【学案】第22章二次函数复习

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九年级上册数学人教版第22单元复习教学设计教案

第22章二次函数复习教案一、知识网络二、知识梳理+经典例题知识点一：二次函数的概念定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a,b,c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。

知识点三：二次函数y=ax2+k的图像和性质二次函数y=ax2+k（a≠0）的图像是一条抛物线，它的对称轴是y轴，顶点坐标是（0，k），它与y=ax2的图像形状相同，只是位置不同.函数y=ax2+k（a≠0）的图像是由抛物线y=ax2向上（或下）平移|k|个单位长度得到的.二次函数y=ax2+k（a≠0）与y=ax2（a≠0）的图像之间的关系如下表所示：y=ax2（a≠0）向上平移|k|个单位长度向下平移|k|个单位长度二次函数y=ax2+k的图像和性质如下:a的符号a>0a<0图像开口方向向上向下对称轴y轴y轴最值当x=h时，y有最小值y最小值=0当x=h时，y有最大值y最大值=0知识点五：二次函数y=a(x-h)2+k(a,h，k是常数，a≠0)的图像和性质1、二次函y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象是一条抛物线，它的对称轴是x=h，顶点坐标为(h,k)，是由抛物线y=ax2(a≠0)向右（左）平移|h|个单位长度，再向上（下）平移|k|个单位长度得到的2、性质a的符号a>0a<0图像开口方向向上向下对称轴x=h x=h顶点坐标(h,k)(h,k)增减性当x<h时，y随x的增大而减小；当x>h时，y随x的增大而增大当x<h时，y随x的增大而增大；当x>h时，y随x的增大而减小最值当x=h时，y有最小值，y最小值=k 当x=h时，y有最大值，y最大值=k例5已知二次，函数y=a（x-1）2-c的图像如图所示，则一次函数y=ax+c 的大致图像可（）a a>0开口向上a<0开口向下b ab=0对称轴为y轴ab>0(a,b同号)对称轴在y轴左侧ab<0(a,b异号)对称轴在y轴右侧c c=0图像过原点c>0与y轴正半轴相交c<0与y轴负半轴相交b2-4ac b2-4ac=0与x轴有唯一一个交点b2-4ac>0与x轴有两个交点b2-4ac<0与x轴没有交点例7、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则abc，b2-4ac，2a+b，a+b+c这四个式子中，值为正数的有（）A.4个B.3个C.2个D.1个知识点八：二次函数与一元二次方程的联系1、二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）.那么一元二次方程的根就是二次函数的图像与x轴交点的横坐标，因此，二次函数的图像与x轴的交点情况决定了一元二次方程根的情况.（1）当二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图像与x轴有两个交点时，b2-4ac>0,方程ax2＋bx＋c=0（a知识点九：二次函数与一元二次不等式的关系1、抛物线y=ax2＋bx＋c（a≠0）在x轴上方的部分点的纵坐标为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c >0（a≠0）的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c<0（a≠0）的解集，不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号2、二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）与一元二次不等式ax2＋bx＋c >0（a≠0）及ax2＋bx＋c<0（a≠0）之间的关系如下：例9、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数值y＞0时，x的取值范围是（）A.x＜-1B.x＞3C.-1＜x＜3D.x＜-1或x＞3知识点十：二次函数与实际问题1、二次函数的应用：二次函数的应用关键在于建立二次函数的数学模型，这就需要认真审题，理解题意，利用二次函数解决实际问题，应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润、最节省方案等问题2、建立平面直角坐标系，用二次函数的图象解决实际问题：建立平面直角坐标系，把代数问题与几何问题进行互相转化，充分结合三角函数、解直角三角形、相似、全等、圆等知识解决问题，求二次函数的表达式是解题关键。

九年级数学上册第22章二次函数复习教案

第22章二次函数本章回顾（王继伟）一、思维导图二、典型例题例1. 如图，已知二次函数212y x bx c =-++的图象经过A （2，0）、B （0，﹣6）两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数图象的对称轴与x 轴交于点C ，连接BA 、BC ，求△ABC 的面积；（3）若抛物线的顶点为D ，在y 轴上是否存在一点P ，使得△P AD 的周长最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【知识点】二次函数的图象与性质，三角形面积【数学思想】数形结合【解题过程】解：（1）将点A （2，0）、B （0，﹣6）代入得：2206b c c -++=⎧⎨=-⎩，解得：46b c =⎧⎨=-⎩，故这个二次函数的解析式为：21462y x x =-+-．（2）∵二次函数的解析式为：21462y x x =-+-，∴二次函数的对称轴为x =4，即OC =4， ∴AC =2，故162ABC S AC BO ∆=⨯=．（3）存在，点P 的坐标为2(0,)3．AD 长度固定，只需找到点P 使AP+PD 最小即可，找到点A 关于y 轴的对称点A'，连接A'D ，则A'D 与y 轴的交点即是点P 的位置，∵点A'与点A 关于y 轴对称，∴点A'的坐标为（﹣2，0），又∵顶点D 的坐标为（4，2），∴直线A'D 的解析式为：1233y x =+，令x =0，则23y =，即点P 的坐标为2(0,)3．【思路点拨】（1）将点A 及点B 的坐标代入即可得出b 、c 的值，继而可得出二次函数解析式；（2）根据（1）求得的解析式，可得出对称轴，也可得出AC 的长度，根据S △ABC =12AC ×BO 可得出答案．（3）AD 长度固定，故只需找到点P 使AP +PD 最小即可，找到点A 关于y 轴的对称点A'，连接A'D ，则A'D 与y 轴的交点即是点P 的位置，求出直线A'D 的函数解析式，可得出点P 的坐标．【答案】21462y x x =-+-，162ABC S AC BO ∆=⨯=，2(0,)3.例2．某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克．（1）写出月销售利润y 与售价x 之间的函数关系式．（2）销售单价定为55元时，计算月销售量与销售利润．（3）商场想在月销售成本不超过3000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？（4）当售价定为多少元时，会获得最大利润？求出最大利润．【知识点】列函数解析式，二次函数的最值,解一元二次方程，销售问题【解题过程】解：（1）可卖出千克数为500－10(x －50)=1000－10x ，y 与x 的函数表达式为y =(x －40)(1000－10x )=﹣10x 2+1400x －40000；（2）∵当销售单价定为每千克55元时，则销售单价涨(55－50)元，减少的销售量是(55－50)×10千克，∴月销售量为：500－(55－50)×10=450(千克)，所以月销售利润为：(55－40)×450=6750元；（3）令y =8000，则8000=－10x 2+1400x －40000解得x 1=60，x 2=80．当x =60时，销售价为60元，月销售量为400千克，则成本价为40×400=16000（元），超过了3000元，不合题意，舍去；当x =80时，销售价为80元，月销售量为200千克，则成本价为40×200=8000（元），超过了3000元，不合题意，舍去；故无解；（4）y =－10x 2+1400x －40000=－10(x －70)2+9000当售价定为70元时，会获得最大利润，最大利润9000元．【思路点拨】（1）月销售利润=每千克的利润×可卖出千克数，把相关数值代入即可；（2）根据“销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克”，可知：月销售量=500﹣（销售单价﹣50）×10．由此可得出售价为55元/千克时的月销售量，然后根据利润=每千克的利润×销售的数量来求出月销售利润；（3）由（1）中y 与x 的关系式，令y=8000，解出x 即可；（4）利用二次函数性质求出最值即可．【答案】y =﹣10x 2+1400x －40000；销售量：450(千克)，销售利润：6750元；无解；当售价定为70元时，会获得最大利润，最大利润9000元．例3. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2y =+x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，抛物线上一点D 的横坐标为﹣5．（1）求直线BD 的解析式；（2）点E 是线段BD 上的动点，过点E 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，当折线EF +BE 最大时，在对称轴上找一点P ，在y 轴上找一点Q ，连接QE 、OP 、PQ ，求OP +PQ +QE 的最小值；【知识点】二次函数的图象与性质，二次函数的最值，勾股定理【数学思想】数形结合【解题过程】解：（1）令y =0，则20x =，解得x =－4或1，∴A (－4，0)，B (1，0)，令x =0，则y C (0，当x =－5时，y =－3+3=－，∴点D 坐标（－5，－，设直线BD 的解析式为y =kx +b，则有50k b k b ⎧-+=-⎪⎨+=⎪⎩k b ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线BD 的解析式为yx．（2）如图1中，设BD 交y 轴于K ，则K (0，－3)，设E (m3m－3)，则F （m，－m 2m，∠ABD =30°，∴EF +EB =-m 2-m-m-）+2-m ）=-(m +3)2+ ∴m =-3时，EF +EB 的值最大，此时点E 坐标(-3，-3)，如图2中，作点E 关于y 轴的对称点N ，EM ⊥AB 于M ，连接MN ，交对称轴于P ，交y 轴于Q ，∵M 、O 关于对称轴对称，∴OP =PM ，∵E 、N 关于y 轴对称，∴QE =QN ，∴OP +PQ +QE =PM +PQ +QN ，∴当M 、N 、P 、Q 共线时，OP +PQ +QE 最小，最小值为MN ，在Rt △MNE 中，MN ==∴OP +PQ +QE ．【思路点拨】（1）先求出B 、D 两点坐标，再利用待定系数法即可解决问题．（2）如图1中，设BD 交y 轴于K ，则K (0)，设E (m m )，则F （m m 2m ，构建二次函数确定m 的值，求出点E 坐标，如图2中，作点E 关于y 轴的对称点N ，EM ⊥AB 于M ，连接MN ，交对称轴于P ，交y 轴于Q ，当M 、N 、P 、Q 共线时，OP +PQ +QE 最小，最小值为MN .【答案】y x , 第22章章末检测题（王继伟）一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）1．下列函数中，y 是x 的二次函数的是（）A ．21y x =-B ．1y x=- C ．31y x =+ D ．2y x x =-【知识点】二次函数的定义【解题过程】解：A 、21y x =-，是一次函数，故此选项错误；B 、1y x=-，右边是分式，故此选项错误； C 、31y x =+，x 的指数是3，故此选项错误；D 、2y x x =-，是二次函数，故此选项正确；【思路点拨】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握定义是解题关键．【答案】D2．抛物线224y x =+与y 轴的交点坐标是（）A ．（0，2）B ．（0，﹣2）C ．（0，4）D ．（0，﹣4）【知识点】二次函数图象上点的坐标特征．【解题过程】解：把x=0代入抛物线224y x =+中，解得：y=4，则抛物线224y x =+与y 轴的交点坐标是（0，4）．【思路点拨】此题考查学生会求函数图象与坐标轴的交点坐标，即要求函数与x 轴交点坐标就要令y=0，要求函数与y 轴的交点坐标就要令x=0，代入抛物线的解析式求出对应的y 值，写成坐标形式即可．【答案】C3．抛物线2113y x =+，232y x =-+，23y x =-+，224y x =+的图象开口最大的是（）A ．2113y x =+ B ．232y x =-+ C ．23y x =-+ D ．224y x =+【知识点】二次函数的图象【解题过程】解：∵二次函数中a 的值越小，则函数图象的开口也越大，又∵11233<-<<-， ∴抛物线2113y x =+的图象开口最大. 【思路点拨】根据二次函数中a 的值越小，则函数图象的开口也越大，可以得出那个选项是正确的．【答案】A4．二次函数23(2)9y x =--+的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标分别为（）A. 开口向上，对称轴为2x =-，顶点为(2,9)-B. 开口向上，对称轴为2x =，顶点为(2,9)C. 开口向下，对称轴为2x =-，顶点为(2,9)D. 开口向下，对称轴为2x =，顶点为(2,9)【知识点】二次函数的图象和性质【解题过程】解：∵23(2)9y x =--+中，30-<，所以抛物线开口向下，对称轴为2x =，顶点为(2,9)【思路点拨】由二次函数的顶点式可得.【答案】D5．若二次函数的解析式为2243y x x =-+，则其函数图象与x 轴交点的情况是（）A ．没有交点B ．有一个交点C ．有两个交点D ．以上都不对【知识点】抛物线与x 轴的交点【解题过程】解：因为△=（﹣4）2﹣4×2×3=﹣8＜0，所以抛物线与x 轴没有交点．故选A ．【思路点拨】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断．【答案】A6．已知点1(3,)A y -，2(1,)B y -，3(2,)C y 在函数22y x x b =--+的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系为（）A ．y 1＜y 3＜y 2B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 3＜y 2＜y 1【知识点】二次函数图象上点的坐标特征．【解题过程】解：∵22y x x b =--+，∴函数22y x x b =--+的对称轴为直线1x =-，开口向下，当1x <-时，y 随x 的增大而增大，当y ＞﹣1时，y 随x 的增大而减小，∵﹣1﹣（﹣3）=2，﹣1﹣（﹣1）=0，2﹣（﹣1）=3，∴y 3＜y 1＜y 2，【思路点拨】根据二次函数图象具有对称性和二次函数图象上点的坐标特征，可以判断y 1、y 2、y 3的大小，从而可以解答本题．【答案】C7．某工厂2015年产品的产量为100吨，该产品产量的年平均增长率为x （x ＞0），设2017年该产品的产量为y 吨，则y 关于x 的函数关系式为（）A ．2100(1)y x =-B ．2100(1)y x =+C ．2100(1)y x =+ D ．2100100(1)100(1)y x x =++++ 【知识点】根据实际问题列二次函数关系式【解题过程】解：根据题意，得：y 关于x 的函数关系式为2100(1)y x =+【思路点拨】2017年的产量=2015年的产量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．【答案】B ．8．一个二次函数的图象的顶点坐标为(3,1)-，与y 轴的交点(0,4)-，这个二次函数的解析式是（）A ．21243y x x =-+B ．21243y x x =-+- C ．21(3)13y x =-+- D ．2612y x x =-+- 【知识点】待定系数法求二次函数解析式.【解题过程】解：设抛物线解析式为y=a （x ﹣3）2﹣1，把（0，﹣4）代入得a•（﹣3）2﹣1=﹣4，解得a=﹣13，所以抛物线解析式为2211(3)12433y x x x =---=-+-．【思路点拨】由于已知顶点坐标，则可设顶点式y=a （x ﹣3）2﹣1，然后把（0，﹣4）代入求出a 的值即可得到抛物线解析式．【答案】B ．9．将二次函数22y x =-的图象平移后，可得到二次函数22(1)y x =-+的图象，平移的方法是（）A ．向上平移1个单位B ．向下平移1个单位C ．向左平移1个单位D ．向右平移1个单位【知识点】二次函数图象与几何变换．【解题过程】法1：解：抛物线y=﹣2x2的顶点坐标是（0，0）．抛物线y=﹣2（x+1）2的顶点坐标是（﹣1，0）．则由二次函数y=﹣2x2的图象向左平移1个单位即可得到二次函数y=﹣2（x+1）2的图象．法2：根据平移规律：“左加右减，上加下减”可得.【思路点拨】根据平移前后两个抛物线的顶点坐标的变化来判定平移方法．或者根据平移规律：“左加右减，上加下减”确定.【答案】C10．如果抛物线262y x x c =-+-的顶点到x 轴的距离是3，那么c 的值等于（）A ．8B ．14C ．8或14D ．﹣8或﹣14【知识点】待定系数法求二次函数解析式．【数学思想】分类讨论【解题过程】解：根据题意24(2)(6)34c ---=±，解得c=8或14．【思路点拨】本题考查了求顶点的纵坐标公式，根据题意，知顶点的纵坐标是3或﹣3，列出方程求出解则可．【答案】C11．在同一坐标系中，一次函数y ax b =+与二次函数2y ax b =+的大致图象是（）A ．B ． C. D ．【知识点】二次函数的图象，一次函数的图象【解题过程】解：A 、由一次函数y ax b =+的图象可得：a ＞0，此时二次函数2y ax b =+的图象应该开口向上，故A 错误；B 、由一次函数y ax b =+的图象可得：a ＜0，b ＞0，此时二次函数2y ax b =+的图象应该开口向下，顶点的纵坐标大于零，故B 错误；C 、由一次函数y ax b =+的图象可得：a ＜0，b ＞0，此时二次函数2y ax b =+的图象应该开口向下，顶点的纵坐标大于零，故C 正确；D 、由一次函数y ax b =+的图象可得：a ＞0，b ＞0，此时抛物线2y ax b =+的顶点的纵坐标大于零，故D 错误；【思路点拨】用矛盾排除法，可先根据一次函数的图象判断a 、b 的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．【答案】C12．小明从二次函数y=ax 2+bx+c 的图象（如图）中观察得到了下面五条信息：①0abc > ②230a b -= ③240b ac -> ④0a b c ++> ⑤4b c <则其中结论正确的个数是（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【知识点】二次函数图象与系数的关系【解题过程】解：①因为函数图象与y 轴的交点在y 轴的负半轴可知，c ＜0，由函数图象开口向上可知，a ＞0，由①知，c ＜0，由函数的对称轴在x 的正半轴上可知，02b x a =->，故b ＜0，故abc ＞0；故此选项正确； ②因为函数的对称轴为123b x a =-=，故23a b =-，即230a b +=；故此选项错误；③因为图象和x 轴有两个交点，所以240b ac ->，故此选项正确；④把1x =代入2y ax bx c =++得：0a b c ++<，故此选项错误；⑤当2x =时，422(3)24y a b c b b c c b =++=⨯-++=-，而点(2,4)c b -在第一象限，∴⑤40c b ->，故此选项正确；其中正确信息的有①③⑤，故选B ．【思路点拨】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【答案】B二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）13. 已知抛物线2y ax =开口向下，且3a =，则a = .【知识点】二次函数图象与系数的关系【解题过程】解：∵3a =，∴3a =?又∵抛物线2y ax =开口向下，∴0a <，∴3a =-【思路点拨】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系.【答案】-314．若点(2,)A m 在抛物线2y x =上，则点A 关于y 轴对称点的坐标是．【知识点】二次函数图象上点的坐标特征，关于y 轴对称的点的坐标.【解题过程】解：∵点(2,)A m 在抛物线2y x =上，∴224y ==，∴(2,4)A ∴(2,4)A 关于y 轴对称点的坐标是（﹣2，4）【思路点拨】点在函数图象上代入解析式，求得点A 的坐标，关于y 轴对称，纵坐标不变，横坐标变为它的相反数.【答案】（﹣2，4）15．已知抛物线22y x x =--经过点(,5)m ，则22m m -+的值为_______【知识点】二次函数图象上点的坐标特征【数序思想】整体代换求代数式的值【解题过程】解：∵抛物线22y x x =--经过点(,5)m ，∴5=m 2﹣m ﹣2，故m 2﹣m=7，∴m 2﹣m+2=9．【思路点拨】直接利用二次函数图象上点的坐标性质得出关于m 的等式，进而得出答案．【答案】916．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的部分对应值如下表：则二次函数2y ax bx c =++在2x =时，y=_________【知识点】二次函数图象上点的坐标特征．【解题过程】解：∵x=﹣3时，y=7；x=5时，y=7，∴二次函数图象的对称轴为直线x=1，∴x=0和x=2时的函数值相等，∴x=2时，y=﹣8．【思路点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．观察表中的对应值得到x=﹣3和x=5时，函数值都是7，则根据抛物线的对称性得到对称轴为直线x=1，所以x=0和x=2时的函数值相等，【答案】﹣817．若抛物线231y ax x =+-与x 轴有两个交点，则a 的取值范围是．【知识点】抛物线与x 轴的交点．【解题过程】解：∵抛物线231y ax x =+-与x 轴有两个交点，∴a≠0，△＞0，∴9﹣4a×（﹣1）＞0，∴a ＞﹣94，故答案为a ＞﹣94且a≠0．【思路点拨】此题主要考查一元二次方程与函数的关系，根据题意，令y=0，得方程ax 2+3x ﹣1=0，有两个不同的根得△＞0，从而解出a 的范围．【答案】904a a >-≠且 18．如图，在△ABC 中，∠C =90°，AB =10cm ，BC =8cm ，点P 从点A 沿AC 向点C 以1cm/s 的速度运动，同时点Q 从点C 沿CB 向点B 以2cm/s 的速度运动（点Q 运动到点B 停止），在运动过程中，四边形P ABQ 的面积最小值为______．【知识点】二次函数的最值，勾股定理【解题过程】解：在Rt△ABC 中，∠C =90°，AB =10cm ，BC =8cm ，∴AC =6cm ．设运动时间为t （0≤t≤4），则PC =（6﹣t ）cm ，CQ =2tcm ，∴S 四边形P ABQ =S△ABC ﹣S△CPQ =12AC •BC ﹣12PC •CQ =12×6×8﹣12（6﹣t ）×2t=t 2﹣6t+24=（t ﹣3）2+15，∴当t=3时，四边形P ABQ 的面积取最小值，最小值为15．【思路点拨】本题考查了二次函数的最值以及勾股定理，利用分割图形求面积法找出S 四边形PABQ=t 2﹣6t+24是解题的关键．在Rt△ABC 中，利用勾股定理可得出AC=6cm ，设运动时间为t （0≤t≤4），则PC=（6﹣t ）cm ，CQ=2tcm ，利用分割图形求面积法可得出S 四边形PABQ=t 2﹣6t+24，利用配方法即可求出四边形PABQ 的面积最小值，此题得解．【答案】15cm 2三．解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）19. 已知二次函数23y ax bx =+-中x 、y 满足下表：（1）求这个二次函数的解析式；（2）求m 的值【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征．【解题过程】解：（1）由题意得(1,0)-，(1,4)-在二次函数23y ax bx =+-图象上∴3034a b a b --=⎧⎨+-=-⎩，解得：1a =，2b =-，∴这个二次函数的解析式为223y x x =--．（2）当3x =时，2239630y x x =--=--=． ∴0m =．【思路点拨】考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法．本题中要求熟练掌握二次函数的基本性质．（1）找一组点的坐标代入抛物线的解析式即可求出a 、b 值，进而求得解析式．（2）把x=3代入（1）中的解析式即可求得m 的值；【答案】（1）223y x x =--；（2）0m =.20. 如图，抛物线21y x bx c =+-经过直线23y x =-与坐标轴的两个交点A 、B ，此抛物线与x 轴的另一个交点为C ，抛物线顶点为D ．（1）求此抛物线的解析式；（2）求四边形ADBC 的面积；（3）直接写出使y 1＜y 2的x 的取值范围．【知识点】二次函数的性质；一次函数的性质【数学思想】数形结合【解题过程】解：（1）∵直线23y x =-与坐标轴的两个交点A 、B ，∴点B （0，﹣3），点A （3，0），将A 与B 坐标代入抛物线21y x bx c =+-得：3930c b c -=-⎧⎨+-=⎩，解得：c=3，b=﹣2，则抛物线的解析式是y=x 2﹣2x ﹣3；（2）∵令y=x 2﹣2x ﹣3=0，解得：x=﹣1或x=3，∴点C 的坐标为（﹣1，0）， ∵y=x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣1）2+4，∴顶点D 的坐标为（1，﹣4），作DE ⊥AC 于点E ，由题意得：OC =1，OB =3，DE =4，OE =1，AE =2，∴S 四边形ACBD =S △OBC +S 梯形OBDE +S △AED =12OC •OB +12(OB +DE)•OE +12AE •ED =12×1×3+12×（3+4）×1+12×2×4=32+72+4=9；（3）∵y 1＜y 2，∴抛物线位于直线的下方，∴x 的取值范围为：0＜x ＜3．【思路点拨】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是能够求得图中的几个点的坐标，能够将点的坐标转化为线段的长，从而求得四边形的面积．（1）对于一次函数23y x =-，分别令x 与y 为0求出对应y 与x 的值，确定出A 与B的坐标，代入抛物线解析式得到关于b与c的方程组，求出方程组的解得到b与c的值，即可确定出抛物线解析式；=S△OBC+S梯形OBDE+S△AED （2）分别求得A、B、C、D的坐标，利用S四边形ACBD求面积即可．（3）根据y1＜y2的可以得到抛物线位于直线的下方，从而可以写出自变量的取值范围．【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）9；0＜x＜3．四．解答题（本大题共4个小题，每小题10分，共40分）21．如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8m，宽AB为2m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6m．（1）求抛物线的解析式；（2）如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高4.2m，宽2.4米，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论．【知识点】二次函数的应用【数学思想】数形结合【解题过程】解：（1）设抛物线的解析式为2(0)=++≠，由对称轴y ax bx c a是y轴得b=0，∵EO=6，∴c=6，∵矩形的长BC为8m，宽AB为2m，以BC所在的直线为x轴，线段BC 的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系∴(4,2)D，又∵抛物线经过点(4,2)D，∴16462a b ++=，解得14a =- ，所求抛物线的解析式为：2164y x =-+．（2）取 2.4x =±，代入（1）所求得的解析式中，得21( 2.4)64y =-⨯±+．解得：y=4.56＞4.2故这辆货运卡车能通过隧道．【思路点拨】求抛物线解析式有几种方法，因题而异，灵活处理．会找抛物线上几个关键点的坐标，确定抛物线解析式．（1）根据抛物线在坐标系中的特殊位置，可以设抛物线的一般式，顶点式，求抛物线的解析式．（2）抛物线的实际应用问题中，可以取自变量的值，求函数值．【答案】（1）2164y x =-+；（2）能通过隧道．22．如图，是将抛物线2y x =-平移后得到的抛物线，其对称轴为1x =，与x 轴的一个交点为(1,0)A -，另一个交点为B ，与y 轴的交点为C ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点N 为抛物线上一点，且BC ⊥NC ，求点N 的坐标；【知识点】二次函数综合题【数学思想】数形结合【解题过程】解：（1）设抛物线的解析式是2(1)y x k =--+．把(1,0)-代入得20(11)k =---+，解得4k =，则抛物线的解析式是2(1)4y x =--+，即223y x x =-++；（2）在223y x x =-++中令0x =，则3y =，即C 的坐标是(0,3)，OC =3． ∵B 的坐标是(3,0)，∴OB =3，∴OC =OB ，则△OBC 是等腰直角三角形．∴45OCB ∠=︒，过点N 作NH ⊥y 轴，垂足是H ．∵∠NCB =90°，∴∠NCH =45°，∴NH =CH ，∴HO =OC +CH =3+CH =3+NH ，设点N 纵坐标是2(,23)a a a -++．∴2323a a a +=-++，解得a=0（舍去）或a=1，∴N 的坐标是(1,4).【思路点拨】（1）已知抛物线的对称轴，因而可以设出顶点式，利用待定系数法求函数解析式；（2）首先求得B 和C 的坐标，易证△OBC 是等腰直角三角形，过点N 作NH ⊥y 轴，垂足是H ，设点N 纵坐标是（a ，﹣a 2+2a+3），根据CH =NH 即可列方程求解；【答案】（1）223y x x =-++；（2）(1,4).23．为了“创建文明城市，建设美丽家园”，我市某社区将辖区内的一块面积为1000m 2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为2()x m ，种草所需费用y 1(元)与x(m 2)的函数关系式为112(0600)(6001000)k x x y k x b x ≤<⎧=⎨+≤≤⎩，其图象如图所示：栽花所需费用y 2(元)与x(m 2)的函数关系式为220.012030000(01000)y x x x =--+≤≤．（1）请直接写出k 1、k 2和b 的值；（2）设这块1000m 2空地的绿化总费用为W (元)，请利用W 与x 的函数关系式，求出绿化总费用W 的最大值；（3）若种草部分的面积不少于700m 2，栽花部分的面积不少于100m 2，请求出绿化总费用W 的最小值．【知识点】二次函数的应用【数学思想】数形结合，分类讨论思想【解题过程】解：（1）将x=600、y=18000代入y 1=k 1x ，得：18000=600k 1，解得：k 1=30；将x=600、y=18000和x=1000、y=26000代入，得：2260018000100026000k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：2206000k b =⎧⎨=⎩；（2）当0≤x ＜600时，2230(0.012030000)0.011030000W x x x x x =+--+=-++，∵0.010-<，20.01(500)32500W x =--+，∴当x=500时，W 取得最大值为32500元；当600≤x≤1000时，22206000(0.012030000)0.0136000W x x x x =++--+=-+， ∵0.010-<，∴当600≤x≤1000时，W 随x 的增大而减小，∴当x=600时，W 取最大值为32400，∵32400＜32500，∴W 取最大值为32500元；（3）由题意得：1000100x -≥，解得：900x ≤，由x≥700，则700≤x≤900，∵当700≤x≤900时，W 随x 的增大而减小，∴当x=900时，W 取得最小值27900元．【思路点拨】本题主要考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式及分类讨论依据相等关系列出函数解析式是解题的关键．（1）将x=600、y=18000代入y 1=k 1x 可得k 1；将x=600、y=18000和x=1000、y=26000代入y 1=k 2x+b可得k 2、b ．（2）分0≤x ＜600和600≤x≤1000两种情况，根据“绿化总费用=种草所需总费用+种花所需总费用”结合二次函数的性质可得答案；（3）根据种草部分的面积不少于700m 2，栽花部分的面积不少于100m 2求得x 的范围，依据二次函数的性质可得．【答案】（1）k 1=30；2206000k b =⎧⎨=⎩；（2）W 取最大值为32500元；（3）W 取得最小值27900元．24. 设a 、b 是任意两个实数，用max{a ，b}表示a 、b 两数中较大者，例如：max{1,1}1--=-，max{1,2}2=，max{4,3}4=，参照上面的材料，解答下列问题：（1）max{5,2}=________，max{0,3}=_________；（2）若max{31,1}1x x x +-+=-+，求x 的取值范围；（3）求函数224y x x =--与2y x =-+的图象的交点坐标，函数224y x x =--的图象如图所示，请你在图中作出函数2y x =-+的图象，并根据图象直接写出2max{2,24}x x x -+--的最小值．【知识点】二次函数的最值；一次函数的图象与性质；二次函数的图象．【数学思想】转化思想，数形结合【解题过程】解：（1）max{5,2}5=，max{0,3}3=．故答案为：5；3．（2）∵max{31,1}1x x x +-+=-+，∴311x x +≤-+，解得：0x ≤．（3）联立两函数解析式成方程组，2242y x x y x ⎧=--⎨=-+⎩，解得：1124x y =-⎧⎨=⎩，2231x y =⎧⎨=-⎩， ∴交点坐标为(2,4)-和(3,1)-．画出直线2y x =-+，如图所示，观察函数图象可知：当3x =时，2max{2,24}x x x -+--取最小值1-．【思路点拨】本题考查了二次函数的最值、一次函数的图象、一次函数的性质以及二次函数的图象，解题的关键是：（1）读懂题意，弄清max 的意思；（2）根据max{3x+1，﹣x+1}=﹣x+1，找出关于x 的一元一次不等式；（3）联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出交点坐标．（1）根据max{a ，b}表示a 、b 两数中较大者，即可求出结论；（2）根据max{3x+1，﹣x+1}=﹣x+1，即可得出关于x 的一元一次不等式，解之即可得出结论；（3）联立两函数解析式成方程组，解之即可求出交点坐标，画出直线y=﹣x+2的图象，观察图形，即可得出max{﹣x+2，x2﹣2x ﹣4}的最小值．【答案】（1）5；3；（2）0x ≤；（3）交点坐标为(2,4)-和(3,1)-；画出直线2y x =-+，如图所示，观察函数图象可知：当3x =时，2max{2,24}x x x -+--取最小值1-．五．解答题（本大题共2个小题，第25小题10分，第26小题12分，共22分）25. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 、C 三点分别为坐标轴上的三个点，且OA =1，OB =3，OC =4．（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系xOy 中是否存在一点P ，使得以A 、B 、C 、P 为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点M 为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当||PM AM -为最大值时点M 的坐标，并直接写出||PM AM -的最大值．【知识点】二次函数综合题．【数学思想】转化思想，数形结合【解题过程】解：（1）∵OA =1，OB =3，OC =4．∴(1,0)A ，(0,3)B ，(4,0)C -，设抛物线的解析式为：(1)(4)y a x x =-+，把(0,3)代入得：34a =-，34a =-，∴3(1)(4)4y x x =--+， ∴抛物线的解析式为：239344y x x =--+；（2）在平面直角坐标系xOy 中存在一点P ，使得A 、B 、C 、P 为顶点的四边形为菱形，理由：∵OB =3，OC=4，OA =1，∴BC =AC =5，当BP =AC 且BP ∥AC 时，四边形ACBP 为菱形，∴BP =AC =5，且点P 到x 轴距离等于OB ，∴点P 的坐标为（5，3），如图2，当点P 在第二、三象限时，以A 、B 、C 、P 为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，∴当点P 的坐标为（5，3）时，以A 、B 、C 、P 为顶点的四边形是菱形；（3）设直线P A 的解析式为(0)y kx b k =+≠，∴点A 的坐标为（1，0）点P 的坐标为（5，3），则053k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：3434k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴直线P A 的解析式为：3344y x =-，当M 与P 、A 两点不在同一直线上时，根据三角形三边关系的得|PM ﹣AM |＜P A ．当点M 与P 、A 两点在同一直线上时，得|PM ﹣AM |=P A ，∴如图3，当点M 与P 、A 两点在同一直线上时．|PM ﹣AM |的值最大，此时点M 为直线P A 与抛物线的交点，联立 2334439344y x y x x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=--+⎪⎩解得 1110x y =⎧⎨=⎩，22592x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩， ∴当点M 的坐标为(1,0)或9(5,)2--时，|PM ﹣AM |的值最大，最大值是5．【思路点拨】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式；（2）当BP =AC 且BP ∥AC 时，四边形ACBP 为菱形，根据BP =AC =5，且点P 到x 轴距离等于OB ，则点P 的坐标为（5，3），且当点P 在第二、三象限时，以A 、B 、C 、P 为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形；（3）求直线P A 的解析式为：y=3344x -，当M 与P 、A 两点不在同一直线上时，根据三角形三边关系的得|PM ﹣AM |＜P A ．当点M 与P 、A 两点在同一直线上时，得|PM ﹣AM|=P A ，则当点M 与P 、A 两点在同一直线上时．|PM ﹣AM |的值最大，此时点M 为直线P A 与抛物线的交点，列方程组解出即可．【答案】（1）239344y x x =--+；（2）存在，P 的坐标为（5，3）；（3）当点M 的坐标为(1,0)或9(5,)2--时，|PM ﹣AM |的值最大，最大值是5．26．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数2y x =-的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为点D ，连接AD 交y 轴于点E ．（1）求直线AD 的解析式；（2）如图2，将直线AD 向右平移，与线段AB 交于点G ，与x 轴下方的抛物线交于点F ，连接AF 、BF ，当平移到使S △F AG ：S △FGB =3：5时，求点F 的坐标．再将△AFG 绕点A 顺时针旋转60°得到△AF′G′，求此时点F′的坐标与△FGF′的面积．（3）如图3，平移抛物线，使抛物线的顶点D 在射线DA 上移动，若抛物线的对称轴始终在y 轴的左侧时，点D 平移后的对应点为D′，平移后的抛物线与y 轴的交点为点P ，△D′EP 是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不能，请说明理由．【知识点】二次函数综合题【数学思想】转化思想，数形结合,分类讨论思想.【解题过程】解：（1）对于抛物线2y-，令y=020=，解得1x=-或3，∴(1,0)A-，(3,0)B，∵221)222y x x=-=---∴顶点(1,D-，设直线AD的解析式为y kx b=+，则有k bk b-+=⎧⎪⎨+=-⎪⎩kb⎧=⎪⎨=⎪⎩∴直线AD的解析式为y=-．（2）如图2中，由（1）可知(0,E，1OA=，OE=在AOERt∆中，2AE=，∴30OEA∠=︒，∴∠OAE=∠BGF=60°，∴∠AGF=120°∵将△AFG绕点A顺时针旋转60°得到△AF′G′，∴△AFF′是等边三角形，且AF′⊥x轴于A，∴G′在直线AD上，△AGG′是等边三角形，∴∠AG′G=60°，∵∠AGF=∠AG′F′=120°∴G、G′、F共线，∴GF′=GG′+F′G′=AG+GF，∵S△F AG：S△FGB=3:5，AB=4，∴33482AG+⨯=，∴12OG AG OA=-=，∴1(,0)2G，∵FG∥AD，∴直线FG的解析式为y =，由222y y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或2x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴点F坐标(2,2-，∴32AG =，FG =3，∴F 'G =AG +FG = 92， ∴A F '=AF =33,∴点F '坐标为（74-, 作FH ⊥GF′于H ，在Rt △GFH 中，∵∠FGH =60°，∴FH= ， ∴S △FGF′=12 F′G •FH= 1922⨯= （3）存在．如图3中，设(,D m '，则平移后的抛物线的解析式为222)y x m -+--∴22P，∵(0,E ，∴2PE ，2ED m '=-，①当ED′=PE 时，222m m -=，解得2m =0舍弃），此时4)P ．②当D′P =D′E 时， PE E '=，2=-，解得2m =-（0舍弃），此时P ， ③观察图象可知，不存在PD′=EP 这种情形．综上所述，满足条件的点P 坐标为4)或．【思路点拨】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、锐角三角函数、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，第二个问题的突破点是证明GF′=AG +GF ，学会用分类讨论的思想思考问题.（1）求出A 、D 两点坐标，利用待定系数法即可解决问题．（2）首先求出直线GF 的解析式，然后利用方程组求交点F 的坐标，再证明GF′=AG +FG ，作FH ⊥GF′于H ，根据S △FGF′=12F′G •FH 计算即可．（3）设D′（m m ），则平移后的抛物线的解析式为（x﹣m ）2﹣=2x 2x+2m 2m P （0，2m 2），∵E （0），推出PE =2m 2，ED′=﹣2m ，分三种情形讨论即可．【答案】（1）y =（2）F (2,2-，F '（74-,，S △FGF′（3）能，满足条件的点P 坐标为4)或．。

人教版九年级数学上册第22章《二次函数》期末复习课教案

第22章二次函数期末复习课
教学目标：
知识与技能：
理解二次函数的概念，掌握二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质；会用描点法画抛物线，能确定抛物线的顶点、对称轴、开口方向，能较熟练地由抛物线y＝ax2(a≠0)经过适当平移得到y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象。

会结合二次函数的图象分析问题、解决问题，并在运用中体会二次函数的实际意义，会运用二次函数求实际问题中的最大值或是最小值。

过程与方法：
会用待定系数法求二次函数的解析式，能结合二次函数的图象掌握二次函数的性质。

情感态度价值观：
使学生体会数学建模思想，函数思想，数形结合思想等数学思想。

教学的重点：
1.用配方法求二次函数的顶点，对称轴，根据图象概括二次函数的性质。

2.二次函数三种解析式的求法。

3.利用二次函数的知识解决数学问题，并对解决问题的方法进行反思。

教学的难点：1.将实际问题转化为二次函数，并运用二次函数性质将以解决。

2.二次函数与一元二次方程、不等式的联系，数形结合思想的渗透于应用。

3. 运用二次函数知识解决综合性的问题。

教法方法：自主学习法合作学习法
教学手段：多媒体
教学课时：1课时
教学活动：学生活动及设计意图
；⑤若抛物线顶点坐
教学活动：学生活动及设计意图
=x+b的图象交
教学活动：学生活动及设计意图
7.已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象
如图，其中正确的是（）
专题三：二次函数解析式的确定
求下列二次函数解析式：（学生分组完成）
1.已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），。

人教版九年级上册数学：第二十二章二次函数小结与复习学案(1)

人教版九年级上册数学二次函数小结与复习学案（1）【复习目标】1．理解二次函数的概念，掌握二次函数y ＝ax 2的图象与性质；2．会用描点法画抛物线，能确定抛物线的顶点、对称轴、开口方向，能较熟练地由抛物线y ＝ax2经过适当平移得到y ＝a(x －h)2＋k 的图象。

【学习过程】:一、自主与指导练习1．二次函数的概念，二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象性质。

例：已知函数4m m2x )2m (y-++=是关于x 的二次函数，求：(1)满足条件的m 值；(2)m 为何值时，抛物线有最低点?求出这个最低点．这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大? (3)m 为何值时，函数有最大值?最大值是什么?这时当x 为何值时，y 随x 的增大而减小?注意：二次函数的一般式为y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)。

强调a ≠0．而常数b 、c 可以为0，当b ，c 同时为0时，抛物线为y ＝ax 2(a ≠0)。

此时，抛物线顶点为(0，0)，对称轴是y 轴，即直线x ＝0。

、2．用配方法求抛物线的顶点，对称轴；抛物线的画法，平移规律。

例：用配方法求出抛物线y ＝－3x 2－6x ＋8的顶点坐标、对称轴，并画出函数图象，说明通过怎样的平移，可得到抛物线y ＝－3x 2。

注意：抛物线的一般式与顶点式的互化关系： y ＝ax 2＋bx ＋c ——→ y ＝a(x ＋b 2a )2＋4ac －b24a利用抛物线的对称性进行画图，先确定抛物线的顶点、对称轴，利用对称性列表、描点、连线。

抛物线的平移抓住关键点顶点的移动。

3．知识点串联，综合应用。

例：如图，已知直线AB 经过x 轴上的点A(2，0)，且与抛物线y ＝ax 2相交于B 、C 两点，已知B 点坐标为(1，1)。

(1)求直线和抛物线的解析式；(2)如果D 为抛物线上一点，使得△AOD 与△OBC 的面积相等，求D 点坐标。

巩固练习：1、某公司的生产利润原来是a 元，经过连续两年的增长达到了y 万元，如果每年增长的百分数都是x ，那么y 与x 的函数关系是（）A ．y=a （1－x ）2；B ．y=x 2+a 2； C ．y= a （x －1）； D ．y ＝a （l+x ）2、抛物线y=－12 （x －2）2－1经y=－12x 2平移得到（）A ．向左平移2个单位，向上平移1个单位；；B ．向右平移2个单位，向上平移1个单位C ．向右平移2个单位，向下平移1个单位D ．向左平移2个单位，向下平移1个单位3. 二次函数 y=-2（x －3）2+5的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（）A ．向下，对称轴x=－3，顶点坐标为(3,5)B ．向下，对称轴x ＝3，顶点坐标为(3，5)C ．向上,对称轴x=－3,顶点坐标为(－3,5)D ．向上,对称轴x=－3,顶点坐标为(－3,－5）4. 设直线 y=2x —3，抛物线 y=x 2－2x ，点P （1，－1），那么点P （1，－1）（） A ．既在直线上，又在抛物线上； B ．既不在直线上，又不在抛物线上 C ．在直线上，但不在抛物线上； D ．在抛物线上，但不在直线上 5. 函数2y ax bx c =++的图象图1所示，那么关于x 的方程230ax bx c ++-= 的根的情况是（）A ．有两个相等实数根；B ．有两个异号实数根；C ．有两个不相等的实数根；D ．无实数根6．不论m 为何实数，抛物线y=x 2－mx ＋m －2的图象（）A ．在x 轴上方；B ．与x 轴只有一个交点；C ．与x 轴有两个交点；D ．在x 轴下方7．已知二次函数21y ax bx c =++（a ≠0）与一次函数2y kx m =+（k ≠0）的图象交于点A （－2，4），B （8，2），如图所示，则能使12y y >成立的x 的取值范围是（）A.2x <-B. 28x -<<C. 8x >D.2x <-或8x > 8. 直线2y x =+与抛物线22y x x =+的交点坐标为。

第22章二次函数复习学案

第22章二次函数复习学案一．二次函数定义(特别注意a ≠0) 1. 若y ＝(2－m )23mx -是二次函数，且开口向上，则m 的值为__________．2. 下列函数中，不是二次函数的是（）A ．y =2x 2+2x B ．y =-x 2+3x +1 C ．2113xy x =-++ D ．y =3-x (x -2)二．二次函数中常数的意义二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)系数符号的确定：⑴a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a ＞0；否则a ＜0．⑵b 由对称轴和a 的符号确定：由对称轴公式x = -2ba判断符号(左同右异)． ⑶c 由抛物线与y 轴的交点确定：交点在y 轴正半轴，则c ＞0；否则c ＜0．⑷b 2-4ac 的符号由抛物线与x 轴交点个数确定：2个交点，b 2-4ac ＞0；1个交点，b 2-4ac =0；无交点，b 2-4ac ＜0． ⑸当x =1时，y =a +b +c ，当x =-1时，y =a -b +c .故由点(1, a +b +c ) 所在的象限，可判断a +b +c 的符号；由点(-1, a -b +c ) 所在的象限，可判断a -b +c 的符号.同理，当x =2时，可确定4a +2b +c 的符号，当x =-2时，可确定4a -2b +c 的符号……⑹由对称轴x = -b 与x =±1的位置关系，可确定2a ±b 的符号.当x = -b =1时，b = -2a ，即2a +b =0；当x = -b=-1则下列结论正确的个数是（）①b =2a ②a -b +c ＞-1 ③0＜b 2-4ac ＜4 ④ac +1=b ． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6.在同一坐标系中一次函数 y =ax+b 和二次函数y =ax 2+bx 的图象可能为（）三．二次函数的三种表达形式的变换一般式：y =ax 2+bx +c (a ≠0) 顶点式：y =a (x -h )2+k ，其中h =-2ba ，k =244acb a- 交点式：y =a (x -x 1)(x -x 2)，其中x 1、x 2为抛物线与x 轴交点的横坐标，且其对称轴为x =122x x +.7.试将y =2x 2+3x -2分别转换为顶点式与交点式，说出该函数图象可以由y =2x 2通过怎样的平移得到.并画出该函数的草图（显示准确的对称轴、顶点、与坐标轴交点）.四．二次函数与二次方程与二次不等式的关系 8.利用7中的图象，解答下列问题： ①试写出方程2x 2+3x -2=0的解： ②试写出不等式2x 2+3x -2＞0的解：③试写出不等式2x 2+3x -2＜0的解： ④在以上坐标系中画出直线y ＇= -2x +1；⑤试根据图象写出方程2x 2+3x -2= -2x +1的解：⑥试写出不等式2x 2+3x -2＞-2x +1的解：⑦试写出不等式2x 2+3x -2＜-2x +1的解：9. 已知二次函数2(2)1y x m x m =-+-++，⑴ 试说明：不论m 取任何实数，这个二次函数的图象必与x 轴有两个交点；⑵ m 为何值时，这两个交点都在原点的左侧？⑶ m 为何值时，这个二次函数的图象的对称轴是y 轴？五.求二次函数的解析式10. 已知二次函数26y x x m =-+的最小值为1，求m 的值．11.已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)中自变量x 和函数值y 的部分对应值如下表：求该二次函数的解析式．12.已知：抛物线M ，顶点T (1，-2)，与x 轴交于A 、B 两点，A (-1,0)，求这条抛物线的解析式.13.已知抛物线2142y x bx =-++上有不同的两点E 2(3,1)k k +-+和F 2(1,1)k k ---+．求这条抛物线的解析式.六.二次函数与平面几何的构建与再创造15. 如图，四边形ABCD 中，∠BAD =∠ACB =90°，AB =AD ，AC =4BC ，设CD 的长为x ，四边形ABCD 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式.A B D16. 如图，在△ABC 中，90B ∠=，12m m AB =，24m m BC =，动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以2m m/s 的速度移动（不与点B 重合），动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以4m m/s 的速度移动（不与点C 重合）．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，那么经过几秒，四边形APQC 的面积最小．17. 抛物线y=x2+(k－2)x+1的顶点为M，与x轴交于A（a,0）、B(b,0)两点，且k2－(a2＋ka+1)·(b2+kb+1)=0.⑴求k的值；⑵问抛物线上是否存在点N，使△ABN的面积为N的坐标，若不存在，请说明理由.18. 如图，抛物线y=ax2+bx+c关于直线x=1对称，与坐标轴交与A，B，C三点，且AB=4，点D（2，32）在抛物线上，直线l是一次函数y=kx-2（k≠0）的图象，点O是坐标原点．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线l平分四边形OBDC的面积，求k的值.19.如图，已知抛物线经过A(-4，0)、B(0，-4)、C(2，0)三点.⑴求抛物线解析式；⑵若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．⑶若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．20.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-3，0），B（1，0），C（0，-3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△P AC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．七.二次函数的应用21. 公路上行驶的汽车急刹车时的刹车距离S（m）与时间t（s）的函数关系为S=20t-5t2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性，汽车要滑行多少米才能停下来？22. 一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．⑴将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），其表达式是y=ax2+c的形式．请根据所给的数据求出a，c 的值．⑵求支柱MN的长度．⑶拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由．23.某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500kg；销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：⑴当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；⑵设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式；⑶商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少？24.某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价y1（元）与销售月份x（月）满足关系式3368y x=-+，而其每千克成本y2（元）与销售月份x（月）满足的函数关系如图所示．⑴试确定b c、的值；⑵求这种水产品每千克的利润y（元）与销售月份x（月）之间的函数关系式；⑶“五·一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大？最大利润是多少？25. 如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．⑴求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．⑵足球第一次落地点C距守门员多少米？（取734≈）⑶运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取562≈）。

人教版九年级数学上册第22章二次函数复习学案

第22章二次函数
一、二次函数概念：
1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．
例1. 若函数2
221
()m
m y m m x --=+是二次函数，那么m 的值是( )
A.2
B.-1或3
C.3
D.1-±
2. 下列函数中，是二次函数的是( ) A.y=8x 2+1 B.y=8x+1; C.y=8x D.y=28
x
练习1： y=(m 2-2m-3)x 2+(m-1)x+m 2是关于x 的二次函数要满足的条件是_______.
二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质：上加下减。

3. ()2
y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2
y a x h k =-+的性质：。

人教版九年级数学上册第22章二次函数《复习课》导学案

人教版九年级数学上册第22章二次函数《复习课》导学案第二十二章复课1.知道二次函数的概念、图象和性质,能根据解析式判断抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标和函数的增减性.2.知道抛物线与对应的一元二次方程的关系,会用待定系数法求二次函数的解析式.3.能够运用二次函数解决一些实际问题,从中体会数学建模思想.4.重点:二次函数解析式的求法,二次函数的图象、性质和应用.◆体系构建◆核心梳理1.一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.其中x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程的关系:(1)当b2-4ac>时,抛物线与x轴有2个交点,对应的一元二次方程有两个不相等的实数解;(2)当b2-4ac=时,抛物线与x轴有1个交点,对应的一元二次方程有两个相等的实数解;(3)当b2-4ac<时,抛物线与x轴无交点,对应的一元二次方程无实数解.3.填表:特征函数启齿偏向对称轴极点坐标(0,0)(0,k)(h,0)(h,k)最值最小值最大值最小值k最大值k最小值最大值最小值k最大值k最小值y=ax2y=ax2+ky=a(x-h)2y=a(x-h)2+k a>时启齿向上a<时开口向下a>时开口向上a<时启齿向下a>时启齿向上a<时启齿向下a>时开口向上a<时开口向下a>时启齿向上y轴y轴x=hx=hy=ax2+bx+ca<时开口向下x=-(-,)最大值专题一:二次函数的概念、图象和性质1.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么abc,b2-4ac,2a+b,a+b+c这四个代数式中,值为正数的有(B)A.4个B.3个C.2个D.1个2.二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c在同一坐标系中的图象可能是(C)3.如图,已知二次函数y 1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+m的图象相交于A(-2,4),B(8,2),则能使y1>y2成立的x的取值范围是x<-2或x>8.【方法归纳交流】根据抛物线的开口方向判断a的正负;根据抛物线与y轴的交点判断c的值;若抛物线的对称轴在y 轴左侧,则a与b同号,若抛物线的对称轴在y轴右侧,则a与b异号;根据抛物线与x轴交点的个数判断b2-4ac的符号.专题二:求抛物线的顶点和对称轴4.求抛物线y=x2-4x+5的开口方向、对称轴及顶点坐标.(用两种方法)解:(1)y=(x2-8x+10)=[(x2-8x+16)-16+10]=(x-4)2-3,所以抛物线的开口向上,对称轴是x=4,顶点坐标是(4,-3).(2)对称轴:x=-=4,y最小==-3,顶点坐标为(4,-3).【方法归纳交流】求抛物线的顶点和对称轴一般有两种方法:配方法和公式法.专题三:抛物线的平移5.申明抛物线y=-3x2-6x+8通过如何的平移,可获得抛物线y=-3x2.解:配方:y=-3x2-6x+8=-3(x2+2x-)=-3[(x2+2x+1)-1-]=-3(x+1)2+11,∴抛物线的顶点坐标是(-1,11),∴把抛物线y=-3x2-6x+8先向右平移1个单位长度,再向下平移11个单位长度得到y=-3x2.6.如图,抛物线y=ax2-5ax+4a与x轴相交于点A、B,且过点C(5,4).(1)求a的值和该抛物线顶点P的坐标;(2)请你设计一种平移的方法,使平移后抛物线的顶点落在第二象限,并写出平移后抛物线的解析式.解:(1)把C(5,4)代入y=ax2-5ax+4a,得25a-25a+4a=4。

人教版九年级数学上册第22章二次函数复习导学案

第 1 页共 2 页第 2页共2页二次函数复习一、二次函数的概念：1、形如)0(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，、、的函数，叫做二次函数。

其中____是自变量，_____，_____，______，分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。

（二次函数须同时满足两个条件：①自变量最高次数为2；②二次项系数不为0）。

例题1、当m 为何值时，12)4(422-+-=--x xm y m m 是关于x 的二次函数？二、抛物线k h x a y +-=2)(与2ax y =的关系（图像的平移）1、二者的形状（开口大小）______，位置_______，k h x a y +-=2)(是由2ax y =通过平移得来的，平移后的顶点坐标为________。

2、抛物线)0(2≠=a ax y 个单位平移时向当个单位平移时向当h h h h ____0____0<>2)(h x a y -=的图像个单位平移时向当个单位平移时向当k k k k ____0____0<>k h x a y +-=2)(的图像。

例题1、抛物线3)2(5.02-+=x y 可以由抛物线__________先向_____平移2个单位，再向下平移______个单位得到。

例题2、抛物线2x y -=向左平移1个单位，然后再向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为_________________。

例题3、将二次函数22312+-=x x y 化为k h x a y +-=2)(的形式，并指出其开口方向、对称轴与顶点坐标。

三、抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与a 、b 、c 、△的关系例题1、在同一直角坐标系中，函数b ax y +=2与)0(≠+=ab b ax y 的图象大致如图（）例题2、已知二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如下图。

则下列5个代数式：ac ，abc ，a+b+c ，4a －2b+c ， 2a+b ，2a －b ，a-b+c ，ac b 42-，4a+b 中，其值大于0的个数为（）A 、2B 、3C 、4D 、5例题3、如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确．．．的是（） A ．h m = B ．k n = C ．k n > D ．00h k >>，四、抛物线的增减性要判断二次函数图像的增减性，须弄清两个问题：①a 的正负；②在对称轴的左侧还是右侧。

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三、典例分析
考点一：二次函数的定义：
1. 下列函数中，哪些函数是y 关于x 的二次函数？
(1) 32283y x x =-+ (2) 2
1
x y -= (3) 21y mx x =-- （4）(1)y x x =- 2、当=m _____时，函数()22
2-+=m x m y 为二次函数．
考点二：二次函数的图象和性质：
1、抛物线2
x y -=不具有的性质是( )． A 、开口向下 B 、对称轴是y 轴 C 、与y 轴不相交 D 、最高点是原点 2、y ＝2x 2－bx ＋3的对称轴是直线x ＝1，则b 的值为__________．
3、二次函数()2
23+-=x y 的对称轴是__________，当x _____时，y 随x 的增大而
减小．
4、抛物线
2
3123y x x =-+-的顶点坐标是 .函数的最值是 . 5、已知点A ()1,1y 、B (
)
2,2y -
、C ()3,2y -在函数()2
1
122
-
+=x y 上，则1y 、2y 、3y 的大小关系是( )．
A 、321y y y >>
B 、131y y y >>
C 、213y y y >>
D 、312y y y >>
6．若二次函数y=（x ﹣m ）2﹣1，当x≤3时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（） A ．m=3 B ．m ＞3 C ．m≥3 D ．m≤3 考点三：二次函数平移问题：
1、抛物线2
x y =向左平移4个单位，再向上平移3个单位可以得到抛物线
____________的图象．
2、如图，两条抛物线y 1＝－12x 2＋1，y 2＝－1
2x 2－1与分别经过点(－2，0)，(2，
0)且平行于y 轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为 .
考点四：二次函数
c
bx
ax
y+
+
=2的图象特征与c
b
a、
、、△的符号之间的关系①a决定②b和a共同决定
③c决定抛物线与轴交点的位置④△决定与抛物线与轴交点的个数
1、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）
A．a<0，b<0，c>0，b2－4ac>0; B．a>0，b<0，c>0，b2－4ac<0;
C．a<0，b>0，c<0，b2－4ac>0; D．a<0，b>0，c>0，b2－4ac>0;
2.二次函数y=ax2＋bx＋c与一次函数y=ax＋c在同一坐标系中的图象
大致是图中的（）
考点五：用待定系数法求二次函数的表达式
（1）一般式：c
bx
ax
y+
+
=2已知抛物线上任意三个点的坐标时
（2）顶点式：k
h
x
a
y+
-
=2)
(已知抛物线顶点坐标时
（3）交点式：y=a（x-x1）（x-x2）已知抛物线与x轴交点坐标时
1、已知二次函数c
bx
ax
y+
+
=2过（-1，0），（3，0），（0，
2
3
），
求此抛物线的表达式。

2、已知抛物线的顶点坐标为（-1，-3），与y轴的交点坐标为（0，-5），
求抛物线的表达式。

3、已知抛物线经过（-1，0），（1，-5），（3，0），求抛物线的表达式。

四、畅谈收获
y
x
O。