近五年立体几何全国卷高考题

2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学

（8）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，

则相应的俯视图可以为(D)

（18）（本小题满分12分）

如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形。

60,2,DAB AB AD PD ∠==⊥o 底面ABCD 。

（I ）证明：PA BD ⊥

（II ）设1PD AD ==，求棱锥D PBC -的高。

2012年普通高等学校招生全国统一考试文科数学

7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体

积为（

）

()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18

【解析】选B 由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3，所以几何体的体积为93362

1

31=????=

V ,选B. （19）（本小题满分12分）

如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=1

2AA 1，D 是棱AA 1

的中点

(Ｉ)证明：平面BDC 1⊥平面BDC

（Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.

B 1

C B

A

D

C 1

A 1

2013年普通高等学校招生全国统一考试

（11）某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为（ ）

（A ）168π+ （B ）88π+ （C ）1616π+ （D ）816π+

19.（本小题满分12分）

如图，三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，1AB AA =，

160BAA ∠=o 。

（Ⅰ）证明：1AB A C ⊥；

（Ⅱ）若2AB CB ==，16AC =，求三棱柱111ABC A

B C -的C 1

B 1

A

A 1

B C

体积。

2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)

9、一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，

(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为

（ ）

(A)

(B)

(C)

(D)

【答案】A

【解析】在空间直角坐标系中，先画出四面体O ABC -的直观图，以zOx 平面为投影面，

则得到正视图(坐标系中红色部分),所以选A.

（15）已知正四棱锥O ABCD -的体积为32

2

3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________。 【答案】24π

【解析】设正四棱锥的高为h

，则2

132(3)3

2h ?=

，解得高32

2

h =。则底面正方形的对角线长为

236?=，所以22326

(

)()622

OA =+=,所以球的表面积为24(6)24ππ=.

（18）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是AB ，1BB 的中点，。

（Ⅰ）证明：1//BC 平面11A CD ；

（Ⅱ）设12AA AC CB ===，22AB =，求三棱锥1C A DE -的体积。

2014年高招全国课标1（文科数学word 解

析版）

第Ⅰ卷

8.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体

是（ ）

A.三棱锥

B.三棱柱

C.四棱锥

D.四棱柱

【答案】：B

【解析】：根据所给三视图易知，对应的几何体是一个横放着的三棱柱. 选B

19(本题满分12分)

如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B 1的中点为O ，且⊥AO 平面C C BB 11.

（I ）证明：;1AB C B ⊥

（II ）若1AB AC ⊥,,1,601==∠BC CBB ο

E

D B 1

C 1

A C

B A 1

求三棱柱111C B A ABC -的高.

【解析】：（I ）连结1BC ，则O 为1BC 与1B C 的交点，因为侧面11BB C C 为菱形，所以

1B C 1

BC ⊥，又AO ⊥平面11BB C C ，故1B C AO ⊥1B C ⊥平面ABO ，由于AB ?平

面ABO ，

故1B C ⊥AB ………6分 （II ）作OD ⊥BC,垂足为D,连结AD,作OH ⊥AD,垂足为H, 由于BC ⊥AO,BC ⊥OD,故BC ⊥平面AOD,所以OH ⊥BC. 又OH ⊥AD,所以OH ⊥平面ABC.

因为1,601==∠BC CBB ο

,所以△

1CBB 为等边三角形,又BC=1,可得OD=

3

4

，由于1AB AC ⊥，所以111

22

OA B C =

=，由 OH ·AD=OD ·OA,且227AD OD OA =+=

，得OH=2114 又O 为B 1C 的中点,所以点B 1 到平面ABC 的距离为

21,故三棱柱ABC-A 1B 1C 1 的高为21

……………………….12 分

2014年普通高等学校招生全国统一考试文科数学

（6）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）， 图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件 由一个底面半径为3cm ，高为6c m 的圆柱 体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与 原来毛坯体积的比值为

（A ）

1727 （B ） 59 （C ）10

27

(D) 13

【答案】 C

【解析】

..27

10

π54π34-π54π.342π944.2342π.

546π96321C v v 故选积之比削掉部分的体积与原体体积，高为径为，右半部为大圆柱，半，高为小圆柱，半径加工后的零件，左半部体积，，高加工前的零件半径为==

∴=?+?=∴=?=∴πΘΘ

（18）（本小题满分12分）

如图，四凌锥p —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA 上面ABCD ，E 为PD 的点。

（I ）证明：PP//平面AEC; (II )设置AP=1，AD=3,三凌 P-ABD 的体积V=

4

3

，求A 到平面PBC 的距离。 【解析】 （1）

设AC 的中点为G, 连接EG 。在三角形PBD 中，中位线EG//PB,且EG 在平面AEC 上，所以PB//平面AEC.

(2)

13

13

313

133∴413,,PAB -C BC PB,⊥BC PAB,⊥BC A PA AB BC,⊥BC,⊥2

3,13213131,43,.-BC,⊥∴⊥2--Δ--的距离为

到面所以，由勾股定理解得的高为三棱锥面的距离为到面设的高是三棱锥面PBC A h PB h PB BC BC AB PA V V PA AB x x PA S V V h PBD A AB x ABD P PA PA ABCD PA PBC A ABC P ABD ABD P ABD P ==??=??=∴=∩=∴????=?==

=ΘΘΘΘΘ2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标1卷）文数

6、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今

有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（ ）

（A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛

【答案】B 【解析】

试题分析：设圆锥底面半径为r ，则

12384r ??==16

3

r =

，所以米堆的体积为211163()5433

????=3209，故堆放的米约为320

9÷1.62≈22，故选B. 考点：本题主要考查圆锥的性质与圆锥的体积公式

11、圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =( )

（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8

【答案】B

【解析】

试题分析：由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球

的

半

径

都

为

r ，

圆

柱

的

高

为

2r

，

其

表

面

积

为

221

42222

r r r r r r πππ?+?++?=2254r r π+=16 + 20π，解得r=2，故选B. 考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式；圆柱的测面积公式

18. （本小题满分12分）如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ABCD ⊥平面，

（I ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；

（II ）若120ABC ∠=o ，,AE EC ⊥ 三棱锥E ACD -的体积为6

，求该三棱锥的侧面积.

【答案】（I ）见解析（II ）3+25

试题解析：（I ）因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ^BD ，

因为BE ^平面ABCD ，所以AC ^BE ，故AC ^平面BED. 又AC ì平面AEC ，所以平面AEC ^平面BED （II ）设AB=x ，在菱形ABCD 中，由DABC=120°，可得3x ,GB=GD=2

x . 因为AE ^EC ，所以在Rt D AEC 中，可得3

x . 由BE ^平面ABCD ，知D EBG 为直角三角形，可得2x . 由已知得，三棱锥E-ACD 的体积3116632243

E ACD V AC GD BE x -=醋?=.故x =2 从而可得6所以D EAC 的面积为3，D EAD 的面积与D ECD 5

故三棱锥E-ACD 的侧面积为3+25.

考点：线面垂直的判定与性质；面面垂直的判定；三棱锥的体积与表面积的计算；逻辑推理能力；运算求解能力

2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标2卷）数学文

一、选择题：本大题共12道小题,每小题5分,共60分.

6. 一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）

1A.8 1B.7 1C.6 1D.5

【答案】D 【解析】

试题分析：截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的1

6

,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为1

5 ,故选D.

考点：三视图

19. （本小题满分12分）如图,长方体1111ABCD A B C D -中AB =16,BC =10,18AA =,点E ,F 分别在1111,A B D C 上,11 4.A E D F ==过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.

（I）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；（II）求平面 把该长方体分成的两部分体积的比值.

【答案】（I）见试题解析（II）9

7

或

7

9

考点：1.几何体中的截面问题；2.几何体的体积