一阶倒立摆控制系统
一阶倒立摆模糊控制实验报告
一阶倒立摆模糊控制实验报告一、实验目的本实验旨在通过模糊控制方法来控制一阶倒立摆系统，实现摆杆保持竖直的稳定控制。
二、实验原理1. 一阶倒立摆系统一阶倒立摆系统由一个垂直的支撑杆和一个在杆顶端垂直摆动的杆组成。
系统的输入为杆的控制力矩，输出为杆的角度。
系统的动力学方程可以表示为：Iθ''(t) + bθ'(t) + mgl sin(θ(t)) = u(t)其中，I为倒立摆的转动惯量，b为摩擦阻尼系数，θ为倒立摆的角度，m为倒立摆的质量，l为杆的长度，g为重力加速度，u为输入的控制力矩。
2. 模糊控制方法模糊控制方法是一种基于模糊逻辑的控制方法，通过将模糊集合与模糊规则相结合，构建模糊控制器来实现对系统的控制。
在本实验中，可以使用模糊控制器来实现倒立摆系统的稳定控制。
三、实验步骤1. 搭建实验平台，包括倒立摆系统、传感器和执行器。
2. 训练模糊控制器a. 定义模糊集合：根据角度误差和角速度误差定义模糊集合，并确定模糊集合的划分方式。
b. 构建模糊规则：根据经验或系统建模，确定模糊规则。
c. 设计模糊控制器：根据模糊集合和模糊规则，设计模糊控制器，包括模糊推理和模糊解模块。
d. 调整模糊控制器参数：根据系统响应实验，根据控制效果调整模糊控制器参数。
3. 实施模糊控制a. 读取传感器数据：获取倒立摆的角度和角速度数据。
b. 计算控制器输出：根据模糊控制器和传感器数据计算控制力矩的输出。
c. 执行控制器输出：将控制力矩作用在倒立摆上。
4. 监测系统响应：实时监测倒立摆的角度和角速度，判断控制效果。
5. 调整模糊控制器参数：根据实验监测结果，调整模糊控制器参数，以提高控制效果。
四、实验结果分析通过实验，我们可以观察到倒立摆系统在模糊控制下的稳定控制效果。
通过实时监测倒立摆的角度和角速度，可以验证控制器的性能。
实验结果可以通过绘制控制力矩输入和倒立摆角度响应曲线，以及观察系统的稳态误差来分析。
基于双闭环PID控制的一阶倒立摆控制系统设计
基于双闭环PID控制的一阶倒立摆控制系统设计一阶倒立摆是一种常见的控制系统，它由一个旋转臂和一个悬挂在旋转臂末端的摆杆组成。
控制目标是使摆杆保持垂直位置并保持在指定的角度范围内。
本文将基于双闭环PID控制设计一阶倒立摆控制系统，并对其进行详细的分析和讨论。
首先，我们需要明确控制系统的结构。
一阶倒立摆控制系统可以分为两个闭环：内环和外环。
内环用于控制旋转臂的角度，并将输出作为外环的输入。
外环用于控制摆杆的角度，并根据测量的摆杆角度和设定的目标角度来调整内环的输入。
在进行控制系统设计之前，我们需要先建立一阶倒立摆的数学模型。
假设倒立摆的质量集中在摆杆的一端，摆杆的长度为L，质量为m，摩擦系数为b，重力加速度为g。
通过应用牛顿第二定律，可以得到如下动力学方程：mL²θ¨ + bLθ˙ + mgLsinθ = u其中，θ是旋转臂的角度，u是旋转臂的扭矩。
为了简化方程，我们进行恒定参数修正和线性化处理，得到线性方程：θ¨ + 2ξωnθ˙ + ωn²θ = kru其中，ξ是阻尼比，ωn是无阻尼自然频率，kr是旋转臂的增益。
接下来，我们将按照以下步骤设计基于双闭环PID控制的一阶倒立摆控制系统：1.内环设计：-选择合适的内环闭环控制器类型。
对于一阶倒立摆，可以选择PID控制器。
-根据倒立摆的特性和性能要求，选择合适的PID参数。
可以使用试错法、经验法、系统辨识等方法进行参数调整。
-将PID控制器的输入设置为旋转臂角度误差，输出为旋转臂的扭矩。
2.外环设计：-选择合适的外环闭环控制器类型。
对于一阶倒立摆，可以选择PID控制器。
-根据倒立摆的特性和性能要求，选择合适的PID参数。
-将PID控制器的输入设置为摆杆角度误差，输出为旋转臂的角度设定值。
3.进行系统仿真和调试：-使用MATLAB等仿真工具建立一阶倒立摆的数学模型，并将设计的控制器与模型进行集成。
-调整控制器的参数，以满足性能指标和系统稳定性的要求。
一级倒立摆【控制专区】系统设计
基于双闭环PID控制的一阶倒立摆控制系统设计一、设计目的倒立摆是一个非线性、不稳定系统,经常作为研究比较不同控制方法的典型例子。
设计一个倒立摆的控制系统，使倒立摆这样一个不稳定的被控对象通过引入适当的控制策略使之成为一个能够满足各种性能指标的稳定系统。
二、设计要求倒立摆的设计要求是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。
当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。
实验参数自己选定，但要合理符合实际情况，控制方式为双PID控制，并利用MATLAB进行仿真，并用simulink对相应的模块进行仿真。
三、设计原理倒立摆控制系统的工作原理是：由轴角编码器测得小车的位置和摆杆相对垂直方向的角度，作为系统的两个输出量被反馈至控制计算机。
计算机根据一定的控制算法，计算出空置量，并转化为相应的电压信号提供给驱动电路，以驱动直流力矩电机的运动，从而通过牵引机构带动小车的移动来控制摆杆和保持平衡。
四、设计步骤首先画出一阶倒立摆控制系统的原理方框图一阶倒立摆控制系统示意图如图所示：分析工作原理，可以得出一阶倒立摆系统原理方框图：一阶倒立摆控制系统动态结构图下面的工作是根据结构框图，分析和解决各个环节的传递函数！1.一阶倒立摆建模在忽略了空气流动阻力，以及各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示，其中： M ：小车质量 m ：为摆杆质量 J ：为摆杆惯量 F ：加在小车上的力 x ：小车位置θ：摆杆与垂直向上方向的夹角 l ：摆杆转动轴心到杆质心的长度根据牛顿运动定律以及刚体运动规律，可知： （1） 摆杆绕其重心的转动方程为（2） 摆杆重心的运动方程为得sin cos ..........(1)y x J F l F l θθθ=-2222(sin ) (2)(cos ) (3)x y d F m x l d td F mg m l d t θθ=+=-（3）小车水平方向上的运动为22..........(4)x d xF F M d t-=联列上述4个方程，可以得出一阶倒立精确气模型：()()()()()()()2222222222222222sin .sin cos cos cos .sin cos .lg sin cos J ml F ml J ml m l g x J ml M m m l ml F m l M m m m l M m J ml θθθθθθθθθθθθ⎧+++-⎪=++-⎪⎨+-+⎪=⎪-++⎩式中J 为摆杆的转动惯量：32ml J =若只考虑θ在其工作点附近θ0=0附近（︒︒≤≤-1010θ）的细微变化，则可以近似认为：⎪⎩⎪⎨⎧≈≈≈1cos sin 02θθθθ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-+=++-+=2..2222..)(lg )()()(Mml m M J mlF m m M Mml m M J g l m F ml J x θθθ 若取小车质量M=2kg,摆杆质量m=1kg,摆杆长度2 l =1m,重力加速度取g=2/10s m ,则可以得 一阶倒立摆简化模型：....0.44 3.330.412x F F θθθ⎧=-⎪⎨⎪=-+⎩即 G 1(s)= ; G 2(s)=一阶倒立摆环节问题解决！2.电动机驱动器选用日本松下电工MSMA021型小惯量交流伺服电动机，其有关参数如下：222()0.4()12() 1.110()s F s s x s s s s θθ-⎧=⎪-⎪⎨-+⎪=⎪⎩驱动电压：U=0~100V 额定功率：PN=200W 额定转速：n=3000r/min 转动惯量：J=3×10-6kg.m2 额定转矩：TN=0.64Nm 最大转矩：TM=1.91Nm 电磁时间常数：Tl=0.001s 电机时间常数：TM=0.003s经传动机构变速后输出的拖动力为：F=0~16N ；与其配套的驱动器为：MSDA021A1A ，控制电压：UDA=0~±10V 。
一阶倒立摆控制系统设计matlab
一阶倒立摆控制系统设计matlab一、控制系统简介控制系统是指通过对某些物理系统或过程的改变以获取期望输出或行为的一种系统。
其中涉及到了对系统的建模、分析以及控制方法的选择和设计等多方面的问题。
控制系统可以通过标准的数学和物理模型来描述，并可以通过物理或者仿真实验进行验证。
本文将围绕一阶倒立摆控制系统设计和仿真展开。
主要内容包括：1.一阶倒立摆系统简介2.系统建模3.系统分析4.设计控制器5.仿真实验及结果分析一阶倒立摆(controlled inverted pendulum)是一种比较常见的控制系统模型。
它的系统模型简单，有利于系统学习和掌握。
一般而言，一阶倒立摆系统是由一个竖直的支杆和一个质量为$m$的小球组成的。
假设球只能在竖直方向上运动，当球从垂直平衡位置偏离时，支杆会向相反的方向采取动作，使得小球可以回到平衡位置附近。
为了控制一阶倒立摆系统，我们首先需要对其进行建模。
由于系统并不是非常复杂，所以建模过程相对简单。
假设支杆长度为$l$，支杆底端到小球的距离为$h$，支杆与竖直方向的夹角为$\theta$，小球的质量为$m$，地球重力为$g$，该系统的拉格朗日方程可以表示为：$L =\frac{1}{2}m\dot{h}^{2}+\frac{1}{2}ml^{2}\dot{\theta}^{2}-mgh\cos{\theta}-\frac{1}{2}I\dot{\theta}^{2}$$I$表示支杆的惯性矩，它可以通过支杆的质量、长度以及截面积等参数计算得出。
$h$和$\theta$分别表示小球和支杆的位置。
我们可以通过拉格朗日方程可以得出系统的动力学方程：$b$表示摩擦系数，$f_{c}$表示对支杆的控制力。
由于一阶倒立摆会发生不稳定的倾斜运动，即未受到外部控制时会继续倾斜。
我们需要对系统加上控制力，使得系统保持在稳定的位置上。
在进行控制器设计之前，我们需要对系统进行分析，以便更好地了解系统在不同条件下的特性表现。
基于双闭环PID控制的一阶倒立摆控制系统设计
自动控制原理课程设计说明书基于双闭环PID控制的一阶倒立摆控制系统设计姓名：学号：学院：专业：指导教师：2018年 1月目录1 任务概述 (3)1.1设计概述 (3)1.2 要完成的设计任务： (4)2系统建模 (4)2.1 对象模型 (4)2.2 模型建立及封装 (5)3仿真验证 (9)3.1 实验设计 (9)3.2 建立M文件编制绘图子程序 (9)4 双闭环PID控制器设计 (12)4.1内环控制器的设计 (13)4.2外环控制器的设计 (13)5 仿真实验 (15)5.1简化模型 (15)5.2 仿真实验 (17)6 检验系统的鲁棒性 (18)6．1 编写程序求系统性能指标 (18)6.2 改变参数验证控制系统的鲁棒性 (19)7 结论 (22)附录 (22)1 任务概述1.1设计概述如图1 所示的“一阶倒立摆控制系统”中，通过检测小车位置与摆杆的摆动角，来适当控制驱动电动机拖动力的大小，控制器由一台工业控制计算机(IPC)完成。
图1 一阶倒立摆控制系统这是一个借助于“SIMULINK封装技术——子系统”，在模型验证的基础上，采用双闭环PID控制方案，实现倒立摆位置伺服控制的数字仿真实验。
1.2 要完成的设计任务：(1)通过理论分析建立对象模型（实际模型），并在原点进行线性化，得到线性化模型；将实际模型和线性化模型作为子系统，并进行封装，将倒立摆的振子质量m和倒摆长度L作为子系统的参数，可以由用户根据需要输入；(2)设计实验，进行模型验证；(3)一阶倒立摆系统为“自不稳定的非最小相位系统”。
将系统小车位置作为“外环”，而将摆杆摆角作为“内环”，设计内化与外环的PID控制器；(4)在单位阶跃输入下，进行SIMULINK仿真;(5)编写绘图程序，绘制阶跃响应曲线，并编程求解系统性能指标：最大超调量、调节时间、上升时间；(6)检验系统的鲁棒性：将对象的特性做如下变化后，同样在单位阶跃输入下，检验所设计控制系统的鲁棒性能，列表比较系统的性能指标（最大超调量、调节时间、上升时间）。
一阶倒立摆系统模型分析状态反馈与观测器设计
一阶倒立摆系统模型分析状态反馈与观测器设计一阶倒立摆系统是控制工程中常见的一个具有非线性特点的系统，它由一个摆杆和一个质点组成，质点在摆杆上下移动，而摆杆会受到重力的作用而产生摆动，需要通过控制来实现倒立的功能。
以下是一阶倒立摆系统的模型分析、状态反馈与观测器设计的详细介绍。
一、系统模型分析:一阶倒立摆系统是一个非线性动力学系统，可以通过线性化的方式来进行模型分析。
在进行线性化之前，首先需要确定系统的状态变量和输入变量。
对于一阶倒立摆系统，可以将摆杆角度和质点位置作为状态变量，将水平推力作为输入变量。
在对系统进行线性化之后，可以得到系统的状态空间表达式:x_dot = A*x + B*uy=C*x+D*u其中，x是状态向量，u是输入向量，y是输出向量。
A、B、C和D是系统的矩阵参数。
二、状态反馈设计:状态反馈是一种常用的控制方法，通过测量系统状态的反馈信号，计算出控制输入信号。
在设计状态反馈控制器之前，首先需要确定系统的可控性。
对于一阶倒立摆系统，可以通过可控性矩阵的秩来判断系统是否是可控的。
如果可控性矩阵的秩等于系统的状态数量，则系统是可控的。
在确定系统可控性之后，可以通过状态反馈控制器来实现控制。
状态反馈控制器的设计可以通过选择适当的反馈增益矩阵K来实现。
具体的设计方法是，根据系统的状态空间表达式，将状态反馈控制器加入到系统模型中。
状态反馈控制器的输入是状态变量，输出是控制输入变量。
然后，通过调节反馈增益矩阵K的值，可以实现对系统的控制。
三、观测器设计:观测器是一种常用的状态估计方法，通过测量系统的输出信号，估计系统的状态。
在设计观测器之前，首先需要确定系统的可观性。
对于一阶倒立摆系统，可以通过可观性矩阵的秩来判断系统是否是可观的。
如果可观性矩阵的秩等于系统的状态数量，则系统是可观的。
在确定系统可观性之后，可以通过观测器来实现状态估计。
观测器的设计可以通过选择适当的观测增益矩阵L来实现。
具体的设计方法是，根据系统的状态空间表达式，将观测器加入到系统模型中。
一阶倒立摆控制系统设计
一阶倒立摆控制系统设计首先，设计一阶倒立摆控制系统需要明确系统的参数和模型。
一阶倒立摆通常由一个平衡杆和一个摆组成。
平衡杆的长度、摆的质量和位置等都是系统的参数。
根据平衡杆的转动原理和摆的运动方程，可以得到一阶倒立摆的数学模型。
接下来，根据系统的数学模型，进行系统的稳定性分析。
稳定性分析是判断一阶倒立摆控制系统是否能够保持平衡的重要步骤。
常用的稳定性分析方法有判据法和根轨迹法。
判据法通过计算特征方程的根来判断系统的稳定性，根轨迹法则通过特征方程的根随一些参数变化的路径来分析系统的稳定性。
在进行稳定性分析的基础上，选择合适的控制策略。
常见的控制策略有比例控制、积分控制和微分控制等。
比例控制通过将系统的输出与期望值之间的差异放大一定倍数来控制系统；积分控制通过积分系统误差来进行控制；微分控制通过对系统误差的微分来进行控制。
在选择控制策略时，需要考虑系统的动态响应、稳态误差和鲁棒性等指标。
在选定控制策略后，进行控制器的设计和参数调节。
控制器是实现控制策略的核心部分。
控制器可以是传统的PID控制器，也可以是现代控制理论中的模糊控制器、神经网络控制器等。
控制器的参数需要通过试探法、经验法或者系统辨识等方法进行调节，以使系统达到最佳的控制效果。
最后，进行实验验证和性能评估。
在实验中，需要将控制器与倒立摆系统进行连接，并输入一定的控制信号。
通过测量系统的输出响应和误差，可以评估控制系统的性能，并进行调整和改进。
综上所述，一阶倒立摆控制系统设计的步骤包括系统参数和模型确定、稳定性分析、控制策略选择、控制器设计和参数调节、实验验证和性能评估等。
在设计过程中，需要综合考虑系统的稳定性、动态响应和鲁棒性等因素，以实现一个稳定可靠、性能优良的一阶倒立摆控制系统。
一阶倒立摆控制设计与实现
一阶倒立摆控制设计与实现一阶倒立摆是一种常见的控制系统模型，它由一个垂直的支柱和一个质量为m 的物体组成，物体通过支柱与地面相连。
在控制系统中，我们需要设计一个控制器来控制物体的位置和速度，使其保持在垂直位置上。
本文将介绍一阶倒立摆控制设计与实现的相关内容。
一、一阶倒立摆模型一阶倒立摆模型可以用以下方程描述：m*d^2y/dt^2 = -mg*sin(y) + u其中，y是物体的位置，u是控制器的输出，m是物体的质量，g是重力加速度，t是时间。
该方程可以通过拉普拉斯变换转换为传递函数：G(s) = Y(s)/U(s) = 1/(ms^2 + mg)二、控制器设计为了控制一阶倒立摆，我们需要设计一个控制器来产生控制信号u。
常见的控制器包括比例控制器、积分控制器和微分控制器，它们可以组合成PID控制器。
在本文中，我们将使用比例控制器来控制一阶倒立摆。
比例控制器的输出与误差成正比，误差越大，输出越大。
比例控制器的传递函数为：Gc(s) = Kp其中，Kp是比例增益。
三、闭环控制系统将控制器和一阶倒立摆模型组合起来，得到闭环控制系统的传递函数：G(s) = Y(s)/R(s) = Kp/(ms^2 + mg + Kp)其中，R(s)是参考信号，表示我们期望物体保持的位置。
四、控制系统实现在实现控制系统之前，我们需要对一阶倒立摆进行建模和仿真。
我们可以使用MATLAB等工具进行建模和仿真。
在MATLAB中，我们可以使用Simulink模块来建立一阶倒立摆模型和控制器模型。
在建立模型之后，我们可以进行仿真，观察系统的响应和稳定性。
在实现控制系统时，我们需要选择合适的硬件平台和控制器。
常见的硬件平台包括Arduino和Raspberry Pi等，常见的控制器包括PID控制器和模糊控制器等。
在实现控制系统之后，我们需要进行调试和优化，以达到最佳控制效果。
五、总结本文介绍了一阶倒立摆控制设计与实现的相关内容，包括一阶倒立摆模型、控制器设计、闭环控制系统和控制系统实现。
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一阶直线倒立摆系统姓名：班级：学号：目录摘要 (3)第一部分单阶倒立摆系统建模 (4)（一）对象模型 (4)（二）电动机、驱动器及机械传动装置的模型 (6)第二部分单阶倒立摆系统分析 (7)第三部分单阶倒立摆系统控制 (11)（一）内环控制器的设计 (11)（二）外环控制器的设计 (14)第四部分单阶倒立摆系统仿真结果 (16)系统的simulink仿真 (16)摘要：该问题源自对于娱乐型”独轮自行车机器人”的控制，实验中对该系统进行系统仿真，通过对该实物模型的理论分析与实物仿真实验研究，有助于实现对独轮自行车机器人的有效控制。
控制理论中把此问题归结为“一阶直线倒立摆控制问题”。
另外，诸如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行中的姿态控制、海上钻井平台的稳定控制、飞机安全着陆控制等均涉及到倒立摆的控制问题。
实验中通过检测小车位置与摆杆的摆动角，来适当控制驱动电动机拖动力的大小，控制器由一台工业控制计算机（IPC）完成。
实验将借助于“Simulink封装技术——子系统”，在模型验证的基础上，采用双闭环PID控制方案，实现倒立摆位置伺服控制的数字仿真实验。
实验过程涉及对系统的建模、对系统的分析以及对系统的控制等步骤，最终得出实验结果。
仿真实验结果不仅证明了PID方案对系统平衡控制的有效性，同时也展示了它们的控制品质和特性。
第一部分单阶倒立摆系统建模（一） 对象模型由于此问题为”单一刚性铰链、两自由度动力学问题”，因此，依据经典力学的牛顿定律即可满足要求。
如图1.1所示，设小车的质量为0m ，倒立摆均匀杆的质量为m ，摆长为2l ，摆的偏角为θ，小车的位移为x ，作用在小车上的水平方向上的力为F ，1O 为摆杆的质心。
图1.1 一阶倒立摆的物理模型根据刚体绕定轴转动的动力学微分方程，转动惯量与角加速度乘积等于作用于刚体主动力对该轴力矩的代数和，则1）摆杆绕其重心的转动方程为sin cos y x l F J F l θθθ=-&& （1-1）2）摆杆重心的水平运动可描述为22(sin )x d F m x l dtθ=+ （1-2） 3）摆杆重心在垂直方向上的运动可描述为22(cos )y d F mg m l dtθ-= （1-3） 4）小车水平方向运动可描述为202x d x F F m dt-= （1-4）由式（1-2）和式（1-4）得20()(cos sin )m m x ml F θθθθ++⋅-⋅=&&&&& （1-5） 由式（1-1）、式（1-2）和式（1-3）得2()cos lgsin J ml ml x m θθθ++⋅=&&&& （1-6） 整理式（1-5）和式（1-6），得2222222220222022220()()sin sin cos ()()cos cos sin cos ()lgsin cos ()()J ml F lm J ml m l g x J ml m m m l ml F m l m m m m l m m J ml θθθθθθθθθθθθ⎧+++⋅-=⎪++-⎪⎨⋅+⋅-+⎪=⎪-++⎩&&&&&& （1-7） 因为摆杆是匀质细杆，所以可求其对于质心的转动惯量。
因此设细杆摆长为2l ，单位长度的质量为l ρ，取杆上一个微段dx ，其质量为l m dx ρ=，则此杆对于质心的转动惯量有23()2/3l l lJ dx x l l ρρ==-⎰杆的质量为 2l m l ρ=所以此杆对于质心的转动惯量有 23ml J = 由式（2-20）可见，一阶直线倒立摆系统的动力学模型为非线性微分方程组。
为了便于应用经典控制理论对该控制系统进行设计，必须将其简化为线性定常的系统模型。
若只考虑θ在其工作点00θ=附近（1010θ︒︒-<<）的细微变化，则可近似认为 20sin cos 1θθθθ⎧≈⎪≈⎨⎪≈⎩&在这一简化思想下，系统精确模型式（1-7）可简化为 2222000200()()()lg ()J ml F m l g x J m m mm l m m m mlF J m m mm l θθθ⎧+-=⎪++⎪⎨+-⎪=⎪++⎩&&&&若给定一阶直线倒立摆系统的参数为：小车的质量02m kg =；倒摆振子的质量1m kg =；倒摆长度20.6l m =；重力加速度取210/g m s =，则可得到进一步的简化模型为 0.44 3.330.412x F F θθθ=-⎧⎨=-+⎩&&&& (1-8) 上式为系统的”微分方程模型”，对其进行拉普拉斯变换可得系统的传递函数模型为 12222()0.4()()12() 1.110()()s G s F s s X s s G s s s θθ-⎧==⎪-⎪⎨-+⎪==⎪⎩（1-9） （二）电动机、驱动器及机械传动装置的模型假设：选用日本松下电工MSMA021型小惯量交流伺服电动机，其有关参数如下： 驱动电压：U=0~100V 额定功率：N P =200W额定转速：n=3000r/min 转动惯量：62310J kg m -=⨯⋅额定转矩：0.64N T N m =⋅ 最大转矩： 1.91M T N m =⋅电磁时间常数：l T =0.001s 电机时间常数：m T =0.003s经传动机构变速后输出的拖动力为：F=0~16N ；与其配套的驱动器为：MSDA021A1A ，控制电压：DA U =（0~±10）V 。
若忽略电动机的空载转矩和系统摩擦，就可以认为驱动器和机械传动装置均为纯比例环节，并假设这两个环节的增益分别为d K 和m K 。
对于交流伺服电动机，其传递函数可近似为12++s T s T T Kv m l m 由于是小惯性的电动机，其时间常数l T 、m T 相对都很小，这样可以进一步将电动机模型近似等效为一个比例环节v K 。
综上所述，电动机。
驱动器。
机械传动装置三个环节就可以合成为一个比例环节()d v m s G s K K K K == maxmax 16 1.610s F K U === 第二部分 单阶倒立摆系统分析尽管上述数学模型系经 机理建模得出，但其准确性（或正确性）还需运用一定的理论方法加以验证，以保证以其为基础的仿真实验的有效性。
采用仿真实验的方法在MATLAB 的Simulink 图形仿真环境下进行模型验证试验，其原理如图1.2所示。
其中，上半部分为精确模型仿真图，下半部分为简化模型仿真图。
图1.2 模型验证原理图利用Simulink 压缩子系统功能可将验证原理图更加简捷的表示为图1.3所示的形式。
其中，由得到的精确模型和简化模型的状态方程，可得到Fcn 、Fcn1、Fcn2和Fcn3的函数形式为:Fcn (0.12*u[1]+0.036*sin(u[3])*power(u[2],2)-0.9*sin(u[3])*cos(u[3]))/(0.24-0.09*power(cos(u[3]),2))(1):Fcn (0.3*cos(u[3])*u[1]+0.09*sin(u[3])*cos(u[3])*power(u[2],2)-6*sin(u[3]))/(0.09*power(cos(u[3]),2)-0.24)(2):Fcn0.8*u[1]-0.6*u[3]Fcn40*u[3]-2.0*u[1](3):图1.3 利用子系统封装后的框图θ==）初始状态下突加微小冲击力作用，则依据经假定使倒立摆在（0,0x验知，小车将向前移动，摆杆降倒下。
下面利用仿真实验来验证正确数学模型的这一必要性质。
编制绘图子程序：% Inverted pendulum% Model test in open loop% Singnals recuperation% 将导入到xy.mat中的仿真实验数据读出load xy.matt=signals(1,:); % 读取时间信号f=signals(2,:); % 读取作用力F信号x=signals(3,:); % 读取精确模型中的小车位置信号q=signals(4,:); % 读取精确模型中的倒立摆摆角信号xx=signals(5,:); % 读取简化模型中的小车位置信号qq=signals(6,:); % 读取简化模型中的倒立摆摆角信号% Drawing control and x (t) response signals% 画出在控制力的作用下的系统响应曲线% 定义曲线的横纵坐标、标题、坐标范围和曲线的颜色等特征figure (1) % 定义第一个图形hf=line (t,f(:)); % 连接时间-作用力曲线grid on;xlabel (‘Time (s)’) % 定义横坐标ylabel (‘Force （N）’) % 定义纵坐标axis ([0 1 0 0.12]) % 定义坐标范围axet=axes (‘position’，get (gca,‘position’),…‘XAxisLocation’,‘bottom’,…‘YAxisLocation’,’right’,’Color’,’None’,…‘XColor’,’k’,’YColor’,’k’）;% 定义曲线属性ht=line (t, x,’color’,’r’,’parent’, axet) ;% 连接时间-小车位置曲线ht=line (t, xx,’color’,’r’,’parent’, axet);% 连接时间-小车速度曲线ylabel (‘Evolution of the x position (m)’)% 定义坐标名称axis ([0 1 0 0.1]) % 定义坐标范围title (‘Response x and x’’ in the meter to a f (t) pulse of 0.1 N’) % 定义曲线标题名称gtext (‘\leftarrow f (t)’), gtext (‘x (t) \rightarrow’), …gtext(‘\leftarrow x’’ (t)’)% drawing control and theta (t) response singalsfigure (2)hf=line (t, f (:));grid onxlabel (‘Time’)ylabel (‘Force in N’)axis ([0 1 0 0.12])axet=axes (‘Position’, get (gca,’Position’),…‘XAxisLocation’,’bottom’,…‘YAxisLocation’,’right’,’Color’,’None’,…‘XColor’,’k’,’YColor’,’k’);ht=line (t, q,‘color’,’r’,’parent’,axet);ht=line (t, qq,’color’,’r’,’parent’,axet);ylabel (‘Angle evolution (red)’)axis ([0 1 -0.3 0])title（‘response \theta(t) and \theta’’(t) in rad to a f(t) pulse of 0.1 N’）gtext (‘\leftarrow f(t)’),gtext (‘\theta（t）\rightarrow’),gtext (‘\leftarrow \theta’’(t)’)执行该程序的结果如图1.4所示。