一次函数与反比例函数综合复习
反比例函数与一次函数综合
一、反比例函数的定义函数ky x=(k 为常数，0k ≠)叫做反比例函数，其中k 叫做比例系数，x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数.二、反比例函数的图象反比例函数ky x=(k 为常数，0k ≠)的图像由两条曲线组成，每条曲线随着x 的不断增大(或减小)越来越接近坐标轴，反比例函数的图像属于双曲线.反比例函数k y x =与ky x=-(0k ≠)的图像关于x 轴对称，也关于y 轴对称.三、反比例函数图象的性质反比例函数ky x=(k 为常数，0k ≠)的图像是双曲线； 当0k >时，函数图像的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小；当0k <时，函数图像的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y 随x 的增大而增大.注意：⑴反比例函数ky x=(0k ≠)的取值范围是0x ≠．因此，①图象是断开的两条曲线，画图象时，不要把两个分支连接起来． ②叙述反比例函数的性质时，一定要加上“在每一个象限内”，如当0k >时，双曲线ky x=的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小．这是由于0x ≠，即0x >或0x <的缘故．如果笼统地叙述为0k <时，y 随x 的增大而增大就是错误的．⑵由于反比例函数中自变量x 和函数y 的值都不能为零，所以图象和x 轴、y 轴都没有交点，但画图时要体现出图象和坐标轴无限贴近的趋势．⑶在画出的图象上要注明函数的解析式．中考要求知识点睛反比例函数与一次函数综合一、反比例函数与一次函数综合【例1】 已知直线1y k x =(10k ≠)和双曲线2k y x=(20k ≠)的一个交点是(2-，5)，求它们的另一个交点坐标．【例2】 直线()0y ax a =>与双曲线3y x=交于()()1122A x y B x y ，、，两点，则122143x y x y -= ．【例3】 已知正比例函数与反比例函数图象交点到x 轴的距离是3，到y 轴的距离是4，求它们的解析式．【例4】 若一次函数3y x b =+和反比例函数3b y x-=的图像有两个交点，当b =______时，有一个交点的纵坐标为6.【例5】 如图，直线43y x =与双曲线()0k y x x =>交于点A ．将直线43y x =向右平移92个单位后，与双曲线()0ky x x =>交于点B ，与x 轴交于点C ，若2AOBC =，则k =_________．【例6】 已知一次函数y kx b =+(0k ≠)的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，且与反比例函数m y x=(0m ≠)的图象在第一象限交于C 点，CD 垂直于x 轴，垂足为D .若1OA OB OD ===，（1）点A 、B 、D 的坐标；（2）求一此函数与反比例函数的解析式.【例7】 在平面直角坐标系Oxy 中，直线y x =-绕点O 顺时针旋转90︒得到直线l ．直线l 与反比例函数ky x=的图像的一个交点为()3A a ，，试确定反比例函数的解析式． 例题精讲【例8】 在平面直角坐标系xOy 中，直线y x =向上平移1个单位长度得到直线l ．直线l 与反比例函数ky x=的图象的一个交点为()2A a ，，则k 的值等于 ． 【例9】 在平面直角坐标系xOy 中，直线y x =-绕点O 顺时针旋转90的到直线l .直线l 与反比例函数ky x=的图象的一个交点为()3A a ，，试确定反比例函数的解析式.【例10】 已知反比例函数ky x=(0k <)的图像经过点A(m )，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，且A O B∆（1）求k 和m 的值．（2）若一次函数1y ax =+的图象经过点A ，并且与x 轴相交于点C ，求:AO AC 的值．【例11】 如图，反比例函数ky x=的图像与一次函数y mx b =+的图像交于()13A ，，()1B n -，两点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图像回答：当x 取何值时，反比例函数的值 大于一次函数的值．【例12】 如图7，已知一次函数1y x m =+（m 为常数）的图象与反比例函数2ky x=（k 为常数，0k ≠）的图象相交于点()13A ，．（1）求这两个函数的解析式及其图象的另一交点B 的坐标；（2）观察图象，写出使函数值12y y ≥的自变量x 的取值 范围．【例13】 如图，已知()()424A B n --，，，是一次函数y kx b =+的图象与反比例函数的图象的两个交点. （1）求此反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x 的 取值范围．【例14】 如图，已知：一次函数y kx b =+的图像与反比例函数my x=的图像交于A 、B 两点. （1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图像写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 取值范围．【例15】 如图，已知()()424A n B --，，，是一次函数y kx b =+的图象和反比例函数my x=的图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及AOB ∆的面积；（3）求方程0mkx b x +-=的解（请直接写出答案）；（4）求不等式0mkx b x+-=的解集（请直接写出答案）.A【例16】 用图象解一元二次方程230x x +-=时，我们采用的一种方法是：在平面直角坐标系中画出抛物线2y x =和直线3y x =-+，两图象交点的横坐标就是该方程的解． （1）填空：利用图象解一元二次方程230x x +-=，也可以这样求解：在平面直角坐标系中画出抛物线y = 和直线y x =-，其交点的横坐标就是该方程的解．（2）已知函数6y x =-的图象（如图9所示），利用图象求方程630x x-+=的近似解（结果保留两个有效数字）．【例17】 如图，是一次函数y kx b =+与反比例函数2y x=的图像， 则关于x 的方程2kx b x+=的解为（ ）A ．1212x x ==，B ．1221x x =-=-，C ．1212x x ==-，D ．1221x x ==-，【例18】 已知一次函数与反比例函数的图象交于点P (3-，m )，Q (2，3-)．（1） 求这两个函数的函数关系式；（2）在给定的直角坐标系(如图)中，画出这两个函数的大致图象；（3）x 为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？x 为何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？（图9）（图9）【例19】 已知正比例函数1y k x =1(0)k ≠与反比例函数22(0)k y k x=≠的图象交于A B 、两点，点A 的坐标为(21)，．（1）求正比例函数、反比例函数的表达式； （2）求点B 的坐标．【例20】 知一次函数y x m =+与反比例函数1m y x+=(1m ≠-)的图象在第一象限内的交点为P (0x ，3) （1）0x 的值．（2）一次函数和反比例函数的解析式.【例21】 直线y kx =(0k >)与双曲线4y x=交于A ()11x y ，，B ()22x y ，两点，求122127x y x y -的值.【例22】 如图，一次函数122y x =-的图象分别交x 轴、y 轴于A B P ，，为AB 上一点且PC 为AOB ∆的中位线，PC 的延长线交反比例函数()0k y k x =>的图象于Q ，32OQC S ∆=，则k 的值和Q 点的坐标分别为______________.。
一次函数和反比例函数综合问题(3易错7题型)—2024年中考数学(全国通用)(解析版)
一次函数和反比例函数综合问题目录【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略 【误区点拨】点拨常见的易错点【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）一次函数和反比例函数是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容.每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分.1．从考点频率看，一次函数和反比例函数的图象和性质是考查的基础，也是高频考点、必考点，所以对一次函数和反比例函数的图象和性质必须熟记.2．从题型角度看，以解答题的第三题或第四题为主，分值8分左右，着实不少！易错点一 一次函数与反比例函数中由面积求点坐标【例1】（2024·广东珠海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数图象5y x =−+与y 轴交于点A ，与反比例函数ky x=的图象的一个交点为(),4B a ，过点B 作AB 的垂线l ．(1)求点A 的坐标及反比例函数的表达式；(2)若点C 在直线l 上，且ABC 的面积为5，求点C 的坐标；S=ABCABCS=【例2】（2024·甘肃陇南·一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数4y x =−与反比例函数ky x=的图象交于A ，B 两点，与x 轴相交于点C ，已知点A ，B 的坐标分别为()5,n n 和(),5m −．(1)求反比例函数的解析式； (2)点P 为反比例函数ky x=图象上任意一点，若2POC AOC S S =△△，求点P 的坐标．【例3】（2024·山东济宁·一模）如图，点()3,6A ，()6,B a 是反比例函数y x=的图象上的两点，连接OA 、OB ．(1)求a 的值； (2)求AOB 的面积；(3)若点C 的坐标为()9,0，点P 是反比例函数图象上的点，若POC △的面积等于AOB 面积的3倍，求点P的坐标． )AOB 的面积为AODBOES S=，由BOEAODAOEB S SS S=−四边形，可得AOBS=1273322POCAOBSOC PE S =⨯⨯==⨯，即可求解，【详解】（1）解：∵点()3,6A ，()6,B a 是反比例函数y x=的图象上的两点， ∴63m=，解得：18m =， ∴反比例函数解析式为：18y x=， ∴186a =，解得：3a =， 故答案为：3a =，（2）解：过点A ，B ，作AC x ⊥轴，BD x ⊥轴，垂足分别为D ，E ，由（1）可知，点()3,6A ，()6,3B 是反比例函数18y x=的图象上的两点， ∴6AC =，3OD =，3BD =,6OE =，AODBOES S=，∵BOEAODAOEB AOEB S SS S−=−四边形四边形，∴()()()()()1112763632222AOBADEB SS AD BE DE AD BE OE OD ==+⋅=+⋅−=+−=梯形， 故答案为：AOB 的面积为272， （3）解：设点P 坐标为18,p p ⎛⎫⎪⎝⎭，过点P ，作PE x ⊥轴，垂足为E ，∴18180PE p p=−=，9OC =， ∴1273322POCAOBSOC PE S =⨯⨯==⨯， 即：118279322p ⨯⨯=⨯，解得：2p =或2p =−， ∴()2,9P 或()2,9P −−，故答案为：点P 的坐标为()2,9或()2,9−−．一次函数中平移问题【例1】（2024·河北邯郸·二模）如图，直线1:4l y x =+与y 轴，x 轴交于点A ，点B ，直线2l 与y 轴，x 轴交于点A ，点,2C OC OA =．(1)求点A 的坐标及直线2l 的解析式；(2)点13,22D m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在直线3l 上．①直接写出直线3l 的解析式；②若点D 在ABC 内部（含边界），求m 的取值范围；③横纵坐标都为整数的点为整点，将直线3l 向上平移n 个单位长度（n 为整数），直线3l 在第二象限恰有4个整点，直接写出n的值．=OC OA2①点在ABC 内部（含边界）【例2】（2024·河北石家庄·一模）如图，平面直角坐标系中，线段AB 的端点为(2,2)A ，(4,1)B ．直线:2l y x =+与x 轴，y 轴分别交于C ，D 两点，动点P 从点D 出发，沿y 轴以每秒1个单位长度的速度向下移动，设移动时间为t 秒．某同学设计了一个动画：线段AB 为蓝色光带，当有动点或动直线经过线段AB 时，蓝色光带会变成红色．(1)求直线AB 的解析式；(2)①若直线l 随点P 向下平移，当2t =时，蓝色光带是否变红？②点M 是直线l 上的一点，若点M 向下平移4个单位长度的过程中，能使蓝色光带变红，求点M 的横坐标M x 的取值范围；Q m n三点共线时，直接写出m与t的函数关系式．(3)当点C，点P与蓝色光带上的点(,)直线过直线又直线②点A）()20C −，易错点三 一次函数与反比例函数中求线段和的最小值问题【例1】（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，一次函数8y x =+的图象与反比例函数()0ky x x=<的图象交于(),6A a ，B 两点．(1)求此反比例函数的表达式及点B 的坐标；(2)在y 轴上存在点P ，使得AP BP +的值最小，求AP BP +的最小值．则AP BP +的最小值A =【例2】（2023·辽宁盘锦·二模）如图，一次函数4y x =+的图象与反比例函数ky x=（k 为常数且0k ≠）的图象交于()1,A a −，B 两点．(1)求此反比例函数的表达式及点B 的坐标；(2)当反比例函数值大于一次函数值时，直接写出x 的取值范围；(3)在y 轴上存在点P ，使得APB △的周长最小，求点P 的坐标并直接写出APB △的周长． ）解：点点点A题型一 一次函数的图象和性质【例1】（2024·浙江·模拟预测）已知点()11,A m n ，()22,B m n ()12m m <在一次函数y kx b =+的图像上． (1)用含有1m ，1n ，2m ，2n 的代数式表示k 的值．(2)若123m m b +=，124n n kb +=+，2b >．试比较1n 和2n 的大小，并说明理由．【例2】（2024·浙江杭州·一模）设一次函数31y ax a =++（a 是常数，0a ≠）． (1)无论a 取何值，该一次函数图象始终过一个定点，直接写出这个定点坐标： (2)若24x ≤≤时，该一次函数的最大值是6，求a 的值． 【详解】（1）解：一次函数1， 当3x =−时，11y =，∴无论a 取何值，该一次函数图象始终过定点(3,1)−；（2）解：当0a >时，当4x =时，一次函数14316y a a =++=，1．（2024·北京·一模）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+（0k ≠）的图象经过点()0,1，()2,2−，与x 轴交于点A ．(1)求该一次函数的表达式及点A 的坐标；(2)当2x >时，对于x 的每一个值，函数2y x m =+的值大于一次函数y kx b =+（0k ≠）的值，直接写出m 的取值范围．解：一次函数2．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知一次函数10y mx n mn =+≠．(1)已知关于x 的一元二次方程20x mx n +−=必有两个不相等的实数根，试说明一次函数1y mx n =+的图象过第一和第二象限．(2)在（1）的条件下，已知另一函数2y nx m =+的图象与y 1图象的交点在第四象限，求不等式12y y >的解． 【答案】(1)见解析解：∵关于x 的一元二次方程20x mx n +−=的解，可看作抛物线2y x =与直线y mx n =−+的交点， 根据题意得，抛物线2y x =与直线y mx n =−+必有两个不同的交点， ∴0n >，∴一次函数1y mx n =+的图象过第一和第二象限； （2）解：∵2y nx m =+，0n >，∴直线2y nx m =+一定经过第一、三象限， ∵直线2y nx m =+与y 1图象的交点在第四象限，∴直线2y nx m =+一定经过第一、三、四象限， ∴0m <， ∴0m n −<， ∵12y y >， ∴mx n nx m +>+， 整理得()m n x m n −>−， ∴1x <，即不等式12y y >的解集为1x <．题型二 反比例函数的图象和性质【例1】（2024·陕西西安·一模）已知反比例函数3my x−=． (1)若该反比例函数图象在每一个象限内，y 都随着x 的增大而减小，求m 的取值范围； (2)若点()2,3A 在此反比例函数图象上，求反比例函数的解析式．1．（2024·福建南平·一模）反比例函数ky x=图象经过点(1,6)A ，(,3)B a ． (1)求a 的值；(2)若点(,)C m n 在反比例函数ky x=图象上，其中3n <，求m 的取值范围． 题型三 一次函数和反比例函数与不等式综合问题【例1】（2024·贵州毕节·一模）如图，一次函数()0y ax b a =+≠与反比例函数()0ky k x=≠的图象在第一象限交于()2,3A 和()3,B m 两点，与x 轴交于点C ．(1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)直接写出关于x 的不等式(0)kax b x x+>>的解集． ）解：点又B【例2】（2024·陕西宝鸡·一模）如图所示，一次函数1y x m =−+图象与反比例函数2ky x=图象相交于点(,3)A n 和点(3,1)B −．(1)求反比例函数解析式； (2)当12y y >时，求x 的取值范围．1．（2024·山西朔州·一模）如图，反比例函数()1110,0k y k x x=>>与一次函数()2220y k x b k =+≠的图象交于()2,3A ，3,2B m ⎛⎫⎪⎝⎭两点．(1)求m 的值及一次函数的表达式． (2)直接写出当12y y >时，x 的取值范围．）解：反比例函数与一次函数的图象交于当24x <<时，12y y <，所以，当12y y >时， x 的取值范围为02x <<或4x >．2．（2024·江西九江·一模）如图一次函数y kx b =+的图象与反比例函数4y x=−的图象相交于点()1,A m −，(),1B n −．(1)求一次函数的解析式；(2)结合图象，直接写出不等式4kx b x+>−的解集．3．（2024·河南安阳·模拟预测）如图，一次函数12y x =−的图象与反比例函数(0)y k x=≠的图象交于()(),12,A a B b −，两点，与x 轴相交于点C ．(1)求反比例函数的表达式；(2)观察图象，直接写出不等式112kx x−<的解集；(3)若(),0P m 为x 轴上的一动点，连接AP ，当APC △的面积为52时，求点P 的坐标． ）解：函数）函数在112y x =−中， 当y =解得：2x =，()2,0C ∴， ()0,P m ，APC S =△题型四 一次函数和反比例函数中求三角形面积问题【例1】（2024·山西大同·一模）如图，一次函数y ax b =+的图象与反比例函数()0ky k x=>的图象相交于点()6,32A n −−，点(),3B n −，与y 轴交于点C ．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)点D 是点C 关于x 轴的对称点，连接AD BD 、，求ABD △的面积．S=ABD【例2】（2024·吉林白山·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数5y x =−+的图象与反比例函数(0)ky k x=>的图象相交于()1,A m 、()4,B n 两点，与x 轴相交于点C ，连接OA 、OB ．(1)求反比例函数的解析式； (2)求AOB 的面积． AOBS=1．（2024·湖南长沙·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数32y x b =−+与反比例函数()0ky k x=≠交于()(),6,4,3A m B −两点，与y 轴交于点C ，连接,OA OB ．(1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求AOB 的面积．解：点解：点AOBAOCBOCS SS=+与反比例函数(0)ky x x=>的图象交于点()1,C a ，D 是反比例函数图象上的一个动点，过点D 向y 轴作垂线与一次函数图象交于点E ，其中点A 的坐标为(3,0)−．(1)求反比例函数的表达式；(2)连接,DB DC ，当DCE △的面积等于DBC △面积的2倍时，求点E 的坐标；(3)若P 是x 轴上的一个动点，连接,EP DP ，当DPE 与AOB 相似时，求点D 的纵坐标． 坐标，根据DPE 与AOB 相似计算即可，注意分情况讨论．()033b =⨯−+∵过点D向y轴作垂线与一次函数图象交于点∴设12D mm⎛⎫⎪⎝⎭，，则点E纵坐标为∴1239y xm=+=，解得x412⎛⎫当AOB PED∽时，当时，AOB PED ∽，此时时，P AOB DE ∽，此时∴12PD m =，DE m ⎛=− ⎝∴1243PD m DE m m m ==⎛⎫−− ⎪⎝⎭时，E AOB PD ∽，此时时，P AOB ED ∽，此时，则N EPM PD ∽∴EM MP PEPN DN PD== 此时12EM DN m==，DE 当D AOB EP ∽时，PE PD 同理当AOB DPE ∽时，PD综上所述，当DPE 与AOB 相似时，求点题型五 一次函数和反比例函数中求证问题【例1】（新考法，拓视野）（2024·河南周口·一模）如图，反比例函数ky x=与正比例函数y ax =交于点()3,2A 和点C ，与正比例函数6y x =交于点B 和点D ．(1)求k 与a 的值，并求点B ，C ，D 的坐标； (2)求证：CBD ADB ∠=∠．1．（2024·湖南怀化·一模）在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点．如图，一次函数y ax b =+（a 为常数，0a ≠）与反比例函数ky x=（k 为常数，0k ≠）的图象相交于点()25A ，和点()4B m −，．(1)求反比例函数与一次函数的解析式；(2)过点A 作y 轴的垂线，过点B 作x 轴的垂线，相交于点C ；过点A 作x 轴的垂线，过点B 作y 轴的垂线，相交于点D ．求证：C ，O ，D 三点在同一条直线上．2．（2024·河南平顶山·一模）如图，一次函数y ax b =+的图象与反比例函数y x=的图象交于第一象限(1,4)C ，D(4,m)两点，与坐标轴交于A 、B 两点，连接OC ，OD （O 是坐标原点）.(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)当kax bx+<时，直接写出x的取值范围；(3)将直线AB向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？题型六一次函数和反比例函数中求线段长问题【例1】（2024·广东珠海·一模）如图1．直线21y x =+与y 轴交于点B ，与反比例函数()0ky x x=>的图象交于点()1,A a ．图2将线段AB 向右平移m 个单位长度()0m >，得到对应线段CD ，连接AC ，BD ．当点D 恰好落在反比例函数图象上时，过点C 作CF x ⊥轴于点F ，交反比函数图象于点E ．(1)求反比例函数表达式； (2)求EF 的长度．1．（2024·河南·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数1y ()0kx b k =+≠的图象与反比例函数2y ()0mm x=≠的图象相交于第二、四象限内的()1,3A −，(),1B a −两点，与y 轴交于点C ．(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；(2)在x 轴上找一点P ，使PA PC −最大，求PA PC −的最大值及点P 的坐标．一次函数的解析式为Rt ADC中，由勾股定理可得题型七利用反比例函数的图象和性质探究平移问题【例1】（新考法，拓视野）（2024·广东深圳·模拟预测）小明在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数1yx=−的图象与性质．其探究过程如下：(1)绘制函数图象，如图，列表：下表是x与y的几组对应值，其中m=；描点：根据表中各组对应值,x y，在平面直角坐标系中描出各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整；(2)通过观察函数图象，写出该函数的一条性质：．(3)利用函数图象，解不等式1230xx−+＜．观察图形得出函数的性质：图象关于y轴对称；故答案为：图象关于y轴对称；（3）【例2】（2024·陕西西安·一模）乐乐同学在学习了反比例函数的基础上，进一步探究函数21y x =-的性质．以下是他的研究过程，请补充完整．(1)如表是y 与x 的几组对应值．(2)在平面直角坐标系xOy 中，描出了以表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；(3)观察图象，发现这个函数图象为中心对称图形，则它的对称中心为______；(4)若直线2y x =与函数21y x =-的图象交于第一象限内一点(),P x y ，则下面关于x 的取值范围描述正确的是（ ）A ．1 1.25x <<B ．1.25 1.5x <<C ．1.5 1.75x <<D ．1.752x <<【详解】（1）解：①4x =时，413y ==−， 23m ∴=， 故答案为：23； （2）解：如图：（3）解：观察图象，发现这个函数图象为中心对称图形，则它的对称中心为(1,0)；故答案为：(1,0)；（4）解：作出直线2y x =如图：把3y =代入2y x =求得 1.5x =，把3y =代入21y x =-，求得53x =， 观察图象，若直线2y x =与函数21y x =-的图象交于第一象限内一点(,)P x y ，则x 的取值范围是51.53x <<， ∴关于x 的取值范围描述正确的是C ，故答案为：C ．1．（2024·山西大同·一模）中考新考法：注重过程性学习，某数学小组在研究函数221x y −+=+时，对函数的图象进行了探究，探究过程如下：(1)①x 与y 的几组对应值如下表，请补全表格；②在上图平面直角坐标系中，描出上表中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点画出该函数的图象；(2)我们知道，函数()()20,0,0y a x h k a h k =−+≠>>的图象是由二次函数2y ax =的图象向右平移h 个单位，再向上平移k 个单位得到的．类似地，请直接写出将2y x =−的图象经过怎样的平移可以得到221x y −+=+的图象；(3)若一次函数123y x =−+的图象与函数221x y −+=+的图象交于A B 、两点，连接OA OB 、，求AOB 的面积． 【答案】(1)见解析，(2)向左平移1个单位，向上平移2个单位(3)5（2）2y x=−的图象向左平移1（3）一次函数123y x =−+的图象，如图，可知∴AOB 的面积为()12232⨯⨯+=。
(中考复习)第14讲 一次函数与反比例函数的综合运用
图14－2 A．2 B．4 C．6 D．8
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浙派名师中考
题组一 函数图象的对称性 【例 1】 如图 14－3 所示，正比例函数 y k2 ＝k1x 与反比例函数 y＝ 的图象相交于 x 点 A、B 两点，若点 A 的坐标为(2，1)， 则点 B 的坐标是 ( D ) A．(1，2) C．(－1，－2) 1)．
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B．(－2，1) D．(－2，－1)
图14－3
解析：由题意可知：A与B关于原点对称，名师中考
4 [变式训练] 正比例函数 y＝4x 和反比例函数 y＝ 的图象相交于 x 点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，求 8x1y2－3x2y1 的值．
D．y＝－x2＋1
)
3．(2013· 南京)在同一直线坐标系中，若正比例函数 y＝k1x 的图 k2 象与反比例函数 y＝ 的图象没有公共点，则 ( C ) x
A．k1＋k2<0
C．k1k2<0
B．k1＋k2>0
D．k1k2>0
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图14－9 (1)求该反比例函数的解析式和直线AB的解析式； (2)若直线AB与y轴的交点为C，求△OCB的面积．
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浙派名师中考
解 ：( 1 ) 由 A(－ 2， 0)，得 OA＝ 2；∵点 B(2， n)在 第 一 象 限 内 ， 1 S△ A 坐 标 是 (2， 4)， O B ＝ 4，∴ OA· n＝ 4，∴ n＝ 4，∴点 B 的 2 a 设 该 反 比 例 函 数 的 解 析 式 为 y＝ (a≠ 0)，将 点 B的 坐 标 代 入 ， x a 8 得 4＝ ，∴ a＝ 8.∴反 比 例 函 数 的 解 析 式 为 y＝ .设 直 线 AB 的 2 x 解析式为 y＝ kx＋ b(k≠ 0)，将点 A， B 的坐标分别代入，得
一次函数与反比例涵数的专题复习
一次函数与反比例函数专题复习第一部分 知识梳理考点一、平面直角坐标系 （3分） 1、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。
其中，水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O （即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x 轴和y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意：x 轴和y 轴上的点，不属于任何象限。
2、点的坐标的概念点的坐标用（a ，b ）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。
平面内点的坐标是有序实数对，当b a ≠时，（a ，b ）和（b ，a ）是两个不同点的坐标。
考点二、不同位置的点的坐标的特征 （3分） 1、各象限内点的坐标的特征（1） 点P(x,y)在第一象限0,0>>⇔y x（2）点P(x,y)在第二象限0,0><⇔y x （3）点P(x,y)在第三象限0,0<<⇔y x （4）点P(x,y)在第四象限0,0<>⇔y x 2、坐标轴上的点的特征（1）点P(x,y)在x 轴上0=⇔y ，x 为任意实数（2）点P(x,y)在y 轴上0=⇔x ，y 为任意实数（3）点P(x,y)既在x 轴上，又在y 轴上⇔x ，y 同时为零，即点P 坐标为（0，0） 3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征（1）点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上⇔x 与y 相等（2）点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上⇔x 与y 互为相反数 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征（1）位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。
（2）位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同。
5、关于x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标的特征（1）点P 与点p ’关于x 轴对称⇔横坐标相等，纵坐标互为相反数 （2）点P 与点p ’关于y 轴对称⇔纵坐标相等，横坐标互为相反数 （3）点P 与点p ’关于原点对称⇔横、纵坐标均互为相反数 6、点到坐标轴及原点的距离 （1）点P(x,y)到x 轴的距离等于y （2）点P(x,y)到y 轴的距离等于x （3）点P(x,y)到原点的距离等于22y x +考点三、函数及其相关概念 （3~8分） 1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。
初三 ,一次函数,反比例函数,二次函数99道大题综合复习
初三，一次函数，反比例函数，二次函数99道大题综合复习四、解答题(注释)中，一次函数点，与轴相交于点，与反比例函数图象相交于点的图象与轴相交于，且.（1）求反比例函数的解析式；（2）若点在轴上，且的面积等于12，直接写出点2、如图，已知反比例函数和一次函数的坐标．的图象相交于第一象限内的点A，且点A的横坐标为1。
过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为1。
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）若一次函数的图象与x轴相交于点C，求线段AC的长度；（3）直接写出：当＞＞0时，x的取值范围；（4）在y轴上是否存在一点p，使△PAO为等腰三角形，若存在，请直接写出p 点坐标，若不存在，请说明理由。
（要求至少写两个）3、已知四边形ABCD是菱形，在平面直角坐标系中的位置如图，边AD经过原点O，已知A（0，－3），B（4，0）．（1）求点D的坐标；（2）求经过点C的反比例函数解析式．4、已知y与x+2成反比例，且当x=5时，y=-6，求：（1）y与x的关系式；（2）当y=2时x的值。
5、你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度是面条的粗细（横截面积）的反比例函数，其图像如图所示.（1）写出与的函数关系式；（2）若当面条的粗细为时，面条的长度是多少？6、如图，已知直线坐标为6. 与双曲线交于A、B两点，且点的横（1）求的值.（2）若双曲线上一点的纵坐标为9，求的面积.7、已知：A(a，y1)、B(2a，y2)是反比例函数图像上的两点．(1)比较y1与y2的大小关系；(2)若A、B两点在一次函数第一象限的图像上(如图所示)，分别过A、B两点作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连结OA、OB，且S△OAB=8，求a的值；(3)在(2)的条件下，如果8、如图，在直角坐标系xoy中，点A是反比例函数y1=的图象上一点，，，求使得m>n的x的取值范围．AB⊥x轴的正半轴于点B，C是OB的中点，一次函数y2=ax+b的图象经过A、C两点，并交y轴于点D(0,－2)，若S△AO D=4.（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）观察图象，请指出在y轴的右侧，当y1＞y2时x的取值范围.9、如图所示，图象反映的是：张阳从家里跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后走回家，其中x表示时间，y表示张阳离家的距离．根据图象回答下列问题：（1）体育场离张阳家_________千米；（2）体育场离文具店_________千米；张阳在文具店逗留了_____分钟；（3）请计算：张阳从文具店到家的平均速度约是每小时多少千米？10、某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元．市场调查发现，在一段时间内，销售量w（千克）随销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体关系式为：w＝－2x＋240．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y（元），解答下列问题：（1）求y与x的关系式；（2）当x取何值时，y的值最大？（3）如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为多少元？11、如图，已知A(-4，2)、B(n，-4)是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象的两个交点．（1）求此反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围．12、已知二次函数的图象经过点（－2，－5）、（1，4）．（1）求这个二次函数的解析式；（2）不用列表，在下图中画出函数图象，观察图象写出y > 0时，x的取值范围．13、如图，OABC是一个放在平面直角坐标系中的矩形，O为原点，点A在x 轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=3，OC=4，平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线运动的时间为t(秒)．(1)写出点B的坐标；(2)t为何值时，MN=AC；(3)设△OMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围；当t为何值时，S有最大值?并求S的最大值．14、如图，抛物线y=x2+mx+n交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点P是它的顶点，点A的横坐标是-3，点B的横坐标是1．(1)求m、n的值；(2)求直线PC的解析式；(3)请探究以点A为圆心、直径为5的圆与直线PC的位置关系，并说明理由．(参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24)15、如图，在直角坐标平面xOy中，抛物线C1的顶点为A(-1，4)，且过点B(-3，0)(1)写出抛物线C1与x轴的另一个交点M的坐标；(2)将抛物线C1向右平移2个单位得抛物线C2，求抛物线C2的解析式；(3)写出阴影部分的面积S．16、如图，杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体(看成一点)的路线是抛物线y=-x2+3x+1的一部分，(1)求演员弹跳离地面的最大高度；(2)已知人梯高BC=3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功?请说明理由．2(2)当x=4时，．(3)由二次函数的图象可知，当函数值y<0时，x的取值范围是18、如图①，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，sin∠AOB=，反比例函数y=（k＞0）在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F．（1）若OA=10，求反比例函数解析式；（2）若点F为BC的中点，且△AOF的面积S=12，求OA的长和点C的坐标；（3）在（2）中的条件下，过点F作EF∥OB，交OA于点E（如图②），点P 为直线EF上的一个动点，连接PA，PO．是否存在这样的点P，使以P、O、A 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．19、某农庄计划在30亩空地上全部种植蔬菜和水果，菜农小张和果农小李分别承包了种植蔬菜和水果的任务．小张种植每亩蔬菜的工资y（元）与种植面积m（亩）之间的函数如图①所示，小李种植水果所得报酬z（元）与种植面积n （亩）之间函数关系如图②所示．（1）如果种植蔬菜20亩，则小张种植每亩蔬菜的工资是元，小张应得的工资总额是元，此时，小李种植水果亩，小李应得的报酬是元；（2）当10＜n≤30时，求z与n之间的函数关系式；（3）设农庄支付给小张和小李的总费用为w（元），当10＜m≤30时，求w与m 之间的函数关系式．20、已知抛物线经过点A（3，0），B（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的顶点坐标．21、如图，已知正方形ABCD的边长为4，对称中心为点P，点F为BC边上一个动点，点E在AB边上，且满足条件∠EPF=45°，图中两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称，设它们的面积和为S1．（1）求证：∠APE=∠CFP；（2）设四边形CMPF的面积为S2，CF=x，．①求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围，并求出y的最大值；②当图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称时，求y的值．22、（1）先求解下列两题：①如图①，点B，D在射线AM上，点C，E在射线AN上，且AB=BC=CD=DE，已知∠EDM=84°，求∠A的度数；②如图②，在直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，AC∥x轴，点B，C的横坐标都是3，且BC=2，点D在AC上，且横坐标为1，若反比例函数过点B，D，求k的值．（2）解题后，你发现以上两小题有什么共同点？请简单地写出．的图象经23、已知抛物线（a≠0）与x轴相交于点A，B（点A，B在原点的图象上，线O两侧），与y轴相交于点C，且点A，C在一次函数段AB长为16，线段OC长为8，当y1随着x的增大而减小时，求自变量x的取值范围．24、如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数的图象与y轴的交点，点B在二次函数的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．（1）试求b，c的值，并写出该二次函数表达式；（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：①当P运动到何处时，有PQ⊥AC？②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？25、如图1所示，已知直线与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线经过A、C两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，当时，y取最大值.（1）求抛物线和直线的解析式；（2）设点P是直线AC上一点，且（3）若直线，求点P的坐标；与（1）中所求的抛物线交于M、N两点，问: ①是否存在a的值，使得∠MON=900？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；②猜想当∠MON＞900时，a的取值范围（不写过程，直接写结论）. （参考公式：在平面直角坐标系中，若M（x1，y1），N（x2，y2），则M，N两点间的距离为）26、一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1千米，出租车离甲地的距离为y2千米，两车行驶的时间为x小时，y1、y2关于x的函数图像如下图所示：（1）根据图像，直接写出y1、y2关于x的函数关系式；（2）若两车之间的距离为S千米，请写出S关于x的函数关系式；（3）甲、乙两地间有A、B两个加油站，相距200千米，若客车进入A加油站时，出租车恰好进入B加油站，求A加油站离甲地的距离.27、如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A点的坐标为(3，0)，以OA为边作等边三角形OAB，点B在第一象限，过点B作AB的垂线交x轴于点C．动点P从O点出发沿OC向C点运动，动点Q从B点出发沿BA向A点运动，P，Q两点同时出发，速度均为1个单位／秒。
综合题：一次函数二次函数反比例函数中考综合题复习
第一部分：一次函数考点归纳：一次函数：若y=kx+b(k,b 是常数，k ≠0)，那么y 叫做x 的一次函数，特别的，当b=0时，一次函数就成为y=kx(k 是常数，k ≠0)，这时，y 叫做x 的正比例函数，当k=0时，一次函数就成为若y=b ，这时，y 叫做常函数。
☆A 与B 成正比例 A=kB(k ≠0)直线位置与k ，b 的关系：（1）k ＞0直线向上的方向与x 轴的正方向所形成的夹角为锐角； （2）k ＜0直线向上的方向与x 轴的正方向所形成的夹角为钝角； （3）b ＞0直线与y 轴交点在x 轴的上方； （4）b ＝0直线过原点；（5）b ＜0直线与y 轴交点在x 轴的下方；平移1，直线x y 31=向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到直线 。
2， 直线143+-=x y 向下平移2个单位，再向左平移1个单位得到直线________方法：直线y=kx+b ，平移不改变斜率k ，则将平移后的点代入解析式求出b 即可。
直线y=kx+b 向左平移2向上平移3 <=> y=k(x+2)+b+3;（“左加右减，上加下减”）。
练习：直线m:y=2x+2是直线n 向右平移2个单位再向下平移5个单位得到的，而（2a,7）在直线n 上，则a=____________；函数图形的性质例题：1．下列函数中，y 是x 的正比例函数的是（ ）A．y=2x-1 B．y=3xC．y=2x2 D．y=-2x+12，一次函数y=-5x+3的图象经过的象限是（）A．一、二、三 B．二、三、四C．一、二、四 D．一、三、四3，若函数y=（2m+1）x2+（1-2m）x（m为常数）是正比例函数，则m的值为（）A．m>12B．m=12C．m<12D．m=-124、直线y kx b=+经过一、二、四象限，则直线y bx k=-的图象只能是图4中的（）5，若一次函数y=（3-k）x-k的图象经过第二、三、四象限，则k的取值范围是（）A．k>3 B．0<k≤3 C．0≤k<3 D．0<k<36，已知一次函数的图象与直线y=-x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为（）A．y=-x-2 B．y=-x-6 C．y=-x+10 D．y=-x-17，已知关于x的一次函数27y mx m=+-在15x-≤≤上的函数值总是正数，则m的取值范围是（）A．7m>B．1m>C．17m≤≤D．都不对8、如图，两直线1y kx b=+和2y bx k=+在同一坐标系内图象的位置可能是（）9，一次函数y=ax+b与y=ax+c(a>0)在同一坐标系中的图象可能是（）xyo xyoxyoxyoA B C D10，,已知一次函数（1）当m 取何值时，y 随x 的增大而减小？ （2）当m 取何值时，函数的图象过原点？函数解析式的求法：正比例函数设解析式为： ,一个点的坐标带入求k. 一次函数设解析式为： ；两点带入求k,b1，已知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点A （3,4），且OA=OB（1） 求两个函数的解析式；（2）求△AOB 的面积；第二部分：二次函数（待讲）课前小测：1，抛物线3)2x (y 2-+=的对称轴是（ ）。
反比例函数与一次函数综合
反比例函数与一次函数综合1．如图，一次函数y ＝kx +b 的图象与反比例函数的图象交于A （﹣2，1），B （1，n ）两点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）求△AOB 的面积；（3）直接写出0-≥+xm b kx 时x 的取值范围．2．如图，直线y ＝kx +b 与双曲线y ＝相交于A （1，2），B 两点，与x 轴相交于点 C （4，0）．（1）分别求直线AC 和双曲线对应的函数表达式；（2）连接OA ，OB ，求△AOB 的面积；（3）直接写出当x ＞0时，关于x 的不等式kx +b ＞的解集．3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝kx +b 的图象与反比例函数y ＝的图象交于A （2，3）、B （﹣3，n ）两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出不等式＞kx +b 的解集；（3）若P 是y 轴上一点，且满足△P AB 的面积是5，求点P 的坐标．4．如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A、B，与x轴交于点C（5，0），若OC＝AC，且S△OAC＝10．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）请直接写出不等式ax+b＞的解集．5．如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象交于第一象限C（1，4），D（4，m）两点，与坐标轴交于A、B两点，连接OC，OD（O是坐标原点）．（1）求一次函数与反比例函数的解析式．（2）当ax+b＜时，直接写出x的取值范围．（3）将直线AB向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？6.如图，一次函数y=﹣x+4的图象与反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．7．如图，过原点O的直线与反比例函数（k≠0）的图象交于A（1，2），B两点，一次函数y2＝mx+b（m≠0）的图象过点A与反比例函数交于另一点C（2，n）．（1）求反比例函数的解析式；（2）当y1＞y2时，根据图象直接写出x的取值范围；（3）在y轴上是否存在点M，使得△COM为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（﹣1，4），B（a，﹣1）两点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）点P（n，0）在x轴负半轴上，连接AP，过点B作BQ∥AP，交y＝的图象于点Q，连接PQ．当BQ＝AP时，若四边形APQB的面积为36，求n的值．9．柚子含有极为丰富的维生素，胡萝卜素，钙、钾、铁等微量元素，可以预防血栓、糖尿病．某超市从果农处进购柚子的成本价为3元/千克，在销售过程中发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分．（1）求y与x的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，该超市每天的销售利润最大？最大利润是多少元？10、在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如（﹣3，5）与（5，﹣3）是一对“互换点”．（1）任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？（2）M、N是一对“互换点”，若点M的坐标为（m，n），求直线MN的表达式（用含m、n的代数式表示）；（3）在抛物线y=x2+bx+c的图象上有一对“互换点”A、B，其中点A在反比例函数y=﹣的图象上，直线AB经过点P（，），求此抛物线的表达式．。
中考数学专题复习《一次函数与反比例函数的综合》经典题型讲解
中考数学专题复习《一次函数与反比例函数的综合》经典题型讲解【经典母题】如图Z6－1是一个光学仪器上用的曲面横截面示意图，图中的曲线是一段反比例函数的图象，端点A的纵坐标为80，另一端点B的坐标为B(80，10)．求这段图象的函数表达式和自变量的取值范围．【解析】利用待定系数法设出反比例函数的表达式后，代入点B的坐标即可求得反比例函数的表达式．解：设反比例函数的表达式为y＝k x ，∵一个端点B的坐标为(80，10)，∴k＝80×10＝800，∴反比例函数的表达式为y＝800x.∵端点A的纵坐标为80，∴80＝800x，x＝10，∴点A的横坐标为10，∴自变量的取值范围为10≤x≤80.【思想方法】求反比例函数的表达式宜用待定系数法，设y＝kx，把已知一点代入函数表达式求出k的值即可．【中考变形】1．已知正比例函数y＝ax与反比例函数y＝bx的图象有一个公共点A(1，2)．(1)求这两个函数的表达式；图Z6－1(2)在图Z6－2中画出草图，根据图象写出正比例函数值大于反比例函数值时x 的取值范围．图Z6－2中考变形1答图解：(1)把A (1，2)代入y ＝ax ，得2＝a ， 即y ＝2x ；把A (1，2)代入y ＝b x ，得b ＝2，即y ＝2x ； (2)画草图如答图所示．由图象可知，当x ＞1或－1＜x ＜0时，正比例函数值大于反比例函数值． 2．如图Z6－3，已知一次函数y ＝k 1x ＋b 与反比例函数y ＝k 2x 的图象交于第一象限内P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，8，Q (4，m )两点，与x 轴交于A 点．(1)分别求出这两个函数的表达式； (2)写出点P 关于原点的对称点P ′的坐标； (3)求∠P ′AO 的正弦值．图Z6－3【解析】①将P 点坐标代入反比例函数关系式，即可求出反比例函数表达式；将Q 点代入反比例函数关系式，即可求出m 的值；将P ，Q 两个点的坐标分别代入一次函数关系式，即可求出一次函数的表达式．②根据平面直角坐标系中，两点关于原点对称，则横、纵坐标互为相反数，可以直接写出点P ′的坐标；③过点P ′作P ′D ⊥x 轴，垂足为D ，可构造出′AD ，又∵点A 在一次函数的图象上，∴可求出点A 坐标，得到OA 长度，利用P ′ 点坐标，可以求出P ′D ，P ′A ，即可得到∠P ′AO 的正弦值． 解：(1)∵点P 在反比例函数的图象上，∴把点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，8代入y ＝k 2x ，得k 2＝4，∴反比例函数的表达式为y ＝4x ，∴Q 点坐标为(4，1)．把P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，8，Q (4，1)分别代入y ＝k 1x ＋b 中，得⎩⎨⎧8＝12k 1＋b ，1＝4k 1＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－2，b ＝9.∴一次函数的表达式为y ＝－2x ＋9； (2)P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－8；(3)如答图，过点P ′作P ′D ⊥x 轴，垂足为D . ∵P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－8，中考变形2答图∴OD ＝12，P ′D ＝8.∵点A 在y ＝－2x ＋9的图象上，∴点A 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫92，0，即OA ＝92，∴DA ＝5，∴P ′A ＝P ′D 2＋DA 2＝89. ∴sin ∠P ′AD ＝P ′D P ′A ＝889＝88989.∴sin ∠P ′AO ＝88989.3．[2017·成都]如图Z6－4，在平面直角坐标系xOy 中，已知正比例函数y ＝12x与反比例函数y ＝kx 的图象交于A (a ，－2)，B 两点． (1)求反比例函数表达式和点B 的坐标；(2)P 是第一象限内反比例函数图象上一点，过点P 作y 轴的平行线，交直线AB 于点C ，连结PO ，若△POC 的面积为3，求点P 的坐标．图Z6－4 中考变形3答图解：(1)∵点A (a ，－2)在正比例函数y ＝12x 图象上， ∴－2＝12a ，∴a ＝－4， ∴点A 坐标为(－4，－2)．又∵点A 在反比例函数y ＝kx 的图象上， ∴k ＝xy ＝－4×(－2)＝8， ∴反比例函数的表达式为y ＝8x .∵A ，B 既在正比例函数图象上，又在反比例函数图象上， ∴A ，B 两点关于原点O 中心对称， ∴点B 的坐标为(4，2)；(2)如答图，设点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，8a (a ＞0)，∵PC ∥y 轴，点C 在直线y ＝12x 上，∴点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，12a ，∴PC ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12a －8a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2－162a ， ∴S △POC ＝12PC ·a ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2－162a ·a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2－164＝3， 当a 2－164＝3时，解得a ＝28＝27， ∴P ⎝⎛⎭⎪⎫27，477. 当a 2－164＝－3时，解得a ＝2，∴P (2，4)．综上所述，符合条件的点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫27，477，(2，4)． 4．如图Z6－5，一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数y ＝mx 的图象交于A (1，4)，B (4，n )两点．(1)求反比例函数的表达式； (2)求一次函数的表达式；(3)P 是x 轴上的一个动点，试确定点P 并求出它的坐标，使得P A ＋PB 最小．图Z6－5解：(1)∵点A (1，4)在函数y ＝mx 上， ∴m ＝xy ＝4，∴反比例函数的表达式为y ＝4x ； (2)把B (4，n )代入y ＝4x ，4＝xy ＝4n ，得n ＝1， ∴B (4，1)，∵直线y ＝kx ＋b 经过A ，B ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝k ＋b ，1＝4k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝5， ∴一次函数的表达式为y ＝－x ＋5； (3)点B 关于x 轴的对称点为B ′(4，－1)， 设直线AB ′的表达式为y ＝ax ＋q ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝a ＋q ，－1＝4a ＋q ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－53，q ＝173，∴直线AB ′的表达式为y ＝－53x ＋173， 令y ＝0，解得x ＝175，∴当点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫175，0时，P A ＋PB 最小．5．[2017·广安]如图Z6－6，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y ＝mx 的图象在第一象限交于点A (4，2)，与y 轴的负半轴交于点B ，图Z6－6且OB ＝6.(1)求函数y ＝mx 和y ＝kx ＋b 的表达式．(2)已知直线AB 与x 轴相交于点C .在第一象限内，求反比例函数y ＝mx 的图象上一点P ，使得S △POC ＝9.解：(1)∵点A (4，2)在反比例函数y ＝mx 的图象上， ∴m ＝4×2＝8，∴反比例函数的表达式为y ＝8x . ∵点B 在y 轴的负半轴上，且OB ＝6， ∴点B 的坐标为(0，－6)，把点A (4，2)和点B (0，－6)代入y ＝kx ＋b 中， 得⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝2，b ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－6. ∴一次函数的表达式为y ＝2x －6； (2)设点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，8n (n ＞0)．在直线y ＝2x －6上，当y ＝0时，x ＝3， ∴点C 的坐标为(3，0)，即OC ＝3， ∴S △POC ＝12×3×8n ＝9，解得n ＝43. ∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，6.6．[2017·黄冈]如图Z6－7，一次函数y ＝－2x ＋1与反比例函数y ＝kx 的图象有两个交点A (－1，m )和B ，过点A 作AE ⊥x 轴，垂足为E ；过点B 作BD ⊥y 轴，垂足为D ，且点D 的坐标为(0，－2)，连结DE . (1)求k 的值；(2)求四边形AEDB 的面积．图Z6－7 中考变形6答图解：(1)将点A (－1，m )代入一次函数y ＝－2x ＋1， 得－2×(－1)＋1＝m ，解得m ＝3.∴A 点的坐标为(－1，3)．将A (－1，3)代入y ＝kx ，得k ＝(－1)×3＝－3；(2)如答图，设直线AB 与y 轴相交于点M ，则点M 的坐标为(0，1)， ∵D (0，－2)，则点B 的纵坐标为－2，代入反比例函数，得DB ＝32， ∴MD ＝3.又∵A (－1，3)，AE ∥y 轴， ∴E (－1，0)，AE ＝3. ∴AE ∥MD ，AE ＝MD .∴四边形AEDM 为平行四边形． ∴S 四边形AEDB ＝S ▱AEDM ＋S △MDB ＝3×1＋12×32×3＝214.7．[2016·金华]如图Z6－8，直线y ＝33x －3与x ，y 轴分别交于点A ，B ，与反比例函数y ＝kx (k ＞0)的图象交于点C ，D ，过点A 作x 轴的垂线交该反比例函数图象于点E . (1)求点A 的坐标；(2)若AE ＝AC ，①求k 的值；②试判断点E 与点D 是否关于原点O 成中心对称？并说明理由．图Z6－8中考变形7答图解：(1)当y ＝0时，得0＝33x －3，解得x ＝3. ∴点A 的坐标为(3，0)；(2)①如答图，过点C 作CF ⊥x 轴于点F .设AE ＝AC ＝t ，点E 的坐标是(3，t )，则反比例函数y ＝k x 可表示为y ＝3tx . ∵直线y ＝33x －3交y 轴于点B ， ∴B (0，－3)．在Rt △AOB 中，tan ∠OAB ＝OB OA ＝33， ∴∠OAB ＝30°.在Rt △ACF 中，∠CAF ＝30°， ∴CF ＝12t ，AF ＝AC ·cos30°＝32t ，∴点C 的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫3＋32t ，12t .∴⎝⎛⎭⎪⎫3＋32t ×12t ＝3t ，解得t 1＝0(舍去)，t 2＝2 3. ∴k ＝3t ＝6 3.②点E 的坐标为()3，23，设点D 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，33x －3，∴x ⎝ ⎛⎭⎪⎫33x －3＝63，解得x 1＝6(舍去)，x 2＝－3， ∴点D 的坐标是()－3，－23， ∴点E 与点D 关于原点O 成中心对称． 【中考预测】如图Z6－9，一次函数y ＝kx ＋b (k ，b 为常数，k ≠0)的图象与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，且与反比例函数y ＝nx (n 为常数且n ≠0)的图象在第二象限交于点C ，CD ⊥x 轴，垂足为D ，若OB ＝2OA ＝3OD ＝6. (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)求两函数图象的另一个交点的坐标；(3)直接写出不等式kx ＋b ≤nx 的解集．图Z6－9解：(1)∵OB ＝2OA ＝3OD ＝6， ∴OB ＝6，OA ＝3，OD ＝2， ∵CD ⊥DA ，∴DC ∥OB ， ∴OB DC ＝AO AD ，∴6DC ＝35， ∴DC ＝10，∴C (－2，10)，B (0，6)，A (3，0)， 代入一次函数y ＝kx ＋b ， 得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝6，3k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝6， ∴一次函数的表达式为y ＝－2x ＋6. ∵反比例函数y ＝nx 经过点C (－2，10)， ∴n ＝－20，∴反比例函数的表达式为y ＝－20x ；(2)由⎩⎨⎧y ＝－2x ＋6，y ＝－20x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝10或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－4， ∴另一个交点坐标为(5，－4)；(3)由图象可知kx ＋b ≤nx 的解集为－2≤x ＜0或x ≥5.。
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良庄二中数学组
基本技能回顾
怎样求一次函数y＝kx＋b与x轴与y轴的交 点坐标？
一次函数y＝ ？x＋b与x轴的夹角是？ 怎样求一次函数y＝kx＋b与y＝ (的交点
坐标？
坐标的重要性
函数
关系式
坐标
线段
图形
一次函数、反比例函数与几何 图形的综合考查是中考命题的必考 点,能很好地考查学生的数形结合 能力,一般以解答题的形式呈现.
(2)过点B作BC⊥y轴，垂足为C，连接AC交x轴于点E，求△AED的面积S.
2.(2018·达州中考)矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3.分别以OB，OA所在直线为x轴， y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是BC边上一个动点(不与B，C重合)， 过点F的反比例函数y＝(k>0)的图象与边AC交于点E. (1)当点F运动到边BC的中点时，求点E的坐标；
(2)连接EF，求∠EFC的正切值；
(2)若反比例函数y＝ k 的图象经过点A′及A′B′的中点M，求m的值．
x
考点三 一次函数、反比例函数与几何图形中的存在 性问题
3．（2019山东泰安）已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数 的图象交于 点A，与x轴交于点B（5，0），若OB＝AB，且S△OAB＝ 7.5． （1）求反比例函数与一叠，点C恰好落在边OB上的点G处， 求此时反比例函数的解析式．
3．[2016·泰安，T25，8分]如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶 点O与坐标原点重合，点C的坐标为(0，3)，点A在x轴的负半轴上，点D，M 分别在边AB，OA上，且AD＝2DB，AM＝2MO，一次函数y＝kx＋b的图象过点D 和点M，反比例函数y＝x(m)的图象经过点D，与BC的交点为N.
考点二 一次函数、反比例函数与几何图形 的变化问题
2．[2014·泰安，T26，8分]如图1，△OAB中，A(0，2)，B(4，0)， 将△AOB向右平移m个单位，得到△O′A′B′.
(数1y)＝当amx＝＋4b时的，图如象图经2过.若A′反，比kxB例′函两数点y．＝求kx 反的比图例象函经数过及点一A′次，函一数次的函 表达式；
（2）若点P为x轴上一点，△ABP是等腰三角形，求点P的坐标
（2）若点P为x轴上一点，△ABP是等腰三角形，求点P的坐标
考点四 确定一次函数、反比例函数表达式及几何图形的面积问题 1. 若三角形有一边在坐标轴上，通常以这条边作为三角形的底边.
2. 三边都不在坐标轴上，需要对图形进行割补.
对应训练
1．[2017·泰安，T25，8分]如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的斜边
OA在x轴的正半轴上，∠OBA＝90°，且tan∠AOB＝1 ，OB＝2，反比例
函数y＝x(k)的图象经过点B.
2
(1)求反比例函数的表达式；
(2)若△AMB与△AOB关于直线AB对称，一次函数y＝mx＋n的图 象过点M，A，求一次函数的表达式．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)若点P在直线DM上，且使△OPM的面积与四边形OMNC的面积 相等，求点P的坐标．
4．[2015·泰安，T26，8分]一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝ 的图象相交于A(mx－1，4)，B(2，n)两点，直线ABmx交x轴于点D.
(1)求一次函数与反比例函数的 表达式；
分类探究
考点一 确定一次函数、反比例函数表达式
1．[2018·泰安，T22，9分]如图，矩形ABCD的两边AD，AB的长分
别为3，8，E是DC的中点，反比例函数y＝ m 的图象经过点E，与
AB交于点F.
x
(1)若点B坐标为(－6，0)，求m的值及图象经过A，E两点的一次函
数的表达式；
(2)若AF－AE＝2，求反比例函数的表达式．