热统答案第三版9第九章 系综理论
热统答案(全)
（2）
或
V T , p V T0 , p0 e
T T0 T p p0
.
（3）
考虑到 和 T 的数值很小，将指数函数展开，准确到 和 T 的线性项，有
V T , p V T0 , p0 1 T T0 T p p0 .
lnV dT T dp .
（3）
若 1 , T 1 ，式（3）可表为
T p
1 1 lnV dT dp . p T
（4）
选择图示的积分路线，从 (T0 , p0 ) 积分到 T , p0 ，再积分到（T , p ） ，相应地体
U CV , T n
（4）
（c）根据题给的数据， J , Y , 对
L L0
的曲线分别如图 1-2 （a） ， （b） ， （c）
所示。
7
1.7 抽成真空的小匣带有活门，打开活门让气体冲入，当压强达到外界 压强 p0 时将活门关上，试证明：小匣内的空气在没有与外界交换热量之前， 它的内能 U 与原来在大气中的内能 U 0 之差为 U U 0 p0V0 ，其中 V0 是它原来在 大气中的体积，若气体是理想气体，求它的温度与体积。 解：将冲入小匣的气体看作系统。系统冲入小匣后的内能U 与其原来在 大气中的内能 U 0 由式（1.5.3）
J YA T2 T1
解：由物态方程
f J , L, T 0
（1）
知偏导数间存在以下关系：
L T J 1. T J J L L T
（2）
所以，有
大学物理第九章热力学基础习题答案精品.doc
习题九9-1 一系统由图示的状态。
经Q&/到达状态。
，系统吸收了320J热量，系统对外作功126J。
⑴若。
沥过程系统对外作功42J,问有多少热量传入系统？（2）当系统由b沿曲线ba返回状态。
，外界对系统作功84 J,试问系统是吸热还是放热？热量是多少?懈］由热力学第一定律Q = \E + A p得星=。
-4在a<b过程中，E b - E = M = 0 - A = 320 -126 = 194/在讪过程中Q2 =^ + 4 = 194 + 42 = 236/o在ba过程中Q, = E. - E b + & = -AE + & = -194-84 = -278J本过程中系统放热。
9-2 2mol氮气由温度为300K,压强为 1.013x10*）（latm）的初态等温地压缩到 2.026 xl05Pa（2atm）o求气体放出的热量。
［解］在等温过程中气体吸收的热量等于气体对外做的功，所以Q T=A=/?TIn-^- = 2x8.3lx300x In-= -3.46x 103JM ］P,2mol 2即气体放热为3.46x103, o9-3 一定质量的理想气体的内能E随体积的变化关系为E- V图上的一条过原点的直线，如图所示。
试证此直线表示等压过程。
［证明］设此直线斜率为奴则此直线方程为E = ki，又E随温度的关系变化式为E = M—Cv ・T = k'TM mo i所以kV = k'T因此堂= C = C（C为恒量）T k又由理想气体的状态方程知，华=。
'（C'为恒量）所以P为恒量即此过程为等压过程。
9-4 2mol氧气由状态1变化到状态2所经历的过程如图所示：⑴沿I一所一2路径。
（2）1 — 2 直线。
试分别求出两过程中氧气对外作的功、吸收的热量及内能的变化。
［解］（1）在1-初一2这一过程中，做功的大小为该曲线下所围的面积，氧气对外做负功。
热力学统计第9章_系综理论
｛
第九章 系综理论
二 系统的微观状态与Г空间中体元的对应
系统由N 个粒子组成，粒子自由度r ，系统自由度N r ， Г空间是2N r 维。
在µ 空间中，粒子的每个状态占据体元 hr . 在Г空间中， 系统的每个微观状态占据体元 hNr .
孤立系统在能量 E—E+∆E 范围内，系统的微观状态数为 1 Nr Ed N! h E H E
第九章 系综理论
5. 刘维定理（代表点密度随时间的变化规律）
d [ qi pi ] 0 dt t qi pi i
如果随着一个代表点沿正则方程所确定的轨道在相空间中运动，其邻 域的代表点密度是不随时间改变的常数-------刘维尔定理 说明：①刘维尔定理完全是力学规律的结果，其中并未引入任何的统 计概念； ②相空间中的代表点在运动中没有集中或分散的倾向，而保持原 的密度。或者说一群代表点经一定时间后由一个区域移动到另一 个区域，在新区域中代表点的密度等于在出发点区域中的密度。
其中（q, p, t )为概率密度分布函数。 满足
（q, p, t )d 1
统计物理学的基本观点认为，力学量的宏观测量值等于相应微观量 对微观状态的统计平均值。
B(t) B(q, p) (q, p, t) d
不同微观状态在统计平均中的贡献由概率分布函数体现。要想计算 统计平均值，必须知道概率分布函数。
第九章 系综理论
§9.2
微正则分布
不同宏观条件下的系统的分布函数不同。本节讨论 孤立系 ( N、E、V 一定 ) 。 由完全相同的极大数目的孤立系统所组成的系综称为微 正则系综。微正则系综的概率分布称为微正则分布。 孤立系系是与外界既无能量交换又无粒子交换的系统。由 于绝对的孤立系是没有的。所以孤立系是指能量在 E—E+∆E 之间，且 ∆E<< E 的系统。尽管∆E 很小，但在此范围内，系统 可能具有的微观状态数仍是大量的，设其为Ω 。由于这些微观 状态满足同样的已经给定的宏观条件，因此它们应当是平权的。 一个合理的假设是，平衡态的孤立系，系统处在每个微观态上 的概率是相等的。 统计意义 即为等概率原理——微正则分布
热力学与统计物理第九章系综理论
根据等概率原理，系统在某一能量分配条件下的微 观状态数越大，该能量分配出现的概率就越大。
因为热平衡必对应概率最大的状态 所以A1，A2达到热平衡时应满足条件： 0 0
二、两种统计平均（1）时间平均（2）系综平均 系统的一个宏观量的测量一般会持续一段时间，如
t0 t t
其中 是一个宏观短而微观长的时间间隔。
宏观短是指在这个时间间隔内，系统的宏观量还 没有发生任何可观测的变化；
微观长是指从微观的角度，在该时间间隔内，系统 的微观运动状态已发生很大变化，从系统的相空间 角度看，系统的代表点已经在相空间中移动了相当 一段。
d ln dE dN dV
比较开系的热力学基本方程 dS dU P dV dN
TT T
P
kT
kT
等价于从热力学得到的单元两相平衡条件：
T1 T2 , P1 P2 , 1 2
下面来确定k的数值：
经典理想气体，1个分子处于V内，可能的微观
当系统处于s量子态时，微观量B的数值为Bs，则 B在一切可能微观状态上的平均值为
B(t) s (t)Bs
s
s (t) 称为分布函数，须满足归一化条件
s s (t) 1
经典系统：
可能的微观态在Γ空间中构成一个连续分布
不同的微观态由相空间的位置标记，
系统相空间的相体积元表示为：
d dq1...dq f dp1...dp f
N!h3N
EH EE
dq1 dq3N dp1 dp3N
热统考试大纲09及6-8习题讲解
《热力学与统计物理》考试大纲2015版第一章热力学的基本定律一、考核知识点（一）基本概念：平衡态、状态参量、状态方程、准静态过程、可逆过程、不可逆过程、功、热量、内能、熵。
（二）基本规律：理想气体状态方程、范德瓦耳斯方程。
热力学第零定律、热力学第一定律、热力学第二定律、熵增加原理。
二、考核要求（一）识记：平衡态、状态方程。
定压膨胀系数、等容压缩系数、等温压缩系数。
准静态过程、可逆过程、不可逆过程。
理想气体状态方程、范德瓦耳斯方程、热力学第一定律、热力学第二定律、熵增加原理。
（二）重点掌握：分别能应用功、热量、内能、熵等概念及理想气体状态方程、范德瓦耳斯方程、热力学第一定律、热力学第二定律、熵增加原理等解决有关问题。
第二章均匀系的热力学关系及其应用一、考核知识点（一）基本概念：焓、自由能、吉布斯函数、特性函数。
（二）基本规律：热力学基本方程组、麦克斯韦关系。
二、考核要求（一）识记：焓、自由能、吉布斯函数、特性函数、热力学基本方程组、麦克斯韦关系。
（二）重点应用：能够熟练确定研究体系的基本热力学函数、确定给定系统的特性函数。
能够熟练应用热力学基本方程组、麦克斯韦关系式及雅克比行列式进行热力学函数变换，寻求不同物理效应之间的关系。
第三章单元复相系的平衡和化学平衡一、考核知识点（一）基本概念：热动平衡判据、相、单元系的复相平衡条件、相变、相平衡、巨热力学势。
（二）基本规律：单元开放系的热力学基本方程组、热动平衡条件、平衡的稳定性条件，相变方向的判定、克拉珀龙方程、表面相影响下的平衡条件、爱伦菲斯特方程。
二、考核要求（一）识记：热平衡判据、单元系的复相平衡条件、单元开放系的热力学基本方程组、平衡稳定性条件、克拉珀龙方程。
（二）重点应用：能够应用热动平衡判据导出系统的平衡条件以及平衡的稳定性条件，能够熟练地应用克拉珀龙方程求证单元系的有关平衡性质。
能够利用热动平衡判据判定不同热力学过程的方向。
第四章多元系的复相平衡和化学平衡一、考核知识点（一）基本概念：偏摩尔量、多元复相系的平衡条件。
高教热统答案第九章
第九章 系综理论习题9.1证明在正则分布中熵可表为∑-=ss s k S ρρln 其中sE s e Zβρ-=1是系统处在s 态的概率。
证： )l n (l n ββ∂∂-=Z Z k S 多粒子配分函数)1(1ss E sE e Z e Z ββρ--=⇒=∑ )2(ln ∑∑---=∂∂kE kE k kke e E Zβββ由(1)知 []s s s s s E Z E Z E Z e s ρβρβρβl n l n 1;l n l n +=-+=-⇒=-代至(2)得[]∑∑+=+=∂∂ss ss s s Z Z Z ρρββρρββl n 1l n 1l n l n 1l n ;于是 ∑-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-=s s s k Z Z k S ρρββln ln ln 习题9.2试用正则分布求单原子分子理想气体的物态方程，内能和熵 证： ()222121;iziy ix Ni s sE p p p mE eZ s++==∑∑=-β 符号∏=iiz iy ix dp dp dp dp符号∏=ii i i dz dy dx dq()()2/33)(232332!!!!1222122212222N NNNp p p m N N p p p m NNp p p N m h N V Z dp e h N V dpeh N V dpdq e hN Z z y x Ni iziy ix Ni iz iy ix m⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑=∑=⎰⎰⎰∞+∞-++-∞+∞-++-++-==βπβββ利用式（9.5.3）VNTkV Z Z Z P =∂∂=∂∂=⇒βββ1ln 1类似求S U ,。
习题9.3体积内盛有两种组元的单原子混合理想气体，其摩尔数为1n 和2n ，温度为T 。
试由正则分布导出混合理想气体的物态方程，内能和熵。
解：()()[]∏∏⎰∑=+++++-+jj j i i i i iz iy ix p p p p p p m n n dq dp dz dy dx dp dp dp e h n n Z jz jy jx iz iy ix 222222212)(321!!1β()2/3)(321)(2121212!!n n n n n n m h n n V Z +++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⇒βπ()kT n n PV VkT n n V Z P )(ln 12121+=⇒+=∂∂=⇒β习题9.5利用范氏气体的配分函数，求内能和熵。
热力学与统计物理 第九章 系综理论
B p, q 就是与微观量 B 相应的宏观量
上式也可以这么理解：
设想有大量结构完全相同的系统，处在相同的给定宏 观条件下，这样的大量系统的集合称为统计系综。 那么在 t 时刻，运动状态在d 范围内的系统数就 与 p, q, t 成正比。 如果在 t 时刻 ，从统计系综中任 取一个系统，这个系统的状态处在 d 范围内的概率为
H p, q E, H p, q E E
E H p, q E E
等概率原理的量子表述： 如果用 表示在 E E E 能量范 围内系统可能的微观状态数 ，那么有
s
1
s
s
1
s 1,2,,
把理解经典统计理解为量子统计的经典极限，对于含有 N 个自由度为 r 的全 同粒子系统，在 E E E 的能量范围内系统的微观状态数 为
1 2
力平衡条件
p1 p2
ln 1 N 1 E1 ,V1
ln 2 N 2 E 2 ,V2
ln N V , E
1 2
相变平衡条件
1 2
ln E N ,V
dx dy dz dx
N
dyN dzN dpx 1 dpy dpz 1 dpx N dpy dpy
1 N
N
0
2m E
确定 空间中的一个曲面，称为能量曲面。 对于经典理论，在 空间中，一点代表代表着系统的 一个微观运动状态，随着时间的推移，这些微观运动状态
的代表点将在 相空间中构成一个连续的分布。 用 d dq1 dq f dp1 dp f 表示相空间中一个体积元， 则在 t 时刻，系统处在 d 内的概率可以表示为 p, q, t d
热统习题解答（全）
热统习题解答（全）第⼀章热⼒学的基本规律1.1 试求理想⽓体的体胀系数α，压强系数β和等温压缩系数κ。
解：理想⽓体的物态⽅程为RT pV =,由此可算得： PP V V k T T P P T T V V T V P 1)(1;1)(1,1)(1=??-==??==??=βα1.2 证明任何⼀种具有两个独⽴参量T ，P 的物质，其物态⽅程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κ，根据下述积分求得： ?-=)(ln kdP adT V ，如果Pk T a 1,1==，试求物态⽅程。
证明：dp p VdT T V p T dV T P )()(),(??+??= 两边除以V,得dp dT dp p VV dT T V V V dV T P κα-=??+??=)(1)(1积分后得 ?-=)(ln kdP adT V 如果,1,1p T ==κα代⼊上式，得C P T PdP T dT V ln ln ln )(ln +-=-=?所以物态⽅程为：CT PV =与1mol 理想⽓体得物态⽅程PV=RT 相⽐较，可知所要求的物态⽅程即为理想⽓体物态⽅程。
1.3在00C 和1atm 下，测得⼀块铜的体胀系数和压缩系数为a=4.185×10-5K -1，k=7.8×10-7atm -1。
a 和k 可以近似看作常数。
今使铜加热⾄100C ，问（1）压⼒要增加多少⼤⽓压才能使铜块的体积维持不变？（2）若压⼒增加100atm ，铜块的体积改变多少？解：（a ）由上题dp dT dp p VV dT T V V V dV T P κα-=??+??=)(1)(1体积不变，即0=dV所以dT kadP = 即atm T k a P 62210108.71085.475==?=?-- (b)475121211211007.4100108.7101085.4)()(---?=??-??=---=-=?p p T T V V V V V κα可见，体积增加万分之4.07。