2.4.1抛物线及其标准方程教案(人教版 选修2-1)
高中数学人教A版选修2-1第二章2.4.1 抛物线及其标准方程教案
2.4.1 抛物线及其标准方程教学目标：1. 理解抛物线线的定义,2. 掌握抛物线的四种标准方程，及其特征.3. 强化坐标法求轨迹方程的步骤..一、新课引入1. 二次函数y=x2的是图像开口的抛物线，对称轴方程为，顶点坐标为 .2. 二次函数y=−x2+4x+3的是图像开口的抛物线，对称轴方程为，顶点坐标为.3. 已知点F是平面内一定点，直线l是平面内不经过F的定直线.H是l上任意一点，过点H作l的垂线l1，线段FH的垂直平分线m交l1于点M，拖动点H，你能发现点M的轨迹满足的几何条件是什么？答：点M的轨迹满足的几何条件是.二、新知讲授1. 抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（）的点的轨迹叫做抛物线.规定：点F叫做抛物线的，直线l叫做抛物线的.2. 抛物线的标准方程：（1）焦点在x轴上，y2=（p>0）；（2）焦点在y轴上，x2=（p>0）.特征：当时，焦点在x轴上；当时，焦点在y轴上.三、典型例题例1. 概念辨析：若直线l经过点F，则点M的轨迹为.例3. 已知抛物线的标准方程为y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；（2）已知抛物线的焦点是F(0，−2)，求它的标准方程.例2. 已知点F是平面内一定点，直线l是平面内不经过F的定直线.H是l上任意一点，过点H作l的垂线l1，线段FH的垂直平分线m交l1于点M，求点M的轨迹方程.（记点F到直线l的距离为p（p>0））四、课堂练习练1. 根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（1）焦点是F(3，0)的抛物线的标准方程是.（2）准线方程是x=−1的抛物线的标准方程是.4（3）焦点到准线的距离是2，且焦点在x轴上的抛物线的标准方程是.练2. 求下列抛物线的开口方向、焦点坐标和准线方程：（1）抛物线y2=20x开口向，焦点坐标是，准线方程是；y开口向，焦点坐标是，准线方程是；（2）抛物线x2=12（3）抛物线2y2+5x=0开口向，焦点坐标是，准线方程是；（4）抛物线x2+8y=0开口向，焦点坐标是，准线方程是.练3. 已知二次函数y=ax2（a≠0）。
选修2-1教案2.4.1抛物线及其标准方程、几何性质
2.4 抛物线及其标准方程（一）教学要求：掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形，能够求出抛物线的方程，能够解决简单的实际问题.教学重点：求出抛物线的方程.教学难点：抛物线标准方程的推导过程.教学过程：一、复习准备：1、提问：你能回顾一下在椭圆、双曲线中学过的动点、定点、定直线吗？2、讨论：若一个动点(,)p x y 到一个定点F 和一条定直线l 的距离相等，这个点的运动轨迹是怎么样的呢？二、讲授新课：1、教学抛物线① 定义:平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点,直线l 叫做抛物线的准线.(定义的实质可归纳为”一动三定”)② 抛物线的标准方程:22(0)y px p => 焦点坐标是( ,0)2p F 准线方程是x=-2p 22(0)y px p =-> 焦点坐标是( ,0)2p F - 准线方程是x=2p 22(0)x py p => 焦点坐标是(0, )2p F 准线方程是y=-2p 22(0)x py p =-> 焦点坐标是(0, )2p F - 准线方程是y=2p 2、教学例题：①出示例1：求满足下列条件的抛物线的标准方程:(1) 焦点坐标是(5,0 )F -(2) 经过点(3,2 )A -(3) 焦点在直线240x y --=上（抛物线草图----抛物线方程---参数p ）②变式训练:求顶点在原点,焦点在x 轴上的抛物线且截直线0210x y -+=.③出示例2：已知抛物线的标准方程是(1)28y x =,(2) 28y x =, 求它的焦点坐标和准线方程（教师示范 → 学生板演 → 小结）3、小结：抛物线的定义;抛物线的标准方程.三、巩固练习：１.根据下列条件写出抛物线的标准方程:(1)焦点坐标是(0,4)(2)准线方程是y=4-２. 抛物线2(0)y ax a =≠3.作业：课本P69 1、2题2.4 抛物线及其标准方程（二）教学要求：掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形，能够求出抛物线的方程，能够解决简单的实际问题.教学重点：求出抛物线的方程.教学难点：抛物线标准方程的推导过程.教学过程：一、复习准备：1. 提问：求下列抛物线的焦点坐标和准线方程（1）220x y =（2）280y x +=2. 焦点在直线4x-3y-12=0上的抛物线的标准方程是_______.二、讲授新课：1、教学抛物线方程的求解① 利用抛物线的定义可以将抛物线上的点到焦点的距离转化到准线的距离.② 在求抛物线方程时，可以先根据题目的条件做出草图，确定方程的形式后再求参数p 的值.2、教学例题：（1）求抛物线方程① 出示例1：已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点(,3)M m -到焦点的距离为5，求m 的值、抛物线方程和准线方程.（教师讲思路→学生板演→小结方法）② 练习:顶点在原点,焦点在y 上,且过点(4,2 )p 的抛物线方程是______（2）应用抛物线方程③ 出示例2:直线3y x =-与抛物线24y x =交于,A B 两点,过,A B 两点向抛物线的准线做垂线,垂足分别是,P Q ,则梯形APQB 的面积为______(作图----抛物线方程----解决问题)④ 练习:过抛物线24y x =做倾斜角为34π的直线交抛物线与,A B 两点,则AB 的长是______ （3）实际应用问题⑤ 一辆卡车高3cm ,宽 1.6cm ,欲通过断面为抛物线形的隧道,已知拱口AB 宽恰好是拱高CD 的4倍.若拱宽为acm ,求能使卡车通过的a 的最小整数值.(将实际问题转化为数学问题)3、小结：抛物线的定义;抛物线的标准方程三、 巩固练习：①.抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4,则点A 与抛物线焦点的距离为______ ②.抛物线24y x =的准线方程是______,焦点坐标是______③.点(0,8)M 的距离比它到直线7y =-的距离大于1,求M 点的轨迹方程.④.某河上有座抛物线形拱桥,当水面距拱顶5m 时,水面宽为8m ,一木船宽4m ,高2m ,载货后木船露在水面的部分高为34m ,问水面上涨到与拱顶相距多少时,木船开始不能通航? ⑤.作业 教材P69 习题2.3 A 组 3教学要求：通过本节的学习,掌握抛物线的简单几何性质,能运用性质解决与抛物线有关的问题,进一步体会数形结合的思想.教学重点：能运用性质解决与抛物线有关的问题.教学难点：数形结合的思想在解决有关抛物线问题中的应用.教学过程：一、复习准备：1、提问：你能回顾一下抛物线的定义,抛物线的标准方程?2、抛物线212y x =上与焦点的距离等于6的点的坐标二、讲授新课：1、教学抛物线的简单几何性质抛物线的标准方程:22(0)y px p =>① 范围:② 对称性:这条抛物线关于x 对称,抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.③ 顶点:抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点,这条抛物线的顶点就是坐标原点④ 离心率:抛物线上点M 与到焦点的准线的距离的比,叫做抛物线的离心率,用e 表示,抛物线的离心率e 为12、教学直线与抛物线的位置关系设直线:l y kx b =+,抛物线22(0)y px p =>,直线与抛物线的交点的个数等价于方程组22y kx b y px=+⎧⎨=⎩解的个数,也等价于方程2220kx px bp -+=解的个数. 3、教学例题：① 出示例1：斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点,且与抛物线相交于,A B 两点,求AB 的长.（画图 →讲解思路→联立方程组 →学生板演）② 变式训练：过点(4,1)p 做抛物线28y x =的弦AB ,恰被p 所平分,求AB 所在的直线方程 (.求直线方程的基本思路是求出斜率k )③ 出示例2：已知抛物线关于x 轴为对称轴,它的顶点在坐标原点,并且经过点(2,M -,求它的标准方程.④ 练习:已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点是(0,5)F ,求它的标准方程.3、小结：抛物线的简单几何性质,直线与抛物线的位置关系.三、巩固练习：①、过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于12(,)A x x ,12(,)B x x 两点,如果126x x +=,那么||AB 的值为多少?②、抛物线28y x =上一点p 到顶点的距离等于它们到准线的距离,这点的坐标是______ ③、已知直线:l y kx b =+与抛物线22(0)y px p =>相交与,A B 两点,若OA OB ⊥,(O 为坐标原点),且AOB S ∆=,求抛物线的方程.④、作业：教材P69 第4题.教学要求：通过本节的学习,掌握抛物线的简单几何性质,能运用性质解决与抛物线有关的问题,进一步体会数形结合的思想.教学重点：能运用性质解决与抛物线有关的问题.教学难点：数形结合的思想在解决有关抛物线问题中的应用.教学过程：一、复习准备：1、提问：回顾抛物线的简单几何性质,直线与抛物线的位置关系.2、已知抛物线的焦点是(0,8 )F -,准线是8y =,求它的标准方程.二、讲授新课：1、教学直线与抛物线的位置关系设直线:l y kx b =+,抛物线22(0)y px p =>,直线与抛物线的交点的个数等价于方程组22y kx b y px=+⎧⎨=⎩解的个数,也等价于方程2220kx px bp -+=解的个数 ① 当0k ≠时,当0∆>时,直线和抛物线相交,有两个公共点;当0∆=时,直线和抛物线相切,有一个公共点;当0∆<时,直线和抛物线相离,无公共点② 若0k =,则直线y b =与抛物线22(0)y px p =>相交,有一个公共点,特别地,当直线的斜率不存在时,设x m =,则当0m >, l 与抛物线相交,有两个公共点;当0m =时,与抛物线相切,有一个公共点,当0m <时,与抛物线相离,无公共点.2、教学例题：① 出示例1：已知抛物线方程为24y x =,直线l 过定点(2,1)P -,斜率为k ,当k 何值时,直线l 与抛物线:只有一个公共点;有两个公共点;没有公共点.（教师讲思路→学生板演→小结方法）② 练习：过定点(0,1)P 且与抛物线22y x =只有一个公共点的直线方程.③ 出示例2：过抛物线22y x =的顶点做互相垂直的二弦,OA OB .（1）、求AB 中点的轨迹方程 （2）证明：AB 与x 轴的交点为定点④ 练习：求过点(1,1)A -，且与抛物线22y x =+有一个公共点的直线方程）3、小结：直线与抛物线的位置关系.三、巩固练习：1、抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，点(-到焦点的距离是6，则抛物线的方程为___________2、抛物线24y x =-关于直线2x y +=对称的曲线的顶点坐标为___________3、求抛物线264y x =上的点到到直线43460x y ++=的距离的最小值，并求取得最小值时抛物线上点的坐标.4、经过抛物线28y x =-的焦点且和抛物线的对称轴成60︒的直线交,A B 两点，求||AB 的值5、作业：教材P70 B 组 第1题.。
人教版数学选修2-1抛物线及其标准方程教学案
2.4.1.1抛物线及其标准方程班级姓名小组号【学习目标】1.通过教材了解抛物线的定义，准线及焦点.2.通过教学案掌握焦点在两坐标轴上的抛物线的标准方程.3.通过教师讲解会求简单的抛物线的标准方程，解决相关题目.【重点难点】重点：掌握抛物线的定义、准线及在坐标轴上的标准方程；难点：根据标准方程判断抛物线的焦点、准线的位置，以及求抛物线的标准方程.【学情分析】初中我们学习过二次函数，知道二次函数是一条抛物线，本节课我们将继续研究抛物线及它的相关知识。
我们将先通过数形结合思想根据抛物线的定义来求解它的标准方程，进而引出准线方程。
以及在选择不同的坐标系我们得到不同形式的标准方程。
【导学流程】自主学习内容一、回顾旧知：二、基础知识感知1.抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．2.准线的方程：设点M（x,y）是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d.抛物线就是集合.准线的标准方程为：22(0)y px p=>.它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是(,0)2p它的准线方程是2px=-.3抛物线标准方程的四种形式：根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式22y px=，22y px=-，22x py=，22x py=-(0)p>。
三、探究问题:【例1】已知抛物线的标准方程是y²=6x，求它的焦点坐标和准线方程。
【例2】2．以双曲线91622yx-=1的中心为顶点，左顶点为焦点的抛物线方程是（）A.216y x=- B.216y x= C.28y x=- D.28y x=四、基础知识拓展与迁移抛物线还有哪些不同的形式？}|||{dMFMP==请及时记录自主学习过程中的疑难：小组讨论问题预设:已知抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M-，求它的标准方程。
提问展示问题预设：-的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：求过点(3,2)课堂训练问题预设：1.抛物线y2＝x上一点P到焦点的距离是2，则P点坐标为2.到点A(－1,0)和直线x＝3距离相等的点的轨迹方程是________．整理内化：1.课堂小结2.本节课学习内容中的问题和疑难3.教学反思2.4.1.1抛物线及其标准方程【课后限时训练】时间50分钟第Ⅰ部分 本节知识总结第Ⅱ部分 基础知识达标一、选择题1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是A ．28y x =- B ．28y x =C ．24y x =-D ．24y x =2．若抛物线2y ax =的准线与椭圆22143x y +=的右准线重合，则a 的值是（ ） A.8 B.8- C.16 D.16- 3.抛物线21(0)y x m m=<的焦点坐标是( ) A.(0,)4m B. (0,)4m - C. 1(0,)4m D. 1(0,)4m- 4. 已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( )A.12B ．1C ．2D ．45.以双曲线91622y x -=1的中心为顶点，右顶点为焦点的抛物线方程是（ ） A.216y x =- B.216y x = C.28y x =- D.28y x =二、填空题6．以双曲线221169x y -=的中心为顶点，左焦点为焦点的抛物线方程是__________．7．抛物线y 2＝16x 上到顶点和焦点距离相等的点的坐标是________． 8.焦点到准线的距离是2的准线方程是 .9.设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点(k ，－2)与F 点的距离为4，则k 的值是 。
高中数学选修2-1新教学案：2.4.1抛物线及其标准方程(1)
选修2—1 2.4.1抛物线及其标准方程 （学案）（第1课时）【知识要点】 抛物线的定义及其标准方程. 【学习要求】1.了解抛物线的实际背景,感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用;2.经历从具体情境中抽象出抛物线模型的过程,掌握抛物线的定义,准确推导出抛物线的标准方程.【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第64 页～第66页）1. 我们学过的二次函数221,2y x y x ==的图象是 . 抛物线2y x =上的点到点10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭和直线14y =-的距离的大小关系是 . 抛物线212y x =上的点到点10,2⎛⎫⎪⎝⎭和直线12y =-的距离的大小关系是 . 上面两个事实说明了什么问题 .2.抛物线、抛物线的焦点、抛物线的准线：平面内与 和 距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的 直线l 叫做抛物线的 .3.根据求曲线方程的步骤,你能想到几种不同的建系方法?能分别推导出对应的方程吗? 取经过点F 且垂直于直线l 的直线为轴,垂足为K ,并使原点与线段KF 的中点重合,建立直角坐标系xoy ,设(0)KF p p =>,那么焦点F 的坐标为 ,准线l 的方程为 ,推导出的抛物线方程为 .4.根据抛物线的方程,填写下面的表格: 标准方程图形 焦点坐标 准线方程 22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p => 22(0)x py p =->【基础练习】1．根据下列条件写出抛物线的标准方程: (1) 焦点是()3,0F ; (2) 准线方程式是14x =-; (3) 焦点到准线的距离是2.2.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:(1) 220y x =; (2) 212x y =; (3) 2250;y x += (4) 280x y += . 【典型例题】例1 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:(1) 24x y =; (2) 235y x =;变式1：求抛物线2y ax =的焦点坐标和准线方程.例2 抛物线的焦点在直线20x y -+=上,则抛物线的标准方程为 ( ) (A) 2244x y y x =-=和 (B) 2244x y y x ==-和 (C) 2288x y y x ==-和 (D) 2288x y y x =-=和 变式2：求焦点在直线240x y --=上的抛物线的标准方程. 例3 抛物线216x y =上的点P 到焦点的距离等于8,求点P 的坐标.变式3：在抛物线22y px =上,横坐标为4的点,到焦点的距离为5,则p 的值为 ( ) (A)12(B) 1 (C) 2 (D) 41. 已知抛物线的焦点为（1，0），则抛物线的标准方程 ( ). （A ）22y x = （B ）22y x =- （C ）24y x = （D ）24y x =- 2. 抛物线214y x =的焦点坐标为 （ ）. （A ）(0,116) （B ）(116,0) （C ）(0,1) （D ）(1,0)3.已知抛物线的准线方程是2x =，则抛物线的标准方程( ).(A) 28y x = (B) 28y x =-(C) 28x y = (D) 28x y =-4.抛物线22y x =上到焦点的距离等于6的点的坐标是 . 5. 抛物线2x ay =的准线方程是2x =,则a 的值为 ( ).(A)18 (B) 8 (C) 18- (D) -86.抛物线24x y =-上的一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标是( ).(A) 1716-(B) 1516- (C) 78- (D) 07.已知抛物线22(0)y px p =>上有一点(4,)M y ,它到焦点F 的距离为5,则(OFM O ∆为坐标原点）的面积 .8.已知圆222230x y x y +-+-=经过抛物线22(0)y px p =>的焦点，则p 的值 为 .9.经过点(3,-2)的抛物线的标准方程 .10.抛物线的焦点在y 轴上,点A (m,-2)在抛物线上,且AF =3,求抛物线的标准方程. 11.已知圆222230x y x y +-++=与抛物线22(0)y px p =->的准线相切，则抛物线的方程为 .28y x =上,且动圆恒与直线1. 一动圆的圆心在抛物线20x +=相切，则动圆比过定点 （ ）.（A ）(4,0) （B ）(2,0) （C ）(0,2) （D ）(0,-2)2.抛物线28(0)y px p =>上一点M 到焦点的距离为a ,则点M 到y 轴的距离为 .选修2—1 2.4.1抛物线及其标准方程 （教案）（第一课时）【教学目标】: 引导从具体情境中抽象出抛物线模型的过程,掌握抛物线的定义,准确推导出抛物线的标准方程.【重点】 ：对抛物线定义的理解及抛物线方程的推导. 【难点】 ：掌握抛物线的标准方程.【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第64 页～第66页）1. 我们学过的二次函数221,2y x y x ==的图象是抛物线. 抛物线2y x =上的点到点10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭和直线14y =-的距离的大小关系是相等. 抛物线212y x =上的点到点10,2⎛⎫⎪⎝⎭和直线12y =-的距离的大小关系是相等. 上面两个事实说明了什么问题抛物线上的点到一个定点和一条定直线的距离相等.2.抛物线、抛物线的焦点、抛物线的准线：平面内与定点和定直线距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点直线l 叫做抛物线的准线.3.根据求曲线方程的步骤,你能想到几种不同的建系方法?能分别推导出对应的方程吗? 取经过点F 且垂直于直线l 的直线为轴,垂足为K ,并使原点与线段KF 的中点重合,建立直角坐标系xoy ,设(0)KF p p =>,那么焦点F 的坐标为,0)p（2,准线l 的方程为px=-2,推导出的抛物线方程为2px =2y .4.根据抛物线的方程,填写下面的表格: 标准方程 图形焦点坐标 准线方程22(0)y px p =>(,0)2p2p x =-22(0)y px p =->(,0)2p -2p x =22(0)x py p =>(0,)2p2p y =-22(0)x pyp =->(0,)2p -2p y =【基础练习】1．根据下列条件写出抛物线的标准方程: (1) 焦点是()3,0F ; (2) 准线方程式是14x =-; (3) 焦点到准线的距离是2.解: (1) 212y x =; (2) 2y x =; (3) 22224,4,4,4y x y x x y x y ==-==-. 2.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:(1) 220y x =; (2) 212x y =; (3) 2250;y x += (4) 280x y += .解: (1) 焦点坐标F （5，0），准线方程x=-5 ;(2) 11焦点坐标F （0,），准线方程y=-88 ;(3) 55焦点坐标F （-，0），准线方程x=88;(4) 焦点坐标F （0,-2），准线方程y=2 . 【典型例题】例1 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:(1) 24x y =; (2) 235y x =;【审题要津】 抛物线的方程不是标准方程,可先把平方项的系数比到另一边,然后根据四种不同形式的标准方程写出焦点坐标和准线方程.解: (1)由24x y =得: 214x y =,由12,4p = 18p ∴= ,所以焦点为1(0,)16,准线方程为116y =-; (2)由235y x =得: 253y x =,552,36p p =∴=,所以交点坐标为5(,0)12,准线方程为 512x =-. 【方法总结】求抛物线的焦点坐标和准线方程,关键是把方程化成标准形式. 变式1：求抛物线2y ax =的焦点坐标和准线方程.解: 由2y ax =得: 21111,02,0)24x y a p p a a a a=>==∴当时，焦点为（,准线方程为14y a =-;210a x y a ⎛⎫<=-- ⎪⎝⎭当时，方程为,112,,2p p a a =-=-∴焦点为 1(0),4a 1，准线方程为y=-4a. 例2 抛物线的焦点在直线20x y -+=上,则抛物线的标准方程为 ( C ) (A) 2244x y y x =-=和 (B) 2244x y y x ==-和 (C) 2288x y y x ==-和 (D) 2288x y y x =-=和【审题要津】因为抛物线的焦点在坐标轴上,又在直线20x y -+=上，所以抛物线的焦点为直线20x y -+=与坐标轴的焦点.解: 直线20x y -+=与两坐标轴的交点分别为(-2,0),(0,2).当(-2,0)为焦点时,抛物线的标准方程为28y x =-.当(0,2)为焦点时, 抛物线的标准方程为28x y = .【方法总结】知道了抛物线的焦点,则可求p ,求抛物线标准方程可直接代入标准方程. 变式2：求焦点在直线240x y --=上的抛物线的标准方程.解：直线240x y --=与坐标轴的交点为（4，0），（0，-2）.当焦点为（4，0）时,抛物线标准方程为216y x =;当焦点为（0，-2）时, 抛物线标准方程为28x y =-.例3 抛物线216x y =上的点P 到焦点的距离等于8,求点P 的坐标.【审题要津】根据给出的抛物线方程,求出抛物线的准线,由P 到焦点的距离等于8,知P 到准线的距离也是8,可求出P 点的纵坐标,代入抛物线方程,可求P .解: 由2168,p p ==∴得抛物线的准线为y=-4 ,设点P 的坐标为00(,)P x y ,则2000048,4,4168y y y x y x +=∴====±把代入得：,(8,0),(8,0).P ∴-【方法总结】借助于抛物线定义转化距离是解决此类问题常用的方法.变式3：在抛物线22y px =上,横坐标为4的点,到焦点的距离为5,则p 的值为 ( C ) (A)12(B) 1 (C) 2 (D) 41. 已知抛物线的焦点为（1，0），则抛物线的标准方程 ( C ). （A ）22y x = （B ）22y x =- （C ）24y x = （D ）24y x =- 2. 抛物线214y x =的焦点坐标为 （ C ）. （A ）(0,116) （B ）(116,0) （C ）(0,1) （D ）(1,0)3.已知抛物线的准线方程是2x =，则抛物线的标准方程( B ).(A) 28y x = (B) 28y x =-(C) 28x y = (D) 28x y =-4.抛物线22y x =上到焦点的距离等于6的点的坐标是1111(,11),(,11)22-. 5. 抛物线2x ay =的准线方程是2x =,则a 的值为 ( C ).(A)18 (B) 8 (C) 18- (D) -86.抛物线24x y =-上的一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标是( B ).(A) 1716-(B) 1516- (C) 78- (D) 07.已知抛物线22(0)y px p =>上有一点(4,)M y ,它到焦点F 的距离为5,则(OFM O ∆为坐标原点）的面积2.8.已知圆222230x y x y +-+-=经过抛物线22(0)y px p =>的焦点，则p 的值 为6.9.经过点(3,-2)的抛物线的标准方程223290y x x y =+=或.10.抛物线的焦点在y 轴上,点A (m,-2)在抛物线上,且AF =3,求抛物线的标准方程. 解：由题意可设抛物线标准方程为22(0)x py p =->，由AF =3知1,22pp =∴=， 所以抛物线标准方程为24x y =- .11.已知圆222230x y x y +-++=与抛物线22(0)y px p =->的准线相切，则抛物线的方程为28y x =- .1. 一动圆的圆心在抛物线28y x =上,且动圆恒与直线20x +=相切，则动圆比过定点（ B ）.（A ）(4,0) （B ）(2,0) （C ）(0,2) （D ）(0,-2)2.抛物线28(0)y px p =>上一点M 到焦点的距离为a ,则点M 到y 轴的距离为2a p - .。
人教版高中数学选修241《抛物线及其标准方程》教学设计
课题：选修（2-1）2.4.1抛物线及其标准方程三维目标：1、知识与技能（1）掌握抛物线的定义及抛物线的四种标准方程和对应的图形；（2）掌握抛物线的标准方程，会根据所给的条件确定抛物线的标准方程；（3）理解抛物线标准方程的推导过程并了解求抛物线的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法；（4）学会用待定系数法与定义法求抛物线的方程并要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力．2、过程与方法（1）通过构设情景：回忆平面内与一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么当e=1时，它又是什么曲线？从而引领学生自主学习、合作探究出抛物线的图形和方程。
在这一过程中，培养学生观察、实验、探究、交流等数学活动能力，同时培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力；（2）通过合作交流，不断体会归纳、概括思想方法的重要性和实用性。
（3）通过解决问题从本质上认识用待定系数法与定义法求抛物线的方程的思想。
3、情态与价值观（1）通过学生的积极参与、学习抛物线和方程的知识，培养学生思维的科学性、严密性，不断认识数形结合和等价转化的数学思想；(2) 通过对抛物线和方程知识的学习，不断培养自主学习、合作交流、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，提高参与意识和合作精神；（3）通过形象具体的轨迹问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，并对学生进行运动、变化、对立、统一以及理论来源于实践的辩证唯物主义思想教育，从而体会事物之间普遍联系的辩证思想，。
体验在学习中获得成功的成就感，为远大的志向而不懈奋斗。
教学重点：抛物线的定义和标准方程及用待定系数法求抛物线的标准方程。
教学难点：抛物线标准方程的推导过程。
教具：多媒体、实物投影仪教学方法：合作探究、分层推进教学法教学过程：一、双基回眸科学导入：★前面我们学习了椭圆和双曲线及其性质，其中有一种轨迹问题能把这两种曲线统一起来：到定点的距离和到定直线的距离之比等于常数的点的轨迹问题。
高中数学选修2-1精品教案8：2.4.1抛物线及其标准方程教学设计
2.4.1抛物线及其标准方程教学目标1.知识与技能掌握抛物线的定义，掌握抛物线的四种标准方程形式及其对应的焦点、准线．2．过程与方法掌握对抛物线标准方程的推导，进一步理解求曲线方程的方法——坐标法．提高学生观察、类比、分析和概括的能力．3．情感、态度与价值观通过本节的学习，体验研究解析几何的基本思想，感受圆锥曲线在刻画现实和解决实际问题中的作用，进一步体会数形结合的思想．教学重点：(1)抛物线的定义及焦点、准线；(2)抛物线的四种标准方程和p的几何意义．教学难点：在推导抛物线标准方程的过程中，如何选择适当的坐标系．以多媒体课件为依托，课件可增强课堂教学的直观性、趣味性，促进学生积极思维，能够在动态演示过程中化解教学难点，突出教学重点．抛物线的定义问题导思图2－4－1如图2－4－1，把一根直尺固定在图板内直线l的位置，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘，再把一条绳子的一端固定于三角板的另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A到直线l的距离AC，并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F，用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺上下滑动，这样铅笔描出一条曲线，思考下面两个问题：1．笔尖(设为动点M)在运动过程中满足的条件是什么？【答案】笔尖到直线l的距离和到定点F的距离相等．2．此曲线是否为椭圆或一支双曲线？为什么？如果不是，猜想它是什么？ 【答案】 不是，因为它不满足椭圆或双曲线的定义，抛物线．平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线.抛物线的标准方程 问题导思抛物线的开口方向不同，所对应的方程不同，抛物线有几种不同形式的方程？ 【答案】 随开口方向的不同，抛物线有四种形式的方程．例题解析例1：(1)已知抛物线的标准方程是y 2=6x ,求它的焦点坐标和准线方程． (2)已知抛物线的焦点是F (0,-2)，求它的标准方程.解:(1)因为p ＝3，故抛物线的焦点坐标为，准线方程为(2)因为抛物线的焦点在y 轴的负半轴上,且故所求抛物线的标准方程为x 2=-8y. 3,02（）3.2x =-2,4,2pp ==变式训练求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)过点M(－6,6)；(2)焦点F在直线l：3x－2y－6＝0上．【思路探究】(1)过点M(－6,6)的抛物线有几种情况？(2)所求抛物线的焦点是什么？有几种情况？【自主解答】(1)由于点M(－6,6)在第二象限，∴过M的抛物线开口向左或开口向上．若抛物线开口向左，焦点在x轴上，设其方程为y2＝－2px(p>0)，将点M(－6,6)代入，可得36＝－2p×(－6)，∴p＝3.∴抛物线的方程为y2＝－6x.若抛物线开口向上，焦点在y轴上，设其方程为x2＝2py(p>0)，将点M(－6,6)代入可得，36＝2p×6，∴p＝3，∴抛物线的方程为x2＝6y.综上所述，抛物线的标准方程为y2＝－6x或x2＝6y.(2)①∵直线l与x轴的交点为(2,0)，∴抛物线的焦点是F(2,0)，∴p2＝2，∴p＝4，∴抛物线的标准方程是y2＝8x.②∵直线l与y轴的交点为(0，－3)，即抛物线的焦点是F(0，－3)，∴p2＝3，∴p＝6，∴抛物线的标准方程是x2＝－12y.综上所述，所求抛物线的标准方程是y2＝8x或x2＝－12y.规律方法1．求抛物线的标准方程主要利用待定系数法，其步骤为：(1)依据条件设出抛物线的标准方程的类型；(2)求参数p 的值； (3)确定抛物线的标准方程．2．当焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y 2＝ax 或x 2＝ay (a ≠0)的形式，以简化讨论过程．例2一种卫星接收天线的轴截面如图(1)所示.卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径(直径)为4.8m,深度为0.5m ，试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标.解：如图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合.设抛物线的标准方程是由已知条件可得，点A 的坐标是（0.5，2.4），代入方程得,即p =5.76.所以，所求抛物线的标准方程是, 焦点坐标是（2.88，0）.变式训练 河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高34米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？解：22(0),y px p =>22.420.5,p =⨯211.52y x=如图，建立坐标系，设拱桥抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，由题意，将B (4，－5)代入方程得p ＝85，∴抛物线方程为x 2＝－165y .∵当船的两侧和拱桥接触时船不能通航． 设此时船面宽为AA ′，则A (2，y A )， 由22＝－165y A ，得y A ＝－54.又知船露出水面上部分为34米，设水面与抛物线拱顶相距为h ，则h ＝|y A |＋34＝2(米)，即水面上涨到距抛物线拱顶2米时，小船不能通航．规律方法1．本题的解题关键是把实际问题转化为数学问题，利用数学模型，通过数学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题．2．以抛物线为数学模型的实例很多，如拱桥、隧道、喷泉等，应用抛物线主要体现在：(1)建立平面直角坐标系，求抛物线的方程．(2)利用已求方程求点的坐标．课堂小结1．利用抛物线定义可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，这一相互转化关系能给解题带来很大的方便，要注意运用定义解题．2．在求抛物线的标准方程时，由于其标准方程有四种形式，易于混淆，解题时一定要做到数形结合，按照“定形(抛物线焦点位置)→定量(参数p 的值)”的程序求解.当堂达标训练1．若动点P 到定点F (－4,0)的距离与到直线x ＝4的距离相等，则P 点的轨迹是( ) A ．抛物线 B ．线段 C ．直线 D ．射线 【解析】 动点P 的条件满足抛物线的定义． 【答案】 A2．抛物线x 2＝－16y 的焦点坐标是( ) A ．(0，－4) B ．(0,4) C ．(4,0) D ．(－4,0)【解析】 p 2＝4，焦点在y 轴上，开口向下，焦点坐标应为(0，－p2)，即(0，－4)．【答案】 A3．抛物线y ＝2x 2的准线方程为________．【解析】 化方程为标准方程形式为x 2＝12y ，故p 2＝18，开口向上，∴准线方程为y ＝－18. 【答案】 y ＝－184．抛物线y 2＝－2px (p >0)上有一点M 的横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求此抛物线方程和M 点的坐标．解 设焦点为F (－p2，0)，M 点到准线的距离为d ， 则d ＝|MF |＝10， 即9＋p2＝10，∴p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝－4x . 将M (－9，y )代入抛物线的方程， 得y ＝±6.∴M 点坐标为(－9,6)或(－9，－6)． 如图2－4－2所示，图2－4－25. 水池中央有一喷泉，水管的长|O ′P |＝1 m ，水从喷头P 喷出后呈抛物线的形状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m ，点P 距抛物线的对称轴1 m ，则水池的直径至少应设计为多少米？(精确到个位)解：如图所示，建立平面直角坐标系． 设抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)． 由题意得P (－1，－1)，∴p ＝12，故抛物线的方程为x2＝－y.设B(x，－2)，则x＝2，∴|O′B|＝1＋ 2.∴水池的直径为2(1＋2)≈5(m)，即水池的直径至少应设计为5 m.。
人教版数学选修2-1抛物线及标准方程教学案
2.4.1.1抛物线及其标准方程班级姓名小组号【学习目标】1.通过教材了解抛物线的定义，准线及焦点.2.通过教学案掌握焦点在两坐标轴上的抛物线的标准方程.3.通过教师讲解会求简单的抛物线的标准方程，解决相关题目.【重点难点】重点：掌握抛物线的定义、准线及在坐标轴上的标准方程；难点：根据标准方程判断抛物线的焦点、准线的位置，以及求抛物线的标准方程.【学情分析】初中我们学习过二次函数，知道二次函数是一条抛物线，本节课我们将继续研究抛物线及它的相关知识。
我们将先通过数形结合思想根据抛物线的定义来求解它的标准方程，进而引出准线方程。
以及在选择不同的坐标系我们得到不同形式的标准方程。
【导学流程】自主学习内容一、回顾旧知：二、基础知识感知1.抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．2.准线的方程：设点M（x,y）是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d.抛物线就是集合.准线的标准方程为：22(0)y px p=>.它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是(,0)2p它的准线方程是2px=-.3抛物线标准方程的四种形式：根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式22y px=，22y px=-，22x py=，22x py=-(0)p>。
三、探究问题:【例1】已知抛物线的标准方程是y²=6x，求它的焦点坐标和准线方程。
【例2】2．以双曲线91622yx-=1的中心为顶点，左顶点为焦点的抛物线方程是（）A.216y x=- B.216y x= C.28y x=- D.28y x=四、基础知识拓展与迁移抛物线还有哪些不同的形式？}|||{dMFMP==1 / 4请及时记录自主学习过程中的疑难：小组讨论问题预设:已知抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M-，求它的标准方程。
【人教A版高中数学选修2-1教案】《2.4.1抛物线及其标准方程(二)》教案
课型：新授课上课时间：年月日星期____
教
学
目
标
1.知识与技能
(1)能正确运用抛物线的定义与标准方程解题；
(2)学会用待定系数法与定义法求曲线的方程。
2.过程与方法
通过对旧知识的复习和归定义法求曲线的方程。
（1）焦点坐标是F（－5，0）
（2）经过点A（2，－3）
分析：抛物线的标准方程中只有一个参数p，因此，只要确定了抛物线属于哪类标准形式，再求出p值就可以写出其方程，但要注意两解的情况
解：（1）焦点在x轴负半轴上， ＝5，
所以所求抛物线的标准议程是 ．
（2）经过点A（2，－3）的抛物线可能有两种标准形式：y2＝2px或x2＝－2py．
点A（2，－3）坐标代入，即9＝4p，得2p＝
点A（2，－3）坐标代入x2＝－2py，即4＝6p，得2p＝
∴所求抛物线的标准方程是 或x2＝－ y
补充练习：
1．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程
（1）y2＝8x（2）x2＝4y（3）2y2＋3x＝0（4）
2．根据下列条件写出抛物线的标准方程
（1）焦点是F（－2，0） （2）准线方程是
3.情感、态度与价值观
培养学生的动手计算、分析、归纳的能力。
教学重点
用待定系数法与定义法求抛物线的方程。
教学难点
用待定系数法与定义法求抛物线的方程。
教学方法
对比法、数形结合。
教学过程：
批注
活动一：创设情景、引入课题（5分钟）
问题1：前面两节课，说一说所学习过的内容？
1、抛物线的定义？2、抛物线方程的各种形式？
解；设抛物线的标准方程是y2=2px (p>0)。有已知条件可得，点A的坐标是（0.5，2.4）代入方程，得2.4=2p*0.5即=5.76
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2.4.1 抛物线及其标准方程
一、三维目标 （一）知识与技能
（1）掌握抛物线的定义、几何图形（2）会推导抛物线的标准方程（3）能够利用给定条件求抛物线的标准方程 （二）过程与方法
通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动，培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观。
并进一步感受坐标法及数形结合的思想。
（三）情感态度与价值观
进一步培养学生合作、交流的能力和团队精神，培养学生实事求是、善于观察、勇于探索、严密细致的科学态度；激发学生积极主动地参与数学学习活动，养成良好的学习习惯；同时通过欣赏生活中一些抛物线型建筑，不但加强了学生对抛物线的感性认识，而且使学生受到美的享受，陶冶了情操。
二、教学重点
抛物线的定义及标准方程 三、教学难点
抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导（关键是坐标系方案的选择） 四、教学过程
1.课题引入
在初中，我们学习了二次函数2
y ax bx c =++，知道二次函数的图象是一条抛物线，例如：（1）2
4y x =，（2）2
4y x =-的图象（展示两个函数图象）：
师：……那么，如果问你怎么样的曲线是抛物线，你可以回答我吗？它具有怎样的几何特征？它的方程是什么呢？这就是我们今天要研究的内容。
（板书课题：2.4.1 抛物线及其标准方程）
2.抛物线的定义
P 64 信息技术应用（课堂中几何画板演示画图过程）
先看一个实验：
如图：点F 是定点，l 是不经过点F 的定直线，H 是l 上任意一点，过点H 作MH l ⊥，线段FH 的垂直平分线m 交MH 于点M 。
拖动点H ，观察点M 的轨迹，你能发现点M 满足的几何条件吗？（学生观察画图过程，并讨论） 可以发现，点M 随着H 运动的过程中，始终有|MH|=|MF|，即点M 与定点F 和定直线l 的距离相等。
（演示）
我们把平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。
师：对于“直线l 经过点F ”的情况，我们留到习题课再讨论。
3.抛物线的标准方程
从抛物线的定义中我们知道，抛物线上的点M 满足到焦点F 的距离与到准线l 的距离相等。
那么动点M 的轨迹方程是什么，即抛物线的方程是什么呢？
要求抛物线的方程，必须先建立直角坐标系。
探讨建立平面直角坐标系的方案（演示学生最可能想到的三种建系方案）
1 2 3
方案（一） 方案（二） 方案（三）
问题：哪种方案的方程更简单呢？
按照方案三的建系方式推导抛物线方程……直接演示方案一和二对应的方程，由学生观察对比得出方案三的方程最简单，方案一二的方程推导可以留作课后思考问题。
1 2 3
2
2
2(0)y px p p =-> 2
2
2(0)y px p p =+> 2
2(0)y px p =>
2.若出现比较复杂建系方案，可以以引入的字母参数较多为由，先排除计算
3.强调P 的意义。
4.教师说明曲线方程与方程的曲线：从上述过程可以看到，抛物线上任意一点的坐标都满足方程，以方程的解(),x y 为坐标的点到抛物线的焦点的距离与到准线的距离相等，即方程的解为坐标的点都在抛物线上。
所以这些方程都是抛物线的方程
（选择标准方程）
师：我们把方程2
2(0)y px p =>叫做抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点坐标是
,02p ⎛⎫
⎪
⎝⎭
，准线方程是2p x =-。
（演示） 师：上面我们主要研究了抛物线开口向右的情况，那么如果它的开口方向是向左、向上或者
向下，其对应的方程又如何了呢？
（演示下列表格的第一列和第一行）
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
)
0(22
>=p px y
)0,2
(p 2
p x -
=
)
0(22>-=p px y
)0,2
(p -
2
p x =
)
0(22>=p py x
)2
,0(p
2
p y -
=
)
0(22>-=p py x
)2
,0(p -
2
p y =
（学生完成第二行，教师巡视个别辅导。
类比椭圆第二种标准方程的推导完成第三和第四行。
）
对表格的说明：统观四种情况（学生记忆） （1）(0)p p >表示焦点F 到准线l 的距离；
（2）抛物线标准方程，左边为二次，右边为一次。
若一次项是x ，则对称轴为x 轴，焦点
在x 轴上；若一次项是y ，则对称轴为y 轴，焦点在y 轴上；（对称轴看一次项） （3）标准方程中一次项前面的系数为正数，则开口方向坐标轴正方向；若一次项前面的
系数为负数，则开口方向为坐标轴负方向；（符号决定开口方向） 4.例题讲解
例1（1）已知抛物线的标准方程是2
6y x =，求它的焦点坐标和准线方程 （2）已知抛物线的焦点是()0,2F -，求它的标准方程。
分析（1）先看清一次项，判定对称轴与焦点所在位置，画草图，再求出p 的值得到焦点坐标和准线方程。
（2）先判定出焦点在y 轴上，从而得到一次项为y ，再求出p 的值进而写出方程。
解：（1）因为3p =，所以抛物线的焦点坐标为3
,02⎛⎫ ⎪⎝⎭
，准线方程为32
x =- （2）因为抛物线的焦点在y 轴上，所以抛物线方程为2
8x y =-。
随堂练习1
P 67练习1
1 根据下列条件写出抛物线的标准方程： (1)焦点是()30F ， （2）准线方程是1
4
x =-
（3）焦点到准线的距离是2
随堂练习2P
67练习2 （时间有多于则完成）
5.课堂小结
让学生回忆并小结、提炼本节课学习内容： 1、抛物线的定义
2、抛物线的标准方程有四种不同的形式
3、p 的几何意义是: 焦点到准线的距离
4、标准方程中p 前面的正负号决定抛物线的开口方向． 6.作业布置
（1）必做题 P 73 A 组1，2，3
（2）选做题 P 74 B 组1
7.
五、后记。