2019-2020学年福建省厦门双十中学高二上学期期中考试数学试题(解析版)
当命题 Q 为真时， a2 4 0 0 a 2 ；
所以 0 a 1时，命题 P 与命题 Q 均为真命题，故选 B.
【点睛】 本题以函数知识为背景，考查简易逻辑，考查逻辑推理和运算求解能力，考查数形结合 思想的应用．
6．如图 F1, F2
分别是椭圆 x2 y2 1(a 0, b 0) a2 b2
a2
a2
距离结合直角三角形可得到 MAN 的值.
【详解】
双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1的渐近线方程为y
b a
x, 离心率为
c a
2 3， 3
则 c2 a2 b2 1 b2 4 ,则 b2 1，b 3 ,
a2
a2
a2 3 a2 3 a
3
故渐近线方程为 y 3 x ， 3
取 MN 的中点 P,连接 AP,利用点到直线的距离公式可得 d AP ab , c
DA
等于（ ）
1
A．
4
B． 1 4
C． 3 4
D． 3 4
【答案】B
【解析】分析：根据三角形法则得到
EC
DA=-
AC
1 2
AB
·AD
-AC·AD+
1 2
AB·AD
，再根据已知条件，应用向量的点
积运算得到最终结果.
详解：根据向量的基本定理得到
EC
DA=-
A
, kBQ
1
2p
，
2 x2
所以 kAQ kBQ 1，
所以 AQ BQ ，所以| AQ |2 | BQ |2 | AB |2 ，
因为 S 1 | AQ | | BQ | 1 (| AQ |2 | BQ |2 ) 1 | AB |2 1 [2 p(1 m2 )]2 ，
2
4
4
2019-2020 学年福建省厦门双十中学高二上学期期中考试数 学试题
一、单选题
x2
1．设 P 是椭圆
y2
1
上一点， F1, F2 是椭圆的焦点，若 | PF1 | 3 ，则 | PF2 | 等
25 16
于（ ）
A．2 【答案】D
B．3
C．5
D．7
【解析】根据椭圆的定义，可得 PF1 PF2 2a ，可得 PF2 2a PF1 ，即可求解，
A． 45 C． 90
B． 60
D．不能确定
【答案】C
【解析】以 D 为坐标原点， DA ， DC ， DD1 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立
空间直角坐标系 Dxyz ，通过向量的坐标运算得 AM OP 0 ，从而得两直线垂直，即
可得解. 【详解】
以 D 为坐标原点， DA ， DC ， DD1 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角
a
详解：e c 1 ( b )2 2
a
a
b 1 a
所以双曲线的渐近线方程为 x y 0
所以点（4，0）到渐近线的距离 d 4 2 2 11
故选 D
点睛：本题考查双曲线的离心率，渐近线和点到直线距离公式，属于中档题。
4．已知空间四面体
D
ABC
的每条棱长都等于
1，点
E
分别是
AB
的中点，则
EC
【详解】
对于 A 选项，作出图形，取 EF 中点 H，连接 PH，DH，又原图知 BEF 和 DEF 为 等腰三角形，故 PH EF , DH EF ，所以 EF 平面 PDH ，所以 PD EF ，故 A 正确；根据折起前后，可知 PE, PF , PD 三线两两垂直，于是可证平面
PDE 平面PDF ，故 B 正确；根据 A 选项可知 PHD 为二面角 P EF D 的平
得到答案． 【详解】
x2
由题意，椭圆
y2
1
上一点， F1, F2 是椭圆的焦点，
25 16
根据椭圆的定义，可得 PF1 PF2 2a 10 ，
又由 PF1 3，则 PF2 10 PF1 7 ，故选 D．
【点睛】
本题主要考查了椭圆的定义与标准方程的应用，其中解答中熟记椭圆的标准方程，合理 利用椭圆的定义是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
则△F1PF2 的面积是______．
【答案】 3 3
【解析】利用余弦定理求出
PF1 PF2
4 3
，再求△F1PF2
的面积.
【详解】
∵|PF1|＋|PF2|＝4， FF2 2 3 ，又∵∠F1PF2＝60°，
由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°
的两个焦点， A 和 B 是以 O 为圆
心，以 OF1 为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且 F2 AB 是等边三角形，则椭圆的
离心率为（ ）
A． 3 2
1
B．
2
C． 2 2
D． 3 1
【答案】D
【解析】根据等边三角形的性质，求得 A 点坐标，代入椭圆方程，结合椭圆离心率的
取值范围，即可求得椭圆的离心率．
-AC·AD+
1 2
AB·AD
=-（11 1 - 1 11 1）=- 1
22
24
故答案为：B.
点睛：这个题目考查的是向量基本定理，以及空间向量的加减法运算，向量的两个作用：
①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问
题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.
12＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－|PF1|·|PF2|，∴
4
当 m 0 时，可得 S 的最大值为 p2 ，故选 B.
【点睛】 本题是一道与数学文化有关的试题，如果能灵活运用阿基米德三角形的结论，即当直线
AB 过抛物线的焦点，则切线 AQ 与切线 BQ 互相垂直，能使运算量变得更小.
二、多选题
9．如图,正方形 ABCD 中, E、F 分别是 AB、 BC 的中点将 ADE, CDF,BEF 分别
ex x 1 0 ，选 C.
3．已知双曲线
C：x a
2 2
y2 b2
1(a
0 ，b 0) 的离心率为
2 ，则点 (4, 0) 到 C 的渐近
线的距离为
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A． 2
B． 2
C． 3 2 2
D． 2 2
【答案】D
b
【解析】分析：由离心率计算出 ，得到渐近线方程，再由点到直线距离公式计算即可。
A 为圆心，
b 为半径作圆 A ，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M ， N 两点，则有（ ）
A．渐近线方程为 y 3x
C． MAN 60
【答案】BC
B．渐近线方程为 y
3 x
3
D． MAN 120
c2
【解析】由离心率公式
a2 b2
化简可得渐近线方程，通过求圆心 A 到渐近线的
5．当 a 0 时，设命题 P ：函数 f (x) x a 在区间[1, 2] 上单调递增；命题 Q ：不等 x
式 x2 ax 1 0 对任意 x R 都成立．若“ P 且 Q ”是真命题，则实数 a 的取值范围是
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（）
A．1 a 2
B． 0 a 1
C． 0 a 2
2 把直线 AB 的方程代入 y2 2 px( p>0) 得： y2 2 pmy p2 0 ，
所以 y1
y2
2 pm, y1 y2
p2 , x1x2
p2 4
，则
| AB | 1 m2 ( y1 y2 )2 4 y1y2 2 p(1 m2 ) ，
由导数的知识得： kAQ
2p
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8．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿 基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线
的交点在其准线上.设抛物线 y2 2 px( p>0) ，弦 AB 过焦点， △ABQ 为阿基米德三
角形，则 △ABQ 的面积的最小值为（ ）
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沿 DE、DF、EF 折起,使 A、B、C 重合于点 P .则下列结论正确的是（ ）
A． PD EF B．平面 PDE 平面PDF C．二面角 P EF D 的余弦值为 1
3 D．点 P 在平面 DEF 上的投影是 DEF 的外心
【答案】ABC
【解析】对于 A 选项，只需取 EF 中点 H，证明 EF 平面 PDH ；对于 B 选项，知 PE, PF , PD 三线两两垂直，可知正确；对于 C 选项，通过余弦定理计算可判断；对于 D 选项，由于 PE PF PD ，可判断正误.
ab 则 cos PAN AP c a ，
AN b c
所以 cos MAN
cos 2PAN
2
a2 c2
1
1 2
则 MAN
60
故选 BC
【点睛】 本题考查双曲线的简单的几何性质，考查双曲线的渐近线和离心率的应用，考查圆的有
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关性质，属于中档题.
三、填空题
11．已知 ABC 的三个顶点为 A(3,3, 2) ， B(4, 3, 7) ， C(0,5,1) ，则 BC 边上的
2．已知命题 p : “x R, ex x 1 0” ，则 p 为
A． x R, ex x 1 0
B． x R, ex x 1 0
C． x R, ex x 1 0
D． x R, ex x 1 0
福建省厦门市双十中学2019-2020学年高二数学上学期开学考试试题(含解析)
如果 ,则可得到 平面 ,故 与已知矛盾.故A错误
三棱锥 的体积为 .故B错误
在直角三角形 中，
在三角形 中, 满足
又 所以 平面 ，所以平面 平面 ,故D正确
综上所述：答案为CD
【点睛】本题考查了立体几何线线垂直，线面垂直，体积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
∴cos∠AEF ,即异面直线AE与A1D所成角的余弦值为
【点睛】本题考查了异面直线夹角的定义及作法，意在考查学生的计算能力和空间想象能力。
15。当曲线 与直线 有两个相异交点时，实数 的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】
由解析式可知曲线为半圆，直线恒过 ；画出半圆的图象，找到直线与半圆有两个交点的临界状态，利用圆的切线的求解方法和两点连线斜率公式求得斜率的取值范围。
对于B，同向不等式均 正时，才能相乘，故不正确；
对于C，c的符号不定，故不正确;
对于D， ，故正确．
故选：D．
【点睛】本题考查不等式的性质，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
3.函数 取得最小值时的 值为（)
A. B。 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
将函数边形为 利用双勾函数得到答案。
【详解】
在△AMC中，AM= =20 ，∠AMC=105°，∠ACM=30°，
∴ ,
∴AC=60+20 ，
∴CD=30—10 +AC =60m。
本题选择B选项。
【点睛】解三角形应用题的一般步骤：
（1)阅读理解题意,弄清问题的实际背景，明确已知与未知,理清量与量之间的关系．
（2）根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题的模型．
福建高二高中数学期中考试带答案解析
福建高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.已知集合，，则（）A．B．C．D．3.函数的图象大致是（）4.如图，正方形中，点，分别是，的中点，那么（）A．B．C．D．5.一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归模型为用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（）A．身高一定是145.83cm B．身高在145.83cm以上C．身高在145.83cm以下D．身高在145.83cm左右6.已知函数，则该函数的定义域为（）A．B．C．D．7.已知下列命题中真命题的个数是（）（1）若，且，则或，（2）若，则或，（3）若不平行的两个非零向量，满足，则，（4）若与平行，则.A．B．C．D．8.某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算的K2≈3.918，经查临界值表知P（K2≥3.841）≈0.05.则下列表述中正确的是（）A．有95℅的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”B．若有人未使用该血清，那么他一年中有95℅的可能性得感冒C．这种血清预防感冒的有效率为95℅D．这种血清预防感冒的有效率为5℅9.下列选项叙述错误的是（）A．命题“若”的逆否命题是“若”B．若命题C．若为真命题，则p，q均为真命题D．“”是“”的充分不必要条件10.下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（）A．B．C．D．11.定义运算，函数图像的顶点是，则（）A．0B．-14C．-9D．-312.已知为定义在上的可导函数，且对于恒成立，设（e为自然对数的底），则（）A．B．C．D．F（2012）与F（0）的大小不确定二、填空题1.已知向量，，且，那么等于 .2.已知函数，则的极小值是 .3.已知函数. 若,且，则的取值范围是 .4.观察下列式子：，，，… ，根据以上式子可以猜想：.三、解答题1.已知平面向量，（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若，求的值.2.已知集合，（Ⅰ）若=5，求；（Ⅱ）若，求的取值范围.3.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）若，求实数的取值范围.4.已知函数；（Ⅰ）若，求过点的切线方程；（Ⅱ）若，求的值.5.国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值y (美元)与其重量x (克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元.（Ⅰ）写出y关于x的函数关系式；（Ⅱ）若把一颗钻石切割成重量比为1∶3的两颗钻石，求价值损失的百分率；（Ⅲ）把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m 克拉和n克拉，试证明：当m="n" 时，价值损失的百分率最大.(注：价值损失的百分率=×100% ；在切割过程中的重量损耗忽略不计)6.已知函数，．（Ⅰ）当时，求函数的最小值；（Ⅱ）当时，讨论函数的单调性；（Ⅲ）是否存在实数，对任意的，且，有恒成立，若存在求出的取值范围，若不存在，说明理由.福建高二高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】解：，实部为负数，虚部为正数，因此为第二象限。
福建省厦门双十中学2023届高三上学期期中考试数学试题(解析版)
厦门双十中学2022-2023学年（上）期中考试高三数学试题注意事项：1.答题前，考生务必用0.5mm 黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集=U R ，集合2{0,1,2},{|0}A B x x x ==+=，则下列关于集合,A B 关系的韦恩图正确的是（）A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】解出集合B ，结合集合A 即可得答案.【详解】由集合2{|0}B x x x =+=，{0,1}B =-,又集合{0,1,2}A =，所以{0}A B = ，结合选项就得A 故选：A.2.已知复数z =，则z 的共轭复数z =（）A.14-- B.13i 2- C.14-+ D.13i 2-+【答案】C 【解析】【分析】根据复数代数形式的四则运算求出z，再根据共轭复数的概念即可解出．【详解】由)()2i i13i41z---===+，知14z-+=.故选：C．3.已知a，R,0b ab∈≠，则使11a b<成立的一个充分不必要条件是（）A.a b>B.0a b<< C.()0ab a b-> D.0a b>>【答案】D【解析】【分析】由题意只要利用不等式的性质即可判断.【详解】解：由题意得：对于选项A：a b>不能推出11a b<，若1,2a b==-，则11a b>，故a b>不是11a b<的充分条件，故A 错误；对于选项B：11a ba b<<⇒>，故0a b<<不是11a b<的充分条件，故B错误；对于选项C：()()221110,000ab a b ab ab a ba b b a->≠⇒⋅->⇒->，故可知()0ab a b->是11a b<成221110,00()0ab a b ab a bb a b⎛⎫<≠⇒-<⇒->⎪⎝⎭所以()0ab a b->是11a b<的充分必要条件，故C错误；对于选项D：11a ba b>>⇒<，故0a b>>是11a b<的充分条件，但是11a b<不能推出0a b>>，若2a=-，=3b，则不满足0a b>>，故0a b>>是11a b<的充分不必要条件，故D正确.故选：D4.将3πsin34y x⎛⎫=-⎪⎝⎭图象上每一个点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），得到()y g x=的图象，再将()y g x=图象向左平移3π4，得到()y xϕ=的图象，则()y xϕ=的解析式为（）A.siny x= B.cosy x= C.sin9y x= D.3πsin92y x⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】A【解析】【分析】根据三角函数图象平移规律可得答案.【详解】将3πsin 34y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上每一个点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），得到()3πsin 4⎛⎫- ⎪⎝⎭=x g x 的图象，再将()y g x =图象向左平移3π4，得到()3π3πsin sin 44x x x ϕ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎝⎭⎣⎦的图象，故选：A.5.如图，在ABC 中，π3BAC ∠=，2AD DB =，P 为CD 上一点，且满足12AP mAC AB =+ ，若2AC = ，3AB =，则||AP 的值为（）A.B.132C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】设CP CD λ=，根据平面向量线性运算及平面向量基本定理求出λ、m 的值，依题意可得ADC△为等边三角形，求出CP ，再由余弦定理求出AP 即可；【详解】解：设CP CD λ=，则221()(1)332AP AC CP AC CD AC AB AC AB AC AB mAC λλλλ=+=+=+-=+-=+，∴21=32=1m λ-λ⎧⎪⎨⎪⎩，解得3=41=4m λ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩．因为3AB = ，所以223AD AB ==，又2AC = ，π3BAC ∠=，所以ADC △为等边三角形，所以π3ACD ∠=，3342CP CD ==，由余弦定理22222331132cos 2222224AP A A C C CD C C D D A ⎛⎫=+-⋅+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭∠=，所以2AP =；故选：B6.已知()0,πα∈，且3cos 28cos 5αα-=，则sin 2α=（）A.459-B.C.49-D.4527-【答案】A 【解析】【分析】结合二倍角公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案.【详解】由于3cos 28cos 5αα-=，所以()232cos18cos 5αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去），由于()0,πα∈，所以5sin 3α==，所以45sin 22sin cos 9ααα==-.故选：A7.纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中的纳皮尔比拟式､纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数表，可以利用对数表查询出任意对数值.现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是1T （℃），空气的温度是0T （℃），经过t 分钟后物体的温度T （℃）可由公式()()310304log log t T T T T =---⎡⎤⎣⎦得出；现有一杯温度为70℃的温水，放在空气温度为零下10℃的冷藏室中，则当水温下降到10℃时，经过的时间约为（）参考数据：lg 20.301≈，lg 30.477≈.A.3.048分钟 B.4.048分钟C.5.048分钟D.6.048分钟【答案】C 【解析】【分析】先将已知数据代入公式，再用对数运算性质得到34log 4，用换底公式将3为底的对数换成10为底的对数，代入已知对数值计算即可.【详解】依题意，170T =，010T =-，10T =，代入公式得：()()()31030334log log 4log 80log 20t T T T T =---=-⎡⎤⎣⎦33804lg 44log 4log 420lg 3===8lg 280.301 5.048lg 30.477⨯=≈≈（分钟），故选：C.8.设0.010.01e a =，199b =，ln 0.99c =-，则（）A.c<a<b B.c b a <<C.a b c << D.a c b<<【答案】A 【解析】【分析】根据给定数的特征，构造对应的函数，借助导数探讨单调性比较函数值大小作答.【详解】令函数e ,,ln(1)1xxy x t u x x===---，1)x ∈-，显然0,0y t >>，则ln ln ln [ln ln(1)]ln(1)y t x x x x x x -=+---=+-，令()ln(1)f x x x =+-，1)x ∈-，求导得1()1011x f x x x '=+=<--，即()f x 在1)上单调递减，1)x ∀∈-，()(0)0f x f <=，即ln ln y t y t <⇔<，因此当1)x ∈-时，e 1xx x x <-，取0.01x =，则有0.010.0110.01e 10.0199a b =<==-，令()e ln(1)xg x y u x x =-=+-，1)x ∈-，21(1)e 1()(1)e 11x xx g x x x x -+'=++=--，令2()(1)e 1x h x x =-+，1)x ∈-，2()(21)e 0x h x x x '=+-<，()h x在1)-上单调递减，1)x ∀∈-，()(0)0h x h <=，有()0g x '>，则()g x 在1)-上单调递增，1)x ∀∈-，()(0)0g x g >=，因此当1)x ∈-时，e ln(1)x x x >--，取0.01x =，则有0.010.01e ln(10.01)ln 0.99a c =>--=-=，所以c<a<b .故选：A【点睛】思路点睛：涉及某些数或式大小比较，探求它们的共同特性，构造符合条件的函数，利用函数的单调性求解即可.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合得题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知1sin cos 5αα-=，且α为锐角，则下列选项中正确的是（）A.12sin cos 25αα= B.7sin cos 5αα+=C.0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D.4tan 3α=【答案】ABD 【解析】【分析】根据()2sin cos 12sin cos αααα±=±，并结合α为锐角求解即可.【详解】解：因为1sin cos 5αα-=，所以242sin cos 25αα=，即12sin cos 25αα=所以()249sin cos 12sin cos 25αααα+=+=，因为α为锐角，所以7sin cos 5αα+=，所以43sin ,cos 55αα==，所以4tan 13α=>，所以,42⎛⎫∈⎪⎝⎭ππα故选：ABD10.已知1F ，2F 是双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 作倾斜角为30°的直线分别交y 轴与双曲线右支于点M ，P ，1PM MF =，下列判断正确的是（）A.21π3PF F Ð=B.2112MF PF =C.ED.E 的渐近线方程为y =【答案】BD 【解析】【分析】根据题意得2//OM PF ，212PF F F ⊥，2112MF PF =；由212PF F F ⊥知：22b PF a=，又122F F c =，1230PF F ∠= ，求解离心率，根据离心率求解渐近线方程即可判断.【详解】如下图所示，因为1PM MF =，即M 为1PF 中点，O 为12F F 中点，所以2//OM PF ，因为12OM F F ⊥，所以212PF F F ⊥，所以21π2PF F ∠=，2112MF PF =，A 错误，B 正确；由212PF F F ⊥知222221PF c a b -=，所以22b PF a =，又122F F c =，1230PF F ∠= ，所以22c a=)222c a ac -=220e --=，解得：e =C 错误；所以==c e a ，所以223c a =，所以22222b c a a =-=，所以ba=所以E 的渐近线方程为y =，D 正确．故选：BD ．11.已知()[]()sin 1,1f x x x x =+∈-，且实数a ，b 满足()()10f a f b +-=成立，则以下正确的是（）A.ab 的最大值为14B.ab 的最小值为2-C.14a b+的最小值为9 D.b a -的最大值为3【答案】ABD 【解析】【分析】根据条件可得1a b +=，其中[]1,1a ∈-，[]0,2b ∈，即可判断每个选项正误.【详解】()f x 为奇函数，()()()()()10111f a f b f a f b f b a b +-=⇒=--=-⇒=-，()f x 定义域为[]1,1-，则[]1,1a ∈-，[][]11,10,2b b -∈-⇒∈，并且1a b +=，()21111424ab b b b ⎛⎫=-=--≤ ⎪⎝⎭，A 正确；当2b =，1a =-时，ab 最小值为2-，b a -最大值为3，B 、D 正确；14121a b+=-+=，C 错误.故选：ABD.【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，属于基础题.12.如图，若正方体的棱长为1，点M 是正方体1111ABCD A B C D -的侧面11ADD A 上的一个动点（含边界），P 是棱1CC 的中点，则下列结论正确的是（）A.当M 为AD 中点时，三棱锥M -BDP 的体积为124B.沿正方体的表面从点A 到点P 的最短路程为132C.若保持PM =，则点M 在侧面内运动路径的长度为3πD.若M 在平面11ADD A 内运动，且111MD B B D B ∠=∠，点M 的轨迹为抛物线【答案】ABC 【解析】【分析】求得三棱锥M -BDP 的体积判断选项A ；依据同一平面内两点之间线段最短判断选项B ；先判断出点M 在侧面内运动的轨迹，再去求得其长度判断选项C ；建立空间直角坐标系求得点M 的轨迹方程判断选项D.【详解】选项A ：当M 为AD 中点时，11111113322224M BDP P BDM BDM V V S PC --==⋅=⨯⨯⨯⨯=△.判断正确；选项B ：将平面ABCD 与平面11BB C C 展开在同一平面，连接AP ，则2222313122AP AD PD ⎛⎫=+=+=⎪⎝⎭又将平面ABCD 与平面11DD C C 展开在同一平面，连接AP ，则2222313122AP AB PB ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭综上，沿正方体的表面从点A 到点P 的最短路程为132.判断正确；选项C ：取1DD 中点E ，连接,PE ME PM，则PE ⊥平面11AA D D ，PE ME ⊥，则()2222=211ME PM PE -=-则点M 在侧面11AA D D 内运动轨迹为以E 为圆心半径为1的劣弧，分别交11AD A D 、于21M M 、，则121π3D E D M M E ∠=∠=则21π3M M E ∠=，劣弧21M M 的长为ππ1=33⨯.判断正确；选项D ：以D 为原点，分别以DA 、DC 、1DD 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系如图：则11(1,1,0),(1,1,1),(0,0,0),(0,0,1)B B D D ，设(,0,)M m n ，[],0,1m n ∈则1111(1,1,1),(,0,1),(1,1,0)D B D M m n D B =-=-=11122111cos 3(1)D B D M MD B D B D M m n ⋅∠==⋅⋅+- 11111111116cos 332D B D B B D B D B D B ⋅∠==⋅⋅ 又()1110,πMD B B D B ∠=∠∈，则111cos cos MD B B D B ∠=∠221633(1)m n =⋅+-整理得2222210m n mn m n ++--+=即10m n +-=10m n +-=，[],0,1m n ∈表示线段，则点M 的轨迹不为抛物线.判断错误.故选：ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知平面向量a ，b 满足()3,4a =r ，6a b ⋅=，7a b -= ，则b = ______.【答案】6【解析】【分析】先由a的坐标，得到a r ，然后根据7a b -= ，两边同时平方，即可求得b .【详解】因为()3,4a =r，则5a = ，又因为6a b ⋅=，7a b -= ，所以22249a a b b -⋅+=r r r r ，即2366b b =⇒=r r 故答案为:6.14.若函数2())f x x x =为奇函数，则=a ________．【答案】1【解析】【分析】根据题意，求出()f x 的表达式，由奇函数的定义可得()()0f x f x +-=，变形计算可得a 的值，验证即可得答案．【详解】解：因为函数())2lnf x x x =-为奇函数，所以()()0f x f x -+=，而())2lnf x x x -=，则()()))22lnlnf x f x x x x x+-=-++)))()22222lnlnlnln x x x x xx x x a x ⎡⎤=-++=-+=+-⎢⎥⎣⎦2ln 0x a ==，所以ln 0a =，则=1a .故答案为：1.15.写出与圆221x y +=和圆()()224316x y -++=都相切的一条切线方程___________.【答案】1y =或247250x y ++=或4350x y --=【解析】【分析】先判断两圆位置关系，再分情况依次求解可得.【详解】圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1；圆()()224316x y -++=的圆心为()4,3C -，半径为4，圆心距为5OC =，所以两圆外切，如图，有三条切线123,,l l l ，易得切线1l 的方程为1y =，因为3l OC ⊥，且34OC k =-，所以343l k =，设34:3l y x b =+，即4330x y b -+=，则()0,0O 到3l 的距离315b =，解得53b =（舍去）或53-，所以343:50x y l --=，可知1l 和2l 关于3:4OC y x =-对称，联立341y x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得4,13⎛⎫- ⎪⎝⎭在2l 上，在1l 上任取一点()0,1，设其关于OC 的对称点为()00,x y ，则0000132421314y x y x +⎧=-⨯⎪⎪⎨-⎛⎫⎪⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得002425725x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则27124252447253l k --==--+，所以直线2244:173l y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，即247250x y ++=，综上，切线方程为1y =或247250x y ++=或4350x y --=.故答案为：1y =或247250x y ++=或4350x y --=.16.如图，在四棱锥P ABCD -的平面展开图中，四边形ABCD 是矩形，ABE 是等边三角形，AD AH ⊥，1AD =，2AB =.则平面展开图中sin GCF ∠=___________，四棱锥P ABCD -的外接球半径为___________.【答案】①.35##0.6②.6【解析】【分析】由题意可得sin sinBCF DCG ∠=∠=22GCF BCF DCG ππ∠=-∠-∠-，然后利用三角恒等变换公式可求得sin GCF ∠的值，如图，连接,AC BD 交于点M ，四棱锥P ABCD -的外接球球心为O ，由已知条件可得平面ABCD ⊥平面ABP ，取AB 的中点H ，连接PH ，则PH ⊥平面ABCD ，设ABP 的外接圆圆心为N ，连接,OM ON ，从而可得四边形OMHN 是矩形，连接OD ，利用勾股定理可求得结果【详解】因为在四棱锥P ABCD -的平面展开图中，四边形ABCD 是矩形，ABE 是等边三角形，AD AH ⊥，1AD =，2AB =，所以sin sinBCF DCG ∠=∠=所以sin sin(2)2GCF BCF DCG ππ∠=-∠-∠-，sin(222DCG ππ=-∠-，cos 2DCG=-∠2432sin 12155DCG =∠-=⨯-=，如图，连接,AC BD 交于点M ，四棱锥P ABCD -的外接球球心为O ，在四棱锥P ABCD -中，,AD AP AD AB ⊥⊥，AP AB A = ，所以AD ⊥平面ABP ，因为AD ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面ABP ，取AB 的中点H ，连接PH ，因为PAB 为等边三角形，所以PH AB ⊥，因为平面ABCD ⋂平面ABP AB =，PH ⊂平面ABP ，所以PH ⊥平面ABCD ，设ABP 的外接圆圆心为N ，连接,OM ON ，则OM ⊥平面ABCD ，ON ⊥平面ABP ，则OM ∥PH ，可证得ON ∥MN ，所以四边形OMHN 是矩形，连接OD ，由于PAB 为等边三角形，所以113323323NH PH ==⨯⨯=，所以33OM =,设四棱锥P ABCD -的外接球半径为R ，则22215193412R OM DM =+=+=，解得576R =，故答案为：35，576四、共解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､､证明过程或演算步骤.17.正项等差数列{}n a 满足14a =，且247,2,28+-a a a 成等比数列，{}n a 的前n 项和为n S ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令12n n b S =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）22n a n =＋；（2）24n n +【解析】【分析】（1）假设公差，由等比中项列式，解出公差由等差数列通项公式即可求出；（2）求出n S ，表示出n b ，由其特点，利用裂项相消的方法求前n 项和.【详解】（1）设数列{}n a 公差为0d d （＞），由已知得：()()2274282a a a －＝＋，化简得：24120d d ＋－＝，解得：2d ＝或6d ＝－（舍），所以()1122n a a n d n ＝＋－＝＋．（2）因为()()1226+322n n a a n n Sn n n ++===，所以()()2111112321212n n b S n n n n n n ====-+++++++，所以123n n T b b b b ⋯＝＋＋＋＋＝11111111-+-+-+...23344512n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝11-2224n n n =++．【点睛】本题考查数列通项公式及前n 项和的求法，求通项时若已知数列类型可设首项及公差或公比然后列式解方程，求和时若通项为分式类型，则可考虑尝试裂项相消的求法.18.如图，在ABC 中，2AB =，3cos cos cos a B b C c B -=，点D 在线段BC 上．（1）若34ADC π∠=，求AD 的长；（2）若2BD DC =，ACD 的面积为423，求sin sin BAD CAD ∠∠的值．【答案】（1）83AD =；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出cos B ，利用同角三角函数的平方关系可求得sin B 的值，然后在ABD △中，利用正弦定理可求得AD 边的长；（2）设CD t =，则2BD t =，利用三角形的面积公式可求得t 的值，然后在ABD △、ACD 中利用正弦定理，再结合sin sin ADB ADC ∠=∠，可求得结果.【小问1详解】解：因为3cos cos cos a B b C c B -=，由正弦定理可得()()3sin cos sin cos cos sin sin sin sin A B B C B C B C A A π=+=+=-=，()0,A π∈ ，则sin 0A >，故1cos 3B =，则B为锐角，所以，sin 3B ==，34ADC π∠=，则4ADB π∠=，在ABD △中，由正弦定理得sin sin AD ABB ADB=∠，∴22232=，解得83AD =．【小问2详解】解：设CD t =，则2BD t =，423ACD S =△，则3ABC ACD S S ==△△，即1222323t ⨯⨯⨯=2t =，故36BC t ==，由余弦定理可得AC =在ABD △中，由正弦定理可得sin sin BD ABBAD ADB =∠∠，故sin 2sin BAD ADB ∠=∠，在ACD 中，由正弦定理可得sin sin CD AC CAD ADC=∠∠，故2sin 4CAD ADC ∠=∠，因为()sin sin sin ADB ADC ADC π∠=-∠∠，所以，sin sin 24BAD CAD ∠==∠19.平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深y （米）是随着一天的时间t （0≤t ≤24，单位小时）呈周期性变化，某天各时刻t 的水深数据的近似值如表：t （时）03691215182124y （米）1.52.41.50.61.42.41.60.61.5（1）根据表中近似数据画出散点图（坐标系在答题卷中）．观察散点图，从①sin()y A t ωϕ=+，②cos()y A t b ωϕ=++，③sin y A t b ω=-+(0,0,0)A ωπϕ>>-<<．中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式；（2）为保证队员安全，规定在一天中的5～18时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据（1）中的选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全．【答案】（1）作图见解析；选②cos()y A t b ωϕ=++做为函数模型，0.9sin 1.56y t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）安排早上5点至7点以及11点至18点【解析】【分析】（1）根据表中近似数据画出散点图，选②cos()y A t b ωϕ=++做为函数模型，由此利用三角函数的图象和性质求出该拟合模型的函数解析式即可．（2）由0.9sin 1.56y t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令y ≥1.05，得1sin 62t π⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，从而解出121127k t k -≤≤+，即可求出结果．【小问1详解】根据表中近似数据画出散点图，如图所示：结合散点图可知，图形进行了上下平移和左右平移，故选②cos()y A t b ωϕ=++做为函数模型，∴ 2.40.6 2.40.60.9 1.522A b -+====，，∵2126T ππωω==∴=，，∴0.9cos 1.56y t πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，又∵函数y ＝0.9cos （6t π+φ）+1.5的图象过点()3,2.4，∴2.40.9cos(3) 1.56πϕ=⨯++，∴cos 12πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，∴sin 1ϕ=-，又∵0πϕ-<<，∴φ2π=-，∴0.9cos 1.50.9sin 1.5626y t t πππ⎛⎫⎛⎫=-+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，【小问2详解】由（1）知：0.9sin 1.56y t π⎛⎫=+⎪⎝⎭令y ≥1.05，即0.9sin 1.5 1.056t π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，∴1sin 62t π⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，∴()722666k t k k Z πππππ-≤≤+∈，∴121127k t k -≤≤+，又∵5≤t ≤18，∵5≤t ≤7或11≤t ≤18，∴这一天可以安排早上5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练，才能确保集训队员的安全．20.如图，三棱柱111ABC A B C -，底面ABC 是边长为2的正三角形，11A A A B =，平面ABC⊥平面11AA C C .（1）证明：1A C ⊥平面ABC ；（2）若BC 与平面1AA B 所成角的正弦值为7，求平面1AA B 与平面11BB C C 夹角的余弦值.【答案】（1）证明过程见解析（2）57【解析】【分析】（1）作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，进而得到线线垂直，得到BD ⊥1AC ，再证明出AB ⊥1AC ，从而得到1A C ⊥平面ABC ；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解面面角的余弦值.【小问1详解】取AB 的中点N ，AC 的中点D ，连接BD ，1A N ，CN ，因为底面ABC 是边长为2的正三角形，11A A A B =，所以1A N AB ⊥，BD ⊥AC ，CN ⊥AB ，因为ABC⊥平面11AA C C ，交线为AC ，因为BD ⊥AC ，所以BD ⊥平面1A AC ，因为1AC ⊂平面1A AC ，所以BD ⊥1AC ，因为1A N NC N = ，1,A N NC ⊂平面1A NC ，所以AB ⊥平面1A NC ，因为1AC ⊂平面1A NC ，所以AB ⊥1AC ，因为AB BD B = ，,AB BD ⊂平面ABC ，所以1A C ⊥平面ABC ；【小问2详解】过点C 作CF //AB ，以C 为坐标原点，CN 所在直线为x 轴，CF 所在直线为y 轴，1CA 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则()))()()()1110,0,0,,1,0,0,0,,0,2,,C BAA mB mC m --，0m >，()()()1,0,2,0,1,0AA m AB BC ===- ，()10,2,2CB =，设平面1AA B 的法向量为(),,t x y z =，则()()()()1,,0,,0,2,020t AA x y z m y mz t AB x y z y ⎧⋅=⋅=++=⎪⎨⎪⋅=⋅==⎩，解得：0y =，设1x =，则z m=，故31,0,t m ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，故21cos ,7BC t BC t BC t⋅==⋅ ，因为0m >，解得：2m =，故31,0,2t ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭设平面11BB C C 的法向量为(),,n ab =，则()()()()1,,0,2,2220,,1,00nCB a b c b c n BC a b c b ⎧⋅=⋅=+=⎪⎨⋅=⋅-=-=⎪⎩，设1b =，则31,3c a =-=-，则3,1,13n ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面1AA B 与平面11BB C C 夹角的余弦值为θ，则5cos cos ,7t n t n t nθ⋅===⋅ ，故平面1AA B 与平面11BB C C 夹角的余弦值为57.21.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为()3,0，且经过点()．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）已知A ，B 是双曲线C 上关于原点对称的两点，垂直于AB 的直线l 与双曲线C 有且仅有一个公共点P ．当点P 位于第一象限，且PAB 被x 轴分割为面积比为3:2的两部分时，求直线AB 的方程．【答案】（1）22163x y -=；（2）y =.【解析】【分析】（1）由题意可得22229811a b a b⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解方程组即可求出结果；（2）分别将直线AB 以及直线l 的方程与双曲线联立，表示出点B 与点P 的坐标，然后根据题意得到关于,k m 的方程组，解方程组即可求出结果.【小问1详解】因为22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为()3,0，且经过点()，所以22229811a b a b ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得2263a b ⎧=⎨=⎩．故双曲线C 的标准方程为22163x y -=．【小问2详解】由题意知，直线AB 的斜率存在且不为0，设AB 的方程为y kx =．联立22163x x y kx ⎧-=⎪⎨⎪=⎩消去y ，得()221260k x --=．由21200k k ⎧->⎨≠⎩得22k -<<且0k ≠，解得22612x k =-．因为l 与AB 垂直，所以设l 的方程为1y x m k=-+．联立221631x y y x m k ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y ，化简得()()222224230k x kmx k m -+-+=．由22k -<<且0k ≠，得220k -≠．因为l 所以Δ0=，即()()22222168320k m km k ++-=，化简得()22232k m k =-，且点2222,22km mk P k k ⎛⎫- ⎪--⎝⎭．因为P 点位于第一象限，所以0m <，202k -<<．不妨设A ，B 分别位于双曲线的左、右两支上，记BP 与x 轴的交点为M ．因为PAB 被x 轴分割为面积比为3:2的两部分，且PAO 与PBO 面积相等，所以POM 与BOM 的面积比为1:4，由此可得4P B y y =-．因此2242mk k ⨯=--，即()22222616122m k k k ⨯=--．又因为()22232k m k =-，所以223616212k k ⨯=--，解得225k =．因为02k -<<，所以5k =-，故直线AB的方程为y x =．【点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为()22220x y a bλλ-=≠，再由条件求出λ的值即可.22.已知函数ln ()()a x f x a R x+=∈．（1）当函数()f x 与函数()ln g x x =图象的公切线l 经过坐标原点时，求实数a 的取值集合；（2）证明：当10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()()h x f x ax =-有两个零点12,x x ，且满足12111x x a +<．【答案】（1）1ln 22⎧⎫⎨⎬⎩⎭；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）先利用导数的几何意义和函数()ln g x x =求出公切线方程，再将公切线方程与函数()f x 联立，表示21ln a x x e =-，再构造函数21()ln m x x x e=-利用导数求出其单调区间和值域，可求出a 的取值；（2）要证()h x 有两个零点，只要证2()ln k x ax x a =--有两个零点即可，而1x =时函数()k x 的一个零点，所以只需再利用导数研究此函数的性质即可，由于两个零点，一个是1x =，另一个在区间⎫+∞⎪⎭上，若设121,x x =>则12211111x x x +=+<+，所以只需利用导数证明11a <即可.【详解】解：（1）设公切线l 与函数()ln g x x =的切点为()00,x y ，则公切线l 的斜率()001k g x x '==，公切线l 的方程为：()0001y y x x x -=-，将原点坐标(0,0)代入，得01y =，解得0x e =，公切线l 的方程为：1y x e=，将它与ln ()a x f x x +=联立，整理得21ln a x x e=-．令21()ln m x x x e =-，对之求导得：22()x e m x ex-'=，令()0m x '=，解得x =当x ∈时，()0,()m x m x '<单调递减，值域为ln 2,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，当)x ∈+∞时，()0,()m x m x '>单调递增，值域为ln 2,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，由于直线l 与函数()f x 相切，即只有一个公共点，故实数a 的取值集合为1ln 22⎧⎫⎨⎬⎩⎭．（2）证明：2ln ()a x ax h x x+-=，要证()h x 有两个零点，只要证2()ln k x ax x a =--有两个零点即可．(1)0k =，即1x =时函数()k x 的一个零点．对()k x 求导得：1()2k x ax x '=-，令()0k x '=，解得x =x >()0,()k x k x '>单调递增；当0x <<时，()0,()k x k x '<单调递减．当x =()k x取最小值，(1)0k k <=，22221()ln (1)12k x ax x a ax x a ax x a ax x =-->---=-+->-+，必定存0x >2001()02u x ax x =-+>，即()()000k x u x >>．因此在区间上0x ⎫⎪⎭必定存在()k x 的一个零点．练上所述，()h x 有两个零点，一个是1x =，另一个在区间⎫+∞⎪⎭上．下面证明12111x x a+<．由上面步骤知()h x 有两个零点，一个是1x =，另一个在区间⎫+∞⎪⎭上．不妨设121,x x =>12211111x x x +=+<+11a +<即可．令1()1v a a =-，对之求导得21()0v a a'=--<，故()v a在定义域内单调递减，11()102v a v a ⎛⎫=->= ⎪⎝⎭，即11a <．【点睛】此题考查切线与导数的关系，利用导数研究函数零点个数，利用导数证明不等式，考查数学转换思想和计算能力，属于难题.第26页/共26页。
2020-2021学年厦门双十中学高二数学上册期中试卷与答案
第Ⅰ卷（选择题 共60试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷两部分，满分150分考试时间1202020-2021学年厦门双十中学高二数学上册期中试卷分钟分）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．在答题卷上相应题目的答题区域内作答． 1．方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．2．若直线：与直线：互相垂直，则的值为（）A ．B ．C ．或D ．或3．圆关于原点对称的圆的方程为（）A ．B ．C ．D ．4．抛物线上到直线距离最近的点的坐标是（）A ．B ．C ．D ．5．已知双曲线（，）的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A ．B ．C ．D ． 6．已知点是圆：上的动点，点，则的中点的轨迹方程是（）A ．B ．C ．D ．7．已知直线与抛物线：相交于，两点，为的焦点，若，则点221mx y +=y m ()1,+∞()0,+∞()0,1()0,21l ()130ax a y +--=2l ()()12320a x a y -++-=a 3--12032-13-22410x y x ++-=()2225x y +-=()2225x y -+=()()22225x y +++=()2225x y ++=2y x =24x y -=35,24⎛⎫⎪⎝⎭()1,139,24⎛⎫⎪⎝⎭()2,422221x y a b-=0a >0b >F F 30︒⎛ ⎝⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭⎫+∞⎪⎪⎭M C 221x y +=()2,0N MN P ()22114x y -+=()22112x y -+=()22112x y ++=()22114x y ++=()2y k x =+()0k >C 28y x =A B F C 2FA FB =到抛物线的准线的距离为（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图，已知双曲线（，）的左右焦点分别为，，，是双曲线右支上的一点，与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则双曲线的离心率是（）AB ． C．D ．二、多选题9．直线与曲线可取下列哪些值（）A ．B ．C ．D10．已知双曲线：的一条渐近线：，设，是的左右焦点，点在上，且，为坐标原点，则（ ）A ．的虚轴长为B ．C ．D ．的面积为11．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交会的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处寻觅．已知点，直线：，若某直线上存在点，使得点到点的距离比到直线的距离小，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（ ）A ．点的轨迹曲线是一条线段B ．点的轨迹与直线：是没有交会的轨迹（即两个轨迹没有交点）C ．不是“最远距离直线”D ．是“最远距离直线” 12．我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就，现作出圆的一个内接正八边形，使该正八边形的其中个顶点在坐标轴上，则下列条直线中是该正八边形的一条边所在直线的为（ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）B 654322221x ya b-=0a >0b >1F 2F 124FF =P 2F P y A 1APF∆1PF Q 1PQ =24y x b =+x =b 1-1C 2221y x b-=()0b >l y =1F 2F C p l 1OF OP =O C 1290F PF ∠=︒122PF PF -=12PF F ∆()1,0M l 2x =-P P M l 1P P l '1x =-26y x =+112y x =+222x y +=44)10x y +-=(10x y -+=)10x y -+=)10x y --+=二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答． 13．若圆上恰有个点到直线：的距离为，则______．14．已知椭圆：的左右顶点分别为，，为任意一点，其中直线的斜率范围为，则直线的斜率范围为______．15．设抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，过的中点作轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点，若，则直线的方程为______． 16．已知双曲线：（，）的左焦点为，过且与的一条渐近线垂直的直线与的右支交于点，若为的中点，且（为坐标原点），则的离心率为______． 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答题应写出理字说明，证明过程或演算步骤，在答题卷上相应题目的答题区域内作答．17．设，分别是椭圆的左右焦点，是上一点且与轴垂直，直线与的另一个交点为． （1）若直线的斜率为，求的离心率； （2）若直线在轴上的截距为，且，求，．18．已知过点的圆的圆心为，且圆与直线相切． （1）求圆的标准方程；（2）若过点且斜率为的直线交圆于，两点，若的方程．19．已知椭圆：，，分别为椭圆的左、右焦点，为上任意一点，的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）不过点的直线：交椭圆于，两点．若轴上任意一点到直线与的距离224x y +=3l 0x y b -+=1b =C 22143x y +=1A 2A P C 1PA []2,1--2PA 24y x =F F l AB AB M y P 32PF =l C 22221x y a b-=0a >0b >F F C l CP A PF 32bOA a =-O C 1F 2F 22221x y a b+=()0a b >>M C 2MF x 1MF CN MN 34C MN y 215MN F N =a b ()0,2P -M (),0a ()0a ≤M 0x y ++=M ()0,1Q k l M A B PAB ∆l C 22221x y a b+=()0a b >>()11,0F -()21,0F C M C 12MF F S ∆1C 2F l y kx m =+()0m ≠C A B x 2AF 2BF相等，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．20．已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点，它们在轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点． （1）求这三条曲线的方程；（2）已知动直线过点，交抛物线于，两点，是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出的方程，若不存在，说明理由．21．如图，已知动圆过定点且与轴相切，点关于圆心的对称点为，点的轨迹为． （1）求曲线的方程；（2）一条直线经过点，且交曲线于、两点，点为直线上的动点． ①求证：不可能是钝角；②是否存在这样的点，使得是正三角形？若存在，求点的坐标；否则，说明理由．22．一种作图工具如图所示．是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽滑动，且，．当栓子在滑槽内作往复运动时，带动绕转动一周（不动时，也不动），处的笔尖画出的曲线记为．以为原点，所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求曲线的方程；（2）设动直线与两定直线：和：分别交于，两点．若直线总与曲线有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．l ()1,2M x l ()3,0P A B x l 'AP l 'M ()1,0F y F M F 'F 'H H F H A B C 1x =-ACB ∠C ABC ∆C 1O AB ON O MN N ON MN D AB 1DN ON ==3MN =D AB NO D N M C O AB x 2C l 1l 20x y -=2l 20x y +=P Q l C OQP∆第Ⅰ卷（选择题 共602020-2021学年厦门双十中学高二数学上册期中试卷答案分）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．在答题卷上相应题目的答题区域内作答． 1．方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据题意，方程，即，若其表示焦点在轴上的椭圆，必有，解可得：，即的取值范围为．2．若直线：与直线：互相垂直，则的值为（）A ．B ．C ．或D ．或【答案】D【解析】，，即，解得或． 3．圆关于原点对称的圆的方程为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】圆的标准方程为，圆心，圆关于原点对称的圆的方程为．4．抛物线上到直线距离最近的点的坐标是（）221mx y +=y m ()1,+∞()0,+∞()0,1()0,2221mx y +=2211x y m+=y 110m>>1m >m ()1,+∞1l ()130ax a y +--=2l ()()12320a x a y -++-=a 3--12032-13-12l l ⊥ ()()()11230a a a a ∴-+-⨯+=()()130a a -+=1a =3a =-22410x y x ++-=()2225x y +-=()2225x y -+=()()22225x y +++=()2225x y ++=22410x y x ++-=()2225x y ++=()2,0-∴22410x y x ++-=O ()2225x y -+=2y x =24x y -=A．B．C．D．【答案】B【解析】设为抛物线上任一点，则到直线的距离时，，故答案为：．5．已知双曲线（，）的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意：渐近线方程为，，直线与双曲线的右支有且只有一个交点6．已知点是圆：上的动点，点，则的中点的轨迹方程是（）A．B．C．D．【答案】A35,24⎛⎫⎪⎝⎭()1,139,24⎛⎫⎪⎝⎭()2,4(),P x y2y x=P d=1x∴=d()1,1P()1,122221x ya b-=0a>0b>F F30︒⎛⎝⎛⎝⎫+∞⎪⎪⎭⎫+∞⎪⎪⎭by xa=±1tan30k=︒=ba∴≥2213ba∴≥2213b a∴≥2222222221433a ac a bea a a++∴==≥=1e e>∴≥M C221x y+=()2,0N MN P()22114x y-+=()22112x y-+=()22112x y++=()22114x y++=【解析】设线段中点，则在圆：上运动，，即． 7．已知直线与抛物线：相交于，两点，为的焦点，若，则点到抛物线的准线的距离为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】设抛物线：的准线为：，直线恒过定点，如图过，分别作于，于，由，则，点为的中点、连接，则，，点的横坐标为，，点到抛物线的准线的距离为，故选D ．8．如图，已知双曲线（，）的左右焦点分别为，，，是双曲线右支上的一点，与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则双曲线的离心率是（）AB ．C．D ．【答案】B【解析】如图记、与的内切圆相切于、；则，，，；则；则；则，即，则．由，得；则，故答案为B ．二、多选题MN (),P x y ()22,2M x y -M C 221x y +=()()222221x y ∴-+=()22114x y -+=()2y k x =+()0k >C 28y x =A B F C 2FA FB =B 6543C 28y x =l 2x =-()2y k x =+()2,0P -A B AM l ⊥M BN l ⊥N 2FA FB =2AM BN =B AP OB 12OB AF =OB BF ∴=B 16AM ∴=∴B 1232pxB +=+=22221x y a b-=0a >0b >1F 2F 124F F =P 2F P y A 1APF ∆1PF Q 1PQ =241AF 2AF 1APF ∆N M AN AM =PM PQ =11NF QF =12AF AF =1122NF AF AN AF AM MF =-=-=12QF MF =()()1212PF PF QF PQ MF PM -=+--12QF PQ MF PM =+-+22PQ PM PQ =+==22a =1a =1242F F a ==2c =221c e a ===9．直线与曲线可取下列哪些值（）A ．B ．C ．D【答案】AC【解析】由题意可知：曲线方程表示一个在轴右边的单位圆的一半，则圆心坐标为，圆的半径，画出相应的图形，如图所示：当直线过时，把代入直线方程得：，当直线过时，把代入直线方程，当时，直线与半圆只有一个交点时，又直线与半圆相切时，圆心到直线的距离，解得：（舍去）或，综上，直线与曲线只有一个交点时，的取值范围为或．故选AC10．已知双曲线：的一条渐近线：，设，是的左右焦点，点在上，且，为坐标原点，则（ ）A ．的虚轴长为B ．C ．D ．的面积为【答案】ABD【解析】因为双曲线的一条渐近线为，所以，则双曲线的虚轴长为A 正确，因为，所以在以线段为直径的圆上，所以，B 正确，因为满足条件的点的轨迹为双曲线，不合题意，C 错误，又因为，所以，，设，则，，则或，即，y x b =+x =b 1-1y ()0,01r = y x b =+()0,1-()0,1-1b =-y x b =+()0,1()0,1∴11b -<≤y x b =+y x b =+d r =1b =b =b 11b -<≤b =C 2221y x b-=()0b >l y =1F 2F C p l 1OF OP =O C 1290F PF ∠=︒122PF PF -=12PF F ∆C y =b =C 2b =1OP OF =P 12F F 1290F PF ∠=︒122PF PF -=P C 222189c a b =+=+=()13,0F -13OP OF ==(),P m 2289m m +=1m ±(1,P (1,p --116F F =，D 正确．11．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交会的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处寻觅．已知点，直线：，若某直线上存在点，使得点到点的距离比到直线的距离小，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（ ）A ．点的轨迹曲线是一条线段B ．点的轨迹与直线：是没有交会的轨迹（即两个轨迹没有交点）C ．不是“最远距离直线”D ．是“最远距离直线” 【答案】BCD【解析】设点的坐标为 由题意可知点到点的距离点到直线的距离整理得，即点运动轨迹的方程为A ．点运动轨迹的方程为，不是线段，故选项A 错误B ．直线是抛物线的准线，所以二者没有交会轨迹，故选项B 正确C ．联立，消去得，，，所以二者没有交点即不存在点，所以不是“最远距离直线”，故选项C 正确D ．联立，消去得，，，所以二者有交点即存在点，所以12162PF F S ∆=⨯⨯=()1,0M l 2x =-P P M l 1P P l '1x =-26y x =+112y x =+P ()00,x y P M1d =P l ()20022d x x =--=+ 121d d =-00211x x =+-=+2004y x =P 24y x =P 24y x =1x =-24y x =2426y xy x ⎧=⎨=+⎩y 2590x x ++=2549110∆=-⨯=-<P 26y x =-24112y xy x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩y 21240x x -+=212441280∆=-⨯=>P是“最远距离直线”，故选项D 正确12．我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就，现作出圆的一个内接正八边形，使该正八边形的其中个顶点在坐标轴上，则下列条直线中是该正八边形的一条边所在直线的为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】ABD【解析】如图：化A， 化B，化C， 化D．．C 不是该正八边形的一条边所在的直线112y x =+222x y +=44)10x y +-=(10x y -+=)10x y -+=)10x y --+=1=1=1-=1=∴二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答． 13．若圆上恰有个点到直线：的距离为，则______． 【答案】【解析】依题意圆心到直线的距离，解得．14．已知椭圆：的左右顶点分别为，，为任意一点，其中直线的斜率范围为，则直线的斜率范围为______．【答案】【解析】由椭圆的方程可得，．，；设，则，，，， 直线斜率的取值范围是，直线斜率的取值范围是：15．设抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，过的中点作轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点，若，则直线的方程为______．【解析】抛物线方程为，抛物线焦点为，准线为：，设，，因为在第一象限，所以直线的斜率，设直线方程为，代入抛物线方程消去，得224x y +=3l 0x y b -+=1b =()0,0l 1d b =C 22143x y +=1A 2A P C 1PA []2,1--2PA 33,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦24a =23b =()12,0A -()22,0A (),P m n 22143m n +=12pA n k m =+22pA n k m =-1222344pA pA n k k m ⋅==--1PA []2,1--2PA 33,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦24y x =F F l A B AB M y P 32PF =l 0y -=Q 24y x =∴()1,0F l 1x =-()11A x y ()22,B x y P AB 0k >AB ()1y k x =-y，，，过的中点作准线的垂线与抛物线交于点，设点的坐标为，可得，，， ， 得到，，可得，，，解之得 16．已知双曲线：（，）的左焦点为，过且与的一条渐近线垂直的直线与的右支交于点，若为的中点，且（为坐标原点），则的离心率为______． 【答案】【解析】设的右焦点为，不妨设直线与渐近线交于点．在直角三角形中，由点到直线的距离，得，再结合，得；由为的中位线，得，再由双曲线的定义，得，从而，．在直角三角形中，，化简，得，所以． 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答题应写出理字说明，证明过程或演算步骤，在答题卷上相应题目的答题区域内作答．17．设，分别是椭圆的左右焦点，是上一点且与轴垂直，直线与的另一个交点为． （1）若直线的斜率为，求的离心率； （2）若直线在轴上的截距为，且，求，． 【答案】（1）；（2）， 【解析】()2222240k x k x k -++=212224k x x k+∴+=121x x =Q AB M P P ()00,x y ()01212y y y =+()111Qy k x =-()221y k x =-()21212224422k y y k x x k k k k k+∴+=+-=⋅-=02y k =021x k ∴=212,P k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭32Q PF =22k =C 22221x y a b-=0a >0b >F F C l CP A PF 32bOA a =-O C C 1F l by x a=-B BOF BF b =OF c =OB a =OA 1PFF ∆32PF b a =-3PF b =32b AF =2b AB AF BF =-=ABO 222322b b a a ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32b a =e ==1F 2F 22221x y a b+=()0a b >>M C 2MF x 1MF CN MN 34C MN y 215MN F N =a b 127a =b =（1）是上一点且与轴垂直，的横坐标为，当时，，即，若直线的斜率为，即，即，即，则，即，解得或（舍去），即． （2）由题意，原点是的中点，则直线与轴的交点是线段的中点，设，，则，即，解得，是的中位线，，即，由，则，解得，即，设，由题意知，则．即，即代入椭圆方程得，将代入得，解得，．M C 2MF x M ∴c x c =2by a=2,b M c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭MN3422123tan 224b b a MF Fc ac ∠===22232b ac a c ==-22302c ac a +-=23102e e +-=22320e e +-=12e =2e =-12e =O 12F F 1MF y ()0,2D 1MF (),M c y ()0y >22221c y a b +=422b y a =2b y a =OD 12MF F ∆24b a∴=24b a =15MN F N =114MF F N =112DF F N =112DF F N =()11,N x y 10y <()()11,22,c x c y --=+()11222x c c y ⎧+=-⎪⎨=-⎪⎩11321x c y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩2229114c a b +=24b a =()22941144a a a a -+=7a =b =18．已知过点的圆的圆心为，且圆与直线相切． （1）求圆的标准方程；（2）若过点且斜率为的直线交圆于，两点，若的方程． 【答案】（1）；（2）【解析】（1）设圆的标准方程为：，则圆心到直线的距离为，解得或，所以，所以圆的方程为．（2）设直线的方程为，则圆心到直线，点到直线的距离为，，，，则直线的方程为．则直线的方程为19．已知椭圆：，，分别为椭圆的左、右焦点，为上任意一点，的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）不过点的直线：交椭圆于，两点．若轴上任意一点到直线与的距离相等，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（1）；（2）()0,2P -M (),0a ()0a ≤M 0x y ++=M ()0,1Q k l M A B PAB ∆l 224x y +=1y x =±+M ()222x a y r -+=()0a ≤M 0x y ++=224a r r ⎧+=0a =a =24r =M 224x y +=l 1y kx =+M l AB ∴==()0,2P -l d =1122PABS AB d ∆∴==⨯=21k =1k ∴=±1y x =±+1y x =±+C 22221x y a b +=()0a b >>()11,0F -()21,0F C M C 12MF F S ∆1C 2F l y kx m =+()0m ≠C A B x 2AF 2BF l 2212x y +=()2,0【解析】（1）由抛物线的方程得其焦点为，则，当点为椭圆的短轴端点时，面积最大，此时，则，，故椭圆的方程为；（2）联立得，，得，，设，，则，，①且，代入得，，，设点到直线的距离为，则，，则； ②，由题意，，，即，，解得，，直线的方程为，故直线恒过定点，该定点坐标为．20．已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点，它们在轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点． （1）求这三条曲线的方程；（2）已知动直线过点，交抛物线于，两点，是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出的方程，若不存在，说明理由．【答案】（1；（2） 【解析】（1）设抛物线方程为，将代入方程得，抛物线方程为：；由题意知椭圆、双曲线的焦点为，，；对于椭圆，；24y x =()1,01c =M 12MF F ∆1212S c b =⨯⨯=1b =a ∴=2212x y +=2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()222124220k x kmx m +++-=∆()()22221642122k m k m =-+-()228210k m =-+>()2212*k m +>()11,A x y ()22,B x y 122412km x x k +=-+21222212m x x k-=+0m ≠ 212k =()*202m <<2AB x =-=O AB d d ==12AOB S AB d ∆∴==()210,2m ∴=∈1m =±1111111y kx m k x x +==--2221y k x =-221kx m x +=-120k k +=1212011kx m kx mx x ++∴+=--()()1212220kx x m k x x m +-+-=()22222421212m km k m k k k -⎛⎫∴⋅+-- ⎪++⎝⎭20m -=2m k =-∴l ()2y k x =-l ()2,0()1,2M x l ()3,0P A B x l 'AP l '1=2x =22y px =()0p >()1,2M 2p =∴24y x =()11,0F -()21,0F 1c ∴=122a MF MF =+对于双曲线，（2）设的中点为，的方程为：，以为直径的圆交于，两点，中点为． 令，当时，为定值；此时的方程为：1a ∴=++2=+(2213a ∴=+=+2222b a c ∴=-=+∴1=1222a MF MF '=-=1a '∴=23a '∴=-2222b c a ''''∴=-=-∴1=AP C l 'x a =AP l 'D E DE H ()11,A x y 113,22x y C +⎛⎫∴⎪⎝⎭12DC AP ∴==()11312322x CH a x a +=-=-+()222221111344DH DC CH x y ⎡⎤∴=-=-+-⎣⎦()2123a x a a =--+2a =2462DH=-+=2DE DH ∴==l '2x =21．如图，已知动圆过定点且与轴相切，点关于圆心的对称点为，点的轨迹为． （1）求曲线的方程；（2）一条直线经过点，且交曲线于、两点，点为直线上的动点． ①求证：不可能是钝角；②是否存在这样的点，使得是正三角形？若存在，求点的坐标；否则，说明理由．【答案】（1）；（2）满足条件【解析】设，因为点在圆上，且点关于圆心的对称点为，则，而，化简得：，所以曲线的方程为 （2）①设直线：，，， 由，得，则，，，恒成立，则不可能是钝角②假设存在这样的点，由①知，则，则， 则而，由所以存在点满足条件M()1,0F y F M F 'F 'H H F H A B C 1x =-ACB ∠C ABC ∆C 24y x =(),F x y '()1,0F M F M F 1,22x y M +⎛⎫⎪⎝⎭FF '=112x =+24y x =C 24y x =AB 1x my =+()11,A x y ()22,B x y ()1,C n -214x my y x =+⎧⎨=⎩2440y my --=124y y m +=124y y ⋅=-()1212x x m y y +=+()111,CA x y n =+- ()221,CB x y n =+-()121212111CA CB x x x x y y n y ⋅=⋅++++⋅-+ACB ∠C ()221,2M m m +221122CM AB m n k k m m-⋅=⋅=-+324n m m =+()31,24C m m -+()221CM m ==+()2241AB y m =-=+CM =m =(1,C -±22．一种作图工具如图所示．是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽滑动，且，．当栓子在滑槽内作往复运动时，带动绕转动一周（不动时，也不动），处的笔尖画出的曲线记为．以为原点，所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求曲线的方程；（2）设动直线与两定直线：和：分别交于，两点．若直线总与曲线有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．【答案】【解析】（1）设，，，，由题意得，且，，且，即，且，由于当点不动时，点也不动，不恒等于，于是，故，，代入，得方程为（2）①当直线的斜率不存在时，直线为：或，都有， ②直线的斜率存在时，直线为：，，由消去，可得 ，直线总与椭圆有且只有一个公共点，，即，①，由，可得，同理得，1O AB ON O MN N ON MN D AB 1DN ON ==3MN =D AB N O D N M C O AB x 2C l 1l 20x y -=2l 20x y +=P Q l C OQP ∆(),0D t 2t ≤()00,N x y (),M x y 2MD DN =1DN ON == ()()00,2,t x y x t y ∴--=-()2200220011x t y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩00222t x x t y y -=-⎧⎨=-⎩()020t t x -=D N t ∴002t x =04x x =02y y =-22001x y +=221164x y +=l k l 4x =4x =-14482OPQ S ∆=⨯⨯=l k l y kx m =+12k ⎛⎫≠± ⎪⎝⎭22416y kx m x y =+⎧⎨+=⎩y ()2221484160k xkmx m +++-= l C ()()2222644144160k m k m ∴∆=-+-=22164m k =+20y kx m x y =+⎧⎨-=⎩2,1212m m P k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭2,1212mm Q k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭原点到直线的距离和，可得② 将①代入②得，当时， ，当时，， 时，，， ，当且仅当时取等号， 当时，的最小值为，综上可知当直线与椭圆在四个顶点处相切时，三角形的面积存在最小值为．O PQ d =Q PQ x =-1122OPQP Q S PQ d m x x ∆==-12221212m m m k k =+-+22214m k=-222224181441OPQm k S k k ∆+==--214k >22241288184141OPQ k S k k ∆⎛⎫+⎛⎫==+> ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭2104k ≤<22224141884141OPQk k S k k ∆⎛⎫++==- ⎪--⎝⎭228114k ⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭2104k ≤<20141k ∴<-≤22214k ≥-2281814OPQ S k ∆⎛⎫∴=-+≥ ⎪-⎝⎭0k =∴0k =OPQ S ∆8l C OPQ 8。
2019-2020学年度高二上学期期中考试数学试题(含答案解析)
2019-2020学年度高二上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合M={x|（x+3）（x-1）＜0}，N={x|x≤-3}，则∁R（M∪N）=（）A. {x|x≤1}B. {x|x≥1}C. {x|x<1}D. {x|x>1}2.数列-1，3，-5，7，-9，…的一个通项公式为（）A. a n=2n−1B. a n=(−1)n(1−2n)C. a n=(−1)n(2n−1)D. a n(−1)n+1(2n−1)3.不等式2x-3y+6＞0表示的平面区域在直线2x-3y+6=0的（）A. 左上方B. 左下方C. 右上方D. 右下方4.下列说法正确的是（）A. 若a<b，则1a <1bB. 若ac3>bc3，则a>bC. 若a>b，k∈N∗，则a k≤b kD. 若a>b，c>d，则a−d>b−c5.已知等比数列{a n}中，a2a3a4═1，a6a7a8=64，则a5=（）A. ±2B. −2C. 2D. 46.设M=2a（a-2），N=（a+1）（a-3），则有（）A. M>NB. M≥NC. M<ND. M≤N7.当x＞1时，不等式x+1x−1≥a恒成立，则实数a的取值范围是（）A. (−∞,2]B. [2,+∞)C. [3,+∞)D. (−∞,3]8.设{a n}是等差数列，公差为d，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（）A. d<0B. a7=0C. S9>S5D. S6和S7均为S n的最大值9.设S n为等差数列{a n}的前n项和，a4=4，S5=15，若数列{1a n a n+1}的前m项和为1011，则m=（）A. 8B. 9C. 10D. 1110.已知：x＞0，y＞0，且2x +1y=1，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A. (−∞,−2]∪[4,+∞)B. (−∞,−4]∪[2,+∞)C. (−2,4)D. (−4,2)二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）11.△ABC中，a=1，b=√3，∠A=30°，则∠B等于______12.点P（x，y）在不等式组{x−2≤0y−1≤0x+2y−2≥0表示的平面区域上运动，则z=x-y的最大值为______．13.在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若角A、B、C成等差数列，且边a、b、c成等比数列，则△ABC的形状为______．14.对于任意实数x，不等式（a-2）x2-2（a-2）x-4＜0恒成立，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共44.0分）15.（1）解不等式2x2+x+1＞0．＜x＜2}，求a+b的值；（2）若不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|-1216.已知数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n．（1）求a n；（2）若b n=n+a n，求数列{b n}的前5项的和S5．17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c cos A，b cos B，a cos C成等差数列．（Ⅰ）求∠B；，b=√3，求△ABC的面积．（Ⅱ）若a+c=3√3218.如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过点C，已知AB=3米，AD=2米．（Ⅰ）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？（Ⅱ）当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．19.已知数列{a n}的前n项和为S n，向量a⃗=（S n，2），b⃗ =(1，1−2n)满足条件a⃗ ⊥b⃗（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设c n=na n，求数列{c n}的前n项和T n．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合M={x|（x+3）（x-1）＜0}={x|-3＜x＜1}，N={x|x≤-3}，∴M∪N={x|x＜1}，∴∁R（M∪N）={x|x≥1}，故选：B．先求出M，再求出M∪N，再根据补集的定义求出∁R（M∪N）．本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合并集的定义和求法，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：数列-1，3，-5，7，-9，…的一个通项公式为．故选：C．其符号与绝对值分别考虑即可得出．本题考查了数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：画直线2x-3y+6=0，把（0，0）代入，使得2x-3y+6＞0，所以不等式2x-3y+6＞0表示的平面区域在直线2x-3+-6＞0的右下方，故选：D．根据题意取特殊点验证不等式表示的平面区域即可．本题考查了二元一次不等式表示的平面区域问题，通常以直线定界，特殊点定区域，是基础题．4.【答案】D【解析】解：A．当a=1，b=2时，满足a＜b，但不成立，故A错误，B．若ac3＞bc3，若c＜0，则a＞b不成立，故B错误，C．当k=2时，a=1，b=-2满足条件．a＜b，但a2≤b2不成立，故C错误，D．若a＞b，c＞d，则-d＞-c，则a-d＞b-c成立，故D正确故选：D．根据不等式的关系以及不等式的性质分别进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，结合不等式的性质分别进行判断是解决本题的关键．5.【答案】C【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2a3a4═1，a6a7a8=64，∴（q4）3=64，解得q2=2．又=1，解得a1=．则a5==2．故选：C．设等比数列{a n}的公比为q，由a2a3a4═1，a6a7a8=64，可得（q4）3=64，解得q2．又=1，解得a1．利用通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.【答案】A【解析】解：∵M-N═2a（a-2）-（a+1）（a-3）=（a-1）2+2＞0，∴M＞N．故选：A．比较两个数的大小，通常采用作差法，分别计算M-N的结果，判断结果的符号．本题考查了比较两数大小的方法．当a-b＞0时，a＞b，当a-b=0时，a=b，当a-b ＜0时，a＜b．7.【答案】D【解析】解：∵当x＞1时，不等式x+恒成立，∴a≤x+对一切非零实数x＞1均成立．由于x+=x-1++1≥2+1=3，当且仅当x=2时取等号，故x+的最小值等于3，∴a≤3，则实数a的取值范围是（-∞，3]．故选：D．由题意当x＞1时，不等式x+恒成立，由于x+的最小值等于3，可得a≤3，从而求得答案．本题考查查基本不等式的应用以及函数的恒成立问题，求出x+的最小值是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：∵S5＜S6，S6=S7＞S8，∴a6＞0，a7=0，a8＜0，可得d＜0．S6和S7均为S n的最大值．S9==9a5，S5==5a3．S9-S5=9（a1+4d）-5（a1+2d）=4a1+26d=4a7+2d＜0，∴S9＜S5．因此C错误．故选：C．S5＜S6，S6=S7＞S8，可得a6＞0，a7=0，a8＜0，可得d＜0．S6和S7均为S n的最大值．作差S9-S5=4a7+2d＜0，可得S9＜S5．本题考查了等差数列的单调性、通项公式与求和公式、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：S n为等差数列{a n}的前n项和，设公差为d，a4=4，S5=15，则：，解得d=1，则a n=4+（n-4）=n．由于=，则，==，解得m=10．故答案为：10．故选：C．首先求出数列的通项公式，利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法求出数列的和10.【答案】D【解析】解：∵x＞0，y＞0，且，∴x+2y=（x+2y）（）=2+++2≥8（当且仅当x=4，y=2时取到等号）．∴（x+2y）min=8．∴x+2y＞m2+2m恒成立，即m2+2m＜（x+2y）min=8，解得：-4＜m＜2．故选：D．x+2y＞m2+2m恒成立，即m2+2m＜x+2y恒成立，只需求得x+2y的最小值即可．本题考查基本不等式与函数恒成立问题，将问题转化为求x+2y的最小值是关键，考查学生分析转化与应用基本不等式的能力，属于中档题．11.【答案】60°或120°【解析】解：∵a=1，b=，∠A=30°根据正弦定理可得：∴sinB=∴∠B=60°或120°故答案为：60°或120°根据正弦定理可求出角B的正弦值，进而得到其角度值．本题主要考查正弦定理的应用．属基础题．12.【答案】2【解析】解：画可行域如图，画直线z=x-y，平移直线z=x-y过点A（0，1）时z有最小值-1；平移直线z=x-y过点B（2，0）时z有最大值2．则z=x-y的最大值为2．故答案为：2．①画可行域；②z为目标函数的纵截距；③画直线z=x-y．平移可得直线过A 或B时z有最值．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．13.【答案】等边三角形【解析】解：∵在△ABC中角A、B、C成等差数列，∴2B=A+C，由三角形内角和可得B=，又∵边a、b、c成等比数列，∴b2=ac由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB，∴ac=a2+c2-ac，即a2+c2-2ac=0，故（a-c）2=0，可得a=c，故三角形为：等边三角形，故答案为：等边三角形．由等差数列和三角形内角和可得B=，再由等比数列和余弦定理可得a=c，可得等边三角形．本题考查三角形形状的判定，涉及等差和等比数列及余弦定理，属基础题．14.【答案】（-2，2]【解析】解：当a=2时，-4＜0恒成立；当a≠2时，不等式（a-2）x2-2（a-2）x-4＜0恒成立，则，解得：-2＜a＜2；综上所述，-2＜a≤2．故答案为：（-2，2]．分a=2与a≠2讨论；在a≠2时，（a-2）x2-2（a-2）x-4＜0恒成立⇒，解之，取并即可．本题考查函数恒成立问题，对a分a=2与a≠2讨论是关键，考查分类讨论思想与等价转化思想，属于中档题．15.【答案】解：（1）不等式2x2+x+1＞0中，△=1-8=-7＜0，所以该不等式的解集为R；（2）不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|-12＜x＜2}，则该不等式对应的方程两根是-12和2，所以{2a =−12×2−ba =−12+2，解得a=-2，b=3，∴a+b=1．【解析】（1）利用判别式△＜0，得出该不等式的解集为R；（2）根据不等式的解集得出不等式对应方程的两个根，再由根与系数的关系求出a 、b 的值．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了一元二次方程根与系数的关系应用问题．16.【答案】解：（1）由数列{a n }中，a 1=2，a n +1=2a n ．则数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列， ∴a n =2n ．（2）b n =n +a n =n +2n ．∴数列{b n }的前5项的和S 5=（1+2+3+4+5）+（2+22+……+25） =5×(1+5)2+2×(25−1)2−1=77．【解析】（1）利用等比数列的通项公式即可得出．（2）b n =n+a n =n+2n ．利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出． 本题考查了等差数列与等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：（Ⅰ）∵c cos A ，B cosB ，a cos C 成等差数列，∴2b cos B =c cos A +a cos C ，由正弦定理知：a =2R sin A ，c =2R sin C ，b =2R sin B ，代入上式得：2sin B cosB=sin C cos A +sin A cos C ，即2sin B cosB=sin （A +C ）． 又A +C =π-B ，∴2sin B cosB=sin （π-B ），即2sin B cosB=sin B ． 而sin B ≠0，∴cos B =12，及0＜B ＜π，得B =π3． （Ⅱ）由余弦定理得：cos B =a 2+c 2−b 22ac=12， ∴(a+c)2−2ac−b 22ac=12，又a +c =3√32，b =√3， ∴274-2ac -3=ac ，即ac =54，∴S △ABC =12ac sin B =12×54×√32=5√316．【解析】（Ⅰ）由ccosA ，BcosB ，acosC 成等差数列，可得2bcosB=ccosA+acosC ，利用正弦定理、和差公式即可得出；（II）利用余弦定理与三角形的面积计算公式即可得出．本题考查了等差数列、正弦定理、和差公式、余弦定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则|AN|=（x+2）米∵|DN| |AN|=|DC||AM|，∴|AM|=3(x+2)x∴S AMPN=|AN|⋅|AM|=3(x+2)2x由S AMPN＞32得3(x+2)2x＞32又x＞0得3x2-20x+12＞0解得：0＜x＜23或x＞6即DN的长取值范围是(0，23)∪(6，+∞)（Ⅱ）矩形花坛的面积为y=3(x+2)2x =3x2+12x+12x=3x+12x+12(x＞0)≥2√3x⋅12x+12=24当且仅当3x=12x，即x=2时，矩形花坛的面积最小为24平方米．【解析】（Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则|AN|=（x+2）米，表示出矩形的面积，利用矩形AMPN的面积大于32平方米，即可求得DN的取值范围．（2）化简矩形的面积，利用基本不等式，即可求得结论．本题考查根据题设关系列出函数关系式，并求出处变量的取值范围；考查利用基本不等式求最值，解题的关键是确定矩形的面积．19.【答案】解：（1）∵a⃗ ⊥b⃗ ，∴a⃗•b⃗ =S n+2-2n+1=0，∴S n=2n+1-2，当n≥2时，a n=S n-S n-1=2n，当n=1时，a1=S1=2满足上式，∴a n=2n，（2）∵c n=na n =n2n，∴T n=12+22+⋯+n−12+n2，两边同乘12，得12T n=122+223+⋯+n−12n+n2n+1，两式相减得：1 2T n=12+122+⋯12n−n2n+1=1−n+22n+1，∴T n=2−n+22n(n∈N+)．【解析】（1）根据向量的数量积和可得S n=2n+1-2，再根据数列的递推公式即可求出，（2）根据错位相减法即可求出数列{c n}的前n项和T n本题考查了向量的数量积和数列的递推公式以及错位相减法，属于中档题第11页，共11页。
福建省2019—2020学年高二数学上学期期中考试卷(四)
福建省2019—2020学年高二数学上学期期中考试卷（四）（考试时间120分钟满分150分）一.单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．在△ABC中，a2﹣b2﹣c2﹣bc=0，则A等于（）A．60°B．45°C．120° D．30°2．等差数列{a n}中，S10=120，那么a2+a9的值是（）A．12 B．24 C．16 D．483．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2，B=，则c边长为（）A．2 B．C．D．4．若a＞b，c＞d，则下列不等关系中不一定成立的是（）A．a﹣b＞d﹣c B．a+d＞b+c C．a﹣c＞b﹣c D．a﹣c＜a﹣d5．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7 C．6 D．6．已知x，y满足约束条件，则z=2x+4y的最小值是（）A．﹣6 B．5 C．38 D．﹣107．在△ABC中，已知a2tanB=b2tanA，则此三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．直角或等腰三角形8．若数列{a n}的通项公式是a n=（﹣1）n（3n﹣2），则a1+a2+…+a20=（）A．30 B．29 C．﹣30 D．﹣299．已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是（）A．B．4 C．D．510．已知等差数列{a n}的公差d＜0，若a4a6=24，a2+a8=10，则该数列的前n项和S n的最大值为（）A．50 B．45 C．40 D．3511．若a＞0，b＞0，且a+b=4，则下列不等式中恒成立的是（）A．＞B．+≤1 C．≥2 D．≤12．对于函数y=f（x）（x∈I），y=g（x）（x∈I），若对于任意x∈I，存在x0，使得f（x）≥f（x0），g（x）≥g（x0）且f（x0）=g（x0），则称f（x），g（x）为“兄弟函数”．已知函数是定义在区间上的“兄弟函数”，那么函数f（x）在区间上的最大值为（）A．B．2 C．4 D．二.填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）13．在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，则△ABC的面积等于．14．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=5，S5=15，则数列的前200项和为．15．记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是．16．若正数a，b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是．17．已知，令T n=a1+2a2+22a3+…+2n﹣1a n，类比教材中求等比数列的前n项和的方法，可得3T n﹣2n a n=．三、解答题（本题共6小题，共70分）18．若不等式（1﹣a）x2﹣4x+6＞0的解集是{x|﹣3＜x＜1}．（1）解不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0（2）b为何值时，ax2+bx+3≥0的解集为R．19．如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？20．数列{a n}的前n项和为S n，已知S n+a n=﹣n+1（n∈N*）（1）设b n=a n+n，证明：数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．21．在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=，a+c=4，求△ABC的面积．22．某小区要将如图所示的一块三角形边角地修建成花圃．根据建造规划，要求横穿花圃的直线灌溉水道DE恰好把花圃分成面积相等的两部分（其中D在边AB上，E在边AC上）已知AB=AC=2a，∠BAC=120°（1）设AD=x，DE=y，试求y关于x的函数y=f（x）（解析式和定义域）；（2）为使得灌溉水道DE的建设费用最少，试确定点D的具体位置．23．200多年前，10岁的高斯充分利用数字1，2，3，…，100的“对称”特征，给出了计算1+2+3+…+100的快捷方法．教材示范了根据高斯算法的启示推导等差数列的前n项和公式的过程．实事上，高斯算法的依据是：若函数f（x）（x∈D）的图象关于点P（h，k）对称，则f（x）+f（2h﹣x）=2k对x∈D恒成立．已知函数h（x）=的图象过点．（1）求a的值；（2）化简；（3）设，b n=，记数列{b n}的前n项和为T n，若T n＜2λa n+1对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．参考答案一.单项选择题1．C．2．B．3．B．4．B 5．A．6．A．7．D．8．A．9．C 10．B 11．D．12．B．二.填空题13．解：∵△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，由正弦定理得：，∴，解得sinB=1，∴B=90°，C=30°，∴△ABC的面积=．故答案为：．14．解：∵数列{a n}为等差数列，∴S5=a1+a2+a3+a4+a5=5a3=15，即a3=3，又∵a5=5，∴d==1，∴a n=5+（n﹣5）=n，又∵==﹣，∴所求值为1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=，故答案为：．15．解：满足约束条件的平面区域如图示：因为y=a（x+1）过定点（﹣1，0）．所以当y=a（x+1）过点B（0，4）时，得到a=4，当y=a（x+1）过点A（1，1）时，对应a=．又因为直线y=a（x+1）与平面区域D有公共点．所以≤a≤4．故答案为：[，4]16．解：∵a+b≥2，ab=a+b+3，∴ab﹣2﹣3≥0∴≥3或≤﹣1（空集）∴ab≥9故答案为：[9，+∞）17．解：∵T n=a1+2a2+22a3+…+2n﹣1a n，∴2T n=2a1+22a2+23a3+…+2n a n，两式相加，得：3T n=2a1+22（a1+a2）+23（a2+a3）+…+2n﹣1（a n﹣1+a n）+2n a n，又∵，∴3T n=2+2+2+…+2+2n a n=2n+2n a n，∴3T n﹣2n a n=2n，故答案为：2n．三、解答题18．解：（1）由题意知，1﹣a＜0，且﹣3和1是方程（1﹣a）x2﹣4x+6=0的两根，∴，解得a=3．∴不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0即为2x2﹣x﹣3＞0，解得x＜﹣1或x＞．∴所求不等式的解集为{x|x＜﹣1或x＞}；（2）ax2+bx+3≥0即为3x2+bx+3≥0，若此不等式的解集为R，则b2﹣4×3×3≤0，∴﹣6≤b≤6．19．解：由题意可知A1B1=20，A2B2=10，A1A2=30×=10，∠B2A2A1=180°﹣120°=60°，连结A1B2，则△A1A2B2是等边三角形，∴A1B2=10，∠A2A1B2=60°．∴∠B1A1B2=105°﹣60°=45°，在△B1A1B2中，由余弦定理得B1B22=A1B12+A1B22﹣2A1B1•A1B2cos∠B1A1B2=400+200﹣400=200．∴B1B2=10．∴乙船的航行速度是海里/小时．20．（1）证明：∵S n+a n=﹣n+1，+a n﹣1=﹣（n﹣1）2﹣（n﹣1）+1，∴当n≥2时，S n﹣1=﹣n﹣1，两式相减得：2a n﹣a n﹣1变形得：2（a n+n）=a n﹣1+（n﹣1），又∵b n=a n+n，∴数列{b n}是公比为的等比数列；（2）解：由（1）可知S1+a1=﹣﹣+1=﹣1，即a1=﹣，又∵b1=a1+1=﹣+1=，∴b n=a n+n=，a n=﹣n+，∴S n=﹣（1+2+…+n）+（++…+）=﹣+=1﹣﹣．21．解：（I）在△ABC中，由正弦定理得：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC代入（2a﹣c）cosB=bcosC整理得：2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB即：2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，在三角形中，sinA＞0，2cosB=1，∵∠B是三角形的内角，∴B=60°．（II）在△ABC中，由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2ac•cosB=（a+c）2﹣2ac﹣2ac•cosBac=3故．22．解：（1）∵AB=AC=2a，∠BAC=120°，∴△ABC的面积是a2，∴△ADE的面积是a2，∵AD=x，DE=y，∴①=x×AE×sin60°，∴AE=，②y2=x2+AE2﹣2x•AE•cos60°=x2+AE2﹣x•AE=x2+（）2﹣2a2，∴y＞0，∴y=，又AE=≤2a，∴x≥a，∵D在AB上，∴x≤2a，∴y=（a≤x≤2a），（2）y=≥=a，当且仅当x2=，即x=a时“=”成立，此时AE=a，∴使AD=AE=a时，DE最短，最短为a．23．解：（1）∵函数h（x）=的图象过点，∴，解得a=4；（2）由（1）得，h（x）=，∵h（x）+h（1﹣x）==，∴=；（3）==，则b n==，∴=，由T n＜2λa n+1对一切n∈N*恒成立，得，即对一切n∈N*恒成立，∵（当且仅当n=2时等号成立），∴．故λ的取值范围是．。
福建省厦门市双十中学2019-2020学年高三上学期期中数学(文)试题(解析版)
福建省厦门市双十中学2019-2020学年高三上学期期中数学（文）试题一、单选题1．已知集合(){}ln 1A y y x ==-，{}=0,1,2,3B ，则A B =（ ）A ．{}0,1,2,3B ．{}1,2,3C ．{}2,3D ．{}0,12．下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（ ） A ．3y x =B ．ln()yx =-C ．x y xe -=D ．2y x x=+3．如图为某几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为：A ．圆锥B ．三棱锥C ．三棱台D ．三棱柱4．已知cos 10α=，,0()απ∈-，则cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．35 B ．45-C ．35D ．455．函数f (x )＝a x －b 的图象如图，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是（ ）A ．a ＞1，b ＜0B ．a ＞1，b ＞0C ．0＜a ＜1，b ＞0D ．0＜a ＜1，b ＜06．已知两条平行直线1l ，2l 之间的距离为1，1l 与圆C ：224x y +=相切，2l 与C 相交于A ，B 两点，则AB =（ ） ABC ．3D．7．ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知60A =︒，8c =，2a b =+，那么ABC ∆的周长等于（ ）A ．12B ．20C ．26D．8．在ABC ∆中，若点D 满足2CD DB =，点M 为AC 中点，则MD =（ ） A ．2136AB AC - B ．1136AB AC - C ．2133AB AC - D ．2136AB AC + 9．已知函数()sin (0)f x x ωω=>，则“函数()f x 的图象经过点（4π，1）”是“函数()f x 的图象经过点（,02π）”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知圆台轴截面ABCD 的高为2，2AB =，4CD =，E 是该圆台底面圆弧CD 的中点，则直线AE 与平面ABCD 所成角的正弦值为（ ） A ．12B ．23CD11．阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数(0,1)k k k >≠的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A 、B 间的距离为2,动点P满足PA PB=当P 、A 、B 不共线时，三角形PAB 面积的最大值是（ ）A ．BC ．3D ．312．已知函数()x a x a f x e e --+=+，若33log ab c ==，则（ ）A ．()()()f a f b f c <<B ．()()()f b f c f a <<C ．()()()f a f c f b <<D ．()()()f c f b f a<<二、填空题13．已知向量(1,2)a =，(2,)b m =，若()222a ba b +=+，则m =________.14．已知函数()2sin 222y x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线6x π=对称，则ϕ的值为________.15．若椭圆22221x y a b+=的焦点在x 轴上，过点()2,1作圆224x y +=的切线，切点分别为A ，B ，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为 .16．已知函数()1ln ,111,122x x f x x x +≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩,若12x x ≠，且()()122f x f x +=，则12x x +的取值范围是________.三、解答题17．已知,,a b c 分别为ABC 内角,,A B C 的对边，2cos 2c bC a+=．（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）已知点D 在BC 边上，22DC BD ==，AC =AD ．18．如图，在多面体111ABCC B A 中，四边形11BB C C为矩形，AB BC ==1CC ⊥面ABC ，11//AA CC ，1122AA CC AC ===，E ，F 分别是11A C ，AC 的中点，G 是线段1BB 上的任一点．（1）求证：AC EG ⊥； （2）求三棱锥1F EAG -的体积． 19．某工厂每日生产某种产品(1)x x 吨，当日生产的产品当日销售完毕，当120x 时，每日的销售额y （单位：万元）与当日的产量x 满足ln y a x b =+，当日产量超过20吨时，销售额只能保持日产量20吨时的状况.已知日产量为2吨时销售额为4.5万元，日产量为4吨时销售额为8万元. （1）把每日销售额y 表示为日产量x 的函数； （2）若每日的生产成本1()12c x x =+（单位：万元），当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大？并求出最大值.（注：计算时取ln 20.7=，ln5 1.6=）20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>F 是椭圆C 的一个焦点．点(02)M ,，直线MF 的斜率为3． （1）求椭圆C 的方程；（2）若过点M 的直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，线段AB 的中点为N ，且AB MN ＝．求l 的方程． 21．已知函数1()ln a f x x x+=+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）当01a ≤≤时，证明：()(sin 1)xf x a x >+． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为12x y ϕϕ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（ϕ为参数），直线l的方程为y =．（1）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程和直线l 的极坐标方程； （2）在（1）的条件下，直线m 的极坐标方程为()6πθρ=∈R ，设曲线C 与直线l 的交于点O 和点A ，曲线C 与直线m 的交于点O 和点B ，求OAB ∆的面积．参考答案1．A 【解析】 【分析】根据対数型函数的值域化简集合A ,再根据交集的概念进行交集运算即可. 【详解】因为A R =,{0,1,2,3}B =, 所以{0,1,2,3}A B ⋂=. 故选:A 【点睛】本题考查了集合的交集运算,対数型函数的值域,属于基础题. 2．D 【分析】先根据函数为奇函数排除，再根据存在极值排除即可. 【详解】由题可知，B 、C 选项不是奇函数，A 选项3y x =单调递增（无极值），而D 选项既为奇函数又存在极值.故选D.考点：函数奇偶性的概念，函数单调性与函数极值. 3．D 【分析】根据各个几何体的特征观察即可. 【详解】根据三视图判断，该几何体为三棱柱 4．A 【解析】 【分析】运用同角三角函数的基本关系式，求得sin α的值，再利用两角和的余弦公式，即可求解． 【详解】∵cos α=，()-0απ∈，，∴sin α==，∴πcos 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝πcos cos 4α+sin απ3sin 41021025⎛=+-⨯=- ⎝⎭． 故选A ． 【点睛】本题主要考查了两角和的余弦公式的化简求值，同时考查同角三角函数的基本关系式，其中解答熟记三角函数的基本公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 5．D 【分析】由函数的单调性得到0＜a ＜1，再根据函数f (x )＝a x －b 的图象是在f (x )＝a x 的基础上向左平移得到的，分析出b 的范围. 【详解】由f (x )＝a x －b 的图象可以观察出，函数f (x )＝a x －b 在定义域上单调递减， 所以0＜a ＜1.函数f (x )＝a x －b 的图象是在f (x )＝a x 的基础上向左平移得到的， 所以b ＜0. 故选：D. 【点睛】本题主要考查指数函数的图象和性质，考查图象变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 6．D 【解析】 【分析】根据题意，由直线与圆相切的性质可得圆心C 到直线1l 的距离为2，进而可得圆心C 到直线2l 的距离211d =-=，结合直线与圆的位置关系及垂径定理分析可得答案． 【详解】解：根据题意，1l 与圆C ：224x y +=相切，则圆心C 到直线1l 的距离为2，又由两条平行直线1l ，2l 之间的距离为1，则圆心C 到直线2l 的距离211d =-=，则2AB ==； 故选：D ． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及弦长的计算，属于基础题． 7．B 【分析】根据余弦定理解得5b =,从而7a =,周长为20. 【详解】根据余弦定理得222cos 2b c a A bc+-=,即22164(2)216b b b +-+=,整理得5b =, 所以27a b =+=,所以ABC ∆的周长等于7+5+8=20. 故选:B 【点睛】本题考查了余弦定理,利用余弦定理解三角形得5b =是关键,属于基础题. 8．A 【分析】作出图形，结合平面向量的线性运算，用基底,AB AC 表示MD . 【详解】 作出图形如下，1212()2323MD MC CD AC CB AC AB AC =+=+=+-2136AB AC =-,故选A. 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，利用基底向量表示目标向量注意向量方向和模长之间的关系. 9．A 【分析】先由()f x 的图象经过点π14⎛⎫⎪⎝⎭，求出ω；再由()f x 的图象经过点,02π⎛⎫⎪⎝⎭求出ω，根据充分条件与必要条件的概念，即可得出结果. 【详解】函数()f x 的图象经过点（4π，1）时，有sin 14πω=，所以，242k k Z ，ππωπ=+∈，因为0ω>，所以28k ω=+，,k N ∈函数为：()()sin 28f x k x =+，k N ∈ 当2x π=时，()()sin 28sin 4022f k k ππππ⎛⎫=+⨯=+=⎪⎝⎭，所以，充分性成立； 当函数()f x 的图象经过点（,02π）时，sin02πω=，所以， ,2k k Z πωπ=∈，即2k ω=,k Z ∈，()sin2(0,)f x kx k k Z =>∈， 当4x π=时，sin 2sin 442k f k πππ⎛⎫⎛⎫=⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不一定等于1，所以，必要性不成立． 故选A 【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判定，熟记概念即可，属于常考题型. 10．B 【分析】设CD 的中点为E ,可证OE ⊥平面ABCD ,在Rt △AOE 中计算sin OAE ∠即可. 【详解】 如图所示:设,AB CD 的中点分别为,O O ',连接,,OO AO AE ', 因为E 是CD 的中点,所以OE CD ⊥, 因为OO '⊥平面CDE ,所以OO OE '⊥,所以OE ⊥平面ABCD ,故OAE ∠为直线AE 与平面ABCD 所成的角, 因为2OO '=,1O A '=,所以AO =又2OE =,所以3AE ==,所以2sin 3OE OAE AE ∠==. 故选B 【点睛】本题考查了求直线与平面所成角,求解步骤是一作二证三求,属于中档题. 11．A 【分析】由题，设点A(-1,0), B(1,0)，根据题意，求得圆的方程，再求得P 点的位置，即可求得面积的最大值. 【详解】以经过,A B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系；则：A(-1,0), B(1,0) 设P(x, y),||||PA PB ==， 两边平方并整理得：2222610(3)8x y x x y +-+=⇒-+= ， 当点P 到AB （x 轴）的距离最大时，三角形PAB 的面积最大，此时面积为122⨯⨯= 故选A 【点睛】本题考查了曲线的轨迹方程，熟悉圆的定义和求轨迹方程是解题的关键，属于中档题型. 12．C 【分析】由题，先求得函数()f x 在(,)a +∞上单调递增，再由33log ab c ==判断出a<c<b ，根据单调性可得结果. 【详解】由题意可得：()0x a x af x e e--+'=-≥ 可知()f x 在(,)a +∞上单调递增；作出y=c 与33,log ,xy y x y x ===的图象，33log a b c ==，可得a<c<b ，故f(a)<f(c)<f(b)，故选:C.【点睛】本题考查了函数的性质，利用函数的图像判断大小和熟悉对勾函数的性质是解题的关键，属于中档题. 13．－1 【分析】根据向量加法和数量积的坐标运算以及完全平方公式可得答案. 【详解】因为(1,2)a =，(2,)b m =,所以(3,2)a b m +=+,所以222()9(2)413a b m m m +=++=++, 又2145a =+=,224b m =+,所以2241354m m m ++=++,解得1m =-. 故答案为:1-. 【点睛】本题考查了向量加法和数量积的坐标运算,以及完全平方公式,属于基础题. 14．6π 【解析】 【分析】求解出函数对称轴方程后，代入6x π=，得到ϕ的取值集合；再根据ϕ的范围求得结果.【详解】()22x k k Z πϕπ+=+∈ ()422k x k Z ππϕ⇒=+-∈()2sin 2y x ϕ=∴+的对称轴为：()422k x k Z ππϕ=+-∈ 又6x π=为对称轴 ()2122k k Z ϕππ∴=+∈，即()6k k Z πϕπ=+∈又22ππϕ-<< 0k ∴=，即6π=ϕ本题正确结果：6π【点睛】本题考查根据三角函数图象特点求解解析式问题，具体考查的是根据对称轴方程求解初相，属于基础题. 15．【分析】 设，圆224x y +=的圆心为，则是圆224x y +=与以为直径的圆的公共弦所在直线，以为直径的圆的方程为，即，两圆方程相减，即得的方程为，则直线与坐标轴的交点为，又因为焦点在x 轴上，则，，，所以椭圆方程为.【详解】 设，圆224x y +=的圆心为，则是圆224x y +=与以为直径的圆的公共弦所在直线，以为直径的圆的方程为，即，两圆方程相减，即得的方程为，则直线与坐标轴的交点为，又因为焦点在x 轴上，则，，，所以椭圆方程为.考点：直线圆的位置关系、椭圆的标准方程. 16．[32ln 2,)-+∞ 【分析】首先可根据题意得出12x x 、不可能同时大于1，然后令121x x ，根据122f x f x 即可得出122212ln x x x x ，最后通过构造函数12ln 1g xx x x 以及对函数12ln 1g x x x x 的性质进行分析即可得出结果．【详解】根据题意以及函数图像可知，12x x 、不可能同时大于1， 因为12x x ≠，所以可以令121x x ，即31121222ln f x f x x x ，因为122f x f x ，所以111222ln x x ，1212ln x x =-，122212ln x x x x ，构造函数12ln 1g x x x x ，则21xg x，令0g x ，则210x ，即2x >； 令0g x，则210x，即2x =；令0g x ，则210x，即12x <<；所以()g x 在1,2上单调递减，在2x =处取得极小值，在2,上单调递增，所以min232ln 2g xg ，32ln 2g x，1232ln 2x x ，故答案为[32ln 2,)-+∞． 【点睛】本题考查函数的相关性质，主要考查分段函数的相关性质、函数值与自变量之间的联系以及导数的相关性质，能否通过题意构造出函数12ln 1g x x x x 是解决本题的关键，考查推理能力，考查函数方程思想，是难题． 17．（Ⅰ）23A π=（Ⅱ）1 【分析】（Ⅰ）由余弦定理化简已知可得222b c a bc +-=-，可求得1cos 2A =-，结合范围(0,)A π∈，可求A 的值．（Ⅱ）由已知可求得3BC =，由余弦定理求得c 的值，可求cos C 的值，在ADC 中，由余弦定理可得AD 的值． 【详解】解：（Ⅰ）∵2222cos 22c b a b c C a ab++-==， ∴整理可得：222b c a bc +-=-，∴2221cos 222b c a bc A bc bc +--===-，∵(0,)A π∈，∴23A π=，（Ⅱ）∵23A π=，22DC BD ==，b AC ==，可得：3a BC ==，∴由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可得219322c c ⎛⎫=+-⨯-⎪⎝⎭，可得：260c -=，∴解得：c =（负值舍去），∴222cos2a b c C ab +-===∴ADC 中，由余弦定理可得：AD ==1=． 【点睛】本题主要考查了余弦定理及方程思想，还考查了计算能力及转化能力，属于中档题． 18．（1）详见解析；（2）12. 【分析】（1）连接BF ．证明EF AC ⊥．AC BF ⊥．推出AC ⊥平面1BB EF ．即可证明AC EG ⊥．（2）利用三棱锥1F EAG -的体积为111113F EAG G A EF B A EF A EF V V S BF V ---∆===⨯⨯求解即可．【详解】（1）证明：连接BF ．因为E ，F 分别是11A C ，AC 的中点，且11//AA CC ， 所以1//EF CC ，又11//CC BB ，所以1//EF BB ， 所以E ，F ，B ，1B 四点共面． 因为1CC ⊥平面ABC ，所以EF ⊥平面ABC ，所以EF AC ⊥.因为AB BC =，F 是AC 的中点， 所以AC BF ⊥. 又EFBF F =，所以AC ⊥平面1BB EF .又因为1G BB ∈，所以EG ⊂面1EFBB ， 所以AC EG ⊥．（2）解：在Rt BCF ∆中，由BC =1CF =，得2BF =．因为1CC ⊥平面ABC ，所以1CC BF ⊥. 又AC BF ⊥，1CC AC C =，所以BF ⊥平面11ACC A ，因为11//AA CC ，1122AA CC ==，E ，F 分别是11A C ，AC 的中点， 所以32EF =. 又1AF=，所以1A EF ∆的面积1113312224A EF S EF AF ∆=⨯⨯=⨯⨯=， 因为1//BB EF ，1BB ⊄面1A EF ，EF ⊂面1A EF ，所以1//BB 面1A EF ． 三棱锥1F EAG -的体积为111113F EA G G A EF B A EF A EF V V S BF V ---∆===⨯⨯1312342=⨯⨯=.【点睛】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面平行及垂直的判定和性质，空间几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养．19．(1) 5ln 1,120,16,20.x x y x +⎧=⎨>⎩(2) 当日产量为10吨时，每日的利润可达到最大，最大利润为6.5万元.(1)将2, 4.5x y ==和4,8x y ==代入ln y a x b =+,解得,a b ,即可得到答案; (2)先写出分段函数的解析式,再分段求最大值即可得到答案. 【详解】解：（1）因为当2x =时， 4.5y =，所以0.7 4.5a b +=.① 当4x =时，8y =，所以1.48a b +=.②由①②解得5,1,a b =⎧⎨=⎩, 所以当120x ≤≤时，5ln 1y x =+.当20x >时，5ln 2015(2ln 21n5)1y =+=⨯++=5(1.4 1.6)116⨯++=. 所以5ln 1,120,16,20.x x y x +⎧=⎨>⎩（2）设当日产量为x 吨时，每日的利润为()l x ，则151,120,2()()115,20.2nx x x l x y c x x x ⎧-⎪⎪=-=⎨⎪->⎪⎩①若120x ，则5110()22xl x x x-'=-=. 当110x 时，()0l x '≥；当1020x <时，()0l x '<.故10x =是函数()l x 在[1,20]内唯一的极大值点，也是最大值点，所以max 1()(10)5ln10105(ln 2ln 5)5 6.52l x l ==-⨯=+-=. ②若20x >，则1()152l x x =-，显然1()152l x x =-单调递减，故()5l x <.结合①②可知，当日产量为10吨时，每日的利润可达到最大，最大利润为6.5万元. 【点睛】本题考查了函数模型的应用,利用导数求函数的最大值,分段函数的最值,属于中档题.20．（1）22182x y +=；（2）22y x =±+【分析】（1）由题意可得2c ac⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得即可得出。
福建高二高中数学期中考试带答案解析
福建高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.若集合，，则等于（）A． B． C． D2.复数（i为虚数单位）的共轭复数是（）A．B．C．D．3.下面各组函数中为相等函数的是（）A．B．C．D．4.已知集合，，则（）A．B．C．D．5.用反证法证明命题:三角形的内角至少有一个钝角。
假设正确的是（）A．假设至少有一个钝角B．假设至少有两个钝角C．假设没有一个钝角D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角6.下图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）A．i＞10？B．i＜10?C．i＞20?D．i＜20?7.已知命题P：若则，命题q: 若则。
在命题：①，②③，④中，真命题是（）A．①③B．①④C．②③D．②④8.我校开展研究性学习活动，高二某同学获得一组实验数据如下表：）A. B. C. D.9.如果函数在区间（－∞，3]上单调递减，则实数a满足的条件使（）A．a≤6B．a≥6C．a≥3D．a≥－310.已知命题；命题，则命题的（）是命题.A．充分而不必要条件B．充要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件11.下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”B．“”是“”的必要不充分条件C．命题“使得”的否定是：“均有”D．已知命题，命题，使得．若命题“”是假命题，则实数的取值范围是．12.下列类比推理的结论不正确的是（）①类比“实数的乘法运算满足结合律”，得到猜想“向量的数量积运算满足结合律”；②类比“设等差数列的前项和为，则成等差数列”，得到猜想“设等比数列的前项积为，则成等比数列”；③类比“平面内，同垂直于一直线的两直线相互平行”，得到猜想“空间中，同垂直于一直线的两直线相互平行”；④类比“设为圆的直径，为圆上任意一点，直线的斜率存在，则为常数”，得到猜想“设为椭圆的长轴，为椭圆上任意一点，直线的斜率存在，则为常数”.A．①④B．①③C．②③D．②④二、填空题1.设，那么的大小关系是________.2.设函数,若,________.3.已知函数定义域是，则的定义域是 .4.如下图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作，第2个五角形数记作，第3个五角形数记作，第4个五角形数记作，……，若按此规律继续下去，则 .三、解答题1.复数（），（1），求复数的模；（2）当实数 m为何值时复数为纯虚数；（3）当实数 m为何值时复数在复平面内对应的点在第二象限？2.已知集合．（1）求；（2）3.某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm）的值落在（29.94，30.06）的零件为优质品.从两个分厂生产的零件中个抽出500件，量其内径尺寸，的结果如下表：甲厂：分组[29.86，[29.90，[29.94，[29.98，[30.02，[30.06，[30.10，（1）试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；（2）由于以上统计数据填下面列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.甲厂乙厂合计4.已知函数（1）画出该函数的图像；（2）求函数的单调区间；（3）设，求在上的最大值.5.已知f（x）是定义在区间［-1，1］上的函数，且f（1）=1，若m,n∈［-1,1］,m-n≠0时，有. （1）判断函数的单调性，需要说明理由：（2）解不等式：；（3）若不等式，求实数的取值范围.福建高二高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.若集合，，则等于（）A． B． C． D【答案】C【解析】由题已知，；求它们的交集，则可得：【考点】集合的交集运算。
2019-2020学年高二数学上学期期中试题(含解析)_29
2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页；满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡（纸）上.2.第Ⅰ卷的答寀须用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号.3.答第Ⅱ卷（非选择题）考生须用0.5mm的黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡（纸）的各题目指定的区域内相应位置，如需改动，须先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.否则，该答题无效.4.书写力求字体工整、笔迹清楚.第Ⅰ卷（选择题60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.下列关于抛物线的图象描述正确的是（）A. 开口向上，焦点为B. 开口向右，焦点为C. 开口向上，焦点为D. 开口向右，焦点为【答案】A【解析】【分析】利用抛物线方程，判断开口方向以及焦点坐标即可.【详解】抛物线，即，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为.故选：A.【点睛】本题考查了抛物线的简单性质的应用，属于基础题.2.在等差数列中，已知，，若时，则项数等于（）A. 96B. 99C. 100D. 101【答案】B【解析】【分析】由等差数列的首项和公差，写出，再列方程求解即可.【详解】在等差数列中，，，，当时，则，解得.故选：B.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题.3.命题：，，则命题的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】分析】命题：，是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和不等号的变化.【详解】命题：，，否定时将量词“”变为，再将不等号变为即可，则命题的否定为：，.故选：C.【点睛】本题考查了命题的否定以及全称命题和特称命题，属于基础题.4.若，，则与的大小关系为（）A. B. C. D. 不能确定【答案】A【解析】【分析】利用作差法，即可得出与的大小关系.【详解】，，，.故选：A.【点睛】本题考查了作差法比较大小以及完全平方公式的应用，属于基础题.5.如果是的必要不充分条件，是的充分必要条件，是的充分不必要条件，那么是的（）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由题设条件知，但是推不出，推不出，所以推不出，即可判断.【详解】根据题意得，，推不出，，，推不出，，即，但是推不出，推不出，则推不出，是的必要不充分条件.故选：A.【点睛】本题考查了充分条件与必要条件的判断，属于基础题.6.若双曲线的方程为，其焦点在轴上，焦距为4，则实数等于（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】利用双曲线的焦点在轴上，得到，解出的范围，再根据焦距为4，列方程求解即可.【详解】双曲线的焦点在轴上，，解得，又双曲线的焦距为4，，解得，经检验，符合题意.故选：C.【点睛】本题考查了双曲线的标准方程及性质，此类题需要注意焦点的位置，属于基础题.7.若实数满足关系式，则的最小值为（）A. B. C. 3 D. 4【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式即可求出最小值.【详解】由题可知，，由基本不等式得，，当且仅当，即时，取等号.因此的最小值为.故选：D.【点睛】本题考查了基本不等式的应用以及指数运算性质，属于基础题.8.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2S4＝a4S2，则（）A. 1B. ﹣1C. 2019D. ﹣2019【答案】A【解析】【分析】先由已知得到公比q=-1,再求的值得解.【详解】由题得，即，所以，所以.所以故选A【点睛】本题主要考查等比数列的通项和前n项和公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 9.已知不等式：①；②；③，若要同时满足不等式①②的也满足不等式③，则有（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分别求出前两个不等式解集，记它们的交集，要同时满足不等式①②的也满足不等式③，则集合应为不等式③解集的子集，则当时，恒成立，参变分离得，求出时，的范围，即可得解.【详解】不等式①等价于，解得，则不等式①解集为，不等式②等价于，解得，则不等式②解集为，记不等式①和不等式②解集的交集为，则，满足不等式①②的也满足不等式③，当时，恒成立，即恒成立，又当时，，.故选：C.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了不等式恒成立问题，考查了集合间的关系和交集的运算，考查了转化能力，属于基础题.10.已知等差数列的前项和为，，，则取最大值时的为A. 4B. 5C. 6D. 4或5【答案】B【解析】由为等差数列，所以，即，由，所以，令，即，所以取最大值时的为，故选B．11.椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，若直线y＝kx与椭圆的一个交点的横坐标x0＝b，则k的值为( )A. B. ± C. D. ±【答案】B【解析】分析：根据椭圆的离心率为，可得和的关系，设交点纵坐标为，则，代入椭圆方程即可求得.详解：∵椭圆的离心率为∴∴设交点纵坐标为，则，代入椭圆方程得.∴故选B.点睛：本题主要考查了直线与椭圆的位置关系．考查了学生对椭圆知识点综合把握，解题中运用“设而不求”、“整体代换”等思想方法的运用，以减少运算量，提高解题的速度.12.数列是各项均为正数且均不相等的等比数列，数列是等差数列，且，则有（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由等差数列的性质可得，由等比数列的性质可得，利用基本不等式即可判断与大小关系.【详解】数列是等差数列，，数列是各项均为正数且均不相等的等比数列，，，由基本不等式得，（当且仅当时取等号），等号取不到，，，，A，C错误，D正确；对于B，（当且仅当时取等号），等号取不到，，无法判断与的关系，故B 错误.故选：D.【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了基本不等式的应用，考查了转化能力，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】由集合可得，从而可得，再由集合的包含关系求出的取值范围即可.【详解】由集合得，解得，，“”是“”的充分不必要条件，集合是集合的真子集，.故答案为：.【点睛】本题考查了根据充分不必要条件求参数范围，考查了根据集合的包含关系求参数范围，属于基础题.14.双曲线的一个焦点为，其渐近线方程为，则双曲线的标准方程为___________.【答案】【解析】【分析】根据焦点所在位置设出标准方程，结合渐近线斜率即可求解.【详解】由题：双曲线的一个焦点为，其渐近线方程为，所以焦点在轴上，设标准方程为，且，解得：.所以双曲线的标准方程为.故答案为：【点睛】此题考查根据离心率和渐近线方程求双曲线的标准方程，关键在于准确计算，容易漏掉考虑焦点所在坐标轴.15.若不等式对任意，恒成立，则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】不等式对任意，恒成立，等价于，和都是正数，由基本不等式求出的最小值，即可得解.【详解】不等式对任意，恒成立，，，，，，由基本不等式得，，（当且仅当，即时取等号），，，解得，的取值范围为.故答案为：【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查了基本不等式的应用，考查了不含参的一元二次不等式的解法，考查了转化能力，属于中档题.16.如图所示，是毕达哥拉斯（Pythagoras）的生长程序：正方形上连接着一个等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角边上再连接正方形，…，如此继续，若一共能得到1023个正方形.设初始正方形的边长为，则最小正方形的边长为_____.【答案】【解析】【分析】记初始正方形的边长为，经过次生长后的正方形的边长为，经过次生长后正方形的个数为，结合题意得到数列是以为首项，为公比的等比数列，，由此即可求出最小正方形的边长.【详解】记初始正方形的边长为，经过次生长后的正方形的边长为，经过次生长后正方形的个数为，由题可知，数列是以为首项，为公比的等比数列，，由题可知，，令，解得，最小正方形的边长为，故答案为：.【点睛】本题以图形为载体，考查了等比数列的通项公式和求和公式，是数列的应用问题，关键在于提炼出等比数列的模型，正确利用相应的公式，属于中档题.三、解答题：（本大题共6个小题，共70分：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知等差数列，记为其前项和（），且，.（Ⅰ）求该等差数列的通项公式；（Ⅱ）若等比数列满足，，求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，根据等差数列的通项公式和求和公式，列方程求出和，即可得解；（Ⅱ）设等比数列的公比为，由（Ⅰ）写出，可得，计算出，即可得解，注意分和两种情况.【详解】（Ⅰ）设等差数列的公差为，则，，由题意，得，解得，的通项公式，.（Ⅱ）设等比数列的公比为，由（Ⅰ）得，，，或，当时，，当时，.【点睛】本题考查了等差（比）数列通项公式和求和公式，考查了分类讨论的数学思想，考查了计算能力，属于基础题.18.解关于的不等式：.【答案】见解析【解析】【分析】先将分式不等式化为，再讨论的取值，从而得到不等式的解集.【详解】原不等式等价于不等式.（※）①当，即时，不等式（※）等价于，解得；②当，即时，不等式（※）等价于，解得或；③当，即，不等式（※）等价于.（☆）（ⅰ）当时，不等式（☆）等价于，显然不成立，此时不等式（※）的解集为；（ⅱ）当时，，解得；（ⅲ）当时，，解得；综上所述，当时，所求不等式的解集为或；当时，所求不等式的解集为；当时，所求不等式的解集为；当时，所求不等式的解集为；当时，所求不等式的解集为.【点睛】本题考查了分式不等式的解法以及含参一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的思想，属于基础题.19.已知抛物线：（），其上一点到的焦点的距离为4.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）过点直线与抛物线分別交于，两点（点，均在轴的上方），若的面积为4，求直线的方程.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（1）根据题意，结合抛物线的定义列方程求出，写出抛物线的方程即可；（2）设直线：，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合面积公式，列方程求出，即可得解.【详解】解：（Ⅰ）抛物线：（）上一点到的焦点的距离为4，由抛物线的定义，得，解得，所求抛物线的方程为.（Ⅱ）由题意知，直线的斜率一定存在.①当直线的斜率为0时，直线与抛物线只有一个交点，不合题意.②当直线的斜率不为0时，依题意，设直线：，设点，.点均在轴的上方，，，由（Ⅰ）知抛物线的焦点，则.联立直线的方程与抛物线的方程，即，消去并整理得.由，得（因为），且有，，，解得或，又，，：，直线的方程为.【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了计算能力，属于中档题.20.某国营企业集团公司现有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元.为了激化内部活力，增强企业竞争力，集团公司董事会决定优化产业结构，调整出（）名员工从事第三产业；调整后，他们平均每人每年创造利润万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高％.（Ⅰ）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（Ⅱ）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则实数的取值范围是多少？【答案】（Ⅰ）500名（Ⅱ）【解析】【分析】（1）根据题意可列出，进而解不等式即可求得的范围，从而得解；（2）根据题意分别表示出从事第三产业的员工创造的年总利润和从事原来产业的员工的年总利润，进而根据题意列出不等式，转化为不等式恒成立问题，再利用基本不等式，即可得解.【详解】解：（Ⅰ）由题意，得，整理得，解得，又，，最多调整出500名员工从事第三产业.（Ⅱ）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，从事原来产业的员工的年总利润为万元.则由题意，知当时，恒有，整理得在时恒成立.，当且仅当，即时等号成立，，又，，的取值范围是.【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，考查了转化能力，属于中档题.21.数列的前项和为，，且成等差数列．(1)求的值；(2)证明为等比数列，并求数列的通项公式；(3)设，若对任意的，不等式恒成立，试求实数的取值范围．【答案】(1);(2)见解析;(3).【解析】【分析】，，又成等差数列，解得，当时，得到，代入化简，即可证得结果由得，代入化简得，讨论的取值并求出结果【详解】（1）在中令，得即，①又②则由①②解得.（2）当时，由，得到则又，则是以为首项，为公比的等比数列，，即.（3）当恒成立时，即（）恒成立设（），当时，恒成立，则满足条件；当时，由二次函数性质知不恒成立；当时，由于对称轴，则在上单调递减，恒成立，则满足条件，综上所述，实数λ的取值范围是.【点睛】本题考查了数列的综合题目，在求通项时可以采用的方法来求解，在求数列不等式时将其转化为含有参量的一元二次不等式问题，然后进行分类讨论求出结果．22.圆：（）过点，离心率为，其左、右焦点分别为，，且过焦点的直线交椭圆于，.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若点的坐标为，设直线与直线的斜率分别为，试证明：.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）证明见解析【解析】【分析】（Ⅰ）由椭圆过点以及离心率为，结合，列方程组求解，即可得椭圆方程；（Ⅱ）方法一：先考虑直线斜率不存在的情况，再考虑斜率存在的情况，对于斜率存在的情况，设直线：，与椭圆交点，，联立直线与椭圆的方程，消去并整理，利用判别式及韦达定理，从而可表示出，然后化简求解即可；方法二：先考虑直线斜率为0情况，再考虑直线斜率不为0时，对于斜率不为0的情况，设直线，后续过程同方法一.【详解】（Ⅰ）椭圆：（）过点，.①又椭圆离心率为，，.②联立①②得，解得，椭圆的方程为.（Ⅱ）方法一：当直线斜率不存在时，则，；当直线斜率存在时，设直线：，与椭圆交点，.联立，消去并整理得.由于，，，，，.综上所述，.方法二：当直线斜率为0时，，则；当直线斜率不为0时，设直线：设与椭圆交点，，联立，消去并整理得.由于，，，.，综上所述，.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及性质，考查了直线与椭圆的综合应用以及椭圆中的定值问题，考查了分类讨论的数学思想和计算能力，属于中档题.2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页；满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡（纸）上.2.第Ⅰ卷的答寀须用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号.3.答第Ⅱ卷（非选择题）考生须用0.5mm的黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡（纸）的各题目指定的区域内相应位置，如需改动，须先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.否则，该答题无效.4.书写力求字体工整、笔迹清楚.第Ⅰ卷（选择题60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.下列关于抛物线的图象描述正确的是（）A. 开口向上，焦点为B. 开口向右，焦点为C. 开口向上，焦点为D. 开口向右，焦点为【答案】A【解析】【分析】利用抛物线方程，判断开口方向以及焦点坐标即可.【详解】抛物线，即，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为.故选：A.【点睛】本题考查了抛物线的简单性质的应用，属于基础题.2.在等差数列中，已知，，若时，则项数等于（）A. 96B. 99C. 100D. 101【答案】B【解析】【分析】由等差数列的首项和公差，写出，再列方程求解即可.【详解】在等差数列中，，，，当时，则，解得.故选：B.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题.3.命题：，，则命题的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】分析】命题：，是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和不等号的变化.【详解】命题：，，否定时将量词“”变为，再将不等号变为即可，则命题的否定为：，.故选：C.【点睛】本题考查了命题的否定以及全称命题和特称命题，属于基础题.4.若，，则与的大小关系为（）A. B. C. D. 不能确定【答案】A【解析】【分析】利用作差法，即可得出与的大小关系.【详解】，，，.故选：A.【点睛】本题考查了作差法比较大小以及完全平方公式的应用，属于基础题.5.如果是的必要不充分条件，是的充分必要条件，是的充分不必要条件，那么是的（）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由题设条件知，但是推不出，推不出，所以推不出，即可判断.【详解】根据题意得，，推不出，，，推不出，，即，但是推不出，推不出，则推不出，是的必要不充分条件.故选：A.【点睛】本题考查了充分条件与必要条件的判断，属于基础题.6.若双曲线的方程为，其焦点在轴上，焦距为4，则实数等于（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】利用双曲线的焦点在轴上，得到，解出的范围，再根据焦距为4，列方程求解即可.【详解】双曲线的焦点在轴上，，解得，又双曲线的焦距为4，，解得，经检验，符合题意.故选：C.【点睛】本题考查了双曲线的标准方程及性质，此类题需要注意焦点的位置，属于基础题.7.若实数满足关系式，则的最小值为（）A. B. C. 3 D. 4【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式即可求出最小值.【详解】由题可知，，由基本不等式得，，当且仅当，即时，取等号.因此的最小值为.故选：D.【点睛】本题考查了基本不等式的应用以及指数运算性质，属于基础题.8.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2S4＝a4S2，则（）A. 1B. ﹣1C. 2019D. ﹣2019【答案】A【解析】【分析】先由已知得到公比q=-1,再求的值得解.【详解】由题得，即，所以，所以.所以故选A【点睛】本题主要考查等比数列的通项和前n项和公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.9.已知不等式：①；②；③，若要同时满足不等式①②的也满足不等式③，则有（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分别求出前两个不等式解集，记它们的交集，要同时满足不等式①②的也满足不等式③，则集合应为不等式③解集的子集，则当时，恒成立，参变分离得，求出时，的范围，即可得解.【详解】不等式①等价于，解得，则不等式①解集为，不等式②等价于，解得，则不等式②解集为，记不等式①和不等式②解集的交集为，则，满足不等式①②的也满足不等式③，当时，恒成立，即恒成立，又当时，，.故选：C.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了不等式恒成立问题，考查了集合间的关系和交集的运算，考查了转化能力，属于基础题.10.已知等差数列的前项和为，，，则取最大值时的为A. 4B. 5C. 6D. 4或5【答案】B【解析】由为等差数列，所以，即，由，所以，令，即，所以取最大值时的为，故选B．11.椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，若直线y＝kx与椭圆的一个交点的横坐标x0＝b，则k的值为( )A. B. ± C. D. ±【答案】B【解析】分析：根据椭圆的离心率为，可得和的关系，设交点纵坐标为，则，代入椭圆方程即可求得.详解：∵椭圆的离心率为∴∴设交点纵坐标为，则，代入椭圆方程得.∴故选B.点睛：本题主要考查了直线与椭圆的位置关系．考查了学生对椭圆知识点综合把握，解题中运用“设而不求”、“整体代换”等思想方法的运用，以减少运算量，提高解题的速度.12.数列是各项均为正数且均不相等的等比数列，数列是等差数列，且，则有（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由等差数列的性质可得，由等比数列的性质可得，利用基本不等式即可判断与大小关系.【详解】数列是等差数列，，数列是各项均为正数且均不相等的等比数列，，，由基本不等式得，（当且仅当时取等号），等号取不到，，，，A，C错误，D正确；对于B，（当且仅当时取等号），等号取不到，，无法判断与的关系，故B错误.故选：D.【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了基本不等式的应用，考查了转化能力，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】由集合可得，从而可得，再由集合的包含关系求出的取值范围即可.【详解】由集合得，解得，，“”是“”的充分不必要条件，集合是集合的真子集，.故答案为：.【点睛】本题考查了根据充分不必要条件求参数范围，考查了根据集合的包含关系求参数范围，属于基础题.14.双曲线的一个焦点为，其渐近线方程为，则双曲线的标准方程为___________.【答案】【解析】【分析】根据焦点所在位置设出标准方程，结合渐近线斜率即可求解.【详解】由题：双曲线的一个焦点为，其渐近线方程为，所以焦点在轴上，设标准方程为，且，解得：.所以双曲线的标准方程为.故答案为：【点睛】此题考查根据离心率和渐近线方程求双曲线的标准方程，关键在于准确计算，容易漏掉考虑焦点所在坐标轴.15.若不等式对任意，恒成立，则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】不等式对任意，恒成立，等价于，和都是正数，由基本不等式求出的最小值，即可得解.【详解】不等式对任意，恒成立，，，，，，由基本不等式得，，（当且仅当，即时取等号），，，解得，的取值范围为.故答案为：【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查了基本不等式的应用，考查了不含参的一元二次不等式的解法，考查了转化能力，属于中档题.16.如图所示，是毕达哥拉斯（Pythagoras）的生长程序：正方形上连接着一个等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角边上再连接正方形，…，如此继续，若一共能得到1023个正方形.设初始正方形的边长为，则最小正方形的边长为_____.【答案】【解析】【分析】记初始正方形的边长为，经过次生长后的正方形的边长为，经过次生长后正方形的个数为，结合题意得到数列是以为首项，为公比的等比数列，，由此即可求出最小正方形的边长.【详解】记初始正方形的边长为，经过次生长后的正方形的边长为，经过次生长后正方形的个数为，由题可知，数列是以为首项，为公比的等比数列，，由题可知，，令，解得，最小正方形的边长为，故答案为：.【点睛】本题以图形为载体，考查了等比数列的通项公式和求和公式，是数列的应用问题，关键在于提炼出等比数列的模型，正确利用相应的公式，属于中档题.三、解答题：（本大题共6个小题，共70分：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知等差数列，记为其前项和（），且，.（Ⅰ）求该等差数列的通项公式；（Ⅱ）若等比数列满足，，求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，根据等差数列的通项公式和求和公式，列方程求出和，即可得解；（Ⅱ）设等比数列的公比为，由（Ⅰ）写出，可得，计算出，即可得解，注意分和两种情况.【详解】（Ⅰ）设等差数列的公差为，则，，由题意，得，解得，的通项公式，.（Ⅱ）设等比数列的公比为，由（Ⅰ）得，，，或，当时，，当时，.【点睛】本题考查了等差（比）数列通项公式和求和公式，考查了分类讨论的数学思想，考查了计算能力，属于基础题.18.解关于的不等式：.【答案】见解析【解析】【分析】先将分式不等式化为，再讨论的取值，从而得到不等式的解集.【详解】原不等式等价于不等式.（※）①当，即时，不等式（※）等价于，解得；②当，即时，不等式（※）等价于，解得或；③当，即，不等式（※）等价于.（☆）（ⅰ）当时，不等式（☆）等价于，显然不成立，此时不等式（※）的解集为；（ⅱ）当时，，解得；（ⅲ）当时，，解得；。
福建高二高中数学期中考试带答案解析
福建高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.复数的共轭复数是（***）A．B．C．D．2.曲线y=在点（1，1）处切线的倾斜角为（***）A．0°B．45°C．90°D．135°3.有一段演绎推理：“因为对数函数是减函数；已知是对数函数，所以是减函数”，结论显然是错误的，这是因为（***）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误4.用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是（***）A．1B．C．D．5.用反证法证明某命题时，对结论：“自然数都是偶数”，正确的反设为（***）A．都是奇数B．中至多有一个是奇数C．中至少有一个是奇数D．中恰有一个是奇数6.用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是（***）A．B．C．D．7.设是函数的导函数, 的图象如右图所示,则的图象最有可能是下图中的（***）A B C D8.函数的单调递增区间是（***）A．B．C．D．9.已知复数且，则的最小值是（***）A．B．C．D．10.若函数在其定义域的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（***）A．B．C．D．11.设、是两个非空集合，定义.若，，则中的元素个数有（***）A．4个B．7个C．12个D．16个12.如图，记曲线与直线围成的封闭区域为S，若随机地撒1000颗豆子在矩形ABCD中，则区域S中的豆子数最有可能是（***）K^S*5U.C#OA．888颗B．667颗C．446颗D．225颗二、填空题1.若复数为纯虚数，其中m∈R，i为虚数单位，则m= *** ；2.一辆汽车沿直线轨道前进，若司机踩刹车后汽车速度（单位：米/秒），则汽车刹车后前进 *** 米才停车；3.观察以下不等式可以归纳出对大于1的正整数n成立的一个不等式，则不等式右端的表达式应为 *** .4.2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 *** .（用数字回答）K^S*5U.C#O5.若数列{} (n∈N)是等差数列,则通项为b=(n∈N)的数列也是等差数列；类比上述性质，相应地：若数列{}是等比数列,且＞0(n∈N)，则通项为= *** (n∈N)的数列也是等比数列。