解用容斥原理-精品课程
2第二章 容斥原理及其应用
N (a1a2 ) N (a1a3 ) N (a1a4 ) N (a2a3 ) N (a2a4 ) N (a 3a4 ) 3[ N (a1a2a3 ) N (a1a2a4 ) N (a1a3a4 ) N (a2a3a1 )] 6 N (a1a2a3a4 )
例 在1至100的整数中，有多少个整数能且仅能 被 2， 5，这4个整数中的两个整除 ? 3， 7
解 令S {1, 2,,100}.
s S，称s具有性质a1 , a2 , a3 , a4，如果s能被2， 3,5,7整除
4
N (2) ( 1)
k 2
k 2
k N (ai1 ai2 aik ) 2 1 i1 i2 4
例 求由n( n 4)个相异元a1 , a2 , , an作成的a1与 a2 不相邻，a3与a4也不相邻的全排列的个数.
解 S 全排列的集合 A { S中a1与a2 相邻的全排列} B { S中a3与a4 相邻的全排列}
则 N | S A B || S | | A | | B | | A B |
则 hn | S A1 A2 A3 | 3n 32n 3
定理 设s是有限集，Ai S ( i 1, 2, , n, n 2), 则 | Ai |=
i 1 n 1 i1 n
|A
i1
|
1 i1 i2 n
| Ai1 Ai2 |
i 1 k 1 n n 1 i1 i2 ik n
| Ai1 Ai2 Aik |
例 以gn 表示2n( n 2)个相异元a1 , a2 , , an , b1 , b2 , , bn , 作成的ak 与bk ( k 1, 2, , n)均不相邻 的不同的全排列的个数，求gn的计数公式.
五年级下册数学奥数课件11较复杂的容斥原理人教版(21张PPT)
A：10×10=100﹙cm2﹚ B：8×8=64﹙cm2﹚ C：4×4=16﹙cm2﹚ AB：5×5=25﹙cm2﹚ AC：4×2=8﹙cm2﹚ BC：4×2=8﹙cm2﹚ ABC：2×2=4﹙cm2﹚
100+64+16-25-8-8+4＝143﹙cm2﹚
答：它们盖住的面积是143平方厘米。
小结
容斥原理（一）
如果被计数的事物有A、B两类，那么： A类或B类元素个数= A类元素个数+ B类元素个数— 既是A类又是B类的元素个数。
简单记做：
A或B总和＝ A＋B－A又B。
即学即练
学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有
24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人，
投掷 游泳、投掷
17 18 15
6
6
5
2
求这个班的学生共有多少人？
短游 投 跑泳 掷
17 18 15
短跑 游泳
6
短跑 投掷
6
游泳 投掷
5
短跑、 游泳、投掷
2
A或B或C＝A＋B＋C－AB－AC－BC＋ABC
？ 17 18 15 6 6 5 2
达到了优秀的学生： 17+18+15-6-6-5+2=35(人)
全班的学生：35+4=39 (人)
答：这个班的学生共有39人。
即学即练
六年级100名学生中，15人既不会骑自行车也不会游泳，有 62人会骑自行车，75人会游泳。既会自行车又会游泳的有多少人？
62+75-（100-15）=52（人）
答：既会自行车又会游泳的有52人。
例5：如图，边长分别为10厘米、8厘米和4厘米的三块正 方形纸片放在桌面上，它们盖住的面积是多少平方厘米？
组合数学课件(第五章 容斥原理)
解：设S为所给字母的全排列，令A1,A2,A3分别为排列中出现单 词MATH,IS,FUN的排列集合。显然，其补集代表它们不作为连 续字母出现的集合。根据题意有 S 9! A1中的排列可以看成6个字母MATH, I, S, F, U, N的排列，因 此 A1 6! , 同理 ，A2 8!, A3 7! ; A B 中的排列是5个字母MATH, IS, F, U,N的排列, 因此 A1 A2 5!, 同理，A1 A3 4!，A2 A3 6!， A1 A2 A3 3! 。 根据容斥原理，在所有排列中，MATH,IS和FUN都不作为连续 字母出现的排列数为 A1 A2 A3 9!6!8!7!5!4!6!3! 317658 .
i 1 i
n
又因为在m个性质中取出一对性质的方法有C(m,2)个，故y是C(m,2)个 | C(m,2) , 集合Ai∩Aj(i≠j)的一个元素，在 |Ai Aj 中被计算的次数为
……,
i j
因此y在等式右端被计算的次数净值
C(m,0)-C(m,1)+C(m,2)+…+(-1)n C(m,n)， 由于m＜k时，C(m,k)=0，有
§5.1 包含排斥原理
•
|A| |S||A|
S
A
§5.1 包含排斥原理 5.1.1 引论
引例1 把1,2,3,…,n全排列，计算“1”不在第1个位置的排列数. 解: 集合格式写法 A {1排在第一个位置的前 n个数的排列 } } 令 S {1,2,...,n的排列 ， ，
§5.1 包含排斥原理
3 5
根据容斥原理，从1到500的整数中不能被3和5整除的数的个数为
15
第十二讲-容斥原理
第十二讲容斥原理在很多计数问题中常用到数学上的一个包含与排除原理，也称为容斥原理.为了说明这个原理，我们先介绍一些集合的初步知识。
在讨论问题时，常常需要把具有某种性质的同类事物放在一起考虑.如：A=｛五（1）班全体同学｝.我们称一些事物的全体为一个集合.A＝{五（1）班全体同学}就是一个集合。
例1 B＝｛全体自然数｝=｛1，2，3，4，…｝是一个具体有无限多个元素的集合。
例2 C=｛在1，2，3，…，100中能被3整除的数｝＝（3，6，9，12，…，99｝是一个具有有限多个元素的集合。
集合通常用大写的英文字母A、B、C、…表示.构成这个集合的事物称为这个集合的元素.如上面例子中五（1）班的每一位同学均是集合A的一个元素.又如在例1中任何一个自然数都是集合B的元素.像集合B这种含有无限多个元素的集合称为无限集.像集合C这样含有有限多个元素的集合称为有限集.有限集合所含元素的个数常用符号|A|、|B|、|C|、…表示。
记号A∪B表示所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合.就是右边示意图中两个圆所覆盖的部分.集合A∪B叫做集合A与集合B 的并集.“∪”读作“并”，“A∪B”读作“A并B”。
例3 设集合A=｛1，2，3，4｝，集合B=｛2，4，6，8｝，则A∪B=｛1，2，3，4，6，8｝.元素2、4在集合A、B中都有，在并集中只写一个。
记号A∩B表示所有既属于集合A也属于集合B中的元素的全体.就是上页图中阴影部分所表示的集合.即是由集合A、B的公共元素所组成的集合.它称为集合A、B的交集.符号“∩”读作“交”，“A∩B”读作“A交B”.如例3中的集合A、B，则A∩B=｛2，4｝。
下面再举例介绍补集的概念。
例4 设集合I=｛1，3，5，7，9｝，集合A=｛3，5，7｝。
补集（或余集），如右图中阴影部分表示的集合（整个长方形表示集合I）.对于两个没有公共元素的集合A和B，显然有|A∪B|=|A|+|B|。
第9章 容斥原理
❖ 9.1 容斥原理 ❖ 9.2 对称筛公式及其应用
1
9.1 容斥原理
❖ 9.1.1 容斥原理的基本形式
容斥原理 容斥原理的推论
❖ 9.1.2 容斥原理的应用
计数多重集的r-组合数 计数限制条件的元素数 计算欧拉函数的值 证明组合恒等式
2
容斥原理的基本形式
Ai
定理9.1 设S为有穷集，P1,P2, …, Pm是m种性质，Ai是S中
定理9.2 C 是 nn 的具有给定禁区的棋盘，禁区对应于 {1,2, …, n}的元素在排列中不允许出现的位置，则这种有 禁区的排列数为
n! r1(n 1)! r2 (n 2)! ... (1)n rn
中ri 是 i 个棋子布置到禁区的方案数 使用条件： 棋盘为 nn, 小禁区
20
定理证明
S = { x | xZ, 1x120 }, |S| = 120 被2, 3, 5, 7 整除的集合分别为 A1, A2, A3, A4：
|A1| = 60，|A2| = 40，|A3| = 24，|A4| = 17 |A1A2|= 20, |A1A3|=12, |A1A4|=8, |A2A3|=8, |A2A4|=5, |A3A4|=3 |A1A2A3|=4, |A1A2A4|=2, |A1A3A4|=1, |A2A3A4|=1，|A1A2A3A4|=0
1
n 1
n 2
...
(1)m
n m
n k0
1k
n k
0
4
推论
推论 S 中至少具有其中一条性质的元素数为
m
| A1 A2 ... Am | | Ai | | Ai Aj |
i 1
1i jm
三年级上册数学奥数课件-容斥原理 人教版(共22张PPT)
部分＝总体-另一部分+重复的部分
拓展3、参加舞蹈演出的有32人，参加歌唱演出的 有27人，两种都参加的有11人，两种都未参加的有 31人，一共有多少人？
舞蹈 32人
歌唱 27人
11人
都未参 加31人
？人
参加：32+27-11=48（人） 全部：48+31=79（人） 答：一共79人。
例3、某班有56人，参加语文竞赛的有28人， 参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有 参加的有25人，那么同时参加语文、数学 两科竞赛的有多少人？
练习三
1，一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法 语的有18人，两样都不会的有4人。两样都会的有多 少人？
2，一个俱乐部有103人，其中会下中国象棋的有69人， 会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12人。 问这两种棋都会下的有多少人？
包含与排除
当两个计数部分有重复时，为 了不重复计数，应从它们的和 中减去重复部分，这一原理， 我们称为包含排除原理，也称 容斥原理。
脑筋急转弯：
有2个爸爸、2个儿子在家看电视， 但是家里只有3个人，这是怎么回事呢？
2个爸爸
2个儿子
既是爸爸又是儿子
2 + 2-1=3（人） 总体＝各部分之和—重复的部分
例1、三年级一班有23人喜欢音乐，25人 喜欢美术，音乐和美术有喜欢的有8人， 全班喜欢音乐美术的共有多少人？
23+25-8=40（人） 答：全班喜欢音乐美术的有40人。
拓展1、一共有79人参加节目，参加小品类节目的 有46人，参加曲艺类节目的有39人，并且每人至少 参加一种节目，问两项节目都参加的有多少人？
共79人
小品类 46人
四年级 容斥原理 大班精品课课件
容斥原理1.理解什么是容斥原理，能画图分析其中的关系.2.利⽤容斥原理解决实际问题容斥原理原理：包含与排除，也称容斥原理即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，从他们的和中排除重复部分例题⼀学校开办运动会，报名参加⻓跑的有10个⼈，报名参加跳远的有7⼈，两样都报名的有3个⼈，最后统计可得，参加运动会的由14⼈，⼩朋友，这个统计数字对吗？练习⼀有两对⽗⼦上⼭打猎，每⼈各打⼀只野兔，可是放到⼀起数⼀数，⼀只、两只、三只。
再数⼀遍，还是3只，怎么回事呢？例题11453836单选题三（）班有学⽣⼈，喜欢喜⽺⽺的有⼈，喜欢美⽺⽺的有⼈，既喜欢喜⽺⽺⼜喜欢美⽺⽺的有（ ）⼈。
A12B29C33例题⼆李⽼师出了两道题，全班40⼈中，第⼀题有30⼈对，第⼆题有12⼈没有做对，两道题都做对的⼈有20⼈。
（1）⾄少答对⼀题的有多少⼈？（2）两题都不对的有多少⼈练习⼆某班56⼈在⼀次测试中，答对⼀题的有50⼈，答对第⼆题的有43⼈，两题都答对的有40⼈，⾄少答对⼀题的有多少⼈，两题都没答对的有多少⼈？点 拨1.利⽤⻙恩图解题公式总结：A、B、C总数=A+B+C-ABC重叠部分例题三在⼀群⼩朋友中，有27个⼈看过《千与千寻》，有15个⼈看过《天空之城》，并且有10个⼈两部影⽚都看过。
已知每个⼩朋友⾄少都看过其中⼀部，那么这群⼩朋友⼀共有多少⼈？练习三某班学⽣⼿中分别拿红⻩两种颜⾊的⼩旗，已知⼿中有红旗的共有34⼈，⼿中有⻩旗的共有26⼈，⼿中有红⻩两种⼩旗的有9⼈，那么这个班共有（ ）⼈。
（每个学⽣⼿上都拿着⼩旗）例题2单选题学校开设两个兴趣⼩组，三⼈参加书画⼩组，⼈参加棋艺⼩组，两个⼩组都参加的有⼈，那么三⼀共有( )⼈参加了书画和棋艺⼩组。
(1)27243(1)A 51B 54C 48D30例题四海军突击队共有⼠兵30⼈，每个⼈都擅⻓射击和空⼿格⽃中的⼀项或两项，如果⼠兵中擅⻓射击的有12⼈，擅⻓空⼿格⽃的有23⼈，那么，这两项均擅⻓的⼠兵有多少⼈？练习五科技节那天，学校的科技室⾥展出了每个年级学⽣的科技作品，其中有110件不是⼀年级的，有100件不是⼆年级的，⼀、⼆年级参展的作品共有32件。
06容斥原理讲课版
第3章容斥原理The Inclusion-Exclusion Principle回顾前一章——鸽笼原理：本章重点介绍容斥原理及其在排列组合中的应用：•容斥原理•再论可重复r −组合•错排问题•有限制排列与棋盘多项式•反演基本形式推广定理Ramsey 定理||q S =,i i S A S P 设集合是上具有性质的元素集,令1121||||||||ni n i q A A A A ===+++∑L 21213112321||(||||||)(||||)||i j n i j nn n n q A A A A A A A A A A A A A A ≤<≤−==++++++++∑L L Lq= 3法三门例S a a a A A A S=L 解令用分别表示中的学生选修日、德、法各种外语的学生集合.则 0||30,q S ==1123||||||15141443,q A A A =++=++=2q =++=++=3123||3,q A A A ==012330431933N q q q q −+−=−+−=[0]=1112233[1]432193314N q C q C q =−+=−×+×=2233[2]193310N q C q =−=−×=3[3]3N q ==3,14,10,3故不选修外语的学生有人分别选修一、二、三门外语的学生各有人人人.§3.2 重集的r−组合在§1.3中介绍了重集B={k1*b1, k2*b2, … , k n*b n}在重数k i= ∞ (i=1,2,…,n)与在重数k i≥r(i=1,2,…,n)时的r−组合数是相同的，下面以实例说明当重集B的元素具有任意给定的重数时，利用容斥原理求B的r−组合数。
§1.3 组合定理1.7课本p43定理2.5.11.3.2 重复组合r 个无区别的球放入n 证明：这是一个允许重复组合的典型问题。
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3.1 De Morgan 定理 3.2 容斥定理 3.3 容斥原理举例 3.10 n对夫妻问题 3.12 鸽巢原理 3.13 鸽巢原理举例 课后习题解答
研究生精品课程 ——《组合数学》
第三章 容斥原理与鸽巢原理
3.1 De Morgan定理
例3-1 求不超过20的正整数中为2或3的倍 数的数。 解： 不超过20的数中2的倍数有10个： 2，4，6，8，10，12，14，16，18，20 不超过20的数中3的倍数有6个：3，6，9，12， 15，18,但其中为2或3的倍数的数只有13个， 而不是10+6=16 个。 即 2，3,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20 其中6，12，18同时为2和3的倍数。若计算 10+6=16，则重复计算了一次6,12,18.
A B C A B C A B AC B C A B C 300 200 120 100 60 40 20 440
14
第三章 容斥原理与鸽巢原理
3.2 容斥定理
定理3-2 设A1,A2,…,An是n个有限集合，则
n n
A1 A2 ... An Ai Ai A j
A
AC
A B
B
BC
C
A B C
图3-2
10
Hale Waihona Puke 第三章 容斥原理与鸽巢原理
3.2 容斥定理
定理3.1
证明：
A B C A B C A B AC B C A B C
A B C ( A B) C A B C ( A B) C A B A B C ( A B) C
8
( A1
即定理对n+1也是正确的。
第三章 容斥原理与鸽巢原理
3.2 容斥定理
容斥原理的两个基本公式
若: A B 则
A B A B
如果A B 有
A B A B A B
9
第三章 容斥原理与鸽巢原理
3.2 容斥定理
定理3-1
A B C A B C A B AC B C A B C
根据：( A B) C ( A C ) ( B C )
( A B) C ( A C ) ( B C ) A C B C A B C
A B C A B C A B AC B C A B C
2
第三章 容斥原理与鸽巢原理
3.1 De Morgan定理
德摩根(De Morgan)定理：
若A和B是集合U的子集，则
(1) A B A B ( 2) A B A B
3
第三章 容斥原理与鸽巢原理
3.1 De Morgan定理
证明：(1)的证明。 设
x A B , 则 x A B
=170+130+120-45-20-22+3 =336。
13
第三章 容斥原理与鸽巢原理
3.2 容斥定理
例3-3：S={1,2,3,…600},求其中被2，3，5除尽的数的数目。 解：令A，B，C分别表示S中被2，3，5除尽的数。
600 600 600 A 300, B 200, C 120, 2 3 5 600 600 A B 100, A C 60, 2*3 10 600 B C 40, 15 A 600 B C 20, 30
(2)的证明和（1）类似，从略.
5
第三章 容斥原理与鸽巢原理
3.1 De Morgan定理
U A A B
B
图 3-1
6
第三章 容斥原理与鸽巢原理
3.1 De Morgan定理
德摩根(De Morgan)定理的推广：
设A1,A2,…,An是U的子集，则：
(1) A1 A2 ... An A1 A2 ... An
11
第三章 容斥原理与鸽巢原理
3.2 容斥定理
例3-2：一个学校只有数学，物理，化学3门课 。 已知修这3门课的学生人数分别有170,130,120人； 同时修数学、物理两门课的学生有45人；同时修 数学、化学的有20人；同时修物理、化学的有22 人；同时修三门课的学生有3人，试计算在校的 学生有几人。 解：令M为修数学课的学生集合；F为修 物理课的学生集合；C为修化学课的学生集合， 按照已知条件：
i 1 i 1 j i
Ai A j Ah ...
(2) A1 A2 ... An A1 A2 ... An
7
第三章 容斥原理与鸽巢原理
3.1 De Morgan定理
证明：采用数学归纳法 （1） n=2时定理成立。假定n时成立，即：
A1 A2 ... An A1 A2 ... An 正确
则 A1 A1 A2 ... An A2 ... An A2 ... An An 1 ( A1 ... An ) An 1 An 1 An 1
等价于
x A B
同时成立， 所以有
x A
和
xB
(3-1)
A A B x A B
4
第三章 容斥原理与鸽巢原理
3.1 De Morgan定理
反之，若
x A B, 即x A和x B
x A 和 x B. 亦即 x A B
x A B x A B
x A B x A B
M 170, F 130, C 120 M F 45, M C 20, F C 22 M F C 3
12
第三章 容斥原理与鸽巢原理
3.2 容斥定理
假定学校的学生至少要学一门课程。
则在校学生数为：
M F C M F C M F M C F C M F C