周期函数
周期函数的性质
周期函数的性质
对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f （x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。
事实上，任何一个常数kT（k∈Z，且k≠0）都是它的周期。
并且周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。
目录
1 定义
2 性质
定义
设f（x）是定义在数集M上的函数，如果存在非零常数T具有性质：f（x+T）=f（x），则称f（x）是数集M上的周期函数，常数T称为f（x）的一个周期。
如果在所有正周期中有一个最小的，则称它是函数f（x）的最小正周期。
由定义可得：周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期，譬如狄利克雷函数。
性质
周期函数的性质[2] 共分以下几个类型：
（1）若T（≠0）是f（x）的周期，则-T也是f（x）的周期。
（2）若T（≠0）是f（x）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f（x）的周期。
（3）若T1与T2都是f（x）的周期，则T1±T2也是f（x）的周期。
（4）若f（x）有最小正周期T*，那么f（x）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。
（5）若T1、T2是f（x）的两个周期，且T1/T2是无理数，则f（x）不存在最小正周期。
（6）周期函数f（x）的定义域M必定是至少一方无界的集合。
周期函数性质
定义通俗定义周期函数对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。
严格定义设f(x)是定义在数集M上的函数，如果存在非零常数T具有性质；（1）对有（X±T）；（2）对有f（X+T）=f（X）则称f（X）是数集M上的周期函数，常数T称为f（X）的一个周期。
如果在所有正周期中有一个最小的，则称它是函数f（X）的最小正周期。
由定义可得：周期函数f（X）的周期T是与X无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。
编辑本段周期函数性质（1）若T（≠0）是f(X)的周期，则-T也是f(X)的周期。
（2）若T（≠0）是f(X)的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f(X)的周期。
（3）若T1与T2都是f(X)的周期，则T1±T2也是f(X)的周期。
（4）若f(X)有最小正周期T*，那么f(X)的任何正周期T一定是T*的正整数倍。
（5）T*是f(X)的最小正周期，且T1、T2分别是f(X)的两个周期，则（Q是有理数集）（6）若T1、T2是f(X)的两个周期，且T1/T2是无理数，则f(X)不存在最小正周期。
（7）周期函数f(X)的定义域M必定是双方无界的集合。
编辑本段周期函数的判定定理1若f(X)是在集M上以T*为最小正周期的周期函数则K f(X)+C（K≠0）和1/ f(X)分别是集M和集｛X/ f(X) ≠0，X ｝上的以T*为最小正周期的周期函数。
[1]证：∵T*是f(X)的周期，∴对有X±T* 且f(X+T*)= f(X)，∴K f(X)+C=K f(X+T*)+C，∴K f(X)+C也是M上以T*为周期的周期函数。
假设T* 不是Kf(X)+C的最小正周期，则必存在T’（ 0＜T’＜T*）是K f(X)+C的周期，则对，有K f(X+T’)+C=K f(X) +C K[f(X+T’)- f(X)]=0，∵K≠0，∴f(X+T’)- f(X)=0，∴f(X+T’)= f(X)，∴T’是f(X)的周期，与T*是f(X)的最小正周期矛盾，∴T*也是Kf(X)+C的最小正周期。
周期函数
周期函数定义严格定义设f(x）是定义在数集M上的函数，如果存在非零常数T具有性质：f（x+T）=f（x）；则称f（x）是数集M上的周期函数，常数T称为f（x）的一个周期。
如果在所有正周期中有一个最小的，则称它是函数f（x）的最小正周期。
由定义可得：周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。
正弦函数图象2性质周期函数的性质[1]共分以下几个类型：⑴若T（≠0）是f(X）的周期，则-T也是f(X）的周期。
⑵若T（≠0）是f(X）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f(X）的周期。
⑶若T1与T2都是f(X）的周期，则T1±T2也是f(X）的周期。
⑷若f(X）有最小正周期T*，那么f(X）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。
⑸若T1、T2是f(X）的两个周期，且 T1/T2不是无理数，则f(X）存在最小正周期⑹若T1、T2是f(X）的两个周期，且T1/T2是无理数，则f(X）不存在最小正周期。
⑺周期函数f(X）的定义域M必定是至少一方无界的集合。
3判定周期函数定理，总结一共分一下几个类型。
定理1若f(X）是在集M上以T*为最小正周期的周期函数，则K f(X)+C（K≠0）和1/ f(X）分别是集M和集{X/ f(X) ≠0，X ∈M}上的以T*为最小正周期的周期函数。
[2]证：∵T*是f(X）的周期，∴对有X±T* 且f(X+T*)= f(X），∴K f(X)+C=K f(X+T*)+C，∴K f(X)+C也是M上以T*为周期的周期函数。
假设T* 不是Kf(X)+C的最小正周期，则必存在T’（0<T’<T*）是K f(X)+C的周期，则对，有K f(X+T’）+C=K f(X) +C K[f(X+T’）- f(X)]=0，∵K≠0，∴f(X+T’）- f(X)=0，∴f(X+T’）= f(X），∴T’是f(X）的周期，与T*是f(X）的最小正周期矛盾，∴T*也是K f(X)+C的最小正周期。
函数周期性
函数周期性一．定义：若T 为非零常数，对于定义域内的任一x ，使)()(x f T x f =+恒成立则f (x )叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。
二．重要结论1、()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数；2、 若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
3、 若函数()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数4、 y=f(x)满足f(x+a)=()x f 1 (a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
5、若函数y=f(x)满足f(x+a)= ()x f 1-(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
6、1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.7、1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.8、 若函数y=f(x)满足f(x+a)=)(1)(1x f x f -+(x ∈R ，a>0),则f(x)为周期函数且4a 是它的一个周期。
9、 若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数且2（b-a ）是它的一个周期。
10、函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；11、函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数；12、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
周期函数运算结果分析
周期函数运算结果分析周期函数是指具有其中一周期性质的函数，即在其中一范围内，函数的值呈现出其中一种规律性的重复。
周期函数可以进行加、减、乘、除以及复合运算，下面对这些运算的结果进行分析。
1.加法运算：对于两个周期函数的加法运算，如果两个函数的周期相同，则它们可以进行直接相加。
设周期为T的函数f(x)和g(x)，则它们的和函数h(x)=f(x)+g(x)的周期也为T。
这是因为当x增加一个周期T时，f(x)和g(x)的和函数h(x)的值也会增加一个周期T。
因此，对于周期相同的函数，加法运算是有效的。
2.减法运算：对于两个周期函数的减法运算，同样需要满足周期相同的条件。
设周期为T的函数f(x)和g(x)，则它们的差函数h(x)=f(x)-g(x)的周期也为T。
这是因为当x增加一个周期T时，f(x)和g(x)的差函数h(x)的值也会增加一个周期T。
因此，对于周期相同的函数，减法运算是有效的。
3.乘法运算：对于两个周期函数的乘法运算，同样需要满足周期相同的条件。
设周期为T的函数f(x)和g(x)，则它们的乘积函数h(x)=f(x)*g(x)的周期也为T。
这是因为当x增加一个周期T时，f(x)和g(x)的乘积函数h(x)的值也会增加一个周期T。
因此，在周期相同的情况下，乘法运算是有效的。
4.除法运算：对于两个周期函数的除法运算，同样需要满足周期相同的条件。
设周期为T的函数f(x)和g(x)，则它们的商函数h(x)=f(x)/g(x)的周期也为T。
这是因为当x增加一个周期T时，f(x)和g(x)的商函数h(x)的值也会增加一个周期T。
需要注意的是，在除法运算中，需要排除分母g(x)为0的情况。
5.复合运算：周期函数的复合运算是指将一个周期函数作为另一个周期函数的自变量。
设周期为T1的函数f(x)和周期为T2的函数g(x)，则复合函数h(x)=f(g(x))的周期为T=LCM(T1,T2)，即f(x)和g(x)的周期的最小公倍数。
函数的周期性
09 函数的周期性知识梳理1.周期函数的定义对于函数)(x f y =，如果存在一个常数0T ≠，能使得当x 取定义域内的一切值时，都有)()(x f T x f =+，则函数)(x f y =叫做以T 为周期的周期函数。
2.与周期相关的结论(1)周期函数具有无数多个周期，如果它的周期存在着最小正值，就叫做它的最小正周期.并不是任何周期函数都有最小正周期，如常量函数)()(R x a x f ∈=； (2)周期函数的定义域是无界的；(3)若T 为)(x f y =的周期，则nT )0(≠∈n Z n 且也是)(x f y =的周期(4)若函数()f x 恒满足()()f x a f x b +=+，则()f x 是周期函数，b a -是它的一个周期； (5)若函数()f x 恒满足()()f x a f x +=-(0)a ≠，则()f x 是周期函数，2a 是它的一个周期；推论：若函数()f x 恒满足()()f x a f x b +=-+()a b ≠，则()f x 是周期函数，2a b -是它的一个周期；（4）（5）以及周期性定义可概括为：“和或差为0型”即0)()(=+±+b x f a x f 型 (6)若函数()f x 恒满足1()()f x a f x +=(0)a ≠，则()f x 是周期函数，2a 是它的一个周期；推论：若函数()f x 恒满足1()()f x a f x b +=+()a b ≠，则()f x 是周期函数，2a b -是它的一个周期；(7)若函数()f x 恒满足1()()f x a f x +=-(0)a ≠，则()f x 是周期函数，2a 是它的一个周期；推论：若函数()f x 恒满足1()()f x a f x b +=-+()a b ≠，则()f x 是周期函数，2a b -是它的一个周期；（6）（7）可概括为：“乘积为1±型”即1)()(±=+⋅+b x f a x f 型(8)若函数()f x 是偶函数，且关于直线(0)x a a =≠对称，则()f x 是周期函数，2a 是它的一个周期；推论：若函数关于直线,()x a x b a b ==≠对称，则()f x 是周期函数，2a b -是它的一个周期；(9)若函数()f x 是奇函数，且关于直线(0)x a a =≠对称，则()f x 是周期函数，4a 是它的一个周期；推论：若函数关于点(,0)a 、直线()x b a b =≠对称，则()f x 是周期函数，4a b -是它的一个周期；(10)若函数()f x 是奇函数，且关于点(,0)(0)a a ≠对称，则()f x 是周期函数，2a 是它的一个周期；推论：若函数关于点(,0)a 、(,0)()b a b ≠对称，则()f x 是周期函数，2a b -是它的一个周期。
函数的周期性
若函数y f ( x)既关于点A(a, c)对称，
又关于点B(b, c)对称，
求证：函数y f ( x)为周期函数.
解析：
设M ( x, y)为函数图象上任意一点，点M关于点A(a, c)的对
函数的周期性：
对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T， 使得当x取定义域内的每一个值时，f(x+T)=f(x) 都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数，T 叫做函数的周期.
如果T为函数的一个周期，那么T的整数倍
nT也是函数的周期；如果在所有的பைடு நூலகம்期中存在 着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做 最小正周期.
4)
1 1
f(x f(x
2) 2)
1
1 1
f (x) f (x)
1 f (x)
1 f (x)
f ( x 8) 1 f ( x) f ( x 4)
f (2006) f (6) f (2 4) 1 1 3 2 f (2) 2 3
已知函数y f ( x)为R上的偶函数，且关于 直线x 2对称，当x [2, 2]时，f ( x) 1 x2， 求x [6, 2]时，f ( x)的解析式.
结论：若函数y f ( x)既关于直线x a对称，又关于 直线x b对称，那么函数y f ( x)为周期函数，周期 为2 | b a | .
解：(1)由
f f
(2 (7
-
x) x)
f (2 f (7
x) x)
函数周期公式
函数周期公式简介在数学中，周期函数是指具有周期性质的数学函数。
周期函数的基本特点是在一个特定的间隔内，函数值会重复出现。
我们可以通过使用函数周期公式来计算周期函数的周期。
什么是周期函数周期函数是指满足一定条件的函数，在某个特定的间隔范围内，函数值会重复出现。
换句话说，对于周期函数 f(x)，当 x 在某个特定范围内变化时，f(x) 的值会在该范围内重复。
周期函数的表示周期函数可以用函数周期公式来表示。
函数周期公式的形式为：f(x + T) = f(x)其中，f(x) 是周期函数的表达式，T 是函数的周期。
周期函数的周期计算对于周期函数 f(x) 来说，周期 T 的计算是非常重要的。
下面介绍几种常见的函数周期计算方法。
正弦函数和余弦函数的周期计算对于正弦函数sin(x) 或余弦函数cos(x)，它们的周期都是2π（或者是360°）。
常数函数的周期计算对于常数函数 f(x) = a（其中 a 是常数），它的周期是无穷大，或者说不存在周期。
幂函数的周期计算对于幂函数 f(x) = x^n，其中 n 是自然数。
当 n 是奇数时，该幂函数的周期是无穷大；当 n 是偶数时，该幂函数的周期是2π（或者是360°）。
指数函数的周期计算对于指数函数 f(x) = a^x，其中 a 是自然数，该指数函数的周期是无穷大，或者说不存在周期。
对数函数的周期计算对于对数函数 f(x) = log_a(x)，其中 a 是自然数。
该对数函数的周期是无穷大，或者说不存在周期。
周期函数的例子正弦函数的例子下面是一个正弦函数的周期计算的例子：假设我们有一个正弦函数 f(x) = sin(x)，我们可以通过函数周期公式来计算它的周期。
根据函数周期公式，我们知道：sin(x + 2π) = sin(x)所以，周期函数 f(x) = sin(x) 的周期是2π。
常数函数的例子下面是一个常数函数的周期计算的例子：假设我们有一个常数函数 f(x) = 3，我们可以通过函数周期公式来计算它的周期。
周期函数怎么判断
周期函数怎么判断三角函数的周期根据公式：弦函数的2π/w，切函数的π/w（w为正）；一般的函数根据定义来判断，除了三角函数外，没有给出解析式的函数是周期的函数。
推知周期，常见的周期情况有f(x+T)=f(x)，周期为T，f(x+a)=-f(x)，周期为2a。
扩展资料周期函数的判定方法1、根据定义讨论函数的周期性可知非零实数T在关系式f(X+T)= f(X)中是与X无关的`，故讨论时可通过解关于T的方程f(X+T)- f(X)=0，若能解出与X无关的非零常数T便可断定函数f(X)是周期函数，若这样的T不存在则f(X)为非周期函数。
例：f(X)=cosx 是非周期函数。
2、一般用反证法证明。
(若f(X)是周期函数，推出矛盾，从而得出f(X)是非周期函数)。
例：证f(X)=ax+b(a≠0)是非周期函数。
证：假设f(X)=ax+b是周期函数，则存在T(≠0)，使true ，a(x+T)+b=ax+b ax+aT-ax=0 aT=0 又a≠0，∴T=0与T≠0矛盾，∴f(X)是非周期函数。
例：证f(X)= 是非周期函数。
证：假设f(X)是周期函数，则必存在T(≠0)对，有(x+T)= f(X)，当x=0时，f(X)=0，但x+T≠0，∴f(x+T)=1，∴f(x+T) ≠f(X)与f(x+T)= f(X)矛盾，∴f(X)是非周期函数。
例：证f(X)=sinx2是非周期函数证：若f(X)= sinx2是周期函数，则存在T(>0)，使之true，有sin(x+T)2=sinx2，取x=0有sinT2=sin0=0，∴T2=Kπ(K∈Z)，又取X= T有s in(T+T)2=sin(T)2=sin2kπ=0，∴(+1)2T2=Lπ(L∈Z+)，∴与3+2 是无理数矛盾，∴f(X)=sinx2是非周期函数。
函数的周期性
函数的周期性基本知识方法1.周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得 ()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期. 2.几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）,① ()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数； ②()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；③()()1f x a f x +=±，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ④()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；⑤1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.⑥1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.⑦1()()1()f x f x a f x ++=-，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.1．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，则(6)f 的值为.A 1- .B 0 .C 1 .D 22．（1）设()f x 的最小正周期2T =且()f x 为偶函数，它在区间[]0,1上的图象如右图所示的线段AB ,则在区间[]1,2上,()f x =()2已知函数()f x 是周期为2的函数，当11x -<<时，2()1f x x =+，当1921x << 时，()f x 的解析式是()3 ()x f 是定义在R 上的以2为周期的函数，对k Z ∈，用k I 表示区间(]21,21k k -+，已知当0x I ∈时，()2f x x =，求()x f 在k I 上的解析式。
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一、教材分析1、地位和作用：《正弦、余弦函数的周期性》是普通高中课程标准实验教科书必修四第一章第四节第二节课，其主要内容是周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．本节课是学生学习了诱导公式和正弦、余弦函数的图象之后，对三角函数又一深入探讨．正弦、余弦函数的周期性是三角函数的一个重要性质，是研究三角函数的其它性质的基础，是函数性质的重要补充．通过本课的学习不仅能进一步培养学生的数形结合能力、推理论证能力，分析问题和解决问题的能力，而且能使学生把这些认识迁移到后续的知识学习中去，为以后研究三角函数的其它性质打下基础．所以本课既是前期知识的发展，又是后续有关知识研究的前驱，起着承前启后的作用．3.教学重难点（1）重点：周期函数的定义和正弦、余弦函数的周期性．(2)难点:运用中期函数的定义求函数的周期2.教学目标的确定：根据《课程标准》的要求和学生的知识储备，确定了本节课的教学目标为:(1)在知识上：1．理解周期函数的定义及正弦、余弦函数的周期性．2．会求一些简单三角函数的周期.（2）在能力上：培养学生直觉观察、分析探索和数形结合等数学思想方法在解决问题中的应用能力；培养学生自主探究的能力。
（3）在情感上：培养学生从感性到理性的思维过程，体会数形结合的思想让学生亲身经历数学的研究过程，感受数学的魅力，享受成功的喜悦。
3.教学重点和难点：（1）教学重点：周期函数的定义和正弦、余弦函数的周期性．(2) 教学难点:运用中期函数的定义求函数的周期二、学生的认识水平分析1知识结构：学生在本节书的前一节课介绍正弦函数、余弦函数的图像、已经具备了这节课的预备知识。
2能力方面：已经具备一定的观察能力，分析问题和解决问题的能力。
函数思想和数形结合思想也略有了解，在教师的指导下能力目标不难达到。
3情感方面：高一学生参与意识、自主探究意识逐渐增强，能够对新知识比较感兴趣。
三、教学方法的说明本节课采用数形结合的方式，通过观察正弦函数的图像，引出周期函数的定义。
教师适当讲解，引导学生自主探索，在此基础上，师生以问答的形式共同研究探讨，逐步深入。
为了立足于学生思维发展，着力于知识的建构，就必须让学生有观察、表达、交流的机会，采用引导发现法，激发学生学习的积极性和创造性，分享探索知识的方法和乐趣，使数学教学成为再发现，再创造的过程。
四、学法指导学法指导在教学过程中有着十分重要的作用，它不仅有助于学生学好数学知识，而且对培养和发展学生的自学能力，使学生学会学习，学会交流，有着不可低估的作用。
本节课我从以下两个方面对学生进行学法指导：观察分析：基于高中学生的观察分析能力以及多媒体课件的使用，让学生积极的参与到教学过程中，在教师的指导下直观地主动地富有个性地学习。
在学习过程中体会数形结合的思想，在学生思维受阻或不易理解的地方，教师予以指导讲解。
激发学生求知欲。
这有利于培养学生的数学情感，提高学生对知识的理解和掌握。
合作学习：引导学生认真观察正弦、余弦函数的图像之后，指导学生以小组为单位交流进行讨论交流，通过小组协商、讨论，使原来模糊不清的知识逐渐变得明朗、一致，使问题顺利解决。
五、教学过程分析∈(一)复习引入新课：请学生画出正弦函数、余弦函数的图像；设计意图：观察正弦函数、余弦函数的图像，可以培养学生的自主探索、研究问题的能力。
(二) 探讨正弦函数余弦函数的周期性（1）一起回顾正弦、余弦函数的诱导公式sin(x+2kπ)=sinx，cos(x+2kπ)=cosx确定正弦、余弦函数的周期性，并求出周期为2kπ（k∈Z且k≠0），最小正周期为2π。
设计意图：通过学生观察正弦函数图像，结合公式教师提问引导学生得出正弦函数余弦函数的周期性，再类比正弦函数，小组合作讨论得出余弦函数的单调区间，同时让学生自主发现，类比学习，达到了自主探究学习的目的。
(三)正弦函数、余弦函数性质的应用（1）课本例题探讨：立足于课本，通过求正弦余弦函数的的单调区间，求最值，有意识的训练学生借助图像进行分析解决问题的能力，强调图像的作用，渗透数形结合的数学思想方法。
其次，利用单调性比较三角函数值的大小，让学生熟练掌握函数的单调性的应用。
（2）课堂练习设计意图：学生自主完成，教师指导点拨，让学生熟练应用性质解题。
（四）小结：（1）正弦函数、余弦函数在哪些区间是单调递增，哪些区间单调递减，值的变化范围（2）探究正弦函数、余弦函数单调性的基本思路是什么？（3）探究正弦函数、余弦函数的单调性的基本步骤是怎样的？六、教学反思本节课始终是通过观察正弦函数、余弦函数的图像，从图像的特征获得它们的性质，反过来根据性质进一步认识三角函数的图像，充分体现了数形结合的思想方法，由形到数，再由数到形，这样设计通俗易学，容易被学生接受。
存在的问题是由于知识点较多，基础知识生成所用的时间较长，练习较少，课后应加强基础知识的应用。
2.学法指导: 问题探究法根据课程标准“倡导积极主动，勇于探索的学习方式”理念，教材内容的特点以及学生的知识、能力、情感等因素，本节课宜采用问题探究法．3.教学手段：借助多媒体辅助教学，增强课堂教学的生动性与直观性．四、教学过程教学程序教学内容设计意图创设问题情境生活中有哪些周而复始现象？学生举例从实际问题引入，使学生了解数学来源于生活．问题的提出为学生的思维提供强大动力，激发学生的探究欲望. 复习回顾引导学生回顾：1．诱导公式（一）2．正弦线3．利用正弦线画正弦函数图象（动画演示）引导学生回顾旧知为新课做准备. 通过动画演示让学生直观感知周而复始的变化规律．构建周期函数定义教学程序由动画演示观察可得：正弦函数图象具有周而复始的变化规律问题：图象具有周而复始的变化规律如何用数学表达式来表达？正弦函数y=sinx 图象观察正弦函数y=sinx图象特征可知：在区间、、…内重复．由三角函数图象和诱导公式可得：sin(2π+x)=sinx, 问: 对于sin(2π+x)=sinx,若记f(x)=sinx,则对于任意x∈R,都有f( )=f( ) 若记f(x)=sinx,则对于任意x∈R,都有f(x+2π)=f(x) 周期函数及周期的定义周期函数定义如下：一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x+T)=f(x)，那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．教学内容通过对正弦函数y=sinx图象观察、分析，结合诱导公式，由生活中的周期现象到数学中的周期现象，由具体到抽象，构建出周期函数的定义，这样设计主要是立足于从学生的最近思维区入手，着力于知识建构，培养学生观察、分析和抽象概括能力,并进一步渗透数形结合思想方法. 设计意图正弦函数的周期和最小正周期的定义. 函数y=sinx的周期：、、、…… 2kπ(k∈Z且k≠0). 最小正周期的概念. 对于一个函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期. 上面的函数y=sinx的最小正周期为. 让学生理解最小正周期的定义，培养学生的数形结合能力．理解周期函数定义判断题：1．因为,所以是的周期. 2.周期函数的周期唯一.3.函数f(x)=5是周期函数. （分四人一组进行讨论,再由学生发表看法）体会：1. 周期的定义是对定义域中的每一个值来说的，只有个别的值满足：，不能说是的周期．2.周期函数的周期不唯一．3.周期函数不一定存在最小正周期．说明：今后不加特殊说明，涉及的周期都是最小正周期. 设计判断题让学生去讨论主要是为了帮助学生正确理解周期函数概念，防止学生以偏概全，让学生学会怎样学习概念；培养学生透过现象看本质的能力，使学生养成细致、全面地考虑问题的思维品质．让学生在自主探索、自由想象和充分交流的过程中，不断完善自己的认知结构，充分感受成功与失败的情感体验．探究余弦函数的周期问题：余弦函数y=cosx是周期函数吗？即能否找到非零常数T，使cos(T+x)= cosx成立？若是，请找出它的周期，若不是，请说明理由．通过对定义的理解、余弦函数图象，类比正弦函数，可以得到余弦函数是周期函数，这样使学生加深对定义的理解，培养学生类比思想和数形结合能力．教学程序教学内容设计意图应用例1．求下列函数的最小正周期T. （1），；（2），；（3），；方法：①函数图象观察得到周期②周期函数定义设计例1使学生加深对定义的理解，培养学生的数形结合能力．课堂反馈 1.等式是否成立?如果这个等式成立,能否说是正弦函数的一个周期？ 2.求下列函数的周期: 通过课堂反馈能准确、及时地了解学生对本节课的掌握情况,做到及时反馈、评价,及时查漏补缺,达到堂堂清. 回顾反思1.周期函数、周期概念．2.函数y=sinx和函数y=cosx是周期函数,且周期均为2π. 3.周期的求法：①图象法②定义法4.探索问题的思想方法引导学生对所学知识进行小结,有利于学生对已有的知识结构进行编码处理,加强记忆．课外作业与课外思考课外作业：求下列函数的周期：(1)，；(2)，；(3),(4)，课外思考：1.求函数和（其中为常数，且）的周期． 2.求下列函数的周期：（1），；（2），课外作业的布置是为了进一步巩固课堂所学知识；课外思考题的布置是让学生把课堂探索拓展到课外探索，进一步激发学生探究欲望，进一步培养学生创造性思维．附：板书设计课题：正弦、余弦函数的周期性设计意图周期函数定义3. 例1 版演及学生演示区正弦函数y=sinx的周期为余弦函数y=cosx的周期为. 为了使学生全面系统地了解本节内容的知识结构,达到突出重点,简洁明了的目的. 五.评价分析: 1．个别学生建构周期函数概念时有困难，特别是“正弦函数图象的周而复始变化实际上是函数值的周而复始变化”的本质学生感到有一定困难.上课时虽然借助了几何画板来帮助学生从形象思维过渡到抽象思维,但是还是有部分学生理解起来有困难.这方面的训练以后要加强.2．部分学生对周期函数定义的自变量的任意性的理解有困难，课后要及时对他们加强辅导．3．学生运用定义求函数周期掌握得不是很好.。