概率论与数理统计学习知识资料心得与分享与分享之第一章

第一章 概率论的基本概念
确定性现象：在一定条件下必然发生的现象
随机现象：在个别试验中其结果呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象
随机试验：
具有下述三个特点的试验：
1.可以在相同的条件下重复地进行
2.每次试验的可能结果不止一个，且能事先明确试验的所有可能结果
3.进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现
样本空间：
将随机试验E 的所有可能出现的结果组成的集合称为E 的样本空间，记为S 样本点：
样本空间的元素，即E 的每个结果，称为样本点 样本空间的元素是由试验的目的所确定的。

随机事件：
一般，我们称试验E 的样本空间S 的子集为E 的随机事件，简称事件
在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。

基本事件：
由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。

必然事件：
样本空间S 包含所有的样本点，它是S 自身的子集，在每次试验中它总是发生的，称为必然事件。

不可能事件：
空集Φ不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，在每次试验中，称为不可能事件。

事件间的关系与运算：
设试验E 的样本空间为S ，而A,B,k A （k=1,2,…)是S 的子集。

1.若B A ⊂，则称事件B 包含事件A ，这指的是事件A 发生必然导致事件B 发生。

若B A ⊂且A B ⊂,即A=B ，则称事件A 与事件B 相等。

2.事件{x B A =⋃｜A x ∈或}B x ∈称为事件A 与事件B 的和事件。

当且仅当A,B 中至少有一个发生时，事件B A ⋃发生。

类似地，称n
k U 1
=k A 为事件,,21A A …n A ,的和事件；称k k A U ∞
=1
为可列个事件,,21A A …
的和事件。

3.事件B A ⋂=x {｜A x ∈且}B x ∈称为事件A 与事件B 的积事件。

当且仅当A,B 同时发生时，事件B A ⋂发生。

B A ⋂记作AB 。

类似地，称I n k k A 1
=为n 个事件,,21A A …n A ,的积事件；称I ∞
=1
k k A 为可列个事件
,,21A A …的积事件。

4.事件x B A {=-｜A x ∈且}B x ∉称为事件A 与事件B 的差事件。

当且仅当A 发生、B 不发生时事件B A -发生。

5.若φ=⋂B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的。

这指的是事件A 与事件B 不能同时发生。

基本事件是两两互不相容的。

6.若S B A =⋃且φ=⋂B A ,则称事件A 与事件B 互为逆事件。

又称事件A 与事件B 互为对立事件。

这指的是对每次试验而言，事件A,B 中必有一个发生。

A 的对立事件A .A .A S -=
设C B A ,,为事件，则有 交换律：
.;A B B A A B B A ⋂=⋂⋃=⋃
结合律：
.)()(;)()(C B A C B A C B A C B A ⋂⋂=⋂⋂⋃⋃=⋃⋃
分配律：
).
()()();
()()(C A B A C B A C A B A C B A ⋂⋃⋂=⋃⋂⋃⋂⋃=⋂⋃
德·摩根律：
.;B A B A B A B A ⋃=⋂⋂=⋃
频率与概率 频率：
在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n ，称为事件A 发生的频数，比值A n /n 称为事件A 发生的频率，并记成()A f n 频率的基本性质： 1.0≦()A f ≦1
2.()S f n =1
3.若,,21A A …k A ,是两两互不相容的事件，则 n f (⋃⋃21A A …k A ⋃）=n f （1A )+…+n f （k A ）
概率：
设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P(A)，称为事件A 的概率，如果集合函数P(·)满足下列条件： 1.非负性
2.规范性：对于必然事件S ，有P(S)=1
3.可列可加性：P(⋃⋃21A A …）=P （1A ）+P(2A )+… 概率的性质： 1.P(Φ)=0
2.(有限可加性）若1A ，2A ，…n A ,是两两互不相容的事件，则有 P （⋃⋃21A A …n A ⋃）=P(1A )+P(2A )+…+P(n A )
3.设A,B 是两个事件，若B A ⊂，则有 P(B-A)=P(B)-P(A),P(B)≥P(A)
4.对于任一事件A ，P(A)≤1
5.对于任一事件A ，有)(A P =1-P(A)
6.对于任意两事件A,B 有P(B A ⋃)=P(A)+P(B)-P(AB) 一般地，对于任意n 个事件,,21A A …n A ,，可以用归纳法得出 P(⋃⋃21A A …n A ⋃）=)
(1
∑=n
i i
A P -
)
(1j
n
j i i
A A P ∑≤<≤+
k
j
n
k j i i
A
A A ∑≤<<≤1+…
+)^()1(211n n A A A P --
等可能概型（古典概型） 定义：
具有以下两个特点的试验称为等可能概型： 1.试验的样本空间只包含有限个元素 2.试验中每个基本事件发生的可能性相同 事件概率计算公式：
若事件A 包含k 个基本事件，即A {}{}
{}
j i i i e e e ⋃⋃⋃=^21
P(A)=)(∑k
i j e P =n k =（A 包含的基本事件数）/（S 中基本事件的总数）
实际推断原理：
人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的”
条件概率
事件A 已发生的条件下事件B 发生的概率
设A,B 是两个事件，且P(A)>0，称P(B ｜A)=P(AB)/P(A)为在事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率.
条件概率P(·｜A)的性质： 1.非负性:P(B ｜A)≥0
2.规范性：对于必然事件S ，有P(S ｜A)=1
3.可列可加性：设,,21B B …是两两互不相容的事件，则有 i i B P ∞
=1
(U ｜∑∞
==1
()i i B P A ｜)A
对于任意事件B,C,有
P(B ∪C ｜A)=P(B ｜A)+P(C ｜A)-P(BC ｜A)
乘法定理：
设P(A)>0，则有P(AB)=P(B ｜A)P(A)
一般，设,,21A A …n A ,为n 个事件，n ≥2,且)^(121-n A A A P >0,则有
n n A P A A A P ()^(21=｜1121()^--n n A P A A A ｜2221()^^A P A A A n -｜)()11A P A
划分：
设S 为试验E 的样本空间，n B B B ^,,21为E 的一组事件，若 1.n j i j i B B j i ,^,2,1,,,=≠=φ 2.S B B B n =⋃⋃^21,
则称n B B B ^,,21为样本空间S 的一个划分
全概率公式：
设试验E 的样本空间为S ，A 为E 的事件，n B B B ^,,21为S 的一个划分，且
),^,2,1(0)(n i B P i =>，则
A P A P ()(=｜A P
B P B ()()+｜A P B P B (^)()++｜)()B P B
贝叶斯公式：
设试验E 的样本空间为S ，A 为E 的事件，n B B B ^,,21为S 的一个划分，且P(A)>0，),^,2,1(0)(n i B P i =>,则
i B P (｜=)A A P (｜)()i i B P B /∑=n
j A P 1(｜)()j j B P B
先验概率：
根据以往数据分析得到的概率 后验概率：
在得到信息之后再重新加以修正的概率
独立性：
设A,B 是两事件，如果满足等式P(AB)=P(A)P(B),则称事件A,B 相互独立，简称A,B 独立 定理一：
设A,B 是两事件，且P(A)>0，若A,B 相互独立，则P(B ｜A)=P(B),反之亦然。

定理二：
若事件A 与B 相互独立，则下列各对事件也相互独立：A 与B ,A 与B,A 与B
设A,B,C 是三个事件，如果满足等式：
)
()()()()
()()()
()()()()()(C P B P A P ABC P C P B P BC P C P A P AC P B P A P AB P ====
则称事件A,B,C 相互独立。

一般，设,,21A A …n A ,是n(n ≥2)个事件，如果对于其中任意2个，任意3个，……，任意n 个事件的积事件的概率，都等于各事件概率之积，则称事件,,21A A …n A ,相互独立。

推论：
1.若事件,,21A A …n A ,(n ≥2)相互独立，则其中任意k(2≤k ≤n)个事件也是相互独立；
2.若n 个事件,,21A A …n A ,(n ≥2)相互独立，则将,,21A A …n A ,中任意多个事件换成它们的对立事件，所得的n 各事件仍相互独立。