2015中考数学分类汇编圆综合题学生版
2015中考数学复习——专题 圆 含答案 整理
专题圆一.解答题1．（2012年，肇庆）（本小题满分10分）如图7，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，连结BE、AD交于点P. 求证：（1）D是BC的中点；（（2.（（1A、BⅡ（2°，BC=23．（2012年，苏州）如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x（2＜x＜4）．（1）当x=时，求弦PA、PB的长度；（2）当x为何值时，PD•CD的值最大？最大值是多少？4.（2012年，佛山）如图，直尺、三角尺都和圆O相切，AB=8cm ．求圆O的直径．C5．（2012武汉）在锐角三角形ABC中，BC=4，sinA=，（1）如图1，求三角形ABC外接圆的直径；（2）如图2，点I为三角形ABC的内心，BA=BC，求AI的长．6．（2012张家界）如图，⊙O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2，过点C作⊙O的切线DC，P点为优弧上一动点（不与A．C重合）．（1）求∠APC与∠ACD的度数；（2）当点P移动到CB弧的中点时，求证：四边形OBPC是菱形．（3）P点移动到什么位置时，△APC与△ABC全等，请说明理由．7．（2012南昌）已知，纸片⊙O的半径为2，如图1，沿弦AB折叠操作．（1）①折叠后的所在圆的圆心为O′时，求O′A的长度；②如图2，当折叠后的经过圆心为O时，求的长度；③如图3，当弦AB=2时，求圆心O到弦AB的距离；（2）在图1中，再将纸片⊙O沿弦CD折叠操作．①如图4，当AB∥CD，折叠后的与所在圆外切于点P时，设点O到弦AB．CD的距离之和为d，求d的值；②如图5，当AB与CD不平行，折叠后的与所在圆外切于点P时，设点M为AB的中点，点N为CD的中点，试探究四边形OMPN的形状，并证明你的结论．8．（2012•济宁）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC、BC．（1）猜想：线段OD与BC有何数量和位置关系，并证明你的结论．（2）求证：PC是⊙O的切线．.9．（2012•德阳）如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作⊙O的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交AB的延长线于G．（1）求证：AE•FD=AF•EC；（2）求证：FC=FB；（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径r的长．10．（2012宜宾）如图，⊙O1、⊙O2相交于P、Q两点，其中⊙O1的半径r1=2，⊙O2的半径r2=．过点Q作CD⊥PQ，分别交⊙O1和⊙O2于点C．D，连接CP、DP，过点Q任作一直线AB交⊙O1和⊙O2于点A．B，连接AP、BP、AC．DB，且AC与DB的延长线交于点E．（1）求证：；（2）若PQ=2，试求∠E度数．11．（2012•资阳）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连接EP、CP、OP．（1）BD=DC吗？说明理由；（2）求∠BOP的度数；（3）求证：CP是⊙O的切线；如果你解答这个问题有困难，可以参考如下信息：为了解答这个问题，小明和小强做了认真的探究，然后分别用不同的思路完成了这个题目．在进行小组交流的时候，小明说：“设OP交AC于点G，证△AOG∽△CPG”；小强说：“过点C作CH⊥AB于点H，证四边形CHOP是矩形”．12．并13.14．（、O2．答案1.（本小题满分10分）证明：（1）∵AB是直径∴∠ADB=90°即AD⊥BC（1分）又∵AB=AC∴D是BC的中点（3分）（2）在△BEC与△ADC中，∵∠C=∠C∠CAD=∠CBE（5分）∴△BEC ∽△ADC （6分） （3）∵△BEC ∽△ADC ∴CEBCCD AC = 又∵D 是BC 的中点 ∴2BD=2CD=BC ∴CEBD BD AC 2= 则 CE AC BD ⋅=22 ① （7分） 在△BPD 与 △ABD 中， 有 ∠BDP=∠BDA=，即∵PC=∴PA=，PA=，=4.解析：连接OA 、OB ，∠CAB=1800-600=1200∵AB 、AC 与圆O 相切， ∴OA 平分∠CAB 即∠OAB=21∠CAB=600 BO ┴AB∵AB=8cm ∠OBA= 900∴OA=16cm8cm∴根据勾股定理OB=3考查知识：切线长定理、勾股定理。
2015年中考数学总复习专题5 圆的综合题综述
圆心的连线的长度等于半径即可(简记为“作垂线，证相等”)．
专题五 圆的综合题 【解题思路】
专题五 圆的综合题
解：(1)∵△OPC 的边长 OC 是定值， ∴当 OP⊥OC 时，OC 边上的高取最大值，
在 Rt△PCE 中， ∵PC2＝CE2＋PE2，
∴x2＝(4－x)2＋22， 解得 x＝52，
∴BC＝CE＝4－52＝32.
1
1
∵2OB·BC＝2OC·BD，
即12×2×32＝12×52×BD，
6 ∴BD＝5， ∴OD＝ OB2－BD2 ＝
4－3265＝85，
由点 B 在第四象限可知点 B 的坐标为85，－65.
∴sin∠OCP ＝OOPC ＝12，
∴∠OCP＝30°.
专题五 圆的综合题 (3)证明：连接AP，BP. ∵∠AOP＝∠DOB， ∴AP＝DB. ∵CP＝DB， ∴AP＝PC， ∴∠A＝∠C. ∵∠A＝∠D， ∴∠C＝∠D. ∵OC＝PD＝4，PC＝DB，
∴△OPC≌△PBD， ∴∠OPC＝∠PBD. ∵PD是⊙O的直径， ∴∠PBD＝90°， ∴∠OPC＝90°， ∴OP⊥PC. 又∵OP是⊙O的半径， ∴CP是⊙O的切线．
专题五 圆的综合题
【点拨交流】
1．本题考查了哪些知识？解题的关键是什么？ 本题综合考查了圆的有关性质、切线的性质与判定、解直
角三角形等知识．解题的关键是掌握有关性质和判定方法，能 添加辅助线解题．
2．满足什么条件时，△OPC的面积最大？ 把OC当作△OPC的底，其为定值4，要使△OPC的面积最大，
(1)求证：PA是⊙O的切线； (2)求点B的坐标； (3)求直线AB所对应的函数解析式．
2015年中考数学试卷分类汇编圆(1)
2015中考数学真题分类汇编：圆（1）一.选择题（共30小题）1. （ 2015?大庆）在O O 中，圆心O 到弦AB 的距离为AB 长度的一半，则弦 AB 所对圆心角的大小为（）A. 30 ° B . 45 ° C . 60 ° D . 90 ° 2.（ 2015?玉林）如图，在O O 中，直径CD 丄弦AB ,则下列结论中正确的是（）4. （ 2015?泰安）如图，O O 是△ABC 的外接圆，/ B=60° O O 的半径为4,贝V AC 的A. 4 ■:B . 6 ■:C . 2 ■:D. 85.（2015?台湾）如图，AB 为圆O 的直径，BC 为圆O 的一弦，自O 点作BC 的垂线, 且交BC 于D 点.若AB=16, BC=12，贝V △OBD 的面积为何？（ ）A . A C=AB B .厶 C= BO DC .厶 C=Z BD .厶 A=Z BO D(A . CE=DEB .AE=OE C .： ‘=丨| D . △OCEODEA. 6B. 12C. 15D. 306. （2015?遂宁）如图，在半径为5cm的O O中，弦AB=6cm, OC丄AB于点C,贝V OC=7. （2015?潍坊）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm,水的最大深度是2cm，则杯底有水部分的面积是（）A. （ "n— 4 二）cm2B. （ "'n—8 二）cm2C. （ ' n-4 二）cm2D. （： n-3 3 3 32 '；） cm2& （2015?兰州）如图，已知经过原点的O P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则/ ACB=（）100 °.无法确定9. （2015?酒泉）△ABC为O O的内接三角形，若/AOC=160。
江苏省13市2015年中考数学试题分类解析汇编专题12：圆的问题
江苏省13市2015年中考数学试题分类解析汇编（20专题）专题12：圆的问题1. （2015年江苏南京2分）如图，在矩形ABCD 中，AB =4，AD =5，AD 、AB 、BC 分别与⊙O 相切于E 、F 、G 三点，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点M ，则DM 的长为【 】A.133 B. 92 C.D. 【答案】A.【考点】矩形的性质；切线的性质；正方形的判定和性质；切线长定理；勾股定理；方程思想的应用.【分析】如答图，连接,,OE OF OG ，则根据矩形和切线的性质知，四边形,AEOF FOGB 都是正方形. ∵AB =4，∴2AE AF BF BG ====. ∵AD =5，∴3DE DN ==.设GM=NM=x ，则3,3CM BC BG GM x DM DN NM x =--=-=+=+ .在Rt CDM ∆中，由勾股定理得：222DM CD CM =+，即()()222343 x x +=+-，解得，43x =. ∴133DM =． 故选A.2. （2015年江苏苏州3分）如图，AB 为⊙O 的切线，切点为B ，连接AO ，AO 与⊙O 交于点C ，BD 为⊙O 的直径，连接CD ．若∠A =30°，⊙O 的半径为2，则图中阴影部分的面积为【 】A ．43π B ．43π- C ．π D ．23π- 【答案】A ．【考点】切线的性质；三角形外角性质；垂径定理；三角形和扇形面积的计算；转换思想的应用. 【分析】如答图，过O 点OH ⊥CD 作于点H ，∵AB 为⊙O 的切线，∴OB ⊥AB ，即∠OBA =90°. 又∵∠A =30°，∴∠COD =120°. 在△ODH 中，∵∠ODH =30°，OD=2，∴1,OH DH =∴2120214136023OCD OCD S S S ππ∆⋅⋅=-=-⋅=阴影部分扇形故选A ．3. （2015年江苏扬州3分）如图，若锐角△ABC 内接于⊙O ，点D 在⊙O 外（与点C 在AB 同侧）， 则下列三个结论：①D C ∠>∠sin sin ；②D C ∠>∠cos cos ；③D C ∠>∠tan tan 中，正确的结论为【 】A. ①②B. ②③C. ①②③D. ①③ 【答案】D.【考点】圆周角定理；三角形外角性质；锐角三角函数的性质.【分析】如答图，设AD 与⊙O 相交于点E ，连接BE .∵,>C AEB AEB D ∠=∠∠∠ ，∴>C D ∠∠.∵正弦、正切函数值随锐角的增大而增大，余弦函数值随锐角的增大而减小， ∴sin sin C D ∠>∠， cos <cos C D ∠∠， tan tan C D ∠>∠. ∴正确的结论为①③. 故选D.4. （2015年江苏淮安3分）如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，若70A ∠=︒，则∠C 的度数是【 】A. 100°B. 110°C. 120°D. 130° 【答案】B.【考点】圆内接四边形的性质.【分析】∵四边形ABCD 是圆O 的内接四边形， 70A ∠=︒，∴根据圆内接四边形对角互补的性质，得110C ∠=︒. 故选B.5. （2015年江苏南通3分）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，弦AD 平分∠BAC ，交BC 于点E ，AB =6，AD =5，则AE 的长为【 】A. 2.5B. 2.8C. 3D. 3.2 【答案】B.【考点】圆周角定理；勾股定理；相似三角形的判定和性质. 【分析】如答图，连接BD 、CD ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB =90°.∴BD∵弦AD 平分∠BAC ，∴CD =BD ∴∠CBD =∠DAB .在△ABD 和△BED 中，∵∠BAD =∠EBD ，∠ADB =∠BDE ，∴△ABD ∽△BED . ∴DE DBDB AD =1155DE =⇒=. ∴115 2.85AE AB DE =-=-=． 故选B.1. （2015年江苏连云港3分）如图是一个几何体的三视图，其中主视图与左视图都是边长为4的等边三角形，则这个几何体的侧面展开图的面积为 ▲ ．【答案】8π.【考点】由三视图判断几何体；几何体的展开图；扇形面积的计算． 【分析】∵这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为4，底面圆的直径为4，∴这个几何体的侧面展开图的面积=14482ππ⨯⨯=．2. （2015年江苏南京2分）如图，在⊙O 的内接五边形ABCDE 中，∠CAD =35°，则∠B +∠E = ▲ ．【答案】215°.【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理. 【分析】如答图，连接BD ，∵∠1和∠2是圆内接四边形的对角，∴∠1+∠2=180°.又∵∠3和∠4是同圆中同弧所对的圆周角，且∠4=35°，∴∠3=∠4=35°.∴∠CBA +∠DEA =215°.3. （2015年江苏泰州3分）圆心角为120° ，半径为6cm 的扇形面积为 ▲ cm 2. 【答案】12π【考点】扇形面积的计算.【分析】直接根据扇形面积公式计算：2120612360S ππ⋅⋅== cm 2. 4. （2015年江苏泰州3分）如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，∠A =115°，则∠BOD 等于 ▲ °.【答案】130.【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理. 【分析】∵⊙O 的内接四边形ABCD 中，∠A =115°，∴根据圆内接四边形对角互补的性质，得18065C A ∠=︒-∠=︒. ∵C ∠与BOD ∠是同圆中同弧所对的圆周角和圆心角， ∴2130BOD C ∠=∠=︒.5. （2015年江苏徐州3分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，CD 与⊙O 相切于点D ，若∠C =20°，则∠CDA = ▲ °．【答案】125° .【考点】切线的性质；三角形内角和定理；圆周角定理.【分析】如答图，连接OD ，∵CD 与⊙O 相切于点D ，∴CD OD ⊥. ∴90CDO ∠=︒.∵∠C =20°，∴70COD ∠=︒. ∴35A ∠=︒. ∴180125CDA C A ∠=︒-∠-∠=︒.6.（2015年江苏徐州3分）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，连接AC ，若∠CAB =22．5°，CD =8cm ，则⊙O 的半径为 ▲ cm ．【答案】【考点】垂径定理；圆周角定理；等腰直角三角形的判定和性质. 【分析】如答图，连接OC ，∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，CD =8cm ，∴4CE DE cm ==. ∵∠CAB =22．5°，∴45COE ∠=︒.∴COE ∆是等腰直角三角形.∴OC =∴⊙O 的半径为.7. （2015年江苏徐州3分）用一个圆心角为90°，半径为4的扇形围成一个圆锥的侧面，该圆锥底面圆的半径 ▲ ． 【答案】1.【考点】圆锥和扇形的计算。
2015年全国中考数学试卷分类汇编-专题题42综合性问题9458
综合性问题一.选择题1．（2015·湖北省武汉市，第10题3分）如图，△ABC、△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当△EFG绕点D旋转时，线段BM 长的最小值是（）A．32-B．13+C．2D．13-**【解析】先考虑让△EFG和△BCA重合，然后把△EFG绕点D顺时针旋转，连结AG、DG，根据旋转角相等，旋转前后的对应线段相等，容易发现∠ADG=∠FDC,DA=DG，DF=DC，故∠DFC=∠DCF=∠DAG=∠DGA.又根据等腰三角形的“三线合一”可知∠FDG=90°，所以∠DFG+∠DGF=90°，即∠DFC+∠CFG+∠DGF=90°. 所以∠AMC=∠MGF+∠CFG=∠AGD+∠DGF+∠CFG=∠DFC+∠DGF+∠CFG=90°.故点M始终在以AC为直径的圆上，作出该圆，设圆心为O，连结BO与⊙O相交于点P，线段BP的长即为线段BM长的最小值.BP=AO3－1，故选D.－OP=【难点突破】本题发现点M始终在以AC为直径的圆上是解题的重要突破口.考虑让△EFG 和△BCA重合，然后把△EFG绕点D顺时针旋转，借助旋转的性质找出解题思路是分析有关旋转问题的重要方法.2 ．（2015•广东佛山,第10题3分）下列给出5个命题：①对角线互相垂直且相等的四边形是正方形②六边形的内角和等于720°③相等的圆心角所对的弧相等④顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形⑤三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等．其中正确命题的个数是（）A．2个B．3个C． 4个 D． 5个考点：命题与定理．分析：根据正方形的判定方法对①进行判断；根据多边形的内角和公式对②进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对③进行判断；根据三角形中位线性质、菱形的性质和矩形的判定方法对④进行判断；根据三角形内心的性质对⑤进行判断．解答：解：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，所以①错误；六边形的内角和等于720°，所以②正确；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以③错误；顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形，所以④正确；三角形的内心到三角形三边的距离相等，所以⑤错误．故选A．点评：本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．3．（2015•甘肃武威,第6题3分）下列命题中，假命题是（）A．平行四边形是中心对称图形B．三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等C．对于简单的随机样本，可以用样本的方差去估计总体的方差D．若x2=y2，则x=y考点：命题与定理；有理数的乘方；线段垂直平分线的性质；中心对称图形；用样本估计总体．分析：根据平行四边形的性质、三角形外心的性质以及用样本的数字特征估计总体的数字特征和有理数乘方的运算逐项分析即可．解答：解：A、平行四边形是中心对称图形，它的中心对称点为两条对角线的交点，故该命题是真命题；B、三角形三边的垂直平分线相交于一点，为三角形的外心，这点到三角形三个顶点的距离相等，故该命题是真命题；C、用样本的数字特征估计总体的数字特征：主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差，故该命题是真命题；D、若x2=y2，则x=±y，不是x=y，故该命题是假命题；故选D．点评：本题考查了命题真假的判断，属于基础题．根据定义：符合事实真理的判断是真命题，不符合事实真理的判断是假命题，不难选出正确项．4. （2015•浙江嘉兴，第10题4分）如图，抛物线y=－x2+2x+m+1交x轴于点A（a，0）和B（B，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D.下列四个判断：①当x>0时，y>0；②若a=－1，则b=4；③抛物线上有两点P（x1,y1）和Q（x2,y2），若x1<1< x2，且x1+ x2>2，则y1> y2；④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m=2时，四边形EDFG周长的最小值为，其中正确判断的序号是（▲）（A）①（B）②（C）③（D）④考点：二次函数综合题．.分析：①根据二次函数所过象限，判断出y的符号；②根据A、B关于对称轴对称，求出b的值；③根据＞1，得到x1＜1＜x2，从而得到Q点距离对称轴较远，进而判断出y1＞y2；④作D关于y轴的对称点D′，E关于x轴的对称点E′，连接D′E′，D′E′与DE的和即为四边形EDFG周长的最小值．求出D、E、D′、E′的坐标即可解答．解答：解：①当x＞0时，函数图象过二四象限，当0＜x＜b时，y＞0；当x＞b时，y＜0，故本选项错误；②二次函数对称轴为x=﹣=1，当a=﹣1时有=1，解得b=3，故本选项错误；③∵x1+x2＞2，∴＞1，又∵x1＜1＜x2，∴Q点距离对称轴较远，∴y1＞y2，故本选项正确；④如图，作D关于y轴的对称点D′，E关于x轴的对称点E′，连接D′E′，D′E′与DE的和即为四边形EDFG周长的最小值．当m=2时，二次函数为y=﹣x2+2x+3，顶点纵坐标为y=﹣1+2+3=4，D为（1，4），则D′为（﹣1，4）；C点坐标为C（0，3）；则E为（2，3），E′为（2，﹣3）；则DE==；D′E′==；∴四边形EDFG周长的最小值为+，故本选项错误．故选C．点评：本题考查了二次函数综合题，涉及函数与不等式的关系、二次函数的对称轴、函数图象上点的坐标特征、轴对称﹣﹣最短路径问题等，值得关注．5．(2015·深圳，第12题分)如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：○1⊿ADG≌⊿FDG；○2GB =2AG ；○3⊿GDE ∽BEF ；○4S ⊿BEF =572。
2015年中考数学试卷分类汇编圆(8)解析.doc
2015中考数学真题分类汇编：圆（8）一．解答题（共30小题）1．（2015•哈尔滨）AB，CD是⊙O的两条弦，直线AB，CD互相垂直，垂足为点E，连接AD，过点B作BF⊥AD，垂足为点F，直线BF交直线CD于点G．（1）如图1，当点E在⊙O外时，连接BC，求证：BE平分∠GBC；（2）如图2，当点E在⊙O内时，连接AC，AG，求证：AC=AG；（3）如图3，在（2）条件下，连接BO并延长交AD于点H，若BH平分∠ABF，AG=4，tan∠D=，求线段AH的长．2．（2015•恩施州）如图，AB是⊙O的直径，AB=6，过点O作OH⊥AB交圆于点H，点C是弧AH上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA，CE⊥OH，垂足分别为D、E，过点C的直线交OA的延长线于点G，且∠GCD=∠CED．（1）求证：GC是⊙O的切线；（2）求DE的长；（3）过点C作CF⊥DE于点F，若∠CED=30°，求CF的长．3．（2015•福建）已知：AB是⊙O的直径，点P在线段AB的延长线上，BP=OB=2，点Q在⊙O上，连接PQ．（1）如图①，线段PQ所在的直线与⊙O相切，求线段PQ的长；（2）如图②，线段PQ与⊙O还有一个公共点C，且PC=CQ，连接OQ，AC交于点D．①判断OQ与AC的位置关系，并说明理由；②求线段PQ的长．4．（2015•湘潭）如图，已知AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线MA，P为直线MA上一动点，以点P为圆心，PA为半径作⊙P，交⊙O于点C，连接PC、OP、BC．（1）知识探究（如图1）：①判断直线PC与⊙O的位置关系，请证明你的结论；②判断直线OP与BC的位置关系，请证明你的结论．（2）知识运用（如图2）：当PA＞OA时，直线PC交AB的延长线于点D，若BD=2AB，求tan∠ABC的值．5．（2015•鄂州）如图，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F．（1）求证：AE为⊙O的切线．（2）当BC=8，AC=12时，求⊙O的半径．（3）在（2）的条件下，求线段BG的长．6．（2015•河北）平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图1摆放，分别延长DA和QP交于点O，且∠DOQ=60°，OQ=0D=3，OP=2，OA=AB=1．让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向开始旋转，设旋转角为α（0°≤α≤60°）．发现：（1）当α=0°，即初始位置时，点P直线AB上．（填“在”或“不在”）求当α是多少时，OQ经过点B．（2）在OQ旋转过程中，简要说明α是多少时，点P，A间的距离最小？并指出这个最小值；（3）如图2，当点P恰好落在BC边上时，求a及S阴影拓展：如图3，当线段OQ与CB边交于点M，与BA边交于点N时，设BM=x（x＞0），用含x的代数式表示BN的长，并求x的取值范围．探究：当半圆K与矩形ABCD的边相切时，求sinα的值．7．（2015•成都）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC 及AB的延长线相较于点D，E，F，且BF=BC，⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD，FH．（1）求证：△ABC≌△EBF；（2）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）若AB=1，求HG•HB的值．8．（2015•桂林）如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，AB=4，PC、PD是⊙O的两条切线，C、D为切点．（1）如图1，求⊙O的半径；（2）如图1，若点E是BC的中点，连接PE，求PE的长度；（3）如图2，若点M是BC边上任意一点（不含B、C），以点M为直角顶点，在BC 的上方作∠AMN=90°，交直线CP于点N，求证：AM=MN．9．（2015•吉林）如图①，半径为R，圆心角为n°的扇形面积是S扇形=，由弧长l=，得S扇形==••R=lR．通过观察，我们发现S扇形=lR类似于S三角形=×底×高．类比扇形，我们探索扇环（如图②，两个同心圆围成的圆环被扇形截得的一部分交作扇环）的面积公式及其应用．（1）设扇环的面积为S扇环，的长为l1，的长为l2，线段AD的长为h（即两个同心圆半径R与r的差）．类比S梯形=×（上底+下底）×高，用含l1，l2，h的代数式表示S扇环，并证明；（2）用一段长为40m的篱笆围成一个如图②所示的扇环形花园，线段AD的长h为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？10．（2015•广西）已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD、BD，BD交AC于点F．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）延长AC到点P，使PF=PB，求证：PB是⊙O的切线；（3）如果AB=10，cos∠ABC=，求AD．11．（2015•上海）已知，如图，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，动点P，Q分别在线段OC，CD上，且DQ=OP，AP的延长线与射线OQ相交于点E，与弦CD相交于点F（点F与点C，D不重合），AB=20，cos∠AOC=，设OP=x，△CPF的面积为y．（1）求证：AP=OQ；（2）求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当△OPE是直角三角形时，求线段OP的长．12．（2015•宿迁）已知：⊙O上两个定点A，B和两个动点C，D，AC与BD交于点E．（1）如图1，求证：EA•EC=EB•ED；（2）如图2，若=，AD是⊙O的直径，求证：AD•AC=2BD•BC；（3）如图3，若AC⊥BD，点O到AD的距离为2，求BC的长．13．（2015•北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P′，满足CP+CP′=2r，则称P′为点P关于⊙C的反称点，如图为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图．特别地，当点P′与圆心C重合时，规定CP′=0．（1）当⊙O的半径为1时．①分别判断点M（2，1），N（，0），T（1，）关于⊙O的反称点是否存在？若存在，求其坐标；②点P在直线y=﹣x+2上，若点P关于⊙O的反称点P′存在，且点P′不在x轴上，求点P的横坐标的取值范围；（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A，B，若线段AB上存在点P，使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围．14．（2015•深圳）如图1，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边AB和量角器的直径DE在一条直线上，AB=BC=6cm，OD=3cm，开始的时候BD=1cm，现在三角板以2cm/s的速度向右移动．（1）当B与O重合的时候，求三角板运动的时间；（2）如图2，当AC与半圆相切时，求AD；（3）如图3，当AB和DE重合时，求证：CF2=CG•CE．15．（2015•东莞）⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过的中点P作⊙O的直径PG交弦BC于点D，连接AG、CP、PB．（1）如图1，若D是线段OP的中点，求∠BAC的度数；（2）如图2，在DG上取一点K，使DK=DP，连接CK，求证：四边形AGKC是平行四边形；（3）如图3，取CP的中点E，连接ED并延长ED交AB于点H，连接PH，求证：PH ⊥AB．16．（2015•达州）在△ABC的外接圆⊙O中，△ABC的外角平分线CD交⊙O于点D，F为上﹣点，且=连接DF，并延长DF交BA的延长线于点E．（1）判断DB与DA的数量关系，并说明理由；（2）求证：△BCD≌△AFD；（3）若∠ACM=120°，⊙O的半径为5，DC=6，求DE的长．17．（2015•温州）如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，AQ：AB=3：4，作△ABQ的外接圆O．点C在点P 右侧，PC=4，过点C作直线m⊥l，过点O作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上取点F，使DF=CD，以DE，DF为邻边作矩形DEGF．设AQ=3x．（1）用关于x的代数式表示BQ，DF．（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长．（3）在点P的整个运动过程中，①当AP为何值时，矩形DEGF是正方形？②作直线BG交⊙O于点N，若BN的弦心距为1，求AP的长（直接写出答案）．18．（2015•南宁）如图，AB是⊙O的直径，C、G是⊙O上两点，且AC=CG，过点C 的直线CD⊥BG于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）若，求∠E的度数．（3）连接AD，在（2）的条件下，若CD=，求AD的长．19．（2015•无锡）已知：平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点分别为O（0，0）、A（5，0）、B（m，2）、C（m﹣5，2）．（1）问：是否存在这样的m，使得在边BC上总存在点P，使∠OPA=90°？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．（2）当∠AOC与∠OAB的平分线的交点Q在边BC上时，求m的值．20．（2015•苏州）如图，在矩形ABCD中，AD=acm，AB=bcm（a＞b＞4），半径为2cm的⊙O在矩形内且与AB、AD均相切，现有动点P从A点出发，在矩形边上沿着A→B→C→D的方向匀速移动，当点P到达D点时停止移动．⊙O在矩形内部沿AD向右匀速平移，移动到与CD相切时立即沿原路按原速返回，当⊙O回到出发时的位置（即再次与AB相切）时停止移动，已知点P与⊙O同时开始移动，同时停止移动（即同时到达各自的终止位置）．（1）如图①，点P从A→B→C→D，全程共移动了cm（用含a、b的代数式表示）；（2）如图①，已知点P从A点出发，移动2s到达B点，继续移动3s，到达BC的中点，若点P与⊙O的移动速度相等，求在这5s时间内圆心O移动的距离；（3）如图②，已知a=20，b=10，是否存在如下情形：当⊙O到达⊙O1的位置时（此时圆心O1在矩形对角线BD上），DP与⊙O1恰好相切？请说明理由．21．（2015•宁波）如图，在平面直角坐标系中，点M是第一象限内一点，过M的直线分别交x轴，y轴的正半轴于A，B两点，且M是AB的中点．以OM为直径的⊙P分别交x轴，y轴于C，D两点，交直线AB于点E（位于点M右下方），连结DE交OM 于点K．（1）若点M的坐标为（3，4），①求A，B两点的坐标；②求ME的长．（2）若=3，求∠OBA的度数．（3）设tan∠OBA=x（0＜x＜1），=y，直接写出y关于x的函数解析式．22．（2015•日照）阅读资料：如图1，在平面之间坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），由勾股定理得AB2=|x2﹣x1|2+|y2﹣y1|2，所以A，B两点间的距离为AB=．我们知道，圆可以看成到圆心距离等于半径的点的集合，如图2，在平面直角坐标系xoy 中，A（x，y）为圆上任意一点，则A到原点的距离的平方为OA2=|x﹣0|2+|y﹣0|2，当⊙O的半径为r时，⊙O的方程可写为：x2+y2=r2．问题拓展：如果圆心坐标为P（a，b），半径为r，那么⊙P的方程可以写为．综合应用：如图3，⊙P与x轴相切于原点O，P点坐标为（0，6），A是⊙P上一点，连接OA，使tan∠POA=，作PD⊥OA，垂足为D，延长PD交x轴于点B，连接AB．①证明AB是⊙P的切点；②是否存在到四点O，P，A，B距离都相等的点Q？若存在，求Q点坐标，并写出以Q为圆心，以OQ为半径的⊙O的方程；若不存在，说明理由．23．（2015•金华）图1、图2为同一长方体房间的示意图，图3为该长方体的表面展开图．（1）蜘蛛在顶点A′处．①苍蝇在顶点B处时，试在图1中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线．②苍蝇在顶点C处时，图2中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板ABCD爬行的最近路线A′GC和往墙面BB′C′C爬行的最近路线A′HC，试通过计算判断哪条路线更近．（2）在图3中，半径为10dm的⊙M与D′C′相切，圆心M到边CC′的距离为15dm，蜘蛛P在线段AB上，苍蝇Q在⊙M的圆周上，线段PQ为蜘蛛爬行路线，若PQ与⊙M 相切，试求PQ长度的范围．24．（2015•长沙）如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O（0，0），点A（，0）与点B（0，﹣），点D在劣弧上，连接BD交x轴于点C，且∠COD=∠CBO．（1）求⊙M的半径；（2）求证：BD平分∠ABO；（3）在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰好为⊙M的切线，求此时点E的坐标．25．（2015•湖北）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC，PB：PC=1：2．（1）求证：AC平分∠BAD；（2）探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由；（3）若AD=3，求△ABC的面积．26．（2015•宜昌）如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点E，F是边BA延长线上一点，连接EF，以EF为直径作⊙O，交DC于D，G两点，AD分别于EF，GF交于I，H两点．（1）求∠FDE的度数；（2）试判断四边形FACD的形状，并证明你的结论；（3）当G为线段DC的中点时，①求证：FD=FI；②设AC=2m，BD=2n，求⊙O的面积与菱形ABCD的面积之比．27．（2015•永州）问题探究：（一）新知学习：圆内接四边形的判断定理：如果四边形对角互补，那么这个四边形内接于圆（即如果四边形EFGH的对角互补，那么四边形EFGH的四个顶点E、F、G、H都在同个圆上）．（二）问题解决：已知⊙O的半径为2，AB，CD是⊙O的直径．P是上任意一点，过点P分别作AB，CD的垂线，垂足分别为N，M．（1）若直径AB⊥CD，对于上任意一点P（不与B、C重合）（如图一），证明四边形PMON内接于圆，并求此圆直径的长；（2）若直径AB⊥CD，在点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程汇总，证明MN 的长为定值，并求其定值；（3）若直径AB与CD相交成120°角．①当点P运动到的中点P1时（如图二），求MN的长；②当点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程中（如图三），证明MN的长为定值．（4）试问当直径AB与CD相交成多少度角时，MN的长取最大值，并写出其最大值．28．（2015•乐山）已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于点D，且AD=DC，延长CB交⊙O于点E．（1）图1的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；（2）如图2，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．①若CF=CD时，求sin∠CAB的值；②若CF=aCD（a＞0）时，试猜想sin∠CAB的值．（用含a的代数式表示，直接写出结果）29．（2015•株洲）已知AB是圆O的切线，切点为B，直线AO交圆O于C、D两点，CD=2，∠DAB=30°，动点P在直线AB上运动，PC交圆O于另一点Q．（1）当点P运动到使Q、C两点重合时（如图1），求AP的长；（2）点P在运动过程中，有几个位置（几种情况）使△CQD的面积为？（直接写出答案）（3）当△CQD的面积为，且Q位于以CD为直径的上半圆，CQ＞QD时（如图2），求AP的长．30．（2015•连云港）已知如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x﹣2与x轴、y轴分别交于A，B两点，P是直线AB上一动点，⊙P的半径为1．（1）判断原点O与⊙P的位置关系，并说明理由；（2）当⊙P过点B时，求⊙P被y轴所截得的劣弧的长；（3）当⊙P与x轴相切时，求出切点的坐标．2015中考数学真题分类汇编：圆（8）参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2015•哈尔滨）AB，CD是⊙O的两条弦，直线AB，CD互相垂直，垂足为点E，连接AD，过点B作BF⊥AD，垂足为点F，直线BF交直线CD于点G．（1）如图1，当点E在⊙O外时，连接BC，求证：BE平分∠GBC；（2）如图2，当点E在⊙O内时，连接AC，AG，求证：AC=AG；（3）如图3，在（2）条件下，连接BO并延长交AD于点H，若BH平分∠ABF，AG=4，tan∠D=，求线段AH的长．考点：圆的综合题．分析：（1）利用圆内接四边形的性质得出∠D=∠EBC，进而利用互余的关系得出∠GBE=∠EBC，进而求出即可；（2）首先得出∠D=∠ABG，进而利用全等三角形的判定与性质得出△BCE≌△BGE （ASA），则CE=EG，再利用等腰三角形的性质求出即可；（3）首先求出CO的长，再求出tan∠ABH===，利用OP2+PB2=OB2，得出a的值进而求出答案．解答：（1）证明：如图1，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D+∠ABC=180°，∵∠ABC+∠EBC=180°，∴∠D=∠EBC，∵GF⊥AD，AE⊥DG，∴∠A+∠ABF=90°，∠A+∠D=90°，∴∠ABE=∠D，∵∠ABF=∠GBE，∴∠GBE=∠EBC，即BE平分∠GBC；（2）证明：如图2，连接CB，∵AB⊥CD，BF⊥AD，∴∠D+∠BAD=90°，∠ABG+∠BAD=90°，∴∠D=∠ABG，∵∠D=∠ABC，∴∠ABC=∠ABG，∵AB⊥CD，∴∠CEB=∠GEB=90°，在△BCE和△BGE中，∴△BCE≌△BGE（ASA），∴CE=EG，∵AE⊥CG，∴AC=AG；（3）解：如图3，连接CO并延长交⊙O于M，连接AM，∵CM是⊙O的直径，∴∠MAC=90°，∵∠M=∠D，tanD=，∴tanM=，∴=，∵AG=4，AC=AG，∴AC=4，AM=3，∴MC==5，∴CO=，过点H作HN⊥AB，垂足为点N，∵tanD=，AE⊥DE，∴tan∠BAD=，∴=，设NH=3a，则AN=4a，∴AH==5a，∵HB平分∠ABF，NH⊥AB，HF⊥BF，∴HF=NH=3a，∴AF=8a，cos∠BAF===，∴AB==10a，∴NB=6a，∴tan∠ABH===，过点O作OP⊥AB垂足为点P，∴PB=AB=5a，tan∠ABH==，∴OP=a，∵OB=OC=，OP2+PB2=OB2，∴25a2+a2=，∴解得：a=，∴AH=5a=．点评：此题主要考查了圆的综合以及勾股定理和锐角三角函数关系等、全等三角形的判定与性质知识，正确作出辅助线得出tan∠ABH==是解题关键．2．（2015•恩施州）如图，AB是⊙O的直径，AB=6，过点O作OH⊥AB交圆于点H，点C是弧AH上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA，CE⊥OH，垂足分别为D、E，过点C的直线交OA的延长线于点G，且∠GCD=∠CED．（1）求证：GC是⊙O的切线；（2）求DE的长；（3）过点C作CF⊥DE于点F，若∠CED=30°，求CF的长．考点：圆的综合题．分析：（1）先证明四边形ODCE是矩形，得出∠DCE=90°，DE=OC，MC=MD，得出∠CED+∠MDC=90°，∠MDC=∠MCD，证出∠GCD+∠MCD=90°，即可得出结论；（2）由（1）得：DE=OC=AB，即可得出结果；（3）运用三角函数求出CE，再由含30°角的直角三角形的性质即可得出结果．解答：（1）证明：连接OC，交DE于M，如图所示：∵OH⊥AB，CD⊥OA，CE⊥OH，∴∠DOE=∠OEC=∠ODC=90°，∴四边形ODCE是矩形，∴∠DCE=90°，DE=OC，MC=MD，∴∠CED+∠MDC=90°，∠MDC=∠MCD，∵∠GCD=∠CED，∴∠GCD+∠MCD=90°，即GC⊥OC，∴GC是⊙O的切线；（2）解：由（1）得：DE=OC=AB=3；（3）解：∵∠DCE=90°，∠CED=30°，∴CE=DE•cos∠CED=3×=，∴CF=CE=．点评：本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角函数、含30°角的直角三角形的性质等知识；本题有一定难度，综合性强，特别是（1）中，需要证明四边形是矩形，运用角的关系才能得出结论．3．（2015•福建）已知：AB是⊙O的直径，点P在线段AB的延长线上，BP=OB=2，点Q在⊙O上，连接PQ．（1）如图①，线段PQ所在的直线与⊙O相切，求线段PQ的长；（2）如图②，线段PQ与⊙O还有一个公共点C，且PC=CQ，连接OQ，AC交于点D．①判断OQ与AC的位置关系，并说明理由；②求线段PQ的长．考点：圆的综合题．分析：（1）如图①，连接OQ．利用切线的性质和勾股定理来求PQ的长度．（2）如图②，连接BC．利用三角形中位线的判定与性质得到BC∥OQ．根据圆周角定理推知BC⊥AC，所以，OQ⊥AC．（3）利用割线定理来求PQ的长度即可．解答：解：（1）如图①，连接OQ．∵线段PQ所在的直线与⊙O相切，点Q在⊙O上，∴OQ⊥OP．又∵BP=OB=OQ=2，∴PQ===2，即PQ=2；（2）OQ⊥AC．理由如下：如图②，连接BC．∵BP=OB，∴点B是OP的中点，又∵PC=CQ，∴点C是PQ的中点，∴BC是△PQO的中位线，∴BC∥OQ．又∵AB是直径，∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，∴OQ⊥AC．（3）如图②，PC•PQ=PB•PA，即PQ2=2×6，解得PQ=2．点评：本题考查了圆的综合题．掌握圆周角定理，三角形中位线定理，平行线的性质，熟练利用割线定理进行几何计算．4．（2015•湘潭）如图，已知AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线MA，P为直线MA上一动点，以点P为圆心，PA为半径作⊙P，交⊙O于点C，连接PC、OP、BC．（1）知识探究（如图1）：①判断直线PC与⊙O的位置关系，请证明你的结论；②判断直线OP与BC的位置关系，请证明你的结论．（2）知识运用（如图2）：当PA＞OA时，直线PC交AB的延长线于点D，若BD=2AB，求tan∠ABC的值．考点：圆的综合题．分析：（1）①PC与⊙O相切．易证明△PAO≌△PCO，则∠PAO=∠PCO，由PA是⊙O的切线，可知∠PAO=∠PCO=90°，即可证明结论；②OP∥BC．由（1）可知∠POA=∠POC，根据圆周角定理可知∠B=∠POA，根据同位角相等可证明OP∥BC．（2）根据OP∥BC，可知，由BD=2AB，可知AD=6OA，OD=5OB，所以PD=5PC，设设PA=PC=R，OA=r，根据勾股定理列方程求出R与r的数量关系，即可在Rt△PAO 中求出tan∠ABC=tan∠POA．解答：（1）①PC与⊙O相切．证明：如图1，连接OC，在△PAO和△PCO中，，∴△PAO≌△PCO，∴∠PAO=∠PCO，∵PA是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，∴∠PAO=∠PCO=90°，∴PC与⊙O相切．②OP∥BC．证明：∵△PAO≌△PCO，∴∠POA=∠POC，∴∠B=∠POA，∴OP∥BC．（2）解：如图2，∵BD=2AB，∴BD=4OB，AD=6OA，∴，∵OP∥BC，∴，∴PD=5PC，设PA=PC=R，OA=r，∴AD=6r，PD=5R，∵PA2+AD2=PD2，∴R2+（6r）2=（5R）2解得：R=r，∵tan∠ABC=tan∠POA=，∴tan∠ABC═==．点评：本题主要考查了圆的有关性质、切线的性质与判定、平行线分线段成比例定理、勾股定理以及锐角三角函数的综合应用，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．5．（2015•鄂州）如图，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F．（1）求证：AE为⊙O的切线．（2）当BC=8，AC=12时，求⊙O的半径．（3）在（2）的条件下，求线段BG的长．考点：圆的综合题．分析：（1）连接OM．利用角平分线的性质和平行线的性质得到AE⊥OM后即可证得AE是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为R，根据OM∥BE，得到△OMA∽△BEA，利用平行线的性质得到=，即可解得R=3，从而求得⊙O的半径为3；（3）过点O作OH⊥BG于点H，则BG=2BH，根据∠OME=∠MEH=∠EHO=90°，得到四边形OMEH是矩形，从而得到HE=OM=3和BH=1，证得结论BG=2BH=2．解答：（1）证明：连接OM．∵AC=AB，AE平分∠BAC，∴AE⊥BC，CE=BE=BC=4，∵OB=OM，∴∠OBM=∠OMB，∵BM平分∠ABC，∴∠OBM=∠CBM，∴∠OMB=∠CBM，∴OM∥BC又∵AE⊥BC，∴AE⊥OM，∴AE是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为R，∵OM∥BE，∴△OMA∽△BEA，∴=即=，解得R=3，∴⊙O的半径为3；（3）过点O作OH⊥BG于点H，则BG=2BH，∵∠OME=∠MEH=∠EHO=90°，∴四边形OMEH是矩形，∴HE=OM=3，∴BH=1，∴BG=2BH=2．点评：本题考查了圆的综合知识，题目中还运用到了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质，综合性较强，难度较大．6．（2015•河北）平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图1摆放，分别延长DA和QP交于点O，且∠DOQ=60°，OQ=0D=3，OP=2，OA=AB=1．让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向开始旋转，设旋转角为α（0°≤α≤60°）．发现：（1）当α=0°，即初始位置时，点P在直线AB上．（填“在”或“不在”）求当α是多少时，OQ经过点B．（2）在OQ旋转过程中，简要说明α是多少时，点P，A间的距离最小？并指出这个最小值；（3）如图2，当点P恰好落在BC边上时，求a及S阴影拓展：如图3，当线段OQ与CB边交于点M，与BA边交于点N时，设BM=x（x＞0），用含x的代数式表示BN的长，并求x的取值范围．探究：当半圆K与矩形ABCD的边相切时，求sinα的值．考点：圆的综合题．分析：（1）在，当OQ过点B时，在R t△OAB中，AO=AB，得到∠DOQ=∠ABO=45°，求得α=60°﹣45°=15°；（2）如图2，连接AP，由OA+AP≥OP，当OP过点A，即α=60°时，等号成立，于是有AP≥OP﹣OA=2﹣1=1，当α=60°时，P、A之间的距离最小，即可求得结果（3）如图2，设半圆K与PC交点为R，连接RK，过点P作PH⊥AD于点H，过点R 作RE⊥KQ于点E，在R t△OPH中，PH=AB=1，OP=2，得到∠POH=30°，求得α=60°﹣30°=30°，由于AD∥BC，得到∠RPO=∠POH=30°，求出∠RKQ=2×30°=60°，于是得到结果；拓展：如图5，由∠OAN=∠MBN=90°，∠ANO=∠BNM，得到△AON∽△BMN求出BN=，如图4，当点Q落在BC上时，x取最大值，作QF⊥AD于点F，BQ=AF=﹣AO=2﹣1，求出x的取值范围是0＜x≤﹣1；探究：半圆K与矩形ABCD的边相切，分三种情况；①如图5，半圆K与BC相切于点T，设直线KT与AD，OQ的初始位置所在的直线分别交于点S，O′，于是得到∠KSO=∠KTB=90°，作KG⊥OO′于G，在R t△OSK中，求出OS==2，在R t△OSO′中，SO′=OS•tan60°=2，KO′=2﹣在R t△KGO′中，∠O′=30°，求得KG=KO′=﹣，在R t△OGK中，求得结果；②当半圆K与AD相切于T，如图6，同理可得sinα的值③当半圆K与CD切线时，点Q与点D重合，且为切点，得到α=60°于是结论可求．解答：解：发现：（1）在，当OQ过点B时，在R t△OAB中，AO=AB，∴∠DOQ=∠ABO=45°，∴α=60°﹣45°=15°；（2）如图2，连接AP，∵OA+AP≥OP，当OP过点A，即α=60°时，等号成立，∴AP≥OP﹣OA=2﹣1=1，∴当α=60°时，P、A之间的距离最小，∴PA的最小值=1；（3）如图2，设半圆K与PC交点为R，连接RK，过点P作PH⊥AD于点H，过点R作RE⊥KQ于点E，在R t△OPH中，PH=AB=1，OP=2，∴∠POH=30°，∴α=60°﹣30°=30°，∵AD∥BC，∴∠RPO=∠POH=30°，∴∠RKQ=2×30°=60°，∴S扇形KRQ==，在R t△RKE中，RE=RK•sin60°=，∴S△PRK=•RE=，∴S阴影=+；拓展：如图5，∵∠OAN=∠MBN=90°，∠ANO=∠BNM，∴△AON∽△BMN，∴，即，∴BN=，如图4，当点Q落在BC上时，x取最大值，作QF⊥AD于点F，BQ=AF=﹣AO=2﹣1，∴x的取值范围是0＜x≤﹣1；探究：半圆K与矩形ABCD的边相切，分三种情况；①如图5，半圆K与BC相切于点T，设直线KT与AD，OQ的初始位置所在的直线分别交于点S，O′，则∠KSO=∠KTB=90°，作KG⊥OO′于G，在R t△OSK中，OS==2，在R t△OSO′中，SO′=OS•tan60°=2，KO′=2﹣，在R t△KGO′中，∠O′=30°，∴KG=KO′=﹣，∴在R t△OGK中，sinα===，②当半圆K与AD相切于T，如图6，同理可得sinα====；③当半圆K与CD切线时，点Q与点D重合，且为切点，∴α=60°，∴sinα=sin60，综上所述sinα的值为：或或．点评：本题考查了矩形的性质，直线与圆的位置关系，勾股定理，锐角三角函数，根据题意正确的画出图形是解题的关键．7．（2015•成都）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC 及AB的延长线相较于点D，E，F，且BF=BC，⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD，FH．（1）求证：△ABC≌△EBF；（2）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）若AB=1，求HG•HB的值．考点：圆的综合题．分析：（1）由垂直的定义可得∠EBF=∠ADF=90°，于是得到∠C=∠BFE，从而证得△ABC≌△EBF；（2）BD与⊙O相切，如图1，连接OB证得∠DBO=90°，即可得到BD与⊙O相切；（3）如图2，连接CF，HE，有等腰直角三角形的性质得到CF=BF，由于DF垂直平分AC，得到AF=CF=AB+BF=1+BF=BF，求得BF=，有勾股定理解出EF=，推出△EHF是等腰直角三角形，求得HF=EF=，通过△BHF∽△FHG，列比例式即可得到结论．解答：（1）证明：∵∠ABC=90°，∴∠EBF=90°，∵DF⊥AC，∴∠ADF=90°，∴∠C+∠A=∠A+∠AFD=90°，∴∠C=∠BFE，在△ABC与△EBF中，，∴△ABC≌△EBF；（2）BD与⊙O相切，如图1，连接OB证明如下：∵OB=OF，∴∠OBF=∠OFB，∵∠ABC=90°，AD=CD，∴BD=CD，∴∠C=∠DBC，∵∠C=∠BFE，∴∠DBC=∠OBF，∵∠CBO+∠OBF=90°，∴∠DBC+∠CBO=90°，∴∠DBO=90°，∴BD与⊙O相切；（3）解：如图2，连接CF，HE，∵∠CBF=90°，BC=BF，∴CF=BF，∵DF垂直平分AC，∴AF=CF=AB+BF=1+BF=BF，∴BF=，∵△ABC≌△EBF，∴BE=AB=1，∴EF==，∵BH平分∠CBF，∴，∴EH=FH，∴△EHF是等腰直角三角形，∴HF=EF=，∵∠EFH=∠HBF=45°，∠BHF=∠BHF，∴△BHF∽△FHG，∴，∴HG•HB=HF2=2+．点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，线段的垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握这些定理是解题的关键．8．（2015•桂林）如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，AB=4，PC、PD是⊙O的两条切线，C、D为切点．（1）如图1，求⊙O的半径；（2）如图1，若点E是BC的中点，连接PE，求PE的长度；（3）如图2，若点M是BC边上任意一点（不含B、C），以点M为直角顶点，在BC 的上方作∠AMN=90°，交直线CP于点N，求证：AM=MN．考点：圆的综合题．分析：（1）利用切线的性质以及正方形的判定与性质得出⊙O的半径即可；（2）利用垂径定理得出OE⊥BC，∠OCE=45°，进而利用勾股定理得出即可；（3）在AB上截取BF=BM，利用（1）中所求，得出∠ECP=135°，再利用全等三角形的判定与性质得出即可．解答：解：（1）如图1，连接OD，OC，∵PC、PD是⊙O的两条切线，C、D为切点，∴∠ODP=∠OCP=90°，∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，∴∠DOC=90°，OD=OC，∴四边形DOCP是正方形，∵AB=4，∠ODC=∠OCD=45°，∴DO=CO=DC•sin45°=×4=2；（2）如图1，连接EO，OP，∵点E是BC的中点，∴OE⊥BC，∠OCE=45°，则∠E0P=90°，∴EO=EC=2，OP=CO=4，∴PE==2；（3）证明：如图2，在AB上截取BF=BM，∵AB=BC，BF=BM，∴AF=MC，∠BFM=∠BMF=45°，∵∠AMN=90°，∴∠AMF+∠NMC=45°，∠FAM+∠AMF=45°，∴∠FAM=∠NMC，∵由（1）得：PD=PC，∠DPC=90°，∴∠DCP=45°，∴∠MCN=135°，∵∠AFM=180°﹣∠BFM=135°，在△AFM和△CMN中，∴△AFM≌△CMN（ASA），∴AM=MN．点评：此题主要考查了圆的综合以及全等三角形的判定与性质以及正方形的判定与性质等知识，正确作出辅助线得出∠MCN=135°是解题关键．9．（2015•吉林）如图①，半径为R，圆心角为n°的扇形面积是S扇形=，由弧长l=，得S扇形==••R=lR．通过观察，我们发现S扇形=lR类似于S三角形=×底×高．类比扇形，我们探索扇环（如图②，两个同心圆围成的圆环被扇形截得的一部分交作扇环）的面积公式及其应用．（1）设扇环的面积为S扇环，的长为l1，的长为l2，线段AD的长为h（即两个同心圆半径R与r的差）．类比S梯形=×（上底+下底）×高，用含l1，l2，h的代数式表示S扇环，并证明；（2）用一段长为40m的篱笆围成一个如图②所示的扇环形花园，线段AD的长h为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？考点：圆的综合题．分析：（1）根据扇形公式之间的关系，结合已知条件推出结果即可；（2）求出l1+l2=40﹣2h，代入（1）的结果，化成顶点式，即可得出答案．解答：（1）S扇环=（l1﹣l2）h，证明：设大扇形半径为R，小扇形半径为r，圆心角度数为n，则由l=，得R=，r=所以图中扇环的面积S=×l1×R﹣×l2×r=l1•﹣l2•=（l12﹣l22）=（l1+l2）（l1﹣l2）=••（R﹣r）（l1﹣l2）=（l1﹣l2）（R﹣r）=（l1+l2）h，故猜想正确．（2）解：根据题意得：l1+l2=40﹣2h，则S扇环=（l1+l2）h=（40﹣2h）h=﹣h2+20h=﹣（h﹣10）2+100∵﹣1＜0，∴开口向下，有最大值，当h=10时，最大值是100，即线段AD的长h为10m时，花园的面积最大，最大面积是100m2．点评：本题主要考查了扇形面积公式，弧长公式，二次函数的顶点式的应用，能猜想出正确结论是解此题的关键，有一定的难度．10．（2015•广西）已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD、BD，BD交AC于点F．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）延长AC到点P，使PF=PB，求证：PB是⊙O的切线；（3）如果AB=10，cos∠ABC=，求AD．考点：圆的综合题．分析：（1）先由OD∥BC，根据两直线平行内错角相等得出∠D=∠CBD，由OB=OD，根据等边对等角得出∠D=∠OBD，等量代换得到∠CBD=∠OBD，即BD平分∠ABC；（2）先由圆周角定理得出∠ACB=90°，根据直角三角形两锐角互余得到∠CFB+∠CBF=90°．再由PF=PB，根据等边对等角得出∠PBF=∠CFB，而由（1）知∠OBD=∠CBF，等量代换得到∠PBF+∠OBD=90°，即∠OBP=90°，根据切线的判定定理得出PB 是⊙O的切线；（3）连结AD．在Rt△ABC中，由cos∠ABC===，求出BC=6，根据勾股定理得到AC==8．再由OD∥BC，得出△AOE∽△ABC，∠AED=∠OEC=180°﹣∠ACB=90°，根据相似三角形对应边成比例求出AE=4，OE=3，那么DE=OD﹣OE=2，然后在Rt△ADE中根据勾股定理求出AD==2．解答：（1）证明：∵OD∥BC，∴∠D=∠CBD，∵OB=OD，∴∠D=∠OBD，∴∠CBD=∠OBD，∴BD平分∠ABC；（2）证明：∵⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，∴∠ACB=90°，。
2015中考数学试卷分类汇编：圆(3)综述
2015中考数学真题分类汇编：圆（3）一．选择题（共10小题）1．（2015•河池）如图，用一张半径为24cm的扇形纸板制作一顶圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果圆锥形帽子的底面半径为10cm，那么这张扇形纸板的面积是（）A． 240πcm2B． 480πcm2C． 1200πcm2D． 2400πcm22．（2015•黄石）在长方形ABCD中AB=16，如图所示裁出一扇形ABE，将扇形围成一个圆锥（AB和AE重合），则此圆锥的底面半径为（）A． 4 B． 16 C． 4D． 83．（2015•潜江）已知一块圆心角为300°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥的底面圆的直径是80cm，则这块扇形铁皮的半径是（）A． 24cm B． 48cm C． 96cm D． 192cm4．（2015•营口）将弧长为2πcm，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高及侧面积分别是（）A．cm，3πcm2B． 2cm，3πcm2C． 2cm，6πcm2D．cm，6πcm2 5．（2015•宁波）如图，用一个半径为30cm，面积为300πcm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径r为（）A． 5cm B． 10cm C． 20cm D． 5πcm6．（2015•湖州）若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心角为240°的扇形，则这个圆锥的底面半径长是（）A． 6cm B． 9cm C． 12cm D． 18cm7．（2015•凉山州）将圆心角为90°，面积为4πcm2的扇形围成一个圆锥的侧面，则所围成的圆锥的底面半径为（）A． 1cm B． 2cm C． 3cm D． 4cm8．（2015•德州）如图，要制作一个圆锥形的烟囱帽，使底面圆的半径与母线长的比是4：5，那么所需扇形铁皮的圆心角应为（）A． 288°B． 144°C． 216°D． 120°9．（2015•莱芜）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，以BC为直径的⊙O与AD相切，点E为AD的中点，下列结论正确的个数是（）（1）AB+CD=AD；（2）S△BCE=S△ABE+S△DCE；（3）AB•CD=；（4）∠ABE=∠DCE．A． 1 B． 2 C． 3 D． 410．（2015•乐山）如图，已知直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB．则△PAB面积的最大值是（）A． 8 B． 12 C．D．二．填空题（共20小题）11．（2015•义乌市）如图，已知点A（0，1），B（0，﹣1），以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴的正半轴于点C，则∠BAC等于度．12．（2015•黔西南州）如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD=4，AE=1，则⊙O的半径为．13．（2015•甘孜州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分半径OA，则∠ABC的大小为度．14．（2015•牡丹江）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，CD=6，则BE=．15．（2015•宁夏）如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC．若AB=2，∠BCD=30°，则⊙O的半径为．16．（2015•长沙）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD的长为．17．（2015•徐州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC．若∠CAB=22.5°，CD=8cm，则⊙O的半径为cm．18．（2015•黔东南州）如图，AD是⊙O的直径，弦BC⊥AD于E，AB=BC=12，则OC=．19．（2015•黄石）如图，圆O的直径AB=8，AC=3CB，过C作AB的垂线交圆O于M，N两点，连结MB，则∠MBA的余弦值为．20．（2015•成都）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=8，P是弦AB所对的优弧上的动点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为．21．（2015•莱芜）如图，在扇形OAB中，∠AOB=60°，扇形半径为r，点C在上，CD⊥OA，垂足为D，当△OCD的面积最大时，的长为．22．（2015•六盘水）赵洲桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙．如图，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，则桥弧AB所在圆的半径R=米．23．（2015•黔南州）如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连接外圆上的两点A、B，并使AB与车轮内圆相切于点D，半径为OC⊥AB交外圆于点C．测得CD=10cm，AB=60cm，则这个车轮的外圆半径是．24．（2015•衢州）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽CD等于m．25．（2015•东营）如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m，其中水面的宽AB为0.8m，则排水管内水的深度为m．26．（2015•丽水）如图，圆心角∠AOB=20°，将旋转n°得到，则的度数是度．27．（2015•黔西南州）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，若∠AOC=80°，则∠B=．28．（2015•宿迁）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C=130°，则∠BOD=°．29．（2015•南昌）如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A=50°，∠B=30°，则∠ADC的度数为．30．（2015•六盘水）如图所示，A、B、C三点均在⊙O上，若∠AOB=80°，则∠ACB=°．2015中考数学真题分类汇编：圆（3）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2015•河池）如图，用一张半径为24cm的扇形纸板制作一顶圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果圆锥形帽子的底面半径为10cm，那么这张扇形纸板的面积是（）A． 240πcm2B． 480πcm2C． 1200πcm2D． 2400πcm2考点：圆锥的计算．专题：计算题．分析：根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式计算即可．解答：解：这张扇形纸板的面积=×2π×10×24=240π（cm2）．故选A．点评：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．2．（2015•黄石）在长方形ABCD中AB=16，如图所示裁出一扇形ABE，将扇形围成一个圆锥（AB和AE重合），则此圆锥的底面半径为（）A． 4 B． 16 C． 4D． 8考点：圆锥的计算．分析：圆锥的底面圆半径为r，根据圆锥的底面圆周长=扇形的弧长，列方程求解．解答：解：设圆锥的底面圆半径为r，依题意，得2πr=，解得r=4．故小圆锥的底面半径为4；故选A．点评：本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：1、圆锥的母线长为扇形的半径，2、圆锥的底面圆周长为扇形的弧长．3．（2015•潜江）已知一块圆心角为300°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥的底面圆的直径是80cm，则这块扇形铁皮的半径是（）A． 24cm B． 48cm C． 96cm D． 192cm考点：圆锥的计算．分析：利用底面周长=展开图的弧长可得．解答：解：设这个扇形铁皮的半径为rcm，由题意得=π×80，解得r=48．故这个扇形铁皮的半径为48cm，故选B．点评：本题考查了圆锥的计算，解答本题的关键是确定圆锥的底面周长=展开图的弧长这个等量关系，然后由扇形的弧长公式和圆的周长公式求值．4．（2015•营口）将弧长为2πcm，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高及侧面积分别是（）A．cm，3πcm2B． 2cm，3πcm2C． 2cm，6πcm2D．cm，6πcm2考点：圆锥的计算．分析：已知弧长为2πcm，圆心角为120°的扇形为4 cm，就可以求出扇形的半径，即圆锥的母线长，根据扇形的面积公式可求这个圆锥的侧面积，根据勾股定理可求出圆锥的高．解答：解：（2π×180）÷120π=3（cm），2π÷π÷2=1（cm），=2（cm），=3π（cm2）．故这个圆锥的高是2cm，侧面积是3πcm2．故选：B．点评：考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．5．（2015•宁波）如图，用一个半径为30cm，面积为300πcm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径r为（）A． 5cm B． 10cm C． 20cm D． 5πcm考点：圆锥的计算．分析：由圆锥的几何特征，我们可得用半径为30cm，面积为300πcm2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，则圆锥的底面周长等于扇形的弧长，据此求得圆锥的底面圆的半径．解答：解：设铁皮扇形的半径和弧长分别为R、l，圆锥形容器底面半径为r，则由题意得R=30，由Rl=300π得l=20π；由2πr=l得r=10cm；故选B．点评：本题考查的知识点是圆锥的体积，其中根据已知制作一个无盖的圆锥形容器的扇形铁皮的相关几何量，计算出圆锥的底面半径和高，是解答本题的关键．6．（2015•湖州）若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心角为240°的扇形，则这个圆锥的底面半径长是（）A． 6cm B． 9cm C． 12cm D． 18cm考点：圆锥的计算．分析：利用弧长公式可得圆锥的侧面展开图的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．解答：解：圆锥的弧长为：=24π，∴圆锥的底面半径为24π÷2π=12，故选C．点评：考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长；7．（2015•凉山州）将圆心角为90°，面积为4πcm2的扇形围成一个圆锥的侧面，则所围成的圆锥的底面半径为（）A． 1cm B． 2cm C． 3cm D． 4cm考点：圆锥的计算．专题：计算题．分析：设扇形的半径为R，根据扇形面积公式得=4π，解得R=4；设圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到•2π•r•4=4π，然后解方程即可．解答：解：设扇形的半径为R，根据题意得=4π，解得R=4，设圆锥的底面圆的半径为r，则•2π•r•4=4π，解得r=1，即所围成的圆锥的底面半径为1cm．故选A．点评：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．8．（2015•德州）如图，要制作一个圆锥形的烟囱帽，使底面圆的半径与母线长的比是4：5，那么所需扇形铁皮的圆心角应为（）A． 288°B． 144°C． 216°D． 120°考点：圆锥的计算．分析：根据底面圆的半径与母线长的比设出二者，然后利用底面圆的周长等于弧长列式计算即可．解答：解：∵底面圆的半径与母线长的比是4：5，∴设底面圆的半径为4x，则母线长是5x，设圆心角为n°，则2π×4x=，解得：n=288，故选A．点评：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．9．（2015•莱芜）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，以BC为直径的⊙O与AD相切，点E为AD的中点，下列结论正确的个数是（）（1）AB+CD=AD；（2）S△BCE=S△ABE+S△DCE；（3）AB•CD=；（4）∠ABE=∠DCE．A． 1 B． 2 C． 3 D． 4考点：圆的综合题．分析：设DC和半圆⊙O相切的切点为F，连接OF，根据切线长定理以及相似三角形的判定和性质逐项分析即可．解答：解：设DC和半圆⊙O相切的切点为F，∵在直角梯形ABCD中AB∥CD，AB⊥BC，∴∠ABC=∠DCB=90°，∵AB为直径，∴AB，CD是圆的切线，∵AD与以AB为直径的⊙O相切，∴AB=AF，CD=DF，∴AD=AE+DE=AB+CD，故①正确；如图1，连接OE，∵AE=DE，BO=CO，∴OE∥AB∥CD，OE=（AB+CD），∴OE⊥BC，∴S△BCE=BC•OE=（AB+CD）=（AB+CD）•BC==S△ABE+S△DCE，故②正确；如图2，连接AO，OD，∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC=180°，∵AB，CD，AD是⊙O的切线，∴∠OAD+∠EDO=（∠BAD+∠ADC）=90°，∴∠AOD=90°，∴∠AOB+∠DOC=∠AOB+∠BAO=90°，∴∠BAO=∠DOC，∴△ABO∽△CDO，∴，∴AB•CD=OB•OC=BC BC=BC2，故③正确，如图1，∵OB=OC，OE⊥BC，∴BE=CE，∴∠BEO=∠CEO，∵AB∥OE∥CD，∴∠ABE=∠BEO，∠DCE=∠OEC，∴∠ABE=∠DCE，故④正确，综上可知正确的个数有4个，故选D．点评：本题考查了切线的判定和性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的判定与性质．解决本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理、性质定理，做到灵活运用．10．（2015•乐山）如图，已知直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB．则△PAB面积的最大值是（）A． 8 B． 12 C．D．考点：圆的综合题．分析：求出A、B的坐标，根据勾股定理求出AB，求出点C到AB的距离，即可求出圆C上点到AB的最大距离，根据面积公式求出即可．解答：解：∵直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A点的坐标为（4，0），B点的坐标为（0，﹣3），3x﹣4y﹣12=0，即OA=4，OB=3，由勾股定理得：AB=5，∴点C（0，1）到直线3x﹣4y﹣3=0的距离是=，∴圆C上点到直线y=x﹣3的最大距离是1+=，∴△PAB面积的最大值是×5×=，故选：C．点评：本题考查了三角形的面积，点到直线的距离公式的应用，解此题的关键是求出圆上的点到直线AB的最大距离，属于中档题目．二．填空题（共20小题）11．（2015•义乌市）如图，已知点A（0，1），B（0，﹣1），以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴的正半轴于点C，则∠BAC等于60度．考点：垂径定理；坐标与图形性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理．分析：求出OA、AC，通过余弦函数即可得出答案．解答：解：∵A（0，1），B（0，﹣1），∴AB=2，OA=1，∴AC=2，在Rt△AOC中，cos∠BAC==，∴∠BAC=60°，故答案为60．点评：本题考查了垂径定理的应用，关键是求出AC、OA的长．12．（2015•黔西南州）如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD=4，AE=1，则⊙O的半径为．考点：垂径定理；勾股定理．分析：连接OC，由垂径定理得出CE=CD=2，设OC=OA=x，则OE=x﹣1，由勾股定理得出CE2+OE2=OC2，得出方程，解方程即可．解答：解：连接OC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE=CD=2，∠OEC=90°，设OC=OA=x，则OE=x﹣1，根据勾股定理得：CE2+OE2=OC2，即22+（x﹣1）2=x2，解得：x=；故答案为：．点评：本题考查了垂径定理、勾股定理、解方程；熟练掌握垂径定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．13．（2015•甘孜州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分半径OA，则∠ABC的大小为30度．考点：垂径定理；含30度角的直角三角形；圆周角定理．分析：根据线段的特殊关系求角的大小，再运用圆周角定理求解．解答：解：连接OC，∵弦CD垂直平分半径OA，∴OE=OC，∴∠OCD=30°，∠AOC=60°，∴∠ABC=30°．故答案为：30．点评：本题主要是利用直角三角形中特殊角的三角函数先求出∠OCE=30°，∠EOC=60°．然后再圆周角定理，从而求出∠ABC=30°．14．（2015•牡丹江）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，CD=6，则BE=4﹣．考点：垂径定理；勾股定理．分析：连接OC，根据垂径定理得出CE=ED=CD=3，然后在Rt△OEC中由勾股定理求出OE的长度，最后由BE=OB﹣OE，即可求出BE的长度．解答：解：如图，连接OC．∵弦CD⊥AB于点E，CD=6，∴CE=ED=CD=3．∵在Rt△OEC中，∠OEC=90°，CE=3，OC=4，∴OE==，∴BE=OB﹣OE=4﹣．故答案为4﹣．点评：本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识，关键在于熟练的运用垂径定理得出CE、ED的长度．15．（2015•宁夏）如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC．若AB=2，∠BCD=30°，则⊙O的半径为．考点：垂径定理；勾股定理；圆周角定理．分析：连接OB，根据垂径定理求出BE，求出∠BOE=60°，解直角三角形求出OB即可．解答：解：连接OB，∵OC=OB，∠BCD=30°，∴∠BCD=∠CBO=30°，∴∠BOE=∠BCD+∠CBO=60°，∵直径CD⊥弦AB，AB=2，∴BE=AB=，∠OEB=90°，即⊙O的半径为，故答案为：．点评：本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，三角形外角性质的应用，能根据垂径定理求出BE和解直角三角形求出OB长是解此题的关键，难度适中．16．（2015•长沙）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD的长为4．考点：垂径定理；勾股定理．分析：根据垂径定理求得BD，然后根据勾股定理求得即可．解答：解：∵OD⊥BC，∴BD=CD=BC=3，∵OB=AB=5，∴OD==4．故答案为4．点评：题考查了垂径定理、勾股定理，本题非常重要，学生要熟练掌握．17．（2015•徐州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC．若∠CAB=22.5°，CD=8cm，则⊙O的半径为4cm．考点：垂径定理；等腰直角三角形；圆周角定理．专题：计算题．分析：连接OC，如图所示，由直径AB垂直于CD，利用垂径定理得到E为CD的中点，即CE=DE，由OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，确定出三角形COE为等腰直角三角形，求出OC的长，即为圆的半径．解答：解：连接OC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∵OA=OC，∴∠A=∠OCA=22.5°，∵∠COE为△AOC的外角，∴∠COE=45°，∴△COE为等腰直角三角形，∴OC=CE=4cm，故答案为：4点评：此题考查了垂径定理，等腰直角三角形的性质，以及圆周角定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．18．（2015•黔东南州）如图，AD是⊙O的直径，弦BC⊥AD于E，AB=BC=12，则OC= 4．考点：垂径定理；勾股定理．分析：如图，作辅助线；首先运用勾股定理求出AE的长度，然后运用射影定理求出AD的长度，即可解决问题．解答：解：如图，连接BD；∵直径AD⊥BC，∴BE=CE=BC=6；由勾股定理得：AE==6；∵AD为⊙O的直径，∴∠ABD=90°；由射影定理得：，∴AD==8，∴OC=AD=4，故答案为4．点评：该题主要考查了垂径定理、射影定理等几何知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，构造直角三角形；解题的关键是牢固掌握垂径定理、射影定理等几何知识点，这是灵活运用、解题的基础和关键．19．（2015•黄石）如图，圆O的直径AB=8，AC=3CB，过C作AB的垂线交圆O于M，N两点，连结MB，则∠MBA的余弦值为．考点：垂径定理；解直角三角形．分析：如图，作辅助线；求出BC的长度；运用射影定理求出BM的长度，借助锐角三角函数的定义求出∠MBA的余弦值，即可解决问题．解答：解：如图，连接AM；∵AB=8，AC=3CB，∴BC=AB=2：∵AB为⊙O的直径，∴∠AMB=90°；由射影定理得：BM2=AB•CB，∴BM=4，cos∠MBA==，故答案为．点评：该题主要考查了圆周角定理及其推论、射影定理、锐角三角函数的定义等知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，构造直角三角形；解题的关键是灵活运用圆周角定理及其推论、射影定理等知识点来分析、判断、解答．20．（2015•成都）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=8，P是弦AB所对的优弧上的动点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为8，或．考点：垂径定理；等腰三角形的性质；勾股定理．专题：分类讨论．分析：①当BA=BP时，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；②当AB=AP时，如图1，延长AO交PB于点D，过点O作OE⊥AB于点E，易得△AOE ∽△ABD，利用相似三角形的性质求得BD，PB，然后利用相似三角形的判定定理△ABD ∽△CPA，代入数据得出结果；③当PA=PB时，如图2，连接PO并延长，交AB于点F，过点C作CG⊥AB，交AB 的延长线于点G，连接OB，则PF⊥AB，易得AF=FB=4，利用勾股定理得OF=3，FP=8，易得△PFB∽△CGB，利用相似三角形的性质，设BG=t，则CG=2t，利用相似三角形的判定定理得△APF∽△CAG，利用相似三角形的性质得比例关系解得t，在Rt△BCG 中，得BC．解答：解：①当BA=BP时，易得AB=BP=BC=8，即线段BC的长为8．②当AB=AP时，如图1，延长AO交PB于点D，过点O作OE⊥AB于点E，则AD⊥PB，AE=AB=4，∴BD=DP，在Rt△AEO中，AE=4，AO=5，∴OE=3，易得△AOE∽△ABD，∴，∴，∴，即PB=，∵AB=AP=8，∴∠ABD=∠P，∵∠PAC=∠ADB=90°，∴△ABD∽△CPA，∴，∴CP=，∴BC=CP﹣BP==；③当PA=PB时如图2，连接PO并延长，交AB于点F，过点C作CG⊥AB，交AB的延长线于点G，连接OB，则PF⊥AB，∴AF=FB=4，在Rt△OFB中，OB=5，FB=4，∴OF=3，∴FP=8，易得△PFB∽△CGB，∴，设BG=t，则CG=2t，易得∠PAF=∠ACG，∵∠AFP=∠AGC=90°，∴△APF∽△CAG，∴，∴，解得t=，在Rt△BCG中，BC=t=，综上所述，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为8，，，故答案为：8，，．点评：本题主要考查了垂径定理，相似三角形的性质及判定，等腰三角形的性质及判定，数形结合，分类讨论是解答此题的关键．21．（2015•莱芜）如图，在扇形OAB中，∠AOB=60°，扇形半径为r，点C在上，CD⊥OA，垂足为D，当△OCD的面积最大时，的长为．考点：垂径定理；弧长的计算；解直角三角形．分析：由OC=r，点C在上，CD⊥OA，利用勾股定理可得DC的长，求出OD=时△OCD的面积最大，∠COA=45°时，利用弧长公示得到答案．解答：解：∵OC=r，点C在上，CD⊥OA，∴DC==，∴S△OCD=OD•，∴S△OCD2=OD2•（r2﹣OD2）=﹣OD4+r2OD2=﹣（OD2﹣）2+∴当OD2=，即OD=r时△OCD的面积最大，∴∠OCD=45°，∴∠COA=45°，∴的长为：=πr，故答案为：．点评：本题主要考查了扇形的面积，勾股定理，求出OD=时△OCD的面积最大，∠COA=45°是解答此题的关键．22．（2015•六盘水）赵洲桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙．如图，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，则桥弧AB所在圆的半径R=25米．考点：垂径定理的应用；勾股定理．分析：根据垂径定理和勾股定理求解即可．解答：解：根据垂径定理，得AD=AB=20米．设圆的半径是r，根据勾股定理，得R2=202+（R﹣10）2，解得R=25（米）．故答案为25．点评：此题综合运用了勾股定理以及垂径定理．注意构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行有关的计算．23．（2015•黔南州）如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连接外圆上的两点A、B，并使AB与车轮内圆相切于点D，半径为OC⊥AB交外圆于点C．测得CD=10cm，AB=60cm，则这个车轮的外圆半径是50cm．考点：垂径定理的应用；勾股定理；切线的性质．分析：根据垂径定理求得AD=30cm，然后根据勾股定理即可求得半径．解答：解：如图，连接OA，∵CD=10cm，AB=60cm，∵CD⊥AB，∴OC⊥AB，∴AD=AB=30cm，∴设半径为r，则OD=r﹣10，根据题意得：r2=（r﹣10）2+302，解得：r=50．∴这个车轮的外圆半径长为50cm．故答案为：50cm．点评：本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，作出辅助线构建直角三角形是本题的关键．24．（2015•衢州）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽CD等于 1.6m．考点：垂径定理的应用；勾股定理．分析：先根据勾股定理求出OE的长，再根据垂径定理求出CF的长，即可得出结论．解答：解：如图：∵AB=1.2m，OE⊥AB，OA=1m，∴AE=0.8m，∵水管水面上升了0.2m，∴AF=0.8﹣0.2=0.6m，∴CF=m，∴CD=1.6m．故答案为：1.6．点评：本题考查的是垂径定理的应用，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．25．（2015•东营）如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m，其中水面的宽AB为0.8m，则排水管内水的深度为0.8m．考点：垂径定理的应用；勾股定理．分析：过O点作OC⊥AB，C为垂足，交⊙O于D，连OA，根据垂径定理得到AC=BC=0.5m，再在Rt△AOC中，利用勾股定理可求出OC，即可得到CD的值，即水的深度．解答：解：如图，过O点作OC⊥AB，C为垂足，交⊙O于D、E，连OA，OA=0.5m，AB=0.8m，∵OC⊥AB，∴AC=BC=0.4m，在Rt△AOC中，OA2=AC2+OC2，∴OC=0.3m，则CE=0.3+0.5=0.8m，故答案为：0.8．点评：本题考查了垂径定理的应用，掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧是解题的关键，注意勾股定理的运用．26．（2015•丽水）如图，圆心角∠AOB=20°，将旋转n°得到，则的度数是20度．考点：圆心角、弧、弦的关系；旋转的性质．专题：计算题．分析：先根据旋转的性质得=，则根据圆心角、弧、弦的关系得到∠DOC=∠AOB=20°，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数即可得到的度数．解答：解：∵将旋转n°得到，∴=，∴∠DOC=∠AOB=20°，∴的度数为20度．故答案为20．点评：本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了旋转的性质．27．（2015•黔西南州）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，若∠AOC=80°，则∠B=40°．考点：圆周角定理．专题：计算题．分析：直接根据圆周角定理求解．解答：解：∵∠AOC=80°，∴∠B=∠AOC=40°．故答案为40°．点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．28．（2015•宿迁）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C=130°，则∠BOD= 100°．考点：圆周角定理；圆内接四边形的性质．专题：计算题．分析：先根据圆内接四边形的性质得到∠A=180°﹣∠C=50°，然后根据圆周角定理求∠BOD．解答：解：∵∠A+∠C=180°，∴∠A=180°﹣130°=50°，∴∠BOD=2∠A=100°．故答案为100．点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了圆内接四边形的性质．29．（2015•南昌）如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A=50°，∠B=30°，则∠ADC的度数为110°．考点：圆周角定理．分析：根据圆周角定理求得∠BOC=100°，进而根据三角形的外角的性质求得∠BDC=70°，然后根据邻补角求得∠ADC的度数．解答：解：∵∠A=50°，∴∠BOC=2∠A=100°，∵∠B=30°，∠BOC=∠B+⊂BDC，∴∠BDC=∠BOC﹣∠B=100°﹣30°=70°，∴∠ADC=180°﹣∠BDC=110°，故答案为110°．点评：本题考查了圆心角和圆周角的关系及三角形外角的性质，圆心角和圆周角的关系是解题的关键．30．（2015•六盘水）如图所示，A、B、C三点均在⊙O上，若∠AOB=80°，则∠ACB= 40°．考点：圆周角定理．专题：计算题．分析：直接根据圆周角定理求解．解答：解：∠ACB=∠AOB=×80°=40°．故答案为40．点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．。
2015山东中考试题分类(圆).doc
（2015中考）圆一、选择题1、（2015•莱芜）如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，以BC 为直径的⊙O 与AD 相切，点E 为AD 的中点，下列结论正确的个数是（ ） （1）AB+CD=AD ；（2）S △BCE =S △ABE +S △DCE ；（3）AB •CD=；（4）∠ABE=∠DCE ．A ．1B ．2C ．3D ．4 2、（2015•青岛）如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，若直线PA 与⊙O 相切于点A ，则∠PAB=（ ）A ．30° B ．35° C ．45° D ．60° 3、（2015•临沂）如图A ，B ，C 是⊙O 上的三个点，若∠AOC=100°，则∠ABC 等于（ ）A ．50°B ．80°C ．100°D ．130° 4、（2015•潍坊）如图，AB 是⊙O 的弦，AO 的延长线交过点B 的⊙O 的切线于点C ，如果∠ABO=20°，则∠C 的度数是（ ）A ．70° B ．50° C ．45° D ．20° 5、（2015•潍坊）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm ，水的最大深度是2cm ，则杯底有水部分的面积是（ ） A ．（π﹣4）cm 2B ．（π﹣8）cm 2C ．（π﹣4）cm 2D ．（π﹣2）cm 26、（2015山东日照市）如右图，等腰直角△ＡＢＣ中，ＡＢ＝AC=8，以ＡＢ为直径的半圆O 交斜边ＢＣ于D ，则阴影部分面积为（结果保留π）（ ） （A ） 244π- (B) 324π- (C) 328π- (D) 167、（2015•枣庄）如图，一个边长为4cm 的等边三角形ABC 的高与⊙O 的直径相等．⊙O 与BC 相切于点C ，与AC 相交于点E ，则CE 的长为（ ）A ．4cm B ．3cm C ．2cm D ．1.5cm 8、（2015山东省聊城市）如图，点O 是圆形纸片的圆心，将这个圆心纸片按下列顺序折叠，使AB和AC 都经过圆心O ，则阴影部分的面积是⊙O 面积的（ ） A.12 B.13 C.23 D.359、（泰安）如图，菱形ABCD 的边长为2，∠A=60°，以点B 为圆心的圆与AD ，DC 相切，与AB ，CB 的延长线分别相交于点E 、F ，则图中阴影部分的面积为 （ ）A2πBπ C2πD．2π10、（2015•东营）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°．AB=BC ．点D 是线段AB 上的一点，连结CD ．过点B 作BG ⊥CD ，分别交CD 、CA 于点E 、F ，与过点A 且垂直于AB 的直线相交于点G ，连结DF ，给出以下四个结论：①=；②若点D 是AB 的中点，则AF=AB ；③当B 、C 、F 、D 四点在同一个圆上时，DF=DB ；④若=，则S △ABC =9S △BDF ，其中正确的结论序号是（ ）A ．①②B ．③④C ．①②③D ．①②③④ 11、（2015山东省威海市）若用一张直径为20cm 的半圆做成一个圆锥的侧面，接缝忽略不计，则所得圆锥的高为（ ）A. cm 35 B. cm 55 C.cm 2155 D. cm 10 12、（2015山东省威海市）如图，已知AB =AC =AD ，∠CBD =2∠BDC , ∠BAC =44°，则∠CAD 的度数为（ ）DCB13、（2015山东省威海市）如图，正六边形111111F E D C B A 的边长为2，正六边形222222F E D C B A 的外接圆与正六边形111111F E D C B A 的各边相切，正六边形333333F E D C B A 的外接圆与正六边形222222F E D C B A 的的各边相切，·······按这样的规律进行下去，正十边形 101010101010F E D C B A 的边长为（ ）A.92243 B. 92381 C. 9281 D.8238114、（2014•莱芜）如图，AB 为半圆的直径，且AB=4，半圆绕点B 顺时针旋转45°，点A 旋转到A ′．二、填空题1、（2015•莱芜）如图，在扇形OAB 中，∠AOB=60°，扇形半径为r ，点C 在上，CD ⊥OA，垂足为D ，当△OCD 的面积最大时，的长为 ．2、（2015•青岛）如图，圆内接四边形ABCD 两组对边的延长线分别相交于点E ，F ，且∠A=55°， ∠E=30°，则∠F= ．3、4、（2015•烟台）如图，直线l ：y=﹣x+1与坐标轴交于A ，B 两点，点M （m ，0）是x 轴上一动点，以点M 为圆心，2个单位长度为半径作⊙M ，当⊙M 与直线l 相切时，则m 的值为 ．5、（泰安）如图，AB 是⊙O 的直径，且经过弦CD 的中点H ，过CD 延长线上一点E 作⊙O 的切线，切点为F.若∠ACF=65°，则∠E=6、（2015•淄博）如图，在⊙O 中，=，∠DCB=28°，则∠ABC=度．7、（2015山东省济南市）如图，P A 是⊙O 的切线，A 是切点，P A ＝4，OP ＝5，则⊙O 的周长为____________. (结果保留π) 8、（2015•东营）如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m ，其中水面的宽AB 为0.8m ，则排水管内水的深度为 m ．三、解答题9、（2015•滨州）如图，⊙O 的直径AB 的长为10，弦AC 的长为5，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ．（1）求的长．（2）求弦BD 的长．10、（2015•德州）如图，⊙O 的半径为1，A ，P ，B ，C 是⊙O 上的四个点，∠APC=∠CPB=60°． （1）判断△ABC 的形状： ；（2）试探究线段PA ，PB ，PC 之间的数量关系，并证明你的结论； （3）当点P 位于的什么位置时，四边形APBC 的面积最大？求出最大面积．11、（2015•德州）（1）问题如图1，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°，求证：AD •BC=AP•BP ．（2）探究如图2，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由． （3）应用请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在△ABD 中，AB=6，AD=BD=5，点P 以每秒1个单位长度的速度，由点A 出了，沿边AB 向点B 运动，且满足∠DPC=∠A ，设点P 的运动时间为t （秒），当以D 为圆心，以DC 为半径的圆与AB 相切时，求t 的值．12、（2015•莱芜）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上任一点（不与A，B重合），AB⊥CD 于E，BF为⊙O的切线，OF∥AC，连结AF，FC，AF与CD交于点G，与⊙O交于点H，连结CH．（1）求证：FC是⊙O的切线；（2）求证：GC=GE；（3）若cos∠AOC=，⊙O的半径为r，求CH的长．12、（2015•烟台）如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D、E ，且=．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由．（2）已知半圆的半径为5，BC=12，求sin∠ABD的值．14、（2015•菏泽）如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，BC的延长线于⊙O的切线AF交于点F．（1）求证：∠ABC=2∠CAF；（2）若AC=2，CE：EB=1：4，求CE的长．15、（2015•潍坊）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE．（1）求证：直线DF与⊙O相切；（2）若AE=7，BC=6，求AC的长．16、（2015•临沂）如图，点O为Rt△ABC斜边AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若∠BAC=60°，OA=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．17、如图3，⊙P与x轴相切于原点O，P点的坐标为（0,6），A是⊙P上一点，连接ＯＡ，使ta n ∠POA=34，作PD⊥OA，垂足为D，延长PD交x轴于点Ｂ，连接AB。
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2015中考数学真题分类汇编圆综合题
一．解答题（共30小题）
1．（2015•大连）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于点E，与AB的延长线相交于点F．
（1）求证：EF与⊙O相切；
（2）若AB=6，AD=4，求EF的长．
2．（2015•潍坊）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE．
（1）求证：直线DF与⊙O相切；
（2）若AE=7，BC=6，求AC的长．
3．（2015•枣庄）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求证：BC2=CD•2OE；
（3）若cos∠BAD=，BE=6，求OE的长．
4．（2015•西宁）如图，已知BC为⊙O的直径，BA平分∠FBC交⊙O于点A，D是射线BF上的一点，且满足=，过点O作OM⊥AC于点E，交⊙O于点M，连接BM，
AM．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若sin∠ABM=，AM=6，求⊙O的半径．
5．（2015•广元）如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦于点E，交⊙O于点F，且CE=CB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）连接AF、BF，求∠ABF的度数；
（3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求⊙O的半径．
6．（2015•北海）如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED=∠C．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）求证：ED平分∠BEP；
（3）若⊙O的半径为5，CF=2EF，求PD的长．
7．（2015•莆田）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC，BD交于点E，点O 在线段AE上，⊙O过B，D两点，若OC=5，OB=3，且cos∠BOE=．求证：CB是⊙O的切线．
8．（2015•锦州）如图，△ABC中，以AC为直径的⊙O与边AB交于点D，点E为⊙O 上一点，连接CE并延长交AB于点F，连接ED．
（1）若∠B+∠FED=90°，求证：BC是⊙O的切线；
（2）若FC=6，DE=3，FD=2，求⊙O的直径．
9．（2015•甘孜州）如图，△ABC为等边三角形，以边BC为直径的半圆与边AB，AC 分别交于D，F两点，过点D作DE⊥AC，垂足为点E．
（1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）过点F作FH⊥BC，垂足为点H，若AB=4，求FH的长（结果保留根号）．
10．（2015•包头）如图，AB是⊙O的直径，点D是上一点，且∠BDE=∠CBE，BD
与AE交于点F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BD平分∠ABE，求证：DE2=DF•DB；
（3）在（2）的条件下，延长ED，BA交于点P，若PA=AO，DE=2，求PD的长和⊙O 的半径．
11．（2015•本溪）如图，点D是等边△ABC中BC边的延长线上一点，且AC=CD，以AB为直径作⊙O，分别交边AC、BC于点E、点F
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）连接OC，交⊙O于点G，若AB=4，求线段CE、CG与围成的阴影部分的面积S．
12．（2015•常德）已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，∠EAC=60°，求AD的长．
13．（2015•武汉）如图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT=AB．
（1）求证：AT是⊙O的切线；
（2）连接OT交⊙O于点C，连接AC，求tan∠TAC．
14．（2015•衡阳）如图，AB是⊙O的直径，点C、D为半圆O的三等分点，过点C
作CE⊥AD，交AD的延长线于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）判断四边形AOCD是否为菱形？并说明理由．
15．（2015•攀枝花）如图，在⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有点E，且EF=ED．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若OF：OB=1：3，⊙O的半径R=3，求的值．
16．（2015•河池）如图，AB为⊙O的直径，CO⊥AB于O，D在⊙O上，连接BD，CD，延长CD与AB的延长线交于E，F在BE上，且FD=FE．
（1）求证：FD是⊙O的切线；
（2）若AF=8，tan∠BDF=，求EF的长．
17．（2015•毕节市）如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，AC=FC．（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知圆的半径R=5，EF=3，求DF的长．
18．（2015•盐城）如图，在△ABC中，∠CAB=90°，∠CBA=50°，以AB为直径作⊙O 交BC于点D，点E在边AC上，且满足ED=EA．
（1）求∠DOA的度数；
（2）求证：直线ED与⊙O相切．
19．（2015•怀化）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE
（1）求证：△ABC∽△CBD；
（2）求证：直线DE是⊙O的切线．
20．（2015•巴中）如图，AB是⊙O的直径，OD⊥弦BC于点F，交⊙O于点E，连结CE、AE、CD，若∠AEC=∠ODC．
（1）求证：直线CD为⊙O的切线；
（2）若AB=5，BC=4，求线段CD的长．
21．（2015•宁夏）如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA=∠C．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）连接OP，若OP∥BC，且OP=8，⊙O的半径为2，求BC的长．
22．（2015•昆明）如图，AH是⊙O的直径，AE平分∠FAH，交⊙O于点E，过点E 的直线FG⊥AF，垂足为F，B为直径OH上一点，点E、F分别在矩形ABCD的边BC 和CD上．
（1）求证：直线FG是⊙O的切线；
（2）若CD=10，EB=5，求⊙O的直径．
23．（2015•厦门）已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC=90°，∠DCB＜90°，对角线AC平分∠DCB，延长DA，CB相交于点E．
（1）如图1，EB=AD，求证：△ABE是等腰直角三角形；
（2）如图2，连接OE，过点E作直线EF，使得∠OEF=30°，当∠ACE≥30°时，判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由．
24．（2015•福州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，tanB=，半径为2的⊙C，分别交AC，BC于点D，E，得到．
（1）求证：AB为⊙C的切线；
（2）求图中阴影部分的面积．
25．（2015•黄石）如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC交⊙O于D，D是BC的中点．
（1）求BC的长；
（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，求证：直线DE是⊙O的切线．
26．（2015•营口）如图，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，连接OP，过点B作BC∥OP交⊙O于点C，连接AC交OP于点D．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若PD=cm，AC=8cm，求图中阴影部分的面积；
（3）在（2）的条件下，若点E是的中点，连接CE，求CE的长．
27．（2015•宜宾）如图，CE是⊙O的直径，BD切⊙O于点D，DE∥BO，CE的延长线交BD于点A．
（1）求证：直线BC是⊙O的切线；
（2）若AE=2，tan∠DEO=，求AO的长．
28．（2015•随州）如图，射线PA切⊙O于点A，连接PO．
（1）在PO的上方作射线PC，使∠OPC=∠OPA（用尺规在原图中作，保留痕迹，不写作法），并证明：PC是⊙O的切线；
（2）在（1）的条件下，若PC切⊙O于点B，AB=AP=4，求的长．
29．（2015•潜江）如图，AC是⊙O的直径，OB是⊙O的半径，PA切⊙O于点A，PB 与AC的延长线交于点M，∠COB=∠APB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）当OB=3，PA=6时，求MB，MC的长．
30．（2015•广安）如图，PB为⊙O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连接PA、AO，并延长AO交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若=，且OC=4，求PA的长和tanD的值．。