扩大几倍的问题
一组数据扩大n倍,方差和平均数的变化的题目
一组数据扩大n倍,方差和平均数的变化的题目
摘要：
一、问题的提出：介绍一组数据扩大n 倍后，方差和平均数的变化情况
二、数据分析：阐述方差和平均数的变化规律
三、结论：总结数据扩大n 倍对方差和平均数的影响
正文：
一、问题的提出
在数据分析中，我们常常会遇到一种情况：一组数据需要扩大n 倍。
这时，我们可能会关心扩大后的数据其方差和平均数会发生什么变化。
为了解决这个问题，我们需要对数据进行具体的分析。
二、数据分析
1.平均数的变化：当一组数据扩大n 倍时，其平均数也会扩大n 倍。
这是因为平均数是数据的总和除以数据的个数，扩大n 倍后，数据的总和也会扩大n 倍，从而使得平均数也扩大n 倍。
2.方差的变化：方差是各个数据与平均数的差的平方和的平均数。
当一组数据扩大n 倍时，每个数据与平均数的差也会扩大n 倍，从而导致方差扩大n 的平方倍。
这是因为平方是一个放大的过程，扩大n 倍后再平方，就会使得方差扩大n 的平方倍。
三、结论
综上所述，一组数据扩大n 倍后，其平均数会扩大n 倍，而方差会扩大n 的平方倍。
第三单元积的变化规律和积不变的规律问题专项练习-四年级数学(解析版)北师大版
2023-2024学年四年级数学上册典型例题系列第三单元：积的变化规律和积不变的规律问题专项练习一、填空题。
1．甲乙两个数的积是25，如果甲数扩大4倍，乙数扩大7倍，现在的积是( )。
【答案】700【分析】一个乘数不变，另一个乘数乘几或除以几（0除外），积也乘几或除以几（0除外）。
如果两个乘数都乘几（0除外），积就乘（几×几）（0除外）。
甲数扩大4倍，乙数扩大7倍，积扩大（4×7）倍，原来的积乘（4×7）即可算出现在的积。
【详解】4×7×25＝28×25＝700甲乙两个数的积是25，如果甲数扩大4倍，乙数扩大7倍，现在的积是（700）。
【点睛】此题的解题关键是灵活应用积的变化规律求解。
2．A×B＝1000，那么（A×8）×（B÷8）＝( )，（A×10）×（B×10）＝( )。
【答案】 1000 100000【分析】积的变化规律：（1）如果一个乘数扩大到原来的几倍或缩小为原来的几分之一，另一个乘数不变，那么积也扩大相同倍数或缩小为原来的几分之一。
（2）如果一个乘数扩大到原来的几倍，另一个乘数缩小为原来的几分之一，那么积不变。
（3）如果一个乘数扩大到原来的几倍，另一个乘数也扩大到原来的几倍，那么积扩大的倍数等于两个乘数扩大的倍数的乘积，据此解答即可。
【详解】A×B＝1000，那么（A×8）×（B÷8）＝1000，（A×10）×（B×10）＝1000×10×10＝100000。
【点睛】熟练掌握积的变化规律是解答本题的关键。
3．如果A×B＝50，那么（A×20）×B＝( )；如果A比B大8，那么A ×125－125×B＝( )。
【答案】 1000 1000【分析】根据积的变化规律可知，因数A乘20，因数B不变，积应乘20。
三年级数学扩大到几倍宽或长不变这种练习题
三年级数学扩大到几倍宽或长不变这种练习题
一个长方形长不变，宽扩大3倍，面积扩大3倍．
分析长方形的面积=长×宽，根据积的变化规律，一个因数不变，另一个因数扩大几倍，积就扩大几倍，据此解答即可．
解答解：因为长方形的面积S=ab，
则宽扩大3倍，长不变，它的面积扩大3倍．
答：面积扩大 3倍．
故答案为：3．
点评此题主要根据长方形面积的计算方法和积的变化规律解决问题．
一个面积为120平方米的长方形草坪，将它的长扩大到原来的3倍，宽不变，扩建后草坪的面积是360平方米．
分析因为长方形的面积S=ab，根据积的变化规律，当宽不变时，长扩大几倍，面积就扩大几倍，用120乘以3，即可求出扩建后草坪的面积，列式解答即可．
解答解：当长方形的，宽不变时，长扩大到原来的3倍，面积就扩大3倍，
即面积为：120×3=360（平方米）
答：扩建后草坪的面积是360平方米．
故答案为：360．
点评本题主要是利用长方形的面积公式和积的变化规律解决
问题．。
被除数、除数、商的变化规律
被除数、除数、商的变化规律（一）被除数和除数扩大或缩小的倍数相同被除数不变，除数扩大几倍，商反而缩小几倍；被除数不变，除数缩小了几倍，商反而扩大了几倍。
也就是说：被除数不变，除数乘几，商反而除以几；被除数不变，除数除以几，商反而乘几。
（除数不能为0）除数不变，被除数扩大几倍，商就扩大几倍；除数不变，被除数缩小几倍，商就缩小几倍。
也就是说：除数不变，被除数乘几，商就乘几；除数不变，被除数除以几，商就除以几。
（除数不能为0）商不变，被除数扩大几倍，除数就扩大几倍。
商不变，被除数缩小几倍，除数就缩小几倍，也就是说：商不变，被除数乘几，除数就乘几。
商不变，被除数除以几，除数就除以几。
（除数不能为0）在被除数不变时，商随着除数的变化而变化;在除数不变时，商又随着被除数的变化而变化，假如要使商不变，被除数、除数也会作相应的变化。
三者的变化规律如下：被除数……除数（不为0）……商不变扩大→缩小不变缩小→扩大扩大不变→扩大缩小不变→缩小扩大扩大→不变缩小缩小→不变他们的变与不变是有规律的。
在运用规律解决一些实际问题时一定要注意。
同时乘（或除以）相同的数，在商不变时还应注意“0”除外。
被除数、除数、商的变化规律（二）被除数和除数扩大或缩小的倍数不相同被除数和除数同时扩大了不同的倍数，如果被除数扩大的倍数大，商就扩大了，扩大的倍数是：被除数扩大的倍数除以除数扩大的倍数的商。
如果除数扩大的倍数大，商就缩小了，缩小的倍数是：除数扩大的倍数除以被除数扩大的倍数的商。
在被除数扩大的同时除数缩小了而且扩大和缩小的倍数不相同，这时，不管扩大的倍数大还是缩小的倍数大，商都是扩大了；商扩大的倍数是：被除数扩大的倍数乘除数缩小的倍数。
在被除数缩小的同时除数扩大了而且缩小和扩大的倍数不相同，这时，不管缩小的倍数大还是扩大的倍数大，商都是缩小了；商缩小的倍数是：被除数缩小的倍数乘除数扩大的倍数。
被除数、除数、商的变化规律
被除数、除数、商的变化规律（一）被除数和除数扩大或缩小的倍数相同被除数不变，除数扩大几倍，商反而缩小几倍；被除数不变，除数缩小了几倍，商反而扩大了几倍。
也就是说：被除数不变，除数乘几，商反而除以几；被除数不变，除数除以几，商反而乘几。
（除数不能为0）除数不变，被除数扩大几倍，商就扩大几倍；除数不变，被除数缩小几倍，商就缩小几倍。
也就是说：除数不变，被除数乘几，商就乘几；除数不变，被除数除以几，商就除以几。
（除数不能为0）商不变，被除数扩大几倍，除数就扩大几倍。
商不变，被除数缩小几倍，除数就缩小几倍，也就是说：商不变，被除数乘几，除数就乘几。
商不变，被除数除以几，除数就除以几。
（除数不能为0）在被除数不变时，商随着除数的变化而变化;在除数不变时，商又随着被除数的变化而变化，假如要使商不变，被除数、除数也会作相应的变化。
三者的变化规律如下：被除数……除数（不为0）……商不变扩大→缩小不变缩小→扩大扩大不变→扩大缩小不变→缩小扩大扩大→不变缩小缩小→不变他们的变与不变是有规律的。
在运用规律解决一些实际问题时一定要注意。
同时乘（或除以）相同的数，在商不变时还应注意“0”除外。
被除数、除数、商的变化规律（二）被除数和除数扩大或缩小的倍数不相同被除数和除数同时扩大了不同的倍数，如果被除数扩大的倍数大，商就扩大了，扩大的倍数是：被除数扩大的倍数除以除数扩大的倍数的商。
如果除数扩大的倍数大，商就缩小了，缩小的倍数是：除数扩大的倍数除以被除数扩大的倍数的商。
在被除数扩大的同时除数缩小了而且扩大和缩小的倍数不相同，这时，不管扩大的倍数大还是缩小的倍数大，商都是扩大了；商扩大的倍数是：被除数扩大的倍数乘除数缩小的倍数。
在被除数缩小的同时除数扩大了而且缩小和扩大的倍数不相同，这时，不管缩小的倍数大还是扩大的倍数大，商都是缩小了；商缩小的倍数是：被除数缩小的倍数乘除数扩大的倍数。
小数扩大和缩小的练习题
小数扩大和缩小的练习题一个小时接到的次数是40次，那接的时间共4分钟。
（）一个数扩大10倍，小数点也要向右移动一位。
（）一个数的末尾加上两个零，这个数就会扩大100倍。
（）A. 4 BB. 54C. 54D. 540下面的数中，哪个数扩大100倍后与原来的数相等？A. 6B. 56C. 5D. 65下面的哪个小数扩大10倍后与原来的数相等？A. 7B. 47C. 74D. 407下面的哪个小数点向左移动一位后与原来的数相等？A. 2B. 32C. 23D. 302下面的哪个数在小数点向左移动两位后与原来的数相等？A. 60B. 6C. 6D. 600数学，作为一门广泛应用于生活和科学的学科，其基本概念和技巧对我们的日常生活至关重要。
其中，百分数、分数和小数的互化是数学中一个重要的技能，它帮助我们更好地理解和解决各种问题。
下面，我们将通过一系列练习题，来加深对这一技能的理解和掌握。
解答：百分数50%可以写作分数50/100，或者小数5。
解答：分数3/4可以转换为百分数75%，或者小数75。
解答：小数6可以转换为百分数60%，或者分数6/10。
通过以上的练习题，我们可以看到，百分数、分数和小数的互化主要是基于基本的数学概念和运算规则。
在处理这些问题时，我们需要理解并熟练运用这些规则，才能得到正确的答案。
同时，我们也需要明白，数学不仅仅是一种解题技巧，更是一种逻辑思考的方式，一种理解世界的重要工具。
让我们再看一个实际应用场景的例子，假设小红吃了3/4的苹果，而小明吃了8的苹果。
我们想知道小红和小明各自吃了多少苹果的百分数表示。
解答：对于小红，她吃了的苹果的量可以用分数表示为75%（或者75），因为她吃了3/4的苹果。
对于小明，他吃了的苹果的量可以用百分数表示为80%（或者8），因为他吃了8的苹果。
百分数、分数和小数的互化是一种基本的数学技能，它有助于我们更好地理解和解决各种问题。
通过练习和实际应用，我们可以不断提高我们的数学技巧和解决问题的能力。
倍数问题复习
倍数问题复习1、两个加数的和应该是19.22，小强在计算时将应该加数的小数点向左移动了一位，这样加得的和是5.18，求这两个加数原来各是多少？2、10年前丹丹父亲的年龄是她的7倍，15年后父亲的年龄是她的2倍，现在父女的年龄各是多少岁？3、新华书店今天卖出1271本书，其中文艺书是科技书的2倍，连环画比文艺书的3倍少7本，今天卖出的三种书各是多少本？4、商定原有的大米是白面的3倍，又运进大米2500千克，运进的白面2000千克，现在大米是白面的2倍，商定原有大米和白面各多少千克？5、一个小数，如果把它的小数部分扩大3倍，就得到5.1，如果把它的小数部分扩大5倍，就得到6.5，这个小数是多少？6、两个数相除，商39余58，如果被除数，除数，商及余数相加，和是3275，求被除数和除数各是多少？7、把324分成四个数，使甲加上2，乙减去2，丙乘以2，丁除以2后，四个数相同，求这四个数分别是多少？8、AB两瓶酒精共重157克，先从A 瓶倒出35克，这时B瓶比A瓶剩下的酒精的2倍多8克，求原来AB两瓶各有多少克酒精？9、在一个等腰三角形中，一个角是另一个角的7倍，求三个角的度数各多少？10、乐乐今年5岁，爸爸34岁，妈妈30岁，多少年后爸爸，妈妈的年龄和是乐乐的4倍？11、甲乙两人带着相同的钱去买大米，甲的钱不够，向乙借了8元，买了15千克大米，乙剩的钱刚好买10千克大米，求每千克大米多少元？12、某工厂有工人760人，如果男工人人数增加2倍，女工人数增加4倍，工厂将增加2260人，原来男，女工人各有多少人？13、甲仓库存粮44吨，乙仓库存粮83吨，现在甲仓库每天继续存入3吨，乙仓库每天继续存入7吨，几天后乙仓库存粮的总粮食是甲仓库的2倍14、甲乙两根钢丝，甲用去7米，乙用去4米，甲所剩的是乙所剩的3倍，已知原来甲比乙长23米，原来甲乙两根钢丝各长多少米？15、五六年级同学参加植树劳动，原定给六年级的任务是五年级的4倍，后来考虑六年级任务太重，又调出50棵给五年级，这时六年级的任务是五年级的1.5倍，五六年级实际各植树多少棵？16、甲乙两个书架，甲书架上的书是乙书架的7倍，如果从甲书架取出19本，而往乙书架放入15本，这时甲书架上的书是乙书架的3倍，甲乙两书架上原来各有书多少本？17、某小队的少先队员提一篮苹果和梨去敬老院，每次从篮里取出2个梨和5个苹果给一位老人，最好剩下16个苹果和2个梨，这时他们想起来原来苹果是梨的3倍，篮子里原有梨和苹果各多少个？18、一笔奖金分一等奖，二等奖和三等奖，每个一等奖的奖金是每个二等奖奖金的2倍，每个二等奖的奖金是每个三等奖奖金的2倍，如果评一、二、三等奖各两人，那么一个一等奖的奖金是308元，如果评一个一等奖，两个二等奖，三个三等奖，那么一等奖的奖金是多少？19、两个数相除商9余4，如果把被除数，除数都扩大到原来的3倍，那么被除数，除数，商和余数的和是813，求原来的被除数和除数各是多少？20、一个正方形被4条平行于一组对边和5条平行于另一组对边的线段分割成了30个大小不同的长方形，这些长方形的周长之和是66厘米，那么原来正方形的面积是多少？。
解决问题二——积的变化规律
解决问题二——积的变化规律 姓名
1、、一块长方形的绿地宽8米，面积为560平方米。
现在宽要增加到24米，长不变。
扩大后的绿地面积是多少
2、一个长方形草坪面积是420平方米，长是30米，如果宽不变，将长增加到90米后，面积是多少平方米?
3、有一条6米宽的人行道，占地面积是720平方米，为了行走方便，道路的宽度增加了18米，长不变，问扩宽后这条人行道的面积是多少？
4、一个长方形的草坪面积是100平方米，扩建后，长扩大到原来的2倍，宽扩大到原来的3倍，扩建后的草坪是多少？
5、园林工人准备把花圃的宽增加到原来的2倍，长不变，扩大后的花圃的面积是多少？
27米
6、一个长方形的花圃的长是132米，宽是55米，如果把宽也增加到132米，成为正方形花圃，面积会增加多少？
7、如图是一块绿地，如果长不变，要把宽增加到绿地成为正方形，这块绿地的面积要增加多少平方米？
6米。
扩大_扩大了_扩大到的区别
扩大、扩大了、扩大到（增加、增加了、增加）有何区别在人教版小学四年级下册数学教材“小数点的移动”一部分的练习题目中出现了“扩大、扩大了、扩大到”这几个术语，把同学们搞得一头雾水，加上不同教辅资料答案标准的不统一，让老师们也不知所措、如何讲解。
那到底该如何界定它们之间的含义呢？一、从语法含义及数学教学的连贯性来看（主要是联系初中数学）：1.扩大与扩大了是同一意思，都表示在原来的基础上多了多少；例：①把2扩大5倍为2+2×5；②把2扩大了5倍也是2+2×52. 扩大到则不同，表示现在达到了（或现在是）多少。
例1：把2扩大到5倍为2×5例2：0.256变成25.6是“扩大到原数的100倍，也可以说扩大了99倍”；例3:25.6变成0.256是“缩小到原数的1/100，或缩小了99倍”二、驳斥“扩大、扩大了、扩大到”系同一含义的观点“扩大”的含义到底是“扩大到”还是“扩大了”呢？（一）认为“把a扩大n倍为na”，即把“扩大”理解为“扩大到”的谬误众所周知，在数学上，只要举一个反例就可以论证一个假命题。
若“把a扩大n倍为na”，则把2扩大1倍为2×1=2，没有扩大；把2扩大0.1倍为2×0.1=0.2，反而缩小了。
这违背了《词典》中对“扩大”一词的解析，所以“把a扩大n倍为na”是错误的。
（二）确定“把a扩大n倍为(n+1)a”，即把“扩大”理解为“扩大了”的合理性1、“把a扩大n倍为(n+1)a”的规定，符合《词典》中“扩大”一词的本意。
如把2扩大1倍为2+2×1=2×(1+1)=4；把2扩大0.1倍为2+2×0.1=2×(1+0.1)=2.1，扩大后必须要增加，否则就违背了三岁儿童都懂的常理！2、“把a扩大n倍为(n+1)a”的规定与教材中大多数的表述没有矛盾。
[例1]小学数学教材在总结商不变的规律时说：“在除法里，被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变”。
【小升初培优专题】六年级下册数学-平面几何综合训练—曲线型(解析版)
【小升初培优专题】六年级下册数学-平面几何综合训练—曲线型（解析版）一、知识点1、圆周长：C＝πd＝2πr扩倍问题（1）：若圆的半径扩大到n倍，则直径扩大到n倍，周长扩大到n倍，面积扩大到n²倍扩倍问题（2）：若两个圆的半径比为n：m，则它们的直径比为n：m，周长比为n：m，面积比则为n²：m²构造圆在长方形中画一个最大的圆在长方形中画最大的半圆技巧：长的一半与宽比较，谁小谁是半径。
2、半圆周长：C＝πr＋d面积：πr²÷23、圆环＝大圆面积－小圆面积＝πR²－πr²圆环面积：S环4、扇形弧长：r nl π2360⨯=面积：2360r nS π=5、组合图形方中圆：正方形与圆面积之比为4：π圆中方：圆与正方形面积之比为π：2方中圆中方：大正方形面积是小正方形面积的2倍圆中方中圆：大圆面积是小圆面积的2倍割补法：重叠问题：整体减空白一、填空题。
（每道小题5分，共 40分）1. （1）一个圆的半经扩大到3倍，直径扩大到 倍；周长扩大到 倍；面积扩大到 倍。
【解答】3，3，9。
（2）大圆和小圆的半径比是3：2，它们的直径比是 ，他们的周长比是 ，它们的面积比是 。
【解答】3：2，3：2，9：4。
2. 在一个长10厘米、宽4厘米的长方形内画圆，圆的直径最大是 厘米，能画 个这样的圆且互不重叠。
【解答】如下图，4：2。
3. 如图，以B 、C 为圆心的两个半圆的直径都是3厘米，图中阴影部分的周长是 厘米。
【解答】如下图，半径为3÷2＝1.5（厘米），连接BP 与CP ，因为BC 、CP 、PB 均为半径，所以△BCP 是等边三角形，那么∠PBC ＝∠PCB ＝60（度），弧长PB ＝60＝弧长PC ＝36060×3.14×3＝1.57（厘米），阴影部分的周长为1.57＋1.57＋1.5＝4.64（厘米）。
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一个数“扩大一倍”后是多少？扩大0倍后还有没有？
分类：教学2008-11-20 20:59
一个数扩大一倍”后是多少？扩大0倍后还有没有？
分析一个例题：
题：某村村主任说：我村三年前有耕地1000亩，经过三年的努力耕地【扩大】了一倍，现在有耕地2000亩。
这本来是对的，但是，村主任上小学的儿子却说：“不对！现在有耕地1000亩，老师讲的“扩大几倍就是用几乘”，“扩大一倍”就是用一乘，1000亩x1=1000亩。
”
村主任听了很生气，说：“儿子，你念书你念糊涂了！你去叫上你老师把那个书拿来，两个人去量量去，看到底是多少！”
儿子也很生气，说：“你是文盲！不懂数学！”
分析：一、首先明确两个概念：
1、【扩大】------“使（范围、规模等）比原来大。
”-----{现代汉语词典}
2、【倍】-------“跟原数相等的数”--------------------- {现代汉语词典}
二、明确题意：
1、三年前有耕地1000亩；
2、经过三年的努力耕地【扩大】了一倍----经过三年的努力【使耕地面积比1000亩加了1000亩】-------照原数1000亩加1000亩】。
三、解法：
1、加法；
2、乘法。
（乘法是加法的简便运算方法）。
解：1、1000亩+1000亩=2000亩。
2、1000亩x( 1+1 ) =2000亩。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 讨论：1、扩大一倍行不行？行！
2、扩大一倍有矛盾没有？没有！
3，符合不符合小学语言运用原则？符合！
4，符合不符合加法、乘法算理？符合！
5、符合不符合逻辑推理规律？符合！
6、给小学生增加了负担吗？没有！~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 再讨论：
1、任何方法都是由要达到的目的要求来判断对错的。
本题要求的是耕地扩大一倍后的现有面积，所以1000亩x（1+1）=2000亩就对了；“扩大几倍就用几乘”1000亩x1=1000亩就错了。
2、研究任何问题首先要明确概念。
明确概念是研究任何问题的第一步。
研究“扩大几倍”的问题，就要明确下列四个概念：
（1）、【扩大】----“使（范围、规模等）比原来大。
”{现代汉语词典}；
（2）、【倍】】-------“跟原数相等的数”{现代汉语词典} （“照原数加等”-【易】【说卦】：“为近利市三倍”；反也。
【说文解字】。
）
(3) 、【几】-------小学数学的数字范围: 0和正数（0和正整数、正分数、正小数、正百分数。
）
(4) 、【扩大几倍】------ 在这里是指：一个数扩大几倍后的结果，即原数加上扩大了的数的和。
进一步说：原数是本身的"1" 倍, 扩大了的数量是原数的“几”倍，共是原数的
（几+1）倍，所以，一个数【扩大几倍】就是求一个数扩大几倍后的结果，等于原数x（几+1）的积。
3、研究问题要坚决贯彻实事求是的原则。
在这里主要是小学生的实际；社会生活实际；日常语言实际；
4、坚持数学科学的基本规则。
5、主任的儿子算错了是因为老师讲错了；老师讲错了是因为教材的这部分是错的；教材错是因为很早以前的编者水平差就错了；后来还错是因为什么？总是因循守旧、坚持错误，其具体情况是因为什么我是一点儿也不知道的。
只是1961年教小学数学时发现了这个问题，文革后反映到教育部后从小学教材编写组几十年前给我的回信中看到很早以前就有人一直提出不同意见，争论一直没有停止过。
现在好多了，开始纠正了，不过争论还在进行。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ “扩大一倍”后是多少？扩大0倍后还有没有？
根据【扩大几倍】是求一个数扩大几倍后的结果时，就等于原数x（几+1）的积，那么，
一个数“扩大一倍”后的结果就是
原数x（1+1）=原数的2倍
一个数“扩大0倍”后的结果就是原数x（0+1）=原数。