aD7习题课(2)

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八年级数学下册17、2一元二次方程的解法17、2、3因式分解法目标一用因式分解法解一元二次方程习题课

解得 x1＝－72，x2＝3.
(3)(x＋2)2－8(x＋2)＋16＝0.
解：将x＋2看作一个整体，分解因式，得[(x＋2)－4]2＝0，即(x－2)2＝0. 解得x1＝x2＝2.
9 阅读材料：由多项式乘法得(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b). 示例：分解因式： x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3).
【点拨】阅读材料，用类比法确定a，b的值，从而用因式分解
法解方程．
分两种情况： ①当AB＝AD＝4时，4＋4＝8，不能构成三角形，不符合题意； ②当AB＝AD＝6时，6＋6＞8，符合题意． ∴菱形ABCD的周长＝4AB＝24. 故选B.
7 小红解方程(x－2)2＝2－x，只得到一个根为x＝1，其错误原因是_____未__考__虑__x_－__2_＝__0_____，漏掉的根是 _____x_＝__2____.
边关系定理，此时能组成三角形，此时三角形的底边长为 2，故选A.
6 【中考·黔东南州】若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2－10x＋24＝0的一个根，则该菱形 ABCD的周长为( B ) A．16 B．24 C．16或24 D．48
【点拨】如图所示．假设BD＝8. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD. x2－10x＋24＝0，因式分解，得(x－4)(x－6)＝0，解得x＝4或x＝6.
5 【中考·张家界】已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2－6x＋8＝0的两根，则该等腰三角形的底边长为( A ) A．2 B．4 C．8 D．2或4
【点拨】 x2－6x＋8＝0， (x－4)(x－2)＝0，解得x＝4或x＝2. 当等腰三角形的三边长为2，2，4时，不符合三角形

冀教版八年级下册数学第22章 22.4.2 矩形的判定习题课件

证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC. ∵点C是BE的中点，∴BC＝CE，∴AD＝CE. 又∵AD∥CE， ∴四边形ACED是平行四边形．
能力提升练
(2)如果AB＝AE，求证：四边形ACED是矩形．证明∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝DC. ∵AB＝AE， ∴DC＝AE. 由(1)知四边形ACED是平行四边形， ∴四边形ACED是矩形．
基础巩固练 11．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在CB的延长
线上，且BE＝BC，DE＝DC，AB，DE相交于点O，连接AE，DB.求证：四边形AEBD是矩形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC，CD＝AB. ∵BC＝BE，∴AD＝BE. 又∵AD∥BE，
基础巩固练
形，那么这个条件是( B )
A．AB＝BC
B．AC与BD互相平分
C．AC⊥BD
D．AB⊥BD
基础巩固练
7．【2019•河北石家庄高邑县期末】在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4名同学拟定的方案，其中正确的是( D )
A．测量对角线，看是否互相平分 B．测量两组对边，看是否分别相等 C．测量对角线，看是否相等 D．测量对角线的交点到四个顶点的距离，看是否都相等
综合探究练
17．【中考·甘肃兰州】阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图①，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？小敏在思考问题时，有如下思路：连接AC.
综合探究练结合小敏的思路作答：
综合探究练
(1)若只改变图①中四边形ABCD的形状(如图②)，则四

平面向量习题课(教师)

平面向量习题课1．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB 平行的单位向量为________．解：AB ＝(3，－4)，则与其同方向的单位向量e ＝AB |AB |＝15(3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.答案：34,55⎛⎫± ⎪⎝⎭2．P ＝{a |a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q 等于________．解：P 中，a ＝(－1＋m,1＋2m )，Q 中，b ＝(1＋2n ，－2＋3n )．则⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n .得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝－7. 此时a ＝b ＝(－13，－23)．答案：{}(－13，－23)3．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC 2＝16，|AB ＋AC |＝|AB －AC |，则|AM |＝________.解：由|AB ＋AC |＝|AB －AC |可知，AB ⊥AC ，则AM 为Rt △ABC 斜边BC 上的中线，因此，|AM |＝12|BC |＝2. 答案：24．已知a ，b 是非零向量，且a ，b 的夹角为π3，若向量p ＝a |a |＋b|b |，则|p |＝________.解：a |a |和b|b |分别表示与a ，b 同向的单位向量，所以长度均为1.又二者的夹角为π3，故|p |＝ 1＋1＋2×1×1×cos π3＝ 3.答案： 35．设O 是△ABC 内部一点，且OA ＋OC ＝－2OB ，则△AOB 与△AOC 的面积之比为________．解：设M 为边AC 的中点．因为OA ＋OC ＝－2OB ，所以点O 是△ABC 的中线BM 的中点，从而所求面积之比为1∶2. 答案：1∶2EX ：设D ，P 为△ABC 内的两点，且满足AD ＝14(AB ＋AC )，AP ＝AD ＋15BC ，则S △APD S △ABC＝_____. 解：设E 为边BC 的中点．由AD ＝14(AB ＋AC )可知，点D 在△ABC 的中线AE 上，且AD ＝12AE ，由AP ＝AD ＋15BC ，得DP ＝15BC ，利用平面几何知识知S△APD S△ABC＝12×15＝110.答案：1106．点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足AM ＝34AB ＋14AC ，则△ABM 与△ABC 的面积之比为________．解：分别在AB ，AC 上取点E ，F ，使得AE ＝34AB ，AF ＝14AC ，在BC 上取点G ，使BG ＝14BC ，则EG ∥AC ，FG ∥AE ，∴AG ＝AE ＋AF ＝AM ，∴M 与G 重合，∴S △ABM S△ABC＝BM BC ＝14.7．若点G 为△ABC 的重心，且AG ⊥BG ，则sin C 的最大值为________．解：记CA ＝b ，CB ＝a ，则AB ＝a －b ，从而AG ＝13(a －2b )，BG ＝13(b －2a )．因为AG ⊥BG ，所以(a －2b )(b －2a )＝0，即2b 2－5b ·a ＋2a 2＝0，所以cos C ＝2b 2＋2a25|b |·|a |≥45，故当|b |＝|a |时，cos C 有最小值45，此时sin C 有最大值35. 答案：358．已知点P 在△ABC 所在的平面内，若2PA ＋3PB ＋4PC ＝3AB ，则△P AB 与△PBC 的面积的比值为________．解：因为2PA ＋3PB ＋4PC ＝3AB ，所以2PA ＋3PB ＋4PC ＝3PB －3PA ，即5PA ＋4PC ＝0，所以△P AB 与△PBC 的面积的比为P A ∶PC ＝4∶5.答案：459．如图，在△ABC 中，BO 为边AC 上的中线，BG ＝2GO ，若CD ∥AG ，且AD＝15AB ＋λAC (λ∈R )，则实数λ的值为________．解：法一：因为AG ＝AB ＋BG ＝AB ＋23BO ＝AB ＋23(AO －AB )＝13AB ＋23AO ＝13AB ＋13AC ，CD ＝AD －AC ＝15AB ＋(λ－1)AC ，又因为CD ∥AG ，所以λ－1＝15，即λ＝65.法二：不妨设CD ＝m AG ，则有AD ＝AC ＋CD ＝AC ＋m AG ＝AC ＋m (AO ＋OG )＝AC ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 AC ＋13 OB ＝AC ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC －13 BO ＝AC ＋m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12AC －13·12( BA ＋BC ) ＝AC ＋m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12AC －13·12(BA ＋AC －AB ) ＝m ＋33AC ＋m3AB .又AD ＝15AB ＋λAC ，所以m 3＝15，从而m ＝35，所以λ＝m ＋33＝65. 答案：6510．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，且3a BC ＋4b CA ＋5c AB ＝0，则a ∶b ∶c ＝________________. 解：在△ABC 中有BC ＋CA ＋AB ＝0，又3a BC ＋4b CA ＋5c AB ＝0，消去AB 得 (3a －5c )BC ＋(4b －5c )CA ＝0，从而3a －5c ＝0,4b －5c ＝0，故a ∶b ∶c ＝20∶15∶12. 答案：20∶15∶1211．设e 1，e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b . 解：由题意，设e 1＋e 2＝m a ＋n b .因为a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，所以e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋n (－e 1＋e 2) ＝(m －n )e 1＋(2m ＋n )e 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝23，n ＝－13.答案：23 －1312．如图，在等腰三角形ABC 中，已知AB ＝AC ＝1，A ＝120°，E ，F 分别是边AB ，AC 上的点，且AE ＝m AB ，AF ＝n AC ，其中m ，n ∈(0,1)．若EF ，BC 的中点分别为M ，N ，且m ＋4n ＝1，则|MN |的最小值为________．解：法一：由于M ，N 是EF ，BC 的中点，AE ＝m AB ，AF ＝n AC ，m ＋4n ＝1，所以AN ＝12AB ＋12AC ，AM ＝12AE ＋12AF ＝m 2AB ＋n 2AC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2n AB ＋n 2AC ，所以MN ＝AN －AM ＝2n AB ＋1－n 2AC .而AB ·AC ＝1×1×cos 120°＝－12，所以||MN ＝1221n 2－6n ＋1，显然当n ＝321时，||MN min ＝77.法二：以点N 为坐标原点，直线BC 为x 轴，直线NA 为y 轴建立平面直角坐标系，由AB ＝AC ＝1，A ＝120°，得N (0,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，所以AF ＝n AC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ，－12n ，AE ＝m AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32m ，－12m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －32，2n －12(由于m ＋4n ＝1)，从而点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －32，2n ，点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ，－12n ＋12，线段EF 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫534n －34，34n ＋14，所以||MN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫534n －342＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34n ＋142＝1221n 2－6n ＋1，显然当n ＝321时，||MN min ＝77.13．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，E ，F 分别为线段AD 与BC 的中点．设BA ＝a ，BC ＝b ，试用a ，b 为基底表示向量EF ，DF ，CD .解EF ＝EA ＋AB ＋BF ＝－16b －a ＋12b ＝13b －a ，DF ＝DE ＋EF ＝－16b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13b －a ＝16b －a ，CD ＝CF ＋FD ＝－12b －⎝ ⎛⎭⎪⎫16b －a ＝a －23b .14．已知a ，b 不共线，OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，OD ＝d ，OE ＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．解：由题设知，CD ＝d －c ＝2b －3a ，CE ＝e －c ＝(t －3)a ＋t b .C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE ＝k CD ，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .因为a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解之得t ＝65.故存在实数t＝65使C，D，E三点在一条直线上．15．已知向量a＝(cos λθ，cos(10－λ)θ)，b＝(sin(10－λ)θ，sin λθ)，λ，θ∈R.(1)求|a|2＋|b|2的值；(2)若a⊥b，求θ；(3)若θ＝π20，求证：a∥b.解：(1)因为|a|＝cos2(λθ)＋cos2[(10－λ)θ]，|b|＝sin2[(10－λ)θ]＋sin2(λθ)，所以|a|2＋|b|2＝2.(2)因为a⊥b，所以cos λθ·sin(10－λ)θ＋cos(10－λ)θ·sin λθ＝0. 所以sin[(10－λ)θ＋λθ]＝0，所以sin 10θ＝0，所以10θ＝kπ，k∈Z，所以θ＝kπ10，k∈Z.(3)证明：因为θ＝π20，所以cos λθ·sin λθ－cos(10－λ)θ·sin(10－λ)θ＝cos λπ20·sinλπ20－cos⎝⎛⎭⎪⎫π2－λπ20·sin⎝⎛⎭⎪⎫π2－λπ20＝cos λπ20·sinλπ20－sinλπ20·cosλπ20＝0，所以a∥b.16．如图，在边长为1的正三角形ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，若AE＝m AB，AF＝n AC，其中m，n∈(0,1)．设EF的中点为M，BC的中点为N.(1)若A，M，N三点共线，求证：m＝n；(2)若m ＋n ＝1，求|MN |的最小值．解：(1)证明：由A ，M ，N 三点共线，得AM ∥AN . 设AM ＝λAN (λ∈R )，即12(AE ＋AF )＝12λ(AB ＋AC )，所以m AB ＋n AC ＝λ(AB ＋AC )．因为AB 与AC 不共线，所以m ＝n .(2)因为MN ＝AN －AM ＝12(AB ＋AC )－12(AE ＋AF )＝12(1－m )AB ＋12(1－n )AC ，又m ＋n ＝1，所以MN ＝12(1－m )AB ＋12m AC ，所以|MN |2＝14(1－m )22AB ＋14m 22AC ＋12(1－m )m ·AB ·AC ＝14(1－m )2＋14m 2＋14(1－m )m＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫m －122＋316，故当m ＝12时，|MN |min ＝34.17．如图，半径为1，圆心角为3π2的圆弧AB 上有一点C .(1)若C 为圆弧AB 的中点，点D 在线段OA 上运动，求|OC ＋OD |的最小值；(2)若D ，E 分别为线段OA ，OB 的中点，当C 在圆弧AB 上运动时，求CE ·DE 的取值范围．解：以O 为原点，OA 为x 轴正方向，建立如图所示的直角坐标系．(1)设D (t,0)(0≤t ≤1)，又C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，所以OC ＋OD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋t ，22，所以|OC ＋OD |2＝12－2t ＋t 2＋12＝t 2－2t ＋1(0≤t ≤1)，当t ＝22时，其最小值为12，即|OC ＋OD |的最小值为22.(2)设OC ＝(cos α，sin α)⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤α≤3π2，因为D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12所以CE ＝OE －OC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12－(cos α，sin α)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos α，－12－sin α. DE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，故CE ·DE ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α＋12＋sin α＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋14. 因为π4≤α＋π4≤7π4，所以CE ·DE ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14－22，14＋22.18．如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心、AB 为半径的圆弧上的任意一点，设向量AC ＝λDE ＋μAP ，则λ＋μ的最小值为________．解：以A 为原点，如图建立直角坐标系，不妨设正方形ABCD 的边长为1，则AC ＝(1,1)，DE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1.设AP ＝(cos α，sin α)，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.由AC ＝λDE ＋μAP 得⎩⎨⎧1＝λ2＋μcos α，1＝－λ＋μsin α，所以μ＝32cos α＋sin α，故λ＋μ＝μsin α－1＋μ＝3·1＋sin α2cos α＋sin α－1.设f (α)＝1＋sin α2cos α＋sin α，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f ′(α)＝2＋2sin α－cos α(2cos α＋sin α)2.因为f ′(α)＞0恒成立，故f (α)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调增函数．所以当α＝0时，f (α)min ＝f (0)＝12，所以(λ＋μ)min ＝12.。

高数（第三版）课后习题七详细答案

习题七1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置：A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4);D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0).解：点A在第Ⅰ卦限；点B在第Ⅱ卦限；点C在第Ⅷ卦限；点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上.2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？答: 在xOy面上的点，z=0;在yOz面上的点，x=0;在zOx面上的点，y=0.3. x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？答：x轴上的点，y=z=0;y轴上的点，x=z=0;z轴上的点，x=y=0.4. 求下列各对点之间的距离：（1）（0，0，0），（2，3，4）；（2）（0，0，0），（2，-3，-4）；（3）（-2，3，-4），（1，0，3）；（4）（4，-2，3），（-2，1，3）.解：（1）s=(2) s==(3) s==(4) s==5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离.解：点(4，-3，5)到x轴，y轴，z轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）.故2s=xs==ys==5zs==.6. 在z轴上，求与两点A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距离的点. 解：设此点为M（0，0，z），则222222(4)1(7)35(2)z z-++-=++--解得149z=153154即所求点为M （0，0，149）. 7. 试证：以三点A （4，1，9），B （10，-1，6），C （2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形.证明：因为|AB |=|AC |=7.且有 |AC |2+|AB |2=49+49=98=|BC |2. 故△ABC 为等腰直角三角形. 8. 验证：()()++=++a b c a b c . 证明：利用三角形法则得证.见图7-1图7-19. 设2, 3.=-+=-+-u a b c v a b c 试用a , b , c 表示23.-u v 解：232(2)3(3)2243935117-=-+--+-=-++-+=-+u v a b c a b c a b c a b c a b c10. 把△ABC 的BC 边分成五等份，设分点依次为D 1，D 2，D 3，D 4，再把各分点与A 连接，试以AB = c ，BC = a 表示向量1D A ,2D A ,3D A 和4D A .解：1115D A BA BD =-=-- c a2225D A BA BD =-=-- c a3335D A BA BD =-=-- c a444.5D A BA BD =-=-- c a11. 设向量OM的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影.解：设M 的投影为M '，则1Pr j cos 604 2.2u OM OM =︒=⨯=12. 一向量的终点为点B （2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量的起点A 的坐标.解：设此向量的起点A 的坐标A (x , y , z )，则{4,4,7}{2,1,7}AB x y z =-=----155解得x =-2, y =3, z =0故A 的坐标为A (-2, 3, 0).13. 一向量的起点是P 1（4，0，5），终点是P 2（7，1，3），试求：（1） 12PP 在各坐标轴上的投影；（2） 12PP 的模；（3） 12PP 的方向余弦；（4） 12PP 方向的单位向量. 解：（1）12Pr j 3,x x a PP == 12Pr j 1,y y a PP ==12Pr j 2.z z a PP ==-(2) 12PP ==(3) 12cos x aPP α==12cos y a PP β==12cos zaPP γ==.(4) 12012PP PP ===+e j . 14. 三个力F 1=(1,2,3), F 2=(-2,3,-4), F 3=(3,-4,5)同时作用于一点. 求合力R 的大小和方向余弦.解：R =（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，1，4）||==Rcos cos cos αβγ=== 15. 求出向量a = i +j +k , b =2i -3j +5k 和c =-2i -j +2k 的模，并分别用单位向量,,a b c e e e 来表达向量a , b , c .解：||==a||==b||3==c156, , 3. a b c ==a b c e16. 设m =3i +5j +8k , n =2i -4j -7k , p =5i +j -4k ,求向量a =4m +3n -p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量.解：a =4(3i +5j +8k )+3(2i -4j -7k )-(5i +j -4k )=13i +7j +15k 在x 轴上的投影a x =13,在y 轴上分向量为7j .17.解：设{,,}x y z a a a a =则有c o s (1,1)3x a ia a i a iπ⋅====⋅ 求得12x a =. 设a 在xoy 面上的投影向量为b 则有{,,0}x y b a a =则22cos 42a b a b π⋅=⇒=⋅ 则214y a =求得12y a =±又1,a = 则2221x y z a a a ++=从而求得11{,,}222a =± 或11{,,}222-±18. 已知两点M 1（2，5，-3），M 2（3，-2，5），点M 在线段M 1M 2上，且123M M MM =，求向径OM的坐标.解：设向径OM={x , y , z }12{2,5,3}{3,2,5}M M x y z MM x y z =--+=----因为，123M M MM =所以，11423(3)153(2) 433(5)3x x x y y y z z z ⎧=⎪-=-⎧⎪⎪⎪-=--⇒=-⎨⎨⎪⎪+=-⎩=⎪⎪⎩157故OM ={111,,344-}.19. 已知点P 到点A （0，0，12）的距离是7，OP 的方向余弦是236,,777，求点P 的坐标.解：设P 的坐标为（x , y , z ）, 2222||(12)49PA x y z =++-=得2229524x y z z ++=-+126570cos 6, 749z z γ==⇒==又122190cos 2, 749x x α==⇒==123285cos 3, 749y y β==⇒==故点P 的坐标为P （2，3，6）或P （190285570,,494949）. 20. 已知a , b 的夹角2π3ϕ=，且3,4==b a ，计算： (1) a ·b ; (2) (3a -2b )·(a + 2b ). 解：（1）a ·b =2π1cos ||||cos3434632ϕ⋅⋅=⨯⨯=-⨯⨯=-a b (2) (32)(2)3624-⋅+=⋅+⋅-⋅-⋅a b a b a a a b b a b b2223||44||334(6)41661.=+⋅-=⨯+⨯--⨯=-a a b b21. 已知a =(4,-2, 4), b =(6,-3, 2),计算：（1）a ·b ; (2) (2a -3b )·(a + b )；（3）2||-a b 解：（1）46(2)(3)4238⋅=⨯+-⨯-+⨯=a b (2) (23)()2233-⋅+=⋅+⋅-⋅-⋅a b a b a a a b a b b b222222222||3||2[4(2)4]383[6(3)2]23638349113=-⋅-=⨯+-+--+-+=⨯--⨯=-a a b b (3) 222||()()2||2||-=-⋅-=⋅-⋅+⋅=-⋅+a b a b a b a a a b b b a a b b36238499=-⨯+=15822. 已知四点A （1，-2，3），B （4，-4，-3），C （2，4，3），D （8，6，6），求向量AB在向量CD上的投影.解：AB={3，-2，-6}，CD ={6，2，3}Pr j CD AB CD AB CD ⋅=4.7==- 23. 若向量a +3b 垂直于向量7a -5b ,向量a -4b 垂直于向量7a -2b ,求a 和b 的夹角. 解: (a +3b )·(7a -5b ) =227||1615||0+⋅-=a a b b ① (a -4b )·(7a -2b ) = 227||308||0-⋅+=a a b b ②由①及②可得：222221()1||||2||||4⋅⋅⋅==⇒=a b a b a b a b a b 又21||02⋅=>a b b ，所以1cos ||||2θ⋅==a b a b , 故1πarccos23θ==. 24. 设a =(-2,7,6),b =(4, -3, -8),证明：以a 与b 为邻边的平行四边形的两条对角线互相垂直. 证明：以a ,b 为邻边的平行四边形的两条对角线分别为a +b ,a －b ,且 a +b ={2,4, -2}a -b ={-6,10,14}又(a +b )·(a -b )= 2×(-6)+4×10+(-2)×14=0 故(a +b )⊥(a -b ).25. 已知a =3i +2j -k , b =i -j +2k ,求： (1) a ×b ; (2) 2a ×7b ; (3) 7b ×2a ; (4) a ×a . 解：（1） 211332375122111--⨯=++=----a b i j k i j k(2) 2714()429870⨯=⨯=--a b a b i j k(3) 7214()14()429870⨯=⨯=-⨯=-++b a b a a b i j k (4) 0⨯=a a .26. 已知向量a 和b 互相垂直，且||3, ||4==a b .计算： (1) |(a ＋b )×(a －b )|；(2) |(3a ＋b )×(a －2b )|.（1）|()()|||2()|+⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯=-⨯a b a b a a a b b a b b a b159π2||||sin242=⋅⋅=a b (2) |(3)(2)||362||7()|+⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯=⨯a b a b a a a b b a b b b aπ734sin842=⨯⨯⨯= 27. 求垂直于向量3i -4j -k 和2i -j +k 的单位向量，并求上述两向量夹角的正弦. 解：411334555111221----⨯=++=--+--a b i j k i j k与⨯a b平行的单位向量)||3⨯==±--+⨯a b e i j k a b||sin ||||θ⨯===⨯a b a b . 28. 一平行四边形以向量a =(2,1,－1)和b =(1,－2,1)为邻边，求其对角线夹角的正弦.解：两对角线向量为13=+=-l a b i j ，232=-=+-l a b i j k因为12|||2610|⨯=++l l i j k12||||==l l 所以1212||sin 1||||θ⨯===l l l l .即为所求对角线间夹角的正弦.29. 已知三点A (2,-1,5), B (0,3,-2), C (-2,3,1)，点M ，N ，P 分别是AB ，BC ，CA 的中点，证明：1()4MN MP AC BC ⨯=⨯ .证明：中点M ，N ，P 的坐标分别为31(1,1,), (1,3,), (0,1,3)22M N P --{2,2,2}MN =--3{1,0,}2MP =-{4,4,4}AC =--{2,0,3}BC =-16022222235233100122MN MP ----⨯=++=++--i j k i j k 44444412208033220AC BC ---⨯=++=++--i j k i j k故 1()4MN MP AC BC ⨯=⨯.30.（1）解: x y zx y zi j ka b a a a b b b ⨯==-+-+-y z z y z x x z x y y xa b a b i a b a b j a b a b k（）（）（）则 C=-C +-+-y z z y x z x x z y x y y x y a b a b a b a b a b C a b a b C ⨯⋅（）（）（）（）xy z xy z xyza a ab b b C C C = 若 ,,C a b共面，则有 a b ⨯ 后与 C 是垂直的. 从而C 0a b ⨯⋅=（）反之亦成立. （2） C xy z xy z xy za a a ab b b b C C C ⨯⋅=（） a xy z xy z xy z bb b b C C C C a a a ⨯⋅= （） b xy z xy z xy zCC C C a a a a b b b ⨯⋅= （）由行列式性质可得:xy z x y z x y z xy z x y z x y zxyzxyzxyza a ab b b C C C b b b C C C a a a C C C a a a b b b ==故 C a a b b C C a ⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅ （）（）（）16131. 四面体的顶点在(1,1,1),(1,2,3),(1,1,2)和(3,-1,2)求四面体的表面积. 解：设四顶点依次取为A , B , C , D .{0,1,2}, {2,2,1}AB AD ==-则由A ，B ，D 三点所确定三角形的面积为111|||542|22S AB AD =⨯=+-=i j k .同理可求其他三个三角形的面积依次为12故四面体的表面积12S =32.解：设四面体的底为BCD ∆，从A 点到底面BCD ∆的高为h ，则13B C D V S h =⋅⋅ ，而11948222BCD S BC BD i j k =⨯=--+=又BCD ∆所在的平面方程为:48150x y z +-+=则43h ==故1942323V =⋅⋅= 33. 已知三点A (2,4,1), B (3,7,5), C (4,10,9)，证：此三点共线.证明：{1,3,4}AB = ,{2,6,8}AC =显然2AC AB =则22()0AB AC AB AB AB AB ⨯=⨯=⨯=故A ，B ，C 三点共线.34. 一动点与M 0(1,1,1)连成的向量与向量n =(2,3,-4)垂直，求动点的轨迹方程. 解：设动点为M (x , y , z )0{1,1,1}M M x y z =---因0M M n ⊥ ,故00M M n ⋅=.即2(x -1)+3(y -1)-4(z -1)=0整理得：2x +3y -4z -1=0即为动点M 的轨迹方程. 35. 求通过下列两已知点的直线方程：（1）（1，-2，1），（3，1，-1）；（2）（3，-1，0），（1，0，-3）.162解：（1）两点所确立的一个向量为 s ={3-1，1+2，-1-1}={2，3，-2} 故直线的标准方程为：121232x y z -+-==- 或 311232x y z --+==- （2）直线方向向量可取为s ={1-3，0+1，-3-0}={-2，1，-3} 故直线的标准方程为：31213x y z -+==-- 或 13213x y z -+==-- 36. 求直线234035210x y z x y z +--=⎧⎨-++=⎩的标准式方程和参数方程.解：所给直线的方向向量为 12311223719522335--=⨯=++=----s n n i j k i j k另取x 0=0代入直线一般方程可解得y 0=7,z 0=17于是直线过点（0，7，17），因此直线的标准方程为:7171719x y z --==-- 且直线的参数方程为：771719x t y t z t =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩37. 求过点(4,1,-2)且与平面3x -2y +6z =11平行的平面方程. 解：所求平面与平面3x -2y +6z =11平行故n ={3,-2,6}，又过点(4,1,-2)故所求平面方程为：3(x -4)-2(y -1)+6(z +2)=0即3x -2y +6z +2=0.38. 求过点M 0(1,7,-3)，且与连接坐标原点到点M 0的线段OM 0垂直的平面方程.解：所求平面的法向量可取为0{1,7,3}OM ==-n故平面方程为：x -1+7(y -7)-3(z +3)=0 即x +7y -3z -59=039. 设平面过点(1,2,-1)，而在x 轴和z 轴上的截距都等于在y 轴上的截距的两倍，求此平面方程.解：设平面在y 轴上的截距为b 则平面方程可定为122x y z b b b++= 又(1,2,-1)在平面上，则有121122b b b-++=163得b =2.故所求平面方程为1424x y z ++= 40. 求过(1,1,-1), (-2,-2,2)和（1，-1，2）三点的平面方程. 解：由平面的三点式方程知1112121213131310x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=--- 代入三已知点，有1112121210111121x y z --+----+=---+化简得x -3y -2z =0即为所求平面方程.41. 指出下列各平面的特殊位置，并画出其图形： (1) y =0; (2) 3x -1=0; (3) 2x -3y -6=0; (4) x – y =0; (5) 2x -3y +4z =0.解：(1) y =0表示xOz 坐标面（如图7-2） (2) 3x -1=0表示垂直于x 轴的平面.(如图7-3)图7-2 图7-3(3) 2x -3y -6=0表示平行于z 轴且在x 轴及y 轴上的截距分别为x =3和y =-2的平面.(如图7-4) (4) x –y =0表示过z 轴的平面（如图7-5） (5) 2x -3y +4z =0表示过原点的平面（如图7-6）.图7-4 图7-5 图7-6 42. 通过两点（1，1，1，）和（2，2，2）作垂直于平面x +y -z =0的平面. 解：设平面方程为Ax +By +Cz +D =0 则其法向量为n ={A ,B ,C }已知平面法向量为n 1={1,1,-1} 过已知两点的向量l ={1,1,1}由题知n·n1=0, n·l=0即0,.A B CC A B A B C+-=⎧⇒==-⎨++=⎩所求平面方程变为Ax-Ay+D=0又点（1，1，1）在平面上，所以有D=0故平面方程为x-y=0.43. 决定参数k的值，使平面x+ky-2z=9适合下列条件：（1）经过点（5，-4，6）；（2）与平面2x-3y+z=0成π4的角.解：（1）因平面过点（5，-4，6）故有5-4k-2×6=9得k=-4.（2）两平面的法向量分别为n1={1,k,-2} n2={2,-3,1}且1212πcos cos||||42θ⋅====n nn n解得k=44. 确定下列方程中的l和m:(1) 平面2x+ly+3z-5=0和平面mx-6y-z+2=0平行;(2) 平面3x-5y+lz-3=0和平面x+3y+2z+5=0垂直.解：（1）n1={2,l,3}, n2={m,-6,-1}12232,18613lm lm⇒==⇒=-=--n n(2) n1={3, -5, l }, n2={1,3,2}12315320 6.l l⊥⇒⨯-⨯+⨯=⇒=n n45. 通过点（1，-1，1）作垂直于两平面x-y+z-1=0和2x+y+z+1=0的平面.解：设所求平面方程为Ax+By+Cz+D=0其法向量n={A,B,C}n1={1,-1,1}, n2={2,1,1}12203203A CA B CA B C CB⎧=-⎪⊥⇒-+=⎪⇒⎨⊥⇒++=⎪=⎪⎩n nn n又（1，－1，1）在所求平面上，故A－B+C+D=0，得D=0故所求平面方程为233CCx y Cz-++=即2x-y-3z=016416546. 求平行于平面3x -y +7z =5,且垂直于向量i -j +2k 的单位向量. 解：n 1={3,-1,7}, n 2={1,-1,2}.12,⊥⊥n n n n故1217733152122111--=⨯=++=+---n n n i j k i j k则2).n =+-e i j k 47. 求下列直线与平面的交点：(1)11126x y z-+==-, 2x +3y +z -1=0; (2) 213232x y z +--==, x +2y -2z +6=0. 解：（1）直线参数方程为1126x ty t z t =+⎧⎪=--⎨⎪=⎩代入平面方程得t =1 故交点为（2，-3，6）.（2）直线参数方程为221332x t y t z t =-+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩代入平面方程解得t =0. 故交点为（-2，1，3）. 48. 求下列直线的夹角：（1）533903210x y z x y z -+-=⎧⎨-+-=⎩ 和2223038180x y z x y z +-+=⎧⎨++-=⎩；（2）2314123x y z ---==- 和 38121y z x --⎧=⎪--⎨⎪=⎩ 解：（1）两直线的方向向量分别为：s 1={5, -3,3}×{3, -2,1}=533321ij k--={3,4, -1}s 2={2,2, -1}×{3,8,1}=221381i j k-={10, -5,10}166由s 1·s 2=3×10+4×(-5)+( -1) ×10=0知s 1⊥s 2 从而两直线垂直，夹角为π2. (2) 直线2314123x y z ---==-的方向向量为s 1={4, -12,3},直线38121y z x --⎧=⎪--⎨⎪=⎩的方程可变为22010y z x -+=⎧⎨-=⎩,可求得其方向向量s 2={0,2, -1}×{1,0,0}={0, -1, -2},于是1212cos 0.2064785θθ⋅==≈⋅'≈︒s s s s 49. 求满足下列各组条件的直线方程：（1）经过点（2，-3，4），且与平面3x -y +2z -4=0垂直；（2）过点（0，2，4），且与两平面x +2z =1和y -3z =2平行；（3）过点（-1，2，1），且与直线31213x y z --==-平行. 解：（1）可取直线的方向向量为 s ={3，-1，2} 故过点（2，-3，4）的直线方程为234312x y z -+-==- （2）所求直线平行两已知平面，且两平面的法向量n 1与n 2不平行，故所求直线平行于两平面的交线，于是直线方向向量12102{2,3,1}013=⨯==--i j ks n n故过点（0，2，4）的直线方程为24231x y z --==- （3）所求直线与已知直线平行，故其方向向量可取为 s ={2，-1，3}故过点（-1，2，1）的直线方程为121213x y z +--==-. 50. 试定出下列各题中直线与平面间的位置关系：（1）34273x y z++==--和4x -2y -2z =3; （2）327x y z==-和3x -2y +7z =8;167（3）223314x y z -+-==-和x +y +z =3. 解：平行而不包含. 因为直线的方向向量为s ={-2，-7，3}平面的法向量n ={4，-2，-2}，所以(2)4(7)(2)3(2)0⋅=-⨯+-⨯-+⨯-=s n于是直线与平面平行.又因为直线上的点M 0（-3，-4，0）代入平面方程有4(3)2(4)2043⨯--⨯--⨯=-≠.故直线不在平面上.(2) 因直线方向向量s 等于平面的法向量，故直线垂直于平面.(3) 直线在平面上，因为3111(4)10⨯+⨯+-⨯=,而直线上的点（2，-2，3）在平面上. 51. 求过点（1，-2，1），且垂直于直线23030x y z x y z -+-=⎧⎨+-+=⎩ 的平面方程.解：直线的方向向量为12123111-=++-ij ki j k , 取平面法向量为{1，2，3}，故所求平面方程为1(1)2(2)3(1)0x y z ⨯-+++-=即x +2y +3z =0.52. 求过点（1，-2，3）和两平面2x -3y +z =3, x +3y +2z +1=0的交线的平面方程. 解：设过两平面的交线的平面束方程为233(321)0x y z x y z λ-+-++++= 其中λ为待定常数，又因为所求平面过点（1，-2，3）故213(2)33(13(2)231)0λ⨯-⨯-+-++⨯-+⨯+= 解得λ=-4.故所求平面方程为2x +15y +7z +7=053. 求点（-1，2，0）在平面x +2y -z +1=0上的投影.解：过点（-1，2，0）作垂直于已知平面的直线，则该直线的方向向量即为已知平面的法向量，即s =n ={1，2，-1}所以垂线的参数方程为122x t y t z t =-+⎧⎪=+⎨⎪=-⎩将其代入平面方程可得(-1+t )+2(2+2t )-(-t )+1=0168得23t =-于是所求点（-1，2，0）到平面的投影就是此平面与垂线的交点522(,,)333-54. 求点（3，-1，2）到直线10240x y z x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩的距离.解：过点（3，-1，2）作垂直于已知直线的平面，平面的法向量可取为直线的方向向量即11133211==-=---ij kn s j k故过已知点的平面方程为y +z =1.联立方程组102401x y z x y z y z +-+=⎧⎪-+-=⎨⎪+=⎩解得131,,.22x y z ==-= 即13(1,,)22-为平面与直线的垂足于是点到直线的距离为2d ==55. 求点（1，2，1）到平面x +2y +2z -10=0距离.解：过点（1，2，1）作垂直于已知平面的直线，直线的方向向量为s =n ={1，2，2}所以垂线的参数方程为12212x ty t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩将其代入平面方程得13t =. 故垂足为485(,,)333，且与点（1，2，1）的距离为1d == 即为点到平面的距离.56. 建立以点（1，3，-2）为中心，且通过坐标原点的球面方程.解：球的半径为R ==设(x ,y ,z )为球面上任一点，则(x -1)2+(y -3)2+(z +2)2=14 即x 2+y 2+z 2-2x -6y +4z =0为所求球面方程.57. 一动点离点（2，0，-3）的距离与离点（4，-6，6）的距离之比为3，求此动点的轨迹方程.169解：设该动点为M (x ,y ,z )3.=化简得：8x 2+8y 2+8z 2-68x +108y -114z +779=0 即为动点的轨迹方程.58. 指出下列方程所表示的是什么曲面，并画出其图形：（1）22()()22a a x y -+=; （2）22149x y -+=;（3）22194x z +=; （4）20y z -=;（5）220x y -=; （6）220x y +=. 解：（1）母线平行于z 轴的抛物柱面，如图7-7. （2）母线平行于z 轴的双曲柱面,如图7-8.图7-7 图7-8 （3）母线平行于y 轴的椭圆柱面，如图7-9. （4）母线平行于x 轴的抛物柱面，如图7-10.图7-9 图7-10（5）母线平行于z 轴的两平面，如图7-11. （6）z 轴，如图7-12.图7-11 图7-1217059. 指出下列方程表示怎样的曲面，并作出图形：（1）222149y z x ++=; （2）22369436x y z +-=;（3）222149y z x --=; （4）2221149y z x +-=;（5）22209z x y +-=.解：（1）半轴分别为1，2，3的椭球面，如图7-13. (2) 顶点在（0，0，-9）的椭圆抛物面，如图7-14.图7-13 图7-14(3) 以x 轴为中心轴的双叶双曲面，如图7-15. (4) 单叶双曲面，如图7-16.图7-15 图7-16(5) 顶点在坐标原点的圆锥面，其中心轴是z 轴，如图7-17.图7-1760. 作出下列曲面所围成的立体的图形： (1) x 2+y 2+z 2=a 2与z =0,z =2a(a >0); (2) x +y +z =4,x =0,x =1,y =0,y =2及z =0; (3) z =4-x 2, x =0, y =0, z =0及2x +y =4; (4) z =6-(x 2+y 2),x =0, y =0, z =0及x +y =1.171解：（1）（2）（3）（4）分别如图7-18，7-19，7-20，7-21所示.图7-18 图7-19图7-20 图7-2161. 求下列曲面和直线的交点：(1) 222181369x y z ++=与342364x y z --+==-; (2) 22211694x y z +-=与2434x y z +==-.解：（1）直线的参数方程为334624x ty t z t =+⎧⎪=-⎨⎪=-+⎩代入曲面方程解得t =0,t =1.得交点坐标为（3，4，-2），（6，-2，2）. (2) 直线的参数方程为4324x t y tz t =⎧⎪=-⎨⎪=-+⎩代入曲面方程可解得t =1,得交点坐标为（4，-3，2）.62. 设有一圆，它的中心在z 轴上，半径为3，且位于距离xOy 平面5个单位的平面上，试建立这个圆的方程.172解：设（x ，y ，z ）为圆上任一点，依题意有2295x y z ⎧+=⎨=±⎩即为所求圆的方程.63. 试考察曲面22219254x y z -+=在下列各平面上的截痕的形状，并写出其方程.(1) 平面x =2; (2) 平面y =0; (3) 平面y =5; (4) 平面z =2.解：（1）截线方程为2212x ⎧+=⎪⎪⎨⎪⎪=⎩ 其形状为x =2平面上的双曲线.（2）截线方程为221940x z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩为xOz 面上的一个椭圆.(3)截线方程为2215y ==⎩为平面y =5上的一个椭圆.(4) 截线方程为2209252x y z ⎧-=⎪⎨⎪=⎩为平面z =2上的两条直线.64. 求曲线x 2+y 2+z 2=a 2, x 2+y 2=z 2在xOy 面上的投影曲线. 解：以曲线为准线，母线平行于z 轴的柱面方程为2222a x y +=故曲线在xOy 面上的投影曲线方程为22220a x y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩65. 建立曲线x 2+y 2=z , z =x +1在xOy 平面上的投影方程. 解：以曲线为准线，母线平行于z 轴的柱面方程为x 2+y 2=x +1即2215()24x y -+=.故曲线在xOy平面上的投影方程为2215()24x yz⎧-+=⎪⎨⎪=⎩173。

计算机控制技术课后习题详解答案.

第一章计算机控制系统概述习题参考答案1.计算机控制系统的控制过程是怎样的?计算机控制系统的控制过程可归纳为以下三个步骤：(1)实时数据采集：对被控量的瞬时值进行检测，并输入给计算机。

(2)实时决策：对采集到的表征被控参数的状态量进行分析，并按已定的控制规律，决定下一步的控制过程。

(3)实时控制：根据决策，适时地对执行机构发出控制信号，完成控制任务。

2.实时、在线方式和离线方式的含义是什么？(1)实时：所谓“实时”，是指信号的输入、计算和输出都是在一定时间范围内完成的，即计算机对输入信息以足够快的速度进行处理，并在一定的时间内作出反应并进行控制，超出了这个时间就会失去控制时机，控制也就失去了意义。

(2)“在线”方式：在计算机控制系统中，如果生产过程设备直接与计算机连接，生产过程直接受计算机的控制，就叫做“联机”方式或“在线”方式。

(3)“离线”方式：若生产过程设备不直接与计算机相连接，其工作不直接受计算机的控制，而是通过中间记录介质，靠人进行联系并作相应操作的方式，则叫做“脱机”方式或“离线”方式。

3.微型计算机控制系统的硬件由哪几部分组成？各部分的作用是什么？由四部分组成。

(1)主机：这是微型计算机控制系统的核心，通过接口它可以向系统的各个部分发出各种命令，同时对被控对象的被控参数进行实时检测及处理。

主机的主要功能是控制整个生产过程，按控制规律进行各种控制运算(如调节规律运算、最优化计算等)和操作，根据运算结果作出控制决策；对生产过程进行监督，使之处于最优工作状态；对事故进行预测和报警；编制生产技术报告，打印制表等等。

图1.1微机控制系统组成框图(2)输入输出通道：这是微机和生产对象之间进行信息交换的桥梁和纽带。

过程输入通道把生产对象的被控参数转换成微机可以接收的数字代码。

过程输出通道把微机输出的控制命令和数据，转换成可以对生产对象进行控制的信号。

过程输入输出通道包括模拟量输入输出通道和数字量输入输出通道。

高中物理第11章电路及其应用4串联电路和并联电路第2课时习题课串并联电路的应用新人教版必修第三册

探究测电表内阻的两种方法
测电表内阻与测纯电阻阻值的原理相同，对于电表的“身份”我们进行一下转换：认为它是一个“会说话的电阻”，会说自己的电压值(电压表)或电流值(电流表)，我们需要做的工作就是想办法测量另一未知的物理量。
1．半偏法 (1)半偏法测电流表内阻 ①原理：如图所示，闭合 S1，断开 S2，调节滑动变阻器 R1，使电流表示数达到满偏值 Ig；保持 R1 不变，闭合 S2，调节电阻箱 R2，使电流表的示数等于I2g，然后读出 R2 的值，则有 Rg＝R2。
2．常用的简化方法 (1)电流分支法 ①先将各节点用字母标出； ②判定各支路元件中的电流方向(若原电路无电压或电流，可假设在总电路两端加上电压后判定)； ③按电流流向，自左到右将各元件、节点分支逐一画出； ④将画出的等效图加工整理，如图所示。
(2)等势点排列法 ①将各节点用数字或字母标出，如图甲中S断开时，1、2两个节点可视为同一个节点，3、4两个节点可视为同一个节点； ②判定各节点电势的高低，图甲中有φ12>φ34>φ5； ③对各节点按电势高低自左到右排列，再将各节点间的支路画出； ④将画出的简化图加工整理，得到如图乙所示的等效电路。
具体地说就是最小分度末位是 “1” 的仪器，读数时应估读到下一位。例如，最小分度是1 mm的刻度尺，读出的数以mm为单位，小数点后应有1位数(如28.3 mm)；最小分度是0.1 A的电流表，读出的数以A为单位，小数点后应有2位数(如0.36 A)。
答案2.5 A
方法点拨：进行电路计算，首先要简化电路，简化电路的一般规则如下：
(1)无阻导线可缩成一点，一点也可延展成无阻导线； (2)几个等势点都可合成一点，连接在等势点之间的导体因其中没有电流，可将其摘去； (3)电路中的电表没有特别说明可按理想电表处理，理想电压表 RV→∞，可将其摘去(视为断路)，理想电流表RA＝0，可将其用导线取代。

《数字电路与逻辑设计》习题课 (2)

10/10
状态定义： S0:初始状态。 S1:收到五角硬币。 S2:收到一元硬币。 S3:收到一元五角硬币。并入S0状态。
00/00 AB/YZ
S0
01/10 10/11
01/00 10/00
S2
S1 00/00 01/00
00/00 例1原始状态转移图
例2、分析图所示计数器电路，说明是模长为多少的计数器，并列出状态转移表。
6
C
&
1 1
A & ?
Z
X
&
N
A X
&
1 & J
1
C
R 1 & K
解：1）分析电路结构：该电路是由七个与非门及一个JKFF组成，且CP下降沿触发，属于米勒电路，输入信号X1，X2，输出信号Z。
2）求触发器激励函数：J=X1X2，K=X1X2 触发器次态方程：
Qn+1=X1X2Qn+X1X2Qn=X1X2Qn+(X1+X2)Q
第六章复习
计数器的分析
❖ 同步、异步分析步骤：由电路触发器激励函数(公式和图解）状态转移表分析模长和自启动性。用图解法，注意高低位顺序，一般数码越高位权越高：Q3Q0
❖ 移存型计数器属于同步计数器，只要求出第一级触发器的次态方程和初始状态，就可以写出状态转移表。
计数器的设计
❖ 同步计数器的设计：状态转移表激励函数和输出函数(自启动性检查)电路图。
❖ 7490只能异步级联，M=100。
❖ 74194级联可实现8位双向移存器
MSI实现任意进制计数器(M<N)
❖ 反馈法：异步清0法和同步置数法。注意：用LD端置全1（置最大数法）时，反馈状态对应编码中出现0的端口需通过非门送入反馈门。

人教版七年级上册数学习题课件第2章.2目标一去括号法则

认知基础练
4 对于多项式x－2y－3z－5，添括号错误的是( D ) A．(x－2y)－(3z＋5) B．(x－2y)＋(－3z－5) C．x－(2y＋3z＋5) D．(x－2y)－(3z－5)
认知基础练
5 在等式a－(____)＝a＋b－c中，横线上应填的多项式是( C ) A．b－c B．b＋c C．－b＋c D．－b－c
思维发散练
(2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题的标准答案是个常数．”通过计算说明原题中“ ”是几．解：设“ ”是a，则(ax2＋6x＋8)－(6x＋5x2＋2) ＝ax2＋6x＋8－6x－5x2－2 ＝(a－5)x2＋6，因为标准答案是个常数，所以a－5＝0，解得a＝5.即原题中“ ”是5.
认知基础练
6 (1)已知4a＋3b＝1，则8a＋6b－3的值为___－__1___． 9
(2)已知2a＝4b＋7，则8＋2b－a＝____2____．
认知基础练
7 下列各项去括号正确的是( B ) A．－3(m＋n)＝－3m＋n B．－(5x－3y)＋4(2xy－y2)＝－5x＋3y＋8xy－4y2 C．ab－5(－a＋3)＝ab＋5a－3 D．x2－2(2x－y＋2)＝x2－4x－2y＋4
思维发散练
尝试应用： (1)把(a－b)2看成一个整体，合并3(a－b)2－6(a－b)2＋2(a
－b)2的结果是－__(_a_－__b_)_2； (2)已知x2－2y＝4，求3x2－6y－21的值．
解：因为x2－2y＝4，所以原式＝3(x2－2y)－21＝3×4－21＝－9.
思维发散练
拓广探索： (3)已知a－2b＝3，2b－c＝－5，c－d＝10，求(a－c)＋
(2b－d)－(2b－c)的值．解：因为a－2b＝3，2b－c＝－5，c－d＝10，所以a－c＝－2，2b－d＝5. 所以原式＝－2＋5－(－5)＝8.

人教版高中物理选择性必修第二册课后习题第2章电磁感应习题课三电磁感应中的综合问题

习题课三电磁感应中的综合问题课后·训练提升基础巩固一、选择题(第1~2题为单选题,第3~6题为多选题)1.如图所示,垂直于导体框平面向里的匀强磁场的磁感应强度为B,导体ef的长为l,ef的电阻为r,外电阻阻值为R,其余电阻不计。

ef与导体框接触良好,当ef在外力作用下向右以速度v匀速运动时,ef两端的电压为( )A.BlvB.BlvRR+r C.BlvrR+rD.BlvrR,导体棒切割磁感线产生的感应电动势为E=Blv,ef两端的电压相当于电源的路端电压,根据闭合电路欧姆定律得U ef=ER总·R=BlvR+rR,选项B正确。

2.在竖直向上的匀强磁场中,水平放置一个不变形的单匝金属圆线圈,规定线圈中感应电流的正方向如图甲所示,当磁场的磁感应强度B随时间t 按图乙所示变化时,下列选项能正确表示线圈中感应电动势E变化的是( )内,磁感应强度均匀增大,根据楞次定律,线圈中感应电流为负方向,且保持不变;1~3s内,磁感应强度不变,线圈中感应电流为零;3~5s 内,磁感应强度均匀减小,线圈中感应电流为正方向,且保持不变;0~1s内和3~5s内磁场的变化率之比为2∶1,即感应电动势之比为2∶1,可得出感应电动势图像为B,选项B正确。

3.由螺线管、电阻和水平放置的平行板电容器组成的电路如图所示,其中,螺线管匝数为n,横截面积为S,电容器两极板间距为d。

螺线管处于竖直向上的匀强磁场中,一质量为m、电荷量为q的带正电颗粒悬停在电容器中,重力加速度大小为g,则( )A.磁感应强度均匀增大B.磁感应强度均匀减小C.磁感应强度变化率为nmgdqSD.磁感应强度变化率为mgdnqS,带正电颗粒悬停在电容器中,粒子受重力与静电力作用,故静电力竖直向上,电容器下极板带正电,即通电螺线管的下端为电源正极,根据电源内部的电流由负极流向正极,由安培定则可知磁感应强度均匀减小,选项A错误,B正确。

带正电颗粒悬停在电容器中,粒子受重力与静电力作用,有qE=mg,根据法拉第电磁感应定律有E电=nΔΦΔt =nΔBΔtS,且E=E电d,联立解得ΔBΔt =mgdnqS,选项C错误,D正确。

沪教牛津版(2024)七年级英语上册+习题课件+Unit+5+Section2+Grammar+课件

A. Are; will borrow
B. Is; going to borrow
C. Will; borrows
D. Are; going to borrows
2.It will _____ very cold tomorrow.
A. be
B. is
C. going to be
D. are
3.I_____ shopping with my mum next weekend.
随堂练习：单项选择 1.Tom ________ at 10pm.
A. are going to arrive B. will be arrive C. is going to 2.Tina ________ for Shanghai in three days.
A.left B. is left C. is leaving D. leaves 3.—Hellen, where are you?
1.时间类标志词: tomorrow(明天)、the day after tomorrow(后天)、 next week(下周)、next year(明年)
具体时间段：in two weeks(两周后)、in five years(五年后) 未来某个时间段：in the future(在将来)、
some day(将来的某一天)
如：I’m leaving for Shanghai the day after tomorrow. 我后天去上海。
Helen, where are you going? 海伦，你去哪？
一般将来时
(2) 表示交通方式、行程安排的动词，如walk, fly, drive, ride, take (a taxi, a bus)等，现在进行时也表将来。如：I’m driving to the library in the afternoon. 我下午要开车去图书馆 We are flying to London tomorrow. 我们明天要飞去伦敦。

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dp f ( x, p ) dx
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2. 二阶线性微分方程的解法齐次 • 常系数情形非齐次
练习题: P353 题 2 (2); 4 (2)；
代数法
3 (6) , (7) ;
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解答提示
P353 题2 (2) 求以故特征方程为因此微分方程为 P353 题3 求下列微分方程的通解为通解的微分方程 .
ye
P( x) dx

P( x) d x d x C f ( x) e
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故 y* A cos 2 x B sin 2 x D
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P354 题4(2) 求解
y a y 2 0 y x 0 0 , y
x 0
1
提示: 令则方程变为 1 积分得 a x C1 , 利用 p x 0 y x 0 1 得 C1 1 p dy 1 , 并利用 y x 0 0 , 定常数 C2 . 再解 dx 1 ax
问题化为解初值问题: 最后求得
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f ( x) f ( x) sin x
f (0) 0 ,
f (0) 1
思考: 设 ( x) e x 0 ( x u ) du, (0) 0,
x
x
提示: 对积分换元 , 令 t x u , 则有
其通解: y C1 sin 2 x C2 cos 2 x 定解问题的解: y 1 sin 2 x (1 ) cos 2 x, x 2 2 2 故所求解为
y 1 2 sin 2 x (1 ) cos 2 x , 2
x 2
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解初值问题: 答案:
作业
P353 3(1) (7) (7) ;
4 (2) ； 7
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备用题 1. 设二阶非齐次方程
而对应齐次方程有解
有特
微分方程的通解 .
将 y x 2 代入 y ( x) y 0, 解: 1 1 再将 y 代入 y y f ( x) x x 1 3 故所给二阶非齐次方程为 y y 3 x x 方程化为
思考若问题改为求解 y
则求解过程中得
x 0
0,
问开方时正负号如何确定?
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例1. 求微分方程
y y x,
xπ 2
y 4 y 0 , x π 2
满足条件
处连续且可微的解.
提示:
解满足
特征根 : r1, 2 i ,
故通解为
提示: 由通解式可知特征方程的根为
y2 1 0, (7) y 2 y 5 y sin 2 x . (6) y y 则方程变为提示: (6) 令 dp yp p2 1 0 , dy
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(7) y 2 y 5 y sin 2 x
第七章习题课 (二) 二阶微分方程的解法及应用
一、两类二阶微分方程的解法
二、微分方程的应用
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一、两类二阶微分方程的解法
1. 可降阶微分方程的解法 — 降阶法
d y f ( x) 2 dx
2
逐次积分求解
dy 2 令 p ( x) d y dy dx f ( x, ) dx dx 2 dy 2 令 p ( y) d y dy dx f ( y, ) dx dx 2
一阶线性非齐次方程
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故
1 xdx e

1 2 C1 x x 1 y C1 x 2 C2 再积分得通解 x
x
1 d x 3 e x d x C1 3

( C1 1 C1 ) 2
复习: 一阶线性微分方程 y P( x) y f ( x) 通解公式:
特征根: 齐次方程通解: Y e x ( C1 cos 2 x C2 sin 2 x ) 令非齐次方程特解为代入方程可得 A 117 ,
原方程通解为 y e x ( C1 cos 2 x C2 sin 2 x )
思考
B 417
若 (7) 中非齐次项改为
提示:
特解设法有何变化 ?
y y x y x 0 0 , y
x 0
0
设特解 : y Ax B, 代入方程定 A, B, 得
y C1 cos x C2 sin x x
利用 y x 0 0, y x 0 0, 得
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处的衔接条件可知,
解满足
y 4 y 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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例2.
x
且满足方程
求 f (x) .
f ( x) sin x 0 ( x t ) f (t ) d t
x x 0 x 0
提示: f ( x) sin x x f (t ) d t t f (t ) d t , 则
f ( x) cos x 0 f (t ) d t x f (x) x f (x) f ( x) sin x f ( x)