极坐标及极坐标方程精编版

知识回顾
1.极坐标系: 定点O，叫做极点； 射线Ox，叫做极轴；
再选定一个 长度单位 、一个角度单位 （通常取弧度 ） 及其正方向（通常取逆时针方向 ），就建立了一个 极坐标系． 极点O与点M的距离 |OM| 叫做点 M的极径 ，记为 ρ； 角∠xOM 叫做极角，记为θ. 有序实数对（ ρ,θ）叫做M的极坐标，
课前预练
3．极坐标方程ρcosθ＝4表示的曲线是( ) A．一条平行于极轴的直线 B．一条垂直于极轴的直线 C．圆心在极轴上的圆 D．过极点的圆
讨论总结：极坐标方程ρcosθ＝a表示 什 么？极坐标方程ρsinθ＝a 呢？
课前预练
4.设曲线的极坐标方程为 ρ＝2asinθ(a>0)，则
它表示的曲线是( )
极坐标及极坐标方程
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1．了解极坐标的基本概念,会在极坐标 系中用极坐标刻画点的位置，能进行极 坐标和直角坐标的互化.
2．能在极坐标系中给出简单图形(如过 极点的直线、过极点的圆、圆心在极点 或极轴上的圆)表示的极坐标方程.
1.主要考查极坐标 方程与直角坐标方 程的互化．
2．在解答题中涉及 直线、圆的极坐标 方程、参数方程综 合考查.
另一个交点与极点的距离为 2，因此|AB|＝ 2. [答案] 2
典例精析
例
3.已知曲线
C1 的直角坐标方程为
x2 4
?
y2
?
1
.以坐标原点 O
为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 . P 是曲线 C1 上一
点， ? xop?? (0?? ??) ，将点 P 绕点 O 逆时针旋角 ? 后得到
uuuur uuur 点 Q， OM ? 2OQ , 点 M 的轨迹是曲线 C2.
讨论总结： M（ρ,θ） 关于极点、极轴、 极垂线的对称点是什么？
课课前前预预练练
2．（1）已知点的极坐标分别为 (3，π4)，(2，23π)，(4，π2)， ( 3，π)，求它们的直角坐标 .
（2）已知点的直角坐标分别为 (3， 3)，(0，- 2)， (4，0)，（-2，-2 3），(1，- 3)，(-1，1) 求它们的极坐标 .
BB．θ＝π2(ρ∈R)和 ρcosθ＝2
C．θ＝π2(ρ∈R)和 ρcosθ＝1 D．θ＝0(ρ∈R)和 ρcosθ＝1
典例精析
(2)[2013·北京高考]在极坐标系中，点(2，π6)到直线 ρsinθ＝2
1 的距离等于 ________．
典例精析
[解析] (1)由 ρ＝2cosθ，可得圆的直角坐标方程为 (x－1)2 ＋y2＝1，所以垂直于 x 轴的两条切线方程分别为 x＝0 和 x＝2， 即所求垂直于极轴的两条切线方程分别为 θ＝π2(ρ∈R)和 ρcosθ＝ 2，故选 B.
[解析] ρ＝2sinθ 的直角坐标方程为 x2＋y2－2y＝0，ρcosθ
＝－1 的直角坐标方程为 x＝－1，联立方程，得
??x2＋y2－2y＝0，
?
??x＝－1，
解得?????xy＝＝1－，1，
即两曲线的交点为 (－1，1)，
又 0≤θ<2π，因此这两条曲线的交点的极坐标为 ( 2，34π)．
[答案] ( 2，34π)
记为M（ρ,θ） ．
知识顾
知识回顾
3．特殊的极坐标方程
(1) 过极点的直线： θ=θ0（ρ∈R）(θ0为直线与极轴夹角)；
(2) 过点 M(a,0)垂直于极轴的直线： ρcosθ＝a；
(3)过点 M(a, π2)平行于极轴的直线： (4)当圆心位于极点，半径为 r：
ρsinθ＝a； ρ＝r；
(5)当圆心位于 M(r,0)，半径为 r： (6)当圆心位于 M(r，π2)，半径为 r：
课堂小结
1、极坐标及极坐标方程； 2、极坐标与直角坐标互化； 3、极坐标方程的应用.
1 cos2 ?
所以 4
? sin 2 ?
?
1
?
2 1
....②,
由①②得曲线
C2 的极坐标方程为
.
1
?2
?
1 cos2 ?
16 2
?
1 sin 2 ?
42
(2)由(1)得
1 OM 2
? 1 (1? 3sin 2 ? )
16
2 ,因为
1 OM 2
的取值范围是
?1 ??16
,
1 4
? ??
,
所以 OM 的取值范围是 [2,4].
(1)求曲线 C2 的极坐标方程；
(2)求│OM│的取值范围．
解析：曲线
C1 的极坐标方程为
1 4
?2
cos2 ?
?
?2
sin2 ?
?
1, 即
1 cos2 ?
4
? sin 2 ?
?
1
?2
, 在极坐标系中 .设 M（ ? ,?
）
P（ ?1,?
），则由题设可知，
?1 ?
? ,?
2
??
2
. ①. . ，因为点 P 在曲线 C1 上，
A．圆心在点(a,0)直径为a的圆 B．圆心在点(0,a)直径为a的圆 C．圆心在点(a,0)直径为2a的圆 D．圆心在点(0,a)直径为2a的圆
讨论总结：极坐标方程ρ＝2acosθ表示的 曲线是什么？
典例精析
[例 1] (1)[2013·安徽高考]在极坐标系中，圆 ρ＝2cosθ 的 垂直于极轴的两条切线方程分别为( ) A．θ＝0(ρ∈R)和 ρcosθ＝2
ρ＝2rcosθ； ρ＝2rsinθ.
(7)若圆心为 M(ρ0，θ0)，半径为 r 的圆方程为：
ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0.
课前预练
1．在极坐标系中，与点(3，－π3)关于极轴所在直线对称的
点的极坐标为( )
A．(3，23π)
BB．(3，π3)
C．(3，43π)
D．(3，56π)
(2)由极坐标方程与直角坐标方程的互化关系可知，在极坐 标系中，点(2，π6)对应的直角坐标为( 3，1)，直线 ρsinθ＝2 对 应的直角坐标方程为 y＝2，所以点到直线的距离为 1.
典例精析
例 2. 在极坐标系中，曲线 ρ＝2sinθ 与 ρcosθ＝－1(0≤θ<2π)的交 点的极坐标为 ________ ．
自主探究：
在极坐标系中，曲C线1：ρ＝2cosθ，曲线C2：θ＝π4， 若曲线C1 与C2 交于A、B 两点，则线段AB的长为_______．_
[解析] 曲线 C1 与 C2 均经过极点，因此极点是它们的一
??ρ＝2cosθ， ??ρ＝ 2，
个公共点．由???θ＝π4，
得???θ＝π4， 即曲线 C1 与 C2 的