倒立摆系统
倒立摆控制系统设计与优化研究
倒立摆控制系统设计与优化研究倒立摆是一种经典的控制系统研究对象，它通常由一个杆和一个连接在杆顶端的物体组成，通过控制杆的角度使物体保持在平衡位置。
倒立摆具有复杂的非线性动力学特性，因此，设计和优化倒立摆控制系统一直是控制理论和工程应用的重要课题之一。
在倒立摆控制系统的研究中，最基本的任务是实现摆杆的角度控制。
为了保持杆子的平衡，需要确定合适的力或扭矩来作用于摆杆上。
常见的方法是使用PID控制器，通过测量摆杆的角度和角速度，并根据误差信号来调整控制输入。
PID控制器的设计涉及到参数的选择和调整，以确保系统的稳定性和性能。
除了PID控制器，还有其他控制策略可用于倒立摆控制系统。
例如，模糊控制器通过模糊逻辑和规则来处理模糊输入和输出，可以适应非线性系统的动态特性。
神经网络控制器利用人工神经网络的强大学习和自适应能力来实现控制任务。
这些控制策略在倒立摆控制系统中都有不同程度的应用，其设计和优化技术也是控制领域的研究热点。
倒立摆控制系统的设计和优化涉及到多个方面的问题。
首先，需要选择合适的传感器来测量摆杆的角度和角速度。
常见的传感器包括陀螺仪、加速度计和光电编码器等。
选择合适的传感器需要考虑传感器的精度、响应速度和成本等因素。
其次，需要建立合适的数学模型来描述倒立摆的动力学行为。
这个模型通常是一个非线性微分方程，可以根据摆杆的几何结构和运动学约束来推导。
数学模型的准确性对于控制系统的设计和优化至关重要，因为它直接影响到控制策略和参数的选择。
控制系统的设计和优化还需要考虑实际工程应用中的一些限制和要求。
例如，摆杆的物理结构和质量分布对于系统的稳定性和控制性能有着重要影响。
此外，系统的鲁棒性和抗干扰特性也是设计和优化的重要考虑因素。
这些问题需要综合考虑，采用合适的建模和控制方法来解决。
最后，倒立摆控制系统的设计和优化还需要进行实验验证和性能评估。
通过搭建实际的倒立摆系统，可以收集实验数据并与理论模型进行比较。
倒立摆原理
倒立摆原理倒立摆，是一种经典的控制理论问题，它可以用来解释许多现实世界中的控制系统。
倒立摆系统由一个可以在水平面上移动的小车和一个可以在小车上倒立的摆杆组成。
这个系统有许多应用，比如直升机、无人机、倒立摆玩具等。
倒立摆系统的控制对于工程技术和科学研究都有着重要的意义。
倒立摆系统的原理可以用简单的物理学知识来解释。
在倒立摆系统中，小车和摆杆之间通过电机和传感器相连。
传感器可以感知摆杆的倾斜角度，电机则可以控制小车的运动。
当摆杆倾斜时，电机就会根据传感器的反馈信号来控制小车的运动，使摆杆恢复到垂直位置。
这样，通过不断地调节小车的位置，就可以实现对摆杆的倒立控制。
倒立摆系统的控制原理可以用控制理论中的PID控制器来描述。
PID控制器是一种经典的控制算法，它可以根据系统的误差信号来调节控制量，使系统达到稳定状态。
在倒立摆系统中，PID控制器可以根据摆杆的倾斜角度误差信号来调节小车的位置，从而实现对摆杆的倒立控制。
倒立摆系统的控制原理可以用数学模型来描述。
倒立摆系统可以用动力学方程和控制方程来建模，通过对这些方程进行分析和求解，可以得到系统的稳定性条件和控制参数。
这样，就可以设计出合适的控制器来实现对倒立摆系统的控制。
倒立摆系统的控制原理可以用仿真模拟来验证。
通过建立倒立摆系统的仿真模型，可以模拟出系统的动态特性和控制效果，从而验证控制算法的有效性和稳定性。
这样，就可以在实际系统中应用这些控制算法，实现对倒立摆系统的精确控制。
综上所述，倒立摆系统的控制原理涉及物理学、控制理论、数学建模和仿真验证等多个方面。
倒立摆系统作为一个经典的控制问题，对于工程技术和科学研究都有着重要的意义。
通过对倒立摆系统的研究和控制，可以深入理解控制理论的基本原理，提高工程技术的应用水平，推动科学研究的进步。
因此，倒立摆系统的控制原理具有重要的理论和实际意义，值得深入研究和应用。
倒立摆控制系统设计
倒立摆控制系统设计倒立摆是一种经典的控制系统设计问题，经常用于教学和研究中。
倒立摆是一个在竖直平衡位置上方的摆杆，通过控制一些关节的力矩使其保持平衡。
以下是一个倒立摆控制系统的设计过程。
第一步：建立动力学模型首先，需要建立倒立摆的动力学模型。
倒立摆的动力学模型可以通过运动方程来表达。
假设摆的长度为l，质量为m，可以得到摆杆的转动惯量I=m*l^2、摆杆在竖直方向上受到重力加速度g作用。
假设摆杆的角位移为θ，角速度为ω，则可以得到如下的转动方程：I*ω' = -mgl*sin(θ)第二步：线性化模型将非线性动力学模型线性化是控制系统设计中的常见做法。
在线性化之前，需要选择一个工作点作为参考点。
假设工作点为竖直平衡位置，因此θ=0，ω=0。
线性化的目的是在工作点处计算摆杆动态的近似线性表示。
通过对转动方程进行泰勒级数展开并忽略高阶项，可以得到线性化的模型：I*ω' = -mgl*θ第三步：设计控制器在线性化的模型中，我们可以引入一个控制器来控制摆杆的角度，并使之保持在竖直位置。
常见的控制器包括比例控制器（P控制器）、积分控制器（I控制器）和微分控制器（D控制器）。
通过控制器，我们可以得到一个控制信号u，作用于系统中的输入来控制倒立摆。
控制器的设计可以基于设计指标，如系统的快速响应性、稳定性和鲁棒性等。
第四步：模拟和验证在完成控制器设计之后，可以进行仿真和实验来验证系统的控制效果。
倒立摆系统通常可以用控制系统设计软件进行建模和仿真。
可以通过改变控制器的参数来观察系统的响应，并对控制器进行调整和优化。
第五步：系统实现和调试在模拟和验证阶段的成功之后，可以将控制器实现到实际的倒立摆系统中。
可能需要选择合适的硬件平台和传感器来实现对系统状态的测量。
实际实施过程中，可能还需要对控制器进行再次调整和优化，以适应实际系统的特点。
综上所述，倒立摆控制系统设计包括建立动力学模型、线性化模型、设计控制器、模拟和验证、系统实现和调试等步骤。
倒立摆的概述
第一章引言1.1倒立摆系统概述1.1.1倒立摆系统所谓倒立摆，就是让摆处于倒置不稳定状态，需要人为不停地控制使其处于倒置的动态平衡的一种特殊的摆。
倒立摆系统可以抽象的看作是一种重心在上，而支点在下的控制问题，在没有外力干涉其状态的情况下，倒立摆系统很容易且很快速就能发生复杂、不可预知的变化。
因此，在相关研究领域，倒立摆是机器人技术、控制理论和计算机控制等多方面有机结合，其控制系统更是一种非常复杂的快速、多变量、非线性、强耦合、自然不稳定系统。
1.1.2倒立摆系统的分类最早的倒立摆仅仅只是单级直线型的。
随着科技的进步和控制理论的发展，人们在此基础上又进行了拓展。
现在的倒立摆系统已经又传统的直线一级倒立摆发展成很多种不同的倒立摆系统。
倒立摆的分类可以有很多种方法，根据不同的分类角度，可以分成不同形式的倒立摆。
下面，简单的介绍一下倒立摆的“家族成员”：1.倒立摆系统按照摆杆的运动形式来分可以分为以下几种：（1）直线倒立摆；（2）环形倒立摆；（3）平面倒立摆。
2.依据摆杆数目不同，可以把倒立摆系统分为有一级倒立摆、二级倒立摆、三级倒立摆和四级倒立摆，甚至还有级数更高的倒立摆。
倒立摆的级数越高，控制的难度就越大。
所以一级倒立摆通常用于控制理论的基础实验，而多级倒立摆多用于控制算法的研究；3.据多级摆杆间连接形式的不同，可以把倒立摆系统分为并联式倒立摆和串联式倒立摆；4.依据运动轨道的不同，可以把倒立摆系统分为倾斜轨道倒立摆和水平轨道的倒立摆；5.依据摆杆材质的不同，可以把倒立摆系统分为刚性倒立摆和柔性倒立摆；1.1.3倒立摆的特性倒立摆系统结构样式多种多样，分类方式繁多，但不管倒立摆系统具有怎样的形式和结构，倒立摆系统都是一种复杂的快速、非线性、多变量、强耦合、自然不稳定系统。
而这些特性也是倒立摆系统控制的难点和研究热点所在。
倒立摆系统的特性如下：（1）非线性倒立摆是一个典型的非线性复杂系统，实际中可以通过线性化得到系统的近似模型，线性化处理后再进行控制。
倒立摆原理
倒立摆原理的基本原理倒立摆是一种具有非线性动力学特性的系统，它由一个可以在垂直平面上旋转的杆和一个连接在杆顶端的质量块组成。
倒立摆在控制理论、机器人学和自动化领域有着广泛的应用，例如机器人控制、姿态稳定等。
倒立摆系统具有很高的非线性特性，因为它受到重力、惯性、摩擦等多种因素的影响。
为了使倒立摆保持平衡，需要对其进行控制，以实现杆垂直或近似垂直于地面。
动力学模型为了分析倒立摆系统的动力学行为，我们首先需要建立其动力学模型。
假设杆的长度为L，质量为m，质量块与杆之间没有弹簧和阻尼，并且杆与地面之间也没有摩擦。
根据牛顿第二定律和角动量定理，可以得到倒立摆系统的运动方程：1.杆绕固定点（底部）转动：Iθ=mL2θ=−mgLsin(θ)2.质量块沿杆方向运动：mLẍ=−mgsin(θ)其中，θ表示杆与垂直线之间的夹角，x表示质量块在杆上的位置，I表示杆对底部转动的惯性矩。
线性化由于倒立摆系统的动力学方程是非线性的，为了进行控制设计和分析，通常需要对其进行线性化处理。
线性化可以通过泰勒级数展开来实现。
假设倒立摆处于平衡点附近，即θ=0和θ=0，则可以将非线性动力学模型线性化为以下形式：1.杆绕固定点（底部）转动：mL2θ=−mgLθ2.质量块沿杆方向运动：mLẍ=−mgθ这样得到的是一个简化的线性模型，使得控制器设计更加容易。
但需要注意的是，在实际应用中，由于存在误差和不确定性等因素，可能需要对系统进行更复杂的建模和控制。
控制方法倒立摆系统的控制旨在使其保持平衡或实现特定任务。
常用的控制方法包括PID控制、模糊控制和最优控制等。
1.PID控制：PID控制是一种经典的反馈控制方法，通过比较实际输出与期望输出之间的差异，并根据比例、积分和微分三个部分的调节系数来调整控制信号。
在倒立摆系统中，可以根据杆与垂直线之间的夹角和质量块在杆上的位置来计算误差，并通过PID控制器生成合适的力或扭矩来驱动系统。
2.模糊控制：模糊控制是一种基于经验知识的控制方法，它使用模糊逻辑和模糊推理来处理系统不确定性和非线性特性。
单级倒立摆系统课程设计
单级倒立摆系统课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解单级倒立摆系统的基本原理，掌握其数学模型和动力学特性；2. 学会分析单级倒立摆系统的稳定性，并掌握相应的控制策略；3. 掌握利用传感器和执行器实现单级倒立摆系统的实时控制方法。
技能目标：1. 能够运用所学的理论知识，设计并搭建单级倒立摆实验系统；2. 能够编写程序，实现对单级倒立摆系统的实时控制，使系统保持稳定；3. 能够分析实验数据，优化控制参数，提高系统性能。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对物理系统控制原理的兴趣，激发学生探索科学技术的热情；2. 培养学生的团队协作意识和解决问题的能力，增强学生的自信心；3. 引导学生关注科技创新，认识到所学知识在实际应用中的价值。
课程性质：本课程为理论与实践相结合的课程，旨在帮助学生将所学的理论知识应用于实际系统中，提高学生的实践能力和创新能力。
学生特点：学生具备一定的物理、数学基础，对控制原理有一定了解，但实践经验不足。
教学要求：注重理论与实践相结合，鼓励学生动手实践，培养解决实际问题的能力。
在教学过程中，注重引导学生自主学习，培养学生的创新意识和团队协作精神。
通过本课程的学习，使学生能够将所学知识应用于实际系统，提高自身综合素质。
二、教学内容1. 理论知识：- 单级倒立摆系统的基本原理及数学模型；- 单级倒立摆系统的稳定性分析；- 控制策略及控制算法在单级倒立摆系统中的应用；- 传感器和执行器在单级倒立摆系统中的作用及选型。
2. 实践操作：- 搭建单级倒立摆实验系统；- 编写程序实现实时控制；- 调试优化控制参数；- 分析实验数据，提高系统性能。
3. 教学大纲：- 第一周：介绍单级倒立摆系统基本原理，学习数学模型，进行稳定性分析；- 第二周：学习控制策略及控制算法，探讨其在单级倒立摆系统中的应用；- 第三周：了解传感器和执行器，学习其在单级倒立摆系统中的作用及选型；- 第四周：分组搭建单级倒立摆实验系统，进行程序编写和实时控制；- 第五周：调试优化控制参数，分析实验数据，提高系统性能。
倒立摆系统的课程设计
倒立摆系统的课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能够理解倒立摆系统的基本概念，掌握其物理原理；2. 学生能够描述倒立摆系统的动态特性，了解系统稳定性与不稳定性的影响因素；3. 学生能够运用数学方法分析倒立摆系统的运动方程，并求解平衡条件。
技能目标：1. 学生能够运用物理知识建立倒立摆系统的数学模型；2. 学生能够通过实验观察和分析倒立摆系统的运动状态，并提出改进措施；3. 学生能够利用控制理论知识，设计简单的倒立摆稳定控制系统。
情感态度价值观目标：1. 学生对物理现象产生好奇心，培养探究科学问题的兴趣；2. 学生在小组合作中，学会沟通、协作，培养团队精神；3. 学生通过解决实际问题，体验科学研究的乐趣，增强自信心。
课程性质：本课程为物理学科选修课程，结合实际生活中的倒立摆现象，培养学生运用物理知识解决实际问题的能力。
学生特点：本课程面向高中二年级学生，他们已具备一定的物理知识和实验技能，具有较强的逻辑思维能力和动手操作能力。
教学要求：结合学生特点，注重理论与实践相结合，强调学生的主体地位，鼓励学生主动探究、合作学习，提高解决问题的能力。
通过本课程的学习，使学生能够将所学知识应用于实际问题的解决，培养创新精神和实践能力。
二、教学内容本课程教学内容主要包括以下几部分：1. 倒立摆系统基本概念：介绍倒立摆的定义、分类及在实际中的应用，如机器人、玩具等。
2. 倒立摆系统的物理原理：分析倒立摆系统的受力情况，探讨重力、摩擦力等对系统稳定性的影响。
3. 倒立摆系统的数学建模：引导学生运用牛顿运动定律、拉格朗日方程等方法建立倒立摆系统的数学模型。
4. 倒立摆系统的动态特性：研究系统在不同参数下的运动状态，分析稳定性与不稳定性的条件。
5. 倒立摆系统的控制方法：介绍PID控制、状态反馈控制等基本控制方法，并探讨其在倒立摆系统中的应用。
6. 实践操作：组织学生进行倒立摆实验，观察系统运动状态，分析实验结果，并提出改进措施。
倒立摆系统__实验设计报告
倒立摆系统__实验设计报告一、实验目的本实验旨在通过对倒立摆系统的研究与实验，探讨倒立摆的运动规律，并分析其特点和影响因素。
二、实验原理与方法1.实验原理倒立摆是指在重力作用下，轴心静止在上方的直立摆。
倒立摆具有自然的稳定性，能够保持在平衡位置附近，且对微小干扰具有一定的抵抗能力。
其本质是控制系统的一个重要研究对象，在自动控制、机器人控制等领域有广泛的应用。
2.实验方法（1）搭建倒立摆系统：倒立摆由摆杆、轴心和电机组成，摆杆在轴心上下运动，电机用于控制倒立摆的运动。
（2）调节电机控制参数：根据实验需要，调节电机的参数，如转速、力矩等，控制倒立摆的运动状态。
（3）记录数据：通过相机或传感器等手段，记录倒立摆的位置、速度、加速度等相关数据，用于后续分析。
（4）分析数据：根据记录的数据，分析倒立摆的运动规律、特点和影响因素，在此基础上进行讨论和总结。
三、实验步骤1.搭建倒立摆系统：根据实验需要，选取合适的材料和设备，搭建倒立摆系统。
2.调节电机参数：根据实验目的，调节电机的转速、力矩、控制信号等参数，使倒立摆能够在一定范围内保持平衡。
3.记录数据：利用相机或传感器等设备，记录倒立摆的位置、速度、加速度等相关数据。
4.分析数据：通过对记录的数据进行分析，研究倒立摆的运动规律和特点，并探讨影响因素。
5.总结讨论：根据实验结果，进行总结和讨论，对倒立摆的运动规律、特点和影响因素进行深入理解和探究。
四、实验设备与器材1.倒立摆系统搭建材料：包括摆杆、轴心、电机等。
2.记录数据设备：相机、传感器等。
五、实验结果与分析通过实验记录的数据，分析倒立摆的运动规律和特点，找出影响因素，并进行讨论和总结。
六、实验结论根据实验结果和分析，得出倒立摆的运动规律和特点，并总结影响因素。
倒立摆具有一定的稳定性和抵抗干扰的能力，在控制系统中具有重要的应用价值。
七、实验感想通过参与倒立摆系统的搭建和实验，深入了解了倒立摆的运动规律和特点，对控制系统有了更深刻的理解。
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五、实验内容和目的
1 PID控制器实物控制实验
ห้องสมุดไป่ตู้
① 了解self-erect问题的控制目的与实际 应用价值。 ② 利用数字倒立摆系统，通过PID控制器 对self-erect问题进行实物控制实验。 ③ 通过调整PID控制器的参数，使倒立摆 在竖起后保持稳定。 ④ 分析PID控制器各个参数对系统 稳定性 和响应过程的影响。
２、不确定性
主要是模型误差以及机械传动间隙， 各种阻力等，实际控制中一般通过减 少各种误差来降低不确定性，如通过 施加预紧力减少皮带或齿轮的传动误 差，利用滚珠轴承减少摩擦阻力等不 确定因素。
３、耦合性
倒立摆的各级摆杆之间，以及和运动 模块之间都有很强的耦合关系，在倒 立摆的控制中一般都在平衡点附近进 行解耦计算，忽略一些次要的耦合量。
六、控制器设计方法
控制器的设计是倒立摆系统等核心内容， 因为倒立摆是一个绝对不稳定的系统，为 使其保持稳定并且可以承受一定的干扰， 需要给系统设计控制器，目前典型的控制 器设计理论有：PID控制、根轨迹以及频率 响应法、状态空间法、最优控制理论、模 糊控制理论、神经网络控制、拟人智能控 制、鲁棒控制方法、自适应控制，以及这 些控制理论的相互结合组成更加强大的控 制算法。
三、倒立摆分类
倒立摆已经由原来的直线一级倒立摆扩展 出很多种类，典型的有直线倒立摆，环形 倒立摆，平面倒立摆和复合倒立摆等，倒 立摆系统是在运动模块上装有倒立摆装置， 由于在相同的运动模块上可以装载不同的 倒立摆装置，倒立摆的种类由此而丰富很 多。
按倒立摆的结构来分，有以下类型的倒立摆：
图 4 复合倒立摆
四、倒立摆的特性
虽然倒立摆的形式和结构各异，但所有的 倒立摆都具有以下的特性： １、非线性 ２、不确定性 ３、耦合性 ４、开环不稳定性 ５、约束限制
１、非线性
倒立摆是一个典型的非线性复杂系统， 实际中可以通过线性化得到系统的近 似模型，线性化处理后再进行控制。 也可以利用非线性控制理论对其进行 控制。倒立摆的非线性控制正成为一 个研究的热点。
1、直线一级倒立摆PID 控制实验
本实验的目的是让实验者理解并掌握 PID 控制的原理和方法，并应用于直 线一级倒立摆的控制，PID 控制并不 需要对系统进行精确的分析，因此我 们采用实验的方法对系统进行控制器 参数的设置。
平面倒立摆是在可以做平面运动的运动模块上装 有摆杆组件，平面运动模块主要有两类：一类是 XY 运动平台，另一类是两自由度SCARA 机械臂； 摆体组件也有一级、二级、三级和四级很多种。 如图 3 所示
图 3 平面倒立摆系列
４、复合倒立摆系列 复合倒立摆为一类新型倒立摆，由运动本体和摆 杆组件组成，其运动本体可以很方便的调整成三 种模式，一是2)中所述的环形倒立摆，还可以把 本体翻转90 度，连杆竖直向下和竖直向上组成托 摆和顶摆两种形式的倒立摆。 按倒立摆的级数来分：有一级倒立摆、两级倒立 摆、三级倒立摆和四级倒立摆，一级倒立摆常用 于控制理论的基础实验，多级倒立摆常用于控制 算法的研究，倒立摆的级数越高，其控制难度更 大，目前，可以实现的倒立摆控制最高为四级倒 立摆。
４、开环不稳定性
倒立摆的平衡状态只有两个，即在垂 直向上的状态和垂直向下的状态，其 中垂直向上为绝对不稳定的平衡点， 垂直向下为稳定的平衡点。
５、约束限制
由于机构的限制，如运动模块行程限 制，电机力矩限制等。为了制造方便 和降低成本，倒立摆的结构尺寸和电 机功率都尽量要求最小，行程限制对 倒立摆的摆起影响尤为突出，容易出 现小车的撞边现象。
１、直线倒立摆系列 直线倒立摆是在直线运动模块上装有摆体组件， 直线运动模块有一个自由度，小车可以沿导轨 水平运动，在小车上装载不同的摆体组件，可 以组成很多类别的倒立摆，直线柔性倒立摆和 一般直线倒立摆的不同之处在于，柔性倒立摆 有两个可以沿导轨滑动的小车，并且在主动小 车和从动小车之间增加了一个弹簧，作为柔性 关节。直线倒立摆系列产品如图 1 所示。
倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比较理想 的实验手段，为自动控制理论的教学、实验和科 研构建一个良好的实验平台，以用来检验某种控 制理论或方法的典型方案，促进了控制系统新理 论、新思想的发展。由于控制理论的广泛应用， 由此系统研究产生的方法和技术将在半导体及粳 米仪器加工、机器人控制技术、人工智能、导弹 拦截控制系统、航空对接控制技术、火箭发射中 的垂直度控制、卫星飞行中的姿态控制和一般工 业应用等方面具有广阔的利用开发前景。平面倒 立摆可以比较真实的模拟火箭的飞行控制和步行 机器人的稳定控制等方面的研究。
2 LQ控制器仿真实验
① 了解crane问题的控制目的。 ② 利用数字倒立摆系统中的MATLAB 工具箱进行仿真实验。 ③ 通过LQ (linear-quadratic)控制器对 crane问题对倒立摆模型进行仿真实验。 ④ 理解LQ控制器的原理和设计方法,分析控 制参数对系统稳定性和响应 过程的影响。
一 、查阅倒立摆相关文献
要求：
1 掌握单级倒立摆数学模型的建立过程 2 理解当前单级倒立摆的基本控制方法 3 了解倒立摆控制技术的现状和未来发展 趋势
二、倒立摆系统简介
倒立摆式机器人技术、控制理论、计算机控制等 多个领域，多种技术的有机结合，其被控系统本 身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦 合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象 对其进行研究。最初研究开始于二十世纪50年代， 麻省理工学院（MIT）的控制论专家根据火箭发 射助推器原理设计出一级倒立摆实验设备。近年 来，新的控制方法不断出现，人们试图通过倒立 摆这样一个典型的控制对象，检验新的控制方法 是否有较强的处理多变量、非线性和绝对不稳定 系统的能力，从而从中找出最优秀的控制方法。
图 1 直线倒立摆系列
２、环形倒立摆系列 环形倒立摆是在圆周运动模块上装有摆体组件， 圆周运动模块有一个自由度，可以围绕齿轮中心 做圆周运动，在运动手臂末端装有摆体组件，根 据摆体组件的级数和串连或并联的方式，可以组 成很多形式的倒立摆。如图 2所示。
图 2 环形倒立摆系列
３、平面倒立摆系列