概率论与数理统计第二章(A)分析解析

21 41 , 14 , 23 , 12 32 ,, 55 65 56 66
11
R
2 多值对应 3 …
11 12
x
一
随机变量(P31)
定义. 设 ={ω}是试验的样本空间,如果对于每一个ω , 有一实数X=X(ω)与之对应则称X=X(ω), ω 为随机变量．随 机变量常用X、Y、Z 或 、、等表示．
X x
X a X b
x
a
b
注 (1) P{a X b} P{ X b} P{ X a} P{ X b}. 意 事 (2) P{a X b} P{ X b} P{ X a} P{ X a} 项 (3) P{a X b} P{ X b} P{ X a} P{ X b} P{ X a}


X X ( )
x
随机变量的特点:
1. 2. X的全部可能取值是互斥且完备的 X的部分可能取值描述随机事件
顾名思义 随机变量就是“其值随机会而定”的变量，正如随 机事件是“其发生与否随机会而定”的事件．机会表现为试验 结果，一个随机试验有许多可能的结果，到底出现哪一个要看 机会，即有一定的概率．最简单的例子如掷骰子，掷出的点数 X是一个随机变量，它可以取1，…，6等6个值．到底是哪一个， 要等掷了骰子以后才知道．因此又可以说，随机变量就是试验 结果的函数．从这一点看，它与通常的函数概念又没有什么不 同．把握这个概念的关键之点在于试验前后之分：在试验前我 们不能预知它将取何值，这要凭机会，“随机”的意思就在这 里，一旦试验后，取值就确定了．比如你在星期一买了一张奖 券，到星期五开奖．在开奖之前，你这张奖券中奖的金额 X是 一个随机变量，其值要到星期五的“抽奖试验”做过以后才能 知道．
三 1 2 3
分布函数的性质(P33) 规范性 有界性 对于任意实数x,有0≤F(x) ≤1.
对任意实数x, 有0 ≤ F(x)≤1,且
x x
单调不减性 对任意实数x1 < x2 ,有F(x1)≤ F(x2 )
F () lim F ( x) 0, F () lim F ( x) 1;
1 3 4 2
5 6
i
0 单值对应
1
2 3
4
5 6
x
R
一般地有
X X (i )
引例2
掷两颗均匀的骰子,样本空间由36个样本点ωij组成
(1, 2)， (1,3)， (1, 4)， (1,5)， (1,6)， (2,1)， (2, 2)， (2,3) (1,1)， (2, 4)， (2,5)， (2,6)， (3,1)， (3, 2)， (3,3)， (3, 4)， (3,5)， (3,6) (4, 2)， (4,3)， (4, 4)， (4,5)， (4,6)， (5,1)， (5, 2)， (5,3) (4,1)， (5,5)， (5,6)， (6,1)， (6, 2)， (6,3)， (6, 4)， (6,5)， (6,6) (5, 4)，
随机变量分类
离散型随机变量 连续型 非离散型 奇异型（混合型）
二
随机变量的分布函数
定义(P32) 设X是随机变量，对任意实数x,令F(x)= P{X≤x},-∞≤x≤+∞, 称F(x)为随机变量X的分布函数.
记为F ( x) P{ X x} 易知, 对任意实数a, b(a b)有 : P{a X b} P{ X b} P{ X a} F (b) F (a).
4 右连续性 对任意实数 x, F ( x0 0) lim F ( x) F ( x0 ).
x x0
具有上述四个性质的实函数,必是某个随机变量的分
布函数.故这四个性质是分布函数的充分必要性质. 具体例题见课本
第二节
离散型随机变量及其概率分布
一 离散型随机变量及其概率分布
定义(P35) 如果一个随机变量所有可能取到的不相同的值是有 限个或可列无限多个,并且以确定的概率取这些不同的值,则称X 为离散型随机变量.
第二章 随机变量及其概率分布
第一节 随机变量及其分布函数 第二节 离散型随机变量及其概率分布 第三节 连续型随机变量及其概率密度 第四节 随机变量的函数的分布
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第一节 随机变量及其分布函数
引例1 掷一颗均匀的骰子,样本空间由6个样本点ωi组成 (i=1,2, …,6).由于等可能性,易知P(ωi)=1/6.观察骰子 出现的点数,记为X,则X可能的取值为i=1,2, …,6.当样本 点ω1出现时,X=1;当样本点ω2出现时,X=2等等;因此,X可 看成是定义在样本空间上的函数,其定义域为样本空间, 值域为实数域R,即X=X(ωi); 此外,当X取值域R上的任一可 能值x时,事件{X=x}都有确定的概率P(X=1)=P(ω1)=1/6, P(X=2)=P(ω2)=1/6等等;一般地,有P(X=i)=P(ωi)=1/6.从 集合的角度来看,ωi是原像,而X=X(ωi)是映像,通常称ωi 为自变量,X=X(ωi)为因变量,由于原像以一定的概率随机 出现,故映象也以一定的概率出现,即X是随机取值的因变量.
其中i,j分别表示第一颗、第二颗骰子出现的点数(i=1,2, …,6;j=1,2, …,6)由于等可能性,P(ωij)=1/36;现在观察两颗骰 子的点数之和,设为X,则X可能的取值为:2,3, …,12.
如当样本点ω11发生时,有X＝2;当样本点ω12或ω21发生 时,有X=3;当点ω14,ω41,ω32, ω23发生时,有X=5等等;因此X 可看成是定义在样本空间上映射到实数域R的函数,即 X=X(ωi).集合相当于定义域, R相当于值域.此外,由于样 本点ωij(原像)以一定的概率随机出现,故X取值域R上的任一 可能值x时,事件{X=x}有确定的概率,如P{X=2}=P{ω11}=1/36; 即X是随机出现的变量.