理 I z = I x +I y.常见刚体的转动惯量：（略） ⒊刚体的动量和质心运动定理∑==c c a m F v m p⒋刚体对轴的角动量和转动定理∑==βτωI I L⒌刚体的转动动能和重力势能c p k mgy E I E ==221ω⒍刚体的平面运动=随质心坐标系的平动+绕质心坐标系的转动动力学方程：∑∑==c c c c I a m F βτ（不必考虑惯性力矩）动能：221221cc c k I mv E ω+= ⒎刚体的平衡方程∑=0F， 对任意轴∑=0τ二、思考题解答7.1 火车在拐弯时所作的运动是不是平动？答：刚体作平动时固联其上的任一一条直线，在各时刻的位置（方位）始终彼此平行。
若将火车的车厢看作一个刚体，当火车作直线运行时，车厢上各部分具有平行运动的轨迹、相同的运动速度和加速度，选取车厢上的任一点都可代替车厢整体的运动，这就是火车的平动。
但当火车拐弯时，车厢上各部分的速度和加速度都不相同，即固联在刚体上任一条直线，在各时刻的位置不能保持彼此平行，所以火车拐弯时的运动不是平动。
7.2 对静止的刚体施以外力作用，如果合外力为零，刚体会不会运动？答：对静止的刚体施以外力作用，当合外力为了零，即0i c F ma ==∑时，刚体的质心将保持静止，但合外力为零并不表明所有的外力都作用于刚体的同一点。
所以，对某一确定点刚体所受合外力的力矩i i iM M r F ==⨯∑∑不一定为零。
由刚体的转动定律M J α=可知，刚体将发生转动。
比如，置于光滑水平面上的匀质杆，对其两端施以大小相同、方向相反，沿水平面且垂直于杆的两个作用力时，杆所受的外力的合力为零，其质心虽然保持静止，但由于所受合外力矩不为零，将作绕质心轴的转动。
10种常见刚体转动惯量公式
10种常见刚体转动惯量公式
刚体转动惯量是指刚体在转动运动时所需要的转动势能。
它可以衡量刚体转动时所需要的力的大小。
常见的刚体转动惯量公式有以下10种：
1.圆柱体转动惯量公式：I=1/2mr^2
2.圆锥体转动惯量公式：I=1/3mr^2
3.球体转动惯量公式：I=2/5mr^2
4.圆筒体转动惯量公式：I=1/2mr^2
5.正方体转动惯量公式：I
6.三棱锥体转动惯量公式：I=1/3mr^2
7.六棱锥体转动惯量公式：I=1/4mr^2
8.五棱锥体转动惯量公式：I=1/5mr^2
9.四棱锥体转动惯量公式：I=1/6mr^2
10.八棱锥体转动惯量公式：I=1/8mr^2
在上述公式中，m表示刚体的质量，r表示刚体的转动半径。
刚体转动惯量公式及计算方法
转动惯量定义式
平行轴定理
正交轴定理
对于一个质量分布在x-y平面上的刚体，以其上任一点为坐标原点，有
柯尼希定理
相对外惯性系
复摆等值摆长L，转轴距离质心距离 ，刚体质量m，平行于转轴的质心轴
)
质量为m的匀质几何体及参数
相对固定轴
转动惯量I
回转半径平方
长度为l的匀质细棒
过中心且垂直于棒
长度为匀质细棒
过一端且垂直于棒
匀质长方体（V=abh=hS）
过质心且垂直于
a×b平面
匀质正方体（a×a×a）/正方形薄片
过质心且垂直于表面
匀质三角形薄片（三边长a,b,c）
过三角形重心（质心）且垂直于薄片面
匀质椭圆薄片（长半轴长a，短半轴长b）
过椭圆中心且垂直于薄片面
匀质细圆环/薄圆筒,半径r
过圆心且垂直于环面
匀质圆环片/同轴圆筒，内外半径r,R
过圆心且垂直于环面
匀质薄圆片/圆柱体，半径r
过表面圆心且平行于母线
匀质球体，半径r
过球心
匀质同心球壳，内外半径r,R
过球心
匀质薄球壳，半径r
过球心
匀质圆柱体，长为L，半径为r
转动惯量公式表
转动惯量公式表 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】常见几何体]转动惯量公式表对于细杆当回转轴过杆的中点并垂直于杆时；J=m(L^2)/12其中m是杆的质量，L是杆的长度。
当回转轴过杆的端点并垂直于杆时：J=m(L^2)/3其中m是杆的质量，L是杆的长度。
对于圆柱体当回转轴是圆柱体轴线时；J=m(r^2)/2其中m是圆柱体的质量，r是圆柱体的半径。
对于细圆环当回转轴通过中心与环面垂直时，J=mR^2；当回转轴通过边缘与环面垂直时，J=2mR^2；R为其半径对于薄圆盘当回转轴通过中心与盘面垂直时，J=﹙1/2﹚mR^2；当回转轴通过边缘与盘面垂直时，J=﹙3/2﹚mR^2；R为其半径对于空心圆柱当回转轴为对称轴时，J=﹙1/2﹚m[（R1）^2+（R2）^2]；R1和R2分别为其内外半径。
对于球壳当回转轴为中心轴时，J=﹙2/3﹚mR^2；当回转轴为球壳的切线时，J=﹙5/3﹚mR^2；R为球壳半径。
对于实心球体当回转轴为球体的中心轴时，J=﹙2/5﹚mR^2；当回转轴为球体的切线时，J=﹙7/5﹚mR^2；R为球体半径对于立方体当回为其中心轴时，J=﹙1/6﹚mL^2；当回转轴为其棱边时，J=﹙2/3﹚mL^2；当回转轴为其体对角线时，J=（3/16）mL^2；L为立方体边长。
只知道转动惯量的计算方式而不能使用是没有意义的。
下面给出一些（绕定轴转动时）的刚体动力学公式。
角加速度与合外力矩的关系：角加速度与合外力矩式中M为合外，β为。
可以看出这个式子与牛顿第二定律是对应的。
角动量：角动量刚体的定轴转动动能：转动动能注意这只是刚体绕定轴的转动动能，其总动能应该再加上质心动能。
只用E=（1/2）mv^2不好分析转动刚体的问题，是因为其中不包含刚体的任何转动信息，里面的速度v只代表刚体的质心运动情况。
由这一公式，可以从能量的角度分析刚体动力学的问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
常见刚体的转动惯量 对于杆
当回转轴过杆的中点并垂直于杆时，错误！未指定书签。
J=112
mL 2 对于圆柱体
当回转轴是圆柱体轴线时，J=12 mr 2
对于细圆环
当回转轴通过中心与环面垂直时，J=mR 2；
当回转轴通过边缘与环面垂直时，J=2mR ；
对于薄圆盘
当回转轴通过中心与盘面垂直时，J=12
mR 2； 当回转轴通过边缘与盘面垂直时，J=32 mR 2；
对于空心圆柱
当回转轴为对称轴时，J=12 m （R 12 — R 22)
对于球
当回转轴为中心轴时，J=32
mR 2； 当回转轴为球壳的切线时，J=35 mR^2；
当回转轴为球体的中心轴时，J=52
mR 2； 当回转轴为球体的切线时，J=57 mR 2；
对于立方体
当回转轴为其中心轴时，J=16
mL 2；
当回转轴为其棱边时，J=32 mL 2；
当回转轴为其体对角线时，J=163 mL 2。