中考数学总复习第18讲 等腰三角形、等边三角形、直角三角形
第18讲 等腰三角形、等边三角形、直角三角形
目录导航
01 02 03 04
课前预习 考点梳理 课堂精讲 往年 中 考
数学
课前预习
1．(2018 成都)等腰三角形的一个底角为 50° ，则它的顶角的 度数为 80° . 2．(2018 南通)一个等腰三角形的两边长分别为 4 cm 和 9 cm， 则它的周长为 22 cm.
垂直平分线 ．
返回
数学
(3)判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形；②有两个 角相等的三角形是等腰三角形，即“等角对等边”．
返回
数学 2．等边三角形
(1)定义：三边相等的三角形是等边三角形． (2)性质：①等边三角形的三边相等，三角相等，都等于 60° ； ②“三线合一”；③等边三角形是轴对称图形，有 三 条对称 轴． (3)判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角 都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是 60° 的等腰三 角形是等边三角形．
返回
数学
3．(2018 湖州)如图，AD，CE 分别是△ABC 的中线和角平分 线．若 AB＝AC，∠CAD＝20° ，则∠ACE 的度数是( B )
A．20° B．35° C．40° D．70°
返回
数学
4．(2018 永定模拟)等边△ABC 的边长是 2 cm，则等边△ABC 的高是( C ) A．0.5 m C． 3 cm B．1 cm D．2 cm
例1 例2 在等腰三角形 ABC 中，∠A＝110° ，求∠B 的度数．(答 在等腰三角形 ABC 中，∠A＝40° ，求∠B 的度数．(答 案：35° ) 案：40° 或 70° 或 100° ) 张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题： 变式 在等腰三角形 ABC 中，∠A＝80° ，求∠B 的度数．(答 案： 50°或20°或80° )
返回
数学
5．(2018 福建)如图，在等边三角形 ABC 中，AD⊥BC，垂足 为 D，点 E 在线段 AD 上，∠EBC＝45° ，则∠ACE 等于( A ) A．15° C．45° B．30° D．60°
返回
数学
6．(2018 黑龙江)如图，已知等边△ABC 的边长是 2，以 BC 边上的高 AB1 为边作等边三角形，得到第一个等边△AB1C1； 再以等边△AB1C1 的 B1C1 边上的高 AB2 为边作等边三角形， 得 到第二个等边△AB2C2；
返回
数学
5． (2018 滨州)在直角三角形中， 若勾为 3， 股为 4， 则弦为( A ) A．5 C．7 B．6 D．8
返回
数学
6．(2018 贺州)如图，在△ABC 中，∠BAC＝90° ，AD⊥BC， 垂足为 D， E 是边 BC 的中点， AD＝ED＝3， 则 BC 的长为( D )
A．3 C．6
返回
数学
直角三角形的判定及其性质、勾股定理 (6 年 5 考)
7．(2018 荆州)如图，两条直线 l1∥l2，在 Rt△ACB 中，∠C＝ 90° ，AC＝BC，顶点 A，B 分别在 l1 和 l2 上，∠1＝20° ，则∠ 2 的度数是( C ) A．45° C．65° B．55° D．75°
2
B．3 D．6
3 2
7．(2018 云南)在△ABC 中，AB＝ 34，AC＝5，若 BC 边上的 高等于 3，则 BC 边的长为 9或1 .
返回
数学
1．等腰三角形
考点梳理
(1)定义：两边相等的三角形叫做等腰三角形． (2)性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两底角 相等，即“等边对等角”；③等腰三角形的顶角平分线、底边 上的中线、底边上的高互相重合，即“三线合一”；④等腰三 角形是轴对称图形，有一条对称轴，对称轴是底边的
返回
谢谢观看
返回
数学
18．(2018 深圳)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90° ，AD 平分∠ CAB，BE 平分∠ABC，AD，BE 相交于点 F，且 AF＝4，EF 8 10 5 ＝ 2，则 AC＝________.
返回
数学
☞考点分析：对等腰三角形、 直角三角形单独考查的可能性 很小， 一般是和其他图形结合， 主要考查特殊三角形的性质和 判定、含 30° 角的直角三角形、 勾股定理等，考查 6 分左右， 约占总分值的 5%.
返回
数学
13．(2010 广东)已知两个全等的直角三角形纸片 ABC，DEF， 如图放置， 点 B， D 重合， 点 F 在 BC 上， AB 与 EF 交于点 G， ∠C＝∠EFB＝90° ，∠E＝∠ABC＝30° ，AB＝DE＝4.求证： △EGB 是等腰三角形．
返回
数学
证明：∵∠C＝∠EFB＝90° ，∠E＝∠ABC＝30° ， ∴∠EBF＝60° ， ∠E， ∴GE＝GB，则△EGB 是等腰三角形． ∴∠EBG＝∠EBF－∠ABC＝60° －30° ＝
(2)若四边形 BDFE 的面积为 8，求△AEF 的面积．
返回
数学
(1)证明：∵DC＝AC，∠ACB 的平分线 CF 交 AD 于 F，∴F 为 AD 的中点． 1 ∵点 E 是 AB 的中点， ∴EF 为△ABD 的中位线， ∴EF＝2BD.
返回
数学
1 (2)解：∵EF 为△ABD 的中位线，∴EF＝2BD，EF∥BD， ∴△AEF∽△ABD. ∵S△AEF∶S△ABD＝1：4，∴S△AEF∶S 四边形 BDFE＝1：3.∵四边形 8 BDFE 的面积为 8，∴S△AEF＝3.3 2 ，返回数学
3 3a 3a 3 3a 3 3a 同理得 FC＝ 2 × 2 ＝ 4 ，CH＝ 2 × 4 ＝ 8 . 3 3a 在 Rt△HCI 中，∠I＝30° ，∴HI＝2HC＝ 4 ，由勾股定理 得 CI＝
3
3a2 3 3a2 9a － ＝ . 8 4 8
返回
数学
课堂精讲
等腰、等边三角形的判定和性质
(6 年 4 考)
1． (2018 宿迁)若实数 m， n 满足等式 m－2 ＋ n－4＝0， 且 m， n 恰好是等腰△ ABC 的两条边的边长，则△ ABC 的周长是 ( B ) A．12 C．8 B．10 D ．6
返回
返回
数学
11．(2018 福建)把两个同样大小的含 45° 角的三角尺按如图所 示的方式放置， 其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶 点重合于点 A， 且另三个锐角顶点 B， C， D 在同一直线上． 若 3－1 AB＝ 2，则 CD＝_______.
返回
数学
往年 中 考
12．(2008 广东)如图，在△ABC 中，BC＞AC，点 D 在 BC 上， 且 DC＝AC，∠ACB 的平分线 CF 交 AD 于 F，点 E 是 AB 的 中点，连接 EF. 1 (1)求证：EF＝2BD；
返回
数学
16．(2009 深圳)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90° ，点 D 是 BC 7 5 上一点，AD＝BD，若 AB＝8，BD＝5，则 CD＝______.
返回
数学
17．(2012 广州)在 Rt△ABC 中，∠C＝90° ，AC＝9，BC＝12， 则点 C 到 AB 的距离是( A ) 36 A. 5 9 C．4 12 B．25 3 3 D． 4
数学
2．(2018 淮安)若一个等腰三角形的顶角等于 50° ，则它的底 角等于 65 ° . 3．(2018 遵义)如图，在△ABC 中，点 D 在 BC 边上，BD＝AD ＝AC，E 为 CD 的中点．若∠CAE＝16° ，则∠B＝ 37 ° .
返回
数学 4．(2018 绍兴改编)数学课上，张老师举了下面的例题：
返回
数学
再以等边△AB2C2 的 B2C2 边上的高 AB3 为边作等边三角形， 得 到第三个等边△AB3C3；….记△B1CB2 的面积为 S1，△B2C1B3 的面积为 S2，△B3C2B4 的面积为 S3，如此下去，则 Sn＝ 3 3n－1 · 8 4 _____________.
返回
数学
8．(2018 福建)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90° ，AB＝6， D 是 AB 的中点，则 CD＝ 3 .
返回
数学
9． (2018 南通)下列长度的三条线段能组成直角三角形的( A ) A．3,4,5 C．4,6,7 B．2,3,4 D．5,11,12
返回
数学
10．(2018 吉林)如图，在平面直角坐标系中，A(4,0)，B(0,3)， 以点 A 为圆心，AB 长为半径画弧，交 x 轴的负半轴于点 C， 则点 C 坐标为 (－1,0) ．
返回
数学
解：在 Rt△ACB 中，∠B＝30° ，∠ACB＝90° ， ∴∠A ＝ 90° － 30° ＝ 60° ， ∴∠ACD＝30° . 1 在 Rt△ACD 中，AC＝a，∴AD＝2a， 由勾股定理得 CD＝ a
2
∵CD⊥AB ， ∴∠ADC ＝ 90° ，
1 2 a －2 ＝
返回
数学
3．直角三角形 (1)性质：①直角三角形的两锐角互余；②直角三角形 30° 角所 对的直角边等于斜边的 一半 ；③直角三角形中，斜边上的 中线 长等于斜边的长的一半． (2)判定：①有一个角是 直角 的三角形是直角三角形；②有 一边上的中线是这边的 一半 的三角形是直角三角形．
返回
数学
(3)勾股定理及逆定理 ①勾股定理： 直角三角形中， 两直角边的平方和等于斜边的平 方； ②勾股定理的逆定理： 若一个三角形中有两边的平方和等 于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形．
返回
数学
14．(2008 广东)已知等边三角形 ABC 的边长为 3＋ 3，则△ 9＋3 3 ABC 的周长是__________.
2024年中考数学复习课件 第18讲 等腰三角形与直角三角形
要点梳理
典题精析
备考练习
14
第18讲 等腰三角形与直角三角形
（2）如图②， △ 仍是等边三角形，
点 在 的延长线上，连接 ，判
断 ∠ 的度数及线段 ， ，
之间的数量关系，并说明理由．
图3
思路点拨 由等边三角形的性质,可将 转化为 .若能将 转化为 ,
（2）点 是否也在边 的垂直平分线上？请说明理由.
解：点 也在边 的垂直平分线上.
理由如下： ∵ = ， ∴ 点 在边 的垂直平分线上.
要点梳理
典题精析
备考练习
22
第18讲 等腰三角形与直角三角形
考点四 直角三角形的性质
名师指导 在直角三角形中求角度时，通常利用“直角三角形的两锐角互
上的中线， 为 的中点．若 = 8 ，
3
= 5 ，则 = ___．
20
第18讲 等腰三角形与直角三角形
（2）求 的长.
思路点拨 利用垂直平分线的性质,可将 转化为 .
因此根据勾股定理,求出 长就可以了.
解： ∵ ∠ = 90∘ ， = 12 = 5， ∴ =
，
图6
2 + 2 = 122 + 52 =13.
∵ 是 的垂直平分线， ∴ = = 13
①有一个角是______的三角形是直角三角形
直角
②有两个角______的三角形是直角三角形
互余
判定
2+
③（勾股定理的逆定理）若三角形的三边长 ， ， 满足______
2 = 2
_______，则这个三角形是直角三角形
中考数学复习高频考点知识讲解与练习18---等腰三角形
中考数学复习高频考点知识讲解与练习第18讲等腰三角形【考点知识总汇】一、等腰三角形的判定与性质1.判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也（简写“”）。
2.性质（1）等腰三角形的两个底角（简写为“”）。
（2）等腰三角形顶角的、底边上的高和底边上的互相重合（简写成“三线合一”）。
（3）等腰三角形是图形，底边上的中线（或底边上的高或顶角的平分线）所在的直线是它的对称轴。
知识点总结：二、等边三角形的判定与性质1.判定（1）三个角的三角形是等边三角形。
（2）有一个角等于60 的三角形是等边三角形。
2.性质（1）等边三角形的三个内角都，并且每一个角都等于。
（2）等边三角形是轴对称图形，并且有条对称轴。
21AB知识点总结： 1.由于等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形具有等腰三角形的所有性质，但等边三角形具有的性质等腰三角形不一定具有。
2.等边三角形的性质和判定的题设和结论也正好相反，要注意区别。
三、线段的垂直平分线1.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离。
2.判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的上。
知识点总结：1.线段的垂直平分线的性质是证明线段相等或垂直的重要方法。
2.垂直平分线的性质与判定的题设和结论也正好相反，注意区别。
高频考点1、等腰三角形的性质与判定【范例】如图， 90=∠ABC ，E D ,分别在AC BC ,上，DE AD ⊥，且DE AD =，点F 是AE 的中点，FD 与AB 相交于点M 。
（1）求证：FCM FMC ∠=∠。
（2）AD 与MC 垂直吗？并说明理由。
得分要领：等腰三角形的“三线合一”，包括以下三个结论：如图，在△ABC 中，AC AB =。
1.若BC AD ⊥，则DC BD =，21∠=∠。
2.若DC BD =，则BC AD ⊥，21∠=∠。
3.若21∠=∠，则BC AD ⊥，DC BD =。
【考题回放】1.若等腰三角形的顶角为40 ，则它的底角数为（ ）A.40B.50C.60D.702.如图，在△ABC 中，AC AB =，且D 为BC 上一点，AD CD =，BD AB =，则B ∠的度数为（ ）A.30B.36C.40D.45第2题 第3题3.如图，在△ABC 中，AC AB =， 40=∠A ，点D 在AC 上，DC BD =，则ABD ∠的度数是。
2020年中考数学专题复习讲座第十八讲等腰三角形与直角三角形
2020年中考数学专题复习讲座第⼗⼋讲等腰三⾓形与直⾓三⾓形2020年中考数学专题复习第⼗⼋讲等腰三⾓形与直⾓三⾓形【基础知识回顾】⼀、等腰三⾓形1、定义：有两边的三⾓形叫做等腰三⾓形，其中的三⾓形叫做等边三⾓形2、等腰三⾓形的性质：⑴等腰三⾓形的两腰等腰三⾓形的两个底⾓简称为⑵等腰三⾓形的顶⾓平分线、互相重合，简称为⑶等腰三⾓形是轴对称图形，它有条对称轴，是3、等腰三⾓形的判定：⑴定义法：有两边相等的三⾓形是等腰三⾓形⑵有两相等的三⾓形是等腰三⾓形，简称【名师提醒：1、等腰三⾓形的性质还有：等腰三⾓形两腰上的相等，两腰上的相等，两底⾓的平分线也相等2、同为等腰三⾓形腰和底⾓的特殊性，所以在题⽬中往常出现对边和⾓的讨论问题，讨论边时应注意保证讨论⾓时应主要底⾓只被围⾓】4、等边三⾓形的性质：⑴等边三⾓形的每个内⾓都都等于⑵等边三⾓形也是对称图形，它有条对称轴等边三⾓形的判定：⑴有三个⾓相等的三⾓形是等边三⾓形⑵有⼀个⾓是度的三⾓形是等边三⾓形【名师提醒：1、等边三⾓形具备等腰三⾓形的所有性质2、有⼀个⾓是直⾓的等腰三⾓形是三⾓形】⼆、线段的垂直平分线和⾓的平分线1、线段垂直平分线定义：⼀条线段且这条线段的直线叫做线段的垂直平分线2、性质：线段垂直平分线上的点到得距离相等3、判定：到⼀条线段两端点距离相等的点在⾓的平分线：1、性质：⾓平分线上的点到得距离相等2、判定：到⾓两边距离相等的【名师提醒：1、线段的垂直平分可以看作是的点的集合，⾓平分线可以看作是的点的2、要移⽤作⼀条已知线段的垂直平分线和已知⾓的⾓平分线】三、直⾓三⾓形：1、勾股定理和它的逆定理：勾股定理：若⼀个直⾓三⾓形的两直⾓边为a、b斜边为c则a、b、c满⾜逆定理：若⼀个三⾓形的三边a、b、c满⾜则这个三⾓形是直⾓三⾓形【名师提醒：1、勾股定理在⼏何证明和计算中应⽤⾮常⼴泛，要注意和⼆次根式的结合2、勾股定理的逆定理是判断⼀个三⾓形是直⾓三⾓形或证明线段垂直的主要依据，3、勾股数，列举常见的勾股数三组、、】2、直⾓三⾓形的性质：除勾股定理外，直⾓三⾓形还有如下性质：⑴直⾓三⾓形两锐⾓⑵直⾓三⾓形斜边的中线等于⑶在直⾓三⾓形中如果有⼀个锐⾓是300，那么它就对边是边的⼀半3、直⾓三⾓形的判定：除勾股定理的逆定理外，直⾓三⾓形还有如下判定⽅法：定义法：⑴有⼀个⾓是的三⾓形是直⾓三⾓形⑵有两个⾓是的三⾓形是直⾓三⾓形⑶如果⼀个三⾓形⼀边上的中线等于这边的这个三⾓形是直⾓三⾓形【名师提醒：直⾓三⾓形的有关性质在边形，中均有⼴泛应⽤，要注意这⼏条性质的熟练掌握和灵活运⽤】【重点考点例析】考点⼀：等腰三⾓形性质的运⽤例 1 （2020?襄阳）在等腰△ABC中，∠A=30°，AB=8，则AB边上的⾼CD的长是．分析：此题需先根据题意画出当AB=AC时，当AB=BC时，当AC=BC时的图象，然后根据等腰三⾓形的性质和解直⾓三⾓形，分别进⾏计算即可．解：（1）当AB=AC时，∵∠A=30°，∴CD=12AC=12×8=4；（2）当AB=BC时，则∠A=∠ACB=30°，∴∠ACD=60°，∴∠BCD=30°，∴CD=cos∠3（3）当AC=BC时，则AD=4，∴CD=tan∠A?AD=tan30°?4=433；故答案为：433或43或4。
中考复习备战策略_数学PPT第18讲_等腰三角形与直角三角形
考点知识梳理
中考典例精析
基础巩固训练
考点训练
6．已知 a，b，c 是△ABC 的三边长，且满足关系 式 c2－a2－b2＋|a－b|＝0，则△ABC 是 等腰直角三 角形．
解析：∵ c2－a2－b2＋|a－b|＝0， c2－a2－b2≥0， |a－b|≥0，∴c2＝a2＋b2，a＝b，∴△ABC 是等腰直角 三角形．
形的底角为 40°，则顶角为 180°－2×40°＝100°.故选
C.
考点知识梳理
中考典例精析
基础巩固训练
考点训练
3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30°，
则顶角的度数为( D )
A．60°
B．120°
C．60°或 150°
D．60°或 120°
解析：分两种情况：(1)当这条高在三角形内部时，
考点知识梳理
中考典例精析
基础巩固训练
考点训练
考点四 直角三角形的性质与判定 例 4 (2013·滨州)在△ABC 中，∠C＝90°，AB＝7， BC＝5，则边 AC 的长为_________． 【点拨】在△ABC 中，∵∠C＝90°，AB＝7， BC＝5，∴AC＝ AB2－BC2＝ 72－52＝2 6. 【答案】 2 6
顶角的度数为 90°－30°＝60°；(2)当这条高在三角形外
部时，顶角的度数为 90°＋30°＝120°.故选 D.
考点知识梳理
中考典例精析
基础巩固训练
考点训练
4．如图，△ABC 是等边三角形，P 是∠ABC 的平
分线 BD 上一点，PE⊥AB 于点 E，线段 BP 的垂直平
分线交 BC 于点 F，垂足为点 Q.若 BF＝2，则 PE 的长
考点训练
2023年河北省中考数学复习全方位第18讲 等腰三角形直角三角形 课件
(1)∠EBC的度数;
(2)△BEC的周长.
解:(1)∵AB=AC,∠A=50°,∴∠C=∠ABC=65°.
∵DE是AB的垂直平分线,∴AE=BE,∴∠ABE=∠A=50°,
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=15°.
(2)∵AE=BE,AB=AC=8cm,BC=6cm,∴ △ BEC 的 周 长
D. 北偏西35°
返回子目录
3. (2013·河北,8)如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处,它
以每小时40海里的速度向正北方向航行,2小时后到达位于灯塔P的北偏东
40°的N处,则N处与灯塔P的距离为(
A. 40海里
B. 60海里
D
)
C. 70海里
D. 80海里
返回子目录
命题点3
等边三角形角的性质与判定
上一点,且AB=BD,AD=DC,则∠C=
36
°.
返回子目录
5. (2021 · 河 北 预 测 ) 如 图 , 在 等 腰 △ ABC 中 ,AB=AC, ∠ A=36°, 将
△ABC中的∠A沿DE向下翻折,使点A落在点C处.若AE= ,则BC的长
是
.
返回子目录
6. 如图,在△ABC中,AB=AC=8cm,∠A=50°,AB的垂直3)勾股定理:如果直角三角形两直
+
=
角边分别为a,b,斜边为c,那么⑩
;
(4)在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜
边的一半;在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直
30°
中考数学专题复习第18讲等腰三角形和直角三角形考点知识精讲
(2)C 当40°为底角时，顶角为100°；40°也可以为顶角．故选C.
中考数学专题复习第18讲 等腰三角形与直角三角形
(3)C 由勾股定理的逆定理可判定 A、B、D 三项均能构成直角三角
形．∵( 3)2＋22≠( 5)2，故选 C.
(4)D 因为 tan∠AEC＝AECC，由△ABC∽△EDC 可得AECC＝BCCD，故①正
中考数学专题复习第18讲 等腰三角形与直角三角形
考点四 直角三角形的性质、判定 1．性质 (1)直角三角形的两个锐角 互余 ； (2)勾股定理：a2＋b2＝c2(在Rt△ABC中，∠C＝90°)； (3)在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边 等于斜边的 一半； (4)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直 角边所对的锐角为 30° ； (5)直角三角形 斜边 上的中线等于斜边的一半．
在一条直线上，点 M 是 AE 的中点，下列结论：①tan∠AEC＝CD；②S△ABC
＋S△CDE≥S△ACE；③BM⊥DM；④BM＝DM.正确结论的个数是( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【点拨】本组题主要考查等腰三角形,直角三角形的有关性质和判定.
【解答】(1)D ∵3＋3＝6，∴等腰三角形的底边长和腰长分别为3 cm和6 cm，∴它的周长是6×2＋3＝15(cm)．
中考数学专题复习第18讲 等腰三角形与直角三角形
2011·芜湖 如图，在梯形ABCD中，DC∥AB， AD＝BC，BD平分∠ABC，∠A＝60°，过点D作DE⊥AB， 过点C作CF⊥BD，垂足分别为E，F，连接EF，求证：△DEF为等边三角 形． 【点拨】先证F为BD的中点，从而得到DF＝EF＝BF.再由∠BDE＝60°， 可得△DEF为等边三角形． 【解答】∵CD∥AB，AD＝BC，∠A＝60°， ∴∠ABC＝∠A＝60°. 又∵BD 平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD＝12∠ABC＝30°.
【中考备战策略】2014中考数学总复习 第18讲 等腰三角形与直角三角形课件 新人教版
解析： 分两种情况： (1)等腰三角形的腰长为 6 cm， 则它的周长为 6×2＋3＝15(cm)； (2)等腰三角形的腰长 为 3 cm，三角形的三边长分别 6 cm,3 cm,3 cm，不可 能．故选 D.
2．已知等腰三角形的一个内角为 40° ，则这个等 腰三角形的顶角为 ( A． 40° C． 40° 或 100° C ) B． 100° D． 70° 或 50°
考点二 等腰三角形的判定 例 2 (2013· 厦门 )如图，已知 A，B，C，D 是⊙ O 上 的四点，延长 DC， AB 相交于点 E.若 BC＝ BE. 求证：△ ADE 是等腰三角形．
【点拨】 本题考查圆内接四边形的性质与等腰三角 形的判定． 证明：∵ A， B， C， D 四点共圆， ∴∠ A＝∠ BCE. ∵ BC＝ BE， ∴∠ BCE＝∠ E，∴∠ A＝∠ E. ∴ AD＝ DE，即△ ADE 是等腰三角形．
考点二 等腰三角形的性质和判定 1．性质
(1) 等腰三角形的两个 底角 相等 ( 简称： 等边对等 角 )； (2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底 边上的高线互相重合 ； (3)等腰三角形是轴对称 图形，有一 条对称轴，顶 角的平分线 (底边上的中线、 底边上的高线)所在的直线 是它的对称轴．
【点拨】 ∵ AB＝ BC， ∠ ACB＝ 35° ， ∴∠ A＝ ∠ ACB ＝ 35° .∵ AB∥ DC， ∴∠ OCD＝ ∠ A＝ 35° .∵∠ D＝ 40° ， ∠ AOD 是 △ OCD 的外角， ∴∠ AOD＝ ∠ OCD＋ ∠ D＝ 35° ＋ 40° ＝ 75° . 【答案】 75°
∵ BE⊥ CE， ∴∠ BCE＝ 60° ， ∠ EBC＝ 30° . ∴ BC＝ 2CE. ∵ EA＝ EC， ∴ BC＝ AC. ∴△ ABC 是等边三角形．
初中数学难点之八：等腰三角形、等边三角形、直角三角形
初中数学难点之八：等腰三角形、等边三角形、直角三角形等腰三角形、等边三角形、直角三角形是初中数学重点考察内容，也是学习的难点。
一、等腰三角形的概念1. 定义有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
两条相等的边叫做腰，所夹的角叫做顶角，另一边叫做底边，底边与腰形成的两个角叫做底角。
2. 性质（1）等腰三角形是轴对称图形，底边中线是对称轴（底边的高、顶角的角的角平分线都是对称轴）（2）等腰三角形两个底角相等，简称等边对等角。
（3）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称三线合一。
3. 判定（1）两内角相等的三角形叫做等腰三角形（2）两个边相等的三角形叫做等腰三角形二、等边三角形1. 定义三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
2. 性质（1）等边三角形有三条对称轴，中线是对称轴（2）等边三角形三个角相等，每个角都为60º（3）等边三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称三线合一。
3. 判定（1）三条边都相等的三角形是等边三角形（2）三个角都相等的三角形叫做等边三角形（3）有一个内角是60º的等腰三角形是等边三角形。
三、直角三角形1. 定义有一个角是直角的三角形叫做直角三角形2. 性质（1）直角三角形两个锐角互余（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（3）直角三角形中，30º角所对的直角边等于斜边的一半（4）勾股定理：a2+b2=c2（a、b为直角边，c为斜边）3. 判定（1）有一个角是直角的三角形，或者两个锐角和为90º的三角形为直角三角形。
（2）一边的中线等于这条边的一半，这个三角形是直角三角形。
（3）勾股定理逆定理：如果有a2+b2=c2（a、b、c为三角形的三个边），则三角行为直角三角形四、基础题型1. 例题1如图，边长为4的等边ΔABC中，D、E分别为AB、BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为？解：连接DE，因为：EF⊥AC，∠C=60º所以∠FEC=30º,因为：ΔABC为等边三角形，DE为中位线所以有：2. 考察知识点（1）等边三角形及内角为60º（2）三角形中位线（3）直角三角形30度内角所对直角边等于斜边的一半（4）直角三角形勾股定理3. 解题思路和技巧DG是非常孤立的，既不是中位线，也不平行某一边，即不是三角形的某一边，也不是规则四边形的边，很难下手，因此必须画辅助线把DG融入某个三角形内，因为D、E分别是所在边的中点，连接起来是三角形的中位线，因此连接DE，尝试解题。
2021年中考数学专题复习 专题18 等腰、等边三角形问题(教师版含解析)
专题18 等腰、等边三角形问题一、等腰三角形1. 定义：两边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫腰，第三条边叫底边，两腰的夹角叫顶角，底边和腰的夹角叫底角.2.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”)．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合(简称“三线合一”)．3.等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．4.等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高(顶角平分线或底边上的中线)所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．5.等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称“等角对等边”).要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.二、等边三角形1. 定义：三边都相等的三角形叫等边三角形．2. 性质性质1：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°；性质2：等边三角形是轴对称图形，并且有三条对称轴，分别为三边的垂直平分线。
3.判定(1)三个角都相等的三角形是等边三角形；(2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；(3)有两个角是60°的三角形是等边三角形。
三、解题方法要领1.等腰(边)三角形是一个特殊的三角形，具有较多的特殊性质，有时几何图形中不存在等腰(边)三角形，可根据已知条件和图形特征，适当添加辅助线，使之构成等腰(边)三角形，然后利用其定义和有关性质，快捷地证出结论。
2.常用的辅助线有：(1)作顶角的平分线、底边上的高线、中线。
(2)在三角形的中线问题上，我们常将中线延长一倍，这样添辅助线有助于我们解决有关中线的问题。
3.分类讨论是等腰三角形问题中常用的思想方法，在已知等腰三角形的边和角的情况下求其他三角形的边或角，要对已知的边和角进行讨论，分类的标准一般是根据边是腰还是底来分类。
第18讲 等腰三角形与直角三角形-2023年中考数学一轮复习备考(考点清单+强化演练+答案)
2023年中考数学一轮复习备考第18讲等腰三角形与直角三角形考点清单考点1 等腰三角形的性质与判定性质(1)两底角相等，即∠B＝∠C(等边对等角)；(2)两腰相等，即AB＝AC；(3)是轴对称图形，有一条对称轴，即AD所在的直线；(4)“三线合一”(即顶角的①、底边上的中线和底边上的高互相重合)判定(1)两边相等的三角形是等腰三角形；(2)②相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)周长、面积周长：C＝a＋2b；面积：S＝③(其中a是底边长，b是腰长，h是底边上的高)【易错警示】等腰三角形中的分类讨论：(1)当顶角和底角不确定时，需要分类讨论，且需要用三角形内角和定理检验；(2)当腰长和底边长不确定时，需要分类讨论，且需要用三角形三边关系检验．考点2 等边三角形的性质与判定性质(1)等边三角形的三条边相等，即AB＝BC＝AC；(2)等边三角形的三个内角相等且每一个角都等于④，即∠B＝∠C＝∠BAC＝60°；(3)等边三角形是轴对称图形，有⑤条对称轴；(4)等边三角形“三线合一”；(5)等边三角形的内心、外心重合判定(1)三条边都相等的三角形是等边三角形；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角是⑥的等腰三角形是等边三角形周长、面积周长：C＝3a；面积：S＝12ah＝34a2(h＝32a)(其中a是边长，h是任一边上的高)考点3 直角三角形的性质与判定性质(1)两锐角之和等于90°，即∠A＋∠B＝90°；(2)斜边上的中线等于斜边的⑦；(3)30°角所对的直角边等于斜边的⑧；(4)勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么⑨；【拓展】在直角三角形中，如果一条直角边长等于斜边长的一半，那么这条直角边所对的锐角等于⑩；外接圆半径R＝c2，内切圆半径r＝12(a＋b－c)判定(1)有一个角为⑪的三角形是直角三角形；(2)有两个角互余的三角形是直角三角形；(3)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足⑫，那么这个三角形是直角三角形；【拓展】一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形周长、面积周长：C＝a＋b＋c；面积：S△ABC＝12ab＝12ch(其中a，b分别为两个直角边长，c为斜边长，h为斜边上的高)考点4 等腰直角三角形的性质与判定性质(1)两直角边相等，即AC＝BC；(2)两锐角相等且都等于45°；(3)是轴对称图形，有一条对称轴，即CD所在的直线；(4)“三线合一”判定(1)顶角为⑬的等腰三角形是等腰直角三角形；(2)有两个角为⑭的三角形是等腰直角三角形；(3)有一个角为⑮的直角三角形是等腰直角三角形；(4)两直角边相等的直角三角形是等腰直角三角形周长、面积 周长：C ＝2a ＋c ；面积：S ＝12a 2＝12ch ＝22ah (其中a 为直角边长，c 为斜边长，h 为斜边上的高)强 化 演 练基础练1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，过点C 作 CD ⊥AB ，垂足为D ，E 为BC 的中点，AE 与CD 交于点F .若DF 的长为23，则AE 的长为( )A ．2B ．2C ．5D ．2 52．已知a ，b 是等腰三角形的两边长，且a ，b 满足2a －3b ＋5＋(2a ＋3b －13)2＝0，则此等腰三角形的周长为( )A ．8B ．6或8C ．7D ．7或83．如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，AD ⊥AC 交BC 于点D ，则AD 的值为( )A ．125B ．154C ．5D ．2034．如图，AD 是等边三角形ABC 的中线，AE ＝AD ，则∠EDC 的度数为( )A ．30°B ．20°C ．25°D ．15°5．如图是“人字形”钢架，其中斜梁AB ＝AC ，顶角∠BAC ＝120°，跨度BC ＝10 m ，AD 为支柱(即底边BC 上的中线)，两根支撑架DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，则DE ＋DF 等于( )A ．10 mB ．5 mC ．2.5 mD ．9.5 m6．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD 与AC 交于点E ，点F 为BC 的中点，连接EF .若BE ＝AC ＝2，则△CEF 的周长为( )A ．3＋1B ．5＋3C ．5＋1D ．47．如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A ，B ，连接AB ，在网格中再找一个格点C , 使得△ABC 是等腰直角三角形，满足条件的格点C 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．58．如图，在△ABC 中AC ＝BC ，点D 和E 分别在AB 和AC 上，且AD ＝AE .连接DE ，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，交DE 于点F .若∠C ＝40°，则∠AFE 的度数为( )A ．60°B ．65°C ．75°D ．80°9．如图，在△ABC 中，点O 是角平分线AD ，BE 的交点．若AB ＝AC ＝10，BC ＝12，则tan ∠OBD 的值是( )A ．12B ．2C ．63D ．6410．如图，在Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的中线．若CD ＝2，则AB ＝ .11．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，P 是BC 上任意一点，PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥AC 于点F .若S △ABC ＝1，则PE ＋PF ＝ .12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AF＝EF.若∠CFE＝72°，则∠B＝.13．如图，EA＝EB＝EC，∠AEB＝70°，则∠ACB＝°.14．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于点D，E为垂足，连接CD.若BD＝1，则AC的长是 .15．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，AE⊥BC于点E.已知∠ABC＝60°，∠C ＝45°.(1)求证：AB＝BD；(2)若AE＝3，求△ABC的面积．16．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝CD，延长BC至点E，使得CE＝CA，连接AE.(1)求证：∠B＝∠ACB；(2)若AB＝5，AD＝4，求△ABE的周长和面积．强化练17．如图，在等边三角形ABC中，AB＝10，E为AC的中点，点F，G为AB边上的动点，且FG＝5，则EF＋CG的最小值是()A．57 B．5 6 C．53＋5 D．1518．如图，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE＝45°，F是AB的中点，AD与FE，BE分别交于点G，H，∠CBE＝∠BAD.有下列结论：①FD＝FE；②AH＝2CD；③BC·AD＝2AE2；④S△ABC＝4S△ADF.其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个提升练19．七巧板是大家熟悉的一种益智类玩具，用七巧板能拼出许多有趣的图案．小聪同学将一个直角边长为20 cm的等腰直角三角形纸板，切割七块，正好制成一副七巧板，则图中阴影部分的面积为cm2.20．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，P是BC上的动点，Q是AC上的动点(Q不与A，C重合)．(1)线段P A的最小值为；(2)当△ABP 为直角三角形，△PCQ 也为直角三角形时，CQ 的长度为 .参 考 答 案考点清单①两角 ②两角 ③12ah ④60° ⑤三 ⑥60° ⑦一半 ⑧一半 ⑨a 2＋b 2＝c 2 ⑩30° ⑪90° ⑫a 2＋b 2＝c 2 ⑬90° ⑭45° ⑮45°强化演练1. C2. D3. B4. D5. B6. C7. B8. C9. A 10. 4 11. 1 12. 54° 13. 35 14. 2 3 15. (1)证明：∵BD 平分∠ABC ，∠ABC ＝60°，∴∠DBC ＝12∠ABC ＝30°. ∵∠C ＝45°，∴∠ADB ＝∠DBC ＋∠C ＝75°，∠BAC ＝180°－∠ABC －∠C ＝75°，∴∠BAC ＝∠ADB ，∴AB ＝BD .(2)解：在Rt △ABE 中，∵∠ABC ＝60°，AE ＝3，∴BE ＝AE tan ∠ABC ＝ 3. 在Rt △AEC 中，∵∠C ＝45°，AE ＝3，∴EC ＝AE tan C ＝3，∴BC ＝3＋3，∴S △ABC ＝12BC ·AE ＝9＋332.16. (1)证明：在△ADB 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AD ，∠ADB ＝∠ADC ，BD ＝CD ，∴△ADB ≌△ADC (SAS)，∴∠B ＝∠ACB .(2)解：在Rt △ADB 中，∵AB ＝5，AD ＝4，∴BD ＝AB 2－AD 2＝52－42＝3，∴BD ＝CD ＝3，AC ＝AB ＝CE ＝5，∴BE ＝2BD ＋CE ＝2×3＋5＝11，DE ＝CD ＋CE ＝8. 在Rt △ADE 中，由勾股定理，得AE ＝AD 2＋DE 2＝42＋82＝45，∴C △ABE ＝AB ＋BE ＋AE ＝5＋11＋45＝16＋45，S △ABE ＝12BE ·AD ＝12×11×4＝22.17. A 18. D 19.25420. (1)3 (2)4.5或4或3。