最新版华师版九年级上册数学全册教案

华师版九年级上册全册教案

第21章二次根式

21.1 二次根式

教学目标：

知识与技能：

1、了解二次根式的概念、

2、掌握二次根式的基本性质。

过程与方法：经历观察、比较、总结二次根式的定义，培养学生的归纳能力。

情感、态度与价值观：经历观察、比较、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体验发现的快乐，并提高应用意识。

教学过程

一、提出问题

上一节我们学习了平方根和算术平方根的意义，引进了一个新的记号a，现在请同学们思考并回答下面两个问题：

1、a表示什么?

2、a需要满足什么条件?为什么?

二、合作交流，解决问题

让学生合作交流，然后回答问题(可以补充)，归纳为；

1、当a是正数时，a表示a的算术平方根，即正数a的两个平方根中的一个正数；

2、当a是零时，a表示零，也叫零的算术平方根；

3、a≥0，因为任何一个有理数的平方都大于或等于零、

三、归纳特点，引入二次根式概念

1、基本性质、

问题1 你能用一句话概括以上3个结论吗?

让一个学生回答、其他学生补充，概括为：a(a≥0)表示非负数a 的算术平方根，也就是说，a(a≥0)是一个非负数，即a≥0(a≥0)。

问题2 (a)2(a≥0)等于什么?说说你的理由并举例验证。

让学生小组讨论或自主探索得出结论：(a)2=a(a≥0)，如(4)2=4，(2)2=2等、

以上两个问题的结论就是基本性质，特别是(a)2=a(a≥0)可以当公式使用，直接应用于计算。反过来，把(a)2＝a(a≥0)写成a=(a)2(a ≥0)的形式，这说明：任何一个非负数a都可以写成一个数的平方的形式、例如：3=(3)2，0.3= (0.3)2

提问：

(1)0=(0)2对不对?

(2)－5=(－5)2对不对?如果不对，错在哪里?

2、二次根式概念

形如a(a≥0)的式子叫做二次根式、

说明:二次根式必须具备以下特点；

(1)有二次根号；

(2)被开方数不能小于0。

让学生举出二次根式的几个例子，并判断－5，a(a<0)、3a、－a(a

四、范例

例1、要使式子x－1有意义，字母x的取值必须满足什么条件?

提问：

若将式子x－1改为1－x，则字母x的取值必须满足什么条件?

五、课堂练习

Pl0页练习1、2、

六、思考提高

我们已经研究了(a)2(a≥0)等于a，现在研究a2等于什么、

提问：

1、对于抽象问题的研究，常常采用什么策略?

2、在a2中，a的取值有没有限制?

3、取一些数值来验证。通过验证，你能发现什么规律？

因此，今后我们遇到a2时，可先改写成a的绝对值｜a｜，再按照a取正数值，0还是负数值来取值、例如当x<0时，16x2＝｜4x｜＝－4x

4、(a)2与a2是一样的吗?说说你的理由，并与同学交流。

七、小结

1、什么叫做二次根式?你们能举出几个例子吗?

2、二次根式有哪两个形式上的特点?

3、二次根式有哪些性质?

八、作业

习题22.1第1、2、3、4题、

教学反思：通过本节的学习学生认识了二次根式的概念，但是对二次根式的判断和应用还有待多做题才能使知识掌握跟牢固。

第一课时二次根式的乘除法

教学目标：

知识与技能：使学生掌握二次根式的乘法运算法则，会用它进行简单的二次根式的乘法运算。

过程与方法：使学生掌握积的算术平方根的性质、会根据这一性质熟练地化简二次根式.

情感态度与价值观：培养学生合情推理能力。

教学过程：

一、复习提问

1、什么叫做二次根式?下列式子哪些是二次根式，哪些不是二次根式? 160 －130 327 a

2、二次根式有哪些性质?计算下列各题：

(0.5)2 144 (7)2 (－5)2

二、提出问题，导入新知

1、试一试

计算： (1) 4×25＝( )＝( )

4×25=( )=( )

(2) 16×9=( )=( )

16×9=( )=( )

提问：观察以上计算结果，你能发现什么?

2、思考

2×3与2×3是否相等?

提问：(1)你将用什么方法计算?

(2)通过计算，你发现了什么?是否与前面试一试的结果一样?

3、概括

让学生观察以上计算结果、归纳得出结论：a×b=a×b(a≥0，b ≥0)

注意，a，b必须都是非负数，上式才能成立。

三、举例应用

例1、计算。

7×6 12)×32

说明：二次根式运算的结果，应该尽量化简、如(2)结果不要写成16，而应化简成4。

等式a×b=a×b(a≥0，b≥0)，也可以写成ab＝a×b(a≥0，b≥0)

利用它可以进行二次根式的化简，例如：a4b=a4×b=(a2)2b=a2b 例2、化简

12 4a3

说明：(1)如果一个二次根式的被开方数中有的因式(或因数)能开得尽方，可以利用积的算术平方根的性质，将这些因式(或因数)开出来，

从而将二次根式化简；(2)在化简时，一般先将被开方数进行因式分解或因数分解，然后就将能开得尽方的因式(偶次方因式)或因数用它们的算术平方根代替，移到根号外，也就是开出方来。

四、课堂练习

1、计算下列各式，将所得结果化简：

3×6 3a×15a

2、P12页练习1(1)、(2)、2

五、想一想

1、a×b×c与a·b·c是否相等?a、b、c有什么限制?请举一个例子加以说明。

2、a·b·c等于a×b×c 吗?

3、化简： 4a4bc4

六、小结

这节课我们学习了以下知识：

1、二次根式的乘法运算法则，即a×b＝a·b (a≥0，b≥0)

2、积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积，即a·b ＝a×b (a≥0，b≥0)……)

要特别注意，以上(1)、(2)中，a、b必须都是非负数，如果a、b中出现了负数，等式就不成立、想一想，(－4)×(－9)＝－4×－9成立吗?为什么?

3、应用(1)、(2)进行计算和化简，在计算和化简中，复习了性质a2＝a(a≥ 0)，加深了对非负数a的算术平方根的性质的认识、

七、作业

习题22.2第2、(1)，(2)题，第3、(1)、(2)题、第4题

教学反思：本节主要要掌握二次根式的乘除法的计算，在这里就会出现最简二次根式，要求学生掌握最简二次根式的划法和运用。

第二课时二次根式的乘除法

教学目标：

1、使学生掌握二次根式的除法运算法则，会用它进行简单的二次根式的除法运算。

2、使学生了解两个二次根式的商仍然是一个二次根式或有理式。

3、使学生会将分母中含有一个二次根式的式子进行分母有理化。 4。经历探索二次根式的除法运算法则过程，培养学生的探究精神和合作交流的习惯。

教学过程：

一、创设问题情境

问题l 上一节课，我们采取什么方法来研究二次根式的乘法法则?

问题2 是否也有二次根式的除法法则呢?

问题3 两个二次根式相除，怎样进行呢?

二、加强合作，探索规律

让抽象的问题具体化，这是我们研究抽象问题的一个重要方法、请同学们参考二次根式的乘法法则的研究，分组讨论两个二次根式相除，

会有什么结论，并提出你的见解，然后其他小组同学补充，归纳为：

b

a ＝

b

a

提问：

1、a 和b 有没有限制?如果有限制，其取值范围是什么?

2、

b a ＝b

a

(a ≥0，b>0)成立吗?为什么?请举例。 三、范例 例1、计算。

3

15

3

24

教学要求：(1)对于(1)可由教师解答示范；(2)对于(2)可由学生自己计算。 提问：

1、除了课本中的解答外，是否还有其他解法?如果有，请给出另外解法。

2、哪种方法更简便? 例2、化简

2

1：(要求分母不带根号)

说明：二次根式的化简要求满足以下两条：

(1)被开方数的因数是整数，因式是整式，也就是说“被开方数不含分母”。

(2)被开方数中不含能开得尽的因数或因式，也就是说“被开方数的每一个因数或因式的指数都小于2”。

把一个二次根式化简的具体方法是：化去根号下的分母；并把被开方数中能开得尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外面。 四、做一做 化简：

5

1

20

8

教学要点：(1)叫两位同学板演，其他同学做完练习进行评价、(2)可用提问的方式引导学生探索其他解法。 五、课堂练习 P12 练习1、(3)、(4) 六、小结

本节课，我们学习了二次根式的除法法则，即

b

a ＝

b

a

(a ≥0，b>0)，并利用它进行计算和化简。化简要做到“被开方数不含分母”和“被开方数的每一个因数或因式的指数都小于2”。具体办法是：化去根号下的分母；并把被开方数中能开得尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外面、化简的具体方法可用于计算。 七、作业

P14页习题22.2 2(3)、3(3)

二次根式的加减法

教学目标

1、使学生知道什么是同类二次根式，会辨别两个根式是否同类二次

根式．

2、使学生会通过合并同类二次根式，进行二次根式的加法与减法运算．

3、使学生通过二次根式的加减，进一步了解归类的思想方法．

教学过程

一、创设问题情境

1、化简：

18 27 12 8

2．试一试计算：

33－23 3a＋2a

二、做一做

1．观察以上两道计算题，你联想到什么?

让学生类比、联想，讨论、交流，然后举手回答，老师归纳，评价．

2．你能试着解决它吗?

让学生动手计算，鼓励学生加强合作，同桌，上下桌同学可以互相交流，并请两位同学上台板演，教师进行讲评．

上面两个例子表明．遇到两个二次根式相加(或加减)时，我们希望利用分配律．这里利用分配律的实质是要求这两个二次根式的被开方数相同．这种类似的情况我们过去也遇到过：将两个单项式相加，如果想利用分配律的话，那就应当要求两个单项式除了系数以外，其余部分完全相同．这就启发我们，类似在整式的加减中依靠“同类项”

那样，能不能在二次根式的加减中，也依靠一种“同类二次根式”呢? 3．同类二次根式

像33和－23，3a和2a这样的两个二次根式，称为同类二次根式．

说明：(1)被开方数相同．问：3·5与315是不是同类二次根式?

(2)二次根式不能再化简．

(3)与二次根式的系数无关．

(4)你还能说出几个与33同类的二次根式吗?

三、举例与应用

二次根式的加减，与整式的加减相类似，只需对同类二次根式进行合并．

例1：计算32＋3－22－33

例2．计算8＋18＋12

提问：

1．这里三个加项中有同类二次根式吗?

2．能否将它们化简?

化简情况详见上面，可以发现，有些二次根式是同类二次根式，而有些不是，将同类二次根式合并，就可以得到最后的结果。

小结：先化简，再合并同类二次根式。

例3．计算：

（1）50＋32 （2）27－23＋45

让学生试试看，完成例3的计算．

四、课堂练习

P14页练习1、2；思考：P14页打开计算黑盒。 五、小结

这节课，我们学习了同类二次根式概念，同类二次根式必须满足两个条件：(1)它们都是最简二次根式，(2)它们被开方数必须完全相同．同时，我们还学习了二次根式的加法与减法运算。通过运算我们知道，二次根式相加减的实质就是合并同类二次根式。为了确认哪些二次根式是同类二次根式，我们先要把被确认的二次根式都化成最简二次根式，再按它们的被开方数是否完全相同去判断． 六、作业

习题22.3 3（4）（5）

教学反思：掌握二次根式加减法的运算率，能够将二次根式划为最简二次根式，注意在运算顺序中的运算符号。

22.1 一元二次方程

教学目标：

1、知道一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次方程整理成一般

形式（≠0）

2、在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。

3、会用试验的方法估计一元二次方程的解。

02

=++c bx ax a

重点难点：

1．一元二次方程的意义及一般形式，会正确识别一般式中的“项”及“系数”。

2．理解用试验的方法估计一元二次方程的解的合理性。

教学过程：

一、做一做：

1．问题一绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？

分析：设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程

x(x＋10)＝900

整理可得 x2＋10x－900=0. （1）

2．问题2

学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.

解：设这两年的年平均增长率为x，我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1＋x）万册；同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1＋x）倍，即5（1＋x）(1＋x)＝5(1＋x)2万册.可列得方程

5（1＋x）2=7.2,

整理可得 5x2＋10x－2.2=0. （2）3．思考、讨论

这样，问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？

（ 学生分组讨论，然后各组交流 ）共同特点： （1） 都是整式方程 （2） 只含有一个未知数 （3） 未知数的最高次数是2 二、 一元二次方程的概念

上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程）.通常可写成如下的一般形式：

ax 2

＋bx ＋c ＝0(a 、b 、c 是已知数，a ≠0)。 其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项，叫做一次项系数，叫做常数项。.

三、 例题讲解与练习巩固

1．例1下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。

（1） （2）

（3） （4）

2．例2 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：

1） 2）（x-2）(x+3)=8 3）

说明： 一元二次方程的一般形式（≠0）具有两个

特征：一是方程的右边为0；二是左边的二次项系数不能为0。此外要使学生意识到：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数

2

ax a

bx b c 3523-=+x x 42

=x 2112

x x x =-+-2

2)2(4+=-x x y y =262

)2()43)(3(+=-+x x x 02

=++c bx ax a

项都是包括符号的。

3．例3 方程（2a —4）x 2 —2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？ 本题先由同学讨论，再由教师归纳。

解：当≠2时是一元二次方程；当＝2，≠0时是一元一次方程； 4．例4 已知关于x 的一元二次方程(m-1)x 2+3x-5m+4=0有一根为2，求m 。

分析：一根为2即x=2,只需把x=2代入原方程。

5．练习一 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项

2x(x-1)=3(x-5)-4

练习二 关于的方程

，在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一元一次方程？ 本课小结：

1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式为（≠0），一元二次方程

的项及系数都是根据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的。

3、在实际问题转化为数学模型（ 一元二次方程 ） 的过程中，体会

a a

b x x 3222

-=()()()()231122

2-+=+--y y y y x 0)3(2

=++-m nx x m 02

=++c bx ax a

学习一元二次方程的必要性和重要性。 布置作业：课本习题23.1 1、2、3

22.2一元二次方程的解法 第一课时 一元二次方程的解法 （直接开平方法和因式分解）

教学目标：

1、会用直接开平方法解形如

（a ≠0,ab ≥0）的方程； 2、灵活应用因式分解法解一元二次方程。

3、使学生了解转化的思想在解方程中的应用，渗透换远方法。 重点难点：

合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程，理解一元二次方程无实根的解题过程。 教学过程： 问：怎样解方程的？

让学生说出作业中的解法，教师板书。 解：1、直接开平方，得x+1=±16 所以原方程的解是x1＝15，x2＝－17 2、原方程可变形为

方程左边分解因式，得 （x+1+16）(x+1－16)=0

b k x a =-2

)(()

2

1256

x +=()

2

12560

x +-=

即可（x+17）(x －15)=0 所以x ＋17=0，x －15=0 原方程的蟹 x1＝15，x2＝－17 二、例题讲解与练习巩固 1、例1 解下列方程

（1）（x ＋1）2－4＝0； （2）12（2－x ）2－9＝0.

分 析 两个方程都可以转化为

（a ≠0,ab ≥0） 的形式，从而用直接开平方法求解. 解 （1）原方程可以变形为 （x ＋1）2＝4， 直接开平方，得 x ＋1＝±2.

所以原方程的解是 x1＝1，x2＝－3. 原方程可以变形为

________________________，

有 ________________________.

所以原方程的解是 x1＝________，x2＝_________.

2、说明：（1）这时，只要把看作一个整体，就可以转化为（≥0）型的方法去解决，这里体现了整体思想。

3、练习一 解下列方程：

（1）（x ＋2）2－16＝0； （2）(x －1)2－18＝0；

b k x a =-2

)()1(+x b

x =2

b

（3）(1－3x)2＝1； （4）(2x ＋3)2－25＝0.

三、读一读

四、讨论、探索：解下列方程

（1）(x+2)2=3(x+2) （2）2y(y-3)=9-3y （3）( x-2)2 — x+2 =0

（4）(2x+1)2=(x-1)2 （5）。

本课小结：

1、对于形如

（a ≠0,a ≥0）的方程，只要把看作一个整体，就可转化为（n ≥0）的形式用直接开平方法解。

2、当方程出现相同因式（单项式或多项式）时，切不可约去相同因式，而应用因式分解法解。

布置作业：课本第37页习题1（5、6）、P38页习题2（1、2）

第二课时 一元二次方程的解法（配方法）

教学目标：

1、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程．

2、使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程。 3．在配方法的应用过程中体会 “转化”的思想，掌握一些转化的技能。 重点难点：

使学生掌握配方法，解一元二次方程。

49122

=+-x x b k x a =-2

)(b )(k x -n x =2

把一元二次方程转化为

教学过程： 一、复习提问

解下列方程，并说明解法的依据： （1） （2） （3）

通过复习提问，指出这三个方程都可以转化为以下两个类型：

根据平方根的意义，均可用“直接开平方法”来解，如果b < 0，方程就没有实数解。 如

请说出完全平方公式。

。

二、引入新课

我们知道，形如的方程，可变形为，再根据

平方根的意义，用直接开平方法求解．那么，我们能否将形如

的一类方程，化为上述形式求解呢？这正是我们这节课要

解决的问题． 三、探索：

1、例1、解下列方程：

＋2x ＝5； （2）－4x ＋3＝0.

q p x =+2

)(2

321x

-=()

2

160

x +-=()

2

210

x --=()()()

2

200x b b x a b b =≥-=≥和()

2

12

x -=-()()2

22

2

2222x a x ax a x a x ax a +=++-=-+02

=-A x )0(2≥=A A x 20x bx c ++=2x 2x

思 考

能否经过适当变形，将它们转化为 = a 的形式，应用直接开方法求解？

解（1）原方程化为＋2x ＋1＝6， （方程两边同时加上1） _____________________, _____________________, _____________________.

（2）原方程化为－4x ＋4＝－3＋4 （方程两边同时加上4） _____________________, _____________________, _____________________. 三、归 纳

上面，我们把方程－4x ＋3＝0变形为＝1，它的左边是一个

含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 注意到第一步在方程两边同时加上了一个数后，左边可以用完全平方公式从而转化为用直接开平方法求解。

那么，在方程两边同时加上的这个数有什么规律呢？ 四、试一试：对下列各式进行配方：

；

；

；

(

)2

2

x 2

x 2x ()2

2x -22_____)(_____8+=+x x x 22

10_____(_____)x x x -=+22_____)(______5-=+-x x x 229______(_____)x x x -+=-22_____)(_____23

-=+-

x x x 22

______(_____)x bx x ++=+