抽屉原理 (2)
六年级奥数 第30讲 抽屉原理(2)
第30讲抽屉原理（2）讲义专题简析在抽屉原理的第二条原理中，抽屉中的元素个数随着元素总数的增加而增加，当元素总数达到抽屉数的若干倍后，可用抽屉数除元素总数，写成下面的等式：元素总数＝商×抽屉数＋余数如果余数不是0，则最小数＝商＋1；如果余数正好是0，则最小数＝商。
例1、幼儿园里有120个小朋友，各种玩具有364件。
把这些玩具分给小朋友，是否有人会得到4件或4件以上的玩具?练习：1、一个幼儿园大班有40名小朋友，班里有各种玩具125件。
把这些玩具分给小朋友，是否有人会得到4件或4件以上的玩具?2、把16支铅笔放入三个笔盒内，至少有一个笔盒里的笔不少于6支。
这是为什么？3、把25个球最多放在几个盒子里，才能保证至少有一个盒子里有7个球？例2、布袋里有4种不同颜色的球，每种都有10个。
最少取出多少个球，才能保证其中一定有3个球的颜色一样?练习：1、布袋中有足够多的5种不同颜色的球。
最少取出多少个球才能保证其中一定有3个颜色一样的球?2、一个容器里放有10块红木块、10块白本块、10块蓝木块，它们的形状、大小都一样。
当你被蒙上眼去取出容器中的木块时，为确保取出的木块中至少有4块颜色相同，应至少取出多少块木块?3、一副扑克牌共54张，其中1～13点各有4张，还有两张王。
至少要取出几张牌，才能保证其中必有4张牌的点数相同?例3、某班共有46名学生，他们都参加了课外兴趣小组。
活动内容有数学、美术、书法和英语，每人可参加1个、2个、3个或4个兴趣小组。
问班级中至少有几名学生参加的项目完全相同?练习：1、某班有37名学生，他们都订阅了《小主人报》《少年文艺》《小学生优秀作文》三种报刊中的一、二、三种。
其中至少有几名学生订的报刊相同?2、学校开办了绘画、笛子、足球和电脑四个课外学习班，每名学生最多可以参加两个(也可以不参加)。
某班有52名学生。
问至少有几名学生参加课外学习班的情况完全相同?3、库房里有一批篮球、排球、足球和铅球，每人任意搬运两个。
抽屉原理(2)
重点、难点
教学重点：经历“抽屉原理”的探究过程，会用有余数的除法解决“抽屉原理”的实际问题。
教学难点：理解“抽屉原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。
教法学法
运用启发式和问题目标教学法
教具学具
备课专用稿纸
课题
抽屉原理（2）
总第27时
主备教师
崔荷红
备课时间
课型
新授
授课教师
授课时间
授课班级
教学目标
知识与技能：通过猜测、验证、观察、分析等数学活动，发现规律，建立数学模型，渗透“建模”思想。会用“抽屉原理”解决实际问题。
过程与方法：经历从具体到抽象的探究过程，提高学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力。
小黑板
教学过程
学生活动
时间
一、复习引入
1.三个小朋友同行，其中必有两个小朋友性别相同。为什么？
2.你们13个人中至少有几个人属相相同。为什么？
3.我们班共55人，至少几个人的属相相同？为什么？
二、探究新知
学习例2
1.把5本书放进2个抽屉中，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进几本书？学生动手摆一摆，说一说。
2.汇报思维过程。
（1）枚举法：根据摆放情况：有（5,0），（4,1），（3,2）三种情况。
（2）假设法：如果每个抽屉放2本，放了4本书。剩下的1本还要放进其中一个抽屉，所以至少有1个抽屉放进3本书。
（3）5÷2=2……1（至少放2+1本）不难得出，总有一个抽屉至少放进3本。
3.自主探究，合作交流如果把7本书放进2个抽屉会有什么情况呢？9本呢？
第一讲 抽屉原理(二)
抽屉原理(二)把所有整数按照除以某个自然数m 的余数分为m 类，叫做m 的剩余类或同余类，用[0],表示. 每一个类含有无穷多个数，例如中含有[1]m −[1],[2],[3],...,[1]1,21m m ++3m 1,1+,，….在研究与整除有关的问题时，常用剩余类作为抽屉.根据抽屉原理，可以证明：任意n +1个自然数中，总有两个自然数的差是n 的倍数.1. 证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数.2. 求证: 从47个正整数中，一定可以找到两个正整数的差是46的倍数．3. 求证: 存在正整数使得. i N47|111i "个4. 从任意13个自然数中，总可以找到若干个数，它们的和是13的倍数． 1213,,,a a a "5. 对于任意的五个自然数，证明其中必有3个数的和能被3整除.6. 任意给定7个不同的自然数，求证其中必有两个整数，其和或差是10的倍数.7. 对于任意的11个整数，证明其中一定有6个数，它们的和能被6整除.8. 证明：17个整数中，必可找到5个数，这5个数之和为5的倍数.9. 任给12个整数，证明：其中必存在8个数，将它们用适当的运算符号连起来后运算的结果是3 465的倍数.10. 对任给的63个互异的正整数，试证：其中一定存在四个正整数，仅用减号，乘号和括号将它们适当地组合为一个算式，其结果是1984的倍数．1,,a a "6311. 试证明：在17个不同的正整数中，必定存在若干个正整数，仅用减号、乘号和括号可将它们组成一个算式，算式的结果是21879的倍数。
12. 郑老师和肖同学是足球迷，同时又对趣味数学题感兴趣. 一次在看足球比赛时，肖同学说：我知道红方有20名队员，编号恰好是1到20,，今天上场的11名队员中，一定有一名队员的号码是另一名队员号码的偶数倍。
郑老师听后点点头，接着说：我还知道红队上场队员中每四名队员中，必定有两名队员号码之差是3的倍数。
抽屉原理(二)
抽屉原理（二）【专题导引】在抽屉原理的第（2）条原则中，抽屉中的元素个数随着元素总数的增加而增加，当元素总数达到抽屉数的若干倍后，可用抽屉数除元素总数，写成下面的等式：元素总数=商×抽屉数+余数如果余数不是0，则最小数=商+1；如果余数正好是0，则最小数=商。
【典型例题】【例1】幼儿园里有120个小朋友，各种玩具有364件。
把这些玩具分给小朋友，是否有人会得到4件或4件以上的玩具？【试一试】1、一个幼儿园大班有40名小朋友，班里有各种玩具125件。
把这些玩具分给小朋友，是否有人会得到4件或4件以上的玩具？2、把16支铅笔放入三个笔盒内，至少有一个笔盒里的笔不少于6支。
这是为什么？【例2】布袋里有4种不同颜色的球，每种都有10个。
最少取出多少个球，才能保证其中一定有3个球的颜色一样？【试一试】1、布袋中有足够多的5种不同颜色的球。
最少取出多少个球才能保证其中一定有3个颜色一样的球？2、一个容器里放有10块红木块、10块白木块、10块蓝木块，它们的形状、大小都一样，当你被蒙上眼睛去容器中取出木块时，为确保取出的木块中至少有4块颜色相同，应至少取出多少块木块？【例3】某班共有46名学生，他们都参加了课外兴趣小组。
活动内容有数学、美术、书法和英语，每人可参加1个、2个、3个或4个兴趣小组。
问班级中至少有几名学生参加的项目完全相同？【试一试】1、某班有37个学生，他们都订阅了《小主人报》、《少年文艺》、《小学生优秀作文》三种报刊中的一、二、三种。
其中至少有几位同学订的报刊相同？2、学校开办了绘画、笛子、足球和电脑四个课外学习班，每个学生最多可以参加两个（可以不参加）。
某班有52名同学，问至少有几名同学参加课外学习班的情况完全相同？【例4】从1至30中，至少要取出几个不同的数，才能保证其中一定有一个数是3的倍数？【试一试】1、在1，2，3，……，49，50中，至少要取出多少个不同的数，才能保证其中一定有一个数能被5整除？2、从1至120中，至少要取出几个不同的数才能保证其中一定有一个数是4的倍数？【﹡例5】将400张卡片分给若干名同学，每人都能分到，但都不超过11张，试证明：至少有七名同学得到的卡片的张数相同。
抽屉原理2
至少数 = 商数 + 1
至少数= 物体数÷抽屉数 +1
例3：盒子里有同样大小的红球和 蓝球各4个。要想摸出的球一定有2 个同色的，最少要摸出几个球？ 想一想： 1、在这道题中，什么是“物体”？ 什么是“抽屉”？什么是“至少 数 ”？ 2、从题目可知，问题相当于求抽屉 原理中的（ 物体 ）？怎样求？
3
1、如果盒子里有蓝、红、黄球各6个，从盒 子里摸出两个同色的球，至少要摸出几个球？
2、有红色、白色、黑色的筷子各10根混放在 一起，让你闭上眼睛去摸，让你闭上眼睛去摸， （1）你至少要摸出几根才敢保证有两根筷子 是同色的？ （2）至少拿几根，才能保证有两双同色的筷 子？为什么?
盒子里有红袜子和黑袜子各6只。要 想摸出的袜子一定能配成一双，最 少要摸出几只？ 物体：？只袜子 抽屉：2种颜色 至少数：2
（３）要保证取出的彩球中至少有两个是同 色的，则至少应取出多少个球？
物体：57位同学
抽屉：12个月
57÷12=4……9 4+1=5（人）
2、把15个球放进4个箱子里， 至少有（ 4 ）个球要放进同 一个箱子里。 物体：15个球
抽屉：4个箱子
15÷4=3……3 3+1=4（个）
3、把红、黄两种颜色的球各6 个放到一个袋子里，任意取出5 个，至少有（3）个同色。
物体：5个球 抽屉：2种颜色
抽屉原理(二）
把4枝笔放进3个笔筒里，不管怎么放，总 有一个笔筒里至少放进2枝笔.
2、把27个苹果放在4个筐,不管怎么放， 总有一个筐里至少放进( ）个苹果。
计算绝招
至少数 = 商数 + 1
至少数= 物体数÷抽屉数 +1
要把a个物体放进n个抽屉， 如果a÷n =b …… c
抽屉原理(2)
例1 ①求证：任意25个人中，至少有3个人的属相相同.②要想保证至少有5个人的属相相同，但不能保证有6个人属相相同，那么人的总数应在什么范围内？例2 放体育用品的仓库里有许多足球、排球和篮球.有66名同学来仓库拿球，要求每人至少拿1个球，至多拿2个球.问：至少有多少名同学所拿的球种类是完全一样的？例3 一副扑克牌，共54张，问：至少从中摸出多少张牌才能保证①至少有5张牌的花色相同；②四种花色的牌都有；③至少有3张牌是红桃。
例4 平面上给定17个点，如果任意三个点中总有两个点之间的距离小于1，证明：在这17个点中必有9个点可以落在同一半径为1的圆内。
例5 把1、2、3、…、10这十个数按任意顺序排成一圈，求证在这一圈数中一定有相邻的三个数之和不小于17。
例6 在边长为3米的正方形内，任意放入28个点，求证：必有4个点，以它们为顶点的四边形的面积不超过1平方米。
分析与解答根据题目的结论，考虑把这个大正方形分割成面积为1平方米的9个小正方形（如右图）。
例1 平面上有A、B、C、D、E、F六个点，其中没有三点共线，每两点之间任意选用红线或蓝线连接，求证：不管怎样连接，至少存在一个三边同色的三角形。
例2 从同一个小学毕业的同学之间的关系可以分为三个等级：关系密切、一般关系、毫无关系.请你证明在这个学校的17名校友中.至少有三个人，他们之间的关系是同一个等级的。
例3 用黑、白两种颜色把一个2×5（即2行5列）的长方形中的每个小方格都随意染一种颜色.证明：必有两列，它们的涂色方式完全相同。
例4 如果有一个3×n的方格阵列，每一列的三个方格都任意用红、黄、蓝、绿四色之三染成三种不同颜色，问n至少是多少时，才能保证至少有3列的染色方式完全相同。
例5 对一块3行7列的长方形阵列中的小方格的每一格任意染成黑色或白色，求证：在这个长方形中，一定有一个由小方格组成的长方形，它的四个角上的小方格同色。
例6 用黑、白两种颜色将一个5×5的长方形中的小方格随意染色.求证：在这个长方形中一定有一个由小方格组成的长方形，它的四个角上的小方格同色。
抽屉原理(二)— 数论中的抽屉原理
数论中的抽屉原理（组合）一、数论中的抽屉原理& 最不利原则——“和差倍”1. 题型（1）两数之和或两数之差是m（2）两数之和或两数之差是m的倍数2. 解题思路题型（1）根据题意构造抽屉题型（2）根据余数的特征进行分组，构造抽屉二、注意事项1. 相邻两数必互质。
题型一：根据题意构造抽屉1.从2、4、6、…、30这15个偶数中，至少选出多少个数，才能保证其中一定有两个数之和是34 .2.从1 ~ 11这11个自然数中，至少选出多少个数，才能保证其中一定有两个数之和是12 .3.从1 ~ 99这99个自然数中，最多选出多少个数，使得其中每两个数之和都不等于100？4.从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12中最多能选出几个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的2倍。
5.从1 ~ 21这21个自然数中，至少取出多少个数，才能保证其中必有两数的差等于4？6.从1 ~ 99这99个自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数之差都不等于5？7.如果在1，2，… …，n中任取19个数，都可以保证其中必有两个数的差是6，那么n最大是多少？8.从1 ~ 50这50个自然数中，至少选出多少个数，才能保证其中必有两个数互质？题型二：根据余数构造抽屉1.在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除。
2.至少取几个数，才能保证一定有两个数的差是7的倍数？3. 1 ~ 17中，至少拿出多少个数才能保证：（1）里面一定有5的倍数？（2）一定有两个数的和是5的倍数？4. 1 ~ 35中，至少拿出多少个数才能保证一定有两个数的和是8的倍数？5.从1至17这17个自然数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被5整除．请问：最多能取出多少个数？6.任选7个不同的数，请说明：其中必有2个数的和或者差是10的倍数。
巩固练习1.从1 ~ 19这19个自然数中，至少取出多少个数，才能保证其中必有两数的差等于4？2.从1 ~ 19这19个自然数中，至少取出多少个数，才能保证其中必有两数的差是4的倍数？3.从1 ~ 25这25个自然数中，至少取出多少个数，才能保证其中必有两数的和是6的倍数？4.从1至30这30个自然数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除．请问：最多能取出多少个数？5.在任意的五个自然数中，是否其中必有三个数的和是3的倍数？。
抽屉原理(二)小学数学六年级从课本到奥数举一反三第十周数学广角第2节
答案
小学数学六年级第二学期
解析： 解： 237÷12=19·····9，所以，新生中至少有19+1=20人是同一 年同一个月出生的。
小学数学六年级第二学期
2.有红、黄、蓝、白四种颜色的小球各10个，混合后放在一个不透 明的布袋中，那么，一次至少摸出多少个，才能保证有7个小球的颜 色是相同的？
解析：
解：每次摸出的结果可能是两个球的颜色相同，有3种可能，或 颜色不同，也有3种可能，共6种可能。最不利的情况是每种可能 各出现4次，则再摸一次就能保证有5次摸出的结果相同，6 ×4+1=25，所以，至少需要摸球25次。
小学数学六年级第二学期
6、用数字1、2、3、4、5、6填满一个6×6的方格表，如图所示，每 个小方格只能填其×2正方格的“标示数”，问能否给出一种填法，使任意 两个“标示数”均不相同？如果能，请举出一例，如果不能，请说明 理由。
答案
小学数学六年级第二学期
解析： 解： 6×4+1=25个，所以，一次至少摸出25个，才能保证7个小 球的颜色相同。
小学数学六年级第二学期
3.幼儿园大班有35个小朋友，现在将78件玩具分给小朋友，是否有 小朋友会得到3件或者3件以上的玩具？
答案
小学数学六年级第二学期
解析： 解：78 ÷35=2·······8，所以，一定有小朋友会得到3件或者 三件以上的玩具。
答案
小学数学六年级第二学期
解析：
解： 根据抽屉原理原则二，60÷7=8·····4，所以，至少有9人浏览的地 方完全相同。
小学数学六年级第二学期
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抽屉原理
教学内容：教材第70、71页的例1、例2
教学目标：
1、经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”。
2、会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。
3、通过操作发展学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维。
教学重点：认识“抽屉原理”。
教学难点：灵活运用“抽屉原理”解决实际问题。
教学方法：小组合作，自主探究。
教学准备：若干根小棒，4个纸杯。
教学过程：
一、创设情境，导入新知
老师组织学生做“抢椅子”游戏（请3位同学上来，摆开2条椅子），并宣布游戏规则。
师：象这样的现象中隐藏着什么数学奥秘呢？这节课我们就一起来研究这个原理。
二、自主学习，初步感知
（一）出示例1：4枝铅笔，3个文具盒。
1、观察猜测
猜猜把4枝铅笔放进3个文具盒中会存在什么样的结果？
2、自主探究
（1）提出猜想：“不管怎么放,总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔”。
（2）小组合作操作验证：请拿出铅笔和文具盒小组合作摆一摆、放一放。
（3）交流讨论，汇报。
可能如下：
第一种：枚举法。
用实物摆一摆，把所有的摆放结果都罗列出来。
第二种：假设法。
如果每个文具盒中只放1枝铅笔，最多放3枝。
剩下1枝还要放进其中的一个文具盒，所以至少有2枝铅笔放进枝同一个文具盒。
第三种：数的分解。
把4分解成三个数，共有四种情况，（4，0，0）、（3，1，0）、（2，2，0）、（2，1，1），每一种结果的三个数中，至少有一个数是不小于2的。
（4）、比较优化。
请学生继续思考：如果把5枝铅笔放进4个文具盒，结果是否一样呢？把100
枝铅笔放进99个盒子里呢？怎样解释这一现象？
师：为什么不采用枚举法来验证呢？
数据较小时可以采用枚举法，也可用假设法直接思考，而当数据较大时，用假设法思考比较简单。
3、引导发现
只要放的铅笔数比盒子的数量多1[3] ，不管怎么放，总有一个盒子里至少放进2枝铅笔。
（二）出示例2：把5本书放进2个抽屉里，不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进几本书？7本书会怎样呢？9本呢？
1、学生尝试自已探究。
2、交流探究的结果，可能如下：
1）枚举法。
共有3种情况。
在任何一种结果中，总有一个抽屉至少放进3本书
2）假设法。
把5本书“平均分成2份”，5÷2=2…1，如果每个抽屉放进2本书，还剩下1本。
把剩下的这1本放进任何一个抽屉，该抽屉里就有3本书了。
由此可见，把5本书放进2个抽屉中，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进3本书。
同样，7÷2=3…1把7本书放进放进2个抽屉中，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进4本书。
9÷2=4…1把9本书放进放进2个抽屉中，有一个抽屉里至少放进5本书。
3、观察发现
学生讨论交流，发现“总有一个抽屉里至少有几本”只要用“商+1”就可以得到。
4、介绍原理。
师：同学们，你们知道吗？你们的这一发现，在数学里被称之为“抽屉原理”，也叫做“鸽巢原理”，最先是由19世纪的德国数学家狄利克雷提出来的，所以又称为“狄利克雷原理”。
这一原理在解决实际问题中有着广泛的应用，可以用它来解决很多有趣的问题呢。
三、应用原理，解决问题
完成教材第72页“做一做”第1题
四、全课总结，回归生活
1、通过今天的学习你有什么收获？
2、回归生活：你还能举出一些能用抽屉原理解释的生活中的例子吗？。