数值分析习题
第一章 绪论
习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。 1 若误差限为5
105.0-?,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算） 2 Λ14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算）
3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ?有几位有效数字？（有效数字的计算）
4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差？（误差的计算）
5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5*
=，已知
cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v
2π=的绝对误差限与相对误差
限。（误差限的计算）
6 设x 的相对误差为%a ,求n
x y =的相对误差。（函数误差的计算）
7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为%1，问度量半径r 时允许的相对误差限为多大？（函数误差的计算）
8 设?-=1
1
dx e x e
I x n n ，求证： （1）)2,1,0(11Λ=-=-n nI I n n
（2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小。（计
算方法的比较选择）
第二章 插值法
习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插值余项的计算和应用。
1 已知1)2(,1)1(,2)1(===-f f f ，求)(x f 的拉氏插值多项式。（拉格朗日插值）
2 已知9,4,10===
x x x y ，用线性插值求7的近似值。（拉格朗日线性插值）
3 若),...1,0(n j x j =为互异节点，且有 试证明
),...1,0()(0
n k x x l x
n
j k j
k j =≡∑=。
（拉格朗日插值基函数的性质） 4 已知352274.036.0sin ,333487.034.0sin ,314567.032.0sin ===，用抛物线插值计算3367.0sin 的值并估计截断误差。（拉格朗日二次插值） 5 用余弦函数x cos 在00=x ，4
1π=x ，2
2π=
x 三个节点处的值，写出二次拉格朗日插值
多项式, 并近似计算6
cos π及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比较。（拉格朗
日二次插值）
6 已知函数值212)6(,82)4(,46)3(,10)1(,6)0(=====f f f f f ，求函数的四阶均差
]6,4,3,1,0[f 和二阶均差]3,1,4[f 。（均差的计算）
7 设)())(()(10n x x x x x x x f ---=Λ求][1,0p x x x f Λ之值，其中1+≤n p ，而节点
)1,1,0(+=n i x i Λ互异。（均差的计算）
8 如下函数值表
建立不超过三次的牛顿插值多项式。（牛顿插值多项式的构造）
9求一个次数小于等于三次多项式)(x p ，满足如下插值条件：2)1(=p ，4)2(=p ，
3)2(='p ，12)3(=p 。（插值多项式的构造）
10 构造一个三次多项式)(x H ，使它满足条件1)1(,1)2(,0)1(,1)0(='===H H H H （埃
尔米特插值）。
11 设4/9,1,4/1,)(2102
3====x x x x x f 。(1)试求)(x f 在[]4/9,4/1上的三次埃尔米特插值多项式)(x H ，使得)()(,2,1,0),()(11x f x H j x f x H j j '='==，)(x H 以升幂形式给出。(2)写出余项)()()(x H x f x R -=的表达式。（埃尔米特插值及其余项的计算）。 12 若0)()(],,[)(2
==∈b f a f b a c x f ，试证明：
()|)( |max 8
1
|)( |max 2x f a b x f b x a b
x a ''-≤
≤≤≤≤（插值余项的应用）
13 设,2)2(,1)0(,1)2(==-=-f f f 求)(x p 使)2,1,0()()(==i x f x p i i ； 又设 M x f ≤'''|)(| ，则估计余项)()()(x p x f x r -=的大小。（插值误差的估计）