(完整版)高难度压轴填空题_三角函数
高中数学三角函数专项(含答案)
高中数学三角函数专项(含答案)一、填空题1．已知函数()1sin sin 34f x x x π⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭定义域为[](),m n m n <，值域为11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则n m-的最小值是________．2．如图，在ABC 中，1cos 3BAC ∠=-，2AC =，D 是边BC 上的点，且2BD DC =，AD DC =，则AB 等于______.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，1a =，34A π=，若b c λ+有最大值，则实数λ的取值范围是_____．4．已知正方体1111ABCD A B C D -，点E 是AB 中点，点F 为1CC 的中点，点P 为棱1DD 上一点，且满足//AP 平面1D EF ，则直线AP 与EF 所成角的余弦值为_______． 5．在锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ,若2cos b a a C -=，则ac的取值范围是______．6．通信卫星与经济、军事等密切关联，它在地球静止轨道上运行，地球静止轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为km h （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球（球心为O ，半径为km r ），地球上一点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面，在点A 处放置一个仰角为θ的地面接收天线（仰角是天线对准卫星时，天线与水平面的夹角），若点A 的纬度为北纬30，则tan 3θ________．7．意大利著名画家、数学家、物理学家达芬奇在他创作《抱银貂的女子》时思考过这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的悬链线问题，连接重庆和湖南的世界第一悬索桥——矮寨大桥就采用了这种方式设计．经过计算，悬链线的函数方程为()e e cos 2x xh x -+=，并称其为双曲余弦函数．若()()cos sin cos cos sin cos h h m θθθθ+≥-对0,2πθ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则实数m 的取值范围为______．8．已知函数()2sin 16f x x πω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，其中0>ω，若()f x 在区间(4π，23π)上恰有2个零点，则ω的取值范围是____________.9．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，13AA =若M 是侧面11BCC B 内的动点，且AM MC ⊥，则1A M 的最小值为__________.10．已知直线y m =与函数3()sin (0)42f x x πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的图象相交，若自左至右的三个相邻交点．．．．A ，B ，C 满足2AB BC =，则实数m =______. 二、单选题11．已知函数()21ln e 1xf x x -⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭，a ，b ，c 分别为ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且222446,a b c ab +-=则下列不等式一定成立的是（ ） A ．()()sin cos f A f B ≤ B ．f (cos A )≤f (cos B ) C ．f (sin A )≥f (sin B )D ．f (sin A )≥f (cos B )12．已知向量a ，b 夹角为3π，向量c 满足1b c -=且 a b a c b c ++=，则下列说法正确的是（ ） A ．2b c +<B ．2a b +>C ．1b <D ．1a >13．已知,a b Z ∈，满足)98sin 50sin 50a b -︒︒=，则a b +的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．414．在ABC 中，,E F 分别是,AC AB 的中点，且32AB AC =，若BEt CF <恒成立，则t 的最小值为（ ） A ．34B ．78C ．1D ．5415．已知函数2log ,0,(),0,x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩函数()g x 满足以下三点条件：①定义域为R ；②对任意x ∈R ，有()()2g x g x π+=；③当[0,]x π∈时，()sin g x x =．则函数()()y f x g x =-在区间[4,4]ππ-上零点的个数为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．916．在ABC 中，BAC ∠的平分线交BC 于点,2,6D BD DC BC ==，则ABC ∆的面积的最大值为（ ） A ．6B ．62C ．12D ．12217．已知直线1y x =+上有两点1122(,),(,)A a b B a b ，且12a a >.已知1122,,,a b a b 满足12122||a a b b +22221122a b a b =+⋅+，若||23AB =，则这样的点A 个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．418．已知函数2()sin f x x x =⋅各项均不相等的数列{}n x 满足||(1,2,3,,)2i x i n π≤=.令*1212()([()()()())]n n F n x x x f x f x f x n N =+++⋅+++∈.给出下列三个命题：（1）存在不少于3项的数列{},n x 使得()0F n =；（2）若数列{}n x 的通项公式为*1()()2n n x n N =-∈，则(2)0F k >对k *∈N 恒成立；（3）若数列{}n x 是等差数列，则()0F n ≥对n *∈N 恒成立，其中真命题的序号是（ ）A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（2）（3）D ．（1）（2）（3）19．设函数()3sinxf x mπ=，函数()f x 的对称轴为0x x =，若存在0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围为（ ）A ．(,6)(6,)-∞-+∞B ．(,4)(4,)-∞-⋃+∞C ．(,2)(2,)-∞-+∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞20．△ABC 中，BD 是AC 边上的高，A=4π，cosB=-55，则BD AC =（ ）A ．14B ．12C ．23D ．34三、解答题21．（1）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，R 表示ABC ∆的外接圆半径. ①如图，在以O 圆心、半径为2的圆O 中，BC 和BA 是圆O 的弦，其中2BC =，45ABC ∠=︒，求弦AB 的长；②在ABC ∆中，若C ∠是钝角，求证：2224a b R +<；（2）给定三个正实数a 、b 、R ，其中b a ≤，问：a 、b 、R 满足怎样的关系时，以a 、b 为边长，R 为外接圆半径的ABC ∆不存在、存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在ABC ∆存在的情况下，用a 、b 、R 表示c .22．如图，一幅壁画的最高点A 处离地面4米，最低点B 处离地面2米.正对壁画的是一条坡度为1:2的甬道（坡度指斜坡与水平面所成角α的正切值），若从离斜坡地面1.5米的C 处观赏它.（1）若C 对墙的投影（即过C 作AB 的垂线垂足为投影）恰在线段AB （包括端点）上，求点C 离墙的水平距离的范围；（2）在（1）的条件下，当点C 离墙的水平距离为多少时，视角θ（ACB ∠）最大？ 23．如图所示，我市某居民小区拟在边长为1百米的正方形地块ABCD 上划出一个三角形地块APQ 种植草坪，两个三角形地块PAB 与QAD 种植花卉，一个三角形地块CPQ 设计成水景喷泉，四周铺设小路供居民平时休闲散步，点P 在边BC 上，点Q 在边CD 上，记PAB α∠=．（1）当4PAQ π∠=时，求花卉种植面积S 关于α的函数表达式，并求S 的最小值；（2）考虑到小区道路的整体规划，要求PB DQ PQ +=，请探究PAQ ∠是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由． 24．在直角ABC ∆中，2BAC π∠=，延长CB 至点D ，使得2CB BD =，连接AD .（1）若AC AD =，求CAD ∠的值； （2）求角D 的最大值.25．已知向量(1,0)a =，(sin 2,1)b x =--，(2sin ,1)c x =+，(1,)d k =(,)x k R ∈． （1）若[,]x ππ∈-，且()//a b c +，求x 的值； （2）对于()11,m x y =，()22,n x y =，定义12211(,)2S m n x y x y =-．解不等式1(,)2S b c >； （3）若存在x ∈R ，使得()()a b c d +⊥+，求k 的取值范围．26．已知函数2211()cos sin cos sin 22f x x x x x =+-.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）求()f x 在区间,82ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值.27．已知函数()()sin 0,2f x t x t πωϕϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，()f x 的部分图像如图所示，点()0,3N ，,02M π⎛⎫- ⎪⎝⎭，,4P t π⎛⎫⎪⎝⎭都在()f x 的图象上.（1）求()f x 的解析式；（2）当,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()33f x m --≤恒成立，求m 的取值范围.28．已知函数()cos s (3co )f x x x x =-. （1）求()f x 的最小正周期及对称中心；（2）若将函数()y f x =的图象向左平移m 个单位所得图象关于y 轴对称，求m 的最小正值.29．已知函数()2cos (sin cos )f x x x x =+，x ∈R ． （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值，并求出取得最值时的x 的值．30．已知两个不共线的向量a ，b 满足3)a =，(cos ,sin )b =θθ，R θ∈． （1）若//a b ，求角θ的值；（2）若2a b -与7a b -垂直，求||a b ＋的值；（3）当0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦时，存在两个不同的θ使得|3|||a b ma =成立，求正数m 的取值范围.【参考答案】一、填空题1．3π2．33．2⎝45．⎝⎭6．2rr h-+7．1⎡⎤⎣⎦8．742ω<<或91322ω<≤.910．1或2##2或1二、单选题 11．D 12．A 13．B 14．B 15．A 16．C 17．D 18．D 19．C 20．A 三、解答题21．（1）②证明见解析，（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）①由正弦定理知2sin sin sin AB b aR C B A===，根据题目中所给的条件可求出AB 的长；②若C ∠是钝角，则其余弦值小于零，由余弦定理得2222(2)a b c R +<<，即可证出结果；（2）根据图形进行分类讨论判断三角形的形状与两边,a b 的关系，以及与直径的大小的比较，分三类讨论即可. 【详解】（1）①解：因为1sin 22a A R ==，角A 为锐角，所以30A =︒ 因为45ABC ∠=︒，所以105C =︒由正弦定理得，2sin1054sin 75AB R =︒=︒②证明：因为C ∠是钝角，所以cos 0C <，且cos 1C ≠-所以222cos 02a b c C ab +-=<，所以2222(2)a b c R +<<， 即2224a b R +<（2）当2a R >或2a b R ==时，ABC ∆不存在当2a R b a =⎧⎨<⎩时，90A =︒，ABC ∆存在且只有一个所以c =当2a R b a <⎧⎨=⎩时，A B ∠=∠且都是锐角，sin sin 2a A B R ==时，ABC ∆存在且只有一个所以2sin c R C ==当2b a R <<时，B 总是锐角，A ∠可以是钝角，可以是锐角 所以ABC ∆存在两个当90A ∠<︒时，c =当90A ∠>︒时， c =【点睛】此题考查三角形中的几何计算，综合考查了三角形形状的判断然，三角形的外接圆等知识，综合性强，属于难题.22．（1）点C 离墙的水平距离的范围为：1~5m m ；（2）当点C 离墙的水平距离为1m 时，视角θ（ACB ∠）最大. 【解析】 【分析】（1）如图所示：设(02),BF x x CF y =≤≤=，利用平行线成比例定理，结合锐角三角函数正切的定义进行求解即可；（2）利用两角和的正切公式、结合正切的定义，求出tan θ的表达式，利用换元法、基本不等式进行求解即可.【详解】（1）如图所示：设(02),BF x x CF y =≤≤=，显然有1tan tan 2FGD α∠==，因此有 2(2)tan DFFG x FGD==+∠，由//GE DF ,可得： 1.52(2)22(2)CE CG x y DF GF x x +-=⇒=++，化简得：21y x =+，因为02x ≤≤，所以15y ≤≤，即点C 离墙的水平距离的范围为： 1~5m m ；（2）222tan tan 2tan tan()21tan tan 21x xBCF ACF y y yBCF ACF x x BCF ACF y x x y yθ-+∠+∠=∠+∠===--∠⋅∠-+-⋅,因为21y x =+，所以有12y x -=，代入上式化简得： 2222228tan 11522()5622y y y y y x x y y yθ===---+-⋅++-，因为15y ≤≤，所以有55562564y y y y+-≥⋅=（当且仅当55y y =时取等号，即1y =时，取等号），因此有0tan 2θ<≤，因此当点C 离墙的水平距离为1m 时，视角θ（ACB ∠）最大. 【点睛】本题考查两角和的正切公式的应用，考查了基本不等式的应用，考查了平行线成比例定理，考查了数学建模能力，考查了数学运算能力. 23．（1）212S sin πα=⎛⎫++ ⎪⎝⎭花卉种植面积0,4πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦]；最小值为)1000021 （2）PAQ ∠是定值，且4PAQ π∠=．【解析】 【分析】（1）根据三角函数定义及4PAQ π∠=，表示出,PB DQ ，进而求得,ABP ADQ S S ∆∆.即可用α表示出S 花卉种植面积，（2）设PAB QAD CP x CQ y αβ∠=∠===，，，，利用正切的和角公式求得()tan αβ+，由PB DQ PQ +=求得,x y 的等量关系.进而求得()tan αβ+的值，即可求得PAQ ∠的值. 【详解】（1）∵边长为1百米的正方形ABCD 中，PAB α∠=，4PAQ π∠=，∴100tan PB α=，100tan 100tan 244DQ πππαα⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴ABP ADQ S S S ∆∆+=花卉种植面积 1122AB BP AD DQ =⋅+⋅ 11100100tan 100100tan 224παα⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯- ⎪⎝⎭()5000cos sin cos ααα==+⎝⎭，其中0,4πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴当sin 214πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，即8πα=时，S)100001=．（2）设PAB QAD CP x CQ y αβ∠=∠===，，，， 则100100BP x DQ y =-=-，， 在ABP ∆中，100tan 100x α-=，在ADQ ∆中，100tan 100yβ-=， ∴()()()20000100tan tan tan 1tan tan 100x y x y xyαβαβαβ-+++==-⋅+-，∵PB DQ PQ +=，∴100100x y -+-=100200xyx y +=+， ∴()20000100100100002002tan 1100001001002200xy xyxy xy xy αβ⎛⎫-⨯+-⎪⎝⎭+===⎛⎫-⨯+- ⎪⎝⎭， ∴4παβ+=，∴PAQ ∠是定值，且4PAQ π∠=．【点睛】本题考查了三角函数定义，三角形面积求法，正弦函数的图像与性质应用，正切和角公式的应用，属于中档题. 24．（1）23CAD π∠=；（2）6π.【解析】 【分析】（1）在ABD ∆中，由正弦定理得，sin sin BD ABDα=，再结合在直角ABC ∆中，sin AB BC C =，然后求解即可；（2）由正弦定理及两角和的余弦可得()2tan tan cos 2sin 22D D αααϕ=+=+，然后结合三角函数的有界性求解即可. 【详解】解：（1）设BAD ∠=α，在ABD ∆中，由正弦定理得，sin sin BD ABDα=， 而在直角ABC ∆中，sin AB BC C =，所以sin sin sin BD BC CDα=， 因为AC AD =，所以C D =， 又因为2CB BD =，所以1sin 2α=，所以6πα=，所以23CAD π∠=；（2）设BAD ∠=α， 在ABD ∆中，由正弦定理得，sin sin BD ABDα=， 而在直角ABC ∆中，()cos cos AB BC ABC BC D α=∠=+， 所以()()cos cos cos sin sin sin sin sin BC D BC D D BD D Dαααα+-==， 因为2CB BD =，所以2sin 2sin cos cos 2sin sin D D D ααα=-， 即22sin cos sin 2tan 12sin 2cos 2D ααααα==+-，即()2tan tan cos 2sin 22D D αααϕ=++，1≤及0,2D π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，解得0tan D <≤ 所以角D 的最大值为6π. 【点睛】本题考查了正弦定理，重点考查了三角函数的有界性，属中档题. 25．（1）6π-或56π-（2）5,,66x k k k Z ππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭（3）[]5,1k ∈--【解析】 【分析】（1）由题()sin 1,1a b x +=--,由()//a b c +可得()sin 12sin x x -=-+,进而求解即可； （2）由题意得到()()()1,sin 22sin sin 2S b c x x x =-++=,进而求解即可； （3）由()()a b c d +⊥+可得()()0a b c d +⋅+=,整理可得k 关于x 的函数,进而求解即可 【详解】（1）由题,()sin 1,1a b x +=--,因为()//a b c +,所以()sin 12sin x x -=-+,则1sin 2x =-,因为[,]x ππ∈-,所以6x π=-或65x π=-（2）由题,()()()1,sin 22sin sin 2S b c x x x =-++=, 因为1(,)2S b c >,所以1sin 2x >, 当[]0,x π∈时,566x ππ<<, 因为sin y x =是以π为最小正周期的周期函数, 所以5,,66x k k k Z ππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭（3）由（1）()sin 1,1a b x +=--,由题,()3sin ,1c d x k +=++, 若()()a b c d +⊥+,则()()()()()sin 13sin 10a b c d x x k +⋅+=-+-+=, 则()22sin 2sin 4sin 15k x x x =+-=+-, 因为[]sin 1,1x ∈-,所以[]5,1k ∈-- 【点睛】本题考查共线向量的坐标表示,考查垂直向量的坐标表示,考查解三角函数的不等式26．（1）3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈；（2）()max f x =，()min 12f x =- 【解析】 【分析】（1）直接利用三角函数的恒等变换，把三角函数变形成正弦型函数．进一步求出函数的单调区间．（2）直接利用三角函数的定义域求出函数的最值． 【详解】 解：（1）2211()cos sin cos sin 22f x x x x x =+-11()cos 2sin 222f x x x ∴=+42 ⎪⎝⎭令222242k x k πππππ-+≤+≤+，()k Z ∈解得388k x k ππππ-+≤≤+，()k Z ∈ 即函数的单调递增区间为3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈（2）由（1）知n ()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ,82x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 520,44x ππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦所以当242x ππ+=，即8x π=时，()max f x =当5244x ππ+=，即2x π=时，()min 12f x =- 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的单调性的应用，利用函数的定义域求三角函数的值域．属于基础型．27．（1）()22sin 33x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）[]1,0-【解析】 【分析】（1）由三角函数图像，求出,,t ωϕ即可；（2）求出函数()f x m -的值域，再列不等式组32m m +≥⎧⎪⎨≤⎪⎩.【详解】解：（1）由()f x 的图象可知34424T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则3T π=， 因为23T ππω==，0>ω，所以23ω=，故()2sin 3t x f x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因为,02M π⎛⎫- ⎪⎝⎭在函数()f x 的图象上，所以sin 023f t ππϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()3k k Z πϕπ-+=∈，即()3k k Z πϕπ=+∈，因为2πϕ<，所以3πϕ=.因为点(N 在函数()f x 的图象上，所以()0sin 3f t π==解得2t =，33⎝⎭（2）因为,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以22,3333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以2sin 33x π⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，则()2f x ≤.因为()33f x m -≤-≤，所以()3m f x m ≤+， 所以32m m +≥⎧⎪⎨⎪⎩10m -≤≤.故m 的取值范围为[]1,0-. 【点睛】本题考查了利用三角函数图像求解析式，重点考查了三角函数值域的求法，属中档题. 28．（1）π，1,()2122k k Z ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭；（2）3π 【解析】 【分析】（1）直接利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期和对称中心.（2）利用（1）的关系式，利用整体思想的应用对函数的关系式进行平移变换和对称性的应用求出最小值. 【详解】（1）因为2()cos cos )cos cos f x x x x x x x =-=-1cos 212sin 2262x x x π+⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭， 所以最小正周期为22T ππ==， 由正弦函数的对称中心知26x k ππ-=，解得212k x ππ=+，k Z ∈， 所以对称中心为1,()2122k k Z ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭； （2）()y f x =的图象向左平移m 个单位所得解析式是1sin 2262y x m π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，因为其图象关于y 轴对称， 所以262m k πππ-=+，k Z ∈，解得23k m ππ=+，k Z ∈， 所以m 的最小正值是3π. 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.29．（1）π；（2）()()min max ππ,0,,148x f x x f x =-===.【解析】(1) 函数()f x 解析式去括号后利用二倍角的正弦、余弦公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出w 的值，代入周期公式即可求出最小正周期;(2)根据x 的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域即可确定出()f x 的值域，进而求出()f x 的最小值与最大值.. 【详解】（1）()()π2cos sin cos sin2cos21214f x x x x x x x ⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，因此，函数()f x 的最小正周期πT =． （2） 因为ππ44x -≤≤ 所以ππ3π2444x -≤+≤,sin 24x π⎡⎤⎛⎫∴+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，即()1f x ⎡⎤∈⎣⎦， 所以当244x ππ+=-，即4x π=-时，()min 0f x =，当242x ππ+=，即8x π=时，()max 1f x =.所以4x π=-时，()min 0f x =，8x π=时，()max 1f x .【点睛】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键,是中档题.30．（1）,3k k Z πθθπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭｜（23）⎣⎭【解析】 【分析】（1）由题得tan θ=2）先求出1a b ⋅=，再利用向量的模的公式求出||7a b +=；（3）等价于2476m πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦有两解，结合三角函数分析得解. 【详解】（1）由题得sin 0,tan θθθ=∴=所以角θ的集合为,3k k Z πθθπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭｜ . （2）由条件知2a =， 1b =，又2a b -与7a b -垂直，所以()()2781570a b a b a b -⋅-=-⋅+=，所以1a b ⋅=. 所以222||||2||4217a b a a b b +=+⋅+=++=，故||7a b +=.（3）由3a b ma +=，得223a b ma +=，即2222233a a b b m a +⋅+=，即2434b m +⋅+=，)27cos 4m θθ+=，所以2476m πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.由0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦得2,663πππθ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，又θ要有两解，结合三角函数图象可得，2647m ≤-<2134m ≤<又因为0m >m ≤<即m 的范围⎣⎭. 【点睛】本题主要考查向量平行垂直的坐标表示，考查向量的模的计算，考查三角函数图像和性质的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.。
精选高难度压轴填空题----三角函数
1. 已知函数321,(,1]12()111,[0,]362x x x f x x x ⎧∈⎪+⎪=⎨⎪⎪-+∈⎩，函数()⎪⎭⎫⎝⎛=x πsin a x g 622+-a (a >0)，若存在 12[0,1]x x ∈、，使得12()()f x g x =成立，则实数a 的取值范围是________14[,]23解析：即两函数在]1,0[上值域有公共部分，先求)(x f 值域]1,0[]61,0[]1,61[⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=， ]232,22[)(a a x g -+-∈，故⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-0232122a a2. 若A 是锐角三角形的最小内角，则函数A A y sin 2cos -=的值域为______)1,231[+- 解析：设090<≤≤C B A ,0601803≤⇒=++≤A C B A A ，但锐角三角形无法体现，因为0>A 就可以，故0600<<A ，89)41(sin 22++-=A y ，)23,0(sin ∈A3. 已知O 是锐角ABC ∆的外接圆的圆心，且θ=∠A ，若AO m AC BCAB C B 2sin cos sin cos =+，则________=m （用θ表示）θsin解析：m BCC B 2sin cos sin cos =+，两边同除以R 2 Rm b C c B ⋅=⋅+⋅⇒cos cos 321cos cos e m e C e B ⋅=⋅+⋅⇒（其中)3,2,1(=i e i 都为单位向量），而090=+=+βαC B ，故有321sin sin e m e e =⋅+⋅βα，两边同乘以3e 得，m =+αββαcos sin cos sin4. 设θγ,为常数))2,4(),4,0((ππγπθ∈∈，若-=-++αθβγγα(sin sin )sin()sin( )cos (cos cos )sin βαθβ++对一切R ∈βα,恒成立，则__)4(sin )cos(tan tan 2=+-+πθγθγθ 2解析：法一：令2cos 2sin 20πγθθγβα=+⇒=⇒==22)22cos(12sin 1)4(sin )22cos(12=+-+=+-+⇒πθθπθπθ法二：按βα,合并，有0)cos )(sin cos (cos )sin )(cos sin (sin =-++--θγβαθγβα⎩⎨⎧==⇒θγθγcos sin sin cos5. 已知函数①x x f ln 3)(=；②xex f cos 3)(=；③xe xf 3)(=；④x x f cos 3)(=，其中对于)(x f 定义域内的任意一个自变量1x 都存在唯一个自变量2x ，使3)()(21=x f x f 成立的函数的序号是______③解析：①1=x 不成立；②④周期性不唯一6. 在ABC ∆中，已知,3,4==AC BC 且1817)cos(=-B A ，则____cos =C 61解析：画图在BC 上取点D ，使x BD AD ==，在ADC ∆中应用余弦定理：)cos(cos B A CAD -=∠7. 已知函数()sin cos f x x a x =+的图象的一条对称轴是53x π=，若 ()sin cos g x a x x =+sin()(0,0,0)A x A ωϕωϕπ=+>><<表示一个简谐运动，则其初相是32π 解析：)352()67()2()(ππππ-=-⇒-=f g x f x g ，故)(x g 的对称轴为67π-=x ，即 35267ππϕππϕπ+=⇒+=+-k k ，又πϕ<<0，故32πϕ=8. 如果满足∠ABC =60°，8AB =，AC k =的△ABC 只有两个，那么k 的取值范围是 )8,34(解析：画图和184（即本类31题）,186（即本类32题）属于一类题BAC CACx xx -4 39. 已知函数)4541(2)cos()sin()(≤≤+-=x xπx πx x f ，则f (x )的最小值为____554解析：（2007全国联赛）)4541(2)4sin(2)(≤≤+-=x xππx x f ，设)4541)(4sin(2)(≤≤-=x ππx x g ，则g (x )≥0，g (x )在]43,41[上是增函数，在]45,43[上是减函数，且y =g (x )的图像关于直线43=x 对称，则对任意]43,41[1∈x ，存在]45,43[2∈x ，使g (x 2)=g (x 1)。
专题12 三角函数(全题型压轴题)试题含解析
专题12三角函数（全题型压轴题）目录①三角函数的图象与性质 (1)②函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换 (2)③三角函数零点问题（解答题） (3)④三角函数解答题综合 (6)①三角函数的图象与性质②函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换③三角函数零点问题（解答题）(1)求()f x 的解析式；(2)将()f x 图像向左平移12个单位得到123,,x x x ，求()()123tan 2x x x π++的值④三角函数解答题综合专题12三角函数（全题型压轴题）目录①三角函数的图象与性质 (1)②函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换 (9)③三角函数零点问题（解答题） (12)④三角函数解答题综合 (20)①三角函数的图象与性质设()t f x =，则方程()()2220f x af x ⎡+⎣+⎦=⎤可化为由图象可得：当2t =时，方程()t f x =有2个实数根；当322t <<时，方程()t f x =有4个实数根；①当22m-=时，即②当3-=时，即t=m③当3->时，即t<m②函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换③三角函数零点问题（解答题）由图可知，当1t =或12t -≤<当112t ≤<时，()h x 在区间⎡⎢⎣当21t <-或1t >时，()h x 在区间令ππ2πZ 62,x k k-=+∈故两个零点12,x x关于x故()122πcos cos3x x+=7．（2023春·江西·高一统考期末）已知函数由图可知，30a -≤≤，且21πt t +=，所以()12121ππsin sin 466x x t t ⎛⎫+=-+- ⎪⎝⎭故a 的取值范围为()123,0,sin x x ⎡⎤-+⎣⎦8．（2023春·湖北咸宁·高一统考期末）已知(1)求()f x 的解析式；(2)将()f x 图像向左平移12个单位得到123,,x x x ，求()()123tan 2x x x π++的值④三角函数解答题综合(2)当11π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()π02f x kf x ⎛⎫++> ⎪⎝⎭恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】(1)43310-(2)()3,1--【详解】（1）由题意得，向量()1,3ON = 的相伴函数为()sin 3cos f x x x =+，所以()13πsin 3cos 2sin cos 2sin 223f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵()85f x =，∴π4sin 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．∵ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，∴ππ0,32x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴23cos 1s πin 335πx x ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以ππ1π3π433sin sin sin cos 33232310x x x x ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦（2）向量()1,3ON = 的相伴函数为()πsin 3cos 2sin 3f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭当11π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()π2sin 2cos 03π2π3f x kf x x k x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即ππsin cos 033x k x ⎛⎫⎛⎫+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，cos sin π3π3k x x ⎛⎫⎛⎫+>-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立．所以①当π06x ≤<，即πππ332x ≤+<时，πcos 03x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以πsin π3tan π3cos 3x k x x ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭>-=-+ ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭，即max πtan 3k x ⎡⎤⎛⎫>-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，由于πππ332x ≤+<，所以πtan 3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为πtan 33=，所以max πtan 33k x ⎡⎤⎛⎫>-+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；②当π6x =，ππ32x +=，不等式ππsin cos 033x k x ⎛⎫⎛⎫+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化为10>成立．③当π11π612x <≤，ππ5π234x <+≤时，πcos 03x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，。
完整)上海高中数学三角函数大题压轴题练习
完整)上海高中数学三角函数大题压轴题练习三角函数大题压轴题练1.已知函数$f(x)=\cos(2x-\frac{\pi}{3})+2\sin(x-\frac{\pi}{4})\sin(x+\frac{\pi}{4})$。
Ⅰ）求函数$f(x)$的最小正周期和图象的对称轴方程。
解：（1）$f(x)=\cos(2x-\frac{\pi}{3})+2\sin(x-\frac{\pi}{4})\sin(x+\frac{\pi}{4})$frac{1}{3}\cos(2x-\frac{\pi}{3})+\frac{4}{3}\sin x\cos x$frac{1}{3}(\cos^2x-\sin^2x-\frac{1}{2})+\frac{4}{3}\sin x\cos x$frac{1}{6}(3\cos2x-1)+\frac{4}{3}\sin x\cos x$frac{1}{6}(3\cos2x+2\sin x\cos x-\frac{2}{3})$frac{1}{6}(3\cos2x+\sin(2x-\frac{\pi}{3})-\frac{2}{3})$frac{1}{6}(3\cos2x+\sin2x\cos\frac{\pi}{3}-\cos2x\sin\frac{\pi}{3}-\frac{2}{3})$frac{1}{6}(2\cos2x+\sqrt{3}\sin2x-\frac{2}{3})$frac{1}{3}(\cos2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x)-\frac{1}{3}$frac{2}{3}\sin(2x+\frac{\pi}{3})-\frac{1}{3}$所以，函数$f(x)$的最小正周期为$\pi$，图象的对称轴方程为$x=k\pi+\frac{\pi}{3}$（$k\in Z$）。
2）在区间$[-\frac{5\pi}{6},\frac{\pi}{2}]$上，$f(x)$单调递增，而在区间$[\frac{\pi}{2},\frac{7\pi}{6}]$上单调递减。
专题2 三角函数压轴小题(原卷版)
专题2 三角函数压轴小题一、单选题1．已知锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 2b aC a-=，则sin sin B A +的取值范围是（ ） A ．332⎫⎪⎪⎝⎭B ．(3⎤⎦C ．32,2⎫⎪⎭D ．832,⎦2．已知正实数C 满足：对于任意θ，均存在,,0255i j i j ∈≤≤≤Z ，使得2cos iC jθ-≤，记C 的最小值为λ，则（ ） A ．1120001000λ<< B ．111000500λ<< C ．11500200λ<< D ．11200100λ<<3．已知△ABC 中，22AB AC ==()min 2AB BC R λλ+=∈，2AM MB =，22sin cos AP AB AC αα=⋅+⋅，,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则MP 的最小值为（ ） A 3B ．23C 5D 64．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ，若222sin()SA C b a +=-，则1tan 3tan()A B A +-的取值范围为（ ）A ．33⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．2343⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．2343⎫⎪⎪⎝⎭D ．2343⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭5．在ABC 中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，设ABC 的面积为S ，则24Sa bc+的最大值为（ ） A 2B 3C 3D 26．已知函数()sin 4f x x ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(0)>ω在区间[0,]π上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论：△()f x 在区间(0,)π上有且仅有3个不同的零点； △()f x 的最小正周期可能是2π； △ω的取值范围是131744⎡⎫⎪⎢⎣⎭，；△()f x 在区间0,15π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增． 其中所有正确结论的序号是（ ） A ．△△B ．△△C ．△△D ．△△△7．设函数()211f x x =-，()122x fex --=，()31sin 23f x x π=，99i ia =，0i =、1、2、、99.记()()()()()()10219998k k k k k k k I f a f a f a f a f a f a =-+-++-，1k =、2、3，则（ ）A ．123I I I <<B ．321I I I <<C ．132I I I <<D ．213I I I <<8．设a △R ，函数f (x )()()2222215cos x a x a x a x a x a ππ⎧-⎪=⎨-+++≥⎪⎩＜，若函数f (x )在区间（0，+∞）内恰有6个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．（2，94]△（52，114]B ．（74，2]△（52，114]C ．（2，94]△[114，3）D ．（74，2）△[114，3）9．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积，且()222S a b c =--，则222b c bc+的取值范围为（ ）A ．4359,1515⎛⎫⎪⎝⎭B ．4315⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．5915⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．)⎡+∞⎣10．直线1y =与函数π()2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像在y 轴右侧交点的横坐标从左到右依次为12n a a a 、、、，下列结论：△π2cos 23f x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；△()f x 在π5π,612⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数；△12n a a a 、、、为等差数列；△121234πa a a +++=．其中正确的个数是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．011．）已知()sin |||sin |cos |||cos |=+++f x x x x x ，给出下述四个结论: △()y f x =是偶函数; △()y f x =在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数;△()y f x =在(,2)ππ上为增函数; △()y f x =的最大值为22 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．△△△B ．△△△C ．△△△D ．△△12．已知函数()()()()()222sin 2π2π3,R 216,x a x af x a x a x a x a ⎧-<⎪=∈⎨-++-+≥⎪⎩，若()f x 在区间()0,∞+内恰好有7个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．5817,,3236⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦B ．581711,,2363⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦C ．51711,3,263⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦D ．81711,3,363⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦13．已知函数()()()sin cos cos sin f x x x =+，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 是奇函数 B ．()f x 的最大值为2 C ．()(),x f x f x π∀∈-=RD ．[]()0,,0x f x ππ∀∈+>14．已知 11sin 65a =, 11sin 56b =, 15cos 156c =, 则（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ． c a b <<15．在ABC 中，角A B C ､､所对的边分别是,120,a b c A D =､､是边BC 上一点，AB AD ⊥且3AD =，则2b c +的最小值是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．916．（2022·江苏南通·高三开学考试）已知锐角ABC 满足23AB =60C ∠=°且O 为ABC 的外接圆圆心，若OC OA OB λμ=+，则2λμ-的取值范围为（ ） A ．(2,1)-B ．(1,2)-C ．[2,2)-D ．(2,2)-17．（2023·全国·高三专题练习）已知,x y ∈R ，则表达式22cos cos cos x y xy （ ）A ．既有最大值，也有最小值B ．有最大值，无最小值C ．无最大值，有最小值D ．既无最大值，也无最小值18．（2023·全国·高三专题练习）设数列{}n a 的通项公式为()()()*121cos1N 2nn n a n n π=--⋅+∈，其前n 项和为n S ，则120S =（ ） A ．60- B ．120- C ．180 D ．24019．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，7cos 25A =，ABC 的内切圆的面积为16π，则边BC 长度的最小值为（ ） A ．16B ．24C ．25D ．3620．（2023·全国·高三专题练习）在锐角ABC中，cos cos()sin sinA CA B Ca c+=，且cos2C C+=，则a b+的取值范围是（）A．(4⎤⎦B．(2,C．(]0,4D．(]2,4 21．（2022·山西·忻州一中模拟预测（文））定义：设不等式()0f x>的解集为A，若A中只有唯一整数，则称A为“和谐解集”．若关于x的不等式sin cos2sin cosx x mx x x+>+-在(0,)π上存在“和谐解集”，则实数m的取值范围为（）A．cos2[,cos1)2B．cos2(,cos1]2C．[]cos2,cos1D．[]cos2,sin222．（2023·全国·高三专题练习）设ω∈R，函数()()22,0,6314,0,22sin x xf xg x xx x xπωωω⎧⎛⎫+≥⎪⎪⎪⎝⎭==⎨⎪++<⎪⎩．若()f x在1,32π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，且函数()f x与()g x的图象有三个交点，则ω的取值范围是（）A．12,43⎛⎤⎥⎝⎦B．23⎤⎥⎝⎦C．14⎡⎢⎣⎭D．4412,0,33⎡⎫⎡⎤-⎪⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎦23．（2022·全国·高三专题练习（文））在三角函数部分，我们研究过二倍角公式2cos22cos1x x=-，实际上类似的还有三倍角公式，则下列说法中不正确的有（）A．3cos34cos3cosx x x=-B．存在||1x≤时，使得3|43|1x x->C．给定正整数n，若||1ix≤，(1,2,,)i n=，且31niix==∑，则1||3niinx=≤∑D．设方程38610x x--=的三个实数根为1x，2x，3x，并且123x x x<<，则2232312()xx x x-=-二、多选题24．（2022·湖北·襄阳四中模拟预测）若()sin cosx x x xf x=-，则下列说法正确的是（）A．()f x的最小正周期是2πB．()f x的对称轴方程为212kxππ=-，()k∈ZC．存在实数a，使得对任意的x∈R，都存在125,01,2x xπ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦且12x x≠，满足()()()210k f x af x f x -+=⎡⎤⎣⎦，()1,2k =D ．若函数()()2g x f x b =+，250,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，（b 是实常数），有奇数个零点()12221,,,,N n n x x x x n +⋅⋅⋅∈，则()1232215023n n x x x x x π++++⋅⋅⋅++=25．（2022·重庆十八中两江实验中学高三阶段练习）已知在平行四边形ABCD 中，3AB =，2AD =，60A ∠=︒，把△ABD 沿BD 折起使得A 点变为'A ，则（ ）A ．7BD =B ．三棱锥'A BCD -3C ．当'A C BD =时，三棱锥'A BCD -10D ．当'A C BD =时，'60A BC ∠=︒26．（2022·辽宁·东北育才学校高三阶段练习）已知函数()()()sin 0,f x x ωϕωϕ=+>∈R 在区间75,126ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，且满足73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有下列结论正确的有( ) A ．203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．若()56f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则函数()f x 的最小正周期为π； C ．关于x 的方程()1f x =在区间[0,2)π上最多有4个不相等的实数解 D ．若函数()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，则ω的取值范围为8,33⎛⎤⎥⎝⎦ 27．（2022·全国·高三专题练习（文））由倍角公式2cos 22cos 1x x =-，可知cos2x 可以表示为cos x 的二次多项式．一般地，存在一个n （n *∈N ）次多项式()12012n n n n n P t a t a ta t a --=+++⋅⋅⋅+（012,,,n a a a a ⋅⋅⋅∈R ），使得()cos cos n nx P x =，这些多项式()n P t 称为切比雪夫（P ．L ．Tschebyscheff )多项式．运用探究切比雪夫多项式的方法可得（ ）A ．()3343P t t t =-+B ．()424881P t t t =-+C ．51sin18-︒=D ．51cos18+︒=28．（2022·全国·高三专题练习）设正整数k 使得关于x 的方程sin kx x =在区间()33ππ-，内恰有5个实根12345x x x x x <<<<，则（ ） A ．123450x x x x x +++=+B ．5295122x ππ<< C ．55tan x x =D ．2x ，4x ，5x 成等差数列 三、填空题29．（2022·安徽淮南·二模（理））ABC 中，120,BAC AO ∠︒=为BC边上的中线，AO =则2AB AC -的取值范围是________．30．（2023·全国·高三专题练习）△ABC 中，角A ，B ，C 所对的三边分别为a ，b ，c ，c ＝2b ，若△ABC 的面积为1，则BC 的最小值是________ ．31．（2022·全国·高三专题练习（文））1643年法国数学家费马曾提出了一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其到这个三角形的三个顶点的距离之和为最小.它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心（即该点与三角形的三个顶点的连线段两两成角120°），该点称为费马点.已知ABC 中，其中60A ∠=︒，1BC =，P 为费马点，则PB PC PA +-的取值范围是__________.32．（2022·全国·高三专题练习）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M ，N 分别为边BC ，CD 上的动点，以MN 为边作等边PMN ，使得点A ，P 位于直线MN 的两侧，则PN PB ⋅的最小值为______．33．（2021·安徽·六安市裕安区新安中学高三阶段练习（文））设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，n =1，2，3…，若11b c >，1112b c a +=，11,2n n n n n a c a a b +++==，12n n n a bc ++=，则nA ∠的最大值是________________.34．（2022·天津西青·高三期末）在等腰直角三角形ABC 中，π2C ∠=，点P 在三角形内，满足2(222)0PA PB PC +++=，则APB ∠=______.35．（2022·全国·高三专题练习（理））函数ππ5sin (1510)55y x x ⎛⎫=+-≤≤ ⎪⎝⎭的图象与函数25(1)22x y x x +=++图象的所有交点的横坐标之和为___________.36．（2022·全国·高三专题练习）△ABC 内接于半径为2的圆，三个内角A ，B ，C 的平分线延长后分别交此圆于1A ，1B ，1C .则111coscos cos 222sin sin sin A B CAA BB CC A B C++++的值为_____________.37．（2022·福建师大附中高三阶段练习）已知非零实数,x y 满足222x yxy x y y x++=-， 则22x y +的最小值为_____．38．（2022·全国·成都七中高三开学考试（文））ABC 的外心为O ，三个内角A B C ，，所对的边分别为1825a b c AO BC a a c ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭，，，，4b =.则ABC 面积的最大值为____________. 39．（2022·上海·华师大二附中高三开学考试）对开区间(),I a b =，定义I b a =-，当实数集合M 为n 段（n 为正整数）互不相交的开区间12n I I I ､､､的并集时，定义1||nk k M I ==∑，若对任意上述形式的()0,2π的子集A ，总存在Z k ∈，使得k A A λ≥，其中|,|tan 214k k A x x A x π⎧⎫⎛⎫=∈+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭∣，则λ的最大值为___________. 40．（2021·江苏·南京市第一中学高三阶段练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知4Cπ， 2222a b c -=，则A ＝____________.41．（2022·安徽·高三开学考试）有下列命题: △函数tan y x =在定义域内是增函数;△函数1π()cos 234f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为3π;△直线πx =为函数()sin(cos )cos f x x x =+图像的一条对称轴; △函数()|sin |cos f x x x =+的值域为[2]-.其中所有正确命题的序号为_____.42．（2021·江西南昌·高三阶段练习）已知ABC 的内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且满足2224,4c c a b ==+， 则ABC 的面积取得最大值时，cos C =______．43．（2022·江苏·泗洪县洪翔中学高三阶段练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若sin sin cos cos 3sin B C A C A a c =+，且ABC的面积222)ABC S a b c +-△，则c a b+的取值范围是___________.44．（2022·全国·高三专题练习）已知,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()sin 22sin αββ+=，则tan β的最大值为________.45．（2022·北京·测试学校四高三）若ABC 三边长为等差数列，则cos cos cos A B C ++的取值范围是___________.46．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，()2ABCcSa b =-，其外接圆半径2R =，且())224sin sin sin A B b B -=-，则sinsin 22A B C-+=___________. 47．（2022·北京·测试学校四高三）已知凸四边形ABCD 满足50,40ABD BDC CAD ACB ∠∠∠∠====，则符合题意且不相似的凸四边形ABCD 的个数为___________.48．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0>ω，0πϕ<< ，π()()4f x f ≤恒成立，且()y f x =在区间3π0,8⎛⎫ ⎪⎝⎭上恰有3个零点，则ω的取值范围是______________．49．（2022·上海金山·二模）设()sin f x a x =+，若存在125,,,,36n x x x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()()()()121n n f x f x f x f x -+++=成立的最大正整数n 为9，则实数a 的取值范围是__________.50．（2023·全国·高三专题练习）已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且A B >，若7sin 2cos sin 25C A B =+，则tan B 的取值范围为_______． 四、双空题51．（2022·辽宁·东北育才双语学校一模）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知222222a b a b c c ab-+-=，若4C π，则A =___________；若ABC 为锐角三角形，则2cos ab B的取值范围是___________.52．（2022·广东佛山·高三期末）菱形ABCD 中，ππ1,,32AB A ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，点E ，F 分别是线段,AD CD 上的动点（包括端点），AE CF =，则()AE CF AC +⋅=___________，ED EB ⋅的最小值为___________.53．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，D 是BC 边上一点，且6B π=，12AD BD =，若D 是BC 的中点，则ACAB=______；若3AC =ADC 的面积的最大值为_________．。
高中数学《三角函数》精选高难度压轴考点试题
1. 已知函数321,(,1]12()111,[0,]362x x x f x x x ⎧∈⎪+⎪=⎨⎪⎪-+∈⎩，函数()⎪⎭⎫⎝⎛=x πsin a x g 622+-a (a >0)，若存在 12[0,1]x x ∈、，使得12()()f x g x =成立，则实数a 的取值范围是________14[,]23解析：即两函数在]1,0[上值域有公共部分，先求)(x f 值域]1,0[]61,0[]1,61[⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=， ]232,22[)(a a x g -+-∈，故⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-0232122a a 2. 若A 是锐角三角形的最小内角，则函数A A y sin 2cos -=的值域为______)1,231[+- 解析：设090<≤≤C B A ,0601803≤⇒=++≤A C B A A ，但锐角三角形无法体现，因为0>A 就可以，故0600<<A ，89)41(sin 22++-=A y ，)23,0(sin ∈A 3. 已知O 是锐角A B C ∆的外接圆的圆心，且θ=∠A ，若AO m AC BCAB C B 2sin cos sin cos =+，则________=m （用θ表示）θsin解析：m BCC B 2sin cos sin cos =+，两边同除以R 2 Rm b C c B ⋅=⋅+⋅⇒cos cos 321cos cos e m e C e B ⋅=⋅+⋅⇒ （其中)3,2,1(=i e i 都为单位向量），而090=+=+βαC B ，故有321sin sin e m e e =⋅+⋅βα，两边同乘以3e 得，m =+αββαcos sin cos sin4. 设θγ,为常数))2,4(),4,0((ππγπθ∈∈，若-=-++αθβγγα(sin sin )sin()sin( )cos (cos cos )sin βαθβ++对一切R ∈βα,恒成立，则__)4(sin )cos(tan tan 2=+-+πθγθγθ 2解析：法一：令2cos 2sin 20πγθθγβα=+⇒=⇒==22)22cos(12sin 1)4(sin )22cos(12=+-+=+-+⇒πθθπθπθ法二：按βα,合并，有0)cos )(sin cos (cos )sin )(cos sin (sin =-++--θγβαθγβα⎩⎨⎧==⇒θγθγcos sin sin cos 5. 已知函数①x x f ln 3)(=；②xex f cos 3)(=；③xe xf 3)(=；④x x f cos 3)(=，其中对于)(x f 定义域内的任意一个自变量1x 都存在唯一个自变量2x ，使3)()(21=x f x f 成立的函数的序号是______③ 解析：①1=x 不成立；②④周期性不唯一6. 在ABC ∆中，已知,3,4==AC BC 且1817)cos(=-B A ，则____cos =C 61 解析：画图在BC 上取点D ，使x BD AD ==，在ADC ∆中应用余弦定理：)cos(cos B A CAD -=∠7. 已知函数()sin cos f x x a x =+的图象的一条对称轴是53x π=，若()sin cos g x a x x =+sin()(0,0,0)A x A ωϕωϕπ=+>><<表示一个简谐运动，则其初相是32π 解析：)352()67()2()(ππππ-=-⇒-=f g x f x g ，故)(x g 的对称轴为67π-=x ，即 35267ππϕππϕπ+=⇒+=+-k k ，又πϕ<<0，故32πϕ= 8. 如果满足∠ABC=60°，8AB =，AC k =的△ABC 只有两个，那么k 的取值范围是AB CDx xx -4 3)8,34(解析：画图和184（即本类31题）,186（即本类32题）属于一类题9. 已知函数)4541(2)cos()sin()(≤≤+-=x xπx πx x f ，则f (x )的最小值为____554解析： )4541(2)4sin(2)(≤≤+-=x xππx x f ，设)4541)(4sin(2)(≤≤-=x ππx x g ，则g (x )≥0，g (x )在]43,41[上是增函数，在]45,43[上是减函数，且y =g (x )的图像关于直线43=x 对称，则对任意]43,41[1∈x ，存在]45,43[2∈x ，使g (x 2)=g (x 1)。
高中数学三角函数专项练习(含答案)
高中数学三角函数专项练习(含答案)一、填空题1．已知函数()1sin sin 34f x x x π⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭定义域为[](),m n m n <，值域为11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则n m-的最小值是________．2．设1F ,2F 分别是椭圆2222:1(0)x yE a b a b+=>>的左､右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于,A B 两点，11||3||AF BF =，若23cos 5AF B ∠=，则椭圆E 的离心率为___________.3．方程12sin 01x xπ-=-，[2,4]x m m ∈--+（m ∈Z ）的所有根的和等于2024，则满足条件的整数m 的值是________4．如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发，绕圆锥爬行一周后回到点P 处，若该小虫爬行的最短路程为43，则这个圆锥的体积为___________.5．已知正方体1111ABCD A B C D -，点E 是AB 中点，点F 为1CC 的中点，点P 为棱1DD 上一点，且满足//AP 平面1D EF ，则直线AP 与EF 所成角的余弦值为_______．6．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .D 、E 是线段AB 上满足条件1()2CD CB CE =+，1()2CE CA CD =+的点，若2CD CE c λ⋅=，则当角C 为钝角时，λ的取值范围是______________7．已知三棱锥S ABC -中，SA SB SC ==，ABC 是边长为4的正三角形，点E ，F 分别是SC ，BC 的中点，D 是AC 上的一点，且EF SD ⊥，若3FD =，则DE =___________. 8．已知函数()[)[]243,0,3,92sin ,3,156x x y f x x x π⎧⎛⎫-∈⎪ ⎪⎪⎝⎭==⎨⎪∈⎪⎩若存在实数a 、b 、c 、d 满足()()()()f a f b f c f d ===（其中a b c d <<<），则()()a b cd +⋅的取值范围是______.9．已知(sin )21,22f x x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，那么(cos1)f =________.10．已知向量a 与b 的夹角为θ，sin θ=||4a b -=，向量,c a c b --的夹角为2π，||23c a -=，则a c ⋅的最大值是___________.二、单选题11．已知函数()()2212sin 2,2212,x a x af x x a x a x a π⎧⎡⎤⎛⎫-+<⎪ ⎪⎢⎥=⎝⎭⎨⎣⎦⎪-+++≥⎩，若函数()f x 在[)0,∞+内恰有5个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．75,42⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．75,2,342⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．75,22,42⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12．在三棱锥P ABC -中，顶点P 在底面的射影为ABC 的垂心O （O 在ABC 内部），且PO 中点为M ，过AM 作平行于BC 的截面α，过BM 作平行于AC 的截面β，记α，β与底面ABC 所成的锐二面角分别为1θ，2θ，若PAM PBM θ∠=∠=，则下列说法错误的是（ ）A ．若12θθ=，则AC BC =B ．若12θθ≠，则121tan tan 2θθ⋅= C ．θ可能值为6πD ．当θ取值最大时，12θθ=13．已知向量a ，b 夹角为3π，向量c 满足1b c -=且 a b a c b c ++=，则下列说法正确的是（ ） A ．2b c +<B ．2a b +>C ．1b <D ．1a >14．已知双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的两条渐近线分别与抛物线24y x ＝交于第一、四象限的A ，B 两点，设抛物线焦点为F ，若7cos 9AFB ∠＝﹣，则双曲线的离心率为（ ）AB ．3CD ．15．已知函数()3sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><，(4)(2)6f f =-，且()f x 在[2,4]上单调.设函数()()1g x f x =-，且()g x 的定义域为[5,8]-，则()g x 的所有零点之和等于（ ） A ．0B ．4C ．12D ．1616．已知函数()sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，66f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，下列四个结论： ①4πϕ=②93()2k k N ω=+∈ ③02f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭④直线3x π=-是()f x 图象的一条对称轴其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④17．已知函数()2sin 1,022sin 1,02x x f x x x ππ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩，()11x g x x -=+，则关于x 的方程()()f x g x =在区间[]8,6-上的所有实根之和为（ ） A ．10-B ．8-C ．6-D ．4-18．函数()sin()(0)6f x x πωω=+>在区间52[,]63ππ-上单调递增，且存在唯一05[0,]6x π∈，使得0()1f x =，则ω的取值范围为（ ） A ．11[,]52B ．21[,]52C ．14[,]55D ．24[,]5519．已知函数22sin sin ,[1,1]()22,(1,)x x a a x f x x ax a x ⎧++-∈-=⎨-+∈+∞⎩若关于x 的不等式()0f x 对任意[1,)x ∈-+∞恒成立，则实数a 的范围是（ ）A ．[0,2]B ．(,0][2,)-∞+∞C ．(,0][1,2]-∞D ．[0,1][2,)⋃+∞20．在ABC 中，2AB =，,D E 分别是边AB ，AC 的中点，CD 与BE 交于点O ，若OC 3OB =，则ABC 面积的最大值为（ ）A ．3B ．33C ．63D ．93三、解答题21．如图，甲、乙两个企业的用电负荷量y 关于投产持续时间t （单位：小时）的关系()y f t =均近似地满足函数()sin()(0,0,0)f t A t b A ωϕωϕπ=++>><<.（1）根据图象，求函数()f t 的解析式；（2）为使任意时刻两企业用电负荷量之和不超过9，现采用错峰用电的方式，让企业乙比企业甲推迟(0)m m >小时投产，求m 的最小值.22．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的最大值是2，函数()f x 的图象的一条对称轴是3x π=，且与该对称轴相邻的一个对称中心是7,012π⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求()f x 的解析式；（2）已知DBC △是锐角三角形，向量,,,2124233B B m f f n f f B ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且3,sin 5m n C ⊥=，求cos D . 23．将函数()4sin cos 6g x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭个单位长度后得到()f x 的图象.（1）若()f x 为偶函数，求ϕ； （2）若()f x 在7,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是单调函数，求ϕ的取值范围.24．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c . 已知sin 2C =（1）若4a =，c =ABC ∆的面积；（2）若ABC ∆22213sin sin sin 16A B C +=，求c 的值.25．已知向量 2(2,22()),(,2a x b ωϕ=+=，其中0,02πωϕ><<．函数()f x a b =⋅的图象过点()1,2B ，点B 与其相邻的最高点的距离为4．（Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间； （Ⅱ）计算()()()12...2017f f f +++的值；（Ⅲ）设函数()()1g x f x m =--，试讨论函数()g x 在区间 [0，3] 上的零点个数．26．已知函数()sin 2f x x x =.（1）求函数()f x 的最小正周期及对称中心坐标； （2）若02πα-<<，()1f α=，求sin 2α的值.27．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0,||2A πωϕ>><）的部分图象如图所示，把函数()f x 的图像向右平移4π个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数()g x 的图像.（1）当17,424x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()g x 的值域（2）令()=()3F x f x -，若对任意x 都有2()(2)()20F x m F x m -+++≤恒成立，求m 的最大值28．已知函数()()sin ,f x A x x R ωϕ=+∈（其中0,0,02A πωϕ>><<）的图象如图所示：（1）求函数()f x 的解析式及其对称轴的方程；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()23f x a =-有两个不等的实根12,x x ，求实数a 的取值范围，并求此时12x x +的值.29．已知在ABC ∆中，,,a b c 分别为角A,B,C 的对应边，点D 为BC 边的中点，ABC ∆的面积为23sin AD B. (1)求sin sin BAD BDA ∠⋅∠的值； (2)若6,22BC AB AD ==，求b ．30．在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且32sin a c A = (Ⅰ)确定角C 的大小： （Ⅱ）若c ＝,且△ABC 的面积为,求a ＋b 的值．【参考答案】一、填空题1．3π2．2 3．1008或10094．8156．12(,)369-7 8．()135,2169．1π-##1π-+ 10．25二、单选题 11．D 12．C 13．A 14．B 15．C 16．B 17．B 18．B 19．C 20．C 三、解答题21．（1）()sin 462f t t ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；（2）4【解析】 【分析】 （1）由212T πω==，得ω，由53A b b A +=⎧⎨-=⎩，得A ，b ，代入(0,5)，求得ϕ，从而即可得到本题答案；（2）由题，得()()cos ()cos 8966f t m f t t m t ππ⎡⎤⎛⎫++=+++≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭恒成立，等价于cos ()cos 166t m t ππ⎡⎤⎛⎫++≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭恒成立，然后利用和差公式展开，结合辅助角公式，逐步转化，即可得到本题答案. 【详解】（1）解：由图知212T πω==，6πω∴=又53A b b A +=⎧⎨-=⎩，可得41b A =⎧⎨=⎩()sin 46f t t πϕ⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭，代入(0,5)，得22k πϕπ=+，又0ϕπ<<，2πϕ∴=所求为()sin 462f t t ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（2）设乙投产持续时间为t 小时，则甲的投产持续时间为()t m +小时，由诱导公式，企业乙用电负荷量随持续时间t 变化的关系式为：()sin 4cos 4626f t t t πππ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭同理，企业甲用电负荷量变化关系式为：()cos ()46f t m t m π⎡⎤+=++⎢⎥⎣⎦两企业用电负荷量之和()()cos ()cos 866f t m f t t m t ππ⎡⎤⎛⎫++=+++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，0t ≥依题意，有()()cos ()cos 8966f t m f t t m t ππ⎡⎤⎛⎫++=+++≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭恒成立即cos ()cos 166t m t ππ⎡⎤⎛⎫++≤⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭恒成立 展开有cos 1cos sin sin 16666m t m t ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦恒成立cos 1cos sin sin cos 66666m t m t A t πππππϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦其中，A =cos 16cos m Aπϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，sin 6sin m A πϕ=1A ∴=≤整理得：1cos 62m π⎛⎫≤- ⎪⎝⎭解得2422363k m k πππππ⎛⎫+≤≤+ ⎪⎝⎭即124128k m +≤≤+ 取0k =得：48m ≤≤ m ∴的最小值为4.【点睛】本题主要考查根据三角函数的图象求出其解析式，以及三角函数的实际应用，主要考查学生的分析问题和解决问题的能力，以及计算能力，难度较大.22．（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2【解析】（1）根据函数的最值、周期、对称轴待定系数即可求解；（2）由（1）所求，可化简向量坐标，根据向量垂直得到角B ，再利用()cos cosD A B =-+求解. 【详解】（1）设()f x 的最小正周期为T ， 依题意得71234T ππ-=，∴T π=，∴22πωπ==. ∵()f x 图象的一条对称轴是3x π=，∴2,32k k Z ππϕπ+=+∈， ∴,6k k Z πϕπ=-+∈.∵||2ϕπ<，∴6πϕ=-. 又∵()f x 的最大值是2，∴2A =，从而()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（2）∵()(),2sin ,3,2cos ,2cos 2m n m B n B B ⊥==，∴4sin cos 22sin 22m n B B B B B ⋅=⋅+=+4sin 203B π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭∴2,3B k k Z ππ+=∈，∴:,62kB k Z ππ=-+∈， 又∵B 是锐角，∴3B π=.∵3sin 5C =，∴4cos 5C =，∴cos cos()(cos cos sin sin )D B C B C B C =-+=--=.即cosD =. 【点睛】本题考查三角函数解析式的求解，涉及向量垂直的转换，余弦函数的和角公式.属综合基础题. 23．（1）6π=ϕ；（2）,62ππϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换对()4sin cos 6g x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭化简变形为()2sin 216g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，然后可得到图象左移之后的函数()2sin 2216f x x ϕπ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，利用三角函数偶函数的性质即可求出ϕ；（2）先求出2222,22662x πππϕπϕπϕ⎛⎫++∈++++ ⎪⎝⎭，再根据ϕ的范围求出26πϕ+和22πϕ+的范围，从而根据单调性列出关于ϕ的不等式，解之即可求得结果. 【详解】 （1）()()14sin sin 21cos 22g x x x x x x ⎫=-=--⎪⎪⎝⎭2sin 216x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，∴()2sin 2216f x x ϕπ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭.又()f x 为偶函数，则()262k k Z ππϕπ+=+∈，02πϕ<≤，∴6π=ϕ； （2）7,6x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2222,22662x πππϕπϕπϕ⎛⎫++∈++++ ⎪⎝⎭.02πϕ<≤，∴72,666πππϕ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，32,222πππϕ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭()f x 在7,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭是单调函数，∴26202ππϕπϕ⎧+≥⎪⎪⎨⎪<≤⎪⎩， ∴,62ππϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数的图象变换及性质，以及基本的运算能力和逻辑推理能能力，综合性较强，属于有一定难度的中档题.24．（1）2）c = 【解析】 【分析】（1）先根据sin2C =sin C 与cos C ，再利用余弦定理求出b 边，最后利用1sin 2ABC S ab C ∆=求出答案；（2）利用正弦定理将等式化为变得关系，再利用余弦定理化为2c 与ab 的关系式，再结合面积求出c 的值． 【详解】解：（1）因为sin2C =所以2101cos 12sin122164C C =-=-⨯=-．又()0,C π∈，所以sin C =．因为4a =，c =2222cos c a b ab C =+-， 所以214016244b b ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭，解得4b =，所以11sin 4422ABC S ab C ∆==⨯⨯= （2）因为22213sin sin sin 16A B C +=，由正弦定理，得2221316a b c +=． 又2222cos a b ab C c +-=，所以283c ab =．又1sin 2ABC S ab C ∆=，得18ab =，所以248c =，所以c = 【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，属于基础题．25．（Ⅰ）[41,43]k k ++，k Z ∈；（Ⅱ）2018；（Ⅲ）详见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由数量积的坐标运算可得f （x ），由题意求得ω4π=，再由函数f （x ）的图象过点B （1，2）列式求得φ．则函数解析式可求，由复合函数的单调性求得f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f （x ）＝1+sin2x π，可得f （x ）是周期为4的周期函数，且f （1）＝2，f （2）＝1，f （3）＝0，f （4）＝1．得到f （1）+f （2）+f （3）+f （4）＝4． 进一步可得结论；（Ⅲ）g （x ）＝f （x ）﹣m ﹣12sinx m π=-，函数g （x ）在[0，3]上的零点个数，即为函数y ＝sin 2x π的图象与直线y ＝m 在[0，3]上的交点个数．数形结合得答案．【详解】（Ⅰ）∵a =cos2（ωx +φ）），b =∴f （x ）222a b =⋅=⨯（ωx +φ）＝1﹣cos2（ωx +φ））， ∴f （x ）max ＝2，则点B （1，2）为函数f （x ）的图象的一个最高点． ∵点B 与其相邻的最高点的距离为4，∴242πω=，得ω4π=． ∵函数f （x ）的图象过点B （1，2），∴1222cos πϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即sin2φ＝1． ∵0＜φ2π＜，∴φ4π=．∴f （x ）＝1﹣cos2（44x ππ+）＝1+sin 2x π， 由322222k x k πππππ+≤≤+，得4143k x k +≤≤+，k Z ∈． ()f x ∴的单调递减区间是[41,43]k k ++，k Z ∈．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f （x ）＝1+sin 2x π，∴f （x ）是周期为4的周期函数，且f （1）＝2，f （2）＝1，f （3）＝0，f （4）＝1． ∴f （1）+f （2）+f （3）+f （4）＝4．而2017＝4×504+1，∴f （1）+f （2）+…+f （2017）＝4×504+2＝2018；（Ⅲ）g （x ）＝f （x ）﹣m ﹣12sinx m π=-，函数g （x ）在[0，3]上的零点个数， 即为函数y ＝sin 2x π的图象与直线y ＝m 在[0，3]上的交点个数．在同一直角坐标系内作出两个函数的图象如图：①当m ＞1或m ＜﹣1时，两函数的图象在[0，3]内无公共点；②当﹣1≤m ＜0或m ＝1时，两函数的图象在[0，3]内有一个共点；③当0≤m ＜1时，两函数的图象在[0，3]内有两个共点．综上，当m ＞1或m ＜﹣1时，函数g （x ）在[0，3]上无零点；②当﹣1≤m ＜0或m ＝1时，函数g （x ）在[0，3]内有1个零点；③当0≤m ＜1时，函数g （x ）在[0，3]内有2个零点．【点睛】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查数量积的坐标运算，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．26．（1）最小正周期为π，对称中心坐标为(),026k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭；（2）12-. 【解析】【分析】（1）利用辅助角公式先将函数()y f x =的解析式化简，然后利用周期公式计算出函数()y f x =的最小正周期，令()23x k k Z ππ+=∈，解出x 的表达式可得出对称中心坐标；（2）由()1f α=得出1sin 232πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合角α的范围求出α的值，代入sin 2α并结合诱导公式求出sin 2α的值．【详解】（1）()13sin 2322sin 222f x x x x x ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭2sin 2cos cos 2sin 2sin 2333x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()y f x =的最小正周期为22ππ=， 令()23x k k Z ππ+=∈，解得()26k x k Z ππ=-∈， 因此，函数()y f x =的对称中心坐标为(),026k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭； （2）()2sin 213f παα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，得1sin 232πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 02πα-<<，22333πππα∴-<+<，236ππα∴+=，得26πα=-， 因此，1sin 2sin sin 662ππα⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查三角函数的周期和对称中心，考查三角函数求值，解三角函数问题首先就是要将三角函数解析式化简，在求值时，要利用已知角来配凑未知角，借助同角三角函数的基本关系以及两角和差公式进行计算，考查计算能力，属于中等题．27．（1）1,02⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（2）265- 【解析】【分析】（1）根据图象的最低点求得A 的值，根据四分之一周期求得ω的值，根据点7,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭求得ϕ的值，由此求得函数()f x 的解析式，进而根据图象平移变换求得()g x 的解析式，并由此求得17,424x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()g x 的值域.（2）先求得()f x 的值域，由此求得()F x 的值域.令()[4,2]t F x =∈--对题目所给不等式换元，根据二次函数的性质列不等式组，解不等式组求得m 的取值范围，由此求得m 的最大值.【详解】（1）根据图象可知171,4123A T ππ==- 2,2,()sin(2)T f x x Tππωϕ∴=∴===+ 代入7,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭得，7sin 1,2,63k k Z ππϕϕπ⎛⎫+=-=+∈ ⎪⎝⎭， ||,0,23k ππϕϕ<∴==()sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭ 把函数()f x 的图像向右平移4π个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数()g x ()sin 21sin 21436g x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 设26t x π=-，则5,34t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，此时sin t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以值域为1,0⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （2）由（1）可知()sin 2[1,1]3f x x π⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭ ()()3[4,2]F x f x =-∈--对任意x 都有2()(2)()20F x m F x m -+++≤恒成立令()[4,2]t F x =∈--，2()(2)2h t t m t m =-+++，是关于t 的二次函数，开口向上则max ()0h t ≤恒成立而()h t 的最大值，在4t =-或2t =-时取到最大值则(2)0(4)0h h -≤⎧⎨-≤⎩，4(2)(2)2016(2)(4)20m m m m -+-++≤⎧⎨-+-++≤⎩， 解得103265m m ⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩所以265m ≤-，则m 的最大值为265-. 【点睛】 本小题主要考查由三角函数图像求三角函数的解析式，考查三角函数图像变换，考查不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.28．（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()62k x k Z ππ=+∈；（2）522a ≤<，3π. 【解析】【分析】（1）根据图像得A=2,利用412562T πππω=-=，求ω值，再利用6x π=时取到最大值可求φ，从而得到函数解析式，进而求得对称轴方程；（2）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，方程f （x ）＝2a ﹣3有两个不等实根转为f （x ）的图象与直线y ＝2a ﹣3有两个不同的交点，从而可求得a 的取值范围，利用图像的性质可得12x x +的值.【详解】（1）由图知，2,A =4156242=T ππππω=-=,解得ω=2，f(x)=2sin(2x+φ), 当6x π=时，函数取得最大值，可得2sin 226πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，即sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 2,32k k Z ππϕπ+=+∈，解得2,6k k Z πϕπ=+∈ ，又(0,)2πϕ∈所以6π=ϕ， 故()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 令262x k πππ+=+则()62k x k Z ππ=+∈， 所以()f x 的对称轴方程为()62k x k Z ππ=+∈； （2）70,2,2666x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈∴+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以方程()23f x a =-有两个不等实根时，()y f x =的图象与直线23y a =-有两个不同的交点，可得1232,a ≤-<522a ∴≤<, 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()12f x f x =，有122266x x πππ+++=， 故123x x π+=.【点睛】 本题考查由y ＝A sin （ωx +φ）的部分图象确定函数解析式，考查函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象及性质的综合应用，属于中档题．29．（1）13； （2 【解析】【分析】(1)先由ABC ∆的面积为23sin AD B且D 为BC 的中点，得到ABD ∆的面积；再由三角形的面积公式和正弦定理即可求出结果；(2)根据(1)的结果和6BC AB =，可求出sin BDA ∠和sin BAD ∠；再由余弦定理，即可求出结果.【详解】(1)由ABC ∆的面积为23sin AD B 且D 为BC 的中点可知:ABD ∆的面积为26sin AD B, 由三角形的面积公式可知:21sin 26sin AD AB BD B B⋅⋅=, 由正弦定理可得:3sin sin 1BAD BDA ∠⋅∠=, 所以1sin sin 3BAD BDA ∠⋅∠=, (2)6BC AB = ,又因为D 为中点，所以BC 2BD 6AB ==,即BD 3AB =,在ABD ∆中由正弦定理可得sin sin BD AB BAD BDA=∠∠,所以sin 3sin BAD BDA ∠=∠ 由（1）可知1sin sin 3BAD BDA ∠⋅∠=所以1sin ,sin 13BDA BAD ∠=∠=, ()0,BAD π∠∈ ∴ ,2BAD π∠=在直角ABD ∆中13AD BDA =∠=,所以1,3AB BD ==. BC 2BD =,BC 6∴=在ABC ∆中用余弦定理，可得22212cos 13621633,3b ac ac B b =+-=+-⨯⨯⨯=∴= 【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理以及面积公式，即可求解，属于常考题型.30．(Ⅰ) 3π（Ⅱ）5 【解析】【详解】试题分析：（12sin sin A C A =即可得sin C =60C =︒（2）∵1sin 2S ab C ==a b + 试题解析：解：（12sin sin A C A =，∵,A C 是锐角，∴sin C =60C =︒.（2）∵1sin 2S ab C ==6ab = 由余弦定理得222222cos ()3()187c a b ab C a b ab a b =+-=+-=+-=∴5a b +=点睛：在解三角形问题时多注意正余弦定理的结合运用，正弦定理主要用在角化边和边化角上，而余弦定理通常用来求解边长。
江苏省高考数学考前压轴冲刺(新高考)-专题17 三角函数问题(填空题)(解析版)
专题17 三角函数问题考点预测三角函数与解三角形是江苏高考必考的题型，主要考察正余弦定理，三角函数的图像与性质在解三角形中的灵活运用，常考的知识点如下：1.在ABC ∆中，C B A C B A tan tan tan tan tan tan =++,CB C B A tan tan 1tan tan tan -+-=. 2.在ABC ∆中，B c C b a cos cos +=，A c C a b cos cos +=,A b B a c cos cos +=.3.ABC ∆的面积Rabc R c ab C ab S 4221sin 21===. 4.C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===.5.222222222cos 2,cos 2,cos 2b c a B ac c b a C ab a c b A bc -+=-+=-+=.典型例题1.已知函数f （x ）＝A cos 2（ωx +φ）+1（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜）的最大值为3，f （x ）的图象与y 轴的交点坐标为（0，2），其相邻两条对称轴间的距离为2，则f （1）+f （2）＝ ． 【答案】3【分析】由条件利用二倍角的余弦公式可得f （x ）＝cos （2ωx +2φ）+1+，由函数的最值求出A ，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式，再利用函数的周期性求得所求式子的值．【解答】解：∵函数f （x ）＝A cos 2（ωx +φ）+1＝A •+1＝cos （2ωx +2φ）+1+（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜）的最大值为3，∴+1+＝3，可求：A＝2．∵函数图象相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，即：＝4，∴解得：ω＝．又∵f（x）的图象与y轴的交点坐标为（0，2），可得：cos（2φ）+1+1＝2，∴cos2φ＝0，由0＜φ＜，可得2φ＝，解得：φ＝．∴函数的解析式为：f（x）＝cos（x+）+2＝﹣sin x+2，∴f（1）+f（2）＝﹣（sin+sin）+2×2＝﹣1+4＝3．故答案为：3．【知识点】三角函数的最值、余弦函数的单调性、余弦函数的图象2.已知等边△ABC的边长为1，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，且S△ADF＝S△DEF＝．若AD＝x，CE＝y，则的取值范围为．【分析】由AD＝x，CE＝y，可得BD＝1﹣x，BE＝1﹣y，0≤x≤1，设CF＝z，可得AF＝1﹣z，运用三角形的面积公式，求得y关于x的函数式，令y≤1，得＜x≤或＜x≤1，再由换元法和基本不等式，以及对勾函数的单调性，可得所求范围．【解答】解：由AD＝x，CE＝y，可得BD＝1﹣x，BE＝1﹣y，0≤x≤1，设CF＝z，可得AF＝1﹣z，S△ADF＝S△DEF＝＝•＝，即有S△ADF＝x（1﹣z）•＝，可得z＝1﹣，由z≥0，可得≤x≤1，由S△DEF＝﹣﹣（1﹣x）（1﹣y）•﹣yz•＝，化为1﹣x﹣y+xy+y（1﹣）＝，即为y＝，由y≤1，即有≥0，即或，结合≤x≤1，可得＜x≤或＜x≤1，①则＝，可令3x﹣2＝t，即x＝，可得＝＝，若t＝0，则x＝，＝0；若t＞0，即＜x≤1，可得＝≤＝，当且仅当t＝1，即x＝1时，取得等号，又＞0，可得此时0＜≤；当t＜0时，即≤x＜，由①可得≤x≤，则﹣1≤t≤﹣，则﹣≤t+≤﹣2，则＝≥＝，当且仅当t＝﹣1，x＝时，取得等号，且≤＝2，即≤≤2，则的范围是[0，]∪[，2]．故答案为：[0，]∪[，2]．【知识点】三角形中的几何计算专项突破一、填空题（共15小题）1.已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）满足f（1）＝f（3）＝f（9）＝m，且f（x）在（3，9）上无最小值，则ω＝，函数f（x）的单调减区间为．【分析】由题意可得x＝2、x＝6为函数f（x）的图象上2条相邻的对称轴，f（2）为最小值，f（6）为最大值，由此求出函数的解析式，可得它的减区间．【解答】解：∵函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）满足f（1）＝f（3）＝f（9）＝m，且f（x）在（3，9）上无最小值，∴x＝2、x＝6为函数f（x）的图象上2条相邻的对称轴，f（2）为最小值，f（6）为最大值．故函数的最小正周期为2×（6﹣2）＝8＝，∴ω＝．∴2×+φ＝﹣，6×+φ＝，∴φ＝﹣π，f（x）＝sin（x﹣π）＝﹣sin x．令2kπ﹣≤x≤2kπ+，求得8k﹣2≤x≤8k+2，可得函数f（x）的单调减区间为[8k﹣2，8k+2]，k∈Z，故答案为：；[8k﹣2，8k+2]，k∈Z．【知识点】正弦函数的单调性2.如图，已知△ABC中，点D在边BC上，AD为∠BAC的平分线，且AB＝1，AD＝，AC＝2．则＝，∠BAD＝．【分析】由题意利用三角形内角平分线的性质、余弦定理，求得结果．【解答】解：△ABC中，点D在边BC上，AD为∠BAC的平分线，且AB＝1，AD＝，AC＝2，则由三角形内角平分线的性质可得，＝＝．设∠BAD＝θ，则θ为锐角，设BD＝x，则DC＝2x．由题意在△ABD、△ACD中，分别利用余弦定理可得，x2＝1+﹣2×1××cosθ，4x2＝4+﹣2×2××cosθ，∴4+﹣2×2××cosθ＝4（1+﹣2×1××cosθ），求得cosθ＝，∴θ＝，故答案为：，．【知识点】余弦定理、正弦定理3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若CD是边AB上的中线，且CD＝CA，则的最小值为．【分析】易知cos∠ADC＝﹣cos∠BDC，结合余弦定理可推出a2﹣b2＝，将cos A和cos B均用余弦定理表示，并代入中化简，再结合基本不等式即可得解．【解答】解：根据题意，作出如下所示图形，则CD＝CA＝b，∵∠ADC＝π﹣∠BDC，∴cos∠ADC＝﹣cos∠BDC，由余弦定理得，＝﹣，化简得a2﹣b2＝，∴＝+•＝+•＝+•≥2＝，当且仅当＝•，即a＝b时，等号成立，∴的最小值为．故答案为：．【知识点】三角形中的几何计算、正弦定理4.已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）满足，，且f（x）在区间上单调，则ω取值的个数有个．【答案】3【分析】设函数的最小正周期为T，则T＝，由，可知，，又f（x）在区间上单调，于是，综合解得ω可以为2，6，10，共3个值．【解答】解：设函数的最小正周期为T，则T＝，∵，，∴，n∈N*，即ω＝2（2n﹣1），n∈N*，又f（x）在区间上单调，∴，解得0＜ω＜12，∴n可以为1，2，3，即ω为2，6，10，共3个值．故答案为：3．【知识点】正弦函数的单调性5.已知函数（ω＞0），x∈R，若f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是．【分析】先整理解析式，由f（x）＝0，可得sin（ωx﹣）＝0，解得x＝∉（π，2π），即可得出结论．【解答】解：函数＝sinωx﹣＝sin（），由f（x）＝0，可得sin（ωx﹣）＝0，解得x＝∉（π，2π），∵f（x）在区间（π，2π）内没有零点，∴≥π⇒ω≤1；因为ω＞0；分别取k＝0，1，2，3…∴ω∉（，）∪（，）∪（，）∪…＝（，）∪（，+∞），∵f（x）在区间（π，2π）内没有零点，∴ω∈（0，]∪[，]．故答案为：（0，]∪[，]．【知识点】两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数6.函数的最小正周期T＝，将函数f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数g（x）的图象．若函数y＝f（x）﹣g（x）的最大值为2，则φ的值可以为．【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的性质，得出结论．【解答】解：函数的最小正周期T＝＝π，将函数f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数g（x）＝sin（2x+2φ+）的图象．若函数y＝f（x）﹣g（x）＝sin（2x+）﹣sin（2x+2φ+）的最大值为2，则当sin（2x+）＝1时，sin（2x+2φ+）＝﹣1，则2φ＝（2k﹣1）•π，k∈Z．令k＝1，可得φ＝，故答案为：π；．【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换7.在△ABC中，，点D与点B分别在直线AC的两侧，且AD＝1，，则BD的长度的最大值是．【分析】根据可分析出△ABC是直角三角形，画出图形，可设∠ACD＝α，借助于余弦定理在三角形BCD中表示出BD2，然后再利用三角形ACD借助于余弦定理找到x与α角的关系，代入BD2表达式，利用导数研究函数最值的方法求解．【解答】解：在三角形ABC中，设AC＝x，则BC＝，且．由正弦定理得，解得，显然B为锐角，故B＝．∴．设∠ACD＝α，∴．∴在△BCD中，＝3（x2+1）+6x sinα……①．又∵在△ACD中，．∴．代入①式得：BD2＝．令t＝x2+1，则上式可化为，（）……②．∴，令y′＝0得，可见t＞5．即t2﹣10t+16＝0，∴t＝8或t＝2（舍）将t＝8代入②式得BD2＝27，故．（因为开区间内唯一的极值点即为该函数的最值点）故答案为：3．【知识点】三角形中的几何计算8.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，a＝3．若点D在边BC上，且BD＝2DC，则AD的最大值是．【分析】△ABC中利用正弦定理转化求得A的值，再求出△ABC外接圆的半径；取BC的中点M，利用直角三角形的边角关系与两边之和大于第三边，即可求出AD的最大值．【解答】解：△ABC中，，由正弦定理得，sin A sin B＝sin B cos A，因为sin B≠0，所以tan A＝；又因为0＜A＜π，所以A＝；设△ABC外接圆的圆心为O，半径为R，则由正弦定理得，R＝＝＝；取BC的中点M，如图所示；在Rt△BOM中，BM＝BC＝，OM＝＝＝；在Rt△DOM中，DM＝BD﹣BM＝，OD＝＝＝1；由AD≤AO+OD＝R+OD＝+1，当且仅当圆心O在AD上时取“＝”；所以AD的最大值是+1．故答案为：+1．【知识点】余弦定理、正弦定理9.如图，在矩形OABC与扇形OCD拼接而成的平面图形中，OA＝3，AB＝5，∠COD＝，点E在弧CD上，F在AB上，∠EOF＝．设∠FOC＝x，则当平面区域OECBF（阴影部分）的面积取到最大值时cos x＝．【分析】要求阴影部分面积最大，即求空白部分最小，利用角x结合三角函数，可以分别表示出小扇形和三角形的面积．表示出来后，可以发现是一个正切函数与一次函数的和函数，为求最小值，只需求导数后寻其极值点即可．【解答】解：因为∠EOF＝，所以∠DOE＝x﹣，x∈[，]依题意得当平面区域OECBF（阴影部份）的面积取到最大值时，空白区域的面积和最小，∵S△OAF+S扇DOE＝OA•AF+OD2•∠DOE＝×3×+×52•（x﹣）＝令＝令，故时，s取得最小值，此时．故答案为：【知识点】扇形面积公式10.如图所示，△ABC中，AC＝3，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，且PN＝2PM，则△ABC面积的最大值为．【答案】5【分析】根据题意把设＝，＝，作为该平面的一组基底，根据向量运算的三角形法则及共线向量定理分别表示出，，即可求得AP：PM，BP：PN的值，再设PM＝2t，求得PN，P A，PB，设△APN的面积为x，运用余弦定理和面积公式，结合二次函数的最值可得x的最大值，进而得到所求△ABC的面积的最大值．【解答】解：设＝，＝，则＝+＝﹣3﹣，＝+＝2+，∵A、P、M和B、P、N分别共线，∴存在实数λ、μ，使＝λ＝﹣λ﹣3λ，＝μ＝2μ+μ，故＝﹣＝（λ+2μ）+（3λ+μ）．而＝+＝2+3，∴，解得，故＝，＝，即AP：PM＝4：1．BP：PN＝3：2，设PM＝t，则PN＝2t，P A＝4t，PB＝3t，t＞0，设△APN的面积为x，∠APN＝α，在△APN中，AN＝2，AP＝4t，PN＝2t，可得cosα＝＝，sinα＝，则x＝•4t•2t•sinα＝＝≤，当t2＝，即t＝时，x取得最大值，而△ABP的面积为x，△BPM的面积为，则△ABC的面积为2（+）＝x，则△ABC的面积的最大值为×＝5．故答案为：5．【知识点】解三角形11.在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且2cos A＝a（﹣cos C），c＝2，D为AC上一点，AD：DC＝1：3，则△ABC面积最大时，BD＝．【分析】由2＝c，结合三角形的正弦定理和三角函数的和差公式，可得b＝，再由三角形的海伦面积公式，化简整理，结合二次函数的最值求法，可得三角形的面积取得最大值时a的值，再由余弦定理计算可得所求值．【解答】解：∵2cos A＝a（﹣cos C），c＝2，∴c cos A＝﹣a cos C，∴由正弦定理可得sin C cos A+sin A cos C＝sin A，∴sin（A+C）＝sin B＝sin A，∴b＝，由p＝，p﹣a＝，p﹣c＝，p﹣b＝，由三角形的海伦面积公式可得S△ABC＝＝＝＝＝＝＝，当a2＝12，即a＝2时，b＝2，△ABC的面积取得最大值，∵D为AC上一点，AD：DC＝1：3，∴AD＝，∴由余弦定理可得cos A＝＝＝，解得BD＝．故答案为：．【知识点】余弦定理12.如图，边长为a的正方形ABCD内的点P，Q满足：AP∥CQ，AP＝b，CQ＝2b，PQ＝b，则当∠P AB最小时，a：b的值为．【答案】2【分析】作四边形PQCR，可得R在分AC为的阿氏圆上，求出b＝PQ＝即可【解答】解：作平行四边形PQCR，则＝，根据阿氏圆定理，可知点R在分AC为的阿氏圆上，设圆在直线AC上的两点及圆心分别是M、N、O，易知CM＝CA，CO＝CA，OM＝ON＝CA，当AR与圆O相切于下方时，∠P AB最小，此时b＝PQ＝AR0＝＝，所以，故答案为2．【知识点】三角形中的几何计算13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且3a sin A＝2b sin B+c sin C．记△ABC的面积为S．则的最大值为．【分析】观察已知条件3a sin A＝2b sin B+c sin C．与目标式，构造它们之间的联系．【解答】解：由条件及正弦定理可得3a2＝2b2+c2，所以＝＝＝•＝•＝≤＝．故答案为：．【知识点】正弦定理14.，若，则α＝【分析】根据两角和差的公式，利用换元法转化为方程进行求解即可．【解答】解：∵sin（﹣α）＝sin[﹣（α+）]＝cos（α+），∴由，得sin（α+）+cos（α+）＝sin2（α+）+﹣1①设t＝sin（α+）+cos（α+），则t＝sin（α++）＝sin（α+），∵，∴α+∈[，]，则t＞0，同时sin2（α+）＝t2﹣1，则方程①等价为t＝t2﹣1+﹣1＝0，即t2﹣t+﹣2＝0．即t＝＝＝，即t＝＝或t＝＝1（舍）由t＝sin（α+）＝，得sin（α+）＝1，即α+＝，即α＝﹣＝，故答案为：．【知识点】两角和与差的三角函数15.如图已知等边△ABC的边长为2，点D在AB上，点E在AC上，CD与BE交于点F，AB＝2AD，AC＝3AE，则△BCF的面积为．【分析】首先根据题意建立平面直角坐标系，进一步求出点ABCDE的坐标，进一步求出直线BE和CD的直线方程，最后利用二元一次方程组求出点F的坐标，最后求出三角形的面积．【解答】解：根据等边三角形建立平面直角坐标系：如图所示：由于三角形为边长为2的等边三角形，故：A（0，），B（﹣1，0），C（1，0）AB＝2AD，AC＝3AE，所以：D为线段AB的中点，所以：D（），E为线段AC的三等分点，过点E作EH∥AO，得到：E（），所以：直线BE的方程为：y＝＝，直线CD的直线方程为：，所以：，解得：，y＝，则：．故答案为：【知识点】三角形中的几何计算。
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1. 已知函数321,(,1]12()111,[0,]362x x x f x x x ⎧∈⎪+⎪=⎨⎪⎪-+∈⎩，函数()⎪⎭⎫⎝⎛=x πsin a x g 622+-a (a >0)，若存在 12[0,1]x x ∈、，使得12()()f x g x =成立，则实数a 的取值范围是________14[,]23解析：即两函数在]1,0[上值域有公共部分，先求)(x f 值域]1,0[]61,0[]1,61[⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=， ]232,22[)(a a x g -+-∈，故⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-0232122a a 2. 若A 是锐角三角形的最小内角，则函数A A y sin 2cos -=的值域为______)1,231[-- 解析：设090<≤≤C B A ,0601803≤⇒=++≤A C B A A ，但锐角三角形无法体现，因为0>A 就可以，故0600<<A ，89)41(sin 22++-=A y ，)23,0(sin ∈A 3. 已知O 是锐角ABC ∆的外接圆的圆心，且θ=∠A ，若AO m AC BCAB C B 2sin cos sin cos =+，则________=m （用θ表示）θsin解析：AO m AC BCAB C B 2sin cos sin cos =+，两边同除以R 2 Rm b C c B ⋅=⋅+⋅⇒cos cos 321cos cos e m e C e B ⋅=⋅+⋅⇒ （其中)3,2,1(=i e i 都为单位向量），而090=+=+βαC B ，故有321sin sin e m e e =⋅+⋅βα，两边同乘以3e 得，m =+αββαcos sin cos sin4. 设θγ,为常数))2,4(),4,0((ππγπθ∈∈，若-=-++αθβγγα(sin sin )sin()sin()cos (cos cos )sin βαθβ++对一切R ∈βα,恒成立，则__)4(sin )cos(tan tan 2=+-+πθγθγθ 2解析：法一：令2cos 2sin 20πγθθγβα=+⇒=⇒==22)22cos(12sin 1)4(sin )22cos(12=+-+=+-+⇒πθθπθπθ法二：按βα,合并，有0)cos )(sin cos (cos )sin )(cos sin (sin =-++--θγβαθγβα⎩⎨⎧==⇒θγθγcos sin sin cos 5. 已知函数①x x f ln 3)(=；②xex f cos 3)(=；③xe xf 3)(=；④x x f cos 3)(=，其中对于)(x f 定义域内的任意一个自变量1x 都存在唯一个自变量2x ，使3)()(21=x f x f 成立的函数的序号是______③解析：①1=x 不成立；②④周期性不唯一6. 在ABC ∆中，已知,3,4==AC BC 且1817)cos(=-B A ，则____cos =C 61 解析：画图在BC 上取点D ，使x BD AD ==，在ADC ∆中应用余弦定理：)cos(cos B A CAD -=∠7. 已知函数()sin cos f x x a x =+的图象的一条对称轴是53x π=，若 ()sin cos g x a x x =+sin()(0,0,0)A x A ωϕωϕπ=+>><<表示一个简谐运动，则其初相是32π 解析：)35()67()2()(πππf g x f x g =-⇒-=，故)(x g 的对称轴为67π-=x ，即 ACx xx -4 335267ππϕππϕπ+=⇒+=+-k k ，又πϕ<<0，故32πϕ= 8. 如果满足∠ABC =60°，8AB =，AC k =的△ABC 只有两个，那么k 的取值范围是 )8,34(解析：画图和184（即本类31题）,186（即本类32题）属于一类题9. 已知函数)4541(2)cos()sin()(≤≤+-=x xπx πx x f ，则f (x )的最小值为____554解析：（2007全国联赛）)4541(2)4sin(2)(≤≤+-=x xππx x f ，设)4541)(4sin(2)(≤≤-=x ππx x g ，则g (x )≥0，g (x )在]43,41[上是增函数，在]45,43[上是减函数，且y =g (x )的图像关于直线43=x 对称，则对任意]43,41[1∈x ，存在]45,43[2∈x ，使g (x 2)=g (x 1)。
于是)(2)(2)(2)()(22212111x f x x g x x g x x g x f =+≥+=+=，而f (x )在]45,43[上是减函数，所以554)45()(=≥f x f ，即f (x )在]45,41[上的最小值是55410. 满足条件BC AC AB 2,2==的三角形ABC 的面积的最大值解析：2008江苏高考题，本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想．设BC ＝x ，则AC，根据面积公式得ABC S ∆=1sin 2AB BC B ⨯=，根据余弦定理得2222242cos 24AB BC AC x x B AB BC x +-+-==⨯244x x-=，代入上式得ABC S ∆==BAC C由三角形三边关系有22x x +>+>⎪⎩解得22x <<，故当x =ABC S ∆最大值11. 已知定义域为D 的函数f(x),如果对任意x∈D,存在正数K, 都有∣f(x)∣≤K∣x∣成立，那么称函数f(x)是D 上的“倍约束函数”，已知下列函数：①f(x)=2x②()f x =2sin()4x π+；③()f x；④()f x =21xx x -+，其中是“倍约束函数的序号是 ①③④解析：①x x 22≤；②数形结合不可能存在k 使|||)4sin(2|x k x ≤+π恒成立；③)1(1122≥-≥⇒≤-x x x k x k x 成立；④11122+-≥⇒≤+-x x k x k x x x 12. 若[]0,απ∈,,44ππβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，λ∈R ，且3cos 202πααλ⎛⎫---= ⎪⎝⎭，34sin cos 0βββλ++=，则cos 2αβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为= 22解析：令x x x f sin )(3+=，则απαπαπαπαcos )2()2sin()2()2(33--=-+-=-fλ2=，λββββββ2)cos sin 4(22sin 8)2(33-=+=+=f ，故022=+-βπα13. 已知0>a ，设函数120092007()sin ([,])20091x x f x x x a a ++=+∈-+的最大值为M ，最小值为N ，那么=+N M ．4016解析：x x f x x sin 12009120092008)(++-+=，注意到1200912009+-x x 和x sin 都为奇函数，故对函数)(x f 考虑构造新函数x x g xx sin 1200912009)(++-=为奇函数，而)(2008)(x g x f +=，在区间],[a a -上由奇函数的对称性知0)()(=+-x g x g ，故401622008=⨯=+N M14. 函数x b x a x f cos sin )(-=图象的一条对称轴方程是4π=x ，则直线0=+-c by ax 的倾斜角为 _______43π解析：22)4(b a f +±=π即0)(2222=+⇒+±=-b a b a b a 15. 若()sin() 1 (0,||<π)f x A x ωϕωϕ=++>对任意实数t ，都有()()ππ33f t f t +=-+．记()cos()1g x A x ωϕ=+-，则π()3g = ．－1解析：()()ππ33f t f t +=-+知)(x f 一条对称轴是3π=x ，1)3sin(±=+ϕωπ，0)3cos(=+ϕωπ16. 设)2,0(π∈x ，则函数)cos 1)(cos sin 1(sin 2222xx x x ++最小值是__________425解析：令x b x a 22cos ,sin ==，则41,1≤=+ab b a ，原式ba ab ab ab +++=14252441=++≥ 17. 若对于)2,0(π∈x ，不等式9cos sin 122≥+xpx 恒成立，则正实 数p 的取值范围为__________[)4∞，+解析：9)1(cos sin sin cos )1()cos sin 1)(cos (sin 222222222≥+≥+++=++p xx p x x p x p x x x 18. 设函数)cos (sin )(x x e x f x-=，若π20110≤≤x ，则函数)(x f 的各极大值之和为 πππ220121)1(e e e --解析：]2011,0[,0sin 2)('∈=⇒==x k x x e x f xπ，但要使)(x f 取极大值，则2011,...,5,3,1=k ，故各极大值和为ππππππ22012201131)1(...e e e ee e --=+++19. 在斜三角形ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若1tan tan tan tan =+BCA C ，则=+222c b a _ 3 解析：12cos sin sin sin cos sin )sin cos sin cos (cos sin 22222=-+==⋅=+c b a c C ab c B A C C C B B A A C C 20. 设b a ,均为大于1的自然数，函数x b x g x b a x f cos )(),sin ()(+=+=，若存在实数m ，使得)()(m g m f =，则b a +的值为_________4解析：1)sin(1)1(0cos sin )()(22+≤++=-⇒=--+=-a x a a b x b x a ab x g x f ϕ因b a ,均为大于1的自然数，故)2(,21211221211)1(1222222≥-++=+-+=-++=-+≤a aa a a a a a a a ab 的最大值5，故2=b ，此时2=a21. 直线l 与函数]),0[(sin π∈=x x y 图象相切于点A ，且OP l //，O 为原点，P 为图象的极值点，l 与x 轴交点为B ，过切点A 作x AC ⊥轴，垂足为C ，则_____=⋅BC BA 442-π解析：设)sin ,(00x x A ，切线方程为)(cos sin 000x x x x y -=-，令0=y ，00tan x x x B -=，202)(tan x BC ==⋅，而π2cos 0==OP k x44)2()2(1cos sin )(tan 22220220-=-==∴πππx x x22. 设△ABC 的BC 边上的高AD ＝BC ，a ，b ，c 分别表示角A ，B ，C 对应的三边，则b c ＋c b的取值范围是 ]5,2[解析：因为BC 边上的高AD ＝BC ＝a ，．所以ABC S ∆＝212a ＝1sin 2bc A ，所以sin A ＝2a bc ．又因为cos A ＝2222b c a bc +-＝212b c a c b bc ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，所以b c ＋c b ＝2cos A ＋sin A 同时b c＋c b ≥2，所以b c ＋cb∈[2． 23. 已知点O 为ABC ∆24==,则=• 6 解析：61224cos 2cos 4)(=⋅-⋅=∠-∠=-=⋅RR R R BAO R CAO R AB AC AO BC AO 24. 在ABC ∆中， 223cos cos 222C A a c b +=，且ABC ∆的面积sin S a C =，则a c +的值是________4解析：sin S a C =得2=b ，223coscos 222C A a c b += b A c C a b A c C a 3)cos 1()cos 1(232cos 12cos 1=+++⇒=+⋅++⋅⇒ 4233)cos cos (==+⇒=++⇒=+++⇒b c a b b c a b A c C a c a25. 设D 是ABC ∆边BC 延长线上一点，记)1(λλ-+= ，若关于x 的方程01sin )1(sin 22=++-x x λ在)2,0[π上恰有两解，则实数λ的取值范围是____4-<λ或122--=λ解析：令x t sin =则01)1(22=++-t t λ在)1,1(-上恰有一解，数形结合知0)1()1(<⋅-f f 4-<⇒λ或2>λ，或者1220--=⇒=∆λ又)1(λλ-+=λ=⇒0<⇒λ 所以4-<λ或122--=λ26. 已知函数f (x )=2cos x x -，x ∈ππ[]22-，，则满足f (x 0)＞f (3π)的x 0的取值范围为__[,)23ππ--∪(,]32ππ解析：注意到)(x f 的奇偶性和单调性即可27. 平面四边形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝DC ＝CB ＝1，△ABD 和△BCD 的面积分别为S ，T ，则S 2＋T 2的最大值是 ．87解析：如图，设βα=∠=∠C A ,,由余弦定理知：1cos 3cos cos 2cos 222222-=⇒⋅-+==⋅-+αββαBC CD BC CD BD AB AD AB AD 332cos 0)1,1(<<⇒-∈α，又87)63(cos 23sin 41sin 4322222+--=+=+αβαT S ，当63cos =α时，最大值为87 28. 设点),(00y x P 是函数x ytan =与x y -=（0>x ）图象的一个交点，则=++)12)(cos 1(020x x __________2解析：)0(tan 000>=x x x ，法一：消0x ，2cos 2)1(tan 0202=⋅+x x ，法二：消0tan x ，用万能公式.ACDS T说明：若无00>x ，则可以用特殊值00=x 求解____]3,1[30. 设G 是ABC ∆的重心，且0)sin 35()sin 40()sin 56(=++GC C GB B GA A ，则角B 的大小为__________60°解析：由重心性质知c b a C B A 354056sin 35sin 40sin 56==⇒==，下面用余弦定理即可求解31. 在ABC ∆中，已知2,22==a b ，如果三角形有解，则A ∠的取值范围是⎥⎦⎤ ⎝⎛4,0π 解析：数形结合，先画22==b AC ，再以C 为圆心，2=a 为半径画圆，如图即可解得.法二：正弦定理b BbA a ≥=sin sin 32. 如图，动点M 在圆228x y +=上，(2,0)A 为一定点，则OMA ∠的最大值为 4π解析：本题等同于31题。