高考数学精选高难度压轴填空题----立体几何
专题4.4 立体几何中最值问题-2021届高考数学压轴题讲义(选填题)(原卷版)
一．方法综述高考试题将趋于关注那些考查学生运用运动变化观点处理问题的题目，而几何问题中的最值与范围类问题，既可以考查学生的空间想象能力，又考查运用运动变化观点处理问题的能力，因此，将是有中等难度的考题．此类问题，可以充分考查图形推理与代数推理，同时往往也需要将问题进行等价转化，比如求一些最值时，向平面几何问题转化，这些常规的降维操作需要备考时加强关注与训练．立体几何中的最值问题一般涉及到距离、面积、体积、角度等四个方面,此类问题多以规则几何体为载体,涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等,题目较为综合,解决此类问题一般可从三个方面思考：一是函数法,即利用传统方法或空间向量的坐标运算,建立所求的目标函数,转化为函数的最值问题求解；二是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；三是将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解.二．解题策略类型一距离最值问题【例1】【河南省焦作市2019届高三三模】在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F分别在棱AA1和AB上，且C1E⊥EF，则|AF|的最大值为（）A．B．1 C．D．2【指点迷津】建立空间直角坐标系，求出坐标，利用C 1E⊥EF，求出|AF|满足的关系式，然后求出最大值即可．利用向量法得到|AF|的关系式是解题的关键，故选D.【举一反三】1、【江西省吉安市2019届高三上学期期末】若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的棱长为A ．B ．C ．D ．2、【河南省顶级名校2019届高三第四次联合测评】在侧棱长为的正三棱锥中，侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，现有一小球P 在该几何体内，则小球P 最大的半径为 A ． B ． C ．D ．3、如右图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中， E 为棱1CC 的中点，点,P Q 分别为面1111A B C D 和线段1B C 上的动点，则PEQ ∆周长的最小值为_______．类型二 面积的最值问题【例2】【河南省郑州市2019年高三第二次质量检测】在长方体中，，，分别是棱的中点，是底面内一动点，若直线与平面没有公共点，则三角形面积的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．【指点迷津】截面问题，往往涉及线面平行，面面平行定义的应用等，考查空间想象能力、逻辑思维能力及计算求解能力.解题的关键是注意明确截面形状，确定几何量.本题由直线与平面没有公共点可知线面平行，补全所给截面后，易得两个平行截面，从而确定点P 所在线段，得解． 【举一反三】1、【湖南省衡阳市2019届高三二模】如图，直角三角形，，，将绕边旋转至位置，若二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．2、如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，2,11==AA AB ，点P 是平面1111D C B A 内的一个动点，则三棱锥ABC P -的正视图与俯视图的面积之比的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．21 D ．41 3、【福建省2019届高三模拟】若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的所有侧面和底面中，面积的最大值为（ ）A ．2B ．C ．3D ．类型三 体积的最值问题 【例3】如图，已知平面平面，，、是直线上的两点，、是平面内的两点，且，，，，，是平面上的一动点，且有，则四棱锥体积的最大值是（ ）A.B.C.D.【指点迷津】本题主要考查面面垂直的性质，棱锥的体积公式以及求最值问题. 求最值的常见方法有①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法；③不等式法；④单调性法；⑤图像法，本题首先根据线面关系将体积最值转化为函数求最值问题，然后应用方法①解答的. 【举一反三】1、已知AD 与BC 是四面体ABCD 中相互垂直的棱，若6AD BC ==，且60ABD ACD ∠=∠=，则四面体ABCD 的体积的最大值是A. 182B. 362C. 18D. 36 2、如图，已知平面l αβ=，A 、B 是l 上的两个点，C 、D 在平面β内，且,,DA CB αα⊥⊥4AD =，6,8AB BC ==，在平面α上有一个动点P ，使得APD BPC ∠=∠，则P ABCD -体积的最大值是（ ）A.243B.16C.48D.1443.【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第三次测评】已知一个高为l 的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为2的等边三角形，内有 一个体积为的球，则的最大值为（ ） A ．B ．C ．D ．类型四 角的最值问题【例4】如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，E 、F 分别为AB 、BC 的中点.设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则θcos 的最大值为.【指点迷津】空间的角的问题，只要便于建立坐标系均可建立坐标系，然后利用公式求解.解本题要注意，空间两直线所成的角是不超过90度的.几何问题还可结合图形分析何时取得最大值.当点M 在点P 处时，EM 与AF 所成角为直角，此时余弦值为0（最小），当点M 向左移动时，.EM 与AF 所成角逐渐变小，点M 到达点Q 时，角最小，余弦值最大. 【举一反三】1、矩形ABCD 中，，，将△ABC 与△ADC 沿AC 所在的直线进行随意翻折，在翻折过程中直线AD 与直线BC 成的角范围（包含初始状态）为（ ）A.B.C.D.2、在正方体1111D C B A ABCD -中，O 是BD 中点，点P 在线段11D B 上，直线OP 与平面BD A 1所成的角为α，则αsin 的取值范围是（ ） A ．]33,32[B ．]21,31[C ．]33,43[D ．]31,41[ 3.【云南省昆明市云南师范大学附属中学2019届高三上学期第四次月考】如图，在正方体中，点P 为AD 的中点，点Q 为上的动点，给出下列说法：可能与平面平行；与BC 所成的最大角为； 与PQ 一定垂直； 与所成的最大角的正切值为；．其中正确的有______写出所有正确命题的序号4、在正四面体P ABC -中，点M 是棱PC 的中点，点N 是线段AB 上一动点，且AN AB λ=，设异面直线NM 与AC 所成角为α，当1233λ≤≤时，则cos α的取值范围是__________．三．强化训练 一、选择题1、【甘肃省2019届高三第一次高考诊断】四棱锥的顶点均在一个半径为3的球面上，若正方形的边长为4，则四棱锥的体积最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．2．【广东省东莞市2019届高三第二次调研】已知一个四棱锥的正主视图和俯视图如图所示，其中，则该四棱锥的高的最大值为A ．B ．C ．4D ．2 3．【四川省教考联盟2019届高三第三次诊断】已知四棱锥的底面四边形的外接圆半径为3，且此外接圆圆心到点距离为2，则此四棱锥体积的最大值为（ ） A ．12B ．6C ．32D ．244．【安徽省蚌埠市2019届高三第一次检查】某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，三棱锥表面上的点M 在俯视图上的对应点为A ，三棱锥表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则线段MN 的长度的最大值为A ．B ．C ．D ．5．如图，在矩形ABCD 中， 2,1AB AD ==,点E 为CD 的中点， F 为线段CE （端点除外）上一动点现将DAF ∆沿AF 折起，使得平面ABD ⊥平面ABC 设直线FD 与平面ABCF 所成角为θ，则sin θ的最大值为（ ）A.13 B. 24 C. 12 D. 236．【2019年4月2019届高三第二次全国大联考】已知正四面体的表面积为，点在内（不含边界）. 若，且，则实数的取值范围为（ ） A ． B ． C ．D ．二、填空题7．【山东省青岛市2019届高三3月一模】在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，面，且，若在这个四棱锥内有一个球，则此球的最大表面积为__________．8．【陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校2019届高三3月联考】如图，已知正四棱柱和半径为的半球O ，底面ABCD 在半球O 底面所在平面上，，，，四点均在球面上，则该正四棱柱的体积的最大值为______．9．【陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校2019届高三3月联考】如图，已知圆柱和半径为的半球O ，圆柱的下底面在半球O 底面所在平面上，圆柱的上底面内接于球O ，则该圆柱的体积的最大值为_____．10．【江西省上饶市2019届高三二模】一个棱长为的正方体形状的铁盒内放置一个正四面体，且能使该正四面体在铁盒内任意转动，则该正四面体的体积的最大值是_____.11．【河北省衡水市第二中学2019届高三上期中】已知体积为的正四棱锥外接球的球心为，其中在四棱锥内部.设球的半径为，球心到底面的距离为.过的中点作球的截面，则所得截面圆面积的最小值是___________.12．【江西省临川第一中学等九校2019届高三3月联考】如图所示，三棱锥的顶点，，，都在同一球面上，过球心且，是边长为2等边三角形，点、分别为线段，上的动点（不含端点），且，则三棱锥体积的最大值为__________．13．【安徽省蚌埠市2019届高三下学期第二次检查】正三棱锥中，，点在棱上，且.正三棱锥的外接球为球，过点作球的截面，截球所得截面面积的最小值为__________．14．【江西师范大学附属中学2019高三上学期期末】若一个四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球的体积最小时，它的高为_________．15．【江西省上饶市2019届高三二模】已知正方体的棱长为，平面与对角线垂直且与每个面均有交点，若截此正方体所得的截面面积为，周长为，则的最大值为______.16．【河南省洛阳市2019届高三第二次统考】正四面体中，是的中点，是棱上一动点，的最小值为，则该四面体内切球的体积为_____.17．【2019届湘赣十四校高三联考第二次考试】如图，正三棱锥的高，底面边长为4，，分别在和上，且，当三棱锥体积最大时，三棱锥的内切球的半径为________．。
专题08-1立体几何问题第一季-2019年领军高考数学(理)压轴题必刷题(解析版)
专题08-1立体几何问题第一季1．正三棱柱中,所有棱长均为2,点分别为棱的中点,若过点作一截面,则截面的周长为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】在正三棱柱中，延长和交于点M，连接，交于点，分别连接，则过点的截面为四边形，如图所示，由，可得，由，则，解得，则，在直角中，，则，在直角中，，则，在直角中，，则，在中，，由余弦定理可得，即，所以截面的周长为，故选B.2．设正方体的棱长为，为的中点，为直线上一点，为平面内一点，则，两点间距离的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】结合题意，绘制图形结合题意可知OE是三角形中位线，题目计算距离最短，即求OE与两平行线的距离，，所以距离d，结合三角形面积计算公式可得，解得，故选B。
3．如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，是底面内一动点，若直线与平面不存在公共点，则三角形的面积的最小值为A．B．1 C．D．【答案】C【解析】延展平面，可得截面,其中分别是所在棱的中点，直线与平面不存在公共点，所以平面,由中位线定理可得,在平面内，在平面外，所以平面,因为与在平面内相交，所以平面平面,所以在上时，直线与平面不存在公共点，因为与垂直，所以与重合时最小，此时，三角形的面积最小，最小值为，故选C.4．已知四面体，，则该四面体外接球的半径为（）学科_网A．1 B．C．D．【答案】B【解析】设为的中点，由于三角形为直角三角形，故其外心为点，则球心在点的正上方，设球心为，作出图像如下图所示.其中，.由余弦定理得，.设外接球的半径为.在三角形中，由勾股定理得①.在三角形中，由余弦定理得②.在三角形中，由余弦定理可知，由于，则，所以，所以③.联立①②③可得.故选B.5．如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABC⊥平面BCD，△BAC与△BCD均为等腰直角三角形，且∠BAC=∠BCD=90°，BC=2，点P是线段AB上的动点，若线段CD上存在点Q，使得异面直线PQ与AC成30°的角，则线段P A长的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】以C为原点，CD为轴，CB为轴，过C作平面BCD的垂线为轴，建立空间直角坐标系，则，设，则，6．已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=2，CC1=3，长方体每条棱所在直线与过点C1的平面α所成的角都相等，则直线AC与平面α所成角的余弦值为（）A．或1 B．或0 C．或0 D．或1【答案】A在直角△EGC1中，，GC1＝2，，∴sin．∴直线AC与平面α所成角的余弦值为1，，故选：A．7．已知直三棱柱中的底面为等腰直角三角形，，点，分别是边，上动点，若直线平面，点为线段的中点，则点的轨迹为A．双曲线的一支（一部分）B．圆弧（一部分）C．线段（去掉一个端点）D．抛物线的一部分【答案】C【解析】如图作平面PQRK∥平面BCC1B1，可得到点M，N为平面PQRK与边，的交点，取MN的中点D，由对称性可知，在梯形NQRM中，D到底面ABC的距离DF始终为三棱柱高的一半，故Q落在到底面ABC距离为三棱柱高的一半的平面上，且与底面ABC平行.又D在底面的投影F始终在底面BC的高线AE上，即Q落在过底面BC的高线且与底面垂直的平面上，所以Q在两个面的交线上，又只能落在柱体内，故为线段OH，又直线平面，所以去掉O点，故选C.8．已知点在同一个球面上，，若四面体体积的最大值为10，则这个球的表面积是A．B．C．D．【答案】B【解析】由，可知，则球心在过中点与面垂直的直线上，因为面积为定值，所以高最大时体积最大，根据球的几何性质可得，当过球心时体积最大，因为四面体的最大体积为10，所以，可得，在中，，，得，球的表面积为，故选B.学科_网9．已知过球面上三点、、的截面到球心距离等于球半径的一半，且，，则球面面积为（）A．B．C．D．【答案】C10．有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个对棱相等的三棱锥形的铁架，则此三棱锥体积的取值范围是A．B．C．D．【答案】B【解析】构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，如图所示，AD=BC=a,此时0＜a＜2．取BC中点为E,连接AE,DE,易得：BC⊥平面ADE,∴，当且仅当4即时，等号成立，∴此三棱锥体积的取值范围是故选：11．已知正三棱锥P—ABC（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）的侧面是顶角为30°腰长为2的等腰三角形，若过A的截面与棱PB，PC分别交于点D和点E，则截面△ADE周长的最小值是（）A．B．2C．D．2【答案】D【解析】将三棱锥的侧面展开,如图则将求截面周长的最小值,转化成计算的最短距离,结合题意可知=,,所以,故周长最小值为,故选D.12．过棱长为1的正方体的一条体对角线作截面，则截得正方体的截面面积的最小值是A．1 B．C．D．【答案】D【解析】如图：在正方体中，取的中点,连接,过的平面截得正方体的截面中，当截面为菱形时，截面面积最小，,故选D.学_科网13．已知球是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】画出图象如下图所示，其中是球心，是等边三角形的中心.根据等边三角形中心的性质有，，设球的半径为，在三角形中，由勾股定理得，即，解得，故最大的截面面积为.在三角形中，，由余弦定理得.在三角形中，,过且垂直的截面圆的半径，故最小的截面面积为.综上所述，本小题选B.14．正三棱锥的底面边长为，高为，它在六条棱处的六个二面角（侧面与侧面或者侧面与底面）之和记为，则在从小到大的变化过程中，的变化情况是（）A．一直增大B．一直减小C．先增大后减小D．先减小后增大【答案】D15．已知中，，，将绕BC旋转得，当直线PC与平面P AB所成角的正弦值为时，P、A两点间的距离是（）A．2 B．4 C．D．【答案】C【解析】画出图像如下图所示.设是的中点，则，过作交于，连接.由于，所以平面，所以，故平面，所以，结合，证得平面.故是直线与平面所成的角.故，.设，则，在直角三角形中，利用面积公式有，解得，即，故,.16．如图，在△ABC中，∠C=90°，PA⊥平面ABC，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，AP=AB=2，∠EAF=α，当α变化时，则三棱锥P﹣AEF体积的最大值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】在中，，，底面，得，平面，可得，平面，平面，且面，三棱锥的高为定值，平面平面，中，，，∴当，即时，有最大值为，此时，三棱锥的体积的最大值为，故选C．17．如图所示，四边形ABCD为边长为2的菱形，∠B=60°，点E,F分别在边BC,AB上运动(不含端点)，且EF//AC，沿EF把平面BEF折起，使平面BEF⊥底面ECDAF，当五棱锥B-ECDAF的体积最大时，EF的长为（）A．1 B．C．D．【答案】B【解析】由可知三角形为等边三角形，设，等边三角形的高为，面积为，所以五边形的面积为，故五棱锥的体积为.令，解得，且当时，单调递增，时，单调递减，故在时取得极大值也即是最大值.故选B. 18．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，平面A1B1C1D1内的一动点P，满足到点A1的距离与到线段C1D1的距离相等，则线段PA长度的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如图，以A1D1的中点为原点，以A1D1为x轴建立如图所示的空间直角坐标系，则．由于动点P到点A1的距离与到线段C1D1的距离相等，所以点P在以点A1为焦点、以C1D1为准线的抛物线上．由题意得，在平面内，抛物线的方程为，设点P的坐标为，则，所以，又，所以当时，有最小值，且．故选C．19．如图，设梯形所在平面与矩形所在平面相交于，若，，，则下列二面角的平面角大小为定值的是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】如图，在等腰梯形中,过作于，作于,连接,在梯形中,由，可得，由三角形直角三角形，且，可得，则，，即，则平面，为二面角的平面角，同理可得为二面角的平面角，平面平面，则二面角的平面角为，与均为等腰三角形，，，，即二面角为，故选D.20．如图，已知三棱锥，记二面角的平面角为，直线与平面所成的角为，直线与所成的角为，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】不妨设三棱锥D-ABC是棱长为2的正四面体，取AB中点E，DC中点M，AC中点M，连结DE、CE、MN、EN，过D作DO⊥CE，交CE于O，连结AO，则∠DEC=α，∠DAO=β，∠MNE=γ，∴，，∴，取BC中点E，连结DE、AE，则DE⊥BC，AE⊥BC，又DE∩AE=E，∴BC⊥平面AED，∴BC⊥AD，∴γ=90°．∴γ≥α≥β．学_科网故选：A．。
专题5 立体几何压轴小题(原卷版)
专题5 立体几何压轴小题一、单选题 1．（2022·全国·高三专题练习）正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，所有棱长均为2，点E ，F 分别为棱BB 1，A 1C 1的中点，若过点A ，E ，F 作一截面，则截面的周长为（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2022·全国·高三专题练习）直角ABC 中，2AB =，1BC =，D 是斜边AC 上的一动点，沿BD 将ABD △翻折到A BD '，使二面角A BD C '--为直二面角，当线段A C '的长度最小时，四面体A BCD '的外接球的表面积为（ ） A ．134πB ．143πC ．133πD ．125π3．（2022·全国·高三专题练习）已知长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，BC =13AA =，P 为矩形1111D C B A 内一动点，设二面角P AD C --为α，直线PB 与平面ABCD 所成的角为β，若αβ=，则三棱锥11P A BC -体积的最小值是（ ）AB ．1C D 4．（2022·全国·高三专题练习）如图，斜三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是正三角形，,,E F G 分别是侧棱111,,AA BB CC 上的点，且AE CG BF >>，设直线,CA CB 与平面EFG 所成的角分别为,αβ，平面EFG 与底面ABC 所成的锐二面角为θ，则（ ）A ．sin sin sin ,cos cos cos θαβθαβ<+≤+B ．sin sin sin ,cos cos cos θαβθαβ≥+<+C ．sin sin sin ,cos cos cos θαβθαβ<+>+D ．sin sin sin ,cos cos cos θαβθαβ≥+≥+5．（2022·宁夏·平罗中学三模（理））已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，动点M 在侧面11BCC B 上运动（包括边界），且12MB MB =，则1D M 与平面11ADD A 所成角的正切值的取值范围为（ ）A．⎡⎣B．⎤⎥⎣⎦ C．⎤⎥⎣⎦D．⎡⎣6．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥Q EFGH -中，底面是边长为4QE QF QG QH ====，M 为QG 的中点.过EM 作截面将此四棱锥分成上､下两部分，记上､下两部分的体积分别为1V ，2V ，则12V V 的最小值为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．157．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥P ABC -中，顶点P 在底面的射影为ABC 的垂心O （O 在ABC 内部），且PO 中点为M ，过AM 作平行于BC 的截面α，过BM 作平行于AC 的截面β，记α，β与底面ABC 所成的锐二面角分别为1θ，2θ，若PAM PBM θ∠=∠=，则下列说法错误的是（ ） A ．若12θθ=，则AC BC = B ．若12θθ≠，则121tan tan 2θθ⋅= C ．θ可能值为6πD ．当θ取值最大时，12θθ=8．（2022·全国·高三专题练习）已知三棱锥P ABC -三条侧棱PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且6PA PB PC ===，M ､N 分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段MN 的长度的最小值为（ ）A．3 B．6 C．6- D．9．（2022·全国·高三专题练习）已知在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为棱BC 的中点，直线l 在平面1111D C B A 内．若二面角A l E --的平面角为θ，则cos θ的最小值为（ ）AB ．1121C D ．3510．（2022·全国·高三专题练习）在三棱台111BCD B C D -中，1CC ⊥底面BCD ，BC CD ⊥，12BC CD CC ===，111B C =．若A 是BD 中点，点P 在侧面11BDD B 内，则直线1DC 与AP 夹角的正弦值的最小值是（ ）A ．16B C D11．（2022·全国·高三专题练习）如图，在棱长为1111ABCD A B C D -中，点P 是平面11A BC 内一个动点，且满足1||||5DP PB +=+1B P 与直线1AD 所成角的取值范围为（ ） （参考数据：43sin53,sin37)55︒=︒=A ．[37︒，53]︒B ．[37︒，90]︒C ．[53︒，90]︒D ．[37︒，127]︒12．（2022·全国·高三专题练习）已知正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为3，E 为棱AB 上的靠近点B 的三等分点，点P 在侧面CC D D ''上运动，当平面B EP '与平面ABCD 和平面CC D D ''所成的角相等时，则D P '的最小值为（ ）A B C D 13．（2022·全国·高三专题练习）已知点P 是正方体ABCD A B C D ''''-上底面A B C D ''''上的一个动点，记面ADP 与面BCP 所成的锐二面角为α，面ABP 与面CDP 所成的锐二面角为β，若αβ>，则下列叙述正确的是（ ） A ．APC BPD ∠>∠B ．APC BPD ∠<∠C ．{}{}max ,max ,APD BPC APB CPD ∠∠>∠∠ D ．{}{}min ,min ,APD BPC APB CPD ∠∠>∠∠14．（2022·全国·高三专题练习）如图，将矩形纸片ABCD 折起一角落()EAF △得到EA F '△，记二面角A EF D '--的大小为π04θθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，直线A E '，A F '与平面BCD 所成角分别为α，β，则（ ）．A ．αβθ+>B ．αβθ+<C ．π2αβ+>D ．2αβθ+>15．（2022·全国·高三专题练习）如图，在正方体ABCD EFGH -中，P 在棱BC 上，BP x =，平行于BD 的直线l 在正方形EFGH 内，点E 到直线l 的距离记为d ，记二面角为A l P --为θ，已知初始状态下0x =，0d =，则（ ）A ．当x 增大时，θ先增大后减小B ．当x 增大时，θ先减小后增大C ．当d 增大时，θ先增大后减小D ．当d 增大时，θ先减小后增大16．（2022·广东惠州·高三阶段练习）如图，点M N 、分别是正四面体ABCD 棱AB CD 、上的点，设BM x =，直线MN 与直线BC 所成的角为θ，则（ ）A ．当2ND CN =时，θ随着x 的增大而增大B ．当2ND CN =时，θ随着x 的增大而减小C ．当2CN ND =时，θ随着x 的增大而减小 D ．当2CN ND =时，θ随着x 的增大而增大17．（2022·江苏·高三专题练习）如图，在三棱锥D ABC -中，AB BC CD DA ===，90,,,ABC E F O ︒∠=分别为棱,,BC DA AC 的中点，记直线EF 与平面BOD 所成角为θ，则θ的取值范围是（ ）A ．0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多选题18．（2022·福建泉州·模拟预测）已知正四棱台1111ABCD A B C D -的所有顶点都在球O 的球面上，11122,AB A B AA ==E 为1BDC 内部（含边界）的动点，则（ ）A ．1//AA 平面1BDCB ．球O 的表面积为6πC ．1EA EA +的最小值为D ．AE 与平面1BDC 所成角的最大值为60°19．（2022·河北衡水·高三阶段练习）在四棱锥P ABCD -中，已知1AB BD AD ===，BC CD ==PA PB PC PD ====） A ．四边形ABCD 内接于一个圆B ．四棱锥P ABCD -C ．四棱锥P ABCD -外接球的球心在四棱锥P ABCD -的内部 D ．四棱锥P ABCD -外接球的半径为71220．（2022·浙江·高三开学考试）如图，在ABC 中，AB AC =，BAC θ∠=，AB α⊂，设点C 在α上的射影为C '，将ABC 绕边AB 任意转动，则有（ ）A ．若θ为锐角，则在转动过程中存在位置使2BC A BCA ∠∠='B ．若θ为直角，则在转动过程中存在位置使12BC A BCA ∠∠='C ．若105θ=，则在转动过程中存在位置使BC A BCA ∠∠>'D ．若120θ=，则在转动过程中存在位置使BC A BCA ∠∠>'21．（2022·全国·高三专题练习）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为线段1AA 的中点，AP AB AD λμ=+，其中,[0,1]λμ∈，则下列选项正确的是（ ）A ．12μ=时，11A P ED ⊥ B ．14λ=时，1B P PD +C ．1λμ+=时，直线1A P 与面11BDE 的交点轨迹长度为2D ．1λμ+=时，正方体被平面1PAD 截的图形最大面积是22．（2022·福建省福州屏东中学高三开学考试）已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，P 为空间中一点．下列论述正确的是（ ）A ．若112AP AD =，则异面直线BP 与1C D B ．若[]()10,1BP BC BB λλ=+∈，三棱锥1P A BC -的体积为定值C ．若[]()110,12BP BC BB λλ=+∈，有且仅有一个点P ，使得1A C ⊥平面1AB PD ．若[]()10,1AP AD λλ=∈，则异面直线BP 和1C D 所成角取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦23．（2022·重庆十八中两江实验中学高三阶段练习）已知在平行四边形ABCD 中，3AB =，2AD =，60A ∠=︒，把△ABD 沿BD 折起使得A 点变为'A ，则（ ）A ．BD =B ．三棱锥'A BCD -C ．当'A C BD =时，三棱锥'A BCD -D ．当'A C BD =时，'60A BC ∠=︒24．（2022·湖北·武汉二中模拟预测）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示，若正四面体ABCD 的棱长为a ，则（ ）A ．能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为aB ．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为1a ⎛ ⎝⎭C ．勒洛四面体的截面面积的最大值为(212π4aD ．勒洛四面体的体积33V ⎫∈⎪⎪⎝⎭25．（2022·湖南·模拟预测）已知边长为2的菱形ABCD 中，3ADC π∠=，将ADC 沿AC 翻折，连接AC ，BD ，设点O 为AC 的中点，点D 在平面ABC 上的投影为'D ，二面角D AC B --的大小为θ.下列说法正确的是（ ）A ．在翻折过程中，点'D 是直线OB 上的一个动点 B ．在翻折过程中，直线AD ，BC 不可能相互垂直 C ．在翻折过程中，三棱锥D ABC -D ．在翻折过程中，三棱锥D ABC -表面积最大值为426．（2022·湖南怀化·一模）如下图，正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1CC 上的动点，AM ⊥平面α，则下面说法正确的是（ ）A ．直线AB 与平面α所成角的正弦值范围为2⎣⎦B ．点M 与点1C 重合时，平面α截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大 C ．点M 为1CC 的中点时，平面α经过点B ，则平面α截正方体所得截面图形是等腰梯形D ．已知N 为1DD 中点，当AM MN +的和最小时，M 为1CC 的三等分点27．（2022·河北·模拟预测）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB AA =D 为棱1CC 上的动点，则（ ）A ．三棱锥D ABC -B ．存在点D ，使得平面1A BD ⊥平面11ABB AC ．A 到平面1A BDD ．1A BD 28．（2022·全国·高三专题练习）如图，在直棱柱1111ABCD A B C D -中，各棱长均为2，π3ABC ∠=，则下列说法正确的是（ ）A ．三棱锥1A ABC -外接球的体积为27B ．异面直线1AB 与1BCC ．当点M 在棱1BB 上运动时，1MD MA +最小值为D ．N 是ABCD 所在平面上一动点，若N 到直线1AA 与BC 的距离相等，则N 的轨迹为抛物线 29．（2022·广东·三模）在正方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，点P 满足1CP CD CC λμ=+，其中[][]0,1,0,1λμ∈∈，则下列结论正确的是（ ）A ．当1//B P 平面1A BD 时，1B P 可能垂直1CD B ．若1B P 与平面11CCD D 所成角为4π，则点P 的轨迹长度为2πC ．当λμ=时，1||DP A P +D ．当1λ=时，正方体经过点1A ､P ､C 的截面面积的取值范围为 30．（2022·全国·高三专题练习）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，122CC AB ==，E 为1CC 的中点，P 为棱1AA 上的动点，平面α过B ，E ，P 三点，则（ ）A ．平面α⊥平面11AB EB ．平面α与正四棱柱表面的交线围成的图形一定是四边形C ．当P 与A 重合时，α截此四棱柱的外接球所得的截面面积为11π8D ．存在点P ，使得AD 与平面α所成角的大小为π331．（2022·河北唐山·二模）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，顶点A 在平面α内，其余顶点在α的同侧，顶点1A ，B ，C 到α1，2，则（ ）A ．BC ∥平面αB ．平面1A AC ⊥平面αC ．直线1AB 与α所成角比直线1AA 与α所成角大D ．正方体的棱长为32．（2022·江苏南通·模拟预测）设正方体ABCD —1111D C B A 的棱长为2，P 为底面正方形ABCD 内（含边界）的一动点，则（ ） A ．存在点P ，使得A 1P ∥平面11B CDB ．当PC PD ⊥时，|A 1P |2的最小值是10-C ．若1APC 的面积为1，则动点P 的轨迹是抛物线的一部分 D ．若三棱锥P —111A B C 的外接球表面积为41π4，则动点P 的轨迹围成图形的面积为π 33．（2022·全国·高三专题练习）三棱锥A BCD -各顶点均在表面积为20π的球体表面上，2,120AB CB ABC ∠===，90BCD ∠=，则（ ）A ．若CD AB ⊥，则2CD = B ．若2CD =，则CD AB ⊥C ．线段AD D ．三棱锥A BCD -34．（2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试）如图，ABCD 是边长为5的正方形，半圆面APD ⊥平面ABCD ．点P 为半圆弧AD 上一动点（点P 与点A ，D 不重合）．下列说法正确的是（ ）A ．三棱锥P －ABD 的四个面都是直角三角形B ．三棱锥P 一ABD 体积的最大值为1254C ．异面直线P A 与BC 的距离为定值D ．当直线PB 与平面ABCD 所成角最大时，平面P AB 截四棱锥P －ABCD 外接球的截面面积为(2534π35．（2022·广东·佛山市南海区艺术高级中学模拟预测）如图，若正方体的棱长为1，点M 是正方体1111ABCD A B C D -的侧面11ADD A 上的一个动点（含边界），P 是棱1CC 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．沿正方体的表面从点A 到点PB ．若保持||PM =M 在侧面内运动路径的长度为3π C ．三棱锥1B C MD -的体积最大值为16D ．若M 在平面11ADD A 内运动，且111MD B B D B ∠=∠，点M 的轨迹为抛物线36．（2022·江苏·徐州市第七中学高三阶段练习）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为侧面11BCC B （不含边界）内的动点，Q 为线段1A C 上的动点，若直线1A P 与11A B 的夹角为45，则下列说法正确的是（ ）A．线段1A PB 1A Q PQ +的最小值为1C ．对任意点P ，总存在点Q ，便得1⊥D Q CPD ．存在点P ，使得直线1A P 与平面11ADD A 所成的角为60°37．（2022·全国·高三专题练习）已知点A 为圆台12O O 下底面圆2O 上的一点，S 为上底面圆1O 上一点，且11SO =，12OO 22O A =，则下列说法正确的有（ ） A ．直线SA 与直线12O O 所成角最小值为6πB ．直线SA 与直线12O O 所成角最大值为3πCD ．直线1AO 与平面12SO O 38．（2022·全国·高三专题练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1B C 上运动，则下列结论正确的是（ ）A ．直线1BD ⊥平面11AC DB ．三棱锥11D AC P -的体积为定值C ．异面直线AP 与1AD 所成角的取值范围是[]30,90︒︒D ．直线1C P 与平面11AC D 三、填空题39．（2022·湖南·高三开学考试）三棱锥P ABC -中，PA PB PC ==，底面ABC 是边长为2的正三角形，,E F 分别是,PA AB 的中点，且CE EF ⊥，若M 为三棱锥P ABC -外接球上的动点，则点M 到平面ABC 距离的最大值为___________.40．（2022·河南·高三阶段练习（理））如图，在棱长为1111ABCD A B C D -中，若1ABA △绕1A B 旋转一周，则在旋转过程中，三棱锥1A BDC -的体积的取值范围为______．41．（2022·新疆·模拟预测（理））已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，M 、N 分别为棱1AA 、11A D 的中点，P 为棱11A B 上的动点，Q 为线段11B D 的中点.则下列结论中正确序号为______.⊥MN CP ⊥；⊥//AQ 平面MNP ；⊥PDQ ∠的余弦值的取值范围是⎣⎦；⊥⊥1APC 周长的最小值为42．（2022·山东聊城·一模）在矩形ABCD 中，E 是AB 的中点，1,2AD AB ==，将ADE 沿DE 折起得到A DE '，设A C '的中点为M ，若将A DE '绕DE 旋转90，则在此过程中动点M 形成的轨迹长度为___________.43．（2022·全国·高三专题练习）在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为1BD ，11B C 的中点，点P 在正方体表面上运动，且满足MP CN ⊥，点P 轨迹的长度是___________.44．（2022·全国·高三专题练习）已知等边ABC 的边长为,M N 分别为,AB AC 的中点，将AMN 沿MN 折起得到四棱锥A MNCB -．点P 为四棱锥A MNCB -的外接球球面上任意一点，当四棱锥A MNCB -的体积最大时，P 到平面MNCB 距离的最大值为________.45．（2022·河南·高三开学考试（理））如图，在ABC 中，2BC AC =，120ACB ∠=︒，CD 是ACB ∠的角平分线，沿CD 将ACD △折起到A CD '△的位置，使得平面A CD '⊥平面BCD ．若A B '=，则三棱锥A BCD '-外接球的表面积是________．46．（2022·湖北·黄冈中学二模）如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -，点P 沿正方形ABCD 按ABCDA 的方向作匀速运动，点Q 沿正方形11B C CB 按111B C CBB 的方向以同样的速度作匀速运动，且点,P Q 分别从点A 与点1B 同时出发，则PQ 的中点的轨迹所围成图形的面积大小是________.47．（2022·四川·成都七中高三阶段练习（理））如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别为棱11,B C CD 上的动点(包含端点)，则下列说法正确的是___________．⊥当M 为棱11B C 的中点时，则在棱CD 上存在点N 使得MN AC ⊥；⊥当M ，N 分别为棱11,B C CD 的中点时，则在正方体中存在棱与平面1A MN 平行；⊥当M ，N 分别为棱11,B C CD 的中点时，则过1A ，M ，N 三点作正方体的截面，所得截面为五边形；⊥直线MN 与平面ABCD ⊥若正方体的棱长为2，点1D 到平面1A MN ．48．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是矩形，侧面SCD ⊥底面ABCD ，SAB △是边长为2的等边三角形，点,P Q 分别为侧棱,SA SB 上的动点，记s DP PQ QC =++，则s 的最小值的取值范围是_________.四、双空题49．（2022·全国·高三专题练习（文））祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．即：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图⊥是一个椭圆球形瓷凳，其轴截面为图⊥中的实线图形，两段曲线是椭圆22219x y a+=的一部分，若瓷凳底面圆的直径为4，高为6，则2a =__________；利用祖暅原理可求得该椭圆球形瓷凳的体积为__________50．（2022·河南·方城第一高级中学模拟预测（文））某中学开展劳动实习，学生对圆台体木块进行平面切割，已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，要求切割面经过圆台的两条母线且使得切割面的面积最大.____________. 51．（2022·全国·高三专题练习）斜线OA 与平面α成15°角，斜足为O ，A '为A 在α内的射影，B 为OA的中点，l 是α内过点O 的动直线，若l 上存在点1P ，2P 使1230APB AP B ︒∠=∠=，则12||P P AB 则的最大值是_______，此时二面角12A PP A '--平面角的正弦值是_______52．（2022·重庆南开中学模拟预测）正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为2，动点P 在对角线BD '上，过点P 作垂直于BD '的平面α，记平面α截正方体得到的截面多边形（含三角形）的周长为()y f x =，设(0BP x x =∈，. （1）下列说法中，正确的编号为__________.⊥截面多边形可能为四边形；⊥f =⎝⎭⊥函数()f x 的图象关于x =.（2）当x =P ABC -的外接球的表面积为__________.。
高考数学试题-立体几何选择填空含答案解析
选填训练4答案一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 如图，在四面体O −ABC 中，G 是底面△ABC 的重心，且OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +z OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则log 3|xyz|等于 ( )A. −3B. −1C. 1D. 3【答案】A 解：连结AG ，OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +z OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴x =y =z =13， 则log 3|xyz|=log 3127=−3．2. 在△ABC 中A =30°，AC =4，BC =a ，若△ABC 仅一个解时，则a 的取值范围是( )A. a ≥4B. a =2C. a ≥4或a =2D. 无法确定【答案】C解：当a =ACsin30°=4×12=2时，以C 为圆心，以a =2为半径画弧，与射线AD 只有唯一交点， 此时符合条件的三角形只有一个，当a ⩾4时，以C 为圆心以a 为半径画弧时，在从垂足到A 点之间得不到交点，交点只能在垂足外侧，三角形也是唯一的， ∴a ≥4或a =2，故选C ．3. 设两个向量e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 满足|e 1⃗⃗⃗ |=2，|e 2⃗⃗⃗ |=1，e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 之间的夹角为60°，若向量2t e 1⃗⃗⃗ +7e 2⃗⃗⃗ 与向量e 1⃗⃗⃗ +t e 2⃗⃗⃗ 的夹角为钝角，则实数t 的取值范围是( )A. (−7,−12)B. (−7,−√142)∪(−√142,−12) C. (−7,−√142)D. (−√142,−12)【答案】B解：由题意知(2t e 1⃗⃗⃗ +7e 2⃗⃗⃗ )·(e 1⃗⃗⃗ +t e 2⃗⃗⃗ )<0，即2t 2+15t +7<0，解得−7<t <−12．又由2t ·t −7≠0，得t ≠±√142，∴t ∈(−7,−√142)∪(−√142,−12). 故选B ．4. 已知向量a ⃗ =(1,2)，a ⃗ ·b ⃗ =10，|a ⃗ +b ⃗ |=5√2，b ⃗ 方向上的单位向量为e⃗ ，则向量a ⃗ 在 向量b ⃗ 上的投影向量为( ) A. 12e ⃗ B. 2e ⃗ C.125e⃗ D. 52e⃗ 【答案】B解：由a ⃗ =(1,2)可得：|a ⃗ |=√12+22=√5，由|a ⃗ +b|⃗⃗⃗ =5√2两边平方得：|a ⃗ |2+2a ⃗ ·b ⃗ +|b⃗ |2=(5√2)2=50，即：5+2×10+|b⃗ |2=50，解得：|b ⃗ |=5， 设a ⃗ 和b ⃗ 的夹角为θ，则cosθ=a⃗ ·b ⃗|a ⃗ |·|b⃗ |=10√5×5=2√55， 所以向量a ⃗ 在向量b ⃗ 上的投影向量为：|a ⃗ |cosθ·b⃗ |b ⃗ |=√5×2√55e ⃗ =2e ⃗ ．故选B ．5. 如图所示，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB =3,AC =AA 1=4，一只蚂蚁由顶点A 沿棱柱侧面经过棱BB 1爬到顶点C 1，蚂蚁爬行的最短距离为( )A. 4B. 4C.D.+【答案】B解：如图所示，把侧面展开，矩形对角线即为蚂蚁爬行的最短距离，∵AB ⊥AC ，AB =3，AC =AA 1=4，∴BC =√AB 2+AC 2=√32+42=5，由题已知AA 1=CC 1=4，∴蚂蚁爬行的最短距离=√(AB +BC )2+(CC 1)2=√(3+5)2+42=4√5，所以最小值为4√5，故选B ．6.在四棱锥P−ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD,M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹为( )A. B. C. D.【答案】A解：根据题意可知PD=DC，则点D符合“M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC”，设AB的中点为N，因为侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，AB⊥AD，AB⊂底面ABCD，所以AB⊥侧面PAD，又PA⊂侧面PAD，所以AB⊥PA，根据题目条件可知△PAN≌△CBN，∴PN=CN，点N也符合“M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC”，故动点M的轨迹肯定过点D和点N，而到点P与到点C的距离相等的点为线段PC 的垂直平分面，线段PC的垂直平分面与平面ABCD的交线是一直线.故选A．7.如图，直角梯形ABCD，AB//CD，∠ABC=90°，CD=2，AB=BC=1，E是边CD中点，△ADE沿AE翻折成四棱锥D′−ABCE，则点C到平面ABD′距离的最大值为( )A. 12B. √3−1 C. √22D. √63【答案】C解：直角梯形ABCD ，AB//CD ，∠ABC =90°，CD =2，AB =BC =1，E 是边CD 中点，△ADE 沿AE 翻折成四棱锥D′−ABCE ，当D′E ⊥CE 时，点C 到平面ABD′距离取最大值，∵D′E ⊥AE ，CE ∩AE =E ，CE ，AE ⊂平面ABCE ，∴D′E ⊥平面ABCE ， 以E 为原点，EC 为x 轴，EA 为y 轴，ED′为z 轴，建立空间直角坐标系，则A(0,1,0)，C(1,0,0)，D′(0,0,1)，B(1,1,0)， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)，AD′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,1)， 设平面ABD′的法向量n⃗ =(x,y,z)，则{n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x =0n ⃗ ⋅AD′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−y +z =0，取y =1，得n ⃗ =(0,1,1)，∴点C 到平面ABD′距离的最大值为d =|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=1√2=√22．故选C ．8. 在△ABC 中，有正弦定理：asinA =bsinB =csinC =定值，这个定值就是△ABC 的外接圆的直径．如图所示，△DEF 中，已知DE =DF ，点M 在直线EF 上从左到右运动(点M 不与E 、F 重合)，对于M 的每一个位置，记△DEM 的外接圆面积与△DMF 的外接圆面积的比值为λ，那么( )A. λ先变小再变大B. 仅当M 为线段EF 的中点时，λ取得最大值C. λ先变大再变小D. λ是一个定值【答案】D解：设△DEM 的外接圆半径为R 1，△DMF 的外接圆半径为R 2，则由题意，πR 12πR 22=λ，点M 在直线EF 上从左到右运动(点M 不与E 、F 重合)，对于M 的每一个位置，由正弦定理可得R 1=12×DE sin∠DME，R 2=12×DFsin∠DMF ，又DE =DF ，sin∠DME =sin∠DMF ， 可得R 1=R 2，可得λ=1．故选D ．二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。
压轴题05 立体几何压轴题(原卷版)--2023年高考数学压轴题专项训练(全国通用-理)
压轴题05立体几何压轴题题型/考向一：点、线、面间的位置关系和空间几何体的体积、表面积题型/考向二：外接球、内切球等相关问题题型/考向三：平行关系、垂直关系、二面角等相关问题一、空间几何体的体积、表面积热点一空间几何体的侧面积、表面积柱体、锥体、台体和球的表面积公式：(1)若圆柱的底面半径为r，母线长为l，则S侧＝2πrl，S表＝2πr(r＋l).(2)若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则S侧＝πrl，S表＝πr(r＋l).(3)若圆台的上、下底面半径分别为r′，r，则S侧＝π(r＋r′)l，S表＝π(r2＋r′2＋r′l ＋rl).(4)若球的半径为R，则它的表面积S＝4πR2.热点二空间几何体的体积柱体、锥体、台体和球的体积公式：(1)V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)；Sh(S为底面面积，h为高)；(2)V锥体＝13(S上＋S下＋S上S下)h(S上、S下分别为上、下底面面积，h为高)；(3)V台体＝13(4)V球＝4πR3.3二、外接球、内切球问题类型一外接球问题考向1墙角模型墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决，外接球的直径等于长方体的体对角线长.长方体同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球半径为R .则(2R )2＝a 2＋b 2＋c 2，即2R ＝a 2＋b 2＋c 2.常见的有以下三种类型：考向2对棱相等模型对棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造法(构造长方体)解决，外接球的直径等于长方体的体对角线长，如图所示，(2R )2＝a 2＋b 2＋c 2(长方体的长、宽高分别为a ，b ，c )，即R 2＝18(x 2＋y 2＋z 2)，如图.考向3汉堡模型汉堡模型是直三棱柱、圆柱的外接球模型，模型如下，由对称性可知，球心O的位置是△ABC的外心O1与△A1B1C1的外心O2的连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝h2，所以R2＝r2＋h24.考向4垂面模型垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球；如图所示，由对称性可知球心O的位置是△CBD的外心O1与△AB2D2的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径CO1＝r，OO1＝h2，则R＝r2＋h24.类型二内切球问题内切球问题的解法(以三棱锥为例)第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体的体积；第二步：设内切球的半径为r，建立等式V P－ABC＝V O－ABC＋V O－P AB＋V O－P AC＋V O－PBC⇒V P－ABC＝13S△ABC·r＋13S△P AB·r＋13S△P AC·r＋13S PBC·r＝13(S△ABC＋S△P AB＋S△P AC＋S△PBC)r；第三步：解出r＝3V P－ABCS△ABC＋S△P AB＋S△P AC＋S△PBC.类型三球的截面问题解决球的截面问题抓住以下几个方面：(1)球心到截面圆的距离；(2)截面圆的半径；(3)直角三角形(球心到截面圆的距离、截面圆的半径、球的半径构成的直角三角形).三、平行关系和垂直关系的证明、二面角等热点一空间线、面位置关系的判定判断空间线、面位置关系的常用方法(1)根据空间线面平行、垂直的判定定理和性质定理逐项判断，解决问题.(2)利用直线的方向向量、平面的法向量判断.(3)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线、面的位置关系，并结合有关定理进行判断.热点二几何法证明平行、垂直1.直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.(2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.(3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β.(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.2.直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α.(2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.(3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β.(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.热点三空间向量法证明平行、垂直1.用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2.(2)设直线l的方向向量为v，在平面α内的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y，使v＝x v1＋y v2.(3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u .(4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β⇔u 1∥u 2.2.用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0.(2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v ∥u .(3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0.四、空间角、距离问题热点一异面直线所成的角求异面直线所成角的方法方法一：综合法.步骤为：①利用定义构造角，可固定一条直线，平移另一条直线，或将两条直线同时平移到某个特殊的位置；②证明找到(或作出)的角即为所求角；③通过解三角形来求角.方法二：空间向量法.步骤为：①求出直线a ，b 的方向向量，分别记为m ，n ；②计算cos 〈m ，n 〉＝m ·n|m ||n |；③利用cos θ＝|cos 〈m ，n 〉|，以及θ，π2，求出角θ.热点二直线与平面所成的角求直线与平面所成角的方法方法一：几何法.步骤为：①找出直线l 在平面α上的射影；②证明所找的角就是所求的角；③把这个角置于一个三角形中，通过解三角形来求角.方法二：空间向量法.步骤为：①求出平面α的法向量n 与直线AB 的方向向量AB →；②计算cos 〈AB →，n 〉＝AB →·n |AB →||n |；③利用sin θ＝|cos 〈AB →，n 〉|，以及θ∈0，π2，求出角θ.热点三平面与平面的夹角求平面与平面的夹角方法方法一：几何法.步骤为：①找出二面角的平面角(以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角)；②证明所找的角就是要求的角；③把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形来求角.求二面角的平面角的口诀：点在棱上，边在面内，垂直于棱，大小确定.方法二：空间向量法.步骤为：①求两个平面α，β的法向量m ，n ；②计算cos 〈m ，n 〉＝m ·n|m |·|n |；③设两个平面的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈m ，n 〉|.热点四距离问题1.空间中点、线、面距离的相互转化关系2.空间距离的求解方法有：(1)作垂线段；(2)等体积法；(3)等价转化；(4)空间向量法.○热○点○题○型一点、线、面间的位置关系和空间几何体的体积、表面积一、单选题1．在正方体1111ABCD A B C D -中，直线m 、n 分别在平面ABCD 和11ABB A 内，且m n ⊥，则下列命题中正确的是（）A ．若m 垂直于AB ，则n 垂直于AB B ．若m 垂直于AB ，则n 不垂直于ABC ．若m 不垂直于AB ，则n 垂直于ABD ．若m 不垂直于AB ，则n 不垂直于AB2．在中国古代数学经典著作《九章算术》中，称图中的多面体ABCDEF 为“刍甍”.书中描述了刍甍的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一，即()216V AB EF AD h =+⨯⨯，其中h 是刍甍的高，即点F 到平面ABCD 的距离.若底面ABCD 是边长为4的正方形，2EF =，且//EF AB ，ADE V 和BCF △是等腰三角形，90AED BFC ∠=∠= ，则该刍甍的体积为（）A 202B ．33C ．103D ．4033．已知一个三棱锥型玩具容器-P ABC 的外包装纸（包装纸厚度忽略不计，外包装纸面积恰为该容器的表面积）展开后是如图所示的边长为10的正方形123APP P （其中点B 为23P P 中点，点C 为12PP 中点），则该玩具的体积为（）A ．6253B ．1253C ．125D ．25034．攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖.通常有圆形攒尖､三角攒尖､四角攒尖､八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑､园林建筑.如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖，可近似看作一个圆锥，已知其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是底边长为6m ，腰长为5m 的等腰三角形，则该屋顶的体积约为（）A ．38πmB ．39πmC ．310πmD ．312πm 5．已知,a b 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A ．若//,//a b b α，则//a αB ．若//,,//a b a b αβ⊥，则αβ⊥C ．若//,//,//a b αβαβ，则//a bD ．若//,//,a b αβαβ⊥，则a b⊥6．在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC 为等腰直角三角形，若三棱柱111ABC A B C -的体积为32，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（）A ．12πB ．24πC ．48πD ．96π7．已知三棱锥-P ABC 中，底面ABC 是边长为23点P 在底面上的射影为底面的中心，且三棱锥-P ABC 外接球的表面积为18π，球心在三棱锥-P ABC 内，则二面角P AB C --的平面角的余弦值为（）A ．12B ．13C D8．已知三棱锥-P ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，4PB PC AB AC ====，2PA BC ==，则球O 的表面积为（）A ．316π15B ．79π15C ．158π5D ．79π5二、多选题9．已知直线a ，b ，c 两两异面，且a c ⊥，b c ⊥，下列说法正确的是（）A ．存在平面α，β，使a α⊂，b β⊂，且c α⊥，c β⊥B ．存在平面α，β，使a α⊂，b β⊂，且c α∥，c β∥C ．存在平面γ，使a γ∥，b γ∥，且c γ⊥D ．存在唯一的平面γ，使c γ⊂，且a ，b 与γ所成角相等10．已知正方体1111ABCD A B C D -的外接球表面积为12π，,,M N P 分别在线段1BB ，1CC ，1DD 上，且,,,A M N P 四点共面，则（）．A ．AP MN=B ．若四边形AMNP 为菱形，则其面积的最大值为C ．四边形AMNP 在平面11AAD D 与平面11CC D D 内的正投影面积之和的最大值为6D ．四边形AMNP 在平面11AA D D 与平面11CC D D 内的正投影面积之积的最大值为4三、解答题11．如图，四棱锥S ABCD -的底面为菱形，60BAD ∠=︒，2AB =，4SD =，SD ⊥平面ABCD ，点E 在棱SB 上．(1)证明：AC DE ⊥；(2)若三棱锥E ABC -E 到平面SAC 的距离．12．如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，,AB AD O =为BD 的中点.(1)证明：OA CD ⊥；(2)已知OCD 是边长为1的等边三角形，已知点E 在棱AD 的中点，且二面角E BC D --的大小为45 ，求三棱锥A BCD -的体积.○热○点○题○型二外接球、内切球等相关问题一、单选题1．已知ABC 是边长为3的等边三角形，其顶点都在球O 的球面上，若球O 的体积为323π，则球心O 到平面ABC 的距离为（）AB ．32C ．1D 2．已知三棱锥-P ABC 的底面ABC 是边长为1的正三角形，侧棱,,PA PB PC 两两垂直，若此三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是（）A ．3πB ．πC ．3π4D ．3π23．一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在一个球面上，且这个球的半径为5，则这个圆锥的体积的最大值时，圆锥的底面半径为（）A ．103B C ．1023D 4．已知圆锥的侧面积为2π，母线与底面所成角的余弦值为12，则该圆锥的内切球的体积为（）A ．4π3B ．43π9C ．27D ．275．如图，几何体Ω为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为A ，圆柱的上、下底面的圆心分别为B 、C ，若该几何体Ω存在外接球（即圆锥的顶点与底面圆周在球面上，且圆柱的底面圆周也在球面上）．已知24BC AB ==，则该组合体的体积等于（）A ．56πB ．70π3C ．48πD ．64π6．已知矩形ABCD 的顶点都在球心为O 的球面上，3AB =，BC =且四棱锥O ABCD -的体积为O 的表面积为（）A ．76πB ．112πC ．3D ．37．水平桌面上放置了4个半径为2的小球，4个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切.若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为（）A．4B ．2+C ．2D ．68．已知三棱锥-P ABC 的四个顶点均在球O 的球面上，2PA BC ==，PB AC ==，PC AB =Q为球O 的球面上一动点，则点Q 到平面PAB 的最大距离为（）A ．211+B ．222+C 11+D 22二、填空题9．在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，14AB AC PA AB AC ⊥=+=，，，当三棱锥的体积最大时，三棱锥-P ABC 外接球的体积为______．10．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA AB BC ==．设D 为1AC 的中点，三棱锥D ABC -的体积为94，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，则三棱柱111ABC A B C -外接球的表面积为______．11．如图，直三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB AC =，侧面11BCC B 是半球底面圆的内接正方形，则直三棱柱111ABC A B C -的体积为___________.12．如图所示的由4个直角三角形组成的各边长均相等的六边形是某棱锥的侧面展开图，若该六边形的面积为1___．○热○点○题○型三平面关系、垂直关系、二面角等相关问题1．已知多面体ABCDEF 中，四边形CDEF 是边长为4的正方形，四边形ABCD 是直角梯形，90ADC DAB ∠=∠=︒，36BE AB ==，4=AD ．(1)求证：平面ADF ⊥平面BCE ；(2)求直线AF 与平面BCF 所成角的正弦值．2．如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD 为等边三角形，M 为PA 的中点，PD AB ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ．(1)证明：平面CDM ⊥平面PAB ；(2)若AD BC ∥，2AD BC =，2AB =，直线PB 与平面MCD 所成角的正弦值为34，求三棱锥P MCD -的体积．3．如图所示，在三棱锥A BCD -中，满足BC CD ==，点M 在CD 上，且5DM MC =，ABD △为边长为6的等边三角形，E 为BD 的中点，F 为AE 的三等分点，且2AF FE =.(1)求证：//FM 面ABC ；(2)若二面角A BD C --的平面角的大小为23π，求直线EM 与面ABD 所成角的正弦值.4．已知底面ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，//PA DQ ，33PA AD DQ ===，点E 、F 分别为线段PB 、CQ 的中点．(1)求证：//EF 平面PADQ ；(2)求平面PCQ 与平面CDQ 夹角的余弦值；(3)线段PC 上是否存在点M ，使得直线AM 与平面PCQ 所成角的正弦值是7，若存在求出PM MC的值，若不存在，说明理由．5．如图，AB 为圆O 的直径，点EF 在圆O 上，//AB EF ，矩形ABCD 所在平面和圆O 所在的平面互相垂直，已知2,1AB EF ==．(1)求证：平面DAF ⊥平面CBF ；(2)当AD 的长为何值时，二面角C EF B --的大小为60︒6．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的菱形，AB BC ==点D 为棱AC 上的动点（不与A 、C 重合），平面1B BD 与棱11AC 交于点E .(1)求证1BB DE //；(2)若平面ABC ⊥平面11AAC C ，160A AC ∠= ，判断是否存在点D 使得平面11A ABB 与平面1B BDE 所成的锐二面角为π3，并说明理由.。
高中数学立体几何高难度练习题及参考答案2023
高中数学立体几何高难度练习题及参考答案2023【题目1】已知立方体ABCDEFGH的棱长为a，M为AD的中点，N为BF的中点，P为MN的中点。
求证：四边形MNHP是一个矩形。
【解答1】根据题意，我们可以先求出MN的长度。
由于M为AD的中点，因此DM = a/2。
同理，BN = a/2。
根据勾股定理，可以得到三角形MND的斜边ND的长度：ND = √(MN² + DM²)= √(MN² + (a/2)²)根据三角形BNF的性质，可以得到BNF是一个等腰直角三角形，因此NF = BN = a/2。
同理，我们可以计算出FP的长度：FP = NF = a/2最后，我们可以比较四边形MNHP的对角线长度。
根据反证法，如果MNHP不是一个矩形，那么MN和HP的长度应该不相等，即MN ≠ HP。
假设MN > HP，即MN² > HP²由于HP = FP = a/2，我们可以得到：MN² > (a/2)²将MN²和(a/2)²的值代入，得到：(MN² + (a/2)²) > (a/2)²经过整理化简，可得：MN > a/2这与MN = a/2矛盾，因此假设成立。
同理，可以得出假设MN < HP亦不成立。
由以上推理可知，四边形MNHP是一个矩形。
证毕。
【题目2】在三棱柱ABC-A'B'C'中，已知AB = 3，BC = 4，CA = 5，且AA'垂直于平面ABCD。
求证：A'B'² = 4² + 3² + 5²。
【解答2】根据题意，我们可以利用勾股定理和垂直平面的性质来解答此题。
首先，考虑三角形ABC。
由已知条件可知，它是一个直角三角形，且AB = 3，BC = 4，CA = 5。
立体几何大题压轴练-高考数学重点专题冲刺演练(原卷版)
立体几何大题压轴练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）1．（2023·湖北·校联考模拟预测）如图，在棱长为2的正方体ABCD EFGH -中，点M 是正方体的中心，将四棱锥M BCGF -绕直线CG 逆时针旋转(0π)αα<<后，得到四棱锥M B CGF -'''．(1)若π2α=，求证：平面MCG //平面M B F '''；(2)是否存在α，使得直线M F ''⊥平面MBC ？若存在，求出α的值；若不存在，请说明理由．2．（2023春·湖南株洲·高三株洲二中校考阶段练习）如下图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，2ABC BAD π∠=∠=，2PA AD ==，1AB BC ==．（1）求平面PAB 与平面PCD 夹角的余弦值；（2）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值，利用此定义求异面直线PB 与CD 之间的距离．3．（2023·湖南张家界·统考二模）如图，已知三棱柱111ABC A B C -，90ACB ∠=︒，11AC A C ⊥，D 为线段1A C 上的动点，1AC BD ⊥.(1)求证：平面11ACC A ⊥平面ABC ；(2)若1AA AC ⊥，D 为线段1A C 的中点，22AC BC ==，求1B D 与平面1A BC 所成角的余弦值.4．（2023春·湖南·高三长郡中学校联考阶段练习）如图①，已知AB C 'V 是边长为2的等边三角形，D 是AB '的中点，DH B C ⊥'，如图②，将B DH ' 沿边DH 翻折至BDH △.(1)在线段BC 上是否存在点F ，使得//AF 平面BDH ？若存在，求BFFC的值；若不存在，请说明理由；(2)若平面BHC 与平面BDA 所成的二面角的余弦值为13，求三棱锥B DCH -的体积.5．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考一模）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，△PAD 为等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PB BC ⊥．(1)求点A 到平面PBC 的距离；(2)E 为线段PC 上一点，若直线AE 与平面ABCD 求平面ADE 与平面ABCD 夹角的余弦值．6．（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，3DAB π∠=，平面11BDD B ⊥平面ABCD ，点1,O O 分别为11,B D BD 的中点，1111,,O B A AB O BO ∠∠=均为锐角.(1)求证：1AC BB ⊥；(2)若异面直线CD 与1AA 所成角正弦值为7，四棱锥1A ABCD -的体积为1，求二面角1B AA C --的平面角的余弦值.7．（2023·山西太原·统考一模）如图，四棱锥P ABCD -中，，AB CD AB AD ⊥∥，且24260，，AB AD CD PA PAB =====∠ ，直线PA 与平面ABCD 的所成角为30，，E F 分别是BC 和PD 的中点.(1)证明：EF 平面PAB ；(2)求平面PAB 与平面PAD 夹角的余弦值.8．（2023·江苏·统考一模）如图，在多面体ABCDE 中，平面ACD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ，ABC 和ACD 均为正三角形，4AC =，BE =(1)在线段AC 上是否存在点F ，使得BF ∥平面ADE ?说明理由；(2)求平面CDE 与平面ABC 所成的锐二面角的正切值.9．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）在三棱锥-P ABC 中，PA PB =，90BAC ∠=︒，M 为棱BC 的中点.(1)证明：AB PM ⊥；(2)若平面PAB ⊥平面ABC，PA PB ==2AB AC ==，E 为线段PC 上一点，2PE EC =，求点E 到平面PAM 的距离.10．（2023·云南·统考一模）如图，四边形ABCD 是圆柱底面的内接四边形，AC 是圆柱的底面直径，PC 是圆柱的母线，E 是AC 与BD 的交点，AB AD =，60BAD ∠=︒．(1)记圆柱的体积为1V ，四棱锥P ABCD -的体积为2V ，求12V V ；(2)设点F 在线段AP 上，4,4PA PF PC CE ==，求二面角F CD P --的余弦值．11．（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，E 是11A D 的中点，F 为线段BC 上一点，2AB =，11AA =，60BAD ∠=︒.(1)证明：当BF FC =时，⊥AE 平面DEF ；(2)是否存在点F ，使二面角A DE F --的余弦值为15若存在，请指出点F 的位置；若不存在，请说明理由.12．（2023春·重庆·高三重庆市长寿中学校校考期末）如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面为矩形，平面11AA D D ⊥平面11CC D D ，且1111112CC CD DD C D ====.（1）证明：AD ⊥平面11CC D D ；（2）若1A C 与平面11CC D D 所成角为3π，求二面角1C AA D --的余弦值.13．（2023秋·重庆璧山·高三校联考阶段练习）如图，已知圆柱的上，下底面圆心分别为11,,P Q AA C C 是圆柱的轴截面，正方形ABCD 内接于下底面圆Q ，12,AB AA k ==．(1)当k 为何值时，点Q 在平面PBC 内的射影恰好是△PBC 的重心；(2)若[]2,4k ∈，当平面PAD 与平面PBC 所成的锐二面角最大时，求该锐二面角的余弦值．14．（2023春·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）如图1，,A D 分别是矩形11A BCD 上的点，1222AB AA AD ===，12DC DD =，把四边形11A ADD 沿AD 折叠，使其与平面ABCD 垂直，如图2所示，连接1A B ，1D C 得到几何体11ABA DCD -．(1)当点E 在棱AB 上移动时，证明：11D E A D ⊥；(2)在棱AB 上是否存在点E ，使二面角1D EC D --的平面角为π6若存在，求出AE 的长；若不存在，请说明理由．15．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）如图四棱锥,2,,S ABCD AC B D -=在以AC 为直径的圆上，SA ⊥平面π,,6ABCD DAC E ∠=为SC 的中点，(1)若π6BAC ∠=，证明：DE ⊥AB ；(2)当二面角D SC A --B 到平面SCD 距离的最大值.16．（2023·辽宁铁岭·校联考模拟预测）如图，在三棱台111ABC A B C -中，三棱锥111C A B C -，1AB C △的面积为4，112AB A B =，且1A A ⊥平面ABC ．(1)求点B 到平面1AB C 的距离；(2)若1BB BA =，且平面1AB C ⊥平面11ABB A ，求二面角11A B C A --的余弦值．17．（2023秋·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面ABCD ⊥平面PAD ，//AD BC ，1AB BC PA ===，2AD =，30ADP ∠=︒，90BAD ∠=︒，E 是PD 的中点．(1)求证：PD PB ⊥；(2)若点M 在线段PC 上，异面直线BM 和CE 所成角的余弦值为5，求面MAB 与面PCD 夹角的余弦值．18．（2023·辽宁朝阳·校联考一模）如图，已知四棱锥E ABCD -，底面ABCD 是平行四边形，且π3DAB ∠=，22,,AD AB BE PE P ===是线段AD 的中点，BE PC ⊥.(1)求证：PC ⊥平面BPE ；(2)下列条件任选其一，求二面角P EC B --的余弦值.①AE 与平面ABCD 所成的角为π4；②D 到平面EPC 注：如果选择多个条件分别解答，按一个解答计分.19．（2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）如图，三棱锥E ABD -和F BCD -均为棱长为2的正四面体，且A ，B ，C ，D 四点共面，记直线AE 与CF 的交点为Q .(1)求三棱锥Q BDE -的体积；(2)求二面角A QD C --的正弦值.20．（2023春·河北承德·高三河北省隆化存瑞中学校考阶段练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，1,90,1,2AD BC ADC PAB BC CD AD E ∠∠=====∥ 为边AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90 .(1)在直线PA 上找一点M ，使得直线//MC 平面PBE ，并求AMAP的值；(2)若直线CD 到平面PBE ，求平面PBE 与平面PBC 夹角的正弦值.21．（2023秋·河北石家庄·高三石家庄精英中学校考阶段练习）如图，在四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，SAD 是正三角形，且平面SAD ⊥平面ABCD ，1AB =，P为棱AD 的中点，四棱锥S ABCD -(1)若E 为棱SB 的中点，求证：//平面SCD ；(2)在棱SA 上是否存在点M ，使得平面PMB 与平面SAD 所成锐二面角的余弦值为M 的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.22．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）如图所示，圆锥的高2PO =，底面圆O 的半径为R ，延长直径AB 到点C ，使得BC R =，分别过点A ，C 作底面圆O 的切线，两切线相交于点E ，点D 是切线CE 与圆O 的切点．(1)证明：平面PDE ⊥平面POD ；(2)若直线PE 与平面PBD ，求点A 到平面PED 的距离．23．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）异面直线1l 、2l 上分别有两点A 、B .则将线段AB 的最小值称为直线1l 与直线2l 之间的距离.如图，已知三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面PBC ，PB PC ⊥，点D 为线段AC 中点，1AP BP CP ===.点E 、F 分别位于线段AB 、PC 上（不含端点），连接线段EF .(1)设点M 为线段EF 中点，线段EF 所在直线与线段AC 所在直线之间距离为d ，证明：DM d >.(2)若AB PCk AE FC==()1k >，用含k 的式子表示线段EF 所在直线与线段BD 所在直线之间的距离.24．（2023·河北·高三河北衡水中学校考阶段练习）如图，在长方体ABCD FGHE -，平面ABCD 与平面BCEF 所成角为02πθθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭.(1)若AB BC =，求直线AH 与平面BCEF 所成角的余弦值（用cos θ表示）；(2)将矩形BCEF 沿BF 旋转θ度角得到矩形BFPQ ，设平面ABCD 与平面BFPQ 所成角为π02αα⎛⎫<< ⎪⎝⎭，请证明：2cos cos αθ=.25．（2023秋·福建宁德·高三校考阶段练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，点P 在底面ABCD 内的投影恰为AC 中点，且BM MC =．(1)若2PC =，求证：PM ⊥面PAD ；(2)若平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角为3π，求直线PM 与平面PCD 所成角的正弦值．26．（2023秋·山东烟台·高三山东省烟台第一中学校考期末）如图，在三棱台111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为2的正三角形，侧面11ACC A 为等腰梯形，且1111A C AA ==，D 为11A C 的中点．（1）证明：AC BD ⊥；（2）记二面角1A AC B --的大小为θ，2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求直线1AA 与平面11BB C C 所成角的正弦值的取值范围．27．（2023秋·山东枣庄·高三统考期末）已知直三棱柱111ABC A B C -，D 为线段11A B 的中点，E 为线段1CC 的中点，1AC CE ==，平面ABE ⊥平面11AA C C .(1)证明：AB AE ⊥；(2)三棱锥E ABD -的外接球的表面积为132π，求平面ADE 与平面BDE 夹角的余弦值.28．（2023·湖北·校联考模拟预测）如图所示，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，120BCD ∠= ，四边形ACFE 为矩形，且CF ⊥平面ABCD ，AD CD BC CF ===.（1）求证：EF ⊥平面BCF ；（2）点M 在线段EF 上运动，MAB 与平面FCB 所成锐二面角为θ，试求cos θ的取值范围.29．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）如图所示，六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，1111,π3BAD AA BB CC DD ∠=∥∥∥，且1BB ⊥平面111111,,,(01),2ABCD AA CC AE AA CF CC DD BB λλλ===<≤= ，平面BEF 与平面ABCD的交线为l .(1)证明：直线l ⊥平面11B BDD ；(2)已知2EF =，三棱锥1B BDF -的体积19B BDF V -=，若1D F 与平面1BDD 所成角为θ，求sin θ的取值范围.30．（2023·江苏南通·二模）如图，在圆台1OO 中，11,A B AB 分别为上、下底面直径，且11//A B AB ，112AB A B =，1CC 为异于11,AA BB 的一条母线．(1)若M 为AC 的中点，证明：1//C M 平面11ABB A ；(2)若13,4,30OO AB ABC ==∠=︒，求二面角1A C C O --的正弦值．。
2020高考立体几何动点最值问题压轴选填题
2020高考立体几何动点最值问题压轴选填题立体几何问题中常见的探索性问题包括折叠问题、与函数图象相结合问题、最值问题和探索性问题。
探索性试题通常具有不确定性、探究性和开放性，要求学生具有较高的探究能力和创造性思维。
开放性问题需要学生具备扎实的基础知识和敏锐的洞察力，将平面几何问题类比推广到立体几何中。
折叠和展开问题则考查学生的空间想象能力和分析辨别能力，要求学生在“二维——三维——二维”的维数升降变化中进行思考。
典例1：在棱长为6的正方体ABCD中，点M是BC的中点，点P是面DCC所在的平面内的动点，且满足∠APD=∠MPC，则三棱锥P-BCD的体积最大值是多少？解题关键在于找到变化过程中的临界点，从而确定最值。
在这道题中，需要将空间问题平面化，同时注意到当P点位于D点时，三棱锥P-BCD的体积最大。
典例2：已知长方体ABCD的外接球O的体积为32π，其中BB1=2，则三棱锥O-ABC的体积的最大值是多少？类似于典例1，需要找到变化过程中的临界点。
在这道题中，可以通过求长方体ABCD的对角线长度，进而求出三棱锥O-ABC的高，从而求出体积。
注意到当三棱锥O-ABC的高等于长方体ABCD的对角线长度时，体积最大。
典例3：在棱长为1的正方体ABCD的对角线AC上取一点P，以A为球心，AP为半径作一个球，设AP=x，记该球面与正方体表面的交线的长度和为f(x)，则函数f(x)的图像最有可能的是什么？这道题需要将立体几何和函数图象相结合，考查学生的数形结合能力和小题小作的技巧。
可以通过画图求出交线长度和f(x)，然后根据函数图象的特点进行判断。
举一反三】正方体ABCD A'B'C'D'的棱长为1，E,F分别是棱AA'，CC'的中点。
过直线EF的平面分别与棱BB'、DD'分别交于M,N两点，设BM x，x[0,1]。
给出以下四个结论：①平面MENF平面BDD B；②直线AC∥平面MENF始终成立；③四边形MENF周长L f(x)，x[0,1]是单调函数；④四棱锥C MENF的体积V h(x)为常数。
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1. 已知四棱锥P ABCD -的顶点P 在底面的射影恰好是底面菱形ABCD 的两对角线的交点，若3AB =，4PB =，则PA 长度的取值范围为 )5,7(
解析：如图
设x BO =，则216x PO -=，
229x AO -=，)3,0(,25.02∈-=x x PA
2. 一个半径为1的小球在一个棱长为64的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是_______372
解析：
如图，当小球贴着底面和三个侧面运动时，
它与底面的切点形成一个三角形，这个三角形和底面三角形之间的部分就是在底面上不能接触的部分，设小球同时与底面和左右两侧面都相切，O 为球心，与底面和右侧面切点分别为M,N ，平面OMN 与底面棱AB 交于点P ，显然OMN AB ⊥，则MPN ∠为二面角的平面角，
3
1
cos =
∠MPN ，则22tan =∠MPN ,由二倍角公式可求得22tan =∠OPM ,而
1==ON OM ，故2=MP ,6=AP ,故四个面不能接触到面积
=672])62()64[(4
3
422=-⨯
3. 在一个密封的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是 )
65,61(
O M
N
P
A B
P
O
B
解析：
必须比如图的三棱锥体积大，然后小于剩余体积，
否则根据对称性一样液面是三角形
4. 一个半径为2的球放在桌面上，桌面上的一点1A
16,
AA =2
1 解析：（单德林双球）设A1A2上切点为T ，AB2与球
O 切点为P
则44442222++=+=+=b T B P B AB 而2
212
2
26B A AB +=
22246b ++=
5. 一个正六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a 的正三角形，这样的两个多面体的内切球的半径之比是一个最简分数
n
m
，那么积mn 是______6 解析：
正六面体内切球的球心就是底面正三角形的中心，它到各个侧面的距离就是内切球半径，可以直接求，也可以用体积法求；而正八面体也可以用两种方法求解
6. 三位学友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选取了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口饮料杯，如图所示．盛满饮料后约定：先各自饮杯中饮料一半．设剩余饮料的高度从左到右依次为1h ，2h ，3h ，则它们的大小关系是 ．
B 1
A 2
A 1
B 2
解析：圆锥、圆柱是圆台的特例，故2h 介于1h ，3h 之间，结论是1h ＞2h ＞3h ．
7. 如图，在长方形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为DC 的中点，F 为线段EC （端点除外）上一动点．现将AFD ∆沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ．在平面ABD 内过点D 作DK AB ⊥，K 为垂足．设AK t =，则t 的取值范围是 ．)1,2
1(
解析：过D 作AF DG ⊥于G ，则由三垂线定理知，在平面图形中K G D ,,三点共线，下面只需要研究平面图形中F 点与E ，C 分别重合情形即可.
8. 在矩形ABCD 中，AB = 4，BC = 3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B –AC –D ，则折起后的BD =________
5
337
解析：注意在平面图形中应用余弦定理求线段长
9. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，以顶点A 为球心，
3
3
2为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于_______
6
35π
解析：（2007全国联赛）如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A 所在的三个面上，即面AA 1B 1B 、面ABCD 和面AA 1D 1D 上；另一类在不过顶点A 的三个面上，即面BB 1C 1C 、面CC 1D 1D 和面A 1B 1C 1D 1上。
在面AA 1B 1B 上，交线为弧EF 且在过球心A 的大圆上，因为332=
AE ，AA 1=1，则61πAE A =∠。
同理6π
BAF =∠，所以6
π
EAF =∠，故弧EF 的长为
ππ936332=⋅，而这样的弧共有三条。
在面BB 1C 1C 上，交线为弧FG 且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为B ，半径为
3
3
，2
π
FBG =
∠，所以弧FG 的长为
ππ63233=⋅。
这样的弧也有三条。
于是，所得的曲线长为6
35633933πππ=⨯+⨯
10.。