用最大公因数与最小公倍数解决问题. 共41页共41页文档
用最大公因数与最小公倍数解决问题课件
最小公倍数的定义
最小公倍数
两个或多个整数的最小的公倍数。
举例
对于数字24和36，它们的最小公倍数是72，因为72是24和36都能被整除的最 小的正整数。
最大公因数与最小公倍数的关系
互为倒数的倍数关系
最大公因数与最小公倍数之间存在倒 数关系，即最小公倍数是最大公因数 的倍数，最大公因数是较小数的因数 。
练习题一
要点一
练习题
求18和24的最大公因数与最小公倍数。
要点二
答案解析
最大公因数是6，最小公倍数是72。
练习题二
总结词：知识应用
练习题：有一块长方形的布，长120厘米，宽80 厘米，要把它裁剪成若干同样大小的正方形而没 有剩余。这些正方形的边长最大是多少厘米？
详细描述：本题主要考察学生能否运用最大公因 数和最小公倍数的知识解决实际问题。学生需要 理解问题的背景，并能够根据实际情况选择合适 的方法来求解。
例如，求12和18的最大公约数，可以按照以下步骤进行：12除以18，余数为6； 18除以6，余数为0，所以6就是12和18的最大公约数。
最大公约数的性质
• 最大公约数的性质包括：两数的最大公约数等于其中较小的数 和两数的差的最大公约数；两数的最大公约数等于它们的各个 质因数的最高次幂的乘积；两数的最大公约数整除它们的差。
求法
利用两数乘积除以它们的最大公约数（GCD）来求得最小公倍数（LCM）。公式为： LCM(a,b)=|a×b|GCD(a,b)text{LCM}(a, b) = frac{|a times b|}{text{GCD}(a, b)}LCM(a,b)=GCD(a,b)∣a×b。
最小公倍数的性质
最小公倍数能被这几 个数整除。
最大公因数与最小公倍数应用题
最大公因数与最小公倍数应用题1、假设这些糖果最少有x个，那么x既能被8整除，又能被10整除，因此x是8和10的最小公倍数，即x=40.2、假设这包糖最少有y块，那么y既能被8整除，又能被10整除，因此y是8和10的最小公倍数，即y=40.3、这个数是4的倍数，因为4除以4余数是0，所以这个数必须被4整除。
这个数是6的倍数，因为6除以6余数是0，所以这个数必须被6整除。
这个数比6的倍数多1，因此这个数必须是6的倍数加1.因此这个数是24+1=25.4、这个人数是30~50的倍数，且是3、4、6、8的公倍数。
这个人数是120的倍数，且小于等于50，因此这个人数是120.5、每个正方形由6块瓷砖组成，因此正方形的面积等于6的倍数。
正方形的边长等于瓷砖的公因数，因此正方形的面积最小是6×6=36.6、假设这堆苹果最少有x千克，那么x既能被8整除，又能被9整除，又能被10整除，因此x是8、9、10的最小公倍数加3，即x=89.7、假设合唱队至少有x人，那么x既能被7整除，又能被8整除，因此x是7和8的最小公倍数加2，即x=54.8、假设最多有x个研究成绩优秀的同学，那么x既能被37和38整除，又要满足钢笔多出一支，书缺2本，因此x是37和38的最小公倍数加1，即x=703.9、这些水果的最大公因数是8，因此每个盘子里的水果数是8的倍数。
苹果和梨的总数是24+32=56，因此每个盘子里的水果数最多是56/2=28.每个盘子里苹果和梨的个数相同，因此每个盘子里苹果和梨各有14个。
10、这两路汽车同时发车的时间是它们发车时间的最小公倍数，即3×5=15分钟后。
11、这个年级的人数是6、8和9的公倍数，因此这个年级的人数是216.12、这个数是3的倍数，因为3除以3余数是0，所以这个数必须被3整除。
这个数是4的倍数，因为4除以4余数是0，所以这个数必须被4整除。
这个数比4的倍数多2，因此这个数必须是4的倍数加2.这个数是5的倍数，因为5除以5余数是0，所以这个数必须被5整除。
4,最大公因数和最小公倍数
第 13 讲最大公因数和最小公倍数【知识要点】1.最大公因数：几个数公有的因数就叫做这几个数的公因数,其中最大的一个就叫做这几个数的最大公因数。
数a和数b的最大公因数记作(a,b)。
2.最小公倍数：几个数公有的倍数就叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个就叫做这几个数的最小公倍数。
数a和数b的最小公倍数记作[a,b]。
3.若a是b的倍数,则(a,b)=b,[a,b]=a;若a与b为互质数,则(a,b)=1,[a,b]=ab。
4.两个数的最大公因数乘以这两个数的最小公倍数等于这两个数的乘积。
即(a、b)×[a、b]＝a×b【例题剖析】例1.求60和75的最大公因数和最小公倍数。
例2.求72、84和18的最大公因数和最小公倍数。
思路点拨：用短除法分别求这三个数的最大公因数和最小公倍数。
例3.若a=2×2×3, b=2×3×5,则(a, b)=？[a, b]=？思路点拔：找出a和b公有的质因数，便知其最大公因数；除了a和b公有的质因数2和3之外,还要找出a和b各自独有的质因数,便知其最小公倍数。
例4.用一个数去除53余5,去除41也余5,这个数最大是多少？思路点拨：如果用53－5＝48,41－5＝36,则所得到的48和36一定能被这个数整除,即这个数就是48和36的最大公因数。
例5.一个两位数,被9除余7,被8除余6,被4除余2,这个两位数最小是多少？思路点拨:若这个两位数加上2,则能同时被9、8、4整除,所以只要求出9、8、4的最小公倍数后减去2即可。
【分层训练】★1. 20和24的最大公因数是( ),最小公倍数是( )；2. 15、25和45的最大公因数是( ),最小公倍数是( )。
3. (8、9)＝[8、9]＝(11、77)＝[11、77]＝4. (4、5、7)＝[4、5、7]＝(5、15、30)＝[5、15、30]＝5.已知a=2×2×5, b=2×3×5,则(a, b)=( )[a, b]=( )6.已知甲数=2×3×a,乙数=3×5×a,当a=( )时,甲、乙两数的最大公因数是21;当a=( )时,甲、乙两数的最小公倍数是60。
最大公因数与最小公倍数的实际应用
最大公因数和最小公倍数基础知识与实际应用相关基础知识几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。
几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。
最大公因数和最小公倍数的性质（1）两个数分别除以它们的最大公因数，所得的商一定是互质数。
（2）两个数的最大公因数的因数，都是这两个数的公因数，（3）两个自然数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
两个自然数的最大公因数与最小公倍数关系是：（a，b）×[a，b]=a×b。
6是12和18的最大公因数，记作（12，18）=6。
36是12和18的最小公倍数，记作[12，18]=36。
这样，求两个数的最小公倍数的问题，即可转化成先求两个数的最大公因数，再用最大公因数除两个数的积，其结果就是这两个数的最小公倍数。
两个数A，B，①如果A是B的倍数，那么最大公因数就是B，最小公倍数是A；②如果AB互质，那么最大公因数就是1，最小公倍数是A*B；欧几里得用辗转相除法求两个数的最大公因数。
《九章算术》更相减损术找最大公因数65-26=3939-26=1326-13=13所以，260与104的最大公因数等于13乘以第一步中约掉的两个2，即13*2*2=52。
短除法找最大公因数与最小公倍数短除符号就是除号倒过来。
短除就是在除法中写除数的地方写两个数共有的质因数，然后落下两个数被公有质因数整除的商，之后再除，以此类推，直到结果互质为止（两个数互质，最大公因数是1的两个数叫互质数，如8和9）。
而在用短除计算多个数时，对其中任意两个数存在的因数都要算出，其它没有这个因数的数则原样落下。
直到剩下每两个都是互质关系。
求最大公因数便乘一边，求最小公倍数便乘一圈。
（公因数：如果一个整数同时是几个整数的因数，称这个整数为它们的“公因数”；公因数中最大的称为最大公因数。
）实际应用例：有一个长方体的木头，长3.25米，宽1.75米，厚0.75米。
（完整版）最大公因数与最小公倍数应用题
（完整版）最大公因数与最小公倍数应用题最大公因数与最小公倍数应用题1、有一些糖果，分给8个人或分给10个人，正好分完，这些糖果最少有多少粒？解：【8，10】=402、有一包糖，不论分给8个人，还是分给10个人，都能正好分完。
这包糖至少有多少块？解：【8，10】=40（人）3、一个数被2除余1，被3除余2，被4除余4，被6除余5，此数最小是几？解：【2，3，4，6】=1212-1=114、五年级学生参加植树活动，人数在30~50之间。
如果分成3人一组，4人一组，6人一组或者8人一组，都恰好分完。
五年级参加植树活动的学生有多少人？解：【3，4，6，8】=24（人）24×2=48（人）5、利用每一小块长6公分，宽4公分的长方形彩色瓷砖在墙壁上贴成正方形的图案。
问：拼成的正方形的面积最小是多少？解：【6，4】=12（公分）12×12=144（CM2)6、有一堆苹果，每8千克一份，9千克一份，或10千克一份，都会多出3千克，这堆苹果至少有多少千克？解：【8，9，10】=360360+3=363kg7、学校合唱队排练时，如果7人一排就差2人，8人一排也差2人，合唱队至少有多少人？解：【7，8】=56（人）56-2=54（人）8、把37支钢笔和38本书，平均奖给几个学习成绩优秀的学生，结果钢笔多出一支，书还缺2本，最多有几个学习成绩优秀的同学？解：37-1=36（本） 38+2=40（本）（36，40）=4（人）9、有24个苹果，32个梨，要分装在盘子里，每盘的苹果和梨的个数相同，最多可以装多少盘？每个盘子里苹果和梨各多少？解：（24，32）=8（盘）24÷8=3（个）32÷8=4（个）10、阜沙市场是20路和21路汽车的起点站。
20路汽车每3分钟发车一次，21路汽车每5分钟发车一次。
这两路汽车同时发车以后，至少再过多少分钟又同时发车？解：【3，5】=15（分钟）11、中心小学五年级学生，分为6人一组，8人一组或9人一组排队做早操，都刚好分完。
最小公倍数和最大公因数的题
最小公倍数和最大公因数的题《我和数学的那些事儿：最小公倍数和最大公因数》嗨，小伙伴们！今天我想跟你们聊聊数学里超级有趣的最小公倍数和最大公因数。
这两个概念就像是数学世界里的一对神秘小魔法，可神奇啦！我记得有一次，数学老师在黑板上写了两个数，6和8。
然后老师就问我们，谁能找出它们的最大公因数呢？我当时就有点懵圈，心里想：“这可咋找呀？”旁边的小明可积极了，他一下子就站起来说：“我觉得是2呢。
”老师就笑着问他：“你是怎么想的呀？”小明就特别得意地说：“6可以分成2乘以3，8可以分成2乘以4，这个2是它们都有的，所以最大公因数就是2呗。
”我听了，心里就像突然打开了一盏小灯，哦，原来是这样啊。
那最小公倍数又是啥呢？老师又接着给我们讲。
还是拿6和8来说事儿吧。
老师说：“你们想想啊，什么样的数是6和8的倍数呢？”我就在本子上乱写乱画，想着6的倍数有6、12、18、24啥的，8的倍数有8、16、24啥的。
我突然发现，24这个数很特别呀，它既是6的倍数，也是8的倍数，而且是最小的这样的数呢。
我赶紧举手说：“老师，我觉得24是6和8的最小公倍数。
”老师就给我竖了个大拇指，说我真聪明。
我心里可美了，就像吃了一大盒冰淇淋一样甜滋滋的。
我就想啊，这最大公因数和最小公倍数就像两个好朋友，它们有着不同的任务。
最大公因数就像是一个大管家，专门管着两个数共同的、最大的那部分因数。
比如说，12和18，12可以分成2乘以6，18可以分成3乘以6，这个6就是它们的大管家，也就是最大公因数。
那最小公倍数呢？它就像是一个超级容纳盒，能把这两个数的倍数都装进去，而且找到最小的那个能装下的盒子。
就像12和18，12的倍数有12、24、36啥的，18的倍数有18、36啥的，36就是那个最小的容纳盒，也就是最小公倍数。
再给你们说个好玩的事儿。
有一回，我和爸爸妈妈玩数学游戏。
我出了一道题，我说：“爸爸妈妈，你们找找20和30的最大公因数和最小公倍数。
最小公倍数与最大公因数的求法
最小公倍数与最大公因数的求法最小公倍数和最大公因数，听起来像是数学课上那些让人头疼的概念，不过别担心，咱们轻松点儿聊聊。
最小公倍数，简称最小公倍数，其实就是找到几个数共同的倍数，越小越好。
就像找个大家都能接受的时间，约个饭局，大家都好安排。
比如，咱们找 4 和 6 的最小公倍数，4 的倍数有 4、8、12、16，6 的倍数有 6、12、18，嘿，12 是个大家都能接受的选择，最小公倍数就定了。
说到最大公因数，咱们就像在找一群人里能一起干活的那几个，大家干得最起劲儿。
最大公因数，就是能同时整除几个数的最大数。
比如说，8 和 12，这俩数的公因数有 1、2、4，4 就是最大的一个。
想象一下，四个人一起去旅行，大家都能住的地方，就是最大公因数，能同时容得下所有人的那个地方。
找最小公倍数的时候，最简单的办法就是把数列写出来，然后找出最小的那个。
不过，咱们也可以用一种更聪明的方法，叫做“分解质因数”。
这就像拆家，把数拆成最基本的元素。
比如，4 可以拆成2 × 2，6 拆成2 × 3，然后把所有质因数取个最大次数，比如这里的 2 最大出现 2 次，3 最大出现 1 次，最后把它们乘在一起，结果就是 12，哎，这方法简单又高效。
说到最大公因数，咱们同样可以用分解质因数的办法，先把每个数拆解成质因数，然后找出相同的部分。
就像寻找团队里最能干的那几个人，留住最牛的，最终把他们的力量汇聚起来。
比如 8 拆成2 × 2 × 2，12 拆成2 × 2 × 3，嘿，能一起干活的就是2 × 2，最后最大公因数就是 4，找个合适的地方，大家一起把事情做好。
当你在生活中碰到这些数学问题时，别觉得这难上加难。
找最小公倍数和最大公因数其实就像在生活中寻求平衡。
像朋友间的关系，偶尔得妥协，找到一个大家都满意的折中点，才能继续走得更远。
用数学的眼光来看，生活的方方面面都有这些公因数和倍数在潜藏，只是我们未必注意到罢了。
-最大公因数最小公倍数应用讲义
练习：已知某小学六年级学生超过100人，而不足140人，将他们按每组12人分组，多3人，按每组8人分，则少5人。该校六年级有学生多少人？
练习：有一车苹果，每3箱一数，剩1箱；每5箱一数，剩1箱；每7箱一数，盛1箱。这车苹果至少多少箱？
有三个学生，他们的年龄一个比一个大3岁，他们三个人的年龄乘积是1620，这三个学生的年龄是多少岁？
巩固作业：
1.在（）内填入适当的质数。
10＝（）＋（）
10＝（）×（）
20＝（）＋（）＋（）
8＝（）×（）×（）
2、填空
所有自然数的公因数为（）。
如果m和n是互质数，那么它们的最大公因数是（），最小公倍数是（）。
课题
最大公因数、最小公倍数应用
教学目标
1、学求两个数的最大公因数。
2、能够运用关于最大公因数的应用题。
3、提高自己对两质数积的敏感性，便于质因数的分解。
重点、难点
重点：学求两个数的最大公因数。
难点：能够运用关于最大公因数的应用题。
考点及考试要求
1、学求两个数的最大公因数。
2、能够运用关于最大公因数的应用题。
教学内容
知识框架
1、两个数的最大公因数的方法。
2、关分解。
考点一：最大公因数、最小公倍数的应用
典型例题：
例一：已知A=2×2×3×5，B=2×3×3×5，C=3×5×7，则A、B的最大公因数是（），最小公倍数是（）；B、C的最大公因数是（），最小公倍数是（）；A、C的最大公因数是（），最小公倍数是（）。
考点三：综合拓展辨析
两个质数的和一定是偶数。（）
用最大公因数与最小公倍数解决问题教学课件
CHAPTER
04
用最大公因数与最小公倍数解 决问题
最大公因数在生活中的应用
物品分配
密码学
在分配物品时，如分糖果给多个孩子 ，可以使用最大公因数来确定每个孩 子能得到多少糖果，使得分配既公平 又合理。
在密码学中，最大公因数可以用于加 密和解密算法，保护信息安全。
时间规划
在规划活动时间时，如安排多个会议 或活动，可以使用最大公因数来确定 最标02入题
01
判断两个数是否互质的常用方法有
03
2. 质因数分解法：如果两个数的质因数不完全相同， 则它们不是互质的。
04
1. 辗转相除法：如果两个数的最大公因数不是1，则 它们不是互质的。
分解质因数法
01
02
03
04
05
分解质因数法是求两个 整数的最大公因数的另 一种有效方法。其基本 思想是将两个数分别进 行质因数分解，然后找 出它们的公共质因数， 将公共质因数的乘积即 为所求的最大公因数。
最大公因数与最小公倍数的综合应用
数学问题解决
在解决数学问题时，如求解几何 图形的面积或体积，有时需要同 时使用最大公因数和最小公倍数
来找到最佳的解决方案。
编程算法
在编写算法时，如排序或搜索算 法，可能需要使用最大公因数和 最小公倍数的概念来优化算法的
性能。
物理学
在物理学中，最大公因数和最小 公倍数可以用于计算物理量之间 的关系，如速度、加速度和力等
公式法
总结词
利用公式计算最小公倍数
详细描述
对于任意两个整数a和b，它们的最小公倍数可以通过公式计算：LCM(a,b)=∣a×b∣GCD(a,b)，其中GCD(a,b)表 示a和b的最大公因数。
用最大公因数与最小公倍数解决问题解读
一、用公因数知识解决生活问题。
1、用96朵红玫瑰和72朵白玫瑰做成花束。 如果每个花束里的红玫瑰和白玫瑰的朵 数相同且没有剩余，最多可以做多少个 花束？每个花束里至少要有几朵束？
每个花束里的红玫瑰和白玫瑰的朵数相 同，又要求花束的个数最多，所以花束的 个数应该是96和72的最大公因数。
（96，72）=24 96÷24＋72÷24=7（朵）
3、今有梨320个、糖果240个、饼干200个，将这 些东西分成相同的礼品包送给儿童，但包数要最多， 则每包有多少个梨？有多少个糖果？有多少个饼干？ 320、240和200的最大公因数是：40
梨：320÷40=8（个）
糖果：240÷40=6 （个） 饼干：200÷40=5（个） 答：每包有8个梨。有6个糖果。有5个饼干。
李阿姨今天给月季和君子兰同时浇了水，至少多少天 以后给这两种花同时浇水？
月季每5天浇一次水， 君子兰每6天浇一次水。
5和6的最小公倍数是：30 所以至少30天以后给这两种花同时浇水。
上 回 下
人民公园是3路和5路汽车的起点站。3 路：每隔6分钟发车一次，5路：每隔8 分钟发车一次。它们同时发车以后， 至少再过多多少分钟又同时发车？
A、可以用列举法解答 B、24＋31=55（天） 55÷12=4（次）……7（天） 4＋1=5（次）
例2：美美客运有A、B两种车，A车每45分发车一次， B车每1小时发车一次，两车同时由上午6点发车，下 一次同时发车是什么时候？
解： 〔45，60〕＝180 180÷60＝3（时）
15
45
3
60
4
15×3×4＝180
30÷6=5（人） 30÷5=6（人） 30÷15=2（人） 答：要使加工生产均衡，第一道工序至少分配5人， 第二道工序至少分配6人，第三道工序至少分配2人。