点差法求解中点弦问题

【定理1】

在椭圆（＞＞0）中，若直线与椭圆相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则、证明：设M、N 两点的坐标分别为、，则有，得又

【定理2】

在双曲线（＞0，＞0）中，若直线与双曲线相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则、证明：设M、N两点的坐标分别为、，则有，得又

【定理3】

在抛物线中，若直线与抛物线相交于M、N两点，点是弦MN 的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则、证明：设M、N两点的坐标分别为、，则有，得又、、注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在、

一、椭圆

1、过椭圆＋＝1内一点P(2,1)作一条直线交椭圆于

A、B两点，使线段AB被P点平分，求此直线的方程．

【解】

法一：如图，设所求直线的方程为y－1＝k(x－2)，代入椭圆方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0，(*)又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x

1、x2是(*)方程的两个根，∴x1＋x2＝、∵P为弦AB的中点，∴2＝＝、解得k＝－，∴所求直线的方程为x＋2y－4＝0、

法二：设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵P为弦AB 的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2、又∵

A、B在椭圆上，∴x＋4y＝16，x＋4y＝

16、两式相减，得(x－x)＋4(y－y)＝0，即(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0、∴＝＝－，即kAB＝－、∴所求直线方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0、

2、已知椭圆+=1，求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程．

【解答】

解：设P（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2）．∵P为弦AB 的中点，∴x1+x2=2x，y1+y2=2y．则+=1，①+=1，②②﹣①得，=﹣．∴﹣=3，整理得：x+y=0．由，解得x=所求轨迹方程为：

x+y=0．（﹣＜x＜）∴点P的轨迹方程为：x+y=0（﹣＜x＜）；

3、（xx秋?启东市校级月考）中心在原点，焦点坐标为（0，5）的椭圆被直线3x﹣y﹣2=0截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为=1 ．

【解答】

解：设椭圆=1（a＞b＞0），则a2﹣b2=50①又设直线3x﹣y

﹣2=0与椭圆交点为A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB中点

（x0，y0）∵x0=，∴代入直线方程得y0=﹣2=﹣，由，得，∴AB

的斜率k==﹣?=﹣?=3∵=﹣1，∴a2=3b2②联解①②，可得

a2=75，b2=25，∴椭圆的方程为：=1故答案为：=1．

4、例1（09年四川）已知椭圆（＞＞0）的左、右焦点分别为、，离心率，右准线方程为、(Ⅰ)

求椭圆的标准方程；(Ⅱ)

过点的直线与该椭圆相交于M、N两点，且，求直线的方程、解：（Ⅰ）根据题意，得、所求的椭圆方程为、（Ⅱ）椭圆的焦点为、、设直线被椭圆所截的弦MN的中点为、由平行四边形法则知：、由得：、①若直线的斜率不存在，则轴，这时点P与重合，，与题设相矛盾，故直线的斜率存在、由得：②②代入①，得整理，得：、解之得：，或、由②可知，不合题意、，从而、所求的直线方程为，或、

6、（xx秋?工农区校级期末）已知椭圆的一条弦的斜率为3，它与直线的交点恰为这条弦的中点M，则点M的坐标为．

【解答】

解：设直线与椭圆的交点分别为（x1，y1），（x2，y2），则，两式相减，得=0，（y1﹣y2）（y1+y2）=﹣3（x1﹣x2）

（x1+x2），=﹣3，因为直线斜率为3，∴=3，∵两交点中点在直线x=，x1+x2=1，∴3=﹣31（y1+y2），∴=﹣．所以中点M坐标为（，﹣）．故答案为：（，﹣）．

7、如图，在中，，椭圆C：，以E、F为焦点且过点D，点O 为坐标原点。（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若点K满足，问是否存在不平行于EF的直线与椭圆C交于不同的两点M、N 且，若存在，求出直线的斜率的取值范围，若不存在，说明理由。xyDEFO解：（Ⅰ）略：，（Ⅱ）分析：∵，设MN的中点为H，则，此条件涉及到弦MN的中点及弦MN的斜率，故用“点差法”设，直线的斜率为（，则①②由①－②得：又∵，则，∴，从而解得，点在椭圆内，则且

8、已知是椭圆不垂直于轴的任意一条弦，是的中点，为椭圆的中心、求证：直线和直线的斜率之积是定值、证明设且，则，（1），（2）得：，，、又，，（定值）、

二、双曲线

1、过点P(4,1)的直线l与双曲线－y2＝1相交于

A、B两点，且P为AB的中点，求l的方程．[解析] 设

A(x1，y1)，B(x2，y2)，则－y＝1，－y＝1，两式相减得：(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0，∵P为AB中点，∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝2、∴＝1，即所求直线l的斜率为1，∴l方程为y －1＝x－4，即x－y－3＝0、

2、设

A、B是双曲线x2－＝1上的两点，点N(1,2)是线段AB的中点，(1)求直线AB的方程；(2)如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于

C、D两点，那么

A、

B、

C、D四点是否共圆？为什么？[分析] 要证明

A、

B、

C、D四点共圆，首先判断圆心所在位置，若

A、

B、

C、D四点共圆，则∵CD垂直平分AB，据圆的性质知，圆心在直线CD上，∴CD中点M为圆心，只要证明|AM|＝|MB|＝|CM|＝|MD|即可．[解析] (1)依题意，可设直线AB方程为y＝k(x－1)＋2，由得(2－k2)x2－2k(2－k)x－(2－k2)－2＝0①设A(x1，

y1)，B(x2，y2)，∵x

1、x2是方程①的两个不同的实根，所以2－k2≠0、由韦达定理得，x1＋x2＝、由N(1,2)是AB的中点得，＝1、即k(2－k)＝2－k

2、解得k＝1，∴直线AB的方程为y＝x＋1、(2)由得x2－2x－3＝0，解得x1＝3，x2＝－1、∴A(3,4)，B(－1,0)．∵CD是线段AB的垂直平分线，所以CD所在直线方程为y＝－x＋

3、得x2＋6x－11＝0、设C(x3，y3)，D(x4，y4)，CD的中点为M(x0，y0)．由韦达定理，得x3＋x4＝－6，x3x4＝－

11、从而x0＝(x3＋x4)＝－3，y0＝－x0＋3＝6、|CD|＝＝＝＝4，|CM|＝|MD|＝2、∵|MA|＝|MB|＝＝2、∴

A、

B、

C、D四点到M的距离相等，所以

A、

B、

C、D四点共圆．

3、已知双曲线的方程为x2－＝1、试问：是否存在被点

B(1,1)平分的弦？如果存在，求出弦的直线方程，如果不存在，请说明理由．[分析] 易判断出点B(1,1)在双曲线的外部，不妨假定符合题意的弦存在，那么弦的两个端点应分别在双曲线的左右两支上，其所在直线的倾角也不可能是

90、[解析] 解法一：设被B(1,1)所平分的弦所在的直线方程为y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程x2－＝1，得(k2－2)x2－2k(k－1)x＋k2－2k＋3＝0、∴Δ＝[－2k(k－1)]2－4(k2－2)(k2－2k＋3)>0、解得k<，且x1＋x2＝、∵B(1,1)是弦的中点，∴＝1，∴k＝2>、故不存在被点B(1,1)所平分的弦．解法二：设存在被点B平分的弦MN，设M(x1，y1)、N(x2，y2)．则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，且①－②得(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0、∴kMN＝＝2，故直线MN：y－1＝2(x－1)．由消去y得，2x2－4x＋3＝0，Δ＝－8<0、这说明直线MN与双曲线不相交，故被点B

平分的弦不存在．[点评] 由本题可以看到：如果点B在双曲线的内部，则以该点为中点的弦一定存在．如果点B在双曲线的外部，则以该点为中点的弦有可能不存在．因此，点B在内部无需检验，点B在外部必须检验．关于双曲线内部、外部，请看图，双曲线把平面划分开来，图中阴影部分为双曲线内部，另一部分为双曲线外部．

4、设双曲线的中心在原点，以抛物线的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线．（Ⅰ）试求双曲线C的方程；（Ⅱ）设直线与双曲线交于两点，求；（Ⅲ）对于直线，是否存在这样的实数，使直线与双曲线的交点关于直线 (为常数)对称，若存在，求出值；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由得，，抛物线的顶点是，准线是、在双曲线C中，、双曲线C 的方程为、（Ⅱ）由得：、设，则、、（Ⅲ）假设存在这样的实数，使直线与双曲线的交点关于直线对称，则是线段AB的垂直平分线、因而，从而、设线段AB的中点为、由得：，、①由得：、②,由①、②得：、由得：，、又由得：直线与双曲线C相交于

A、B两点，＞0，即＜6，且、符合题意的的值存在，、

5、

三、抛物线1．在抛物线y2＝8x中，以(1，－1)为中点的弦所在直线的方程是(

)A．x－4y－3＝0

B．x＋4y＋3＝0 C．4x＋y－3＝0 D．4x＋y＋3＝0[答案] C，[解析] 设弦两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝－2、∵

A、B在抛物线上，∴y＝8x1，y＝8x2，两式相减得，(y1＋

y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)，∴＝－4，∴直线AB方程为y＋1＝－4(x－1)，即4x＋y－3＝0、2．若点(3,1)是抛物线y2＝2px的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p＝________、[答案] 2[解析] 设弦两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，∵y1＋y2＝2，∴p＝2、3．过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被Q 所平分，求弦AB所在的直线方程．[答案] 4x－y－15＝0[解析] 解法一：设以Q为中点的弦AB端点坐标为A(x1，y1)、B(x2，

y2)，则有y＝8x1，①y＝8x2，② x1＋x2＝8，y1＋y2＝2、③ ①－②，得(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)．④将③代入④得y1－y2＝4(x1－x2)，即4＝，∴k＝4、∴所求弦AB所在直线方程为y－1＝4(x－4)，即4x－y－15＝0、

4、（2004?福建）如图，P是抛物线C：y=x2上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q．（Ⅰ）若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程；（Ⅱ）若直线l不过原点且与x轴交于点S，与y轴交于点T，试求的取值范围．【分析】

（1）设M（x0，y0），欲求点M的轨迹方程，即寻找其坐标的关系，可通过另外两点P，Q与中点M的关系结合中点坐标公式

求解，（2）欲的取值范围，可转化为将其表示成某变量的表达式，然后再求此表达式的最值问题，另外，为了化简比例式，一般将线段投影到坐标轴上的线段解决．

【解答】

解：（Ⅰ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x0，y0），依题意x1≠0，y1＞0，y2＞0．由y=x2，①得y=x．∴过点P的切线的斜率k=x1，∴直线l的斜率kl=﹣=﹣，∴直线l的方程为y﹣x12=﹣（x﹣x1），②联立①②消去y，得x2+x﹣x12﹣2=0．∵M 是PQ的中点∴x0==﹣，y0=x12﹣（x0﹣x1）消去x1，得

y0=x02++1（x0≠0），∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2++1

（x≠0）．方法二：设P（x1，y1）、Q（x2，y2）、M（x0，

y0），依题意知x1≠0，y1＞0，y2＞0．由y=x2，①得y′=x．∴过点P的切线的斜率k切=x1，∴直线l的斜率kl=﹣=﹣，直线l 的方程为y﹣x12=﹣（x﹣x1）．②方法一：联立①②消去y，得x2+x﹣x12﹣2=0．∵M为PQ的中点，∴x0==﹣，y0=x12﹣（x0﹣x1）．消去x1，得y0=x02++1（x0≠0），∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2++1（x≠0）．（Ⅱ）设直线l：y=kx+b，依题意k≠0，

b≠0，则T（0，b）．分别过P、Q作PP⊥x轴，QQ⊥x轴，垂足分别为P、Q，则=．由y=x2，y=kx+b消去x，得y2﹣2（k2+b）y+b2=0．③则y1+y2=2（k2+b），y1y2=b2．∴=|b|（）

≥2|b|=2|b|=2．∵y

1、y2可取一切不相等的正数，∴的取值范围是（2，+∞）．

5、例（05全国Ⅲ文22）设两点在抛物线上，是AB的垂直平分线、（Ⅰ）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点F？证明你的结论、（Ⅱ）当时，求直线的方程、解：（Ⅰ），、设线段AB的中点为，直线的斜率为，则、若直线的斜率不存在，当且仅当时，AB的垂直平分线为轴，经过抛物线的焦点F、若直线的斜率存在，则其方程为，、由得：，、若直线经过焦点F，则得：，，与相矛盾、当直线的斜率存在时，它不可能经过抛物线的焦点F、综上所述，当且仅当时，直线经过抛物线的焦点F、（Ⅱ）当时，由得：、所求的直线的方程为，即

6、7、已知是椭圆不垂直于轴的任意一条弦，是的中点，为椭圆的中心、求证：直线和直线的斜率之积是定值、证明设且，则，（1），（2）得：，，、又，，（定值）、

8、已知的三个顶点都在抛物线上，其中，且的重心是抛物线的焦点，求直线的方程、解由已知抛物线方程得、设的中点为，则三点共线，且，分所成比为，于是，解得，、设，则、又，（1），（2）得：，、所在直线方程为，即