高中数学破题致胜微方法(求函数解析式)：12.利用周期性求函数解析式 Word版含解析
高中求函数解析式方法
高中求函数解析式方法
高中求函数解析式的方法有以下几种：
1. 列方程法：根据已知条件设置等式，然后解方程得到函数解析式。
这种方法适用于一些简单的函数问题，如线性函数、二次函数等。
2. 求导法：如果已知函数的导函数和一个点上的函数值，可以通过求导得到函数解析式。
这种方法适用于一些需要通过求导来确定函数解析式的问题，如最小值、最大值等。
3. 已知特殊点法：如果已知函数经过某个特殊点，可以通过该特殊点的信息来确定函数解析式。
例如，如果已知函数经过原点，则可以确定函数的截距。
4. 已知导函数法：如果已知函数的导函数，可以通过积分来确定函数解析式。
这种方法适用于一些需要通过积分来确定函数解析式的问题，如定积分、不定积分等。
总之，求函数解析式的方法取决于已知条件和问题的性质，需要根据具体情况选择合适的方法。
高中数学求函数解析式
高中数学求函数解析式【原创实用版】目录1.函数解析式的概念2.函数解析式的求法3.高中数学中的函数类型4.如何求解函数解析式5.总结正文一、函数解析式的概念函数解析式是指用一个或多个字母表示函数的公式。
在高中数学中，函数解析式通常用来描述函数和变量之间的关系。
例如，我们常见的一次函数 y=2x+1，这里的 y 和 x 就是函数的解析式。
解析式是函数的一种表达形式，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和规律。
二、函数解析式的求法求函数解析式通常有以下几个步骤：1.确定函数的类型：首先要判断给定的函数是一次函数、二次函数、指数函数、对数函数还是其他类型的函数。
2.确定函数的系数：对于一次函数 y=kx+b，k 是斜率，b 是截距。
对于二次函数 y=ax+bx+c，a、b、c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项。
3.利用函数的性质求解：根据函数的类型和系数，可以利用相应的性质和公式求解函数的解析式。
例如，对于一次函数，我们可以通过给定的点求解斜率和截距；对于二次函数，我们可以通过给定的点求解二次项系数、一次项系数和常数项。
三、高中数学中的函数类型在高中数学中，常见的函数类型有一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、反比例函数等。
每种类型的函数都有其独特的性质和求解方法。
例如，一次函数的解析式形式为 y=kx+b，二次函数的解析式形式为y=ax+bx+c。
四、如何求解函数解析式求解函数解析式的方法因函数类型而异。
对于一次函数，我们可以通过给定的点求解斜率和截距；对于二次函数，我们可以通过给定的点求解二次项系数、一次项系数和常数项；对于指数函数和对数函数，我们可以利用它们的性质和公式求解。
五、总结在高中数学中，函数解析式是描述函数和变量之间关系的重要工具。
求解函数解析式需要我们熟练掌握各种函数类型的性质和求解方法。
高考数学复习点拨 求函数解析式的几种方法.doc
求函数解析式的几种方法求()f x 解析式方法多，难度大．只有正确求出函数解析式才能进一步研究函数性质，因此本文介绍几种求()f x 解析式的方法，供同学们参考．1．配凑法例１ 已知2(1)2f x x -=+，求()f x ．解：22(1)2(1)2(1)3f x x x x -=+=-+-+，即2()23f x x x =++． 2．换元法例2 若2(1)21f x x +=+，求()f x ．解：令1t x =+，则1x t =-，22()2(1)1243f t t t t ∴=-+=-+．2()243f x x x ∴=-+． 3．解方程组法若已知()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 是未知量外，还出现其他未知量（如()f x -，1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭等）．可以利用相互代换得到方程组，消去()f x -或1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，进而得到()f x 的解析式．例３ 若2()()1f x f x x --=+，求()f x ．解：2()()1f x f x x --=+，用x -去替换式中的x ，得2()()1f x f x x --=-+，即有2()()12()()1f x f x x f x f x x --=+⎧⎨--=-+⎩，， 解方程组消去()f x -，得 ()13x f x =+． 4．待定系数法当题设给出函数特征，求函数的解析式时，可用此种方法，如函数为一次函数，可设()(0)f x ax b a =+≠，再利用恒等原理确定其系数．例4 设方程210x x -+=的两根为αβ，，试求满足()f αβ=，()f βα=，(1)1f = 的二次函数()f x 的解析式．解：由已知条件，可得1αβ+=，1αβ=，显然αβ≠，即0αβ-≠．设二次函数2()(1)f x a x x bx c =-+++． αβ，为方程210x x -+=的两根，210αα∴-+=且210ββ-+=．222()(1)()(1)(1)(111)1f a b c f a b c f a b c ααααβββββα⎧=-+++=⎪=-+++=⎨⎪=-+++=⎩，，， 可得1b c b c a b c αββα+=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩，，， 故111a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，，，22()(1)122f x x x x x x ∴=-+-+=-+．5．特值法此法适用于所给的关系式中，无论自变量在定义域内取何值，关系式均成立，通过取某些特殊值代入题设的等式中，有时能使问题具体化、简单化，顺利找出规律，求出解析式．例5 已知(0)1f =，()()(21)()f p q f p q p q p q -=--+∈R ，，求()f x ． 解法1：令0p =，得(0)(0)(1)f q f q q -=--+，即()1(1)f q q q -=--+． 又令q x -=，代入上式，得2()1()(1)1f x x x x x =--+=++， 2()1f x x x ∴=++．解法2：令p q =，得(0)()(1)f f p p p =-+，即2()1(1)1f p p p p p =++=++， 2()1f x x x ∴=++．。
高中数学破题致胜微方法(求函数解析式)：1.代入法求函数解析式 含解析
代入法求函数解析式求复合函数解析式时，我们常用代入法进行求解，今天我们通过几个例题，深入理解一下此类方法，这种方法比较直观，希望同学们能够掌握，且注意细节，在运算中避免错误。
先看例题：例：已知函数()()24,sinf x xg x x==，求()f g x⎡⎤⎣⎦和()g f x⎡⎤⎣⎦的解析式.解：将f(x）中的x都替换为sin x代入得：()()2244sinf g x g x x==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦将g(x)中的x都替换为4x2代入得:()()2sin sin(4)g f x f x x==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦注意：这两个函数是有区别的,不恒等.所以运算时要注意先后顺序.一般规律：代入法求复合函数解析式，要注意复合的顺序，区别()f g x ⎡⎤⎣⎦与()g f x ⎡⎤⎣⎦如果有分段函数，要注意分段函数的变量取值范围例:已知1(0)(),0(0)x f x x ≥⎧=⎨<⎩求()(1)(2)()0f x f x g x x x -+->=的解析式 解:先分别求出f (x -1)，和f (x -2)的函数解析式1(101)(1)0(101)x x f x x x -≥⇔≥⎧-=⎨-<⇔<⎩同理()1(202)20(202)x x f x x x -≥⇔≥⎧-=⎨-<⇔<⎩ 注意：将x -1替换x 时，自变量的取值范围也要随之改变1(1)(1)0(1)x f x x ≥⎧-=⎨<⎩ 同理()1(2)20(2)x f x x ≥⎧-=⎨<⎩ 将所求出来的函数，再代入g （x )特别注意函数的分类标准，分为3个区间分别考虑。
所以，000(10)101()(12)112(2)x x g x x xx x x x +⎧=>>⎪⎪+⎪==≤<⎨⎪+⎪=≥⎪⎩整理得：0(01)1()(12)2(2)x g x x xx x⎧⎪<<⎪⎪=≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩总结：1.用代入法求复合函数的解析式,要注意复合的顺序。
求函数解析式的方法和例题
求函数解析式的方法和例题在数学中，我们经常会遇到需要求解函数解析式的问题。
函数解析式是描述函数规律的数学式子，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为。
那么，如何求函数的解析式呢？接下来，我们将介绍一些常见的方法和例题，希望能帮助你更好地理解和掌握这一内容。
一、根据函数图像求解析式。
对于一些简单的函数，我们可以通过观察其图像来推导出函数的解析式。
例如，对于一次函数y=kx+b，我们可以根据函数图像上的两个点来确定k和b的值，进而得到函数的解析式。
同样地，对于二次函数、指数函数等，也可以通过观察函数图像来求解析式。
例题1，已知一次函数的图像经过点（1，3）和（2，5），求函数的解析式。
解：设函数为y=kx+b，代入已知的两个点得到方程组：3=k1+b。
5=k2+b。
解方程组得到k=2，b=1，因此函数的解析式为y=2x+1。
二、根据函数性质求解析式。
有些函数具有特定的性质，我们可以利用这些性质来求解析式。
例如，对于指数函数y=a^x，我们知道指数函数经过点（0,1），因此可以利用这一性质求解析式。
又如，对于对数函数y=loga(x)，我们知道对数函数的定义域为正实数，可以利用这一性质来确定函数的解析式。
例题2，已知指数函数经过点（1,2），求函数的解析式。
解，设函数为y=a^x，代入已知的点（1,2）得到方程a^1=2，解得a=2，因此函数的解析式为y=2^x。
三、根据函数的变化规律求解析式。
有些函数的变化规律是已知的，我们可以根据这一规律来求解析式。
例如，对于等差数列an=a1+(n-1)d，我们知道等差数列的通项公式是已知的，可以直接利用这一公式求解析式。
同样地，对于等比数列、等差数列等，也可以根据其变化规律来求解析式。
例题3，已知等差数列的首项为3，公差为4，求第n项的表达式。
解，根据等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，代入已知的首项和公差得到an=3+(n-1)4，化简得到an=4n-1，因此第n项的表达式为4n-1。
高中生的教育：6种方法求函数解析式，高二之前必须学会
⾼中⽣的教育：6种⽅法求函数解析式，⾼⼆之前必须学会⾼中数学中，同学们的最⼤难点就是函数的学习。
在函数的考察中，函数解析式是⼀个最基本的点，所以同学们⼀定要把基础打牢，不然在之后的函数学习中，很难学好。
我建议同学们在⾼⼆之前⼀定要掌握好6种求函数解析式的⽅法，这对同学们学习⾼中数学的函数有⾮常⼤的帮助！函数解析式时函数的最关键的点，在考试中国年也是题题必考。
让同学们求函数解析式，往往是考察同学们的第⼀步，如果连解析式都求不正确，那么之后的问题是根本没有办法答对的。
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希望这些能帮助各位同学更好的学习。
函数解析式是学习函数的基础，同学们⼀定要越早掌握越好，不然到了后⾯学习函数的各种性质就会很吃⼒了。
为了帮助同学们更好的学习⾼中数学中的函数问题，我把求函数解析式的6种⽅法在这⾥进⾏简要分析，希望同学们能够通过相关概念和例题，把函数解析式这个基本问题解决清楚。
⼀、配凑法。
在⽤配凑法求函数解析式时，会常常⽤到完全平⽅公式，把⼀个函数式中的某⼀部分⾛成⼀个整体，并且将另⼀端的函数式做相应的整理，相对来说是⽐较简单的求函数解析式的⽅法了。
例如：⼆、换元法。
换元法释同学们在求函数式的时候经常⽤到的⼀种⽅法，同学们只要能够找到对的函数式做“元”，就很容易解答了，当然了，这个“元”并不难找，只要稍做分析就能发现。
例如：三、待定系数法。
待定系数法在求函数解析式中也不算是⼀个难点，只要同学们先设出函数解析式，再带⼊求解就可以了。
例如：四、⽅程组法。
相对于以上三种⽅法来说，⽅程组法相对会复杂⼀些，因为这样的解析式往往是抽象函数，需要同学们通过变换变量来构造⼀个⽅程，组成⽅程组，在利⽤消元法进⾏求解。
例如：解⽅程组法：五、赋值法。
运⽤赋值法求函数解析式，⼀般都是抽象函数，只需要同学们⽤特殊值来去掉⼀个未知数，就可以得出⼀个函数的解析式。
高中数学破题致胜微方法(求函数解析式)：2.方程组法求函数解析式 含解析
方程组法求函数解析式求解函数解析式，是研究函数中的一个重要话题。
求解解析式的方法也很多，今天我们就来学易方程组法求函数解析式,这种方法很好理解，求解也并不复杂，要特别注意的是使用条件，以及使用过程中关于函数定义域的细节处理.先看例题例：已知f （x )满足2lg ()()(1),11,f x f x x x -<-<－＝＋求f (x ) 由已知，我们知道要求的是f (x ）的解析式但题目中出现了f (-x ),我们可以通过构造方程组的方法，消去f （-x )进而求得f （x )的解析式因为11x -<<，所以11x -<-<所以用-x 代替x有2()()lg(1)f x f x x --=-+由已知2lg ()((1))f x f x x -－＝＋整理为：2lg ()(1)()f x f x x -＝－＋联立求解可得：4()2lg(1)()lg(1)f x x f x x -+-=-+整理可得:21()lg(1)lg(1),(1,1)33f x x x x =+-∈-＋一般规律：已知关于()1()f x f x与或()()f x f x 与－的表达式可根据已知条件，再构造出另外一个等式组成方程组通过解方程，求解f (x ）的解析式练：设函数f (x )满足21()3f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,求f （x )的解析式 根据上一题的思路，我们把x 用1x替换 则可得132+()f f x x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭由已知21()3f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭可得： 12()4()6f f x x x+= 两式相减得:33()6f x x x=- , 整理得:1()2 (0)f x x x x=-≠ 注意:在运算时要注意x 的取值范围。
总结:1.明确自变量互为相反数，或互为倒数的式子可以考虑用构造方程的方法求解析式.2.通过函数自身的特点，构造方程组,进而求解。
高中数学破题致胜微方法(直线与双曲线的位置关系)：12.双曲线的焦点弦长公式推导(一)
今天我们介绍双曲线的焦点弦。
如果过双曲线焦点的直线与该双曲线相交于两点，那么这两个交点间的线段就叫做双曲线的焦点弦。
关于直线与双曲线相交求弦长，通用方法是将直线方程代入双曲线方程，消元化为一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式求出弦长。
但是对于过焦点的弦长计算比较特殊，利用双曲线的第一定义推导出双曲线的焦点弦长公式，在相关计算中就更为简捷。
先看例题：例：设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，其中两焦点坐标为21(),,()0,0F c F c －，经过右焦点的直线交双曲线于A 、B 两点，求弦长|AB |。
解：（1）当弦AB 所在直线的斜率k 存在时, 设直线AB 为y = k ( x- c ) ,双曲线方程22221x y a b-=可化为2222220b x a y a b --=……①， 将直线y = k ( x- c ) 代入①整理得，()22222222222()0a k b x a ck x a c k b -++-+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，22122222,a ck x x a k b +=- 当b k a>时, 弦AB 的两个端点同在右支曲线上(如图1) , 于是 ∴222212122222(1)||||||()()()2ab k AB AF BF ex a ex a e x x a a k b+=+=-+-=+-=-，图1当0b k a≤<时, 弦AB 的两个端点在左右两支曲线上(如图2) , 于是图2222221122222(1)||||||()()2()ab k AB BF AF a ex ex a a e x x b a k+=-=---=-+=- （2）当弦AB 所在直线的斜率k 不存在时, 弦AB 与x 轴垂直,222||2()a b AB c e c a=-= 当弦A B 过左焦点时,其结论与过右焦点是相同的.若直线l 的倾斜角为θ，则有：22222|cos |ab AB a c θ=-……焦点弦长公式整理：设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，其中两焦点坐标为21(),,()0,0F c F c －，经过右焦点的直线且倾斜角为θ交双曲线于A 、B 两点，则有：22222|cos |ab AB a c θ=-……焦点弦长公式 特殊情形；倾斜角为=90θ，即为双曲线的通径，22=b AB a。
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利用周期性求函数解析式
周期性是函数的一种性质，当我们通过题目的已知条件，能够判断函数是周期函数时，再相关性质，求函数的解析式，就能简单一些了。
今天我们就根据实际例子，看看如何利用周期性，求函数的解析式。
先看例题
例：设f (x )是定义在区间(,)-∞+∞上，且以2为周期的函数，对k Z ∈，用k I 表示区间(21,21)k k -+，已知当0x I ∈时，2
()f x x =，求f (x )在k I 上的解析式
解：由已知，当k =0时，0(1,1)I =-
我们利用区间转移的方法，如果k x I ∈
即0(21,21)2x k k x k I ∈-+⇒-∈ 121x k ⇒-<-<
则有：2
(2)(2)f x k x k -=-
又因为该函数以2为周期，所以有(2)(),f x k f x -=
所以函数在k I 上的解析式为：2()(2)f x x k =-
一般规律：
区间转移：
将未知区间上的自变量加（或减）周期的整数倍后，转化到已知区间。
进而求出，该区间上的函数解析式
再看一个例题加深印象
练：设f (x )是定义在R 上的奇函数，且其图象关于直线x =1对称，当[]2,0x ∈-时，()22.f x x x +＝
当[]2,4x ∈时，求f (x )的解析式
首先通过题目条件，证明函数为周期函数
因为函数关于x =1对称，且函数为奇函数
所以有()(2)()f x f x f x ＋＝－＝－
又因为(2)()f x f x +=-
所以：()()(4)(2)[]f x f x f x f x ＋＝－＋＝－－＝
所以函数为周期函数，且周期T =4
因为函数在[]2,0x ∈-上的解析式已知，所以
由[]2,4,4[2,0],x x ∈-∈-
可得：()22(4)2(4)(4)68.f x f x x x x x ----＝＝＋＝＋ 总结：
1.根据题目条件，判断、证明函数为周期函数.
2.将未知区间上的自变量加（或减）周期的整数倍后，转化到已知区间.
3.根据题目条件，以及函数性质，确定所求区间上的解析式
练习：
1.设f (x )是在(－∞,+∞)上以4为周期的函数，且f (x )是偶函数，在区间2，3］上时，f (x )=－2(x －3)2
+4，求当x ∈1,2］时f (x )的解析式.若矩形ABCD 的两个顶点A 、B 在x 轴上，C 、D 在y =f (x )(0≤x ≤2)的图象上，求这个矩形面积的最大值.
2.已知函数y =f (x )是定义在R 上的周期函数，周期T =5，函数y =f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，又知y =f (x )在0，1］上是一次函数，在1，4］上是二次函数，且在x =2时，函数取得最小值，最小值为－5.
(1)证明:f (1)+f (4)=0;
(2)试求y =f (x ),x ∈1,4］的解析式；
(3)试求y =f (x )在4，9］上的解析式.
答案：
2. (1)证明:∵y=f(x)是以5为周期的周期函数，
∴f(4)=f(4－5)=f(－1),
又y=f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，∴f(1)=－f(－1)=－f(4),∴f(1)+f(4)=0. (2)解:当x∈1,4］时，由题意，可设f(x)=a(x－2)2－5(a≠0),由f(1)+f(4)=0 得a(1－2)2－5+a(4－2)2－5=0，
解得a=2,∴f(x)=2(x－2)2－5(1≤x≤4).
∴当0≤x ≤1时，f (x )=－3x ,
当－1≤x ＜0时，f (x )=－3x ,
当4≤x ≤6时，－1≤x －5≤1,∴f (x )=f (x －5)=－3(x －5)=－3x +15,
当6＜x ≤9时，
1＜x －5≤4,f (x )=f (x －5)=2(x －5)－2］2－5=2(x －7)2
－5. ∴f (x )=⎩⎨
⎧≤<--≤≤+-)96( 5)7(2)64( 1532x x x x .。