《三角恒等变换》经典单元测试题(可编辑修改word版)
2 2 2 -
《三角恒等变换》单元练习题
一、选择题（共 10 题，每题 4 分，共 40 分）
1．已知 x ∈(- 2
， cos x = 4
，则tan 2x = （ ）
5 A. 7
24
B. - 7 24
C. 24 7
D． - 24 7
2. 已知 x 为第三象限角，化简 = （
）
A. 2 sin x
B. - sin x
C. cos x
D. - cos x
3. 在△A BC 中， cos A c os B > sin A sin B ，则△ABC 为（
）
A. 锐角三角形 B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ． 无法判定
4． 设 a = sin140 + cos140 ， b = sin160
+ cos160
， c =
6 ， 则 a , b , c 大小关 系（
2
） A． a < b < c
B． b < a < c
C． c < b < a
D． a < c < b
5．函数 y = 2 s in(2x -) c os[2(x +)] 是（
）
A.周期为的奇函数
B.周期为的偶函数
4
4
C.周期为的奇函数
D.周期为的偶 函数
2
6. 已知cos 2= 2
2
，则sin 4+ cos 4的值为（ ） 3
A. 13 18
B. 11
18 C. 7 9 D.
-1 7. 已知是第三象限的角,若sin 4+ c os 4= 5
,则sin 2等于(
)
9
A.
B. -
3
3
2 2 C.
D. 3 3
8． (1+ tan 210 )(1+ tan 220 )(1+ tan 230 )(1+ tan 240 ) 的值是(
)
A. 16
B. 8
C. 4
D. 2 9．求值sin 2 - cos 2
=（
）
12
A ．1
12
B. 1
2
C. - 1
2
D. -
3
2
1 - cos 2x 2
2
2 2 , 0)
3 10． sin160 sin 460 + cos 460 cos160 =（
）
A.
3
2 B.
2
C. 1
2
D.1
二、填空题（共 5 题，每题 4 分，共 20 分）
11．求值： tan 200 + tan 400 + tan 200 tan 400 =。
12．当0 ≤ x ≤ 时,函数 f (x ) = 4 2 sin x + 2 2 cos x + 1的最大值是
最小
2
值是
,
13. 函数 f (x ) = 1
cos 2x - 2
3
sin x cos x 的最小正周期是 。
14. 已知sin
+ c os = 2 3
, 那么sin 的值为
, c os 2的值为。
2
2 3
15. 在非直角三角形 ABC 中，试比较大小tan A + tan B + tan C
tan A tan B tan C
(填＞，＜，≤，≥或=) 三、解答题（共 4 题，共 40 分）
16. 已知sin + sin + sin = 0, cos + cos + cos = 0, 求cos(-) 的值.（10 分）
17、求值： log 2 cos
+ log 9
2
cos 2
+ log 9 2
cos 4（10 分）
9
cos
18. (2006 高考) (本小题 10 分)
已知函数 f (x ) = sin x + sin(x +
(1) 求 f (x ) 的单调区间；
), x ∈ R .
2
(2) 求 f (x ) 的的最大值和最小值；
(3)若 f (
) = 3
，求sin 2的值.
4
19.(2006 高考) (本小题 10 分)
3
10 已知 << , tan + cot
= -
4
3
(1) 求 tan 的值；
5sin 2 + 8sin
+11cos 2 - 8
(2)求 2 2 2 2 的值. 2 sin ⎛- ⎫
2 ⎪ ⎝ ⎭。
三角恒等变换 练习含答案
三角恒等变换一 选择题1 设),0(π∈x ，且 562cos sin =x x ，则x tan =（ ） A 724 B 712 C 6 D 12 2 θ为锐角，且θθθsin cos 2sin 1-=-，则有（ ） A 20πθ<< B 40πθ<< C 40πθ≤< D 24πθπ<< 3 在ABC ∆中，若A A cos sin =B B cos sin ，则ABC ∆是 （ ） A 等腰三角形 B 直角三角形 C 等腰直角三角形 D 等腰或者直角三角形 4 函数x x y 2cos 2sin 44-=是（ ）A 周期为2π的奇函数 B 周期为2π的偶函数 C 周期为π的奇函数 D 周期为π的偶函数 5 已知锐角θ满足a =θ2sin ，则θθcos sin +的值是（ ） A a a a --+21 B 1+±a C 1+a D a a a -++21二、填空题6.若532cos =θ，则θθ44cos sin += 。
7.32cos sin 66=+θθ，则θ2sin = 。
8.函数x x y sin 2cos 1-=的最大值是 。
9.=-︒︒10cos 310sin 1 。
10.=+︒︒15cot 15tan 。
三、解答题11.已知51cos sin =-αα，求α2sin 和α4cos 的值。
12.已知81cos sin =αα，且24παπ<<，求ααsin cos -的值。
13 求证：2cot )1cos )(sin 1cos (sin 2sin x x x x x x =+--+14.已知02cos 2sin cos sin 1=++++x x x x ，求x tan 的值。
15.方程01)cot (tan 2=++-x x θθ的一个根是32+，求θ2sin 的值。
一 选择题1 A2 C3 D4 B5 C二 填空题 6 2517 7 32± 8 2 9 4 10 4 三 解答题 11 2524和625527- 12 23- 13 略 14 1-或3或3- 15 21。
三角恒等变换
《三角恒等变换》测试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分． 1．sin 75cos15︒+︒=Ｃ．12 Ｄ．12．已知11sin(),sin()23αβαβ+=-=，则tan tan βα= Ａ．5 Ｂ．5- Ｃ．15 Ｄ．15-3．若1tan 1,tan 2tan()2tan 4θπθk θθ-==++，则实数k =Ａ．４ Ｂ．4- Ｃ．14 Ｄ．14-4．已知22),14πx y αx y +=++=，则x y -的最大值是Ａ．－２ Ｂ．- Ｄ．25．函数sin(4)cos(4)63ππy πx πx =-++的最小正周期是 Ａ．4π Ｂ．2π Ｃ．14 Ｄ．126．化简cos 24cos 3αα-+可得Ａ．48sin2a Ｂ．44sin 2aＣ．28sin 2a Ｄ．24sin 2a 7．函数5sin 12cos y x x =-的最大值和最小值分别是,M m ，则M m -= Ａ．2 Ｂ．2- Ｃ．26 Ｄ．26-8．对任意角q ，有sin(75)cos(45)15)θθθ+︒++︒+︒=Ａ．1- Ｂ．0 Ｃ．1 Ｄ．29．若tan sin ,tan sin a b q q q q +=-=，且0ab ¹，则222()2a b ab-= Ａ．16 Ｂ．8 Ｃ．4 Ｄ．210．函数sin 2cos2y x x =-在下列哪个区间是增函数 Ａ．(0,)4π Ｂ．(,0)4π-Ｃ．(,)42ππ Ｄ．(,)2ππ 11．在ABC !中，若sin (sin cos )sin 0A B B C +-=，则内角A 的大小为 Ａ．6π Ｂ．4π Ｃ．3πＤ．不确定 12．函数2(1sin )(1cos )y x x =-+有最大值Ａ．8 Ｂ．2+Ｃ．0 Ｄ．3+二、填空题:本大题共4个小题，每小题5分，共20分. 13．sin cos cos cos cos 646432168πππππ= 14．tan 204sin 20︒+︒= ．15．函数()cos cos 2()f x x x x R =- 的最大值等于 ．16．关于函数()cos2cos f x x x x =-，下列命题： ① 若存在1x ，2x 有12x x π-=时，()()12f x f x =成立； ②()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调递增； ③ 函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称； ④ 将函数()f x 的图象向左平移512π个单位后将与2sin 2y x =的图象重合．其中正确的命题序号 （注：把你认为正确的序号都填上）三、解答题：本大题共6个小题，共70分.17．（本小题满分10分）已知tan ),tan )αβαβ+-((是方程22370x x +-=的两个实数根，求tan 2α的值．已知sin 2cos 022x x-=． （1）求tan x 的值；（2）求cos 2cos()sin 4xx xπ+⋅的值．19．（本小题满分12分）已知函数2()2sin ()00f x x ωϕωϕπ⎛⎫=+><< ⎪2⎝⎭，的图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点(12)，．（1）求ϕ；（2）计算(1)(2)(2011)f f f +++．20．（本小题满分12分） 已知x ∈R，211()sin (tan )222tan 2x f x x x x =-+．（1）若02x π<<，求()f x 的单调的递减区间；（2）若()f x =，求x 的值． 21．（本小题满分12分） 已知函数()sin()sin()cos (,66f x x x x a a a R ππ=++-++∈为常数）.（1）求函数()f x 的最小正周期； （2）若函数()f x 在[]22ππ-，上的最大值与最小值之和为3，求实数a 的值.课本例４是“如图１，已知OPQ 是半径为１，圆心角为3π的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形，记COP α?，求当角a 取何值时，矩形ABCD 的面积最大，并求出最大面积．”课本求出当6πα=．实际上，扇形还有一种内接矩形，矩形的一组对边与矩形的对称轴平行的形状，如图２所示，试求出此时截得矩形的最大面积，并比较两种截法哪种方法截得的最大面积大．三角恒等变换参考答案一、选择题ＡＣＢＣＤＡ ＣＢＢＡＢＤ二、填空题13．32； 14； 15．98； 16．①③三、解答题17．（本小题满分10分）由根与系数的关系，可得3tan )tan )2αβαβ++-=-((，7tan )tan )2αβαβ+-=-((． 于是3tan()tan()12tan 2tan[()()]71tan()tan()31()2αβαβααβαβαβαβ-++-=++-===--+---．OP图２OP图１解：（1）由sin2cos 0tan 2222x x x-=⇒=，222tan2242tan 1231tan 2x x x ⨯∴===---． （2）原式22=(cos sin )(cos sin )cos sin (cos sin )sin sin x x x x x xx x x x -++==-1311()1tan 44x =+=-+=． 19．（本小题满分12分）解： （1）22sin ()1cos(22)y x x ωϕωϕ=+=-+．由其图象相邻两对称轴间的距离为2，0ω>，22ω1π⎛⎫=⎪22⎝⎭∴，4ωπ=．()1cos 2f x x ϕπ⎛⎫=-+ ⎪2⎝⎭∴． ()y f x =∵过(12)，点．cos 21ϕπ⎛⎫+=- ⎪2⎝⎭∴．22k ϕπ+=π+π2∴，k ∈Z ，2k ϕπ2=π+2∴，k ∈Z ， k ϕπ=π+4∴，k ∈Z ． 又ϕπ0<<2∵，ϕπ=4∴．（2）1cos 1sin y x x πππ⎛⎫=-+=+⎪222⎝⎭．(1)(2)(3)(4)21014f f f f +++=+++=∴．又∵()y f x =的周期为4，201145023=⨯+，∴(1)(2)(2011)450232011f f f ++⋅⋅⋅+=⨯+=．解：211cos 1cos ()sin ()22sin sin x x f x x x x x +-=-+212c o s313s i n c o s 2s i c o s 22s i n 22x x x x x x=⋅= sin(2)3x π=+．（1）02x π<<， 42333x πππ∴<+<， 当42233x πππ<+< 时， 即122x ππ<≤，()f x 为减函数， 故()f x 的递减区间为[,)122ππ． （2）∵sin(2)32x π+=，则2233x k πππ+=+，或22,3k k Z ππ+∈； ∴()x k k π=∈Z ，或()6x k k ππ=+∈Z ．21．（本小题满分12分） 解：（1）∵()2sin coscos 6f x x x a π=++cos x x a =++2sin 6x a π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， ∴函数()f x 的最小正周期2T π=． （2）∵[]22x ππ∈-，，∴2363x πππ-+≤≤；∴当63x ππ+=-，即2x π=-时，()min 2f x f a π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭； 当62x ππ+=，即3x π=时，()max 23f x f a π⎛⎫==+⎪⎝⎭；由题意，有()(2)a a ++=∴1a =．22．（本小题满分12分）解：如图3，设直线OE 是扇形的对称轴，点E 在矩形的边上，并交矩形另一边于F ， 连结OC ，交矩形一边于G ．设C O Eq ?，则Qsin sin CE OC q q ==，cos cos OE OC q q ==，而6πEOQ?，故在Rt OGD !中，OF q ===，设矩形的面积为S ，则S BC EF =2sin (cos )=-q q qsin 2cos2)=--q q2sin(2)3πθ=+-由 06πθ<<，得22333πππθ<+<．所以当 232ππθ+=，即 12πθ=时，max 2S =-由(22--=-，而224924012-=-<，故2-． 则课本上所给的截法得到的最大面积要大．。
三角恒等变换》单元测试题
三角恒等变换》单元测试题必修④第三章《三角恒等变换》本单元测试题共包含12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1、已知cosα=−312π，α∈[π,π]，sinβ=−2513，β是第三象限角，则cos(β−α)的值是（）A、−xxxxxxxxB、无解C、无解D、−xxxxxxxx解析：1、由题意得sinα=−35π，又sinβ=−2513，β∈Ⅲ。
cosα=−4/5，∴cosβ=−3/52、∵cosα=−4/5，∴sinα=−3/5。
又cos(α+β)=−1。
sin(α+β)=−24/5π。
sinβ=sin[(α+β)−α]。
sin(β−α)=sin(α+β)cosα−cos(α+β)sinα=−xxxxxxxx2、已知α和β都是锐角，且sinα=54，cos(α+β)=−135，求sinβ的值。
A、xxxxxxxxB、无解C、无解D、xxxxxxxx解析：依题意，∵sinα=54，∴cosα=√21/4。
又cos(α+β)=−135。
sin(α+β)=−35π。
sinβ=sin[(α+β)−α]。
sinβ=sin(α+β)cosα−cos(α+β)sinα=xxxxxxxx3、已知x∈[2kπ−3π4,2kπ+3π4]（k∈Z），且cos(−x)=−，则cos2x的值是（）A、−B、−xxxxxxxxC、无解D、无解解析：x∈[2kπ−3π4,2kπ+3π4]。
cosx−sinx>0。
即sin(−x)=−sinx=cosx<0。
sin(−x)∈(−1,0]。
x∈[2kπ−π2,2kπ]。
x∈[2kπ,2kπ+π2]。
cos2x=2cos2x−1=2cos2(x/2)−1=2cos2(−x/2)−1=2sin2(−x/2)−1=−4、设cos(x+y)sinx−sin(x+y)cosx=12，且y是第四象限角，则y的值是（）A、±2332B、±1212C、无解D、无解解析：由cos(x+y)sinx−sin(x+y)cosx=0得sin(x−y)=−cos(x+y)。
三角恒等变换测试题
三角恒等变换测试题一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1.已知)2,23(,1312cos ππαα∈=，则=+)4(cos πα （ ）A. 1325B. 1327C. 26217D. 26272.若均βα,为锐角，==+=ββααcos ,53)(sin ,552sin 则（ ）A. 552B. 2552C. 2552552或D. 552- 3.=+-)12sin 12(cos )12sin 12(cos ππππ（ ） A. 23- B. 21- C. 21 D. 234.=-+0000tan50tan703tan50tan70 （ ）A.3 B.33 C. 33- D. 3- 5.=⋅+ααααcos2cos cos212sin22（ ） A. αtan B. αtan2 C. 1 D.21 6.已知x 为第三象限角，化简=-x 2cos 1（ ）A.x sin 2 B. x sin 2- C. x cos 2 D. x cos 2-7. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于54,则这个三角形底角的正弦值为（ ）A ．1010B ．1010-C ．10103 D ．10103-8. 若).(),sin(32cos 3sin 3ππϕϕ-∈-=-x x x ，则=ϕ（ ）A. 6π-B. 6πC. 65πD. 65π-9. 已知1sin cos 3αα+=，则sin 2α=（ ）A ．89- B ．21- C ． 21 D ．8910. 已知cos 23θ=44cos sin θθ-的值为（ ）A ．3-B ．3C ．49D ．111. 求=115cos 114cos 113cos 112cos 11cos πππππ（ ） A. 521B. 421 C. 1 D. 012.函数sin22x xy =+的图像的一条对称轴方程是 （ ） A ．x =113π B ．x =53π C ．53x π=- D ．3x π=-二．填空题（共4小题，每小题4分，共16分）13．已知βα,为锐角，的值为则βαβα+==,51cos ,101cos ． 14．在ABC ∆中，已知tanA ,tanB 是方程23720x x -+=的两个实根，则t a n C = ． 15.若542cos ,532sin -==αα，则角α的终边在 象限．16.代数式sin15cos75cos15sin105o o o o += ． 三．解答题（共6个小题，共74分）17．（12分）△ABC 中，已知的值求sinC ,135B c ,53cosA ==os ．18．（12分）已知αβαβαπαβπsin2,53)(sin ,1312)(cos ,432求-=+=-<<<．19．（12分）已知α为第二象限角，且 sinα=,415求12cos 2sin )4sin(+++ααπα的值．20. （12分）已知71tan ,21)tan(),,0(),4,0(-==-∈∈ββαπβπα且，求)2tan(βα-的值及角βα-2．21．（12分）已知函数2()cos cos 1f x x x x =+，x R ∈. （1）求证)(x f 的小正周期和最值； （2）求这个函数的单调递增区间．22. (14分) 已知A 、B 、C 是ABC ∆三内角，向量(1m =-(cos ,sin ),n A A =且m.n=1 (1)求角A; (2)若221sin 23,cos sin BB B+=--求tanC .《数学必修4》三角恒等变换测试题答案二、填空题13、43π 14、 23- 15、第四 16、 3三、解答题（共6个小题，满分74分）6563135********sin cos cos sin )sin(sin ,1312cos ,180B A ,120,1312cos 6023sin ,1312sin 1cos ,135sin 54sin ,53cos ,:.170002=⨯+⨯=+=+=∴=>+>∴-=>∴>±=-±===∴=∆B A B A B A C B B B A A B B B A A ABC 故不合题意舍去这时若可得又由中在解 6556135)54(131253)sin()cos()cos()sin()]()sin[(2sin 54)cos(,135)sin(23,40432:.19-=⨯-+⨯-=-++-+=-++=∴-=+=-∴<+<<-<∴<<<βαβαβαβαβαβααβαβαπβαππβαπβαπ 解右边左边证明=-+=-+⨯+=-+=++-=+=+=xx x xx x x x x xx x x x x x x 4cos 1)4cos 3(24cos 1)24cos 122(224cos 12cos 222sin 41)22cos 1()22cos 1(cos sin cos sin sin cos cos sin :.202222224422224321713417134tan )22tan(1tan )22tan(])22tan[()2tan(0240271tan :.20πβαββαββαββαβαβαππαπβπβ-=-∴=⨯+-=--+-=+-=-∴<-<-∴<<<<∴-= 解21.解：（1）2cos cos 1y x x x =+cos 2112x +=+11cos 22122x x =+++ 3sin cos 2cos sin 2662x x ππ=++3sin(2)62x π=++（2）因为函数sin y x =的单调递增区间为2,2()22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，由（1）知3sin(2)62y x π=++，故 222()262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈()36k x k k Z ππππ∴-+≤≤+∈故函数3sin(2)62y x π=++的单调递增区间为[,]()36k k k Z ππππ-++∈三角恒等变换测试题时间:120分钟 满分:150分一.选择题(共12小题,每小题5分,共60分) 1.下列表达式中,正确的是( )AA.()sin cos sin sin cos αβαβαβ+=+B. sin()cos sin sin cos αβαβαβ-=-C.s()cos cos sin sin co αβαβαβ+=+D.cos()cos cos sin cos αβαβαβ-=-设计意图：主要考查学生对公式结构的掌握情况。
《三角恒等变换》经典单元测试题
《三角恒等变换》单元练习题一、选择题（共10题，每题4分，共40分）1．已知(,0)2x π∈-，4cos 5x =，则=x 2tan （ ）A ．247B ．247- C ．724 D ．724-2. 已知x 为第三象限角，化简=-x 2cos 1（ ） A. x sin 2 B. x sin 2- C. x cos 2 D. x cos 2-3．在△A BC 中，cos cos sin sin A B A B >，则△ABC 为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法判定4．设00sin14cos14a =+，00sin16cos16b =+，c =，则,,a b c 大小关系（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．a c b <<5．函数)cos[2()]y x x ππ=-+是（ ）A.周期为4π的奇函数 B.周期为4π的偶函数C.周期为2π的奇函数 D.周期为2π的偶函数6．已知cos 23θ=，则44sin cos θθ+的值为（ ）A ．1813B ．1811C ．97D ．1-7. 已知θ是第三象限的角,若445sin cos 9θθ+=,则sin 2θ等于( )B. 23 D. 23-8．0000(1tan 21)(1tan 22)(1tan 23)(1tan 24)++++ 的值是( )A. 16B. 8C. 4D. 29．求值12cos 12sin 22ππ-=（ ）A ．1B ．21C ．21- D ．23-10．000016cos 46cos 46sin 16sin +=（ ） A.23 B.22 C.21 D.1 二、填空题（共5题，每题4分，共20分）11．求值：0000tan 20tan 4020tan 40+=_____________。
12．当40π≤≤x 时,函数1cos 22sin 22)(++=x x x f 的最大值是 最小值是 ,13．函数x x x x f cos sin 32cos 21)(-=的最小正周期是___________。
经典三角恒等变换单元练习题含答案（个人精心整理）
经典三⾓恒等变换单元练习题含答案（个⼈精⼼整理）⼀、选择题（5×12＝60分） 1．cos 2π8 －12 的值为A.1B. 12C.22D.242．tan π8 －cot π8 等于A.－2B.－1C.2D.03．若sin θ2 ＝35 ，cos θ2 ＝－45 ，则θ在A.第⼀象限B.第⼆象限C.第三象限D.第四象限4．cos 25π12 ＋cos 2π12 ＋cos 5π12 cos π12 的值等于A.62B. 32C. 54D.1＋345．已知π＜α＜3π2 ，且sin(3π2 ＋α)＝45 ，则tan α2B.2C.－2D.－3 6．若tan θ＋cot θ＝m ，则sin2θ等于 A. 1m B. 2mC.2mD.1m 27．下⾯式⼦中不正确的是A.cos(－π12 )＝cos π4 cos π3 ＋64B.cos 7π12 ＝cos π4 ·cos π3 －22sin π3C.sin(π4 ＋π3 )＝sin π4 ·cos π3 ＋32cos π4D.cos π12 ＝cos π3 －cos π48．如果tan α2 ＝13 ，那么cos α的值是A. 35B. 45C.－35D.－459．化简cos （π4 ＋x ）－sin （π4＋x ）cos （π4 ＋x ）＋sin （π4 ＋x ）的值是A.tan x2B.tan2x10．若sin α＝513 ，α在第⼆象限，则tan α2 的值为A.5B.－5C. 15D.－1511．设5π＜θ＜6π，cos θ2 ＝a ，则sin θ4 等于A.－1＋a2B.－1－a2C.－1＋a2D.－1－a212．在△ABC 中，若sin B sin C ＝cos 2A2 ，则此三⾓形为A.等边三⾓形B.等腰三⾓形C.直⾓三⾓形D.等腰直⾓三⾓形⼆、填空题(4×6＝24分)13．若tan α＝－2且sin α＜0，则cos α＝_____. 14．已知sin α＝13 ，2π＜α＜3π，那么sin α2 ＋cos α2 ＝_____.15．cos 5π8 cos π82 ＝_____.17．tan19°＋tan26°＋tan19°tan26°＝_____.18．若cos(α＋β)＝45 ，cos(α－β)＝－45 ，且π2 ＜α－β＜π，3π2＜α＋β＜2π，则cos2α＝_____，cos2β＝_____.三、解答题19．已知sin α＋sin β＝1，cos α＋cos β＝0，求cos2α＋cos2β的值. 20．已知sin 22α＋sin2αcos α－cos2α＝1，α∈(0，π2 )，求sin α、tan α.21．已知sin(x －3π4 )cos(x －π4 )＝－14 ，求cos4x 的值.22．求证cos3α＝4cos 3α－3cos α23．若函数y ＝x 2－4px －2的图象过点(tan α，1)及点(tan β，1).24. ①已知sin sin sin 0,cos cos cos 0,αβγαβγ++=++=求cos()βγ-的值.②若,22sin sin =+βα求βαcos cos +的取值范围.25. 求值：001001cos 20sin10(tan 5tan 5)2sin 20-+-- 26. 已知函数.,2cos 32sinR x xx y ∈+= ①求y 取最⼤值时相应的x 的集合；②该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到)(sin R x x y ∈=的图象.27．（12分）△ABC 中，已知的值求sinC ,135B c ,53cosA ==os ．28．（12分）已知αβαβαπαβπsin2,529. （12分）已知71tan ,21)tan(),,0(),4,0(-==-∈∈ββαπβπα且，求)2tan(βα-的值及⾓βα-2．30．（12分）已知函数2()cos cos 1f x x x x =+，x R ∈. （1）求证)(x f 的⼩正周期和最值；（2）求这个函数的单调递增区间．答案⼀、选择题1355 14 －233 15 －24 16 －1010 17 1 18 －725－1 三、解答题19．已知sin α＋sin β＝1，cos α＋cos β＝0，求cos2α＋cos2β的值.1 20．已知sin 22α＋sin2αcos α－cos2α＝1，α∈(0，π2)，求sin α、tan α.解：∵sin 22α＋sin2αcos α－cos2α＝1 ∴4sin 2αcos 2α＋2sin αcos 2α－2cos 2α＝0即：cos 2α(2sin 2α＋sin α－1)＝0?cos 2α(sin α＋1)(2sin α－1)＝0⼜α∈(0，π2 )，∴cos 2α>0，sin α＋1>0.故sin α＝12 ，α＝π6 ，tan α＝33.21．已知sin(x －3π4 )cos(x －π4 )＝－14，求cos4x 的值.解析：由sin(x －3π4 )cos(x －π4 )＝－1412 ［sin(2x －π)＋sin(－π2 )］＝－122．求证cos3α＝4cos 3α－3cos α证明：左边＝cos(2α＋α)＝cos2αcos α－sin2αsin α＝(2cos 2α－1)cos α－2sin 2αcos α＝2cos 3α－cos α－2sin 2αcos α＝2cos 3α－cos α－2(1－cos 2α)cos α＝4cos 3α－3cos α＝右边.23．若函数y ＝x 2－4px －2的图象过点(tan α，1)及点(tan β，1).求2cos2αcos2β＋p sin2(α＋β)＋2sin 2(α－β)的值. 解：由条件知tan α、tan β是⽅程 x 2－4px －2＝1的两根.∴tan α＋tan β＝4p tan αtan β＝－3∴tan(α＋β)＝4p1－（－3）＝p .∴原式＝2cos2αcos2β＋tan(α＋β)sin2(α＋β)＋2sin 2(α－β) ＝cos2(α＋β)＋cos2(α－β)＋2sin 2(α＋β)＋2sin 2(α－β)＝cos2(α＋β)＋cos2(α－β)＋［1－cos2(α＋β)］＋［1－cos2(α－β)］＝2 24. ①解：sin sin sin ,cos cos cos ,βγαβγα+=-+=-22(sin sin )(cos cos )1,βγβγ+++=122cos()1,cos()2βγβγ+-=-=-.②解：令cos cos t αβ+=，则2221(sin sin )(cos cos ),2t αβαβ+++=+221322cos(),2cos()22t t αβαβ+-=+-=-22,,222t t t-≤-≤-≤≤≤≤25. 解：原式200000002cos10cos5sin5sin10()4sin10cos10sin5cos5=--00000cos10cos102sin202cos102sin102sin10-=-=0000000000cos102sin(3010)cos102sin30cos102cos30sin10 2sin102sin10---+==cos30==26.解：sin2sin()2223（1）当2232xkπππ+=+，即4,3x k k Zππ=+∈时，y取得最⼤值|4,3x x k k Zππ=+∈为所求（2）2sin()2sin2sin 232x xy y y xππ=+→=→=右移个单位横坐标缩⼩到原来的2倍→=纵坐标缩⼩到原来的2倍656313553131254sincoscossin)sin(sin,1312cos故,不合题意舍去180BA这时,120cos 若60 23 sin ,13 12 sin 1 cos 可得,13 5 sin ⼜由54 sin ,53 cos ,中在:解.27= + = + =∴= > + >∴-= >∴>±= -±= = =∴=B A B A B ABAABBBAAABC6556135)54(131253sin()cos()cos()sin()]()sin[(2sin 5 4)cos(,135)sin(23,40432:解.28-=?-+?-=-++-+=-++=∴-=+=-∴<+<<-<∴<<<αβαβαβαβαβααβαβαπβαππβαπβαπ4321713417134tan )22tan(1tan )22tan(])22tan[()2tan(0 240271tan :解.29πβαββαββαββαβαβαππαπβπβ-=-∴=?+-=--+-=+-=-∴<-<-∴<<<<∴-=30.解：（1）2cos cos 1y x x x =++cos 212122x x +=++11cos 221222x x =+++ 3sincos 2cossin 2662x x ππ=++3sin(2)62x π=++ （2）因为函数sin y x =的单调递增区间为2,2()22k k k Z ππππ?? -++∈，由（1）知3sin(2)62y x π=++，故 222()262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈ ()36k x k k Z ππππ∴-+≤≤+∈故函数3sin(2)62y x π=++的单调递增区间为[,]()36 k k k Z ππππ-++∈。
数学必修四第三章三角恒等变换单元检测题及答案
第三章 三角恒等变换一、选择题.1. sin 7°cos 37° - sin 83°sin 37° 的值为( )． A.23-B.21 -C.21D.232. sin 15° sin 30° sin 75° 的值等于( )．A.43B.83 C.81D.413. 函数y =⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πsin 4πsin x x 的周期为( )．A.4π B.2π C. π D. 2π4. 函数y = 2sin x (sin x + cos x )的最大值是( )． A.21+B.12-C.2D. 25. 化简2cot 2tan2cos 1ααα-+，其结果是( )．A.21-sin 2α B.21sin 2α C. - 2sin α D. 2sin 2α6. 若sin (α + β)=21，sin (α - β)=31，则βαtan tan 为( )．A. 5B. - 1C. 6D.617. 设tan θ和tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-θ4π是方程x 2+ px + q = 0的两个根，则p ，q 之间的关系是( )．A. p + q + 1 = 0B. p - q + 1 = 0C. p + q - 1 = 0D. p - q - 1 = 08. 若不等式4≤3sin 2 x - cos 2 x + 4cos x + a 2≤20对一切实数 x 都成立，则a 的取值范围是( )．A. -5≤a ≤-3，或3≤a ≤5B. -4≤a ≤4C. -3≤a ≤3D. -4≤a ≤-3，或3≤a ≤49. 若α∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2π3 ,π，则ααααsin 1sin 1sin 1sin 1-++--+等于( )． A.2tan αB. 2sin αC. 2cot αD. 2cos α二、填空题.1.︒+︒-15tan 3115tan 3 = ___________．2. y = 3sin (x + 20°) + 5sin (x + 80°)的最大值为___________，最小值为__________．3. 若tan (α + β)= 7，tan α tan β =32，则 cos (α - β)= ___________．4. 若θ为第二象限角，且sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+23π2θ＞21，则2sin2cos sin 1θθθ--= __________． 5. 若α，β，γ都是锐角，tan α=21，tan β=51，tan γ=81，则α + β + γ = __________． 6. 若 A + B + C =(2n - 1)π，n ∈Z ，且A ，B ，C 均不为 0，则 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan A C C B B A ++ = __________．三、解答题．1. 已知α，β为锐角，cos α =54，tan (α - β)= -31，求cos β的值．2. 已知α，β均为锐角，且sin α - sin β =-21，cos α + cos β =27，求cos (α + β)， sin (α - β)的值．3. 已知tan A 与tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-A 4π是x 2 + px + q = 0的两个解，3tan A = 2tan ⎪⎭⎫⎝⎛-A 4π，求p 和q 的值．4. 证明：cos 8 α - sin 8 α - cos 2α = -41sin 4α sin 2α．参考答案一、选择题．1. B 【解析】sin 7°cos 37° - sin 83°sin 37° = cos 83°cos 37° - sin 83°sin 37° = cos (83° + 37°)= cos 120°= -21． 2. C 【解析】sin 15° sin 30° sin 75° = cos 75°sin 75°sin 30° =21sin 150°sin 30°=81． 3. C 【解析】y =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x x x cos 22sin 22 cos 22sin 224πsin 4πsin =21sin 2 x -21cos 2 x = -21cos 2x . ∴ T =π22π=． 4. A 【解析】y = 2sin x (sin x + cos x )= 2sin 2 x + 2sin x cos x = 1 - cos 2x + sin 2x= 1 +⎪⎭⎫⎝⎛-4π2sin 2x ．∴ y max = 1 +2． 5. A 【解析】αααααααααααα2sin 21cos sin cos 2sin2cos2cos 2sin cos 22cot 2tan 2cos 122-=-=-=-+6. A 【解析】sin αcos β + cos αsin β =21，sin αcos β - cos αsin β =31． ∴ 2sin αcos β =65， 2cos αsin β =61．∴ βαtan tan = 5． 7. B【解析】⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫⎝⎛-+qp θθθθ4πtan tan 4πtan tanθθθπtan 1tan 14tan +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-． ∴ θθθθθp tan 1tan 1tan tan 1tan 12+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=，θθθq tan 1tan tan 2+-=．∴ q - p = 1， ∴ p - q + 1 = 0．8. D 【解析】设 f (x ) = 3sin 2x - cos 2x + 4cos x + a 2，4≤3 - 4cos 2 x + 4cos x + a 2≤20， 4≤- 4cos 2 x + 4cos x + a 2 + 3≤20. ∴ 当 cos x =21时，f (x )max =214414⨯+⨯-+ a 2 + 3≤20⇒-4≤a ≤4；当 cos x = - 1时，f (x )min = - 4 - 4 + a 2 + 3≥4⇒a ≥3，或a ≤-3.∴ -4≤a ≤-3，或3≤a ≤4． 9. C【解析】ααααsin 1sin 1sin 1sin 1-++--+2cos 2sin 22cos 2sin 2cos 2sin 22cos 2sin 2cos 2sin 22cos 2sin 2cos 2sin 22cos 2sin 22222222αααααααααααααααα-++++-+-++=2cos 2sin 2cos 2sin 2cos 2sin 2cos 2sinαααααααα-++--+=．∵ α∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡23π π，，∴ 2α∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡43π 2π，． ∴ 原式 =2cot 2cos 2sin 2cos 2sin 2cos2sin 2cos 2sinααααααααα=-+++-+．三、解答题．1. 【解】∵ cos α =54，∴ sin α =53．∵ α，β 为锐角， ∴ -2π＜α - β＜2π． ∵ tan (α - β)=31-，∴ cos (α - β)=10103，sin (α - β)=1010-cos β = cos [α -(α - β)]= cos α cos (α - β)+ sin αsin (α - β)=10509．2. 【解】② 27cos cos ①21sin sin =+-=-βαβα①2 + ②2，得 sin 2 α - 2sin α sin β + sin 2 β + cos 2 α + 2cos α cos β + cos 2 β = 2.∴ cos (α + β)= 0． 又 α，β 均为锐角， ∴ α + β =2π， ∴ sin α – sin β = sin α- cos α= -21． sin 2α + cos 2α - 2 sin α cos α = 1- 2 sin α cos α =41． 又sin 2α + cos 2α = 1，且sin α＜cos α，α，β 均为锐角，∴ sin α =417-． ∴ sin (α - β)= sin ⎪⎭⎫⎝⎛+-αα2π= - cos 2α = 2sin 2α -1 = 47-． 3. 【解】∵ tan ⎪⎭⎫⎝⎛-A 4π=A A tan 1tan 1+-，∴ 3tan A =AA tan 1tan 22+-，∴ tan A =31，或 tan A = - 2．当tan A =31时，tan ⎪⎭⎫⎝⎛-A 4π=21，p = -⎪⎭⎫ ⎝⎛+3121 = -65，q =21×31=61．当tan A = - 2时，tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-A 4π= -3，p = -(-2 - 3) = 5，q = (-2)×(-3) = 6．4. 【证明】cos 8 α - sin 8 α - cos 2α = (cos 4 α + sin 4 α)(cos 2 α + sin 2 α)(cos 2 α - sin 2 α)- cos 2α= (cos 4 α + sin 4 α)cos 2α - cos 2α =(cos 4 α + sin 4 α - 1)cos 2α= [cos 4 α +(sin 2 α - 1)(sin 2 α + 1)] cos 2α = [cos 4 α - cos 2 α(sin 2 α + 1)]cos 2α = - 2cos 2 αsin 2 αcos 2α = -41sin 4αsin 2α．。
三角恒等变换测试题
三角恒等变换测试题1、下列哪个选项是正确的？A. sin(2π - α) = sinαB. cos(π - α) = - cosαC. tan(3π - α) = - tanαD. tan(4π - α) = - tanα答案：C. tan(3π - α) = - tanα2、下列哪个选项是正确的？A. sin(-π - α) = - sinαB. cos(-π - α) = - cosαC. tan(-π - α) = - tanαD. tan(-π - α) = tanα答案：A. sin(-π - α) = - sinα3、下列哪个选项是正确的？A. sin(π/2 + α) = cosαB. cos(π/2 + α) = sinαC. tan(π/2 + α) = secαD. tan(π/2 + α) = cscα答案：A. sin(π/2 + α) = cosα4、下列哪个选项是正确的？A. sin(3π/2 - α) = cosαB. cos(3π/2 - α) = sinαC. tan(3π/2 - α) = secαD. tan(3π/2 - α) = cscα答案：A. sin(3π/2 - α) = cosα二、填空题1、请填写下列空白：sin(π - α) = ______；cos(π - α) = ______；tan(π - α) =______。
答案：sinα；-cosα；-tanα2、请填写下列空白：sin(2π - α) = ______；cos(2π - α) = ______；tan(2π - α) = ______。
答案：sinα；cosα；-tanα一、选择题1、下列哪个选项正确描述了正弦函数的角度和其相对应的数值？A.当角度增加时，正弦函数的值也增加B.当角度增加时，正弦函数的值减少C.当角度减少时，正弦函数的值增加D.当角度减少时，正弦函数的值减少答案：D.当角度减少时，正弦函数的值减少。
(完整版)简单的三角恒等变换练习题
3.2 简单的三角恒等变换一、填空题1．若25π＜α＜411π，sin2α=－54，求tan 2α________________2．已知sin θ=－53，3π＜θ＜2π7，则tan 2θ的值为___________．4．已知α为钝角、β为锐角且sin α=54，sin β=1312，则cos 2-βα的值为____________．5． 设5π＜θ＜6π，cos2θ=a ，则sin 4θ的值等于________________二、解答题6．化简θθθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+．7．求证：2sin （4π－x ）·sin （4π+x ）=cos2x ．8．求证：αααααtan 1tan 1sin cos cos sin 2122+-=-⋅-a ．9．在△ABC 中，已知cos A =B b a b B a cos cos ⋅--⋅，求证：b a b a B A-+=2tan 2tan 22．10． 求sin15°，cos15°，tan15°的值．11． 设－3π＜α＜－2π5，化简2)πcos(1--α．12． 求证：1+2cos 2θ－cos2θ=2．13．求证：4sin θ·cos 22θ=2sin θ+sin2θ．14． 设25sin 2x +sin x －24=0，x 是第二象限角，求cos2x 的值．15． 已知sin α=1312，sin （α+β）=54，α与β均为锐角，求cos 2β．参考答案一、填空题1． 215+． 2．－3 4． 65657 5．－21a - 二、解答题6．解：原式=θθθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+ =1)-(+⋅+)-(-⋅+θθθθθθ22cos 2cos sin 21sin 21cos sin 21 =θθθθθθ22cos 2cos sin 2sin cos sin 2+⋅2+⋅ =)cos (sin cos 2sin cos sin 2θθθθθθ+⋅)+(⋅ =tan θ．7．证明：左边=2sin （4π－x ）·sin （4π+x ） =2sin （4π－x ）·cos （4π－x ） =sin （2π－2x ） =cos2x=右边，原题得证．8．证明：左边=αααα22sin cos cos sin 21-⋅- =)sin (cos )sin (cos cos sin 2sin cos 22αααααααα+⋅-⋅-+ =)sin )(cos sin (cos )sin (cos 2αααααα+-- =ααααsin cos sin cos +- =ααtan 1tan 1+- =右边，原题得证．9．证明：∵cos A =B b a b B a cos cos ⋅--⋅， ∴1－cos A =B b a B b a cos )cos 1()(⋅--⋅+， 1+cos A =B b a B b a cos )cos 1()(⋅-+⋅-． ∴)cos 1()()cos 1()(cos 1cos 1B b a B b a A A +⋅--⋅+=+-． 而2tan 2cos 22sin 2cos 1cos 1222A B AA A ==+-， 2tan cos 1cos 12B B B =+-， ∴tan 2)()(2b a b a A -+=·tan 22B ，即b a b a B A -+=2tan 2tan 22．10．解：因为15°是第一象限的角，所以sin15°=4264)26(43482322231230cos 12-=-=-=-=-=︒-， cos15°=4264)26(43482322231230cos 12+=+=+=+=+=︒+， tan15°=︒+︒-30cos 130cos 1=2－3． 11．解：∵－3π＜α＜－2π5，∴－2π3＜2α＜－4π5，cos 2α＜0． 又由诱导公式得cos （α－π）=－cos α， ∴2+=--ααcos 12)πcos(1=－cos 2α． 12．证明：左边=1+2cos 2θ－cos2θ=1+2·22cos 1θ+－cos2θ=2=右边． 13．证明：左边=4sin θ·cos 22θ=2sin θ·2cos 22θ=2sin θ·（1+cos θ） =2sin θ+2sin θcos θ=2sin θ+sin2θ=右边．14．解：因为25sin 2x +sin x －24=0，所以sin x =2524或sin x =－1． 又因为x 是第二象限角， 所以sin x =2524，cos x =－257． 又2x 是第一或第三象限角， 从而cos2x =±225712cos 1-±=+x =±53． 15．解：∵0＜α＜2π，∴cos α=135sin 12=-α． 又∵0＜α＜2π，0＜β＜2π， ∴0＜α+β＜π．若０＜α+β＜2π， ∵sin （α+β）＜sin α，∴α+β＜α不可能． 故2π＜α+β＜π．∴cos （α+β）=－53． ∴cos β=cos ［（α+β）－α］ =cos （α+β）cos α+sin （α+β）sin α=－53·54135+·65331312=， ∵0＜β＜2π， ∴0＜2β＜4π． 故cos656572cos 1=+=2ββ．。
三角恒等变换检测题(带解析)
三角恒等变换检测题（带解析）一、单选题 1．22cos sin 88ππ-=（ ）A．BC．D2．已知()()2sin 3cos f x x x α=++的最大值为5，则α可以为（ ） A ．0B ．π2C ．πD ．3π23．平面直角坐标系中，角α的终边经过点(P ，则πcos 22α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）．A．BC ．12-D ．124201cos20-+的结果是（ ）AB．CD．5．已知函数()22tan21tan 2xf x x =+的最小正周期为f T ，值域为f M ，函数()221tan 21tan 2x g x x -=+的最小正周期为g T ，值域为g M ，则（ ） A ．f g T T =，f g M M = B ．f g T T ≠，f g M M = C ．f g T T =，f g M M ≠D ．f g T T ≠，f g M M ≠6．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l 与太阳天顶距()0180θθ<<的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长度l 等于表高h 与太阳天顶距θ正切值的乘积，即tan l h θ=.对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为α、β，若第一次的“晷影长”是“表高”的3倍，且()7tan 9αβ-=，则第二次的“晷影长”是“表高”的（ ）倍 A ．1B ．23C ．52D ．727．已知sin sin 13πθθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．12B C ．23D8．设,αβ均为锐角，且tan cos sin 1αββ-=，则（ ） πC ．3παβ-=D ．π22αβ-=9．若ππ2θ<<，tan 3θ=-，则()()1sin 2cos 2sin cos 22cos 2θθθθθ++-=+（ ） A ．35B ．54-C ．45-D ．4510．将函数()sin 23cos2f x x x =+的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度得到一个偶函数，则ϕ的最小值为（ ） A ．12π B ．6πC ．3π D ．56π 11．喷泉是流动的艺术，美妙绝伦的喷泉给人以无限的享受，若不考虑空气阻力，当喷泉水柱以与水平方向夹角为α的速度v 喷向空气中时，水柱在水平方向上移动的距离为2D sin 2v g α=，能够达到的最高高度为2H (1cos 2)4v gα=-（如图所示，其中g 为重力加速度）若3tan 2α=，则H 与D 的比值为（ ）A 3B 3C 3D ．3812．已知函数()23sin cos sin f x x x x =+，给出下列结论： ①函数()f x 的最小正周期为π②π1,122⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心 ③π3x =是函数()f x 图象的一条对称轴 ④将函数()f x 的图象向左平移π12个单位长度，即可得到函数1sin 22y x =+的图象其中所有正确的结论的序号是（ ） A ．①③④ B ．②③④ C ．①②④ D ．①③二、填空题13．函数()ππ3sin 36f x x x ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为______．14．已知,αβ 为锐角，且π6αβ-=，那么sin sin αβ 的取值范围是_____．15．设函数2()|sin |2cos 1f x x x =+-，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则函数()f x 的最小值是______．16．已知函数()2cos cos cos ,22f x x x x π⎛⎫=--+⎪⎝⎭若方程()23f x =在()0π，上的解为12,,x x 则()12cos x x -=________.三、解答题 17．(1)化简：2sin 42cos2sincos1222παααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭+-(2)若tan 3α=-，求sin 2cos 5cos sin αααα+-的值.18．已知函数()π1cos 42f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．(1)求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间； (2)若将函数()f x 的图象向右平移π4个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的两倍(纵坐标不变)，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =在区间[]0,π上的值域．19．已知函数()()2cos 2cos 0ωωωω=+>f x x x x 的最小正周期为π． (1)求ω的值以及函数()f x 的单调增区间；(2)若方程()f x m =在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，内有两个不同的解，求实数m 的取值范围．20．已知函数()2122cos sin f x x x ωω=-(1)求()0f 的值；(2)从①11ω=，22ω=；②11ω=，21ω=这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数()f x 在区间,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值，并直接写出函数()f x 的一个周期.注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分. 21．函数())π4sin sin 6f x x x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R（1）说明函数()f x 的图像是由函数sin 2y x =经过怎样的变换得到的； （2）函数()1126212ππg x f x f x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求函数()g x 的值域，并指出()g x 的最小正周期（不需要证明）.22．如图，四边形ABCD是一块边长为10m的正方形铁皮，其中扇形AMPN的半径为∠=，工9m，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用，P是弧MN上一点，PABθ人师傅想在未被腐蚀部分截下一个有两边分别在BC与CD上的矩形铁皮.(1)写出矩形铁皮PQCR的面积与角度θ的函数关系式；(2)求矩形铁皮PQCR面积的最大值和此时θ的值.参考答案：1．D 【解析】 【分析】利用二倍角余弦公式计算可得. 【详解】解：22cos sin cos884πππ-==故选：D 2．B 【解析】 【分析】对四个选项，依次代入，求出相应的函数最大值，选出正确答案. 【详解】当0α=时，()()2sin 3cos f x x x x ϕ=++，其中3tan 2ϕ=A 错误； 当π2α=时，π()2sin 3cos 5cos 2f x x x x ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，函数最大值为5，B 正确；当πα=时，()()2sin 3cos f x x x x β=-++，其中3tan 2ϕ=-故C 错误； 当3π2α=时，()2cos 3cos cos f x x x x =-+=，函数最大值为1，故D 错误. 故选：B 3．A 【解析】 【分析】根据三角函数的定义可得1sin 2αα==，利用诱导公式及二倍角的正弦公式即可求解. 【详解】解：因为角α的终边经过点(P ，所以1sin 2αα==，故π1cos 2sin 22sin cos 222αααα⎛⎫+=-=-=-= ⎪⎝⎭故选：A. 4．D 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简可得结果. 【详解】原式)2210sin 102sin10cos1012cos 101=+--+-()sin102cos102cos10sin102cos102sin10--=--=-.故选：D. 5．C 【解析】 【分析】由二倍角公式、同角间的三角函数关系化简函数式，然后求出函数的周期和值域，判断各选项． 【详解】由已知222sin2cos2()sin sin 21cos 2x x f x x xx ==+，22x k ππ≠+，2x k ππ≠+，Z k ∈，2f T π=，[-1,1]f M =， 2222cos sin 22()cos cos sin 22xxg x x xx -==+，22x k ππ≠+，2x k ππ≠+，Z k ∈，2gT π=，(1,1]g M =-，故选：C ． 6．B 【解析】 【分析】由已知可得出tan 3α=，由已知条件结合两角差的正切公式可求得tan β的值，即可得解.【详解】设第()1,2i i =次的“晷影长”是i l ，“表高”为i h ， 由题意可知11tan 3l h α==，又因为()7tan 9αβ-=， 则()()()73tan tan 2029tan tan 71tan tan 303139ααββααβααβ---=--====⎡⎤⎣⎦+-+⨯， 故222tan 3l h β==. 故选：B. 7．D 【解析】 【分析】由已知结合和的正弦公式和辅助角公式即可求出. 【详解】因为sin sin 13πθθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即1sin sin 12θθθ+=，即3sin 12θθ=16πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭故选：D. 8．D 【解析】 【分析】结合同角三角函数的基本关系式、两角差的正弦公式、诱导公式求得正确答案. 【详解】依题意：,αβ均为锐角，且tan cos sin 1αββ-=， sin sin cos cos sin cos sin 1,1cos cos ααβαβββαα-⋅-==， sin cos cos sin cos αβαβα-=，()πsin sin 2αβα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，ππππ0,0,0,0,2222αβαβ<<<<-<-<-<-<ππππ,02222αβα-<-<<-<， 所以ππ,222αβααβ-=--=. 故选：D 9．C 【解析】 【分析】利用余弦、正弦的二倍角公式及其逆用结合角的范围将目标式子化简，然后结合正弦、余弦的齐次式，将之化为正切的式子，然后将条件代入即可得出答案. 【详解】 因为ππ2θ<<，tan 3θ=-，所以cos 0θ<，sin 0θ>， ()22cos 2cos sin sin cos 1sin 2cos 2sin cos θθθθθθθθθ+-++-=()222cos sin cos 2cos cos sin sin cos 2cos θθθθθθθθθ-+-=22222222cos sin 1tan 194cos sin cos sin 1tan 195θθθθθθθθ---=-====-+++． 故选: C ． 10．A 【解析】 【分析】化简函数()f x 的解析式，求出变换后的函数的解析式，根据正弦型函数的奇偶性可得出关于ϕ的等式，即可求得ϕ的最小值. 【详解】因为()sin 222sin 23f x x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度，得到函数()2sin 22sin 2233y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象，因为函数2sin 223y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为偶函数，则()2Z 32k k ππϕπ+=+∈，解得()Z 122k k ππϕ=+∈， 0ϕ>，则当0k =时，ϕ取最小值12π. 故选：A. 11．B 【解析】 【分析】 先表示出HD，再用二倍角公式进行化简即可求解. 【详解】因为2H (1cos 2)4v g α=-，2D sin 2v gα=， 所以()222(1cos 2)112sin H 1cos 2tan 4D 4sin 242sin cos 4sin 2v g v gαααααααα----=====⨯故选：B 12．A 【解析】 【分析】先得到函数()1sin 262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的性质判断.【详解】 解：()1cos 2π12sin(2)262x f x x x -=+=-+， 2π2T π==，故①正确， 因为 ππ11sin 212622⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，所以函数的一个对称中心为 π1,122⎛⎫ ⎪⎝⎭，故②错误，因为 ππ1π13sin 2sin 362222⎛⎫⨯-+=+= ⎪⎝⎭，所以π3x =是函数()f x 图象的一条对称轴，故③正确；将函数()f x 的图象向左平移π12个单位长度，即可得到函数ππ11sin 2sin 212622y x x ⎡⎤⎛⎫=+-+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象，故④正确.故选：A.13．2 【解析】 【分析】利用三角诱导公式和恒等变换化简得到()2cos f x x =，从而求出最大值. 【详解】()πππππsin cos 36362f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭πππππcos 2sin 2sin 2cos 33362x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=++=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故函数()f x 的最大值为2 故答案为：214．⎛ ⎝⎭【解析】 【分析】根据积化和差公式即可化简得1πsin sin cos 226αββ⎡⎛⎫=-+⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，根据β 得范围即可求解. 【详解】6παβ-=()()()11sin sin cos cos cos 22αβαβαβαβ⎡⎡⎤∴=-+--=-+⎢⎣⎦⎣⎦1πcos 226β⎡⎛⎫=-+⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦β为锐角，即π03β<<，ππ5π2<666β∴<+ ，πcos 2+6β⎛⎫<< ⎪⎝⎭，故1π0cos 226β⎡⎛⎫<-+⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦故答案为：⎛ ⎝⎭15．0【解析】【分析】判断函数的奇偶性，转化为函数()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最小值，进而利用二倍角余弦公式转化为二次函数最值问题即可.【详解】∵2()|sin |2cos 1f x x x =+-|sin |cos 2x x =+为偶函数，∴只需求函数()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最小值， 此时2()sin cos22sin sin 1f x x x x x =+=-++，令[]sin 0,1t x =∈，则221y t t =-++，函数的对称轴为[]10,14t =∈， ∴当1t =时，min 2110y =-++=.故答案为：0.16．23【解析】【分析】 利用倍角公式和辅助角公式先化简函数解析式得()=sin(2)3f x x π- ，结合函数图像的对称性找出12,x x 的关系代回求得122cos()3x x -=【详解】()=sin cos cos 2)f x x x x +1sin 22sin(2)23x x x π==-，令2,()32x k k Z πππ-=+∈， 得()f x 的对称轴方程为5,()122k x k Z ππ=+∈，(0,)x π∈时，2()03f x =>的 解为12,x x ，结合图像一定有121255521266x x x x πππ+=⨯=∴=-，代回得:12225cos()cos(2)sin(2)63x x x x ππ-=-=-，又(0,)x π∈时2()3f x =的 解为12,x x 222()sin(2)33f x x π∴=-=122cos()3x x ∴-=故答案为：2 3 .17．(2)1 8 -.【解析】【分析】（1）将分母化简或将分子展开，即可得出结论；（2）先弦化切，再代入计算即可.(1)解：2sin sin()sin()444sin cos2cos2sin cos1)2224πππααααααπααα⎛⎫+++⎪⎝⎭===++-+(2)sin2cos tan23215cos sin5tan5(3)8αααααα++-+===-----18．(1)π，()π5ππ,πZ88k k k⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)12⎡-⎢⎣⎦【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换整理可得()π24f x x⎛⎫+⎪⎝⎭，代入最小正周期2πTω=运算求解，再以π24x+为整体结合正弦函数可得ππ3π2π22π,Z242k x k k+≤+≤+∈，运算求解()f x的单调递减区间；（2）根据图像变换可得()π24x xg⎛⎫-⎝=⎪⎭，以π4x-为整体结合正弦函数图像求值域．(1)()2π1ππ11cos sin cos cos sin cos sin cos cos424422 f x x x x x x x x x⎛⎫⎫=+-=+-=+- ⎪⎪⎝⎭⎭11cos 2111πsin 2sin 2cos 22222224x x x x x +⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭ ∴()f x 的最小正周期为2ππ2T == ∵ππ3π2π22π,Z 242k x k k +≤+≤+∈，则π5πππ,Z 88k x k k +≤≤+∈ ∴()f x 的单调递减区间为()π5ππ,πZ 88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ (2)根据题意可得：将函数()f x 的图象向右平移π4个单位长度，得到πππ22444y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的两倍(纵坐标不变)，则()π4x x g ⎛⎫- ⎝=⎪⎭ ∵[]0,πx ∈，则ππ3π,444x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦∴πsin 4x ⎡⎤⎛⎫-∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，则()12g x ⎡∈-⎢⎣⎦即函数()y g x =在区间[]0,π上的值域为12⎡-⎢⎣⎦． 19．(1)=1ω，πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ (2)[)2,3【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换整理得()π2sin 216f x x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据最小正周期公式求解的ω，再以π26x +为整体，结合正弦函数的单调递增区间运算求解；（2）根据题意整理可得：π1sin 262m x -⎛⎫+= ⎪⎝⎭在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，内有两个不同的解，确定π26x +的范围结合正弦函数图像分析运算．(1)()2πcos 2cos 2cos 212sin 216f x x x x x x x ωωωωωω⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭由题意可得：2π==π2T ω，则=1ω ∴()π2sin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 令πππ2π22π,Z 262k x k k -≤+≤+∈，则ππππ,Z 36k x k k -≤≤+∈ ∴函数()f x 的单调增区间为πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦； (2)()f x m =，即π2sin 216x m ⎛⎫++= ⎪⎝⎭， ∴π1sin 262m x -⎛⎫+= ⎪⎝⎭在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，内有两个不同的解， ∵π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，则ππ7π2666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， ， ∴11122m -≤<，则23m ≤< ， 实数m 的取值范围为[)2,320．(1)2(2)选①，最小值为1T π=.选②，最小值为1-，周期为2π【解析】【分析】（1）直接将0x =代入即可得解；（2）选①，利用降幂公式及辅助角公式化简，再根据三角函数的性质即可得出答案.选②，根据平方关系可得()222cos sin 2sin sin 2f x x x x x =-=--+，求出sin x 的范围，再根据二次函数的性质即可求得最值，根据三角函数的周期性即可求出函数的一个周期.(1)解：()202cos 0sin02f =-=;(2)解：选①，由11ω=，22ω=，得()22cos sin cos 2sin 212142f x x x x x x π⎛⎫=-=-+=++ ⎪⎝⎭， 因为,42x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以52,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以[]cos 21,14x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在区间,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为1 T π=.选②，由11ω=，21ω=，得()2221172cos sin 2sin sin 22sin 48f x x x x x x ⎛⎫=-=--+=-++ ⎪⎝⎭，因为,42x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以sin x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以当sin 1x =时，()f x 取得最小值为1-，因为()()()()2222cos 2sin 22cos sin f x x x x x f x πππ+=+-+=-=，所以函数()f x 的周期可以为2π.21．（1）见解析；（2）⎡⎣；π4． 【解析】【分析】（1）利用两角和与差的正弦公式，二倍角公式以及辅助角公式化简函数()f x ，并将函数sin 2y x =先平移再伸缩可得()f x ；（2）求出函数()g x 的解析式，利用正弦函数的有界性和周期性的定义可得答案．【详解】()214sin sin 4sin cos 2sin cos 62πf x x x x x x x x x ⎫⎛⎫=+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭)1cos 2sin 22sin 2π3x x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭ （1）sin 2y x =图象向右平移π6个单位可得πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再将所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，得到()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭； （2）()1π1π112sin 22cos 2sin 2cos 21sin 42621222g x f x f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=++-=+-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则函数()g x 的值域为1,2⎡⎤⎣⎦；()g x 的最小正周期为π4． 22．(1)()π10090sin cos 81sin cos ,0,2S θθθθθ⎡⎤=-++∈⎢⎥⎣⎦； (2)面积最大值为2281902m 2⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时π4θ=. 【解析】【分析】（1）延长RP 交AB 于点E ，用θ表示出,PE PQ 即可列式作答.（2）由（1）的结论，利用同角正余的关系，借助换元法、二次函数求解作答.(1)记矩形铁皮PQCR 的面积为S ，延长RP 交AB 于点E ，如图，四边形BQPE 、BCRE 均为矩形，依题意，π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，9sin ,9cos PE AE θθ==，因此，109cos PQ BE AB AE θ==-=-， 109sin PR RE PE θ=-=-，所以()()()π109sin 109cos 10090sin cos 81sin cos ,0,2S θθθθθθθ⎡⎤=--=-++∈⎢⎥⎣⎦. (2)由（1）知，令πsin cos 2)4t θθθ=+=+，因π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则2t ⎡∈⎣， 22(sin cos )12sin cos t θθθθ+=+=，即21sin cos 2t θθ-=， 因此22181119100908190222t S t t t -=-+⋅=-+，显然此函数对称轴为109t =，则当t =，即π4θ=时，max 2812S =-所以矩形铁皮PQCR 面积的最大值是2281(2-，此时π4θ=. 【点睛】思路点睛：涉及图形上的点变化引起的线段长度、图形面积等问题，若点的运动与某角的变化相关，可以设此角为自变量，借助三角函数解决.。