投资学(高级教程)(07)-单指数与多因素模型.

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因素模型

因素模型杨长汉1证券资产价格的决定因素是多种多样的，西方学者在研究中采取了多种多样的方法去探讨证券价格的决定因素。

最主要的两种模型就是单因素模型和多因素模型。

一、单因素模型(Single-Index Model)夏普(William Sharp)于1963年建立了单因素模型2。

单因素模型是指证劵价格的影响因素只有一个，而如果有两个或两个以上的因素，则称为多因素模型。

单因素模型的基本思想是：当市场指数上升时，市场中大部分证券资产的价格就会上涨；相反，当市场指数下降时，市场中大部分证券资产的价格就会下降。

单因素模型中有以下两个基本假设条件：第一，证券的风险分为系统性风险和非系统性风险，而这里所讲的因素仅指系统性风险。

第二，一个证券的非系统性风险与其他证券的非系统性风险之间的相关系数为零，两种证券之间的相关性仅取决于共同的市场因素。

在单因素模型中，主要有两个基本因素会造成证券收益率的波动：一是宏观经济环境因素，比如GDP 增长率、利率、通货膨胀率等，这些因素的变化会引起证券市场中所有证券收益率的变化，相对于市场中的系统性风险；二是微观因素的影响，如公司的财务状况、公司的经营状况以及突发事件等，这些因素的变化只会引起个别证券收益率的变化，相当于市场中的非系统性风险，可以通过多样化的投资组合进行分散。

我们以股票的收益率和股价指数的收益率为例，可以得到如下单因素模型公式： it it i mt it r A R βξ=++这一公式揭示了股票的收益率与市场指数收益率之间的关系。

其中，it r 为t 时期证券i 的收益率，mt R 为t 时期市场指数的收益率，i β为斜率，表明股票收益率波动对市场指数波动的反应程度，代表两者的相关关系，it A 是截距项，反映市场指数为零时股票收益率的大1 文章出处：《中国企业年金投资运营研究》杨长汉著杨长汉，笔名杨老金。

师从著名金融证券学者贺强教授，中央财经大学MBA 教育中心教师、金融学博士。

八章单指数模型与多因数模型

E(ri)–rf=α i+i[E(M)–rf]
则有：E(ri)–=α i+rf + i[E(M)–rf]
与CAPM模型相比较，可见，CAPM模型是所有股票阿尔
法的期望值为零的取期望的单指数模型。
第二节
多因素模型
一、两因素模型
二、多因素模型
一、两因素模型
（一）双因素模型（Two-Factor Models）
a j b j1 f1 b j 2 f 2 e j )
二、多因素模型
多因素模型认为，证券i 的收益率取决于K个因素，其表达式为：
rit ai bi1Fit bi 2 F2t bik Fkt it
性质：预期回报率方差 i2
k
ri ai bij F j
2 M
上式所以成立，是因为由于α I是常数，它与所有变量的斜方差都是零，且由于公司特有的非系统风险独立于系统风险，因此：可推导出： Cov(ei，RM)=0 i= Cov(Ri，RM)/σ
2 M
在推导CAPM模型中，也有i= Cov(Ri，RM)/σ
2
M成立，
即单指数模型与CAPM模型的贝塔含义是相同的。因此， CAPM模型是单指数模型的一个特例，对Ri=α i+iRM+ei两边取期望，有
i 5.411.14 7.24 2.82
因此，单指数模型为：RGM-rf=-2.82+1.14（RM-rf）
e
2 e
2 i
300.644 2.82 7.181.14137.36 124.364
2
S 124.364/(12 2) 12.44
方法二解析【见EXCEL】

投资学7.因素模型

模型建立与检验
模型选择与构建
基于投资学理论和实证研究，选择合适的模型进行构建，如多因子模型、机器学习模型等。
模型参数估计
采用适当的估计方法对模型参数进行估计，如最小二乘法、最大似然法等。
模型检验与评估
对模型进行各种检验和评估，如拟合优度检验、预测能力评估等，以确保模型的可靠性和有效性。
结果分析与讨论
投资学7.因素模型
目录
• 引言 • 7因素模型介绍 • 7因素模型的实证分析 • 7因素模型的应用 • 7因素模型的局限性 • 未来研究方向
01
引言
投资学概述
投资学是研究如何将资金进行合理配置以实现预期收益的学科。它涉及到金融市场的运作、资产定价、风险管理等多个方面。
投资学的主要目标是帮助投资者做出明智的决策，以实现财富的保值和增值。
账面市值比风险因素
总结词
账面市值比风险是指由于公司账面市值比大小对投资收益的影响。
详细描述
账面市值比是指公司账面价值与市值之间的比例。账面市值比的大小反映了公司资产与市场价值之间的关系。如果账面市值比较高，说明公司的资产价值高于市场价值，可能存在资产质量不佳、市场前景不明朗等问题，因此风险较大。反之，如果账面市值比较低，说明公司的资产价值低于市场价值，可能存在资产质量良好、市场前景明朗等问题，因此风险较小。
05
7因素模型的局限性
数据获取的局限性
7因素模型需要大量的历史数据来计算各因素的权重，但在某些情况下，可能无法获取足够的数据或者数据质量不高，这会影响模型的准确性和可靠性。
VS
对于新兴市场或小规模公司，其历史数据可能较少，这使得7因素模型的适用性受到限制。

投资学单因素模型

2018-5-14
对外经济贸易大学金融学院《投资学》
4
3. 证券市场线只考虑了由风险市场组合的预期收益率对证券或证券组合预期收益率的影响，即把市场风险全部集中的体现在一个因素里，而影响总体市场环境变化的宏观因素很多。
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对外经济贸易大学金融学院《投资学》
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威廉.夏普（Sharpe）继马科维兹之后于1963年提出了
E (ri ) rf ( E (rM ) rf ) iM
E (ri ) i i E ( F )
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对外经济贸易大学金融学院《投资学》
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CAPM 可视为一个特殊的单因素模型或特殊的市场模型，在那里的市场组合收益率 rM实质上就是一个单因素。以市场组合的收益率的风险补偿来作为宏观经济指数，于是有： ri－rf ＝αi ＋bi（rm－rf ）＋εi 或者Ri =αi+bi*Rm+εi （实际上这是证券i对市场组合收益的回归方程，其回归直线就是证券i的特征线）
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对外经济贸易大学金融学院《投资学》
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二、市场模型(Market Model)
在实际应用过程中常用市场指数来作为影
响证券价格的单因素，此时的单因素模型被称为市场模型。市场模型实际上是单因素模型的一个特例。
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对外经济贸易大学金融学院《投资学》
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假设一种股票在某一特定时期内的收益率与同一时期市场
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双因素模型的主要特征
1. 跟单因素模型一样，一旦利用前面那些方程计算
出预期回报率、方差和协方差后，投资者便可以使用最优化来导出弯曲的马氏有效集。继而，对于一个给定的无风险利率，可以确定出切点组合，在此基础上，投资者可以确定他的最佳组合。此时，计算方差-协方差矩阵需要估计多少参数？ 2.分散化对于一个充分分散化的组合，非因素风险将变得不显著。同单因素模型一样，在双因素模型中，一个组合对某一因素的敏感性是对所含证券的敏感性的加权平均，权数为投资于各证券的比例

053单指数与多因素模型4

3
3-4
单因素模型
进一步的，考虑不同企业对宏观经济事件有不同的敏感度，记证券i对宏观经济事件的敏感度为 i，则证券i的宏观成分 i mi，并有：ri E (ri ) i m ei 此即单因素模型 (single factormodel)
2 并有： i2 i2 m 2 (ei ) 2 Cov(r ,r ) Cov ( m e , m e ) i j i i j j i j m
13
3-14 表
Excel Output: Regression Statistics for the SCL of HewlettPackard
14
3-15
3 投资组合的构建与单指数模型
单指数模型的输入列表
标普500的风险溢价标普500组合的标准差估计 n组估计值： - 系数
11
3-12
图 Excess Returns on HP and S&P 500 April 2001 – March 2006
12
3-13
图 Scatter Diagram of HP, the S&P 500, and the Security Characteristic Line (SCL) for HP
- 残差
- 值
15
3-16
单指数模型的最优风险投资组合
最大化夏普比率：
E ( RP ) P E ( RM ) P wi i E ( RM ) wi i
i 1 i 1 2 n 1 n 1 2 2 2 2 2 2 P P M (eP ) M wi i wi (ei ) i 1 i 1 E ( RP ) SP 1 2 1 2 n 1 n 1

指数模型

双因素模型的主要特征
1.跟单因素模型一样 1. 跟单因素模型一样，跟单因素模型一样，一旦利用双因素模型计算出预期回报率、回报率、方差和协方差后，方差和协方差后，投资者便可以使用最优化来导出弯曲的马氏有效集。导出弯曲的马氏有效集。继而，继而，对于一个给定的无风险利率，利率，可以确定出切点组合，可以确定出切点组合，在此基础上，在此基础上，投资者可以确定他的最佳组合。确定他的最佳组合。参数估计将极大简化。参数估计将极大简化。 2. 对于一个充分分散化的组合，对于一个充分分散化的组合，非因素风险将变得不显著。 3。在两因素模型中，在两因素模型中，一个组合对某一因素的敏感性是对所含证券的敏感性的加权平均，所含证券的敏感性的加权平均，权数为投资于各证券的比例
假设投资组合中包含对无风险资产的投资，投资比例如下：证券比例因素敏感性非因素风险 rf 0.1 0 A 0.36 0.2 49 B 0.54 3。5 100 如果因素的标准差为15%，组合的因素风险为多少？组合的非因素风险为多少？组合的标准差为多少？
第二节、多因素模型多因素模型
经济状况影响着大部分企业，经济状况影响着大部分企业，因而对经济前景的预期的变化被认为对绝大部分证券的收益率产生深刻影响。产生深刻影响。然而经济并不是一个简单、然而经济并不是一个简单、统一的实体，一的实体，因而我们需要确认一些具有广泛作用的共同影响力，用的共同影响力，比如：比如： 1.国内生产总值 1. 国内生产总值；国内生产总值； 2. 利率水平；利率水平；3.通货膨胀率 3.通货膨胀率； 4.石油价格水平。通货膨胀率；4.石油价格水平石油价格水平。

单因素模型与多因素模型

3-4
因素模型的产生
因素模型中的因素常以指数形式出现（如GNP指数、股价指数、物价指数等）, 所以又称为指数模型。单因素模型相对CAPM是为了解决两个问题，一是提供一种简化地应用CAPM的方式；二是细分影响总体市场环境变化的宏观因素，如国民收入、通胀率、利率、能源价格等具体带来风险的因素模型
3-1
因素模型
3-2
单因素（SIM）模型
单指数模型的估计单指数模型的一般形式
单指数模型中的系统风险与非系统风险
3-3
因素模型的产生
因素模型由威廉.夏普在1963年提出.它是是描述证券收益率生成过程的一种模型，建立在证券关联性基础上。认为证券间的关联性是由于某些共同因素的作用所致，不同证券对这些共同的因素有不同的敏感度。这些对所有证券的共同因素就是系统性风险。因素模型正是抓住了对这些系统影响对证券收益的影响，并用一种线性关系来表示。
年
1 2 3 4 5 6
GDP增长率（%）
5.7 6.4 7.9 7.0 5.1 2.9
证券收益率（%）
14.3 19.2 23.4 15.6 9.2 13.0
3-7
单指数模型的估计（图）
这一关系也可用下面的图形表示
3-8
单指数模型的估计（表达式）
为了阐明图中所反映的数量关系，我们使用一元回归分析的统计技术做一条直线来拟合图中的点。那么，图中这条直线的回归方程则为Ri=4%+2GDP
3-29
结论（β的关系）虽然从严格意义上讲，资本资产定价模型中的β 值和市场模型中的β 值是有区别的，但是在实际操作中，由于我们不能确切知道市场组合的构成，所以一般用市场指数来代替，因此我们可以用市场模型中测算的β 值来代替资本资产定价模型中的β 值。

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(7.14)
将式(7.14)代入式(7. 11)，得：
n R R n 2 R R i i f j f j 2 2 yi 2 [ m /( 1 i 1,2,, n j m 2 )] 2 ei i ej j 1 j 1 ej
(7.15)
用
2 C* m j 1
n
Rj Rf
2 ej
2 j 代入式(7.15)有： 2 j /(1 m 2 ) j 1 ej n
i Ri R f yi 2 [ C * ] i 1,2,, n ei i
(7.16)
标准化：
2 wi yi wi zi n n n wi 2 y i wi wi i 1 i 1 i 1
1 2 2 1 2 (e p ) ( ) (ei ) (e) 0 (n ) n i 1 n
2 n
σp 2
σ2(ep) 可分散风险 βp2σm2 系统风险 n
7.2 利用单指数模型构造最佳投资组合
利用拉格朗日乘子法确定n种证券有效组合 W=(w1,w2,…,wn)T时，有下列方程：
证券i 的收益率方差：证券i ,j的收益之间的协方差：
2 Cov(ri , rj ) Cov(i rm , j rm ) i j m

单指数模型估计
Ri SCL
Rm

单指数模型与风险分散化
Sharpe(1963)首先提出的单指数模型，从另一个角度说明了资产组合风险分散化。(William F. Sharpe.
n
(7.6)
则资产组合对市场的敏感程度为：
1 n p i n i 1
(资产组合有：
1 n 1 n p i , e p ei n i 1 n i 1
)资产组合方差为：Fra bibliotek2 2 2 2 (ep ) p p M
(7.7)
其中， βp2σm2为系统风险， σ2(ep)为非系统风险。
(7.9)
将式(7.9)代入式(7.8)，有：
2 2 Ri R f yi i2 m yi ei
或
Ri R f yi i
2 ei 2 m n
j 1,i j
2 y j i j m,
n
i 1,2,, n
y ,
j 1 j j
i 1,2,, n
的持有期收益可表示为：
ri = Ri + mi + ei (7.1) 其中，Ri 为证券持有期初的期望收益，mi为证券持有期间非预期宏观因素对证券收益的影响， ei为非预期公司特有事件的影响。 mi 和ei均具有零期望值。
由于不同企业对宏观经济因素影响由不同的敏感性，将mi分解成两个因子： mi= βiF, F为宏观因素非预测成分， βi为证券对对宏观经济事件的敏感度。
(7.12)
将其中的 i 转换为j, 即：
y
j 1 j j j 1
n
n
Rj Rf
2 ej
2 n 2 j j 2 m yj j j 1 ej j 1 n
(7.13)
求得：
y
j 1 j j j 1
n
n
Rj Rf
2 ej
2 j 2 j /(1 m ) 2 j 1 ej n
(7.10)
求 yi 得：
yi
Ri R f

2 ei
2 n i m 2 yj j, ei j1
i 1,2,, n
(7.11)
式(7.11)两边同乘以βi，并对所有i求和得：
y
i 1 i i i 1
n
n
Ri R f
2 ei
2 n i2 m i 2 y j j i 1 ei j 1 n
则 ri = Ri + βiF + ei (7.2)
式(7.2)为证券收益的单指数模型。(常用Rm代F)
股票持有期的超额收益：
ri-rf = αi + βi(rm-rf) + ei 或 Ri = αi + βiRm + ei
2 2 i2 i2 m ei
(7.3) (7.4) (7.5)
(7.17)
这就是利用单指数模型(SIM)求有效投资组合的方程。
7.3 CAPM与单指数模型
Ri R f yi i2
2 其中， yi ( )wi
j 1,i j
n
y j ij ,
i 1
n
i 1,2,, n
n
(7.8)
, ( R p wi Ri (1 wi ) R f )
i 1
在单指数模型中，有：
2 2 i2 i2 m ei 2 ij i j m
7 单指数与多因素模型
均值方差模型对组合投资收益与风险的关系及其优化给出了精确、有效的计算方法，其相关证券之间的协方差计算量较大，优化过程也比较复杂。人们希望寻找简明的方法计算、优化组合。这就是“指数模型”。
7.1 单指数模型

系统风险与公司特有风险
证券收益之间的协方差有正有负(正是因为负的协方差使组合投资的风险降低)，但相同的经济力量 (因素)通使影响公司的经营状况，如：经济周期、利率、技术进步、劳动力成本、原材料等。这些因素的变化将导致证券市场收益率相应发生变化，使证券收益之间的协方差趋向于正。如果将这些相关经济因素综合成一个宏观经济引导棒，对证券市场产生影响。除此以外，证券收益的剩余不确定性均为公司所特有。则可以把证券
A simplified model of portfolio analysis. Management Science, Jan.,1963)
n个等权重资产组合的超额收益率为
1 n 1 n 1n 1n 1n Rp wi Ri Ri (i i RM ei ) i ( i ) RM ei n i 1 n i 1 n i 1 n i 1 n i 1 i 1