抽屉原理
什么是抽屉原理
什么是抽屉原理
抽屉原理是一种用以解释某种情况下的现象或情况的原理，常常用于说明在一定条件下，将若干物体均匀放置在一定数量的抽屉或容器中，那么必然会有至少一个抽屉或容器中放置的物体数量超过平均值。
此原理源自于数学和概率统计学中的原理。
抽屉原理的具体内容可以通过以下例子来说明：假设有10个
苹果，要将它们放入5个抽屉中，不论如何放置，至少会有一个抽屉中放置的苹果数量超过平均值，即至少会有一个抽屉中放置2个或以上的苹果。
这个原理适用于很多不同的情况，包括计算机科学、组合数学、概率统计学等领域。
例如，在计算机科学中，抽屉原理可以用来解释哈希函数的冲突现象，即在将大量的键映射到有限数量的哈希槽中时，必然会有多个键映射到同一个槽中。
需要注意的是，抽屉原理并不是指完全相同的物体或情况，而是指在一定条件下的某种相似性的现象。
它虽然不能提供精确的答案，但对于解释和推断问题有一定的参考价值，因为它揭示了现实世界中很多不可避免的规律和现象。
抽屉原理的公式是什么
抽屉原理的公式是什么抽屉原理，也称为鸽巢原理，是数学和计算机科学中一条重要的基本原理。
它最早由德国数学家小弗里德里希·里夏尔于1834年提出，为了描述一种常见现象：当往n+1个抽屉中放入n个物体时，至少有一个抽屉会装多于一个物体。
这一原理在许多领域中都有重要的应用，特别是在集合论、概率论、信息论、密码学等方面。
抽屉原理的本质是一种计数原理，它基于一些简单的数学观察，不涉及复杂的推理。
其核心思想是将抽屉看作是集合，将物体看作是元素，然后通过计算元素数量和集合数量的关系来推导结论。
抽屉原理的公式可以表述为：对于 n 个抽屉和 m 个物体，当 m > n 时，至少有一个抽屉中至少放入了两个物体。
抽屉原理的证明可以通过反证法进行。
假设所有的抽屉最多只放入了一个物体，如果每个抽屉都满了，那么一共只能放入n个物体，冲突出现在 m > n 的情况下。
所以至少有一个抽屉中放入了两个物体或更多。
抽屉原理的应用非常广泛。
下面将介绍一些典型的应用场景。
应用场景一：生日问题在一个房间里，有多少人的时候存在两个人生日相同的概率很大？这就是生日问题。
将人的生日看作是物体，将每天的日期看作是抽屉。
根据抽屉原理，我们可以通过计算元素数量和集合数量的关系来解决这个问题。
假设每年有365天（不考虑闰年），那么将人的生日映射到365个抽屉中，当人数超过抽屉数量时，根据抽屉原理就可以确定至少有两个人生日相同。
这个问题的具体计算可以使用概率论中的计算技巧，但抽屉原理提供了解决问题的基本思路。
应用场景二：抽卡游戏在很多电子游戏或纸牌游戏中，都存在通过抽取卡牌的方式来获得不同的结果。
当抽取的卡牌数量超过卡牌种类时，至少会出现两张相同的卡牌。
以抽取纸牌游戏为例，假设一副扑克牌有52张，将抽取的牌看作是物体，将不同牌面的种类看作是抽屉。
当抽取的牌数超过52时，根据抽屉原理可以确定至少有两张相同的牌。
这个原理可以帮助人们在游戏中进行策略的制定和玩法的优化。
抽屉原理的简介与应用
抽屉原理的简介与应用1. 简介抽屉原理，也被称为鸽巢原理，是数学中的一条基本原理。
它由德国数学家戈尔德巴赫于18世纪中期提出，原理的核心思想是：如果有n个物体被放入n个抽屉中，且n大于抽屉的数量，那么至少存在一个抽屉中至少有两个物体。
2. 应用抽屉原理在数学中有广泛的应用，也被其他领域所借鉴和应用。
2.1 计算数学在计算数学中，抽屉原理常用于证明问题的存在性。
例如，在计算图论中，我们可以通过抽屉原理来证明在有限的图中，存在必定长度的路径或环。
这对于优化算法和网络分析非常重要。
2.2 概率与统计抽屉原理在概率和统计学中也有着重要的应用。
例如，假设我们有一个袋子里面有10颗红球和20颗蓝球，我们从袋子中随机抽取了30颗球。
根据抽屉原理，至少会有一个颜色的球抽到的数量将会超过其颜色的球的总数。
这可以用来解决一些概率和统计问题。
2.3 计算机科学在计算机科学中，抽屉原理也有着广泛的应用。
例如，在散列函数中，抽屉原理可以用来解决冲突的问题。
散列函数将一组键映射到一个有限的范围内，当不同的键映射到相同的范围时，就会发生冲突。
根据抽屉原理，当键的数量超过范围时，至少会有一个范围中存在多个键，这样就可以通过其他方法解决冲突。
2.4 数据库管理在数据库管理中，抽屉原理也经常被应用。
例如，在索引管理中，抽屉原理可以被用来解决索引冲突的问题。
当多个记录的索引值相同或非常接近时，就会发生索引冲突。
根据抽屉原理，当记录的数量超过索引的数量时，至少会有一个索引位置存在多个记录，这样就需要采取其他策略来处理冲突。
3. 总结抽屉原理作为一条基本的数学原理，有着广泛的应用。
它在计算数学、概率与统计、计算机科学和数据库管理等领域都扮演着重要的角色。
通过抽屉原理，我们可以解决一些问题的存在性、冲突以及优化等方面的问题。
因此，学习抽屉原理对于理解和应用这些领域的知识是非常有帮助的。
抽屉原理
一．第一抽屉原理原理1：把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。
证明（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n，而不是题设的n+k(k≥1)，这不可能.原理2：把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1个的物体。
证明（反证法）：若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn 个物体,与题设不符，故不可能。
原理3：把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷个物体。
二．第二抽屉原理把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体。
例1：400人中至少有2个人的生日相同.例2：我们从街上随便找来13人，就可断定他们中至少有两个人属相相同.例3: 从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套。
例4:从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套。
例5：从数1，2，...，10中任取6个数，其中至少有2个数为奇偶性不同。
三．抽屉原理与整除问题整除问题：把所有整数按照除以某个自然数m的余数分为m类，叫做m的剩余类或同余类，用[0]，[1]，[2]，…，[m-1]表示.每一个类含有无穷多个数，例如[1]中含有1，m+1，2m+1，3m+1，….在研究与整除有关的问题时，常用剩余类作为抽屉.根据抽屉原理，可以证明：任意n+1个自然数中，总有两个自然数的差是n的倍数。
(证明：n+1个自然数被n整除余数至少有两个相等（抽屉原理），不妨记为m=a1*n+b n=a2*n+b，则m-n整除n)。
例1 证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数。
四．经典练习：1．木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色不相同，则最少要取出多少个球？解析：把3种颜色看作3个抽屉，若要符合题意，则小球的数目必须大于7，故至少取出8个小球才能符合要求。
抽屉原理是什么意思
抽屉原理是什么意思抽屉原理（也称为鸽巢原理）是数学中的一个重要原理，它描述的是一种概率现象。
抽屉原理可以简单地概括为：如果有n+1个物体要放进n个抽屉中，那么无论如何放置，至少有一个抽屉中必然会有两个或更多物体。
抽屉原理最早可以追溯到古希腊数学家彼得·建设者（Peter C. D）在1939年提出的鸽巢定理，后来由是美国数学家罗森（R. R*) 在1964年将其普及并以抽屉原理的名字命名。
这个原理的简单解释是很容易理解的。
假设有5个苹果和4个抽屉，我们需要将这些苹果放入抽屉中去。
无论如何摆放，必然会有至少一个抽屉中放入了两个或更多的苹果。
这是因为若将5个苹果放入4个抽屉，我们只能在某一个抽屉中放2个苹果，而按照抽屉原理的规定，至少会有一个抽屉中放入了两个或更多的物体。
抽屉原理的应用非常广泛，不仅仅局限于数学领域。
它可以应用于各个领域，如计算机科学、生物学、物理学等。
在计算机科学中，抽屉原理可以用于解决许多问题。
例如，在散列函数中，如果我们将 n个关键字映射到 m个槽位中（假设 n>m），那么至少会有一个槽位中有多个关键字映射。
这是因为抽屉原理告诉我们，无论以何种方式映射，始终会有两个关键字映射到同一个槽位上。
生物学中，抽屉原理可以用于解释遗传学中的基因频率。
在一个种群中，如果有 n 个个体，而有 m 种不同的基因，则至少会有个体携带相同的基因，而原因也是抽屉原理的应用。
物理学中，抽屉原理可以类比于波动理论。
例如，如果我们在一条线上有 n 个波峰，而只有 m 个波谷（n>m），则必然会有至少两个波峰在同一个波谷之间。
抽屉原理指导我们认识到，波动现象中特定的波峰和波谷的存在不能无限地隔离。
在生活中，我们也可以看到抽屉原理的应用。
例如，如果我们参加一个聚会，那么如果参与人数超过了场地的容纳能力，那么至少会有两个人被安排坐在同一张桌子上。
总结一下，抽屉原理是一种重要的概率现象，可以简单地概括为：在一定条件下，将多个物体放置到较少的容器中，必然会出现某个容器放入了两个或更多物体。
抽屉原理的定义是什么
抽屉原理的定义是什么1. 引言抽屉原理（也被称为鸽笼原理）是一种基本的数学原理，它在各个领域都有广泛的应用。
在数学、计算机科学和其他一些领域，抽屉原理用于解决众多问题，特别是计数和概率问题。
本文将讨论抽屉原理的定义、原理以及其应用。
2. 抽屉原理的定义抽屉原理是指，当将n+1个物体放入n个抽屉中时，至少有一个抽屉里面会放有两个或两个以上的物体。
换句话说，如果有更多的物体要放入比抽屉数更少的抽屉中，那么至少会有一个抽屉中会有多个物体。
具体来说，假设有n个抽屉和m个物体，如果m > n，那么至少会有一个抽屉中有两个或两个以上的物体。
3. 抽屉原理的证明为了证明抽屉原理，我们可以采用反证法。
假设没有任何一个抽屉中放有两个或两个以上的物体，那么每个抽屉最多只能放一个物体。
如果有n个抽屉，那么最多只能放n个物体。
但是，假设我们有m > n个物体，这与前提矛盾。
因此，我们可以得出结论，至少会有一个抽屉中放有两个或两个以上的物体。
4. 抽屉原理的例子4.1 学生选择课程考虑一个学生选择课程的例子。
假设有10门课程和8名学生。
每个学生选择了至少一门课程。
根据抽屉原理，至少有一个学生选择了两门或两门以上的课程。
这是因为学生数（8）大于课程数（10）。
4.2 双生子生日问题另一个例子是双生子生日问题。
假设有365天，365个抽屉代表每一天，而抽屉里放置的是人的出生日期。
根据抽屉原理，当我们有至少366个人时，至少会有两个人在同一天出生。
这个问题揭示了在很小的数量下，会有出现概率较高的事件。
5. 抽屉原理的应用抽屉原理在计算机科学和数学中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用：•密码学：在密码学中，抽屉原理用于解释概率分布和碰撞的概念。
它帮助我们理解两个不同的消息可能具有相同哈希值的概率。
•图论：在图论中，抽屉原理有助于解决图的着色问题。
根据抽屉原理，当要给少于或等于n个节点的图着色时，至少需要n种颜色。
•计算机算法：抽屉原理还用于处理算法设计中的情况，例如哈希冲突。
抽屉原理
抽屉原理抽屉原理，又叫狄利克雷抽屉原理，它是一个重要而又基本的数学原理。
抽屉原理（一）：把多于n 个的元素，按任一确定的方式分成n 个集合，那么存在一个集合中至少含有两个元素。
抽屉原理（二）：把多于m ×n 个元素分成n 个集合，那么一定有一个集合中至少有m +1个元素。
抽屉原理（三）：把m 1+m 2+…+m n +k (k ≥1)个元素分成n 个集合，那么，存在一个i ，在第i 个集合中至少有m i +1个元素。
应用抽屉原理来解题，首先要审题，即要分清什么作为“元素”，什么作为“抽屉”；其次要根据题目的条件和结论，结合有关的数学知识，恰当地设计抽屉，这是应用抽屉原理解题的关键。
一、分割图形造“抽屉”例1．在边长为1的等边三角形内（包括边界），任意选定10个点，求证：至少有三个点，它们两两之间的距离不大于12． 证明：如右图，等边三角形ABC 三边中点为D 、E 、F ，DE 、EF 、FD 把边长为1的三角形分成了四个边长为12的正三角形．10个点都在这四个正三角形“抽屉”中，根据抽屉原理（二），至少有三个点落入同一个区域里，此三个点可连成一个三角形，任意两点之间的距离不大于12．例2．在边长为1的正方形内，任意给定5个点，试证：其中必有两个点，它们之间的距离不超过22． 例3．在3×4的长方形中，放置6个点.试证：可以找到两个点，它们的距离不大于5．例4．在半径为1的圆内任给6个点.求证：其中必有两个点，它们之间的距离不超过1．例5．在直径为5的圆中放入10个点.求证：其中必有两个点，它们之间的距离小于2．二、利用余数造“抽屉”例6．求证：任意互异的8个整数中，一定存在6个整数x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，使得(x 1−x 2)(x 3−x 4)(x 5−x 6) 恰是105的倍数．分析：105=3×5×7，而3、5、7两两互质，所以只要能找到两个数，比如x1，x2，使得x1−x2是7的倍数，同理x3−x4是5的倍数，x5−x6是3的倍数，题目即得证．证明：根据抽屉原理（一），在任意8个整数中，必有两个整数被7除同余，那么，它们的差一定是7的倍数．假设这两个数为x1，x2，使得x1−x2=7k1．在余下的6个数中，必有两个数被5除同余，这两个数的差一定是5的倍数，假设两数为x3，x4，则有x3−x4=5k2．在余下的4个数中，必有两个整数被3除所得余数相同，那么它们的差一定是3的倍数，假设两数为x5，x6，则有x5−x6=3k3．(x1−x2)(x3−x4)(x5−x6)=7k1∙5k2∙3k3=105×(k1∙k2∙k3)所以，从任意8个互异的整数中，一定可以找到6个数x1，x2，x3，x4，x5，x6，使得(x1−x2)(x3−x4)(x5−x6)恰是105的倍数．例7．求证：在任给的52个整数中，必有两个数，它们的差恰是100的倍数．例8．求证：从任意n个自然数a1，a2，a3，…，a n中，总可以找到若干个数，它们的和是n的倍数．三、竞赛题选例例9．时钟的表盘上按标准的方式标着1、2、3、4……、11、12这12个数，在其上任意做n个120°的扇形，每一个都恰好覆盖4个数，每两个覆盖的数不全相同。
抽屉原理
解： 第一行中的5个小方格用黑、白两种颜色去染，至少有 3个小方格同色.不妨设第一行的前3个为白格. 现在考虑位于这3个白格下面的那个3×4的长方形，用黑、 白两种颜色去染这个3×4的长方形，有以下两种情况： ①若在某一行的3个方格中出现两个白格，则它们与上方第 一行相应的两个白格可组成四角同为白色的长方形。 ②若在4×3的长方形的任意一行的3个小方格中都不含两个 白格，也就是每一行的3个小方格所涂的颜色只有一白二黑 或三黑，则只有下面（1）、（2）、（3）、（4）共4种可 能.如果（4）出现在某一行中，那么不管其他三行（1）、 （2）、（3）、（4）中的哪种情况，必有一个四角为黑色 小方格的长方形.如果（4）未出现，则在这四行中只能出现 （1）、（2）、（3）这3种情况，由抽屉原理可知，必有 两行染色方式完全相同，显然这两行中的4个黑色小方格可 构成四角同黑的长方形.
A
B
C
D
E
例2．一副扑克牌（去掉两张 王牌），每人随意摸两张牌， 至少有多少人才能保证他们当 中一定有两人所摸两张牌的花 色情况是相同的？
例2．一副扑克牌（去掉两张王牌），每人随意摸两张牌， 至少有多少人才能保证他们当中一定有两人所摸两张牌的花 色情况是相同的？
解: 扑克有方块、梅花、黑桃、红桃4种花色， 2张牌的花色可以有：2方块，2梅花，2红桃，2黑 桃，1方块1梅花，1方块1黑桃，1方块1红桃，1梅 花1黑桃，1梅花1红桃，1黑桃1红桃共计10种情况.
证法1：每一列的三个格用黑、白两种颜色染色.所有 可能的染法只有如下图中的八种：
如果某一列是方式（1），即三格均为白色， 则其余6列中只要再有第（1）（2）（3）（4）种方式之 一（即该列中至少有两个白格）显然存在一个四角格都是 白色的长方形. 若第（1）、（2）、（3）、（4）种方式均未出现，其余 6列就只能是（5）、（6）、（7）、（8）这四种方式， 根据抽屉原理，其中至少有两列染色方式完全一样. 又（5）～（8）中每一列至少有两格染黑色，所以一定存 在一个长方形，它的四角格颜色都是黑色。 同理可知，如果有一列是第（8）种方式，即三格均为黑 色，那么也存在四角同色的长方形。 如果在7列中（1）、（8）两种方式都未出现，则只有 （2）、（3）、（4）、（5）、（6）、（7）这六种方式 染这4列， 根据抽屉原理，至少有两列染色方式完全一样，所以仍然 存在四角同色的长方形
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试证明：这六个点中至少有两个点的距离不大于20厘米。
2.在今年入学的一年级新生中有370多人是在同一年出生的。
请你证明：他们中至少有两个人是在同一天出生的。
3.夏令营有400个小朋友参加，问：在这些小朋友中，(1)至少有多少人在同一天过生日？(2)至少有多少人单独过生日？(3)至少有多少人不单独过生日？4.学校举行开学典礼，要沿操场的400米跑道插40面彩旗。
试证明：不管怎样插，至少有两面彩旗之间的距离不大于10米。
5.在100米的路段上植树，问：至少要植多少棵树，才能保证至少有两棵之间的距离小于10米？6.在一付扑克牌中，最少要拿多少张，才能保证四种花色都有？7.在一个口袋中有10个黑球、6个白球、4个红球。
问：至少从中取出多少个球，才能保证其中有白球？8.口袋中有三种颜色的筷子各10根，问：(1)至少取多少根才能保证三种颜色都取到？(2)至少取多少根才能保证有两双颜色不同的筷子？(3)至少取多少根才能保证有两双颜色相同的筷子？9.据科学家测算，人类的头发每人不超过20万根。
试证明：在一个人口超过20万的城市中，至少有两人的头发根数相同。
10.第四次人口普查表明，我国50岁以下的人口已经超过8亿。
试证明：在我国至少有两人的出生时间相差不超过2秒钟。
11.证明：在任意的37人中，至少有四人的属相相同。
12.跳绳练习中，一分钟至少跳多少次才能保证在某一秒钟内，至少跳了两次？13.一个正方体有六个面，给每个面都涂上红色或白色。
证明：至少有三个面是同一颜色。
14.袋里有红、白、蓝、黑四种颜色的单色球，从袋中任意取出若干个球。
问：至少要取出多少个球，才能保证有三个球是同一颜色的？15.一只鱼缸里有很多条鱼，共有五个品种。
问：至少捞出多少条鱼，才能保证有五条相同品种的鱼？16.某小学五年级的学生身高(按整厘米计算)，最矮的为138厘米，最高的为160厘米。
如果任意从这些学生中选出若干人，那么，至少要选出多少人，才能保证有五人的身高相同？17.体育组有足球、蓝球和排球，上体育课前，老师让一班的11名同学往操场拿球，每人最多拿两个。
试证明：至少有两个同学拿球的情况完全一样。
18.口袋里放有足够多的红、白、兰三种颜色的球，现有31个人轮流从袋中取球，每人各取三个球。
证明：至少有4个人取出球的颜色完全相同。
19.蓝子里有苹果、梨、桃和桔子，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，问至少有多少个小朋友，才能保证至少有两个小朋友拿的水果完全一样？20.学校开办了语文、数学、美术和音乐四个课外学习班，每个学生最多可以参加两个(可以不参加)。
问：至少在多少个学生中，才能保证有两个或两个以上的同学参加学习班的情况完全相同？21.为了丰富暑假生活，学校组织甲、乙两班进行了一次军棋对抗赛，每班各出五人，同时对弈。
比赛时天气很热，学校给选手们准备了两种饮料，有可乐，有汽水，每个选手都选用了一种饮料。
试证明：至少有两对选手，不但甲班选手选用的饮料相同，而且乙班选手选用的饮料也相同。
22.在上题中，如果学校为比赛准备了可乐、汽水和果汁三种饮料，那么比赛时每班至少出多少人，才能保证至少有两对选手，甲班选手选用的饮料相同，乙班选手选用的饮料也相同？23.100名少先队员选大队长，候选人是甲、乙、丙三人，选举时每人只能投票选举一人，得票最多的人当选。
开票中途累计，前61张选票中，甲得35票，乙得10票，丙得16票。
问：在尚未统计的选票中，甲至少再得多少票就一定当选？24.有一批四种颜色的小旗，任意取出三面排成一行，表示各种信号。
证明：在200个信号中至少有4个信号完全相同。
25.库房里有一批蓝球、排球、足球和手球，每人任意搬运两个。
证明：在41个搬运者中至少有5人搬运的球完全相同。
26.库房里有一批蓝球、排球、足球和手球，每人任意搬运三个。
问：在61个搬运者中至少有几人搬运的球完全相同？27.六年一班27个同学排成三路纵队外出参观，同学们都戴着红色或白色的太阳帽。
求证：在9个横排中，至少有两排同学所戴帽子的颜色顺序完全相同。
28.有n个队参加的足球比赛，已经赛了n+1场。
证明：必有一个队少赛了3场。
划分图形29.在一个3×4平方米的矩形中，任意点5个点，试证明：至少有两个点的距离不大于2.5米。
30.在边长为1的正三角形中，任意放入5个点，证明：其中至少有两个点的距离不大于1/2。
31.在边长为1的正三角形内，任意放入十个点，求证：必有两个点的距离不大于1/3。
32.在一个半径为10米的圆形旱冰场上，有七位同学在滑旱冰，试证明：一定有两个同学间的距离不大于10米。
33.在边长为1的正方形内，任意放入9个点，则其中必有3个点，它们构成的三角形的面积不大于1/8。
34.在一个矩形内任意放五点，其中任意三点不在一条直线上。
试证明：在以这五点为顶点的三角形中，至少有一个的面积小于矩形面积的四分之一。
*35.在平面上给定9个点，其中任意三个点中总有两个点之间的距离小于1。
证明：存在半径为1的圆，该圆含这些点的数目不少于5个。
*36.在面积为3的图形内放置5个面积为1的图形。
证明：无论怎样放置，总可以找到两个图形，它们重叠部分的面积不小于1/5。
整数分组37.证明：在任意的四个自然数中，至少有两个数的差是3的倍数。
38.任意取多少个自然数，才能保证至少有两个数的差是7的倍数？为什么？39.证明：任取12个自然数，至少有两个自然数被11除的余数相同。
40.任意给定四个自然数：a<b<c<d，求证：在b-a，c-a，d-a，c-b，d-b，d-c这六个差数中，(1)至少有一个是3的倍数；(2)至少有两个是偶数。
41.证明：在从1开始的前10个奇数中任取6个，一定有两个数的和是20。
42.从1、4、7、10、…、37、40这14个数中任取8个数，试证：其中至少有两个数的和是41。
43.从1、5、9、13、17、…、77、81这21个数中，任意取出12个数。
试证：其中至少有两个数的和是78，有两个数的和是86。
44.证明：在自然数1～100中任取21个数，其中一定有两个数的差(大数减小数)小于5。
45.证明：在自然数1～125中任取7个数，其中一定有两个数的商(大数除以小数)不大于2。
46.证明：在自然数20～160中任取6个数，其中一定有两个数的比值不小于2/3，不大于3/2。
47.设x1、x2、…、xn是n个小于1的正数。
证明：其中必有两个数的48.证明：从前100个自然数中任意取出51个数，其中至少有两个数，较大的数是较小的数的整数倍。
49.从1、3、5、7、…、37、39这20个奇数中任意取出14个，试证明：其中至少有两个数，一个数是另一个数的倍数。
50.从2、4、6、8、…、30、32这16个偶数中任意取出9个，试证明：其中至少有两个数，一个数是另一个数的倍数。
51.从1、3、5、…、97、99中最多可以选出多少个数，使它们当中的每一个数都不是另一个数的倍数？52.证明：从八个连续自然数中任意选出五个，其中必有两个数的差等于4。
53.从1、2、3、…、1992、1993这些数中最多可以选出多少个数，使其中每两个数的差不等于4。
54.证明：对于任意的七个自然数，其中必有四个数的和是4的倍数。
55.证明：对于任意的七个自然数，其中必有两个数的和或差是10的倍数。
*56.证明：对于任意的四个自然数，必可从中选出一个或几个，使它们的和是4的倍数。
*57.证明：对于任意的n个自然数，其中必有若干个数的和是n的倍数。
*58.在一次智力竞赛中，数学老师让全班47个同学每人想一个自然数，并说：“无论你们怎样想，在你们中间总有若干人所想的数之和是47的倍数。
”同学们不太相信，可是每次试验老师都成功了。
你知道这是为什么吗？*60.证明：对于任意的自然数n，一定存在另一个自然数，它是n的整数倍，并且仅由数码3和0组成。
61.从前11个自然数中任意取出6个，求证：其中有两个数互质。
62.证明：在前2n个自然数中，任意取出n+1个，其中必有两个数互质。
*63.设自然数n具有如下性质：从前n个自然数中任取21个，其中必有两个数的差是5。
求这样的n中最大的那个。
*64.在上题中，如果将“从前n个自然数中任取21个”改为“从前n个自然数中任取20个”呢？65.求证：对于任意的8个自然数，一定能从中找到6个数a、b、c、d、e、f，使得(a-b)(c-d)(e-f)是105的倍数。
66.证明：对于任意的20个自然数，一定可以从中找到a、b、c、d、e、f六个数，使得(a-b)(c-d)(e-f)是1995的倍数。
67.任意写一个由数字1、2、3组成的三十位数，从这三十位数中任意截取相邻三位，可得一个三位数。
证明：从所有不同位置截取的三位数中，至少有两个相同。
68.任意写一个由数字1、2、3、4、组成的六十七位数，从这六十七位数中任意截取相邻三位，可得一个三位数。
证明：从所有不同位置截取的三位数中，至少有两个相同。
69.将自然数1、2、3、…、31、32按任意次序排成一圈，证明：其中必有相邻的三个数之和不小于50。
70.将400本书随意分给若干名同学，但每人不得超过11本，试证明：至少有七名问学得到的书的本数相同。
71.六个小朋友每人至少有一本书，一共有20本书，试证明：至少有两个小朋友有相同数量的书。
72.全班有40个同学，共有不到780本书，试证明：至少有两个同学有相同数量的书。
73.10个小朋友每人有10块糖，如果每人每天至少吃3块，吃完为止。