2016年福建省龙岩市连城一中高考数学模拟试卷(文科)(解析版)
2016年福建高考文科数学试题及答案(Word版)
2016年福建高考文科数学试题及答案(Word版)2016年福建高考文科数学试题及答案本份试卷共分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷是选择题，共12小题，每小题5分。
1.设集合A={1,3,5,7}，B={x|2≤x≤5}，则AB=？解：AB={x|x∈A且x∈B}={3,5}，选项B。
2.设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a=？解：(1+2i)(a+i)=a+2ai+i+2i^2=(a+2)+(2a-1)i，实部与虚部相等，即a+2=2a-1，解得a=3，选项D。
3.为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是？解：共有C(4,2)=6种选法，红色和紫色的花不在同一花坛中的选法有2种：红黄在一个花坛，白紫在另一个花坛；或者XXX在一个花坛，XXX在另一个花坛。
所以概率为2/6=1/3，选项A。
4.已知三角形ABC，a=2，b=3，c=2√2，c=2，cosA=1/4，求b=？解：由余弦定理，b^2=a^2+c^2-2accosB，代入已知数据得b=3，选项B。
5.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短轴长的4，则该椭圆的离心率为？解：设椭圆的长轴为2a，短轴为2b，则椭圆中心到焦点的距离为c=√(a^2-b^2)，根据题意得c=4b，解得a=4√5，b=√5，所以离心率为c/a=√(5/80)=1/4，选项A。
6.将函数y=2sin(2x+π/4)的图像向右平移1个周期后，所得图像对应的函数为？解：y=2sin(2(x-π/8))，向右平移1个周期等价于将x-π/8替换为x+2π-π/8=2π+x-π/8，即y=2sin(2(x+15π/8))，选项D。
7.如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径。
若该几何体的体积是1/2π，则它的表面积是？解：设圆的半径为r，则几何体的高为2r，底面积为πr^2，所以体积为V=1/2π=1/2(πr^2)(2r)=πr^3，解得r=1/∛(2π)，所以表面积为S=3πr^2=3π(1/∛(2π))^2，化简得S=28π，选项D。
2016年福建省龙岩市高考数学二模试卷(文科)
2016年福建省龙岩市高考数学二模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.设集合A={x∈Z|0≤x＜3}，集合B={x∈Z|x2≤1}，则A∩B=（）A.{0，1，2}B.{0，1}C.[0，1]D.{-1，0，1，2}【答案】B【解析】解：∵A={x∈Z|0≤x＜3}={0，1，2}，集合B={x∈Z|x2≤1}={x∈Z|-1≤x≤1}={-1，0，1}，∴A∩B={0，1}，故选：B．列举出A中的元素确定出A，求出B中不等式解集的整数解确定出B，找出两集合的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.若i为虚数单位，则在复平面中，表示复数的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】解：由题意，对应复平面上的点为，，在第四象限故选D．先将复数化简，再确定对应复平面上的点，由此可得结论．本题重点考查复数的运算，考查复数的几何意义，属于基础题．3.己知命题p：∀x＞-2，x2＞4，命题q：∃x∈R，cosx=e x，则下列命题中为假命题的是（）A.p∨qB.p∧qC.￢p∧qD.￢p∨￢q【答案】B【解析】解：命题p：∀x＞-2，x2＞4，是假命题，例如取x=0时，不成立．命题q：∃x∈R，cosx=e x，如图所示，是真命题．（或取x=0即可判断出真假）．则下列命题中为假命题的是p∧q．故选：B．命题p：是假命题，例如取x=0时，不成立．命题q：如图所示，是真命题．或取x=0即可判断出真假本题考查了函数与不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．4.设x，y满足约束条件，则z=4x-y的最大值为（）A.-6B.0C.4D.6【答案】C【解析】解：不等式组表示的平面区域如图所示，当直线z=4x-y过点A时，目标函数取得最大值，由解得A（2，4），在y轴上截距最小，此时z取得最大值：4．故选：C．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=4x-y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．5.若sinα+2sin2=2（0＜α＜π），则tanα的值为（）A.1B.C.D.不存在【答案】D【解析】解：sinα+2sin2=2（0＜α＜π），可得sinα+2sin2-1=1（0＜α＜π），即sinα-cosα=1（0＜α＜π），可得α=．则tanα的值为：不存在．故选：D．利用二倍角的余弦函数化简已知条件，然后求解所求表达式的值．本题考查二倍角公式的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力．6.在3张奖券中，一等奖、二等奖各有1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，则恰有一人获奖的概率为（）A. B. C. D.解：∵在3张奖券中，一等奖、二等奖各有1张，另1张无奖，甲、乙两人各抽取1张，∴恰有一人获奖的对立事件是两人都获奖，∴恰有一人获奖的概率：p=1-=．故选：A．恰有一人获奖的对立事件是两人都获奖，由此利用对立事件概率计算公式能求出恰有一人获奖的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．7.已知函数f（x）=sin（ωx-）（ω＞0）的最小正周期为π，将其图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）的单调递增区间是（）A.[-+2kπ，+2kπ]，k∈ZB.[-+2kπ，+2kπ]，k∈ZC.[-+kπ，+kπ]，k∈ZD.[-+kπ，+kπ]，k∈Z【答案】C【解析】解：∵函数f（x）=sin（ωx-）（ω＞0）的最小正周期为π，∴，得ω=2．则f（x）=sin（2x-）．将其图象向左平移个单位，得g（x）=sin[2（x+）-]=sin（2x+）．由，得，．∴函数y=g（x）的单调递增区间是[-+kπ，+kπ]，k∈Z．故选：C．由函数的周期求得ω，再由函数的图象平移得到g（x）的解析式，最后由相位在正弦函数的增区间内求得x的范围得答案．本题考查三角函数的图象平移，考查了与正弦函数由关的复合函数单调性的求法，是基础题．8.已知函数f（x）=x3+ax2+（a+1）x是奇函数，则曲线y=f（x）在x=0处的切线方程为（）A.y=xB.y=x+1C.y=1D.y=0解：函数f（x）是奇函数，可得f（-x）=-f（x），即有-x3+ax2-（a+1）x=-x3-ax2-（a+1）x，可得a=0，即f（x）=x3+x，导数为f′（x）=3x2+1，可得曲线y=f（x）在x=0处的切线斜率为k=1，切点为（0，0），即有曲线y=f（x）在x=0处的切线方程为y=x．故选：A．由奇函数的定义，可得f（-x）=-f（x），可得a=0，f（x）=x3+x，求出导数，可得切线的斜率和切点，由斜截式方程可得切线的方程．本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，同时考查函数的奇偶性，属于基础题．9.《孙子算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中一个问题的解答可以用如图的算法来实现，若输出的a，b分别为17，23，则输入的S，T分别为（）A.S=40，T=120B.S=40，T=126C.S=42，T=126 D.S=42，T=130【答案】B【解析】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是输入S，T的值，当T≥2S，且T=2S能被2整除时，计算b=，a=S-b的值，若输出的a，b分别为17，23，则：17=S-23，解得：S=40，由b=，可得：23=，解得：T=126．故选：B．模拟程序的运行，可得程序框图的功能是输入S，T的值，当T≥2S，且T=2S能被2整除时，计算b=，a=S-b的值，由输出的a，b分别为17，23，即可计算得解．本题主要考查了算法和程序框图的应用，模拟程序的运行，正确得到程序框图的功能是解题的关键，属于基础题．10.在等腰梯形ABCD中，=2，||=1，点M是线段DC上的动点，则•的最大值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】解：如图，过D作AB的垂线，垂足为O，以O为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则由题意得：，，，，设OD=d，M（x，d），0≤x≤1；∴，，，；∴；∵0≤x≤1；∴x=1时，取最大值3．故选：C．可过D作AB的垂线，垂足为O，从而便可以O为坐标原点，AB为x轴建立平面直角坐标系，根据条件即可求出A，B点的坐标，并设OD=d，从而可设M（x，d），且0≤x≤1，从而可以求出向量，的坐标，进行向量数量积的坐标运算便可得到，由x的范围即可求出的最大值．考查通过建立平面直角坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，能求平面上点的坐标，根据点的坐标可求向量的坐标，以及向量数量积的坐标坐标运算，一次函数的单调性．11.已知点Q（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点P，使得∠OQP=60°，则x0的取值范围是（）A.[-，]B.[-，]C.[-，]D.[-，]【答案】D【解析】解：由题意画出图形如图：点Q（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OQP=60°，则∠OQP的最大值大于或等于60°时一定存在点P，使得∠OQP=60°，而当QP与圆相切时∠OQP取得最大值，=．此时OP=1，′°图中只有Q′到Q″之间的区域满足|QP|≤，∴x0的取值范围是[-，]．故选：D．根据直线和圆的位置关系，画出图形，利用数形结合即可得到结论．本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．12.一慈善机构为筹集善款决定组织一场咅乐会．为筹备这场音乐会，必须完成A，B，C，D，E，F，G七项任务，每项任务所需时间及其关系（例如：E任务必须在A任务完成后才能进行）如表所示：则完成这场音乐会的筹备工作需要的最短时间为（）A.8周B.9周C.10周D.12周【答案】B【解析】解：第一周任务ABC，第二周任务AC，第三周任务CE，第四周任务CE，第五周到第七周任务D，第八周任务FG，第九周任务G．故最短需要9周完成筹备任务．故选B．根据各筹备任务的先后顺序做出统筹安排，尽量将多项工作同时展开以节约时间．本题考查了统筹思想的应用，属于基础题．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.双曲线x2-=1的焦点到渐近线的距离为______ ．【答案】3【解析】解：由题得：其焦点坐标为（-，0），（，0），渐近线方程为y=±3x所以焦点到其渐近线的距离d==3．故答案为：3．先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．14.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，依次为正视图（主视图），侧视图（左视图），俯视图，则此几何体的表面积为______ ．【答案】9+9【解析】解：根据三视图可知几何体是一个三棱锥，底面是一个等腰直角三角形，两条直角边分别是3，且AC⊥BC，PB⊥平面ABC，∴AB==3，PA==3，PC==3，∴PA2=PC2+AC2，即PC⊥AC，则几何体的表面积S==9+9，故答案为：9+9．由三视图知该几何体是一个三棱锥，由三视图求出几何元素的长度、并判断出位置关系，由勾股定理求出几何体的棱长，由面积公式求出各个面，求出几何体的表面积．本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．15.若函数f（x）=2|x+a|（a∈R）满足f（1-x）=f（1+x），f（x）在区间[m，n]上的最大值记为f（x）max，最小值记为f（x）min，若f（x）max-f（x）min=3，则n-m的取值范围是______ ．【答案】（0，4]【解析】解：∵函数f（x）=2|x+a|（a∈R）满足f（1-x）=f（1+x），∴f（x）的图象关于x=1对称，∴a=-1，∴f（x）=2|x-1|；当m＜n≤1或1≤m＜n时，离对称轴越远，m、n差越小，极限值是0；当m＜1＜n时，函数f（x）在区间[m，n]上的最大值与最小值的差为：f（x）max-f（x）min=2|±2|-20=3，则n-m取得最大值是2-（-2）=4；∴n-m的取值范围是（0，4]．故答案为：（0，4]．根据函数f（x）=2|x+a|满足f（1-x）=f（1+x）得出f（x）的图象关于x=1对称，求出a的值，写出f（x）的解析式，再讨论m、n的取值范围，求出f（x）在区间[m，n]上的最大值与最小值的差，从而求出n-m的取值范围．本题考查了指数函数的图象与性质的应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是综合性题目．16.在边长为1的正三角形ABC的边AB，AC上分别取D，E两点，沿线段DE折叠三角形ABC，使顶点A正好落在BC边上，则AD长度的最小值为______ ．【答案】2-3【解析】解：显然A，P两点关于折线DE对称，连接DP，图（2）中，可得AD=PD，则有∠BAP=∠APD，设∠BAP=θ，∠BDP=∠BAP+∠APD=2θ，再设AD=DP=x，则有DB=1-x，在△ABC中，∠APB=180°-∠ABP-∠BAP=120°-θ，∴∠BPD=120°-2θ，又∠DBP=60°，在△BDP中，由正弦定理知°=°∴x=°，∵0°≤θ≤60°，∴0°≤120°-2θ≤120°，∴当120°-2θ=90°，即θ=15°时，sin（120°-2θ）=1．此时x取得最小值=2-3，且∠ADE=75°．则AD的最小值为2-3．故答案为：2-3．在图（2）中连接DP，由折叠可知AD=PD，根据等边对等角可得∠BAP=∠APD，又∠BDP 为三角形ADP的外角，若设∠BAP为θ，则有∠BDP为2θ，再设AD=PD=x，根据正弦定理建立函数关系，根据正弦函数的图象与性质得出正弦函数的最大值，进而得出x的最小值，即为AD的最小值．此题考查了折叠的性质，三角形的外角性质，正弦定理，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.数列{a n}的前n项和为S n，若a2=4，且S n=a n+1-2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式：（Ⅱ）若c n=-20+log2a4n，求{c n}的前n项和T n的最小值．【答案】解：（Ⅰ）∵S n=a n+1-2，∴S n-1=a n-2（n≥2），则a n+1=2a n（n≥2），又a2=4，∴a1=S1=a2-2=2，即a2=2a1．∴数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，则；（Ⅱ）c n=-20+log2a4n=．∴T n==2n2-18n．∴当n=4或5时，{c n}的前n项和T n的最小值．此时T4=T5=-40．【解析】（Ⅰ）由已知数列递推式结合a2=4求得数列首项，得到S n-1=a n-2（n≥2），作差后可得数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，则通项公式可求；（Ⅱ）把数列{a n}的通项公式代入c n=-20+log2a4n，分组求和后利用二次函数的最值得答案．本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了等差数列前n项和的求法，考查二次函数求最值，是中档题．18.某大学为了解某专业新生的综合素养情况，从该专业新生中随机抽取了2n（n∈N*）名学生，再从这2n名学生中随机选取其中n名学生参加科目P的测试．另n名学生参加科目Q的测试．每个科目成绩分別为1分，2分，3分，4分，5分．两个科目测试成绩整理成如图统计图，已知在科目P测试中，成绩为2分的学生有8人．（Ⅰ）分别求在两个科目中成绩为5分的学生人数〔Ⅱ）根据统计图，分别估计：（i）该专业新生在这两个科目上的平均成绩的高低；（ii）该专业新生在这两个科目中，哪个科目的个体成绩差异较为明显．（结论不要求证明）【答案】解：（Ⅰ）∵在科目P测试中，成绩为2分的学生有8人．∴参加科目P测试的学生人数为8÷0.20=40．由题意，参加科目Q测试的学生人数也为40人，∴在科目P测试中，成绩为5分的学生人数为40×（1-0.375-0.25-0.20-0.075）=4；参加科目Q测试的学生中，成绩为5分的学生人数为40-2-18-15=5；〔Ⅱ）（i）科目P测试成绩的平均值为==3.1分；科目P测试成绩的平均值为′==3.575分，∴由此估计该专业新生科目Q的平均成绩高于科目P的平均成绩；（ii）整体上看该专业新生科目P的个体成绩差异更为明显（即较不稳定）．【解析】（Ⅰ）求出参加科目P测试的学生人数为8÷0.20=40．参加科目Q测试的学生人数也为40人，即可求在两个科目中成绩为5分的学生人数〔Ⅱ）（i）求出科目P、Q测试成绩的平均值，即可求出该专业新生在这两个科目上的平均成绩的高低；（ii）整体上看该专业新生科目P的个体成绩差异更为明显．本题考查统计图，考查学生对数据的处理，考查学生的计算能力，比较基础．19.如图，在三棱锥A-BCD中，BC⊥BD，AD⊥AC，CD=2，∠ACD=30°，∠DCB=45°，AO⊥平面BCD，垂足O恰好在BD上．（Ⅰ）证明：BC⊥AD；（Ⅱ）求三棱锥A-BCD的体积．【答案】（Ⅰ）证明：由AO⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，得AO⊥BC，又∵BC⊥BD，且AO∩BD=O，∴BC⊥平面ABD，又AD⊂平面ABD，∴BC⊥AD；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，AD⊥BC，又AD⊥AC，BC∩AC=C，∴AD⊥平面ABC，又∵AB⊂平面ABC，∴AD⊥AB，由已知CD=2，得BD=DC sin45°=，AD=DC sin30°=1，∴AB=1，∴△ABD为等腰直角三角形，故O为BD的中点．∴OD=BD=，∴×．【解析】（Ⅰ）由AO⊥平面BCD，得AO⊥BC，又已知BC⊥BD，且AO∩BD=O，由线面垂直的判定得BC⊥平面ABD，即可证得BC⊥AD；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，AD⊥BC，又AD⊥AC，BC∩AC=C，得AD⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，得AD⊥AB，由已知CD，求得BD，AD，进一步可求出AB，得到△ABD为等腰直角三角形，故O为BD的中点，求出OD，即可求出三棱锥A-BCD的体积．本题考查直线与平面垂直的判定，考查了空间想象能力和思维能力，训练了棱锥体积的求法，是中档题．20.已知点P到两个顶点M（-1，0），N（1，0）距离的比为（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程（Ⅱ）过点M的直线l与曲线C交于不同的两点A，B，设点A关于x轴的对称点为Q （A，Q两点不重合），证明：点B，N，Q在同一条直线上．【答案】（Ⅰ）解：设P（x，y），则∵点P到两个顶点M（-1，0），N（1，0）距离的比为，∴=，整理得x2+y2-6x+1=0，∴动点P的轨迹C的方程是x2+y2-6x+1=0；（Ⅱ）证明：由题意，直线l存在斜率，设为k（k≠0），直线l的方程为y=k（x+1）代入x2+y2-6x+1=0，化简得（1+k2）x2+（2k2-6）x+k2+1=0，△＞0，可得-1＜k＜1．设A（x1，y1），B（x2，y2），则Q（x1，-y1），且x1x2=1，∴k BN-k QN=-==0，∴B，N，Q在同一条直线上．【解析】（Ⅰ）利用点P到两个顶点M（-1，0），N（1，0）距离的比为，建立等式，化简，即可求得动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）设出直线方程，代入轨迹C的方程，利用韦达定理，证明k BN-k QN=0，即可得出结论．本题考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．21.已知函数f（x）=ax-lnx．（Ⅰ）若a≤1，证明：x≥1时，x2≥f（x）恒成立；（Ⅱ）当a＞0时，讨论函数y=f（x）的零点个数．【答案】证明：（Ⅰ）令g（x）=x2-ax+lnx，（x≥1），则g′（x）=2x-a+，∵x≥1，∴g′（x）=2x-a+≥2-a，∵a≤1，∴g′（x）＞0，∴g（x）是单调递增函数，∴g（x）≥g（1）=1-a≥0，即，当x≥1时，x2≥f（x）恒成立；解：（Ⅱ）函数y=f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=a-，∵a＞0，令f′（x）=0，得x=＞0，又∵f′（x）=a-是增函数，∴在区间（0，）上，f′（x）＜0，y=f（x）是减函数，在区间（，+∞）上，f′（x）＞0，函数y=f（x）是增函数，∴函数y=f（x）的最小值是f（）=1+lna，①当a＞时，∵f（）＞0，∴f（x）没有零点，②a=e时，∵f（）=0，∴f（x）有且只有1个零点，③0＜a＜时，∵f（）＜0，f（1）=a＞0，又当x0＞，且x0＞e a时，f（x0）＞f（e a）=a（e a-1）＞0，故函数y=f（x）有且只有2个零点，综上，a＞时，f（x）没有零点，a=e时，f（x）有且只有1个零点，0＜a＜时，函数y=f（x）有且只有2个零点．【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，确定函数的单调性，求出函数的最小值，从而证明即可；（Ⅱ）求出函数的导数，判断导函数的符号，从而求出函数的单调性，求出函数的最小值，通过讨论a的范围，判断最小值的符号，求出函数的零点个数即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．22.AC是圆O的直径，BD是圆O在点C处的切线，AB、AD分别与圆O相交于E，F，EF与AC相交于M，N是CD中点，AC=4，BC=2，CD=8（Ⅰ）求AF的长；（Ⅱ）证明：MN平分∠CMF．【答案】（Ⅰ）解：连接CF，∵AC是圆O的直径，∴CF⊥AF，∵BD是圆O在点C处的切线，∴AC⊥CD．R t△ACD中，AD==4，根据射影定理，AC2=AF•AD，∴AF；（Ⅱ）证明：∵AC=4，BC=2，CD=8，∠ACB=∠ACD=90°，∴△ACB∽△DCA，∴∠BAC+∠CAD=90°，∴EF是圆的直径，即M是圆心．∵N是CD中点，∴MN∥AD，∴CF⊥MN．∵MC=MF，∴MN平分∠CMF．【解析】（Ⅰ）连接CF，证明AC⊥CD，利用射影定理求AF的长；（Ⅱ）证明CF⊥MN，利用MC=MF，即可证明：MN平分∠CMF．本题考查圆的切线的证明，考查射影定理的运用，考查三角形相似的判定与性质，属于中档题．23.已知直线C1：（t为参数），圆C2：（α为参数）（Ⅰ）若直线C1经过点（2，3），求直线C1的普通方程；若圆C2经过点（2，2），求圆C2的普通方程；（Ⅱ）点P是圆C2上一个动点，若|OP|的最大值为4，求t的值．【答案】解：（I）直线C1：（t为参数），消去参数t化为普通方程：y=（x-1）tanα+2，∵直线C1经过点（2，3），∴3=tanα+2，解得tanα=1．∴直线C1的普通方程为y=x+1．圆C2：（α为参数），化为普通方程：（x-1）2+（y-2）2=t2，∵圆C2经过点（2，2），∴t2=1，∴圆C2的普通方程为：（x-1）2+（y-2）2=1．圆心C2=（1，2），半径r=1．（II）由题意可得：|OP|max=|OC2|+|t|，∴4=+|t|，解得t=±（4-）．【解析】（I）直线C1：（t为参数），消去参数t化为普通方程：y=（x-1）tanα+2，把点（2，3）代入，解得tanα，即可得出直线C1的普通方程．由圆C2：（α为参数），利用cos2α+sin2α=1消去参数α化为普通方程，把点（2，2）代入解得t2，即可得出圆C2的普通方程．（II）由题意可得：|OP|max=|OC2|+|t|，代入解得t即可得出．本题考查了参数方程化为普通方程、点与圆的位置关系、两点之间的距离公式、三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．24.设函数f（x）=|x-1|+a|x-2|，a∈R（Ⅰ）若函数f（x）存在最小值，求a的取值范围；（Ⅱ）若对任意x∈R，有f（x）≥，求a的值．【答案】解：（I）由题意可知：f（x）=，＜，＜，，∵f（x）存在最小值，∴，解得a≥-1．（II）由（I）可知：a≥-1，因此，或＜，解得a=．【解析】（I）由题意可知：f（x）=，＜，＜，，由于f（x）存在最小值，可得，解得a即可得出．（II）由（I）可知：a≥-1，因此，或＜，解得a即可得出．本题考查了分段函数的性质、不等式的解法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．。
福建省连城一中2016届高三数学模拟试卷文
当 x1时, g x1 ln x ,那么 g x1 1 e xe x0 .x1区间 1,上单调递减 . ∴ g x g 1. ,,,,, 6 分 e当 0 x1时, g x1 ln x ,那么 g x1 1 e xxe x e xx xe x 0 .∴函数 gx 在区间0,1 上单调递增 .∴ g xg 11 7 分. ,,,1e下面证明 , 当a式成立 :时, (*)e①当 x1时, ax1 g x , (*)式成立 . ,,,,,,,,,,,,,,8 分e1 1②当 0x 1时,由于 ax1x ,令h xln xe xx ,11 1ee那么hx,xexe再令x1 11x11 x2 e xx e x, 那么x 2 e xx 2e x .e由于 x0,1 , 那么x 21 , e x 1 ,故xx 2 e x 0 . ,,,,,,,,9 分x 2e x∴ 函数x 在 0,1 上单调递减 .∴x1 11 12e 10 ,即h x 0.ee1 1 ∴函数 hx 在 0,1 上单调递增 .∴ h xh 10 . ,,,,,1 1 xe e∴ ln x0 . ,,,,,,,,,,,,,,,,,,e x e∴ ln x11所求 a 的取值X 围为1xx ax ,即(*)式成立.综上所述, e ,ee10 分11 分.,12分〔23〕( Ⅰ)解：由x3 cos , 得 x 2 y 2 1， ∴曲线 C 的直角坐标方程为x 2y 2 1, 2分y sin , 33由 sin(4) 2 ，得sin coscos sin 2，,,,,,3 分44化简得，sin cos2 ，,,,,,,,,,,,,,4 分∴ x y 2 .∴直线 l 的直角坐标方程为 x y 2 . ,,,,,,, 5 分( Ⅱ ) 解法 1：由于点Q是曲线C上的点，那么可设点Q 的坐标为 3 cos ,sin， , 6 分8点 Q 到直线 l 的距离为3 cos sin2,,,,,,,,,,7 分d22cos62. ,,,,,,,,,,,,,8 分2当 cos 1 时， d max 42 2 .,,,,,,,,,,,,,9 分26∴点 Q 到直线 l 的距离的最大值为 2 2 .,,,,,,,,,,,,,10 分解法 2：设与直线l平行的直线l的方程为x y m ，x y m,6mx3m 230 ，,,,,,,,,, 6 分由2消去 y 得 4x2x y21,36m 23m230 ，,,,,,,,,,,,,,7 分令 4 4解得 m 2 .,,,,,,,,,,,,,8 分∴直线 l的方程为 x y 2 ，即 x y20 .∴两条平行直线 l 与 l之间的距离为222 2 . ,,,,,,,,,9 分d2∴点 Q 到直线 l 的距离的最大值为2 2 .,,,,,,,,,,,,,10 分9。
2016年福建高考文科数学试题及答案(Word版)
2cos 3A =2016年福建高考文科数学试题及答案(满分150分，时间120分钟)第Ⅰ卷一. 选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ）（1）设集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =≤≤，则AB =（A ）{1,3} （B ）{3,5} （C ）{5,7} （D ）{1,7} (2)设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a=（A ）－3 （B ）－2 （C ）2 （D ）3（3）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，学.科.网余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（A ）13 （B ）12（C ）13 （D ）56 （4）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，2c =，则b=（A 2 （B 3 （C ）2 （D ）3（5）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短轴长的 14，则该椭圆的离心率为（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34（6）将函数y=2sin (2x+π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（A ）y=2sin(2x+π4) （B ）y=2sin(2x+π3)（C ）y=2sin(2x –π4) （D ）y=2sin(2x –π3)（7）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π（8）若a>b>0，0<c<1，则（A ）log a c<log b c （B ）log c a<log c b （C ）a c<b c（D ）c a >c b（9）函数y=2x 2–e |x|在[–2,2]的图像大致为（A ） （B ）（C ） （D ）（10）执行右面的程序框图，如果输入的0,1,x y ==n =1,则输出,x y 的值满足（A ）2y x = （B ）3y x = （C ）4y x = （D ）5y x =（11）平面α过正文体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A 11//CB D α平面,ABCD m α=平面，11ABB A n α=平面，则m ，n 所成角的正弦值为（A ）32 （B ）22 （C ）33 （D ）13（12）若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是（A ）[]1,1- （B ）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （D ）11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二.填空题(本大题共4小题，每小题5分)（13）设向量a=(x ，x+1)，b=(1，2)，且a ⊥b ，则x=_________. （14）已知θ是第四象限角，且sin(θ+π4)=35，则tan(θ–π4)=_________. （15）设直线y=x+2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay-2=0相交于A ，B 两点，若|AB|=23，则圆C 的面积为________。
福建省龙岩市漳平一中、连城一中2016-2017学年高二上
2016-2017学年福建省龙岩市漳平一中、连城一中高二（上）第二次联考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每题仅有一个选项是正确的.1．命题“∀x∈R，e x＞x2”的否定是（）A．不存在x∈R，使e x＞x2B．∃x∈R，使e x＜x2C．∃x∈R，使e x≤x2D．∀x∈R，使e x≤x22．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若b2+c2﹣bc=a2，且=，则角C的值为（）A．45°B．60°C．90°D．120°3．若不等式表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（）A．（3，5） B．（5，7） C．[5，8]D．[5，8）4．下列说法正确的是（）A．若“x=，则tanx=1”的逆命题为真命题B．在△ABC中，sinA＞sinB的充要条件是A＞BC．函数f（x）=sinx+，x∈（0，π）的最小值为4D．∃x∈R，使得sinx•cosx=5．在△ABC中，若，则△ABC是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．直角三角形6．“a=1“是“函数f（x）=ax2﹣2x+1只有一个零点”的（）A．充要条件B．必要而不充分条件C．充分而不必要条件D．既不充分又不必要条件7．设等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，且=，则=（）A．B．6 C．5 D．8．已知数列{a n}满足a1=，a n=3a n+1，数列{a n}的前n项和为S n，则S2016=（）+1A． B． C． D．9．若双曲线x2﹣2y2=K的焦距是6，则K的值是（）A．±24 B．±6 C．24 D．610．若直线y=kx+2（k∈R）与椭圆x2+=1恒有交点，则实数m的取值范围为（）A．（4，+∞）B．[4，+∞）C．（﹣∞，4）D．（﹣∞，4]11．已知不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）的解集为{x|m＜x＜n}，且m＞0，则不等式cx2+bx+a＜0的解集为（）A．（，）B．（，）C．（﹣∞，）∪（，+∞）D．（﹣∞，）∪（，+∞）12．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）A．2 B．3 C．6 D．8二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在答题卷的相应位置.13．在△ABC中，三边a，b，c成等比数列，且b=2，B=，则S△ABC=．14．正项数列{a n}满足：a n2+（1﹣n）a n﹣n=0，若b n=，数列{b n}的前n 项和为T n，则T2016=．15．椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率是，则的最小值为．16．下列关于圆锥曲线的命题：①设A，B为两个定点，P为动点，若|PA|+|PB|=8，则动点P的轨迹为椭圆；②设A，B为两个定点，P为动点，若|PA|=10﹣|PB|，且|AB|=8，则|PA|的最大值为9；③设A，B为两个定点，P为动点，若|PA|﹣|PB|=6，则动点P的轨迹为双曲线；④双曲线﹣=1与椭圆+=1有相同的焦点．其中真命题的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知命题P：关于x的不等式x2+2ax+4＞0的解集为R，命题Q：函数f（x）=（5﹣2a）x为增函数．若P∨Q为真，P∧Q为假，求a的取值范围．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足cosA=，•=3．（1）求△ABC的面积；（2）若b﹣c=3，求a的值．19．已知P为椭圆E： +=1（a＞b＞0）上任意一点，F1，F2为左、右焦点，M为PF1中点．如图所示：若|OM|+|PF1|=2，离心率e=．（1）求椭圆E的标准方程；（2）已知直线l经过（﹣1，）且斜率为与椭圆交于A，B两点，求弦长|AB|的值．20．F1，F2是椭圆C1： +y2=1与双曲线C2：的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二，四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形．（1）求双曲线C2的标准方程；（2）求S．21．已知各项均为正数的数列{a n}，其前n项和为S n．点（a n，S n）在函数f（x）=2x﹣1图象上．数列{b n}满足：b n=log2a n．+1（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）若c n=，数列{c n}的前n项和T n，求证：T n+≥2恒成立．22．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c，0），（0，b）的直线的距离为c．（Ⅰ）求椭圆E的离心率；（Ⅱ）如图，AB是圆M：（x+2）2+（y﹣1）2=的一条直径，若椭圆E经过A、B 两点，求椭圆E的方程．2016-2017学年福建省龙岩市漳平一中、连城一中高二（上）第二次联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每题仅有一个选项是正确的.1．命题“∀x∈R，e x＞x2”的否定是（）A．不存在x∈R，使e x＞x2B．∃x∈R，使e x＜x2C．∃x∈R，使e x≤x2D．∀x∈R，使e x≤x2【考点】全称命题；命题的否定．【分析】全称命题的否定是存在性命题．【解答】解：命题“∀x∈R，e x＞x2”的否定是∃x∈R，使e x≤x2；故选：C．2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若b2+c2﹣bc=a2，且=，则角C的值为（）A．45°B．60°C．90°D．120°【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】把b2+c2﹣bc=a2代入余弦定理求得cosA的值，进而求得A，又根据=利用正弦定理把边换成角的正弦，根据cosA求得sinA，进而求得sinB，则B可求，最后根据三角形内角和求得C．【解答】解：∵b2+c2﹣bc=a2∴b2+c2﹣a2=bc，∴cosA==，∴A=60°．又=，∴=，∴sinB=sinA=×=，∴B=30°，∴C=180°﹣A﹣B=90°．故选C3．若不等式表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（）A．（3，5） B．（5，7） C．[5，8]D．[5，8）【考点】简单线性规划．【分析】根据已知的不等式组，画出满足条件的可行域，根据图形情况分类讨论，求出表示的平面区域是一个三角形时a的取值范围【解答】解：满足约束条件的可行域如下图示，由图可知，若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是：5≤a＜8．故选：D．4．下列说法正确的是（）A．若“x=，则tanx=1”的逆命题为真命题B．在△ABC中，sinA＞sinB的充要条件是A＞BC．函数f（x）=sinx+，x∈（0，π）的最小值为4D．∃x∈R，使得sinx•cosx=【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A，若tanx=1，则x=kπ+；B，在△ABC中，sinA＞sinB⇔2RsinA＞2RsinB⇔a＞b⇔A＞B，；C，函数f（x）=sinx+，x∈（0，π），当sinx=1时，f（x）有最小值为5；D，sinx•cosx=＜．【解答】解：对于A，若tanx=1，则x=kπ+，故错；对于B，在△ABC中，sinA＞sinB⇔2RsinA＞2RsinB⇔a＞b⇔A＞B，故正确；对于C，函数f（x）=sinx+，x∈（0，π），当sinx=1时，f（x）有最小值为5，故错；对于D，sinx•cosx=＜，故错．故选：B．5．在△ABC中，若，则△ABC是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．直角三角形【考点】三角形的形状判断．【分析】根据二倍角的余弦函数公式化简等式的左边，然后再根据三角形的内角和为π，利用诱导公式得到cosC=﹣cos（A+B），代入化简后的等式中，利用两角和与差的余弦函数公式变形后，可得cos（A﹣B）=1，由A和B都为三角形的内角，可得A﹣B=0，进而得到A与B度数相等，根据等角对等边可得三角形ABC为等腰三角形．【解答】解：∵cosAcosB=sin2=，又cosC=cos[π﹣（A+B）]=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB，∴2cosAcosB=1﹣cosC=1﹣（﹣cosAcosB+sinAsinB）=1+cosAcosB﹣sinAsinB，移项合并得：cosAcosB+sinAsinB=1，即cos（A﹣B）=1，又A和B都为三角形的内角，∴A﹣B=0，即A=B，∴a=b，则△ABC是等腰三角形．故选B6．“a=1“是“函数f（x）=ax2﹣2x+1只有一个零点”的（）A．充要条件B．必要而不充分条件C．充分而不必要条件D．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】求出函数f（x）=ax2﹣2x+1只有一个零点的充分必要条件，根据集合的包含关系判断即可．【解答】解：若函数f（x）=ax2﹣2x+1只有一个零点，若a=0，f（x）=﹣2x+1，只有1个零点，符合题意，若a≠0，则△=4﹣4a=0，解得：a=1，故“a=1“是“函数f（x）=ax2﹣2x+1只有一个零点”充分不必要条件，故选：C．7．设等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，且=，则=（）A．B．6 C．5 D．【考点】等差数列的性质．【分析】根据等差数列的前n项和的性质，可得=，=，可得答案．【解答】解：根据等差数列的前n项和的性质，可得=，=，那么===5．故选C8．已知数列{a n }满足a 1=，a n +1=3a n +1，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2016=（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】数列递推式．【分析】利用数列的递推关系式求出{}是等比数列，然后求解数列的和，推出S 2016即可．【解答】解：数列{a n }满足a 1=，a n +1=3a n +1，可得：a n +1+=3（a n +），所以{}是等比数列，首项是1，公比为3，S 2016+1008==．S 2016=．故选：D ．9．若双曲线x 2﹣2y 2=K 的焦距是6，则K 的值是（ ） A ．±24B ．±6C ．24D ．6【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的焦距，求解K 即可． 【解答】解：双曲线x 2﹣2y 2=K 的焦距是6，可得=3，解得k=±6．故选：B ．10．若直线y=kx +2（k ∈R ）与椭圆x 2+=1恒有交点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．（4，+∞）B ．[4，+∞）C ．（﹣∞，4）D ．（﹣∞，4] 【考点】椭圆的简单性质．【分析】判断直线系经过的定点，利用直线与椭圆的位置关系判断求解即可．【解答】解：直线y=kx+2（k∈R）恒过（0，2）点，若直线y=kx+2（k∈R）与椭圆x2+=1恒有交点，可知得到在椭圆内部，可得m≥4．故选：B．11．已知不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）的解集为{x|m＜x＜n}，且m＞0，则不等式cx2+bx+a＜0的解集为（）A．（，）B．（，）C．（﹣∞，）∪（，+∞）D．（﹣∞，）∪（，+∞）【考点】一元二次不等式．【分析】依题意，a＜0，m+n=﹣，mn=＞0，从而可求得b，c，代入cx2+bx+a ＜0即可求得答案．【解答】解：∵不等式ax2+bx+c＞0的解集为（m，n）（0＜m＜n），∴a＜0，m+n=﹣，mn=，∴b=﹣a（m+n），c=amn，∴cx2+bx+a＜0⇔amnx2﹣a（m+n）x+a＜0，∵a＜0，∴mnx2﹣（m+n）x+1＞0，即（mx﹣1）（nx﹣1）＞0，又0＜m＜n，∴＞，∴x＞或x＜，故不等式cx2+bx+a＜0的解集是（﹣∞，）∪（，+∞）．故选：C．12．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）A．2 B．3 C．6 D．8【考点】椭圆的标准方程；平面向量数量积的含义与物理意义．【分析】先求出左焦点坐标F，设P（x0，y0），根据P（x0，y0）在椭圆上可得到x0、y0的关系式，表示出向量、，根据数量积的运算将x0、y0的关系式代入组成二次函数进而可确定答案．【解答】解：由题意，F（﹣1，0），设点P（x0，y0），则有，解得，因为，，所以=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=﹣2，因为﹣2≤x0≤2，所以当x0=2时，取得最大值，故选C．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在答题卷的相应位置.13．在△ABC中，三边a，b，c成等比数列，且b=2，B=，则S△ABC=．【考点】正弦定理．【分析】利用等比数列的性质可求b2=ac，结合已知利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，∵b=2，B=，=acsinB=22×=．∴S△ABC故答案为：．14．正项数列{a n}满足：a n2+（1﹣n）a n﹣n=0，若b n=，数列{b n}的前n项和为T n，则T2016=．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】通过分解因式，利用正项数列{a n}，直接求数列{a n}的通项公式a n；利用数列的通项公式化简b n，利用裂项法直接求数列{b n}的前n项和T n，即可得出结论．【解答】解：由正项数列{a n}满足a n2+（1﹣n）a n﹣n=0，可得（a n﹣n）（a n+1）=0，所以a n=n．所以b n===﹣，T n=1﹣+…+﹣=1﹣，所以T2016=1﹣=，故答案为：．15．椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率是，则的最小值为．【考点】椭圆的简单性质；基本不等式．【分析】直接利用椭圆的离心率，求出a，b的关系代入表达式，通过基本不等式求出表达式的最小值．【解答】解：因为椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率是，所以a=2c，所以4b2=3a2，=，当且仅当a=时取等号．所以的最小值为．故答案为：．16．下列关于圆锥曲线的命题：①设A，B为两个定点，P为动点，若|PA|+|PB|=8，则动点P的轨迹为椭圆；②设A，B为两个定点，P为动点，若|PA|=10﹣|PB|，且|AB|=8，则|PA|的最大值为9；③设A，B为两个定点，P为动点，若|PA|﹣|PB|=6，则动点P的轨迹为双曲线；④双曲线﹣=1与椭圆+=1有相同的焦点．其中真命题的序号是②④．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①，根据椭圆的定义，当8＞|AB|时是椭圆；②，利用椭圆的定义，求出a、c，|PA|的最大值为a+c；③，利用双曲线的定义判断；④，根据双曲线、椭圆标准方程判断．【解答】解：对于①，根据椭圆的定义，当k＞|AB|时是椭圆，∴故为假命题；对于②，由|PA|=10﹣|PB|，得|PA|+|PB|=10＞|AB|，所以动点P的轨迹为以A，B为焦点的图象，且2a=10，2c=8，所以a=5，c=4，根据椭圆的性质可知，|PA|的最大值为a+c=5+3=9，所以为真命题．对于③，设A，B为两个定点，P为动点，若|PA|﹣|PB|=6，当6＜|AB|时，则动点P的轨迹为双曲线，故为假命题；对于④，双曲线﹣=1的焦点为（，0），椭圆+=1的焦点（，0），故为真命题．故答案为：②④．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知命题P：关于x的不等式x2+2ax+4＞0的解集为R，命题Q：函数f（x）=（5﹣2a）x为增函数．若P∨Q为真，P∧Q为假，求a的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假．【分析】求出两个命题为真命题时，a的范围，通过P∨Q为真，P∧Q为假，推出一真一假，然后求解a的范围．【解答】（本小题满分10分）解：依题可得：由x2+2ax+4＞0的解集为R．得△=4a2﹣16＜0，即P为真时，实数a的取值范围是﹣2＜a＜2；…由函数f（x）=（5﹣2a）x为增函数，得a＜2，即Q为真时，实数a的取值范围是a＜2；…若P∨Q为真，P∧Q为假，则P、Q一真一假．…当P真Q假时，a无解．…当P假Q真时，a≤﹣2．…所以实数a的取值范围是a≤﹣2 …18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足cosA=，•=3．（1）求△ABC的面积；（2）若b﹣c=3，求a的值．【考点】三角形中的几何计算．【分析】（1）利用cosA=，•=3，求出bc=5，sinA=，即可求△ABC的面积；（2）若b﹣c=3，利用余弦定理求a的值．【解答】解：（1）∵•=3，∴bccosA=3．…∵cosA=，∴bc=5，sinA=…∴△ABC的面积S==2…（2）∵b﹣c=3，…∴a===．…19．已知P为椭圆E： +=1（a＞b＞0）上任意一点，F1，F2为左、右焦点，M为PF1中点．如图所示：若|OM|+|PF1|=2，离心率e=．（1）求椭圆E的标准方程；（2）已知直线l经过（﹣1，）且斜率为与椭圆交于A，B两点，求弦长|AB|的值．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由|OM|+|PF1|=2，又|OM|=|PF2|， |PF1|+|PF2|=2，可得a．又e==，a2=b2+c2．解出即可得出．（Ⅱ）法一：设直线l：y﹣=（x+1），联立直线与椭圆得：x2+2x=0，解出交点坐标利用两点之间的距离公式即可得出．法二：联立方程得x2+2x=0，利用|AB|=即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由|OM|+|PF1|=2，又|OM|=|PF2|，∴|PF1|+|PF2|=2，∴a=2．离心率e==，a2=b2+c2．解得b=1，c=．故所求的椭圆方程为=1．（Ⅱ）法一：设直线l：y﹣=（x+1），联立直线与椭圆得：x2+2x=0，所以，直线与椭圆相交两点坐标为（0，1），（﹣2，0）．∴|AB|==．法二：联立方程，得x2+2x=0，∴x1+x2=﹣2，x1•x2=0，∴|AB|==．20．F1，F2是椭圆C1： +y2=1与双曲线C2：的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二，四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形．（1）求双曲线C2的标准方程；（2）求S．【考点】圆锥曲线的综合；圆与圆锥曲线的综合．【分析】（1）设|AF1|=x，|AF2|=y，利用椭圆的定义，四边形AF1BF2为矩形，可求出x，y的值，进而可得双曲线的几何量，即可求出双曲线的标准方程；（2）S=，即可得出结论．【解答】解：（1）设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1： +y2=1上的点，∴2a=4，b=1，c=；∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①又四边形AF1BF2为矩形，∴x2+y2=（2c）2=12，②由①②解得x=2﹣，y=2+设双曲线C2的实轴长为2a′，焦距为2c′，则2a′=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2c′=2，∴b=1…∴双曲线C2的标准方程为=1；…（2）由（1）可得S==1．…21．已知各项均为正数的数列{a n}，其前n项和为S n．点（a n，S n）在函数f（x）=2x﹣1图象上．数列{b n}满足：b n=log2a n．+1（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）若c n=，数列{c n}的前n项和T n，求证：T n+≥2恒成立．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（1）利用数列递推关系与对数的运算性质即可得出．（2）利用“错位相减法”、等比数列的求和公式与数列的单调性即可得出．【解答】（1）解：∵点（a n，S n）在函数f（x）=2x﹣1图象上，∴S n=2a n﹣1．当n=1时，a1=1．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣1﹣（2a n﹣1﹣1）．化为a n=2a n﹣1．∴a n=2n﹣1．∴b n=log2a n+1=n．（2）证明：c n==，∴数列{c n}的前n项和T n=1+++…+，T n=+…++，相减可得：T n=1++…+﹣=﹣，∴T n=4﹣，∴T n+=4﹣≥4﹣2=2．∴T n+≥2恒成立．22．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c，0），（0，b）的直线的距离为c．（Ⅰ）求椭圆E的离心率；（Ⅱ）如图，AB是圆M：（x+2）2+（y﹣1）2=的一条直径，若椭圆E经过A、B 两点，求椭圆E的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；曲线与方程．【分析】（Ⅰ）求出经过点（0，b）和（c，0）的直线方程，运用点到直线的距离公式，结合离心率公式计算即可得到所求值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2，①设出直线AB的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合圆的直径和中点坐标公式，解方程可得b2=3，即可得到椭圆方程．【解答】解：（Ⅰ）经过点（0，b）和（c，0）的直线方程为bx+cy﹣bc=0，则原点到直线的距离为d==c，即为a=2b，e===；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2，①由题意可得圆心M（﹣2，1）是线段AB的中点，则|AB|=，易知AB与x轴不垂直，记其方程为y=k（x+2）+1，代入①可得（1+4k2）x2+8k（1+2k）x+4（1+2k）2﹣4b2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=．x1x2=，由M为AB的中点，可得x1+x2=﹣4，得=﹣4，解得k=，从而x1x2=8﹣2b2，于是|AB|=•|x1﹣x2|=•==，解得b2=3，则有椭圆E的方程为+=1．2017年4月18日。
福建省连城一中2016届高三数学模拟试卷 文
连城一中2016届数学（文）模拟试卷（考试时间：120分钟 满分：150分 ）注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟． 参考公式：第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求). 1．设集合x x M ≤-=4|{<2}，集合x x N 2|{=<}41，则N M 中所含整数的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．设复数,,121i m z i z -=+= 若12z z ⋅为纯虚数,则实数m 可以是（ ） A ．i B ．2i C ．3i D ．4i3．在等差数列{}n a 中，若4,184==S S ，则20191817a a a a +++的值为（ ） A ．9 B ．12 C ．16 D ．174．一个学校高一、高二、高三学生数之比为5:2:3,若用分层抽样抽取容量为200的样本,则应从高三学生中抽取的人数是（ ）A ． 20B ．40C ． 60 D. 805．函数y ＝f (x )的图象在点x ＝5处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)等于( )A ．1B ．2C ．0 D.126．已知0x 是xx x f 1sin )(-=的零点，则0x 还满足的方程是（ ） A.01sin 1=+⋅x x B.01sin 1=-⋅x x C.01sin =+⋅x xD.01sin =-⋅x x7．已知函数y =A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0)在同一周期内,当x =12π时,y max =2;当x =712π时，,y min =-2.那么函数的解析式为 ( )A ．y =2sin(2x +3π) B ． y =2sin(2x -6π) C ．y =2sin(2x +6π) D ．y =2sin(2x -3π)8．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地”．则该人最后一天走的路程为（ ）.A ．24里B ．12里C ．6里.D ．3里9．已知点A ，B 为椭圆的左、右顶点，点C ，D 为椭圆的上、下顶点，点F 为椭圆的右焦点，若CF ⊥BD ，则椭圆的离心率为（ ）A ．213-B ．21C ．215-D ．216-10． 已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最小值为( )A ．5B ．29C ．37D ．4911．正三棱柱ABC A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 中点，则三棱锥A B 1DC 1的体积为( ) A ．3 B ．32 C ．1 D ．3212已知抛物线x y 42=，点A （1，0）B （-1，0），点M 在抛物线上，则MBA ∠的最大值是（ ） A ．4π B ．3π C ．6π D ．43π第Ⅱ卷 （非选择题 共90分） 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分).13.若函数f (x )(x ∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则)215(f ＋)320(f ＝______．14.已知ωω(,sin )(x x f =>0）的部分图像如图所示，且2)(=⋅+OM OQ OP ，则ω的值是15.已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P,使△APB 的最大边是AB”发生的概率为.21,则AD AB=____16.设 a 是已知的平面向量且≠0 a ,关于向量a 的分解,有如下四个命题:①给定向量 b ,总存在向量 c ,使=+a b c ;②给定向量 b 和 c ,总存在实数λ和μ,使λμ=+a b c ;③给定单位向量 b 和正数μ,总存在单位向量 c 和实数λ,使λμ=+a b c ;④给定正数λ和μ,总存在单位向量 b 和单位向量 c ,使λμ=+a b c ;上述命题中的向量 b , c 和a 在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.设n S 为数列{n a }的前项和,已知2n n S a =-2,∈n N *(Ⅰ)求数列{n a }的通项公式;(Ⅱ)求数列{n na }的前n 项和.18.学校为了解学生的数学学习情况，在全校高一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：(1)根据表中数据，问是否有95%的把握认为“男生和女生在喜欢数学方面有差异”；(2)在被调查的女生中抽出5名，其中2名喜欢数学，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢数学的概率．其不意附：χ2＝n （n 11n 22－n 12n 21）2n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2，19.如图,在在四棱锥P-ABCD 中,PA⊥面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=7,PA=3,∠ABC=120°,G 为线段PC 上的点.(Ⅰ)证明:BD⊥面PAC ;(Ⅱ)若G 是PC 的中点,求证PA ‖面BDG;(Ⅲ)若G 满足PC⊥面BGD,求PGGC的值.21.已知抛物线C 的顶点为O(0,0),焦点F(0,1)(Ⅰ)求抛物线C 的方程;(Ⅱ) 过点F 作直线交抛物线C 于A.B 两点.若直线AO.BO 分别交直线l :y=x-2于M.N 两点, 求|MN|的最小值.21. （本小题满分12分）已知函数()f x =1x eax -(x ∈R )(Ⅰ)当2a =-时,求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ)若0a >且0x >时,()ln f x x ≤,求a 的取值范围.（23）（本小题满分10分）选修4－4: 坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为,(sin x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数).以点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin(ρθ+)4π=(Ⅰ)将曲线C 和直线l 化为直角坐标方程；(Ⅱ)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最大值.连城一中2016届数学（文）试卷参考答案1-12：CBACBDACCACA 13.4132- 14.π16.2 17．解: (Ⅰ) 11111221.a S a n a S ==-=∴=时，当 .21=⇒a ………………………1分1112222---=⇒-=-=≥n n n n n n n a a a a s s a n 时，当………………………4分.*,222}{1N n a q a a n n n ∈===⇒的等比数列，公比为时首项为 ………………………6分(Ⅱ)n n n n qa n qa qa qa qT a n a a a T ⋅++⋅+⋅+⋅=⇒⋅++⋅+⋅+⋅= 321321321321设1432321+⋅++⋅+⋅+⋅=⇒n n a n a a a qT ………………………8分上式左右错位相减:11111321222211)1(++++⋅--⋅=---=-++++=-n n n nn n n n na qq a na a a a a T q ……………10分*,22)2(1N n n T n n ∈+⋅-=⇒+. ………………………12分18．解：(1)将2×2列联表中的数据代入公式计算，得χ2＝n （n 11n 22－n 12n 21）2n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2＝100×（60×10－20×10）270×30×80×20＝10021≈4.762. ………………………4分由于4.762＞3.841，所以有95%的把握认为“男生和女生在喜欢数学方面有差异” ………………6分 (2)从5名女生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω＝{(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 2，b 3)，(a 1，b 1，b 2)，(a 1，b 1，b 3)，(a 1，b 2，b 3)，(a 2，b 1，b 2)，(a 2，b 1，b 3)，(a 2，b 2，b 3)，(b 1，b 2，b 3)}，其中a i 表示喜欢数学的学生，i ＝1，2，b j 表示不喜欢数学的学生，j ＝1，2，3. Ω由10个基本事件组成，且这些基本事件的出现是等可能的．………………………9分用A 表示“3人中至多有1人喜欢数学”这一事件，则A ＝{(a 1，b 1，b 2)，(a 1，b 1，b 3)，(a 1，b 2，b 3)，(a 2，b 1，b 2)，(a 2，b 1，b 3)，(a 2，b 2，b 3)，(b 1，b 2，b 3)}．事件A 由7个基本事件组成，因而P (A )＝710.………………………12分19．解:证明:(Ⅰ)由已知得三角形ABC 是等腰三角形,且底角等于30°,且6030AB CB AD CD ABD CBD ABD CBD BAC BD DB =⎫⎪=⇒∆≅∆⇒∠=∠=∠=⎬⎪=⎭且,所以BD AC ⊥,又因为PA ABCD BD PA BD PAC BD AC ⊥⇒⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭; ………………………4分(Ⅱ)设AC BD O = ,由(1)知 O 为AC 中点，则OG ‖PA ，又PA ⊄面BDG ，OG ⊂面BDG ∴PA ‖面BDG ………………………8分(Ⅲ)由已知得到:PC 因为PC BGD PC GD ⊥∴⊥,在PDC ∆中,PD CD PC ==设223107)2PG PG x CG x x x PG x GC GC =∴∴-=-∴== ………………12分 20．解:(Ⅰ)由已知可得抛物线的方程为:22(0)x py p =>,且122p p =⇒=,所以抛物线方程是: 24x y =; ………………………4分(Ⅱ)设221212(,),(,)44x x A x B x ,所以12,,44AO BO x x k k ==所以AO 的方程是:14x y x =,由118442M x y x x x y x ⎧=⎪∴=⎨-⎪=-⎩,同理由228442N xy x x x y x ⎧=⎪∴=⎨-⎪=-⎩所以1212121288|||||44164()M Nx x MN x x x x x x x x -=-=-=---++①…………6分 设:1AB y kx =+,由1222121444044y kx x x k x kx x x x y =+⎧+=⎧⎪∴--=∴⎨⎨=-=⎪⎩⎩,且12||x x -=………………………8分代入①得到: |||16164MN k ==--………………………9分设34304tk t k +-=≠∴=, ① 当0t>时||MN ==≥所以此时||MN的最小值是………10分② 当0t<时,4||5MN ===≥=………11分所以此时||MN,此时253t=-,43k =-; 综上所述:||MN; ………………………12分21. (Ⅰ)解:∵当2a =-时,()f x =12x x e +, ∴()12xf x e '=-+.…1分 令()12x f x e '=-+0=,得1ln ln 22x ==-. ………………………2分当ln 2x <-时, ()0f x '<; 当ln 2x >-时, ()0f x '>. ………………3分 ∴函数()f x 的单调递减区间为(),ln 2-∞-,递增区间为()ln2,-+∞.……4分 (Ⅱ)解法1:当1x ≥时,()ln f x x ≤等价于1ln x ax x e -≤,即ln x -10x ax e+≥.(*) 令()g x =ln x -1x ax e +()0a >,则()11xg x a x e '=++0>, ………5分 ∴函数()g x 在[)1,+∞上单调递增. ∴()()11g x g a e≥=-+.……6分 要使(*)成立,则10a e -+≥, 得1a e≥.……………………………………………7分 下面证明若1a e≥时,对()0,1x ∈,()ln f x x ≤也成立. 当()0,1x ∈时,()ln f x x ≤等价于1ln x ax x e -≤-,即ln x +10x ax e-≤. 而ln x +1x ax e -≤ln x +11x x e e-.(**) ………………………………………8分 令()h x =ln x +11x x e e -,则()111x h x x e e'=--, 再令()111x x x e e ϕ=--,则()22211xx x x e x x e x eϕ-'=-+=.由于()0,1x ∈,则21x <,1xe >,故()22xx x e x x eϕ-'=0<. ……………………9分∴函数()x ϕ在()0,1上单调递减. ∴ ()()1121110x e e e ϕϕ>=--=->,即()0h x '>.…10分 ∴ 函数()h x 在()0,1上单调递增. ∴ ()()1110h x h e e<=-=. …11分由(**)式ln x +1x ax e -≤ln x +11x x e e -0<. 综上所述,所求a 的取值范围为1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.……12分 解法2: ()ln f x x ≤等价于1ln x ax x e -≤,即1ln x ax x e≥-.(*)令()1ln ,1,1ln 1ln ,0 1.xx xx x e g x x e x x e ⎧-≥⎪⎪=-=⎨⎪+<<⎪⎩ …………………………………5分当1x ≥时,()1ln x g x x e =-,则()110x g x e x'=--<. ∴函数()g x 在区间[)1,+∞上单调递减. ∴()()11g x g e≤=.……………6分 当01x <<时,()1ln x g x x e =+,则()110x x xe xg x e x xe -'=-+=>. ∴函数()g x 在区间()0,1上单调递增. ∴()()11g x g e<=.………7分 下面证明,当1a e ≥时, (*)式成立: ① 当1x ≥时,()1ax g x e≥≥, (*)式成立. ……………………………………8分② 当01x <<时,由于1ax x e≥,令()h x =ln x +11x x e e -,则()111x h x x e e'=--,再令()111x x x e e ϕ=--,则()22211xx x x e x x e x eϕ-'=-+=.由于()0,1x ∈,则21x <,1xe >,故()22xx x e x x eϕ-'=0<.……………………9分∴ 函数()x ϕ在()0,1上单调递减. ∴ ()()1121110x e e eϕϕ>=--=->,即()0h x '>. ∴ 函数()h x 在()0,1上单调递增. ∴ ()()1110h x h e e<=-=.……………10分 ∴ ln x +110x x e e-<. ………………………………………………11分 ∴ ln x +11x x ax e e <≤,即(*)式成立.综上所述, 所求a 的取值范围为1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. …12分（23）(Ⅰ)解：由,sin ,x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩得2213x y +=， ∴曲线C 的直角坐标方程为2213x y +=…2分由sin(ρθ+)4π=sin cos cos sin 44ππρθθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3分 化简得，sin cos 2ρθρθ+=， …………………………………4分 ∴2x y +=. ∴直线l 的直角坐标方程为2x y +=.…………………5分(Ⅱ)解法1：由于点Q 是曲线C 上的点，则可设点Q 的坐标为),sin θθ， …6分点Q 到直线l的距离为d =…………………………7分…………………………………8分 当cos 16πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时，max d ==…………………………………9分 ∴ 点Q 到直线l的距离的最大值为…………………………………10分 解法2：设与直线l 平行的直线l '的方程为x y m +=， 由22,1,3x y m x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得2246330x mx m -+-=， ………………………6分令()()22644330m m ∆=-⨯⨯-=， …………………………………7分解得2m =±. …………………………………8分 ∴直线l '的方程为2x y +=-，即20x y ++=.∴两条平行直线l 与l '之间的距离为d =………………………9分∴点Q 到直线l的距离的最大值为…………………………………10分。
2015-2016学年福建龙岩连城一中高三文科模拟数学试卷
2015-2016学年福建龙岩连城一中高三文科模拟数学试卷一、选择题（共12小题；共60分）1. 设集合M=x−4≤x<2，集合N= x2x<14，则M∩N中所含整数的个数为 A. 1B. 2C. 3D. 42. 设复数z1=1+i，z2=m−i，若z1⋅z2为纯虚数，则实数m可以是 A. iB. i2C. i3D. i43. 在等差数列a n中，若S4=1，S8=4，则a17+a18+a19+a20的值为 A. 9B. 12C. 16D. 174. 一个学校高一、高二、高三学生数之比为5:2:3，若用分层抽样抽取容量为200的样本，则应从高三学生中抽取的人数是 A. 20B. 40C. 60D. 805. 函数y=f x的图象在点x=5处的切线方程是y=−x+8，则f5+fʹ5等于 A. 1B. 2C. 0D. 126. 已知x0是f x=sin x−1x的零点，则x0还满足的方程是 A. 1x ⋅sin x+1=0 B. 1x⋅sin x−1=0C. x⋅sin x+1=0D. x⋅sin x−1=07. 已知函数y=A sinωx+φA>0,ω>0在同一周期内，当x=π12时，y max=2，当x=7π12时，y min=−2．那么函数的解析式为 A. y=2sin2x+π3B. y=2sin x2−π6C. y=2sin2x+π6D. y=2sin2x−π38. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为 A. 24里B. 12里C. 6里D. 3里9. 已知点A，B为椭圆的左、右顶点，点C，D为椭圆的上、下顶点，点F为椭圆的右焦点，若CF⊥BD，则椭圆的离心率为 A. 3−12B. 12C. 5−12D. 6−1210. 已知圆C:x−a2+y−b2=1，平面区域Ω:x+y−7≤0,x−y+3≥0,y≥0.若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2+b2的最大值为 A. 5B. 29C. 37D. 4911. 正三棱柱ABC−A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，D为BC中点，则三棱锥A−B1DC1的体积为 A. 3B. 32C. 1 D. 3212. 已知抛物线y2=4x，点A1,0，B−1,0，点M在抛物线上，则∠MBA的最大值是 A. π4B. π3C. π6D. 3π4二、填空题（共3小题；共15分）13. 若函数f x x∈R是周期为4的奇函数，且在0,2上的解析式为f x=x1−x,0≤x≤1,sinπx,1<x≤2,则f 294+f416= ______．14. 已知f x=sinωx,ω>0的部分图象如图所示，且 OP+OQ⋅OM=2，则ω的值是______．15. 已知事件”在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则ADAB= ______．三、选择题（共1小题；共5分）16. 设a是已知的平面向量且a≠0．关于向量a的分解，有如下四个命题：①给定向量b，总存在向量c，使a=b+c；②给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a=λb+μc；③给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a=λb+μc；④给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a=λb+μc．上述命题中的向量b,c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是______A. 1B. 2C. 3D. 4四、解答题（共6小题；共78分）17. 设S n为数列a n的前n项和，已知2a n−2=S n，n∈N∗．（1）求数列 a n 的通项公式； （2）求数列 na n 的前 n 项和．18. 学校为了解学生的数学学习情况，在全校高一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：喜欢数学不喜欢数学合计男生602080女生101020合计7030100（1）根据表中数据，问是否有 95% 的把握认为“男生和女生在喜欢数学方面有差异”； （2）在被调查的女生中抽出 5 名，其中 2 名喜欢数学，现在从这 5 名学生中随机抽取 3 人，求至多有 1 人喜欢数学的概率． 附：χ2=n n 11n 22−n 12n 21 2n 1+n 2+n +1n +2，P χ2≥k0.1000.0500.010k 2.706 3.841 6.63519. 如图，在四棱锥 P −ABCD 中，PA ⊥面ABCD ，AB =BC =2，AD =CD = 7，PA = 3，∠ABC =120∘，G 为线段 PC 上的点．（1）证明：BD ⊥面PAC ；（2）若 G 是 PC 的中点，求证 PA ∥面BDG ；（3）若 G 满足 PC ⊥面BGD ，求 PGGC 的值．20. 已知抛物线 C 的顶点为 O 0,0 ，焦点 F 0,1 ．（1）求抛物线 C 的方程；（2）过点 F 作直线交抛物线 C 于 A ，B 两点．若直线 AO ，BO 分别交直线 l :y =x −2 于 M ，N 两点，求 MN 的最小值．21. 已知函数 f x =1e x−ax x ∈ R ．（1）当 a =−2 时，求函数 f x 的单调区间； （2）若 a >0 且 x >0 时，f x ≤ ln x ，求 a 的取值范围．22. 坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=3cosθ,y=sinθ（θ为参数）．以点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin θ+π4=2．（1）将曲线C和直线l化为直角坐标方程；（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l距离的最大值．答案第一部分1. B2. B3. A4. C5. B6. D7. A8. C9. C 10. C11. C 12. A第二部分13. 51614. π15. 74第三部分16. B第四部分17. （1）因为S1=a1，所以当n=1时，2a1−2=S1=a1⇒a1=2，当n≥2时，a n=S n−S n−1=2a n−2a n−1⇒a n=2a n−1⇒a n是首项为a1=2公比为q=2的等比数列，a n=2n，n∈N∗．（2）设T n=1⋅a1+2⋅a2+3⋅a3+⋯+n⋅a n⇒qT n=1⋅qa1+2⋅qa2+3⋅qa3+⋯+n⋅qa n⇒qT n=1⋅a2+2⋅a3+3⋅a4+⋯+n⋅a n+1，错位相减得：1−q T n=a1+a2+a3+⋯+a n−na n+1=a11−q n1−q−na n+1=2n+1−2−n⋅2n+1，⇒T n=n−1⋅2n+1+2,n∈N∗．18. （1）将2×2列联表中的数据代入公式计算，得χ2=n n11n22−n12n212n1+n2+n+1n+2=100×60×10−20×10270×30×80×20=10021≈4.762，由于4.762>3.841，所以有95%的把握认为“男生和女生在喜欢数学方面有差异”．（2）从5名女生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω=a1,a2,b1,a1,a2,b2,a1,a2,b3,a1,b1,b2,a1,b1,b3,a1,b2,b3,a2,b1,b2,a2,b1,b3,a2,b2,b3,b1,b2,b3，其中a i表示喜欢数学的学生，i=1,2，b j表示不喜欢数学的学生，j=1,2,3．Ω由10个基本事件组成，且这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“3人中至多有1人喜欢数学”这一事件，则A=a1,b1,b2,a1,b1,b3,a1,b2,b3,a2,b1,b2,a2,b1,b3,a2,b2,b3,b1,b2,b3．事件A由7个基本事件组成，因而P A=710．19. （1）由已知得三角形ABC是等腰三角形，且底角等于30∘，且AB=CB,AD=CD,BD=DB.⇒△ABD≌△CBD⇒∠ABD=∠CBD=60∘且∠BAC=30∘．所以BD⊥AC，因为PA⊥面ABCD⇒BD⊥PA,BD⊥AC.⇒BD⊥面PAC．（2）设AC∩BD=O，由（1）知O为AC中点，则OG∥PA，又PA⊄面BDG，OG⊂面BDG，所以PA∥面BDG．（3）由已知得到：PC=2+AC2=3+12=15，因为PC⊥面BGD，所以PC⊥GD．在△PDC中，PD=3+7=10，CD=7，PC=15，设PG=x，所以CG=15−x，所以10−x2=7−15−x 2，所以PG=x=3515，GC=2515，所以PGGC =32．20. （1）由已知可得抛物线的方程为：x2=2py p>0，且P2=1⇒p=2，所以抛物线方程是：x2=4y．（2）设A x1,x124，B x2,x224，所以k AO=x14，k BO=x24，所以AO的方程是：y=x14x，由y=x14x, y=x−2,所以x M=84−x1，同理由y=x24x, y=x−2,所以x N=84−x2，所以MN=1+12x M−x N=284−x1−84−x2=82 x1−x21212. ⋯⋯①设AB:y=kx+1，由y=kx+1, x2=4y,所以x2−4kx−4=0，所以x1+x2=4k, x1x2=−4.且x1−x2=x1+x22−4x1x2=4 k2+1，代入①得到：MN=824 k2+1 16−16k−4=82 k2+1.设4k−3=t≠0，所以k=3+t4，①当t>0时，MN=8225+t2+6t4t=221+25t2+6t>2 2.所以此时MN的最小值是2；②当t<0时，MN=8225+t2+6t4t=221+252+6=225+32+16≥22×45=825.所以此时MN的最小值是825，此时t=−253，k=−43；综上所述：MN的最小值是825．21. （1）因为当a=−2时，f x=1e+2x，所以fʹx=−1e+2．令fʹx=−1e x +2=0，得x=ln12=−ln2．当x<−ln2时，fʹx<0；当x>−ln2时，fʹx>0．所以函数f x的单调递减区间为−∞,−ln2，递增区间为−ln2,+∞．（2）解法1：当x≥1时，f x≤ ln x等价于1e x −ax≤ln x，即ln x−1e x+ax≥0．∗令g x=ln x−1e x +ax a>0，则gʹx=1x+1e x+a>0，所以函数g x在1,+∞上单调递增．所以g x≥g1=−1e+a．要使∗成立，则−1e +a≥0，得a≥1e．下面证明若a≥1e时，对x∈0,1，f x≤ ln x也成立．当x∈0,1时，f x≤ ln x等价于1e −ax≤−ln x，即ln x+1e−ax≤0．而ln x+1e x −ax≤ln x=1e x−1ex．∗∗令 x=ln x+1e x −1ex，则 ʹx=1x−1e x−1e，再令φx=1x −1e x−1e，则φʹx=−1x2+1e x=x2−e xx2e x．由于x∈0,1，则x2<1，e x>1，故φʹx=x2−e xx e<0．所以函数φx在0,1上单调递减．所以φx>φ1=1−1e −1e=1−2e>0，即 ʹx>0．所以函数 x在0,1上单调递增．所以 x< 1=1e −1e=0．由∗∗式ln x+1e x −ax≤ln x=1e x−1ex<0．综上所述，所求a的取值范围为1e,+∞ ．解法2：f x≤ ln x等价于1e x −ax≤ ln x，即ax≥1e x− ln x．∗令g x=1e x =ln x=1e x−ln x,x≥1,1e+ln x,0<x<1.当x≥1时，g x=1e −ln x，则gʹx=−1e−1x<0．所以函数g x在区间1,+∞上单调递减．所以g x≤g1=1e．当0<x<1时，g x=1e x +ln x，则gʹx=−1e x+1x=e x−xx e x>0．所以函数g x在区间0,1上单调递增．g x<g1=1e．下面证明，当a≥1e时，∗成立：①当x≥1时，ax≥1e≥g x，∗成立．②当0<x<1时，由于ax≥1e x，令 x=ln x+1e x−1ex，则 ʹx=1x −1e−1e，再令φx=1x −1e x−1e，则φʹx=−1x2+1e x=x2−e xx2e x．由于x∈0,1，则x2<1，e x>1，故φʹx=x2−e xx2e x<0．所以函数φx在0,1上单调递减．所以φx>φ1=1−1e −1e=1−2e>0，即 ʹx>0．所以函数 x在0,1上单调递增．所以 x< 1=1e −1e=0．所以ln x+1e −1ex<0．所以ln x+1e <1ex≤ax，即∗成立．综上所述，所求a的取值范围为1e,+∞ ．22. （1）由x=3cosθ,y=sinθ,得x23+y2=1，所以曲线C的直角坐标方程为x 23+y2=1.由ρsin θ+π4=2，得ρsinθcosπ4+cosθsinπ4=2，化简得，ρsinθ+ρcosθ=2，所以x+y=2．所以直线l的直角坐标方程为x+y=2．（2）由于点Q是曲线C上的点，则可设点Q的坐标为3cosθ,sinθ ，点Q到直线l的距离为d=3cos2=2cos θ−π6−22当cos θ−π6=−1时，d max=2=22．所以点Q到直线l的距离的最大值为22．。
2016届全国统一高考数学模拟试卷(文科)(新课标i)解析版
2016年全国统一高考数学模拟试卷（文科）（新课标I）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2016•临汾一模）设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，4}，B={1，3，5}，则下列Venn图中阴影部分表示集合{3，5}的是（）A．B．C．D．2．（5分）（2016•宜宾模拟）若数据x1，x2，x3，…，x n的平均数为=5，方差σ2=2，则数据3x1+1，3x2+1，3x3+1，…，3x n+1的平均数和方差分别为（）A．5，2 B．16，2 C．16，18 D．16，93．（5分）（2015•西城区二模）“m＞3”是“曲线mx2﹣（m﹣2）y2=1为双曲线”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．（5分）（2016春•湖北月考）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A．24里B．48里C．96里D．192里5．（5分）（2016•临汾一模）已知双曲线C的渐近线方程为3x±2y=0，且焦点在x轴上，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．6．（5分）（2016春•荆州校级月考）设曲线y=sinx（a∈R）上任一点（x，y）处切线斜率为g（x），则函数y=x2g（x）的部分图象可以为（）A．B． C．D．7．（5分）（2016•临汾一模）执行如图的程序，若输出的值为2，则输入的值构成的集合是（）A．{2}B．{1，2，﹣1，﹣2} C．{1，﹣1} D．{2，﹣2}8．（5分）（2011•武昌区模拟）圆x2+y2﹣2x+6y+5a=0关于直线y=x+2b成轴对称图形，则a ﹣b的取值范围是（）A．（﹣∞，4）B．（﹣∞，0）C．（﹣4，+∞）D．（4，+∞）9．（5分）（2016•临汾一模）如图，在平面四边形ABCD中，AB=1，，，∠ABC=120°，∠DAB=75°，则CD=（）A．B． C． D．10．（5分）（2015秋•海淀区期末）若x，y满足，则z=y﹣2|x|的最大值为（）A．﹣8 B．﹣4 C．1 D．211．（5分）（2016春•宜昌期中）某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的外接球的体积是（）A．12πB．48πC．4πD．32π12．（5分）已知函数f（x）=|2x+1+|在[﹣，3]上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．[0，1]B．[﹣1，1] C．[﹣1，2] D．（﹣∞，2]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）设（i为虚数单位），则=．14．（5分）已知向量，且，则=．15．（5分）（2016•连江县校级模拟）已知抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离为5，则△PFO的面积为．16．（5分）（2015秋•云南校级月考）函数f（x）=sin2x在[﹣π，π]内满足的n的最大值是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2016•临汾一模）某市根据地理位置划分成了南北两区，为调查该市的一种经济作物A（下简称A作物）的生长状况，用简单随机抽样方法从该市调查了500处A作物”，0代表“不良好，但仍有收成”，﹣1代表“不良好，绝收”．（Ⅰ）估计该市空气质量差的A作物种植点中，不绝收的种植点所占的比例；（Ⅱ）能否有99%的把握认为“该市A作物的种植点是否绝收与所在地域有关”？（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该市A作物的种植点中，绝收种植点的比例？并说明理由．18．（12分）（2014•广东校级模拟）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AB=1，BC=2，∠ABC=60°，E为BC的中点，AA1⊥平面ABCD．（1）证明：平面A1AE⊥平面A1DE；（2）若DE=A1E，试求异面直线AE与A1D所成角的余弦值．19．（12分）（2016•临汾一模）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=（λ+1）S n+1（n ∈N*，λ≠﹣2），且3a1，4a2，a3+13成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足a n b n=log4a n+1，求数列{b n}的前n项和T n．20．（12分）（2016春•湖北月考）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P 与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（I）求C的方程．（Ⅱ）若直线y=k（x﹣1）与曲线C交于R，S两点，问是否在x轴上存在一点T，使得当k变动时总有∠OTS=∠OTR？若存在，请说明理由．21．（12分）（2016•新余校级一模）已知函数f（x）=（其中k∈R，e是自然对数的底数），f′（x）为f（x）导函数．（Ⅰ）若k=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f′（1）=0，试证明：对任意x＞0，f′（x）＜恒成立．选修4-1：几何证明与选讲22．（10分）（2016•临汾一模）如图，在⊙O中，弦AF交直径CD于点M，弦的延长线交CD的延长线于点E，M、N分别是AF、AB的中点．（Ⅰ）求证：OE•ME=NE•AE；（Ⅱ）若，求∠E的大小．选修4-4：坐标系与参数方程23．（2016•临汾一模）在平面直角坐标系xOy中，曲线C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，以O 为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ=（p∈R）．（1）求曲线C的参数方程及直线l的直角坐标方程；（2）设曲线C与直线l相交于点A、B，若点P为曲线C上一动点（异于点A、B），求△PAB面积的最大值．选修4-5：不等式选讲24．（2016•临汾一模）已知f（x）=|x﹣3|，g（x）=|x﹣k|（其中k≥2）．（Ⅰ）若k=4，求f（x）+g（x）＜9的解集；（Ⅱ）若∀x∈[1，2]，不等式f（x）﹣g（x）≥k﹣x恒成立，求实数k的值．2016年全国统一高考数学模拟试卷（文科）（新课标I）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2016•临汾一模）设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，4}，B={1，3，5}，则下列Venn图中阴影部分表示集合{3，5}的是（）A．B．C．D．【分析】结合已知条件即可求解．观察Venn图，得出图中阴影部分表示的集合，【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，4}，∴（∁A）={3，5，6}，∵B={1，3，5}，∴B∩（∁A）={3，5}．故选：B．【点评】本小题主要考查Venn图表达集合的关系及运算、Venn图的应用等基础知识，考查数形结合思想．属于基础题．2．（5分）（2016•宜宾模拟）若数据x1，x2，x3，…，x n的平均数为=5，方差σ2=2，则数据3x1+1，3x2+1，3x3+1，…，3x n+1的平均数和方差分别为（）A．5，2 B．16，2 C．16，18 D．16，9【分析】由平均数和方差的性质得数据3x1+1，3x2+1，3x3+1，…，3x n+1的平均数为，方差为32•σ2．【解答】解：∵x1，x2，x3，…，x n的平均数为5，∴=5，∴+1=3×5+1=16，∵x1，x2，x3，…，x n的方差为2，∴3x1+1，3x2+1，3x3+1，…，3x n+1的方差是32×2=18．故选：C．【点评】本题考查一组数据的平均数、方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平均数、方差性质的合理运用．3．（5分）（2015•西城区二模）“m＞3”是“曲线mx2﹣（m﹣2）y2=1为双曲线”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合双曲线的定义进行判断即可．【解答】解：若曲线mx2﹣（m﹣2）y2=1为双曲线，则对应的标准方程为，则＞0，即m（m﹣2）＞0，解得m＞2或m＜0，故“m＞3”是“曲线mx2﹣（m﹣2）y2=1为双曲线”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用双曲线的定义求出m的等价条件是解决本题的关键．4．（5分）（2016春•湖北月考）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A．24里B．48里C．96里D．192里【分析】由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，由求和公式可得首项，可得答案．【解答】解：由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，由题意和等比数列的求和公式可得=378，解得a1=192，∴第此人二天走192×=96步故选：C【点评】本题考查等比数列的求和公式，求出数列的首项是解决问题的关键，属基础题．5．（5分）（2016•临汾一模）已知双曲线C的渐近线方程为3x±2y=0，且焦点在x轴上，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．【分析】设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），求得渐近线方程，由题意可得=，运用点到直线的距离公式，解方程可得a=4，b=6，进而得到双曲线的方程．【解答】解：设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），可得渐近线方程为y=±x，由题意可得=，设一个焦点为（c，0），可得=6，可得c=2，即a2+b2=52，解得a=4，b=9，则双曲线的方程为﹣=1．故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程的求法，注意运用待定系数法，考查渐近线方程和点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题．6．（5分）（2016春•荆州校级月考）设曲线y=sinx（a∈R）上任一点（x，y）处切线斜率为g（x），则函数y=x2g（x）的部分图象可以为（）A．B． C．D．【分析】求导y′=cosx，从而可得y=x2g（x）=x2cosx，从而判断．【解答】解：∵y=sinx，∴y′=cosx，由导数的几何意义知，g（x）=cosx，故y=x2g（x）=x2cosx，故函数y=x2g（x）是偶函数，故排除A，D；又∵当x=0时，y=0，故排除C，故选B．【点评】本题考查了导数的运算及导数的几何意义的应用，同时考查了数形结合的思想应用．7．（5分）（2016•临汾一模）执行如图的程序，若输出的值为2，则输入的值构成的集合是（）A．{2}B．{1，2，﹣1，﹣2} C．{1，﹣1} D．{2，﹣2}【分析】由框图知程序功能是计算并输出y=的值，由题意分类讨论即可得解．【解答】解：由框图知程序功能是计算并输出y=的值，当x＞0时，令x2﹣x=2，解得x=2或﹣1（舍去）；当x＜0时，令x2+x=2，解得x=﹣2或1（舍去）；故输入的值构成的集合是：{﹣2，2}．故选：D．【点评】本题考查了程序框图中的条件结构，条件结构的特点是，算法的流程根据条件是否成立有不同的流向，算法不循环执行，属于基础题．8．（5分）（2011•武昌区模拟）圆x2+y2﹣2x+6y+5a=0关于直线y=x+2b成轴对称图形，则a ﹣b的取值范围是（）A．（﹣∞，4）B．（﹣∞，0）C．（﹣4，+∞）D．（4，+∞）【分析】由题意知，圆心在直线上，解出b，再利用圆的半径大于0，解出a＜2，从而利用不等式的性质求出a﹣b的取值范围．【解答】解：∵圆x2+y2﹣2x+6y+5a=0关于直线y=x+2b成轴对称图形，∴圆心（1，﹣3）在直线y=x+2b上，故﹣3=1+2b，∴b=﹣2．对于圆x2+y2﹣2x+6y+5a=0，有4+36﹣20a＞0，∴a＜2，a﹣b=a+2＜4，故选A．【点评】本题考查圆关于直线对称的条件是圆心在直线上，以及圆的半径必须大于0．9．（5分）（2016•临汾一模）如图，在平面四边形ABCD中，AB=1，，，∠ABC=120°，∠DAB=75°，则CD=（）A．B． C． D．【分析】分别过C，D作AB的垂线DE，CF，则通过计算可得四边形DEFC为矩形，于是CD=EF=AB﹣AE+BF．【解答】解：过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥AB交AB延长线于F，则DE∥CF，∠CBF=60°．DE=ADsinA==，CF=BCsin∠CBF=（）×=．∴四边形DEFC是矩形．∴CD=EF=AB﹣AE+BF．∵AE=ADcosA==，BF=BCcos∠CBF=（）×=．∴CD=1﹣+=．故选：A．【点评】本题考查了解三角形，属于基础题．10．（5分）（2015秋•海淀区期末）若x，y满足，则z=y﹣2|x|的最大值为（）A．﹣8 B．﹣4 C．1 D．2【分析】由约束条件作出可行域，分类化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，当x≥0时，可行域为四边形OACD及其内部区域，A点是目标函数取得最大值的点；当x≤0时，可行域为三角形OAB及其内部区域，A点是目标函数取得最大值的点．∴z=y﹣2|x|的最大值为2．故选：D．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．11．（5分）（2016春•宜昌期中）某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的外接球的体积是（）A．12πB．48πC．4πD．32π【分析】由三视图知该几何体为棱锥，其中SC⊥平面ABCD，此四面体的外接球为正方体的外接球，正方体的对角线长为2，外接球的半径为，即可求出此四面体的外接球的体积．【解答】解：由三视图知该几何体为棱锥S﹣ABD，其中SC⊥平面ABCD，此四面体的外接球为正方体的外接球，正方体的对角线长为2，外接球的半径为所以四面体的外接球的体积=4．故选：C．【点评】本题考查三视图，考查四面体的外接球的体积，确定三视图对应直观图的形状是关键．12．（5分）已知函数f（x）=|2x+1+|在[﹣，3]上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．[0，1]B．[﹣1，1] C．[﹣1，2] D．（﹣∞，2]【分析】为去绝对值号，讨论a：（1）a＜0时，根据指数函数和增函数的定义便可判断函数在[，3]上单调递增，从而需满足g（﹣）≥0，这样可得到﹣1≤a ＜0；（2）a=0时，显然满足条件；（3）a＞0时，得到f（x）=，并可判断x=时取等号，从而需满足，可解出该不等式，最后便可得出实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a＜0时，函数在上单调递增；∴；∴﹣1≤a＜0；（2）当a=0时，f（x）=2x+1在上单调递增；（3）当a＞0时，，当且仅当，即x=时等号成立；∴要使f（x）在[]上单调递增，则；即0＜a≤1；综上得，实数a的取值范围为[﹣1，1]．故选B．【点评】考查含绝对值函数的处理方法：取绝对值号，以及指数函数的单调性，增函数的定义，基本不等式的运用，清楚基本不等式等号成立的条件，指数式和对数式的互化，以及对数函数的单调性．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）设（i为虚数单位），则=2﹣i．【分析】直接由复数求模公式化简复数z，则答案可求．【解答】解：由=，则=2﹣i．故答案为：2﹣i．【点评】本题考查了复数代数形式的混合运算，考查了复数求模公式的运用，是基础题．14．（5分）已知向量，且，则=5．【分析】根据平面向量的坐标运算与数量积运算，求出x的值，再求的值．【解答】解：向量，且，∴•=x﹣2=0，解得x=2，∴﹣2=（﹣3，4）；==5．故答案为：5．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算与数量积运算的应用问题，也考查了向量模长的计算问题，是基础题目．15．（5分）（2016•连江县校级模拟）已知抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离为5，则△PFO的面积为2．【分析】利用抛物线的定义，求出P的坐标，然后求出三角形的面积．【解答】解：由抛物线定义，|PF|=x P+1=5，所以x P=4，|y P|=4，所以，△PFO的面积S==．故答案为：2．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力．16．（5分）（2015秋•云南校级月考）函数f（x）=sin2x在[﹣π，π]内满足的n的最大值是4．【分析】由题意可得，本题即求函数f（x）=sin2x与y=kx的图象的交点个数，但不含原点，数形结合得出结论．【解答】解：满足的x的个数n，即为函数f（x）=sin2x与y=kx的图象的交点个数，但不含原点，如图所示，存在k∈（﹣∞，0），使得n取到最大值4，故答案为：4．【点评】本题主要考查正弦函数的图象的特征，体现了转化的数学思想，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2016•临汾一模）某市根据地理位置划分成了南北两区，为调查该市的一种经济作物A（下简称A作物）的生长状况，用简单随机抽样方法从该市调查了500处A作物其中生长指数的含义是：2代表“生长良好”，1代表“生长基本良好”，0代表“不良好，但仍有收成”，﹣1代表“不良好，绝收”．（Ⅰ）估计该市空气质量差的A作物种植点中，不绝收的种植点所占的比例；（Ⅱ）能否有99%的把握认为“该市A作物的种植点是否绝收与所在地域有关”？（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该市A作物的种植点中，绝收种植点的比例？并说明理由．．【分析】（I）根据表格数据计算；（II）采用独立检验方法列联表计算K2，与6.635比较大小得出结论；（III）根据绝收比例可以看出采用分层抽样比较合理．【解答】解：（1）调查的500处种植点中共有120处空气质量差，其中不绝收的共有110处，∴空气质量差的A作物种植点中，不绝收的种植点所占的比例．∴K2=≈9.967．∵9.967＞6.635，∴有99%的把握认为“该市A作物的种植点是否绝收与所在地域有关“．（3）由（2）的结论可知该市A作物的种植点是否绝收与所在地域有关，因此在调查时，先确定该市南北种植比例，再把种植区分南北两层采用分层抽样比采用简单随机抽样方法好．【点评】本题考查了独立性检验的体积思想，属于基础题．18．（12分）（2014•广东校级模拟）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AB=1，BC=2，∠ABC=60°，E为BC的中点，AA1⊥平面ABCD．（1）证明：平面A1AE⊥平面A1DE；（2）若DE=A1E，试求异面直线AE与A1D所成角的余弦值．【分析】（1）根据题意，得△ABE是正三角形，∠AEB=60°，等腰△CDE中∠CED=（180°﹣∠ECD）=30°，所以∠AED=90°，得到DE⊥AE，结合DE⊥AA1，得DE⊥平面A1AE，从而得到平面A1AE⊥平面平面A1DE．（2）取BB1的中点F，连接EF、AF，连接B1C．证出EF∥A1D，可得∠AEF（或其补角）是异面直线AE与A1D所成的角．利用勾股定理和三角形中位线定理，算出△AEF各边的长，再用余弦定理可算出异面直线AE与A1D所成角的余弦值．【解答】解：（1）依题意，BE=EC=BC=AB=CD…（1分），∴△ABE是正三角形，∠AEB=60°…（2分），又∵△CDE中，∠CED=∠CDE=（180°﹣∠ECD）=30°…（3分）∴∠AED=180°﹣∠CED﹣∠AEB=90°，即DE⊥AE…（4分），∵AA1⊥平面ABCD，DE⊆平面ABCD，∴DE⊥AA1．…（5分），∵AA1∩AE=A，∴DE⊥平面A1AE…（6分），∵DE⊆平面A1DE，∴平面A1AE⊥平面A1DE．…（7分）．（2）取BB1的中点F，连接EF、AF，连接B1C，…（8分）∵△BB1C中，EF是中位线，∴EF∥B1C∵A1B1∥AB∥CD，A1B1=AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，可得B1C∥A1D∴EF∥A1D…（9分），可得∠AEF（或其补角）是异面直线AE与A1D所成的角…（10分）．∵△CDE中，DE=CD==A1E=，AE=AB=1∴A1A=，由此可得BF=，AF=EF==…（12分），∴cos∠AEF==，即异面直线AE与A1D所成角的余弦值为…（14分）【点评】本题在直平行六面体中，求证面面垂直并求异面直线所成角余弦，着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和异面直线所成角的求法等知识，属于中档题．19．（12分）（2016•临汾一模）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=（λ+1）S n+1（n ∈N*，λ≠﹣2），且3a1，4a2，a3+13成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足a n b n=log4a n+1，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）讨论可判断出数列{a n}是以1为首项，λ+2为公比的等比数列，从而结合8a2=3a1+a3+13可得λ2﹣4λ+4=0，从而解得；（Ⅱ）化简可得b n=，从而可得T n=1+++…+，T n=+++…+，利用错位相减法求其前n项和即可．【解答】解：（Ⅰ）∵a n+1=（λ+1）S n+1，∴当n≥2时，a n=（λ+1）S n﹣1+1，∴a n+1﹣a n=（λ+1）a n，即a n+1=（λ+2）a n，又∵λ≠﹣2，∴数列{a n}是以1为首项，λ+2为公比的等比数列，故a2=λ+2，a3=（λ+2）2，∵3a1，4a2，a3+13成等差数列，∴8a2=3a1+a3+13，代入化简可得，λ2﹣4λ+4=0，故λ=2，故a n=4n﹣1；（Ⅱ）∵a n b n=log4a n+1=n，∴b n=，故T n=1+++…+，T n=+++…+，故T n=1+++…+﹣=（1﹣）﹣，故T n=﹣．【点评】本题考查了等比数列与等差数列的性质的判断与应用，同时考查了错位相减法的应用．20．（12分）（2016春•湖北月考）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P 与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（I）求C的方程．（Ⅱ）若直线y=k（x﹣1）与曲线C交于R，S两点，问是否在x轴上存在一点T，使得当k变动时总有∠OTS=∠OTR？若存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）求出圆M和圆N的圆心及半径，设圆P的圆心为P（x，y），半径为R．由圆P与圆M外切并与圆N内切，得到曲线C是以M，N为左右焦点，长半轴长为2，短半轴为的椭圆（左顶点除外），由此能求出C的方程．（Ⅱ）假设存在T（t，0）满足∠OTS=∠OTR．联立得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出存在T（4，0），使得当k变化时，总有∠OTS=∠OTR．【解答】解：（Ⅰ）圆M：（x+1）2+y2=1的圆心为M（﹣1，0），半径r1=1，圆N的圆心N（1，0），半径r2=3．设圆P的圆心为P（x，y），半径为R．∵圆P与圆M外切并与圆N内切，∴|PM|+|PN|=R+r1+r2﹣R=r1+r2=4．…（3分）由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左右焦点，长半轴长为2，短半轴为的椭圆（左顶点除外），∴C的方程为．…（5分）（Ⅱ）假设存在T（t，0）满足∠OTS=∠OTR．设R（x1，y1），S（x2，y2）联立得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由韦达定理有①，其中△＞0恒成立，…（7分）由∠OTS=∠OTR（由题意TS，TR的斜率存在），故k TS+k TR=0，即②，由R，S两点在直线y=k（x﹣1）上，故y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1），代入②得，即有2x1x2﹣（t+1）（x1+x2）+2t=0③…（9分）将①代入③即有：④，要使得④与k的取值无关，当且仅当“t=4“时成立，综上所述存在T（4，0），使得当k变化时，总有∠OTS=∠OTR．…（12分）【点评】本题考查曲线方的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆定义、根的判别式、韦达定理的合理运用．21．（12分）（2016•新余校级一模）已知函数f（x）=（其中k∈R，e是自然对数的底数），f′（x）为f（x）导函数．（Ⅰ）若k=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f′（1）=0，试证明：对任意x＞0，f′（x）＜恒成立．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），代入切线方程即可；（Ⅱ）求出k的值，令g（x）=（x2+x）f'（x），问题等价于，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）由得，x∈（0，+∞），所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为：，而f（1）=，故切线方程是：y﹣=﹣（x﹣1），即：x+ey﹣3=0；（Ⅱ）证明：若f′（1）=0，解得：k=1，令g（x）=（x2+x）f'（x），所以，x∈（0，+∞），因此，对任意x＞0，g（x）＜e﹣2+1，等价于，由h（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，∞），得h'（x）=﹣lnx﹣2，x∈（0，+∞），（8分）因此，当x∈（0，e﹣2）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增；x∈（e﹣2，+∞）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，所以h（x）的最大值为h（e﹣2）=e﹣2+1，故1﹣x﹣xlnx≤e﹣2+1，（10分）设φ（x）=e x﹣（x+1），∵φ'（x）=e x﹣1，所以x∈（0，+∞）时，φ'（x）＞0，φ（x）单调递增，φ（x）＞φ（0）=0，故x∈（0，+∞）时，φ（x）=e x﹣（x+1）＞0，即，所以．因此，对任意x＞0，恒成立．（12分）【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．选修4-1：几何证明与选讲22．（10分）（2016•临汾一模）如图，在⊙O中，弦AF交直径CD于点M，弦的延长线交CD的延长线于点E，M、N分别是AF、AB的中点．（Ⅰ）求证：OE•ME=NE•AE；（Ⅱ）若，求∠E的大小．【分析】（1）通过证明△AME∽△ONE，即可推出结果．（2）利用（1）的结论，设OE=x，求解x，然后在直角三角形中求解即可．【解答】（1）证明：∵M、N分别是AF、AB的中点．∴∠AME=∠ONE=90°，又∵∠E=∠E，∴△AME∽△ONE，∴，∴OE•ME=NE•AE．（2）设OE=x，（x＞0），∵BE==，∴NE=2，AE=3，又∵OM=，∴x=2，即：（x﹣4）（2x+9）=0，∵x＞0，∴x=4，即OE=4，则在Rt△ONE中，cos∠E===∴∠E=30°．【点评】本题考查三角形相似的判断与应用，直角三角形的解法，考查计算能力．选修4-4：坐标系与参数方程23．（2016•临汾一模）在平面直角坐标系xOy中，曲线C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ=（p∈R）．（1）求曲线C的参数方程及直线l的直角坐标方程；（2）设曲线C与直线l相交于点A、B，若点P为曲线C上一动点（异于点A、B），求△PAB面积的最大值．【分析】（1）令x﹣2=cosα，y﹣3=sinα即可得出曲线C的参数方程，直线l过原点，且斜率为tanθ，利用点斜式方程写出直线l的方程；（2）解方程组求出A，B坐标，得到AB，则P到AB的最大距离为C到AB的距离与圆C 的半径的和．【解答】解：（1）令x﹣2=cosα，y﹣3=sinα，则x=2+cosα，y=3+sinα，∴曲线C的参数方程为（α为参数）．直线l的斜率k=tanθ=1，∴直线l的直角坐标方程为y=x．（2）解方程组得或．设A（2，2），B（3，3）．则|AB|==．∵圆C的圆心为C（2，3），半径r=1，∴C到直线AB的距离为=．∴P到直线AB 的最大距离d=+1．∴△PAB面积的最大值为=．【点评】本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的互化，距离公式的应用，属于中档题．选修4-5：不等式选讲24．（2016•临汾一模）已知f（x）=|x﹣3|，g（x）=|x﹣k|（其中k≥2）．（Ⅰ）若k=4，求f（x）+g（x）＜9的解集；（Ⅱ）若∀x∈[1，2]，不等式f（x）﹣g（x）≥k﹣x恒成立，求实数k的值．【分析】（Ⅰ）将k=4代入g（x），通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）问题等价于∀x∈[1，2]，x+3≥2k恒成立，根据x的范围求出k的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）k=4时，f（x）+g（x）＜9，即|x﹣3|+|x﹣4|＜9，即或或，解得：﹣1＜x＜3或3≤x≤4或4＜x＜8，故原不等式的解集是{x|﹣1＜x＜8}；（Ⅱ）∵k∵≥2且x∈[1，2]，∴x﹣3＜0，x﹣k＜0，∴f（x）=|x﹣3|=3﹣x，g（x）=|x﹣k|=k﹣x，则∀x∈[1，2]，不等式f（x）﹣g（x）≥k﹣x恒成立，等价于∀x∈[1，2]，x+3≥2k恒成立，∴4≥2k，即k≤2，又∵k≥2，∴k=2．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．。
福建省连城一中2016届高三数学模拟试卷理(新)
2015—2016学年高三数学(理)模拟试题考试时间：120分钟 试卷满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合2{5,35}M a a =-+，{1,3}N =，若M N ⋂≠∅，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．2C ．4D ．1或22．复数321iz i i =+-（i 为虚数单位）的共轭复数为（ ） A ．12i +B ．1i -C ．1i -D ．12i -3.等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( ).8A .10B .12C .14D4．已知,x y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则3z x y =-的最大值是（ ）（A ）0 （B ）2 （C ）4 （D ）65．已知圆O ：224x y +=上到直线:l x y a +=的距离等于1的点至少有2个，则a 的取值范围为（ ）A．(- B．(,)-∞-⋃+∞ C．(- D．[-6．甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利70周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有（ ）种. A ．12 B ．24 C.48 D.1207．已知向量1(sin ,)2m A =与向量(3,sin )n A A = 共线，其中A 是ABC ∆的内角，则角A 的大小为（ ） A.6πB. 4πC. 3πD. 2π8．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是（ ） A ．1007 B ．2015 C ．2016 D ．3024第８题侧视图正视图1O ππ3π211第９题 第10题9．设0>ω，函数)sin(ϕω+=x y )(πϕπ<<-的图象向左平移3π个单位后，得到下面的图像，则ϕω,的值为（ ）A ．3,1πϕω-== B ．3,2πϕω-==C ．32,1πϕω== D.32,2πϕω== 10．已知一个几何体的三视图如右图所示， 则该几何体的体积为（ ）A.7B.173C. 273D.811．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右两个焦点分别为B A F F ,,,21为其左、右顶点，以线段21F F 为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M ，且30=∠MAB ,则双曲线的离心率为（ ） A.221 B . 321 C. 319 D. 21912．已知数列{}n a 满足：*111,()2nn n a a a n N a +==∈+．若*111(2)(1)(),n nb n n N b a λλ+=-+∈=- ，且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（ ） A ．23λ>B ．32λ>C ．23λ<D ．32λ< 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知02sin a xdx π=-⎰，则二项式52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为 ．14．已知向量(a = ，向量()3,b m = ．若向量b 在向量a方向上的投影为3，则实数m＝ ．15．已知正四棱锥S-ABCD 的侧棱长为2，侧面积为152，则其外接球的体积为_____16.已知函数()()2(),2,12x f x x ⎧≥⎪=⎨≤<⎪⎩ 若方程()1f x ax =+恰有一个解时，则实数a 的取值范围 .1或2的1X ，O相切，并与椭圆C 交于不同的两点,A B ，若23-=⋅→→OB OA ，求k 的值.21．（本小题满分12分）设函数2()ln (32)f x x a x x =+-+，其中a R ∈． （Ⅰ）讨论()f x 极值点的个数； （Ⅱ）设12a =-，函数()2()(3)2g x f x x λ=-++，若1x ，2x （12x x ≠）满足12()()g x g x =且1202x x x +=，证明：0'()0g x ≠．请考生在第22、23、24题中任选一题做答.答题时请写清题号并将相应信息点涂黑. 22．（10分）【选修4-1：几何证明选讲】如图，正方形ABCD 边长为2，以D 为圆心、DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的半圆O 交于点F ，连结CF 并延长交AB 于点E ． （Ⅰ）求证：AE EB =； （Ⅱ）求EF FC ⋅的值.23．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，曲线221:(2)(2)8C x y -+-=，曲线2222:(04)C x y r r +=<<，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线θα=(0)2πα<<与曲线1C 交于,O P 两点，与曲线2C 交于,O N 两点，且||PN 最大值为（1）将曲线1C 与曲线2C 化成极坐标方程，并求r 的值； （2）射线4πθα=+与曲线1C 交于,O Q 两点，与曲线2C 交于,O M 两点，求四边形MNPQ 面积的最大值．24．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数122)(--+=x x x f ． （Ⅰ）求不等式2)(-≥x f 的解集；（Ⅱ）对任意[)+∞∈,a x ，都有)(x f a x -≤成立，求实数a 的取值范围.2015—2016学年高三数学(理)试卷参考答案一．选择题：1-5 ＤＡＣＤＡ 6-10 ＢＣＤＤＡ 11-12 ＢＣ 二．填空题：13．640- 14 15．332π 16.1(0,)2⎤⎥⎝⎦三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17． 解：（Ⅰ）311cos 22cos cos 2-=-==B B D ………………………2分因为()0,D π∠∈，所以sin 3D =，…………………………4分所以△ACD 的面积1sin 2S AD CD D =⋅⋅⋅=分 （Ⅱ）解法一：在△ACD 中，12cos 2222=⋅⋅-+=D DC AD DC AD AC ，所以AC =分 在△ABC 中，12cos 2222=⋅⋅-+=B BC AB BC AB AC ……………10分把已知条件代入并化简得：042=-AB AB 因为0AB ≠，所以4AB = ……12分 解法二：在△ACD 中，在△ACD 中，12cos 2222=⋅⋅-+=D DC AD DC AD AC ，所以AC =分因为BC =sin sin AC ABB ACB =∠，所以()sin 2AB B π=-，………10分 得4AB =．…………………………………………………………………………12分18．（1）因为样本容量60，关注栏目1与关注栏目2的人数比为2:1，在关注栏目1中的家长与学生人数比为5:3，所以25,5,15,15a b c d ====，列联表如图2260(2515515)7.5 6.63530302040K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以能有99%的把握认为认为“更关注栏目1或栏目2与群体身份有关系”。
福建省龙岩市漳平一中、连城一中2016-2017学年高一上
2016-2017学年福建省龙岩市漳平一中、连城一中高一（上）第二次联考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={y|y=2x﹣1，x∈R}，B={x|x﹣x2＞0}，则A∪B=（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，1）C．（﹣1，0）D．（0，1）2．棱长都是2的三棱锥的表面积为（）A．B．2 C．3 D．43．已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．B． C．2πD．4π4．要使函数+m的图象不经过第一象限，则m的取值范围是（）A．m≥﹣1 B．m≤﹣1 C．m≤﹣2 D．m≥﹣25．过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为（）A．1：2：3 B．1：3：5 C．1：2：4 D．1：3：96．如图，已知四边形ABCD的直观图是一个边长为1的正方形，则原图形的面积为（）A．B．6 C．8 D．4+27．为了求函数f（x）=2x+3x﹣7的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x和函数f（x）的部分对应值，如下表所示：则方程2x+3x=7的近似解（精确到0.1）可取为（）A．1.32 B．1.39 C．1.4 D．1.38．设函数f（x）=若f（m）＞1，则m的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（﹣，1） C．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣）9．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE、DE的中点．将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为（）A．90°B．60°C．45°D．0°10．设a＞1，函数f（x）=log a（a2x﹣2a x﹣2），则使f（x）＞0的x的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，log a3）C．（0，+∞）D．（log a3，+∞）11．已知x，实数a、b、c满足f（a）•f（b）•f（c）＜0，且0＜a＜b＜c，若实数x0是函数f（x）的一个零点，那么下列不等式中，不可能成立的是（）A．x0＜a B．x0＞b C．x0＜c D．x0＞c12．已知某圆锥的侧面积是其底面积的2倍，圆锥的外接球的表面积为16π，则该圆锥的体积为（）A．πB．2πC．3πD．4π二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应位置上）13．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体的体积为．14．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF．以上四个命题中，正确命题的序号是．15．定义：区间[c，d]（c＜d）的长度为d﹣c．已知函数y=|log2x|的定义域为[a，b]，值域为[0，2]，则区间[a，b]长度的最大值与最小值的差等于．16．若函数+1仅有一个零点，则实数m 的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，计70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知f（x）是一次函数，且f（0）=1，f（1）=3，（1）求函数f（x）的解析式．（2）若g（x）=2f（x），且g（m2﹣2）＜g（m），求m的取值范围．18．设函数f（x）=lg（x2﹣x﹣6）的定义域为集合A，函数g（x）=的定义域为集合B．（1）求A∩B；（2）若C={x|m+1＜x＜2m﹣1}，C⊆B，求实数m的取值范围．19．底面半径为4，高为的圆锥有一个内接的正四棱柱（底面是正方形，侧棱与底面垂直的四棱柱）．（1）设正四棱柱的底面边长为x，试将棱柱的高h表示成x的函数；（2）当x取何值时，此正四棱柱的表面积最大，并求出最大值．20．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，∠ABC=，D是棱AC的中点，且AB=BC=BB1=4．（Ⅰ）求证：AB1∥平面BC1D；（Ⅱ）求异面直线AB1与BC1所成的角．21．已知函数f（x2﹣1）=log m．（1）求f（x）的解析式并判断f（x）的奇偶性；（2）解关于x的不等式f（x）≤0．22．已知函数f（x）=lg（x2+tx+1），（t为常数，且t＞﹣2）（1）当x∈[0，2]时，求f（x）的最小值（用t表示）；（2）是否存在不同的实数a，b，使得f（a）=lga，f（b）=lgb，并且a，b∈（0，2），若存在，求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由．2016-2017学年福建省龙岩市漳平一中、连城一中高一（上）第二次联考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={y|y=2x﹣1，x∈R}，B={x|x﹣x2＞0}，则A∪B=（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，1）C．（﹣1，0）D．（0，1）【考点】并集及其运算．【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∪B．【解答】解：∵集合A={y|y=2x﹣1，x∈R}={y|y＞﹣1}，B={x|x﹣x2＞0}={x|0＜x＜1}，∴A∪B={y|y＞﹣1}=（﹣1，+∞）．故选：A．2．棱长都是2的三棱锥的表面积为（）A．B．2 C．3 D．4【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】棱长都是2的三棱锥的各个面都为等边三角形，利用棱长是2，求出一个面的面积乘以4可得答案．【解答】解：棱长都是2的三棱锥的各个面都为等边三角形，且等边三角形的边长为2，∴每个面的面积都是×2×2×=，∴表面积S=．故选：D．3．已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．B． C．2πD．4π【考点】球的体积和表面积．【分析】画出图形，正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，求出PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积即可．【解答】解：正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，PO=AO=R，PO1=1，OO1=R﹣1，或OO1=1﹣R（此时O在PO1的延长线上），在Rt△AO1O中，R2=1+（R﹣1）2得R=1，∴球的表面积S=4πR2=4π．故选：D．4．要使函数+m的图象不经过第一象限，则m的取值范围是（）A．m≥﹣1 B．m≤﹣1 C．m≤﹣2 D．m≥﹣2【考点】指数函数的图象变换．【分析】根据函数+m的图象经过定点（0，1+m），且函数y在R上单调递减，可得1+m≤0，求得m的范围【解答】解：∵函数+m的图象不经过第一象限，而函数+m的图象经过定点（0，1+m），且函数y在R上单调递减，则1+m≤0，求得m≤﹣1，故选：B．5．过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为（）A．1：2：3 B．1：3：5 C．1：2：4 D．1：3：9【考点】棱锥的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】先从得到的三个圆锥入手，根据“过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面”，结合相似比：可知底面半径之比：r1：r2：r3=1：2：3，母线长之比：l1：l2：l3=1：2：3，侧面积之比：S1：S2：S3=1：4：9，从而得到结论．【解答】解：由此可得到三个圆锥，根据题意则有：底面半径之比：r1：r2：r3=1：2：3，母线长之比：l1：l2：l3=1：2：3，侧面积之比：S1：S2：S3=1：4：9，所以三部分侧面面积之比：S1：（S2﹣S1）：（S3﹣S2）=1：3：5故选B6．如图，已知四边形ABCD的直观图是一个边长为1的正方形，则原图形的面积为（）A．B．6 C．8 D．4+2【考点】平面图形的直观图．【分析】根据四边形ABCD的直观图是一个边长为1的正方形，可得原图形为平行四边形，一组对边长为1，高为2，即可求出原图形的面积．【解答】解：∵四边形ABCD的直观图是一个边长为1的正方形，∴原图形为平行四边形，一组对边长为1，高为2，∴原图形的面积为2．故选：A．7．为了求函数f（x）=2x+3x﹣7的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x和函数f（x）的部分对应值，如下表所示：则方程2x+3x=7的近似解（精确到0.1）可取为（）A．1.32 B．1.39 C．1.4 D．1.3【考点】二分法求方程的近似解．【分析】由图表可知，函数f（x）=2x+3x﹣7的零点介于1.375到1.4375之间，方程2x+3x=7的近似解也介于1.375到1.4375之间，结合精确度和选项可得答案．【解答】解：由图表可知，函数f（x）=2x+3x﹣7的零点介于1.375到1.4375之间，故方程2x+3x=7的近似解也介于1.375到1.4375之间，由于精确到0.1，结合选项可知1.4符合题意，故选C8．设函数f（x）=若f（m）＞1，则m的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（﹣，1） C．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣）【考点】其他不等式的解法．【分析】由题意可得，①，或②，分别求得①②的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：∵函数f（x）=，f（m）＞1，∴①，或②．解①求得m＞1，解②求得m＜﹣，故m的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（1，+∞），故选：C．9．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE、DE的中点．将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为（）A．90°B．60°C．45°D．0°【考点】异面直线及其所成的角．【分析】将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，I，J分别为BE、DE的中点，则IJ∥侧棱，故GH与IJ所成角与侧棱与GH所成的角相等．AD为折成三棱锥的侧棱，则GH与IJ所成角的度数为60°．【解答】解：将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，I、J分别为BE、DE的中点，则IJ∥侧棱，故GH与IJ所成角与侧棱与GH所成的角相等；AD为折成三棱锥的侧棱，因为∠AHG=60°，故GH与IJ所成角的度数为60°，故选B．10．设a＞1，函数f（x）=log a（a2x﹣2a x﹣2），则使f（x）＞0的x的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，log a3）C．（0，+∞）D．（log a3，+∞）【考点】指数函数的图象与性质．【分析】令t=a x，有t＞0，则y=log a（t2﹣2t﹣2），若使f（x）＞0，由对数函数的性质，可转化为t2﹣2t﹣2＞1，解可得t的取值范围，由指数函数的性质，分析可得答案．【解答】解：令t=a x，有t＞0，则y=log a（t2﹣2t﹣2），若使f（x）＞0，即log a（t2﹣2t﹣2）＞0，由对数函数的性质，a＞1，y=log a x是增函数，故有t2﹣2t﹣2＞1，解可得，t＞3或t＜﹣1，又因为t=a x，有t＞0，故其解为t＞3，即a x＞3，又有a＞1，由指数函数的图象，可得x的取值范围是（log a3，+∞），故选：D．11．已知x，实数a、b、c满足f（a）•f（b）•f（c）＜0，且0＜a＜b＜c，若实数x0是函数f（x）的一个零点，那么下列不等式中，不可能成立的是（）A．x0＜a B．x0＞b C．x0＜c D．x0＞c【考点】函数零点的判定定理．【分析】利用函数与方程之间的关系，结合根的存在性定理进行判断即可．【解答】解：∵f（x）=3x﹣log x，在定义域上是增函数，分别作出函数y=3x，y=的图象如图：∵x0是函数f（x）的一个零点，由图象可知，当x＜x0时，f（x）＜0，当x＜x0时，f（x）＜0．因为0＜a＜b＜c，且f（a）•f（b）•f（c）＜0，所以f（a）＜0，所以由根的存在性定理可知，x0＜a不成立，故选：A．12．已知某圆锥的侧面积是其底面积的2倍，圆锥的外接球的表面积为16π，则该圆锥的体积为（）A．πB．2πC．3πD．4π【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】设圆锥的底面半径是r，母线长为l，根据条件和侧面积公式求出l=2r，判断外接球的球心位置，由球的表面积公式求出外接球的半径，再求出r和圆锥的高，代入椎体的体积公式求出该圆锥的体积．【解答】解：设圆锥的底面半径是r，母线长为l，∵圆锥的侧面积是其底面积的2倍，∴πrl=2πr2，解得l=2r，则圆锥的轴截面是正三角形，∵圆锥的外接球的表面积为16π，则外接球的半径R=2，且外接球的球心是轴截面（正三角形）的外接圆的圆心即重心，三角形的高是r，∴=2，解得r=，则圆锥的高为3，∴该圆锥的体积V==3π，故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应位置上）13．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体的体积为．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】三视图复原的几何体是四棱锥，利用几何体的数据求解几何体的体积即可．【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是底面为边长为2的正方形，一条侧棱垂直底面正方形的顶点的四棱锥，并且棱锥的高为2，所以几何体的体积为：=．故答案为：．14．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF．以上四个命题中，正确命题的序号是①②③④．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】把正方体的平面展开图还原成正方体ABCA﹣EFMN，由此能求出结果．【解答】解：把正方体的平面展开图还原成正方体ABCA﹣EFMN，得：①BM∥AN，BM不包含于平面DE，AN⊂平面DE，∴BM∥平面DE，故①正确；②CN∥BE，CN不包含于平面AF，BE⊂平面AF，∴CN∥平面AF，故②正确；③∵BD∥FN，BM∥AN，BD∩BM=B，BD、BM⊂平面BDN，∴平面BDM∥平面AFN，故③正确；④∵BD∥FN，BE∥CN，BD∩BE=B，BD、BE⊂平面BDE，∴平面BDE∥平面NCF，故④正确．故答案为：①②③④．15．定义：区间[c，d]（c＜d）的长度为d﹣c．已知函数y=|log2x|的定义域为[a，b]，值域为[0，2]，则区间[a，b]长度的最大值与最小值的差等于3．【考点】二次函数的性质．【分析】先由函数值域求出函数定义域的取值范围，然后求出区间[a，b]的长度的最大值、最小值．【解答】解：令f（x）=|log2x|=2，可得x=或x=4，又因为f（1）=0，则最短区间[，1]，其长度为；则最长区间[，4]，其长度为，故区间[a，b]长度的最大值与最小值的差等于3，、．故答案为：3．16．若函数+1仅有一个零点，则实数m 的取值范围是m≤0或．【考点】函数零点的判定定理．【分析】令t=，则t＞0，y=mt2﹣t+1，若函数+1仅有一个零点，则mt2﹣t+1=0仅有一个正根，分类讨论，综合可得答案．【解答】解：令t=，则t＞0，y=mt2﹣t+1，若函数+1仅有一个零点，则mt2﹣t+1=0仅有一个正根，当m＜0时，mt2﹣t+1=0有两个异号的根，满足条件；当m=0时，﹣t+1=0有一个正根，满足条件；当m＞0时，若mt2﹣t+1=0仅有一个正根，则△=1﹣4m=0，解得：m=综上可得：m≤0或，故答案为：m≤0或三、解答题（本大题共6小题，计70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知f（x）是一次函数，且f（0）=1，f（1）=3，（1）求函数f（x）的解析式．（2）若g（x）=2f（x），且g（m2﹣2）＜g（m），求m的取值范围．【考点】复合函数的单调性；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明．【分析】（1）设f（x）=kx+b，由得：，解得函数f（x）的解析式．（2）g（x）=2f（x）=22x+1在R上单调递增，若g（m2﹣2）＜g（m），则m2﹣2＜m，解得m的取值范围．【解答】（本小题满分10分）解：（1）设f（x）=kx+b…由得：解得：…∴f（x）=2x+1…（2）g（x）=22x+1在R上单调递增…若g（m2﹣2）＜g（m），则m2﹣2＜m，解得：﹣1＜m＜2…18．设函数f（x）=lg（x2﹣x﹣6）的定义域为集合A，函数g（x）=的定义域为集合B．（1）求A∩B；（2）若C={x|m+1＜x＜2m﹣1}，C⊆B，求实数m的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；交集及其运算．【分析】（1）分别求出两个函数的定义域A，B，结合集合交集的定义，可得A ∩B；（2）若C={x|m+1＜x＜2m﹣1}，C⊆B，分C=∅和C≠∅两种情况，可得满足条件的实数m的取值范围．【解答】解：（1）由x2﹣x﹣6＞0得：x＜﹣2或x＞3，故函数f（x）=lg（x2﹣x﹣6）的定义域A={x|x＜﹣2或x＞3…由4﹣|x|≥0得：﹣4≤x≤4，函数g（x）=的定义域B={x|﹣4≤x≤4}…..，∴A∩B=[﹣4，﹣2）∪（3，4]…（2）若C=∅，则m+1≥2m﹣1得m≤2，C⊆B恒成立；…若C≠∅，m＞2时，要使C⊆B成立，则，解得．…综上，即实数m的取值范围是．…19．底面半径为4，高为的圆锥有一个内接的正四棱柱（底面是正方形，侧棱与底面垂直的四棱柱）．（1）设正四棱柱的底面边长为x，试将棱柱的高h表示成x的函数；（2）当x取何值时，此正四棱柱的表面积最大，并求出最大值．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】（1）根据比例关系式求出h关于x的解析式即可；（2）设该正四棱柱的表面积为y，得到关系式y=2x2+4xh，根据二次函数的性质求出y的最大值即可．【解答】解：（1）根据相似性可得：…解得：…（没范围扣1分）（2）设该正四棱柱的表面积为y．则有关系式y=2x2+4xh===…因为，所以当时，…故当正四棱柱的底面边长为时，此正四棱柱的表面积最大值为…20．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，∠ABC=，D是棱AC的中点，且AB=BC=BB1=4．（Ⅰ）求证：AB1∥平面BC1D；（Ⅱ）求异面直线AB1与BC1所成的角．【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）连结CB1交BC1于点O，侧棱A1A⊥底面ABC，O为B1C的中点，且D是棱AC的中点，可得AB1∥OD，利用线面平行的判定定理即可．（Ⅱ）AB1∥OD，可得∠DOB为异面直线AB1与BC1所成的角或其补角．解△OBD 即可求出异面直线AB1与BC1所成的角．【解答】解：（Ⅰ）连结CB1交BC1于点O，…侧棱A1A⊥底面ABC∴侧面BB1C1C是矩形，O为B1C的中点，且D是棱AC的中点，∴AB1∥OD，…∵OD平面BC1D，AB1⊄平面BC1D…∴AB1∥平面BC1D…（Ⅱ）AB1∥OD，∴∠DOB为异面直线AB1与BC1所成的角或其补角．，AB=BC=BB1=4，∴△OBD为等边三角形，∴∠DOB=60°，…∴异面直线AB1与BC1所成的角为600．…21．已知函数f（x2﹣1）=log m．（1）求f（x）的解析式并判断f（x）的奇偶性；（2）解关于x的不等式f（x）≤0．【考点】函数奇偶性的判断．【分析】（1）利用换元法以及函数奇偶性的定义即可求f（x）的解析式并判断f （x）的奇偶性；（2）利用对数函数的性质即可解不等式f（x）≤0．【解答】解：（1）设x2﹣1=t（t≥﹣1），则，∴，设x∈（﹣1，1），则﹣x∈（﹣1，1），∴，∴f（x）为奇函数；（2）由可知，当m＞1时，，解得：﹣1＜x≤0；当0＜m＜1时，，解得0≤x＜1；当m＞1时，不等式组的解集为{x|﹣1＜x≤0}，当0＜m＜1时，不等式组的解集为{x|0≤x＜1}．22．已知函数f（x）=lg（x2+tx+1），（t为常数，且t＞﹣2）（1）当x∈[0，2]时，求f（x）的最小值（用t表示）；（2）是否存在不同的实数a，b，使得f（a）=lga，f（b）=lgb，并且a，b∈（0，2），若存在，求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由．【考点】复合函数的单调性．【分析】（1）令g（x）=x2+tx+1，对称轴方程为x=﹣，利用对称轴x=﹣与区间[0，2]的位置关系进行分类讨论能求出f（x）的最小值．（2）假设存在．由题设条件得，由此能求出实数t的取值范围．【解答】解：（1）令g（x）=x2+tx+1，对称轴方程为x=﹣，∵x∈[0，2]，∴由对称轴x=﹣与区间[0，2]的位置关系进行分类讨论：①当﹣≤0，即t≥0时，g（x）min=g（0）=1，∴f（x）min=0．②当0＜﹣＜2，即﹣4＜t＜0时，g（x）min=g（﹣）=1﹣，考虑到g（x）＞0，所以﹣2＜t＜0，f（x）min=f（﹣）=lg（1﹣）；③当﹣≥2，即t≤﹣4时，g（x）min=g（2）=5+2t，考虑到g（x）＞0，∴f（x）没有最小值．综上所述：当t≤﹣2时f（x）没有最小值；当t＞﹣2时，f（x）min=．（2）假设存在．由题设条件，得，等价于x2+tx+1=x在区间（0，2）上有两个不同的实根，令h（x）=x2+（t﹣1）x+1在（0，2）上有两个不同的零点∴，即，解得﹣＜t＜﹣1．故实数t的取值范围是（﹣，﹣1）．2017年3月25日。
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2016年福建省龙岩市连城一中高考数学模拟试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求）.1．设集合M={x|﹣4≤x＜2}，集合N={x|2x＜}，则M∩N中所含整数的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．42．设复数z1=1+i，z2=m﹣i，若z1•z2为纯虚数，则实数m可以是（）A．i B．i2C．i3D．i43．在等差数列{a n}中，若S4=1，S8=4，则a17+a18+a19+a20的值为（）A．9 B．12 C．16 D．174．一个学校高一、高二、高三学生数之比为5：2：3，若用分层抽样抽取容量为200的样本，则应从高三学生中抽取的人数是（）A．20 B．40 C．60 D．805．函数y=f（x）的图象在点x=5处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5）+f′（5）等于（）A．1 B．2 C．0 D．6．已知x0是f（x）=sinx﹣的零点，则x0还满足的方程是（）A．•sinx+1=0 B．•sinx﹣1=0 C．x•sinx+1=0 D．x•sinx﹣1=07．已知函数y=Asin（ωx+φ），在同一周期内，当x=时，取最大值y=2，当x=时，取得最小值y=﹣2，那么函数的解析式为（）A．y=sin（x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（﹣） D．y=2sin（2x+）8．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为（）A．24里B．12里C．6里D．3里9．已知点A，B为椭圆的左、右顶点，点C，D为椭圆的上、下顶点，点F为椭圆的右焦点，若CF⊥BD，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．10．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1，设平面区域Ω=，若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2+b2的最大值为（）A．49 B．37 C．29 D．511．正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A﹣B1DC1的体积为（）A．3 B．C．1 D．12．已知抛物线y2=4x，点A（1，0）B（﹣1，0），点M在抛物线上，则∠MBA的最大值是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．若函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）=，则f（）+f（）=．14．已知f（x）=sinωx，（ω＞0）的部分图象如图所示，且（+）•=2，则ω的值是．15．已知事件在矩ABCD的边CD上随意取一点P，使得△APB的最大边是AB发生的概率为，则=．16．设是已知的平面向量且≠，关于向量的分解，有如下四个命题：①给定向量，总存在向量，使=+；②给定向量和，总存在实数λ和μ，使=λ+μ；③给定单位向量和正数μ，总存在单位向量和实数λ，使=λ+μ；④给定正数λ和μ，总存在单位向量和单位向量，使=λ+μ；上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是．三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．设S n为数列{a n}的前项和，已知2a n﹣2=S n，n∈N*（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{na n}的前n项和．18．某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结惯方面有差异”；（Ⅱ）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G 为线段PC 上的点． （Ⅰ）证明：BD ⊥面PAC ；（Ⅱ）若G 是PC 的中点，求证：PA ∥面BDG ； （Ⅲ）若G 满足PC ⊥面BGD ，求的值．20．已知抛物线C 的顶点为O （0，0），焦点F （0，1） （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）过F 作直线交抛物线于A 、B 两点．若直线OA 、OB 分别交直线l ：y=x ﹣2于M 、N 两点，求|MN |的最小值．21．已知函数f （x ）=﹣ax （x ∈R ）．（Ⅰ）当a=﹣2时，求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若a＞且x＞时，f （x ）≤|lnx |，求a 的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（θ为参数）．以点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin （θ+=．（Ⅰ）将曲线C 和直线l 化为直角坐标方程；（Ⅱ）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最大值．2016年福建省龙岩市连城一中高考数学模拟试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求）.1．设集合M={x|﹣4≤x＜2}，集合N={x|2x＜}，则M∩N中所含整数的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】交集及其运算．【分析】求出集合N不等式的解集，确定出集合N找出M与N解集的公共部分，即可求出两集合的交集．【解答】解：由2x＜=2﹣2，解得：x＜﹣2，∴N={x|x＜﹣2}，∵集合M={x|﹣4≤x＜2}，∴M∩N={x|﹣4≤x＜﹣2}，∴则M∩N中所含整数为﹣4，﹣3，即整数个数为2个，故选：B．2．设复数z1=1+i，z2=m﹣i，若z1•z2为纯虚数，则实数m可以是（）A．i B．i2C．i3D．i4【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的基本运算，结合复数是纯虚数，建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：z1•z2=（1+i）（m﹣i）=m+1+（m﹣1）i，∵z1•z2为纯虚数，∴，即，得m=﹣1，∵i2=﹣1，∴实数m可以是i2，故选：B．3．在等差数列{a n}中，若S4=1，S8=4，则a17+a18+a19+a20的值为（）A．9 B．12 C．16 D．17【考点】等差数列的通项公式．【分析】设出等差数列的首项和公差，得到前n项和，由已知列式求得首项和公差，把a17+a18+a19+a20转化为含首项和公差的表达式得答案．【解答】解：设首项为a1，公差为d．由，得S4=4a1+6d=1，S8=8a1+28d=4，解得：，d=．∴a17+a18+a19+a20=S20﹣S16=4a1+70d=4×+70×=9．故选A．4．一个学校高一、高二、高三学生数之比为5：2：3，若用分层抽样抽取容量为200的样本，则应从高三学生中抽取的人数是（）A．20 B．40 C．60 D．80【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．【解答】解：∵高一、高二、高三学生数之比为5：2：3，∴若用分层抽样抽取容量为200的样本，则应从高三学生中抽取的人数是200×=200×=60，故选：C．5．函数y=f（x）的图象在点x=5处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5）+f′（5）等于（）A．1 B．2 C．0 D．【考点】导数的几何意义．【分析】据切点处的导数值为切线的斜率，故f′（5）为切线斜率，又由切线方程是y=﹣x+8，即斜率为﹣1，故f′（5）=﹣1；又f（5）为切点纵坐标，据切点坐标与斜率可求得答案．【解答】解：因f（5）=﹣5+8=3，f′（5）=﹣1，故f（5）+f′（5）=2．故选项为B6．已知x0是f（x）=sinx﹣的零点，则x0还满足的方程是（）A．•sinx+1=0 B．•sinx﹣1=0 C．x•sinx+1=0 D．x•sinx﹣1=0【考点】函数的零点．【分析】根据零点定义得出x0为f（x）=0的解，将f（x）=0变形即可得出答案．【解答】解：由题意得f（x0）=sinx0﹣=0，∴sinx0=．∴sinx0•x0﹣1=0．∴x0是方程sinx•x﹣1=0的解．故选D．7．已知函数y=Asin（ωx+φ），在同一周期内，当x=时，取最大值y=2，当x=时，取得最小值y=﹣2，那么函数的解析式为（）A．y=sin（x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（﹣） D．y=2sin（2x+）【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由题意求出A，当x=时，取最大值y=2，当x=时，取得最小值y=﹣2，得到ω，Φ的关系式，求解即可．【解答】解：函数y=Asin（ωx+φ），在同一周期内，当x=时，取最大值y=2，当x=时，取得最小值y=﹣2，所以A=2，ω+Φ=，ω+Φ=解得：ω=2φ=函数的解析式为：y=2sin（2x+）故选B8．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为（）A．24里B．12里C．6里D．3里【考点】等比数列的前n项和．【分析】由题意可知，每天走的路程里数构成以为公比的等比数列，由S6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人最后一天走的路程．【解答】解：记每天走的路程里数为{a n}，可知{a n}是公比的等比数列，由S6=378，得，解得：a1=192，∴，故选：C．9．已知点A，B为椭圆的左、右顶点，点C，D为椭圆的上、下顶点，点F为椭圆的右焦点，若CF⊥BD，则椭圆的离心率为（）A ．B ．C ．D ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用CF ⊥BD ，可得a ，b ，c 的关系，进而可得e 的方程，即可求出椭圆的离心率．【解答】解：由已知可得：B （a ，0），C （0，b ），D （0，﹣b ），F （c ，0）， ∵CF ⊥BD ，∴⊥，∴•=0，∴（c ，﹣b ）•（﹣a ，﹣b ）=0， ∴﹣ac +b 2=0， ∴﹣ac +a 2﹣c 2=0， ∴e 2+e ﹣1=0， ∵0＜e ＜1，∴e=．故选：C ．10．已知圆C ：（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2=1，设平面区域Ω=，若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2+b 2的最大值为（ ） A ．49 B ．37 C ．29D ．5 【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用圆C 与x 轴相切，得到b=1为定值，此时利用数形结合确定a 的取值即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 圆心为（a ，b ），半径为1∵圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切， ∴b=1，则a 2+b 2=a 2+1，∴要使a 2+b 2的取得最大值，则只需a 最大即可， 由图象可知当圆心C 位于B 点时，a 取值最大，由，解得，即B （6，1），∴当a=6，b=1时，a 2+b 2=36+1=37，即最大值为37，故选：C11．正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A﹣B1DC1的体积为（）A．3 B．C．1 D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意求出底面B1DC1的面积，求出A到底面的距离，即可求解三棱锥的体积．【解答】解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，∴底面B1DC1的面积：=，A到底面的距离就是底面正三角形的高：．三棱锥A﹣B1DC1的体积为：=1．故选：C．12．已知抛物线y2=4x，点A（1，0）B（﹣1，0），点M在抛物线上，则∠MBA的最大值是（）A．B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】∠MBA的最大值为抛物线过B点的切线的倾斜角或其补角．【解答】解：设抛物线过B的切线方程为y=k（x+1），联立方程组得k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0，∴△=（2k2﹣4）2﹣4k4=0，解得k=±1．∴∠MBA的最大值为．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．若函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）=，则f（）+f（）=．【考点】分段函数的应用；函数奇偶性的性质；函数的值．【分析】利用函数的奇偶性以及函数的周期性，化简所求的表达式，求解函数值即可．【解答】解：函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）=，则f（）+f（）=f（16﹣）+f（8﹣）=f（﹣）+f（﹣）=﹣f（）﹣f（）=﹣﹣sin=﹣+=．故答案为：．14．已知f（x）=sinωx，（ω＞0）的部分图象如图所示，且（+）•=2，则ω的值是π．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量中点的向量公式，结合三角函数的周期公式进行化简求解即可．【解答】解：∵M是P，Q的中点，∴+=2，则由（+）•=2得2•=2，即||=1，∵f（x）=sinωx，（ω＞0）的周期T=，∴||==1，即T=2，则T==2，则ω=π，故答案为：π15．已知事件在矩ABCD的边CD上随意取一点P，使得△APB的最大边是AB发生的概率为，则=．【考点】几何概型．【分析】先明确是一个几何概型中的长度类型，然后求得事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的线段长度，再利用两者的比值即为发生的概率，从而求出．【解答】解：记“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”为事件M，试验的全部结果构成的长度即为线段CD，构成事件M的长度为线段CD其一半，根据对称性，当PD=CD时，AB=PB，如图．设CD=4x，则AF=DP=x，BF=3x，再设AD=y，则PB==，于是=4x，解得=，从而=．故答案为：．16．设是已知的平面向量且≠，关于向量的分解，有如下四个命题：①给定向量，总存在向量，使=+；②给定向量和，总存在实数λ和μ，使=λ+μ；③给定单位向量和正数μ，总存在单位向量和实数λ，使=λ+μ；④给定正数λ和μ，总存在单位向量和单位向量，使=λ+μ；上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是2．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①由向量加减的几何意义可得；②③均可由平面向量基本定理判断其正确性；④λ和μ为正数，这就使得向量不一定能用两个单位向量的组合表示出来．【解答】解：∵向量，和在同一平面内且两两不共线，∴≠，≠，①，给定向量和，只需求得其向量差即为所求的向量，故总存在向量，使，故①正确；②，当向量，和在同一平面内且两两不共线时，向量，可作基底，由平面向量基本定理可知结论成立，故可知②正确；③，取=（4，4），μ=2，=（1，0），无论λ取何值，向量λ都平行于x轴，而向量μ的模恒等于2，要使成立，根据平行四边形法则，向量μ的纵坐标一定为4，故找不到这样的单位向量使等式成立，故③错误；④，因为λ和μ为正数，所以和代表与原向量同向的且有固定长度的向量，这就使得向量不一定能用两个单位向量的组合表示出来， 故不一定能使成立，故④错误． 故答案为：2三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．设S n 为数列{a n }的前项和，已知2a n ﹣2=S n ，n ∈N * （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）求数列{na n }的前n 项和． 【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（Ⅰ）根据递推公式即可求出{a n }的通项公式，（Ⅱ）利用“错位相减法”与等比数列的前n 项和公式即可得出． 【解答】解：（Ⅰ）∵S 1=a 1． ∴当n=1时，2a 1﹣2=S 1=a 1， ∴a 1=2，当n ≥2时，a n =s n ﹣s n ﹣1=2a n ﹣2a n ﹣1， ∴a n =2a n ﹣1∴{a n }的首项为a 1=2，公比q=2的等比数列， ∴a n =2n ，n ∈N *，（Ⅱ）设T n =1•a 1+2•a 2+3•a 3+…+n •a n ， ∴T n =1•21+2×22+3×23+…+n •2n ，∴2T n =1•22+2×23+3×24+…+（n ﹣1）2n +n •2n+1， ∴﹣T n =21+22+23+24+…+2n ﹣n •2n+1=﹣n •2n+1=2n+1﹣2﹣n •2n+1=﹣2+（1﹣n ）2n+1，∴T n =（n ﹣1）2n+1+2，n ∈N *．18．某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结惯方面有差异”；（Ⅱ）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这531【分析】（Ⅰ）根据表中数据，利用公式，即可得出结论；（Ⅱ）利用古典概型概率公式，即可求解．【解答】解：（Ⅰ）由题意，X2=≈4.762＞3.841，∴有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（Ⅱ）从这5名学生中随机抽取3人，共有=10种情况，有2名喜欢甜品，有=3种情况，∴至多有1人喜欢甜品的概率．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G为线段PC上的点．（Ⅰ）证明：BD⊥面PAC；（Ⅱ）若G是PC的中点，求证：PA∥面BDG；（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求的值．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明△ABD≌△CBD，BD=60°且∠BAC=30°，得到BD⊥AC，利用直线与平面垂直的判定定理证明BD⊥面PAC．（Ⅱ）证明OG∥PA，然后证明PA∥面BDG．（Ⅲ）求出PC，说明PC⊥GD，在△PDC中，利用勾股定理求解边长，然后推出比值即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：由已知得三角形ABC是等腰三角形，且底角等于30°，且AB=CB，AD=CD，BD=DB，⇒△ABD≌△CBD，⇒∠ABD=∠∠BD=60°且∠BAC=30°．，所以BD⊥AC，又因为；…（Ⅱ）证明：设AC∩BD=O，由（1）知O为AC中点，则OG∥PA，又PA⊄面BDG，OG⊂面BDG，∴PA∥面BDG …（Ⅲ）解：由已知得到：，因为PC⊥BGD∴PC⊥GD，在△PDC中，，设…20．已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y=x﹣2于M、N 两点，求|MN|的最小值．【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．【分析】（I）由抛物线的几何性质及题设条件焦点F（0，1）可直接求得p，确定出抛物线的开口方向，写出它的标准方程；（II）由题意，可A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1，将直线方程与（I）中所求得方程联立，再结合弦长公式用所引入的参数表示出|MN|，根据所得的形式作出判断，即可求得最小值．【解答】解：（I）由题意可设抛物线C的方程为x2=2py（p＞0）则=1，解得p=2，故抛物线C的方程为x2=4y（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1，由消去y，整理得x2﹣4kx﹣4=0，所以x1+x2=4k，x1x2=﹣4，从而有|x1﹣x2|==4，由解得点M的横坐标为x M===，同理可得点N的横坐标为x N=，所以|MN|=|x M﹣x N|=|﹣|=8||=，令4k﹣3=t，t≠0，则k=，当t＞0时，|MN|=2＞2，当t＜0时，|MN|=2=2≥．综上所述，当t=﹣，即k=﹣时，|MN|的最小值是．21．已知函数f（x）=﹣ax（x∈R）．（Ⅰ）当a=﹣2时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a＞0且x＞0时，f（x）≤|lnx|，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）法一：问题转化为lnx﹣．（*）令g（x）=lnx﹣（a＞0），通过讨论函数的单调性求出a的范围即可；法二：f（x）≤|lnx|等价于，令g（x）=﹣|lnx|=，通过讨论函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）∵当a=﹣2时，f（x）=，∴．…令=0，得．…当x＜﹣ln2时，f'（x）＜0；当x＞﹣ln2时，f'（x）＞0．…∴函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣ln2），递增区间为（﹣ln2，+∞）．…（Ⅱ）解法1：当x≥1时，f（x）≤|lnx|等价于，即lnx﹣．（*）令g（x）=lnx﹣（a＞0），则＞0，…∴函数g（x）在[1，+∞）上单调递增．∴．…要使（*）成立，则，得．…下面证明若时，对x∈（0，1），f（x）≤|lnx|也成立．当x∈（0，1）时，f（x）≤|lnx|等价于，即lnx+．而lnx+lnx+．（**）…令h（x）=lnx+，则，再令，则．由于x∈（0，1），则x2＜1，e x＞1，故＜0．…∴函数φ（x）在（0，1）上单调递减．∴，即h'（x）＞0．…∴函数h（x）在（0，1）上单调递增．∴．…由（**）式lnx+lnx+＜0．综上所述，所求a的取值范围为．…解法2：f（x）≤|lnx|等价于，即．（*）令g（x）=﹣|lnx|=当x≥1时，，则．∴函数g（x）在区间[1，+∞）上单调递减．∴．…当0＜x＜1时，，则．∴函数g（x）在区间（0，1）上单调递增．∴．…下面证明，当时，（*）式成立：①当x≥1时，，（*）式成立．…②当0＜x＜1时，由于，令h（x）=lnx+，则，再令，则．由于x∈（0，1），则x2＜1，e x＞1，故＜0．…∴函数φ（x）在（0，1）上单调递减．∴，即h'（x）＞0．∴函数h（x）在（0，1）上单调递增．∴．…∴lnx+．…∴lnx+，即（*）式成立．综上所述，所求a的取值范围为．…[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数）．以点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+=．（Ⅰ）将曲线C和直线l化为直角坐标方程；（Ⅱ）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由曲线C的参数方程为（θ为参数）利用cos2θ+sin2θ=1可得曲线C的直角坐标方程．由ρsin（θ+=，得，（II）解法1：由于点Q是曲线C上的点，则可设点Q的坐标为，点Q到直线l的距离为d=．利用三角函数的单调性值域即可得出．解法2：设与直线l平行的直线l'的方程为x+y=m，与椭圆方程联立消去y得4x2﹣6mx+3m2﹣3=0，令△=0，解得m即可得出．【解答】解：（Ⅰ）解：由曲线C的参数方程为（θ为参数）可得，∴曲线C的直角坐标方程为．由ρsin（θ+=，得，化简得，ρsinθ+ρcosθ=2，∴x+y=2．∴直线l的直角坐标方程为x+y=2．（Ⅱ）解法1：由于点Q是曲线C上的点，则可设点Q的坐标为，点Q到直线l的距离为=．当时，．∴点Q到直线l的距离的最大值为．解法2：设与直线l平行的直线l'的方程为x+y=m，由，消去y得4x2﹣6mx+3m2﹣3=0，令△=（6m）2﹣4×4×（3m2﹣3）=0，解得m=±2．∴直线l'的方程为x+y=﹣2，即x+y+2=0．∴两条平行直线l与l'之间的距离为．∴点Q到直线l的距离的最大值为．2016年8月26日。