备战中考数学圆的综合综合练习题.docx

备战中考数学圆的综合综合练习题一、圆的综合1．如图， AB 是半圆的直径，过圆心O 作 AB 的垂线，与弦AC 的延长线交于点D，点 E 在OD上DCE B．（1）求证： CE是半圆的切线；（2）若 CD=10 ，tan B 2，求半圆的半径．3【答案】（ 1）见解析； (2) 4 13【解析】分析 : （ 1）连接 CO，由DCE B 且OC=OB,得 DCE OCB ,利用同角的余角相等判断出∠ BCO+∠ BCE=90°，即可得出结论；（2）设 AC=2x，由根据题目条件用x 分别表示出 OA、AD、 AB，通过证明△AOD∽ △ ACB，列出等式即可 .详解：（ 1）证明：如图，连接CO.∵AB 是半圆的直径，∴∠ ACB=90 °.∴∠ DCB=180 -°∠ACB=90 .°∴∠ DCE+∠ BCE=90. °∵O C=OB,∴∠ OCB=∠ B.∵DCE= B，∴∠ OCB=∠ DCE.∴∠ OCE=∠ DCB=90 .°∴OC⊥CE.∵OC 是半径，∴CE是半圆的切线.（2）解：设AC=2x，AC 2∵在 Rt△ ACB中，tanB,BC 3∴B C=3x.∴ AB2x 223x13x .∵OD⊥ AB,∴∠ AOD=∠ACB=90 .°∵∠ A=∠ A，∴△ AOD∽△ ACB.∴AC AO.AB AD113∵OA AB x ，AD=2x+10,22∴ 2x 113x. 213x2x10解得 x=8.∴OA 138 4 13. 2则半圆的半径为413 .点睛：本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形.2．如图，在△ ABP 中 ,C 是 BP 边上一点 ,∠PAC=∠ PBA,⊙ O 是△ABC 的外接圆 ,AD 是⊙O 的直径 ,且交 BP 于点 E.（1）求证： PA 是⊙ O 的切线；（2）过点 C 作 CF⊥ AD，垂足为点 F，延长 CF交 AB 于点 G，若 AG?AB=12，求 AC的长．【答案】（ 1）证明见解析（ 2）2 3【解析】试题分析：（ 1）根据圆周角定理得出∠ ACD=90°以及利用∠PAC=∠PBA得出∠CAD+∠PAC=90 进°而得出答案；（2）首先得出△ CAG∽ △ BAC，进而得出A C2=AG·AB，求出 AC 即可 .试题解析：（ 1）连接 CD,如图 ,∵AD 是⊙O 的直径 ,∴∠ ACD=90 ,°∴∠ CAD+∠ D=90 ，°∵∠ PAC=∠ PBA，∠ D=∠ PBA，∴∠ CAD+∠ PAC=90 ，°即∠ PAD=90°，∴PA⊥AD，∴PA 是⊙O 的切线；（2）∵ CF⊥ AD，∴∠ ACF+∠ CAF=90 ，°∠CAD+∠ D=90 ，°∴∠ ACF=∠ D，∴∠ ACF=∠ B，而∠ CAG=∠ BAC，∴△ ACG∽ △ABC，∴AC： AB=AG： AC，2∴AC =AG?AB=12，uuur3．在⊙ O 中，点 C 是AB上的一个动点 (不与点 A， B 重合 )，∠ ACB=120°，点 I 是∠ ABC 的内心， CI 的延长线交⊙ O 于点 D，连结 AD,BD．（1）求证： AD=BD．（2）猜想线段 AB 与 DI 的数量关系，并说明理由．（3）若⊙ O 的半径为 2，点 E， F 是?的三等分点，当点 C 从点 E 运动到点 F 时，求点 IAB随之运动形成的路径长．2 3【答案】（ 1）证明见解析；（2） AB=DI，理由见解析（3）9【解析】分析：（ 1）根据内心的定义可得CI 平分∠ ACB，可得出角相等，再根据圆周角定理，可证得结论；（2）根据∠ ACB=120°，∠ ACD=∠ BCD，可求出∠ BAD 的度数，再根据AD=BD，可证得△ABD 是等边三角形，再根据内心的定义及三角形的外角性质，证明∠ BID=∠ IBD，得出ID=BD，再根据 AB=BD，即可证得结论；（3）连接 DO，延长 DO 根据题意可知点I 随之运动形成的图形式以 D 为圆心， DI1为半径的弧，根据已知及圆周角定理、解直角三角形，可求出AD 的长，再根据点 E，F 是弧 AB ?的三等分点，△ ABD 是等边三角形，可证得∠ DAI1=∠ AI1D，然后利用弧长的公式可求出点I随之运动形成的路径长.详解：（ 1）证明：∵点 I 是∠ ABC的内心∴CI 平分∠ ACB∴∠ ACD=∠ BCD∴弧 AD=弧 BD∴AD=BD（2） AB=DI理由：∵ ∠ ACB=120°，∠ ACD=∠ BCD∴∠ BCD=× 120=60° °∵弧 BD=弧 BD∴∠ DAB=∠ BCD=60 °∵AD=BD∴△ ABD 是等边三角形，∴A B=BD，∠ ABD=∠ C∵I是△ABC的内心∴BI 平分∠ ABC∴∠ CBI=∠ ABI∵∠ BID=∠ C+∠ CBI，∠ IBD=∠ ABI+∠ABD∴∠ BID=∠ IBD∴I D=BD∵A B=BD∴A B=DI（3）解：如图，连接DO，延长 DO 根据题意可知点I 随之运动形成的图形式以 D 为圆心， DI1为半径的弧∵∠ ACB=120 ，°弧 AD=弧 BD∴∠ AED=∠ ACB=× 120=60° °∵圆的半径为2， DE 是直径∴D E=4，∠ EAD=90 °∴A D=sin∠ AED× DE= × 4=2∵点 E， F 是弧 AB ?的三等分点，△ABD是等边三角形，∴∠ ADB=60 °∴弧 AB 的度数为120 ，°∴弧 AM 、弧 BF 的度数都为为40 °∴∠ ADM=20 °=∠ FAB∴∠ DAI1=∠ FAB+∠DAB=80°∴∠ AI1D=180°-∠ ADM- ∠ DAI1 =180 °-20 °-80 °=80 °∴∠ DAI1=∠ AI1D∴A D=I1D=2∴弧 I1I2的长为：点睛：此题是一道圆的综合题，有一定的难度，熟记圆的相关性质与定理，并对圆中的弦、弧、圆心角、圆周角等进行灵活转化是解题关键，注意数形结合思想的渗透.4．四边形ABCD 的对角线交于点E，且AE＝ EC， BE＝ ED，以AD 为直径的半圆过点E，圆心为O．（1）如图①，求证：四边形ABCD 为菱形；（2）如图②，若 BC 的延长线与半圆相切于点F，且直径AD＝6，求弧AE 的长．【答案】（ 1）见解析；（2）【解析】π2试题分析：（ 1）先判断出四边形ABCD是平行四边形，再判断出AC⊥ BD 即可得出结论；（2）先判断出 AD=DC 且 DE⊥ AC，∠ ADE=∠ CDE，进而得出∠CDA=30°，最后用弧长公式即可得出结论．试题解析：证明：（ 1）∵四边形 ABCD的对角线交于点 E，且 AE=EC，BE=ED，∴四边形ABCD是平行四边形．∵以AD为直径的半圆过点E，∴∠ AED=90 °，即有 AC⊥BD，∴四边形 ABCD是菱形；（2）由（ 1）知，四边形 ABCD是菱形，∴ △ ADC为等腰三角形，∴ AD=DC 且 DE⊥ AC，∠ADE=∠ CDE．如图 2，过点 C 作 CG⊥AD，垂足为 G，连接 FO．∵ BF 切圆 O 于点 F，∴OF⊥ AD，且OF1 AD 3 ，易知，四边形CGOF为矩形，∴CG=OF=3．2在 Rt△ CDG中， CD=AD=6， sin∠ADC= CG=1，∴∠ CDA=30°，∴ ∠ ADE=15°．CD2?303连接 OE，则∠ AOE=2×∠ADE=30°，∴AE180．2点睛：本题主要考查菱形的判定即矩形的判定与性质、切线的性质，熟练掌握其判定与性质并结合题意加以灵活运用是解题的关键．5．如图，⊙ O 是△ABC 的外接圆， AC 为直径， BD＝ BA， BE⊥ DC 交 DC 的延长线于点E(1)求证： BE是⊙O 的切线(2)若 EC＝ 1， CD＝ 3，求 cos∠ DBA【答案】（ 1）证明见解析；（ 2）∠ DBA35【解析】分析：（ 1）连接 OB， OD，根据线段垂直平分线的判定，证得BF 为线段 AD 的垂直平分线，再根据直径所对的圆周角为直角，得到∠ ADC=90°，证得四边形 BEDF是矩形，即∠EBF=90 ，°可得出结论 .（2）根据中点的性质求出 OF 的长，进而得到 BF、DE、 OB、OD 的长，然后根据等角的三角函数求解即可 .详解：证明： (1) 连接 BO 并延长交AD 于 F，连接 OD∵BD＝BA， OA＝ OD∴B F 为线段 AD 的垂直平分线∵AC 为⊙O 的直径∴∠ADC＝90 °∵BE⊥DC∴四边形 BEDF为矩形∴∠ EBF＝90 °∴BE 是⊙O 的切线(2)∵ O、 F 分别为 AC、AD 的中点13∴OF＝CD＝2 2∵B F＝ DE＝ 1＋ 3＝ 43 5∴OB＝ OD＝42 23OF 23∴cos∠ DBA＝ cos∠ DOF＝OD 552点睛：此题主要考查了圆的切线的判定与性质，关键是添加合适的辅助线，利用垂径定理和圆周角定理进行解答，注意相等角的关系的转化.6．如图 1，在 Rt△ ABC中， AC=8cm， BC=6cm， D、 E 分别为边点 P 从点 A 出发，沿折线 AD﹣DE 运动，到点 E 停止，点 P 在AB、 BC 的中点，连结AD 上以 5cm/s 的速度运DE，动，在DE 上以1cm/s的速度运动，过点P 作 PQ⊥ AC于点Q，以PQ 为边作正方形PQMN．设点 P 的运动时间为t （ s）．（1）当点P 在线段DE 上运动时，线段DP 的长为 _____cm．（用含t 的代数式表示）（2）当正方形PQMN 与△ ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm2），求 S 与 t的函数关系式，并写出t 的取值范围．（3）如图 2，若点 O 在线段BC上，且 CO=1，以点 O 为圆心， 1cm 长为半径作圆，当点 P 开始运动时，⊙ O 的半径以0.2cm/s 的速度开始不断增大，当⊙ O 与正方形 PQMN 的边所在直线相切时，求此时的t 值．【答案】（ 1） t﹣ 1；（ 2）S=﹣3t 2+3t +3（1＜ t＜ 4）；（ 3） t=10s．83【解析】分析：（ 1）根据勾股定理求出 AB，根据 D 为 AB 中点，求出 AD，根据点 P 在 AD 上的速度，即可求出点 P 在 AD 段的运动时间，再求出点P 在 DP 段的运动时间，最后根据DE 段运动速度为 1cm/s ，即可求出 DP；（ 2）由正方形 PQMN 与△ ABC重叠部分图形为五边形，可知点P 在 DE上，求出 DP=t﹣1，PQ=3，根据 MN ∥BC，求出 FN 的长，从而得到FM 的长，再根据 S=S 梯形FMHD+S 矩形DHQP，列出S与t的函数关系式即可；（ 3）当圆与边 PQ 相切时，可求得r=PE=5﹣ t ，然后由 r 以 0.2cm/s 的速度不断增大，r=1+0.2t，然后列方程求解即可；当圆与MN 相切时， r =CM=8﹣ t=1+0.2t，从而可求得t 的值．详解：（ 1）由勾股定理可知： AB=AC2BC2=10．∵ D、 E 分别为 AB 和 BC的中点，11∴D E= AC=4， AD= AB=5，225∴点 P 在 AD 上的运动时间 = =1s，当点 P 在线段 DE上运动时， DP 段的运动时间为（t﹣51）s．∵DE段运动速度为 1cm/s ，∴ DP=（ t ﹣ 1）cm．故答案为 t ﹣1．（ 2）当正方形PQMN 与△ ABC重叠部分图形为五边形时，有一种情况，如下图所示．当正方形的边长大于DP 时，重叠部分为五边形，∴ 3＞ t ﹣ 1， t ＜ 4， DP ＞ 0， ∴ t ﹣ 1＞ 0， 解得： t ＞ 1， ∴1＜ t ＜ 4．∵ △DFN ∽△ABC ，∴DN =AC = 8 = 4．FNBC 6 3∵ DN=PN ﹣ PD ， ∴ DN=3﹣（ t ﹣ 1） =4﹣ t ，4 t 4，∴ FN=（34 t ）∴= 3 4，FN∴FM=3﹣ （34 t ） 3t4=，4S=S 梯形 FMHD +S 矩形 DHQP ，∴ S= 1 ×（3t+3） ×（ 4﹣t ） +3（ t ﹣ 1） =﹣ 3t 2 +3t+3（ 1＜t ＜4）．2 48（ 3）① 当圆与边 PQ 相切时，如图：当圆与 PQ 相切时， r=PE ，由（ 1）可知， PD=（ t ﹣ 1）cm ，∴ P E=DE ﹣ DP=4﹣（ t ﹣1） =（ 5﹣ t ） cm ．∵ r 以 0.2cm/s 的速度不断增大， ∴ r=1+0.2t ，10 ∴ 1+0.2t=5﹣ t ，解得： t= s ．3② 当圆与 MN 相切时， r=CM ．由（ 1）可知， DP=（ t﹣ 1）cm，则 PE=CQ=（ 5﹣ t） cm，MQ=3cm，∴MC=MQ+CQ=5﹣ t+3=（8﹣ t） cm，35∴1+0.2t=8﹣ t，解得： t=s．6∵ P 到 E 点停止，∴ t ﹣ 1≤4，即 t ≤5，∴ t=35s（舍）．6综上所述：当 t =10s 时，⊙O 与正方形 PQMN 的边所在直线相切．3点睛：本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了勾股定理、相似三角形的性质和判定、正方形的性质，直线和圆的位置关系，依据题意列出方程是解题的关键．7．如图，△ ABC 中，∠ A=45°， D 是 AC边上一点，⊙O 经过 D、 A、 B 三点， OD∥ BC．（1）求证： BC与⊙ O 相切；（2）若 OD=15， AE=7，求 BE的长．【答案】(1)见解析;(2)18.【解析】分析：（1）连接OB，求出∠ DOB 度数，根据平行线性质求出∠ CBO=90°，根据切线判定得出即可；（2）延长 BO 交⊙ O 于点 F，连接 AF，求出∠ ABF，解直角三角形求出BE．详解：（ 1）证明：连接OB．∵∠ A=45 ，°∴∠ DOB=90 ．°∵OD∥BC，∴∠ DOB+∠CBO=180 ．°∴∠ CBO=90 ．°∴直线 BC 是⊙O 的切线．（2）解：连接 BD．则△ ODB是等腰直角三角形，∴∠ ODB=45 ，°BD= OD=15 ，∵∠ODB=∠A，∠DBE=∠DBA，∴△ DBE∽ △ ABD，∴BD2=BE?BA，∴（ 15）2=（7+BE）BE，∴B E=18 或﹣ 25（舍弃），∴B E=18．点睛：本题考查了切线的判定，圆周角定理，解直角三角形等知识点，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键，题目综合性比较强，难度偏大．8．四边形 ABCD内接于⊙O，点 E 为 AD 上一点，连接AC，CB，∠ B=∠ AEC．（1）如图 1，求证： CE=CD；（2）如图 2，若∠ B+∠ CAE=120°，∠ ACD=2∠ BAC，求∠ BAD 的度数；（3）如图 3，在（ 2）的条件下，延长CE交⊙ O 于点 G，若 tan∠BAC= 5 3，EG=2，求11AE 的长．【答案】（ 1）见解析；（2） 60°；（ 3） 7.【解析】试题分析： (1)利用圆的内接四边形定理得到∠CED=∠ CDE.(2) 作 CH⊥ DE 于 H, 设∠ ECH=α，由（ 1）CE=CD，用α表示∠ CAE，∠BAC，而∠B AD=∠ BAC+∠ CAE.（ 3）连接 AG，作 GN⊥AC， AM⊥ EG，先证明∠CAG=∠ BAC，设NG=5 3 m，可得AN=11m，利用直角n AGM,n AEM，勾股定理可以算出m 的值并求出AE 长.试题解析：（1）解：证明：∵ 四边形ABCD内接于⊙O.∴∠ B+∠D=180 ，°∵∠ B=∠AEC，∴∠ AEC+∠ D=180 ，°∵∠ AEC+∠ CED=180 ，°∴∠ D=∠ CED，∴CE=CD．（2）解：作CH⊥ DE 于 H．设∠ ECH=α，由（ 1）CE=CD，∴∠ ECD=2α，∵∠ B=∠AEC，∠ B+∠ CAE=120 ，°∴∠ CAE+∠ AEC=120 ，°∴∠ ACE=180 ﹣°∠AEC﹣∠ ACE=60 °，∴∠ CAE=90 °﹣∠ ACH=90 ﹣°（ 60 °+α）=30 ﹣°α，∠A CD=∠ ACH+∠ HCD=60 +2°α，∵∠ ACD=2∠BAC，∴∠ BAC=30 °+α，∴∠ BAD=∠ BAC+∠ CAE=30 +°α+30 ﹣°α=60 ．°（ 3）解：连接 AG ，作 GN ⊥ AC ， AM ⊥ EG ，∵∠ CED=∠AEG ， ∠CDE=∠ AGE ， ∠ CED=∠ CDE ，∴∠ AEG=∠AGE ，∴ A E=AG ，1 ∴EM=MG=EG=1，2∴∠ EAG=∠ ECD=2 α，∴∠ CAG=∠ CAD+∠ DAG=30 ﹣°α+2α=∠ BAC ，∵ t an ∠ BAC=5 3，11∴设 NG=5 3 m ，可得 AN=11m ， AG= AG2AM 2=14m ，∵∠ ACG=60 ，°∴CN=5m ， AM=83 m ，MG= AG 2AM 2 =2m=1，∴m= 1 ，2∴CE=CDCG ﹣ EG=10m ﹣ 2=3，∴AE= AM 2EM 2= 221 +（43） =7．9．如图， AN 是 ⊙ M 的直径， NB ∥ x 轴， AB 交 ⊙M 于点 C ．（1）若点 A （ 0， 6）， N （ 0， 2）， ∠ ABN=30°，求点 B 的坐标；（2）若 D 为线段 NB 的中点，求证：直线CD 是⊙ M 的切线．【答案】 (1) B （， 2）． (2)证明见解析 .【解析】试题分析：（ 1）在 Rt△ ABN 中，求出AN、 AB 即可解决问题；（2）连接 MC， NC．只要证明∠MCD=90°即可试题解析：（ 1）∵ A 的坐标为（ 0，6）， N（ 0， 2），∴AN=4，∵∠ ABN=30 ，°∠ANB=90 ，°∴AB=2AN=8，NB=，∴由勾股定理可知：∴B（，2）．（2）连接 MC， NC∵AN 是⊙ M 的直径，∴∠ ACN=90 ，°∴∠ NCB=90 ，°在Rt△NCB中，D 为NB 的中点，∴CD= NB=ND，∴∠ CND=∠ NCD，∵MC=MN ，∴∠ MCN=∠ MNC，∵∠ MNC+∠ CND=90 ，°∴∠ MCN+∠ NCD=90 ，°即 MC⊥ CD．∴直线 CD 是⊙M 的切线．考点：切线的判定；坐标与图形性质．10．问题发现．(1)如图①， Rt△ ABC中，∠C＝90°， AC＝ 3，BC＝ 4，点 D 是AB 边上任意一点，则CD 的最小值为______．(2)如图②，矩形 ABCD中， AB＝ 3，BC＝ 4，点 M、点 N 分别在 BD、 BC上，求 CM+MN 的最小值．(3)如图 ③ ，矩形 ABCD 中， AB ＝ 3，BC ＝ 4，点 E 是 AB 边上一点，且 AE ＝ 2，点 F 是 BC 边上的任意一点，把 △BEF 沿 EF 翻折，点 B 的对应点为 G ，连接 AG 、 CG ，四边形 AGCD 的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF 的长度．若不存在，请说明理由．【答案】 (1) CD12 CMMN 的最小值为96 15;(2) .(3)2525【解析】试题分析：（ 1）根据两种不同方法求面积公式求解；（2 ）作 C 关于 BD 的对称点 C ，过C 作 BC 的垂线，垂足为 N ，求 C N 的长即可 ;(3) 连接 AC ，则S 四AGCDSV ADCS V ACG ， GB EB AB AE 3 2 1，则点 G 的轨迹为以 E 为圆心， 1为半径的一段弧．过E 作 AC 的垂线，与 ⊙ E 交于点 G ，垂足为 M ，由 VAEM ∽VACB 求得 GM 的值，再由S四边形AGCDS V ACDS V ACG 求解即可 . 试题解析：（ 1）从 C 到 AB 距离最小即为过 C 作 AB 的垂线，垂足为D ，CD ABAC BC S VABC，22∴ CDAC BC3 4 12AB5，5（ 2 ）作 C 关于 BD 的对称点 C ，过 C 作 BC 的垂线，垂足为N ，且与 BD 交于 M ，则 CMMN 的最小值为 C N 的长，设CC 与BD 交于 H ，则 CHBD ，∴ VBMC ∽VBCD ，且 CH12 ，5 ∴ CCBBDC ， CC24 ，5∴ VC NC ∽VBCD ，∴CC BC24 496 ， C N5BD525即 CMMN 的最小值为96．25（ 3）连接 AC ，则 S 四 AGCDSV ADCSV ACG，GB EB AB AE 3 2 1，∴点 G 的轨迹为以 E 为圆心， 1为半径的一段弧． 过 E 作 AC 的垂线，与 ⊙ E 交于点 G ，垂足为 M ，∵ VAEM ∽VACB ，EMAE，∴ACBC∴ EMAE BC24 8 AC5，5∴ GMEM EG8 1 3 ，55∴S四边形AGCDSV ACDS V ACG ，1 3 4 1 5 3 ，2 2 515．2【点睛】本题考查圆的综合题、最短问题、勾股定理、面积法、两点之间线段最短等知识，解题的关键是利用轴对称解决最值问题，灵活运用两点之间线段最短解决问题．11． 如图， AB 是 ⊙ O 的直径，弦 ?E 是 CD 中点，连接BC ＝ OB ，点 D 是 AC 上一动点，点BD 分别交 OC ， OE 于点 F ， G ． （1）求 ∠ DGE 的度数；（2）若CF＝1，求BF的值；OF2GF（3）记△ CFB，△ DGO 的面积分别为CF＝ k，求S1的值．（用含k 的式子表S1， S2，若S2OF示）【答案】 (1)∠ DGE＝ 60°； (2) 7；(3)S1= k 2k 1 . 2S2k1【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，同弧所对的圆心角和圆周角的关系，可以求得∠DGE的度数；（2）过点 F 作 FH⊥AB 于点 H 设 CF＝ 1，则 OF＝2， OC＝ OB＝3,根据勾股定理求出 BF 的长度，再证得△ FGO∽ △ FCB，进而求得BF的值；GF（3）根据题意，作出合适的辅助线，然后根据三角形相似、勾股定理可以用含k 的式子表示出S1的值．S2【详解】解： (1)∵ BC＝ OB＝ OC，∴∠ COB＝60 °，∴∠ CDB＝1∠COB＝30 °，2∵OC＝ OD，点 E 为 CD 中点，∴OE⊥CD，∴∠ GED＝ 90 °，∴∠ DGE＝ 60 °；(2)过点 F 作 FH⊥ AB 于点 H设 CF＝ 1，则 OF＝ 2，OC＝ OB＝3∵∠ COB＝ 60 °1∴OH＝OF＝ 1，2∴HF＝ 3 OH＝ 3 ，HB＝OB﹣OH＝2，在 Rt△ BHF 中， BF HB2HF27 ，由 OC＝ OB，∠ COB＝ 60°得：∠ OCB＝60°，又∵ ∠ OGB＝∠ DGE＝ 60°，∴∠ OGB＝∠ OCB，∵∠ OFG＝∠ CFB，∴△ FGO∽△ FCB，OF GF∴，BF CF2∴GF=，7BF 7∴= .GF 2(3)过点 F 作 FH⊥ AB 于点 H，设 OF＝ 1，则 CF＝ k， OB＝ OC＝ k+1，∵∠ COB＝ 60 °，∴OH＝1OF=1 ，22∴HF＝30H 3，HB＝ OB﹣OH＝k+1 ，22在 Rt△ BHF 中，BF＝HB 2HF2k 2k 1，由(2) 得：△ FGO∽△ FCB，GO OF GO∴BF，即k 1CB∴GOk1k 2，k 1过点 C 作 CP⊥BD于点 P ∵∠ CDB＝ 30 °1k2k1，1∴PC＝CD，2∵点 E是 CD中点，1∴DE＝CD，2∴PC＝ DE，∵DE⊥ OE，S1BF k 2k1k 2k 1∴==k1=1 S2GOk 2k1k【点睛】圆的综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形相似和勾股定理、数形结合的思想解答．12．如图，在Rt△ ABC中， C90 ，AD平分∠ BAC BC于点D，点O在AB上，，交⊙O 经过 A、 D 两点，交 AC于点 E，交 AB 于点 F．（1）求证： BC是⊙ O 的切线；（2）若⊙O 的半径是 2cm， E 是弧 AD 的中点，求阴影部分的面积（结果保留π和根号）【答案】（ 1）证明见解析（ 2）23 3【解析】【分析】（1）连接 OD，只要证明 OD∥ AC即可解决问题；（2）连接 OE，OE 交 AD 于 K．只要证明△AOE是等边三角形即可解决问题．【详解】（1）连接 OD．∵OA=OD，∴∠ OAD=∠ ODA．∵∠ OAD=∠ DAC，∴ ∠ODA=∠ DAC，∴ OD∥ AC，∴∠ ODB=∠ C=90 °，∴ OD⊥BC，∴ BC 是⊙O 的切线．（2）连接 OE，OE 交 AD 于 K．∵ ??，∴OE⊥ AD．AE DE∵∠ OAK=∠ EAK， AK=AK，∠ AKO=∠ AKE=90 ，°∴ △ AKO≌ △ AKE，∴AO=AE=OE，∴△ AOE是等边三角形，∴ ∠AOE=60° ∴ S 阴=S 扇形OAE S△60223222，﹣AOE4 3 ．3603【点睛】本题考查了切线的判定、扇形的面积、等边三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．13．如图，在 Rt△ ABC中，点 O 在斜边 AB 上，以 O 为圆心， OB 为半径作圆，分别与BC， AB 相交于点 D，E，连接 AD．已知∠ CAD＝∠ B．（1）求证： AD 是⊙ O 的切线；（2）若 CD＝2，AC＝ 4， BD＝ 6，求⊙ O 的半径．【答案】（ 1）详见解析；（2）35. 2【解析】【分析】(1)解答时先根据角的大小关系得到∠1＝∠ 3，根据直角三角形中角的大小关系得出OD⊥AD ，从而证明AD 为圆 O 的切线； (2) 根据直角三角形勾股定理和两三角形相似可以得出结果【详解】（1）证明：连接OD，∵OB＝ OD，∴∠ 3＝∠B，∵∠ B＝∠1，∴∠ 1＝∠3，在 Rt△ ACD中，∠ 1+∠2＝ 90°，∴∠ 4＝ 180 ﹣°（∠2+∠ 3）＝ 90 °，∴OD⊥ AD，则 AD 为圆 O 的切线；（2）过点 O 作 OF ⊥ BC ，垂足为 F ，∵OF ⊥ BD1 ∴ D F ＝ BF ＝ BD ＝ 32∵AC ＝ 4， CD ＝ 2， ∠ ACD ＝90 °∴AD ＝AC 2 CD 2 ＝2 5∵∠ CAD ＝ ∠ B ， ∠ OFB ＝ ∠ACD ＝ 90 °∴△ BFO ∽ △ ACDBFOB∴=ACAD即3=OB 42 5∴OB ＝352∴⊙O 的半径为35．2【点睛】此题重点考查学生对直线与圆的位置关系，圆的半径的求解，掌握勾股定理，两三角形相似的判定条件是解题的关键14． 在 △ ABC 中，连 PA,PB ,PC ．（1）如图 1,已知，ACB 900 , BAC 600 ， AC=2， P 为 △ ABC 所在平面内一点，分别APB BPC APC ，以 A 为旋转中心，将 APB 顺时针旋转60 度，得到AMN .① 请画出图形，并求证： C 、 P 、 M 、N 四点在同一条直线上；② 求 PA+PB+PC 的值 .（2）如图 2，如果点P 满足BPC 900，设Q为AB边中点，求PQ 的取值范围 .【答案】（ 1）①详见解析；②；（）31PQ 3 1且PQ 2；2【解析】【分析】（1）①欲证明 C、P、M 、 N 四点在同一条直线上，只要证明∠ APC+∠APM=180°，∠AMN+ ∠ AMP=180 °即可；②只要证明 PA+PB+PC=PC+PM+MN=CN，在 Rt△ CBN 中，利用勾股定理求出 NC 即可；（2）如图 2 中，由∠ BPC=90°，推出点 P 在以 BC为直径的圆上（ P 不与 B、 C 重合），设BC 的中点为O，作直线OQ 交⊙O 与 P 和 P′，可得 PQ 的最小值为 3 -1，PQ的最大值为3+1， PQ≠2，由此即可解决问题；【详解】（1）①证明：如图，∵△ APB≌ △AMN ，△ APM 是等边三角形，∴∠ APM=∠ APM=60 ，°∵∠ APB=∠ BPC=∠ APC=120 ，°∴∠ APB=∠ BPC=∠ APC=∠AMN=120 °，∴∠ APC+∠APM=180 ，°∠ AMN+∠ AMP=180 ，°∴C、 P、M 、 N 四点在同一条直线上；②解：连接 BN ,易得ABN 是等边三角形∴∠ ABN=60 ，°∵∠ABC=30 ，°∴∠ NBC=90 ，°∵A C=2，∴A B=BN=4， BC=2 3，∵PA=PM， PB=MN，∴PA+PB+PC=PC+PM+MN=CN，在 Rt△ CBN中， CN=BC2BN2 2 7，∴P A+PB+PC=2 7．(2)如图 2中，∵∠ BPC=90 ，°∴点 P 在以 BC 为直径的圆上（P 不与 B、 C 重合），设 BC的中点为O，作直线OQ 交⊙ O 与 P 和 P′，可得 PQ 的最小值为 3 -1，PQ的最大值为 3 +1，PQ≠2，∴3 -1≤ PQ≤3 +1 且 PQ≠2．PQ的取值范围是 3 1 PQ 3 1且 PQ2【点睛】本题考查几何变换综合题、等边三角形的性质和判定、全等三角形的性质、勾股定理、圆的有关知识等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．15．已知 AB 是半圆 O 的直径，点C在半圆 O 上.(1)如图 1，若 AC＝ 3，∠ CAB＝ 30°，求半圆O的半径；(2)如图 2，M 是BC?的中点， E 是直径 AB 上一点， AM 分别交 CE，BC 于点 F， D. 过点 F 作FG∥AB 交边 BC 于点 G，若△ ACE与△ CEB相似，请探究以点 D 为圆心， GB 长为半径的⊙ D与直线 AC 的位置关系，并说明理由 .【答案】（ 1）半圆 O 的半径为 3 ；（2）⊙ D 与直线 AC 相切，理由见解析【解析】试题分析： (1)依据直径所对的圆周角是直角可得∠ C＝90°,2再依据三角函数即可求解;(2)依据△ ACE与△ CEB相似证出∠ AEC＝∠ CEB＝ 90°,再依据 M 是?的中点,证明CF＝CD,过BC点 F 作 FP∥GB 交于 AB 于点 P, 证出△ ACF≌ △ APF,得出 CF=FP,再证四边形 FPBG是平行四边形,得到 FP＝ GB 从而 CD＝GB,点 D 到直线 AC 的距离为线段 CD 的长 . 试题解析：（1）∵ AB 是半圆 O 的直径，∴ ∠C＝90 °．AC在 Rt△ ACB中， AB＝＝cos CAB 3cos30＝23 ．∴OA＝3（2）⊙D 与直线 AC 相切 .理由如下：由（ 1）得∠ ACB＝ 90°．∵ ∠AEC＝∠ ECB＋∠ 6，∴ ∠AEC＞∠ ECB，∠ AEC＞∠6．∵ △ACE与△ CEB相似，∴ ∠AEC＝∠ CEB＝ 90 °．在 Rt△ ACD， Rt△AEF 中分别有∠1＋∠ 3＝ 90 °，∠2＋∠ 4＝ 90 °．∵M 是BC ?的中点，∴ ∠COM＝∠ BOM．∴ ∠1＝∠2，∴ ∠3＝∠4．∵∠4＝∠ 5，∴ ∠3＝∠5．∴CF＝ CD．过点 F 作 FP∥ GB 交于 AB 于点 P，则∠ FPE＝∠6．在 Rt△ AEC， Rt△ACB中分别有∠CAE＋∠ ACE＝ 90 °，∠ CAE＋∠ 6＝ 90 °．∴ ∠ACE＝∠ 6＝∠FPE．又∵ ∠ 1＝∠2， AF＝AF，∴ △ACF≌ △APF．∴CF＝ FP．∵FP∥ GB， FG∥ AB，∴四边形 FPBG是平行四边形．∴FP＝ GB．∴CD＝GB．∵CD⊥AC，∴点 D 到直线 AC 的距离为线段 CD的长∴⊙D 与直线 AC 相切 .。