四川省树德中学2021届高三上学期11月阶段性测试 数学(文) PDF版含答案
2021年高三上学期11月教学质量检测考试数学文试题含答案
2021年高三上学期11月教学质量检测考试数学文试题含答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合，若，则实数的值为（）A．1或-1 B．1 C．-1 D．22、下函数中，其图象既是轴对称图形，又是在区间上单调递增的是A． B． C． D．3、函数的最小正周期是A． B． C． D．4、若，则A． B． C． D．5、已知命题，命题，使，则下列命题为真命题的是A． B． C． D．6、“”是数列为等差数列的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7、设四边形ABCD为平行四边形，，若点M、N满足，则A．-1 B．0 C．1 D．28、某几何体的三视图如图，则此几何体的体积为A．6 B．34C．44 D．549、设满足约束条件，若目标函数的最大值为1，则的最小值为A． B． C．8 D．1010、如图，函数的图象为折线ACB，则不等式的解集是A． B．C． D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
.11、已知向量，且，则12、函数函数的定义域为13、一块形状为直角三角形的铁皮，两直角边长分别为，现将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，则矩形的最大面积是14、函数的最大值为15、定义在R上的实数满足，且对任意都有，则不等式的解集为三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16、（本小题满分12分）在锐角中，分别为角所对的边，若向量，且（1）求的值；（2）若，且，求的面积。
17、（本小题满分12分）如图，在各棱长均为相等的三棱柱中，，D为AC的中点。
（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.18、（本小题满分12分）用五点法画函数在某一周期内的图象时，列表并填入部分数据，，如下表：（1）请将上表空格中出所缺的数据填写在答题卡的相应位置上，并直接写出函数的解析式；（2）将图象向左平移个单位，得到的图象，求时，函数 的值域。
高三试卷数学(理)-四川省成都市树德中学2024届高三上学期11月阶段性测试数学(理)试卷及参考答案
树德中学高2021级高三上学期11月阶段性测试数学（理科）试题第I 卷(选择题，共60分)一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}{}lg 1,2,x A x y x B y y x ==+==-∈R ∣∣，则A B = （）A.()1,0- B.()1,-+∞ C.RD.(),0∞-2.若复数z 满足()1i 23i z ⋅-=+，则复数z 的虚部是（）A.12-B.1i2- C.52D.52i 3.已知命题:p x R ∀∈，210x x -+>，命题q ：若a b <，则11a b>，下列命题为真命题的是()A ．p q∧B ．()p q⌝∧C ．()p q⌝∨D ．()()p q ⌝∨⌝4.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是()A ．403B ．803C ．40D ．205.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为()1,0F c -，坐标原点为O ，若在双曲线右支上存在一点P满足1PF =，且PO c =，则双曲线C 的离心率为（）A ．212+B1C ．312+D1+6.若实数x ，y 满足约束条件2000x y x y x a -+⎧⎪+⎨⎪-⎩，若2z x y =-的最大值等于3，则实数a 的值为()A ．1-B ．1C ．2D ．37．已知(,)a x y =，(1,9)(0,0)b x x y =->> ，若//a b ，则x y +的最小值为()A ．6B ．9C ．16D ．188.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L ＝00G G L D，其中L 表示每一轮优化时使用的学习率，L 0表示初始学习率，D 表示衰减系数，G 表示训练迭代轮数，G 0表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为22，且当训练迭代轮数为22时，学习率衰减为0.45，则学习率衰减到0.05以下(不含0.05)所需的训练迭代轮数至少为(参考数据：lg 3≈0.477)()A ．477B ．478C ．479D ．4809.设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，()f x =，(1),01,()1,122k x x g x x +<⎧⎪=⎨-<⋅⎪⎩ ，其中0k >.若在区间(0，5]上，关于x的方程()()f xg x=有5个不同的实数根，则k的取值范围是（）A．B．1[2C．1(2D ．12[,)3410.已知(2,2)A，B，C是抛物线22y px=上的三点，如果直线AB，AC被圆22(2)3x y-+=截得的两段弦长都等于BC的方程为()A．210x y++=B．3640x y++=C．2630x y++=D．320x y++=11.已知正四棱锥O ABCD-的底面边长为，高为3．以点O为球心，为半径的球O与过点A,B,C,D的球1O相交，相交圆的面积为π，则球1O的半径为()ABCD12.已知数列{}na的各项均不为零，1a a=，它的前n项和为nS，且na1(*)na n N+∈成等比数列，记1231111nnTS S S S=+++⋯+，则()A．当1a=时，202240442023T<B．当1a=时，202240442023T>C．当3a=时，202210111012T>D．当3a=时，202210111012T<第II卷(非选择题,共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡上.13．6(12)x-的展开式中含3x项的系数为________．（用数字作答）14．在平行四边形ABCD中，点E满足AE ACλ=，1344DE AB AD=-，则实数λ=．15.将函数()2sinf x x=图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的21，得到()h x的图像，再将函数()h x的图象左移8π个单位，得到()g x的图象，已知直线y a=与函数()g x的图象相交，记y轴右侧从左到右的前三个交点的横坐标依次为1a、2a、3a，若1a、2a、3a成等比数列，则公比q=______．16.已知函数2()e2e2x xf x x=-+在点()()00,P x f x处的切线方程为l：()y g x=，若对任意x R∈，都有()()()()0x x f x g x--≥成立，则x=______．三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．若sin (2cos )A a B =-．（1）求角B 的大小；（2）D 为边AB 上一点，且满足2CD =，4AC =，锐角三角形ACD ∆，求BC 的长．18．（12分）卡塔尔世界杯足球赛决赛中，阿根廷队通过扣人心弦的点球大战战胜了法国队．某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团．足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如下表所示．喜欢足球不喜欢足球合计男生40女生30合计（1）根据所给数据完成上表，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关？（2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门．已知男生进球的概率为23，女生进球的概率为12，每人射门一次，假设各人射门相互独立，记这3人进球总次数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：20()P K k 0.100.050.0250.0100.0050.0010k 2.7063.8415.0246.6357.87910.82819．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，ABCD 是直角梯形，AD DC ⊥，//AB DC ，222AB AD CD ===，点E 是PB 的中点．（1）证明：平面EAC ⊥平面PBC ；（2）若直线PB 与平面PAC P AC E --的余弦值．20．（12分）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>左、右顶点分别为A ，B ，点M 在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 交椭圆C 于,P Q 两点，记直线AP 的斜率为1k ，直线BQ 的斜率为2k ，且122k k =．过左顶点A 作直线PQ 的垂线，垂足为H ．问：在平面内是否存在定点T ，使得||TH 为定值，若存在，求出点T 的坐标；若不存在，试说明理由．21.（12分）已知函数()ln (0)f x x ax b b a =-+>>有两个零点()1212,x x x x <．（1）若直线y bx a =-与曲线()y f x =相切，求a b +的值；（2）若对任意210,e x a x >≥，求b a的取值范围．请考生在第22、23题中任选择一题作答,如果多做，则按所做的第一题记分.作答时,用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为2240x y x +-=．曲线2C 的参数方程为cos (1sin x y βββ=⎧⎨=+⎩为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线1C 和曲线2C 的极坐标方程；（2）若射线(0,0)2πθαρα=<<交曲线1C 于点P ，直线()2R πθαρ=+∈与曲线1C 和曲线2C 分别交于点M 、N ，且点P 、M 、N 均异于点O ，求MPN ∆面积的最大值．23．（10分）已知函数()|33||26|f x x x =+--．（1）求不等式()4f x x - 的解集；（2）设()f x 的最小值为m ，若正实数a ，b ，c 满足a b c m ++=-，求222a b c c a b++的最小值．树德中学高2021级高三上学期11月阶段性测试数学（理科）试题答案一、选择题：1-6ACDADB 7-12CCBBBC 二、填空题：13.160-14.1415.95或516.ln 2-（也可以填1ln2）17.解：（1sin sin (2cos )B A A B =-．sin 0A ≠ ，∴2cos B B =-．……2分cos 2B B +=，即2sin(26B π+=，即sin()16B π+=．…………4分0B π<< ，62B ππ∴+=，即3B π=，即角B 的大小为3π…………5分（2）ACD ∆的面积为124sin 2S ACD =⨯⨯∠=，即15sin 4ACD ∠=，…………6分ACD ∆ 是锐角三角形1cos 4ACD ∴∠==，由余弦定理得2221242244164164AD =+-⨯⨯⨯=+-=，…………8分则4AD =，ACD ∆为等腰三角形，sin sin sin BDC ADC ACD ∠=∠=∠=…………10分则BCD ∆中，sin sin BC CDBDC B=∠，得BC =…………12分18.解：（1）22⨯列联表：喜欢足球不喜欢足球合计男生6040100女生3070100合计90110200…………2分根据独立性检验公式可知，22200(60704030)18.18210.82810010090110K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，…………4分∴有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关；…………5分（2）这3人进球总次数X 的所有可能取值为0，1，2，3，对应概率为2111(0)()3218P X ==⨯=，122211115(1)()3322318P X C ==⋅⨯⨯+⨯=，122211214(2)(332329P X C ==⋅⨯⨯+⨯=，2212(3)()329P X ==⨯=，…………9分X ∴的分布列如下：ξ0123P1185184929…………10分∴54211()12318996E X=⨯+⨯+⨯=．…………12分19.解：（1）证明：PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，PC AC∴⊥，2AB=，由1AD CD==，AD DC⊥且ABCD是直角梯形，∴22222,()2AC AD DC BC AD AB DC=+==+-=，222AC BC AB∴+=，AC BC∴⊥，又PC AC⊥，PC BC C=，PC⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，AC∴⊥平面PBC，AC∴⊥平面PBC，又AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC；…………4分（2）方法一：由（1）知BC⊥平面PAC，BPC∴∠即为直线PB与平面PAC所成角，∴23sin3BCBPCPB PB∠===，∴6PB=，则2PC=，…………6分取AB的中点G，连接CG，以点C为坐标原点，分别以CG、CD、CP为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0C，0，0)，(0P，0，2)，(1A，1，0)，(1B，1-，0)，11(,,1)22E-，∴(1,1,0)CA=，(0,0,2)CP=，11(,,1)22CE=-，设平面PAC的法向量为111(,,)m x y z= ，则11120m CA x ym CP z⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，取(1,1,0)m=-，…………8分设平面ACE的法向量为222(,,)n x y z= ，则2222211022n CA x yn CE x y z⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取(1,1,1)n=--，…………10分∴11(1)(1)0(1)6cos,323m n⨯+-⨯-+⨯-<>==⋅，…………11分又由图知所求二面角为锐角，∴二面角P AC E--的余弦值为63．…………12分方法二：由（1）知BC⊥平面PAC，BPC∴∠即为直线PB与平面PAC所成角，∴23sin3BCBPCPB PB∠===，∴6PB=，则2PC=，…………6分因为AC ⊥平面PBC ，所以PCE ∠即为二面角P AC E --的平面角，…………8分在Rt PBC ∆中，PB BC ==，62,2PC PE CE ===，所以6cos cos 3PC PCE EPC PB ∠=∠==，…………11分所求二面角为锐角，二面角P AC E --的平面角的余弦值为63．…………12分20.解：（1）依题意，222222211c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得222422a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的方程为22142x y +=；…………4分（2）依题意()20A -，，()20B ，，设()11,P x y ，()22,Q x y ，若直线PQ 的斜率为0，则P ，Q 关于y 轴对称，必有AP BQ k k =-，不合题意；所以直线PQ 斜率必不为0，设其方程为x ty n =+()2n ≠±，与椭圆C 联立2224x y x ty n⎧+=⎨=+⎩，整理得：()2222240t y tny n +++-=，所以()()()22222244248240t n t n t n ∆=-+-=-+>，且12221222242tn y y t n y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，…………6分因为()11,P x y 是椭圆上一点，即2211142x y+=，所以21211122111121222442AP BP x y y y k kx x x x -⋅=⋅===-+---，则122AP BQ BP k k k =-=，即14BP BQ k k ⋅=-，…………7分因为12121224y y x x ⨯=---，得()()12124220y y x x +--=即()()()()()()2212121212422422y y ty n ty n t y y t n y y n ++-+-=++-++-()()()222224242222n tn t t n n t t ⎛⎫-⎛⎫=++--+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()()()()22222244222202t nt n n n t t +---+-+==+，因为2n≠，()()()()222422220t n t n n t++-+-+=，2222248222240n t n t t n nt n t+++-++--=整理得640n+=，解得23n=-，直线PQ恒过定点203N⎛⎫-⎪⎝⎭，.…………10分因为AH PQ⊥，所以点H在以AN为直径的圆上，…………11分故存在点034T⎛⎫-⎪⎝⎭，为AN的中点，满足题意.…………12分21.解：（1）由()lnf x x ax b=-+，可得其定义域为()0,∞+且()1f x ax'=-，设切点为()000,lnx x ax b-+，则切线斜率1k ax=-，所以切线方程为()0001lny a x x x ax bx⎛⎫=--+-+⎪⎝⎭，即01ln1y a x x bx⎛⎫=-++-⎪⎝⎭，所以01ln1a bxx b a⎧-=⎪⎨⎪+-=-⎩，则011lna b xx+==-，…………3分设()1ln1F x xx=+-，则()00F x=，且()211F xx x=-'，令()0F x'=，解得1x=，当()0,1x∈时，()()0,F x F x'<在()0,1上单调递减；当()1,x∈+∞时，()()0,FF x x'>在()1,+∞上单调递增，所以()min()10F x F==，所以1x=，所以11a bx+==．…………5分（2）设(1)b ma m=>，由()()12f x f x==，得1122ln ln0x ax ma x ax ma-+=-+=，整理得1212ln ln0x xax m x m==>--，由图像知()10,1x∈，设21x tx=，则由题意可知，et≥，所以111111ln ln ln lnx tx t xax m tx m tx m+===---，整理得111ln ln1x x tx m t=--，…………7分设()()ln e 1tG t t t =≥-，则()211ln (1)t t G t t '--=-，设()11ln H x t t =--，则()2110H t t t =-<'，所以()H t 单调递减，所以()()1e 0eH t H ≤=-<，即()0G t '<，所以()G t 单调递减，所以()()1e e 1G t G ≤=-，即111ln 1e 1x x x m ≤--，…………9分可得，111ln 1e 1x x x m ≤--对任意()10,1x ∈恒成立，整理得()111e 1ln x x x m --≥-，设()()()()e 1ln 0,1x x x x x ϕ=--∈，则()()e 1ln e 2x x ϕ=-+-'，令()0x ϕ'=，解得2e e 1ex --=，当2e e 10,e x --⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,x x ϕϕ'<在2ee 10,e --⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当2e e 1e ,1x --⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,x x ϕϕ'>在2ee 1e ,1--⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()()2e 2e 2e 2ee 1e 1e 1e 1min()e 2e e e 1e e x ϕϕ--------⎛⎫==--=- ⎪⎝⎭，所以()2e e 11e e m ---≥-，即()2e e 1e 1em --≥-．所以b a 的取值范围为()2ee 1e 1e --+⎡⎫-⎪⎢⎣∞⎭，…………12分22.解：（1）把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入2240x y x +-=，得曲线1C 的极坐标方程为24cos ρρθ=，即4cos ρθ=．…………2分将cos 1sin x y ββ=⎧⎨=+⎩中的参数消去，得曲线2C 的普通方程为2220x y y +-=，把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，得曲线2C 的极坐标方程为22sin ρρθ=，即2sin ρθ=．…………5分（2）由题得||4cos OP α=，3||4cos(4sin 2OM παα=+=，||2sin()2cos 2ON παα=+=，||||||4sin 2cos NM OM ON αα=+=+，…………7分因为OP MN ⊥，所以211||||(4sin 2cos )4cos 2(4sin cos 2)22MPN S MN OP cos αααααα∆=⨯=+⋅=+2(2sin 2cos 21))22αααϕ=++=++，其中1tan 2ϕ=，02πϕ<<，当22παϕ+=，即42πϕα=-时，MPN ∆的面积取得最大值2．…10分23.解：（1）当1x - 时，原不等式等价于(33)264x x x -++-- ，解得52x - ；当13x -<<时，原不等式等价于33264x x x ++-- ，解得134x -< ；当3x 时，原不等式等价于33(26)4x x x +--- ，解得3x ．综上所述，原不等式的解集是51(,[,)24-∞--+∞ ．…………5分（2）由（1）得9,1()53,139,3x x f x x x x x ---⎧⎪=--<<⎨⎪+⎩，所以()(1)8min f x f =-=-，则8a b c ++=．…………7分因为22a c a c + ，22b a b a + ，22c b c b + ，所以2222()16a b c a b c a b c c a b+++++++= ，即2228a b c c a b ++ ，当且仅当83a b c ===时等号成立，故222a b c c a b ++的最小值为8．…………10分。
四川省成都市树德中学2019-2020学年高三11月阶段性检测数学(理)试题
10．平面直角坐标系中，过坐标原点 作曲线 的切线 ，则曲线 、直线 与 轴所围成的封闭图形的面积为（）
A． B． C． D．
11．已知椭圆、双曲线均是以线段 的两端点为焦点的曲线，点B是它们的一个公共点且满足 ，记此椭圆和双曲线的离心率分别为 、 ，则 （）
A． B．2C． D．3
A．16B． C． D．
6．如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为 若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数 的图象大致是
A． B．
C． D．
7．如图圆锥的高 ，底面直径 是圆 上一点，且 ，则 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
对于命题②，原点在虚轴上，原点代表的数为零，不是纯虚数，命题②错误；
对于命题③，互为共轭复数的两个复数的实部相等，虚部互为相反数，命题③正确；
对于命题④，由 ，得 ，所以，复数 在复平面内所对应的点在第四象限，命题④正确.
因此，正确的命题为①③④.
故选：C.
【点睛】
本题考查与复数相关的命题真假的判断，涉及复数的几何意义、共轭复数概念的理解以及复数的除法运算，考查推理能力，属于基础题.
12．已知 是定义在 上的偶函数，且 ，当 时， ,则函数 在区间 的所有零点之和为（）
A．-7B．-6C．-5D．-4
第II卷（非选择题)
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评卷人
得分
二、填空题
13．已知以点 为圆心的圆C与直线 相切，则圆C的方程为______．
14．在矩形 中， ， ， ，则 __________.
得分
一、单选题
1．设集合 ， ，则 （ ）
四川省成都市树德中学高二数学上学期11月份段考试卷(含解析)
四川省成都市树德中学2014-2015学年高二上学期段考数学试卷（11月份）一、选择题（每题5分，共50分）1．（5分）如图是一块带有圆形空洞和方形空洞的小木板，则下列物体中既可以堵住圆形空洞，又可以堵住方形空洞的是（）A．B．C．D．2．（5分）设a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题不成立的是（）A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥βB．当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥bC．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥βD．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c3．（5分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°4．（5分）已知△ABC的斜二测直观图是边长为2的等边△A1B1C1，那么原△ABC的面积为（）A．B．C．D．5．（5分）棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，四面体AB1CD1的体积为（）A．B．C．D．6．（5分）下列命题中正确的是（）A．若平面M外的两条直线在平面M内的射影为一条直线及此直线外的一个点，则这两条直线互为异面直线B．若平面M外的两条直线在平面M内的射影为两条平行直线，则这两条直线相交C．若平面M外的两条直线在平面M内的射影为两条平行直线，则这两条直线平行D．若平面M外的两条直线在平面M内的射影为两条互相垂直的直线，则这两条直线垂直7．（5分）在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．若AC=BD=a，若四边形EFGH的面积为，则异面直线AC与BD所成的角为（）A．30°B．60°C．120°D．60°或120°8．（5分）如果0直角三角形的斜边与平面α平行，两条直角边所在直线与平面α所成的角分别为θ1和θ2，则（）A．sin2θ1+sin2θ2≥1B．sin2θ1+sin2θ2≤1C．sin2θ1+sin2θ2＞1 D．sin2θ1+sin2θ2＜19．（5分）一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱．这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h1，h2，h，则h1：h2：h=（）A．B．C．D．10．（5分）如图，在△ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，则AB2=BD•BC；类似地有命题：在三棱锥A﹣BCD中，AD⊥面ABC，若A点在BCD内的射影为M，则有．上述命题是（）A．真命题B．增加条件“AB⊥AC”才是真命题C．增加条件“M为△BCD的垂心”才是真命题D．增加条件“三棱锥A﹣BCD是正三棱锥”才是真命题二、填空题（每题5分，共25分）11．（5分）已知A（3，5，﹣7）和点B（﹣2，4，3），点A在x轴上的射影为A′，点B在z轴上的射影为B′，则线段A′B′的长为_．12．（5分）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．13．（5分）如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥DQ，则a的值等于．14．（5分）已知正方体的棱长ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，G是面BB1C1C的中心，M为面ABCD 上一点，则D1M+GM的最小值为．15．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，有以下命题①若A1在底面ABC内的投影为△ABC的中心，∠A1AB=60°；②若A1在底面ABC内的投影为△ABC的中心，则AB1与面ABC所成角的正弦值为；③若A1在底面ABC内的投影为线段BC的中点，则二面角A1﹣AB﹣C的正切值为④若A1在底面ABC内的投影为线段BC的中点，则AB1与面ABC所成角的正弦值为．以上正确命题的序号为．三、解答题（共75分）16．（12分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P、Q分别是正方形AA1D1D和A1B1C1D1的中心．（1）证明：PQ∥平面DD1C1C；（2）求PQ与平面AA1D1D所成的角．17．（12分）已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，左视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．（1）证明：BN⊥平面C1NB1；（2）求二面角C﹣NB1﹣B的正切值的大小．18．（12分）在四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形．（1）求证：BC⊥AD；（2）若二面角A﹣BC﹣D为，求异面直线AB与CD所成角的余弦值；（3）设二面角A﹣BC﹣D的大小为θ，猜想θ为何值时，四面体A﹣BCD的体积最大．（不要求证明）19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A′B′C′，∠BAC=90°，，AA′=1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．（Ⅰ）证明：MN∥平面A′ACC′；（Ⅱ）求三棱锥A′﹣MNC的体积．（椎体体积公式V=Sh，其中S为底面面积，h为高）20．（13分）如图，在四棱柱ABC﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，AA1=4，AB=2，点E在棱CC1上，点E是棱C1C上一点．（1）求证：无论E在任何位置，都有A1E⊥BD（2）试确定点E的位置，使得A1﹣BD﹣E为直二面角，并说明理由．（3）试确定点E的位置，使得四面体A1﹣BDE体积最大．并求出体积的最大值．21．（14分）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，，∠ABC=90°（如图1）．把△ABD沿BD翻折，使得二面角A﹣BD﹣C的平面角为θ（如图2）（1）若，求证：CD⊥AB；（2）是否存在适当θ的值，使得AC⊥BD，若存在，求出θ的值，若不存在说明理由；（3）取BD中点M，BC中点N，P、Q分别为线段AB与DN上一点，使得．令PQ与BD和AN所成的角分别为θ1和θ2．求证：对任意θ∈（0．π），总存在实数λ，使得sinθ1+sinθ2均存在一个不变的最大值．并求出此最大值和取得最大值时θ与λ的关系．四川省成都市树德中学2014-2015学年高二上学期段考数学试卷（11月份）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共50分）1．（5分）如图是一块带有圆形空洞和方形空洞的小木板，则下列物体中既可以堵住圆形空洞，又可以堵住方形空洞的是（）A．B．C．D．考点：简单空间图形的三视图．专题：规律型．分析：根据题意，满足条件的空间几何体的三视图中含有圆和正方形．然后分别进行判断即可．解答：解：A．正方体的正视图为正方形，侧视图为正方形，俯视图也为正方形，不满足条件．B．圆柱的正视图和侧视图为相同的矩形，俯视图为圆，满足条件．C．圆锥的正视图为三角形，侧视图为三角形，俯视图为圆，不满足条件．D．球的正视图，侧视图和俯视图相同的圆，不满足条件．故选：B．点评：本题主要考查三视图的识别和判断，要求熟练掌握常见空间几何体的三视图，比较基础．2．（5分）设a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题不成立的是（）A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥βB．当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥bC．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥βD．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．解答：解：当c⊥α时，若c⊥β，则由平面与平面平行的判定定理知α∥β，故A正确；当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则由三垂线定理知a⊥b，故B正确；当b⊂α时，若b⊥β，则由平面与平面垂直的判定定理知α⊥β，故C正确；当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b与c平行或异面，故D错误．故选：D．点评：本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养．3．（5分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°考点：空间中直线与直线之间的位置关系；棱柱的结构特征；空间中直线与平面之间的位置关系．分析：A中因为BD∥B1D1可判，B和C中可由三垂线定理进行证明；而D中因为CB1∥D1A，所以∠D1AD即为异面直线所成的角，∠D1AD=45°．解答：解：A中因为BD∥B1D1，正确；B中因为AC⊥BD，由三垂线定理知正确；C中有三垂线定理可知AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，故正确；D中显然异面直线AD与CB1所成的角为45°故选D点评：本题考查正方体中的线面位置关系和异面直线所成的角，考查逻辑推理能力．4．（5分）已知△ABC的斜二测直观图是边长为2的等边△A1B1C1，那么原△ABC的面积为（）A．B．C．D．考点：平面图形的直观图．专题：计算题；作图题；数形结合．分析：作出如图的直观图，将三角形的一边放到X轴上，顶点Y轴上建系，由斜二测画法还原即可解答：解：如图，三角形ABC是等边三角形，边长为2，作AD垂直BC于D，则AD=由于角AOD=45°故可求得AO=由此可得平面图形的底边长为2，高为2故平面图中三角形的面积是×2×2=故选C点评：本题考查平面图形的直观图，解题的关键是熟练掌握斜二测画法的规则，与x轴平行的线段长度不变，与y平行的线段其长度变为原来的一半，故还原时，与y轴平行的线段的长度需要变为直观图中的二倍．5．（5分）棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，四面体AB1CD1的体积为（）A．B．C．D．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：利用正方体的体积减去4个正三棱锥的体积即可．解答：解：如图所求三棱锥的体积为：正方体的体积减去4个正三棱锥的体积即13﹣4×××1×1×1=．故答案为：B点评：本题考查几何体的体积的求法，考查转化思想，计算能力．解题时要认真审题，注意空间想象力的培养．6．（5分）下列命题中正确的是（）A．若平面M外的两条直线在平面M内的射影为一条直线及此直线外的一个点，则这两条直线互为异面直线B．若平面M外的两条直线在平面M内的射影为两条平行直线，则这两条直线相交C．若平面M外的两条直线在平面M内的射影为两条平行直线，则这两条直线平行D．若平面M外的两条直线在平面M内的射影为两条互相垂直的直线，则这两条直线垂直考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用空间中线线、线面、面面间的位置关系判断．解答：解：若平面M外的两条直线在平面M内的射影为一条直线及此直线外的一个点，则这两条直线没有交点，且一条垂直于平面，一条不垂直于平面，所以这两条直线互为异面直线，故A正确；若平面M外的两条直线在平面M内的射影为两条平行直线，则这两条直线平行或异面，故B和C错误；若平面M外的两条直线在平面M内的射影为两条互相垂直的直线，则这两条直线相交或异面，故D错误．故选：A．点评：本题考查真假命题的判断，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．7．（5分）在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．若AC=BD=a，若四边形EFGH的面积为，则异面直线AC与BD所成的角为（）A．30°B．60°C．120°D．60°或120°考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；空间角．分析：根据三角形中位线定理，结合题意证出四边形EFGH为菱形，∠FEH（或其补角）就是异面直线AC与BD所成的角．设AC与BD所成的角为α，利用平行四边形的面积公式，建立关于α的等式，解之即可得出AC与BD所成的角．解答：解：连结EH，∵EH是△ABD的中位线，∴EH∥BD且EH=BD．同理可得FG∥BD，EF∥AC，且FG=BD，EF=AC．∴EH∥FG，且EH=FG，可得四边形EFGH为平行四边形．∵AC=BD=a，∴EF=EH=，四边形EFGH为菱形，设AC与BD所成的角为α，可得∠FEH=α或π﹣α，可得四边形EFGH的面积，解得sin．结合异面直线所成角为锐角或直角，可得α=60°，即异面直线AC与BD所成的角为60°．故选：B点评：本题在特殊的空间四边形中求异面直线所成角的大小，着重考查了平行四边形的面积公式、三角形中位线定理、异面直线所成角的定义及求法等知识，属于中档题．8．（5分）如果0直角三角形的斜边与平面α平行，两条直角边所在直线与平面α所成的角分别为θ1和θ2，则（）A．sin2θ1+sin2θ2≥1B．sin2θ1+sin2θ2≤1C．sin2θ1+sin2θ2＞1 D．sin2θ1+sin2θ2＜1考点：直线与平面所成的角．专题：计算题．分析：由已知中直角三角形的斜边与平面α平行，两条直角边所在直线与平面α所成的角分别为θ1和θ2，根据空间直线与平面夹角的定义，我们可得θ1+θ2≤90°，当且仅当三角形所在平面与α垂直时取等，进而得到结论．解答：解：∵直角三角形的斜边与平面α平行，两条直角边所在直线与平面α所成的角分别为θ1和θ2，则θ1+θ2≤90°（当且仅当三角形所在平面与α垂直时取等）则sin2θ1+sin2θ2≤1（当且仅当三角形所在平面与α垂直时取等）故选B点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，其中根据已知结合空间直线与平面夹角的定义，得到θ1+θ2≤90°，是解答本题的关键．9．（5分）一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱．这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h1，h2，h，则h1：h2：h=（）A．B．C．D．考点：简单组合体的结构特征．专题：计算题；压轴题．分析：做该题可以将几何体还原，利用题目的条件进行求解即可．解答：解：如图，设正三棱锥P﹣ABE的各棱长为a，则四棱锥P﹣ABCD的各棱长也为a，DO=，h1=PO，于是，，∴．故选B．点评：本题考查学生的空间想象能力，及对简单几何体机构的认识，是基础题．10．（5分）如图，在△ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，则AB2=BD•BC；类似地有命题：在三棱锥A﹣BCD中，AD⊥面ABC，若A点在BCD内的射影为M，则有．上述命题是（）A．真命题B．增加条件“AB⊥AC”才是真命题C．增加条件“M为△BCD的垂心”才是真命题D．增加条件“三棱锥A﹣BCD是正三棱锥”才是真命题考点：直线与平面垂直的性质．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：连接AE，证明AM⊥DE，AD⊥AE，由射影定理可得AE2=EM•ED，再结合三角形的面积公式可得结论．解答：解：连接AE，则因为AD⊥面ABC，AE⊂面ABC，所以AD⊥AE．又AM⊥DE，所以由射影定理可得AE2=EM•ED．于是S△ABC2==S△BCM•S△BCD．故有S△ABC2=S△BCM•S△BCD．所以命题是一个真命题．故选A．点评：本题考查类比推理及利用平面的性质证明空间的结论，考查空间想象能力，证明AE2=EO•ED是关键．二、填空题（每题5分，共25分）11．（5分）已知A（3，5，﹣7）和点B（﹣2，4，3），点A在x轴上的射影为A′，点B 在z轴上的射影为B′，则线段A′B′的长为3_．考点：空间中的点的坐标．专题：计算题．分析：根据点B是A（3，4，﹣2）在xOy坐标平面内的射影，所以A与A′的横坐标和竖坐标相同，纵坐标为0，得到A′的坐标，同理求出B′的坐标，根据两点之间的距离公式得到结果．解答：解：∵点A（3，5，﹣7）在x轴上的射影A′（3，0，0），点B（﹣2，4，3），点B在z轴上的射影为B′（0，0，3），∴|A′B′|==3，故答案为：3；点评：本题考查空间直角坐标系，考查空间中两点间的距离公式，是一个基础题，解题的关键是，一个点在坐标轴上的射影的坐标同这个点的坐标的关系．12．（5分）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图可知：上面是一个四棱锥，下面是一个圆柱．其中：四棱锥的母线长为2，底面是一个对角线为2的正方形；圆柱的底面直径为2，高为2．利用体积计算公式即可得出．解答：解：由三视图可知：上面是一个四棱锥，下面是一个圆柱．其中：四棱锥的母线长为2，底面是一个对角线为2的正方形；圆柱的底面直径为2，高为2．∴该几何体的体积V=+π×12×2=．故答案为：．点评：本题考查了四棱锥与圆柱的三视图及其体积计算公式，属于基础题．13．（5分）如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥DQ，则a的值等于2．考点：直线与平面垂直的性质．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：利用三垂线定理的逆定理、直线与圆相切的判定与性质、矩形的性质、平行线的性质即可求出．解答：解：连接AQ，取AD的中点O，连接OQ．∵PA⊥平面ABCD，PQ⊥DQ，∴由三垂线定理的逆定理可得DQ⊥AQ．∴点Q在以线段AD的中点O为圆心的圆上，又∵在BC上有且仅有一个点Q满足PQ⊥DQ，∴BC与圆O相切，（否则相交就有两点满足垂直，矛盾．）∴OQ⊥BC，∵AD∥BC，∴OQ=AB=1，∴BC=AD=2，即a=2．故答案为：2．点评：本题体现转化的数学思想，转化为BC与以线段AD的中点O为圆心的圆相切是关键，属于中档题．14．（5分）已知正方体的棱长ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，G是面BB1C1C的中心，M为面ABCD 上一点，则D1M+GM的最小值为．考点：棱柱的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：建立空间直角坐标系，利用对称性以及两点间的距离公式求出D1M+GM的最小值．解答：解：建立空间直角坐标系如图，；∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，G是面BB1C1C的中心，∴G（1，2，1），作G关于平面xoy的对称点G1，则G1（1，2，﹣1），又D1（0，0，2），∴D1M+MG=D1M+MG1=D1G1==，∴D1M+GM的最小值为；故答案为：．点评：本题以正方体为载体考查了利用对称性求最小值的问题，是基础题．15．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，有以下命题①若A1在底面ABC内的投影为△ABC的中心，∠A1AB=60°；②若A1在底面ABC内的投影为△ABC的中心，则AB1与面ABC所成角的正弦值为；③若A1在底面ABC内的投影为线段BC的中点，则二面角A1﹣AB﹣C的正切值为④若A1在底面ABC内的投影为线段BC的中点，则AB1与面ABC所成角的正弦值为．以上正确命题的序号为①③④．考点：棱柱的结构特征．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：根据题意，①②画出一个图形，③和④各画出一个图形，先找出角，再计算所求的值，从而判定命题是否正确．解答：解：①中，如图；A1在底面ABC内的投影为△ABC的中心O，则A1O⊥平面ABC，∴A1O⊥AB；又OD⊥AB，∴AB⊥A1D；又AD=AA1，∴cos∠A1AB=，∴∠A1AB=60°，①正确；②中，设三棱柱的侧棱、底边长为1，A1在底面△ABC的射影是中心O，则OA=OB=OC=×=，且AA1=BA1=CA1=1，在Rt△AA1O中A1O=，设AB1与A1B的交点为M，则MB=，AM=作点M在平面ABC上的射影N，则N是A1B的射影OB的中点，BN=×=，在Rt△MNB中得MN=，∵∠MAN是直线AB1与平面ABC所成的角，∴Rt△MNA中，sinMAN===，∴②错误；③中，如图；A1在底面ABC内的投影为线段BC的中点O，过点O作OD⊥AB，垂足为D，连接A1D，则∠A1DO是二面角A1﹣AB﹣C的平面角，∴tan∠A1DO===，∴③正确；④中，如图；设A1在底面ABC内的投影为线段BC的中点O，则过点B1作B1E⊥平面ABC，垂足为E，连接AE，则∠B1AE是AB1与面ABC所成的角，过O点作OG⊥AB于G，连接A1G，∴A1G⊥AB；过E点作EF⊥AB于F，连接B1F，∴B1F⊥AB，∴△AA1G≌△BB1F；设AB=a，∴A1O===a，∴=+OG2=+=a2，∴B1F=A1G，∴AG2=﹣=a2﹣a2=a2，∴AG=a；∴AF=AB+BF=a+a=a，∴AB1===a，则sin∠B1AE===，∴④正确；故答案为：①③④．点评：本题考查了求空间中的线线，线面以及面面所成的角的问题，解题时应先找出角，再计算所求的值．三、解答题（共75分）16．（12分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P、Q分别是正方形AA1D1D和A1B1C1D1的中心．（1）证明：PQ∥平面DD1C1C；（2）求PQ与平面AA1D1D所成的角．考点：直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）连接A1C1，DC1，则Q为A1C1的中点，可得PQ∥DC1，利用线面平行的判定定理，可得PQ∥平面DD1C1C；（2）因为PQ∥DC1，所以PQ、DC1与平面AA1D1D所成的角相等，从而可求PQ与平面AA1D1D 所成的角．解答：（1）证明：连接A1C1，DC1，则Q为A1C1的中点．∴PQ∥DC1且PQ=DC1，∵PQ⊄平面DD1C1C，DC1⊂平面DD1C1C，∴PQ∥平面DD1C1C；…（6分）（2）解：∵PQ∥DC1，∴PQ、DC1与平面AA1D1D所成的角相等，∵DC1与平面AA1D1D所成的角为45°，∴PQ与平面AA1D1D所成的角为45°．…（12分）点评：本题考查线面平行，考查线面角，其中证明PQ∥DC1是关键．17．（12分）已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，左视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．（1）证明：BN⊥平面C1NB1；（2）求二面角C﹣NB1﹣B的正切值的大小．考点：与二面角有关的立体几何综合题．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）证明BN⊥平面C1NB1，只需证明BN⊥B1C1，BN⊥B1N即可；（2）证明∠CNB为所求二面角的平面角，在Rt△BCN中，可求二面角C﹣NB1﹣B的正切值的大小．解答：（1）证明：据题意易得B1C1⊥平面ABB1N，∴BN⊥B1C1，∵BN=4，BB1=8，NB1=4，∴BN⊥B1N，∵B1C1∩B1N=B1，∴BN⊥平面C1NB1；（2）解：∵BC⊥平面ABB1N，BN⊥B1N，∴CN⊥B1N，∴∠CNB为所求二面角的平面角．在Rt△BCN中，tan∠CNB==．点评：本题考查线面垂直，考查面面角，解题的关键是正确运用线面垂直的判定定理，正确作出面面角．18．（12分）在四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形．（1）求证：BC⊥AD；（2）若二面角A﹣BC﹣D为，求异面直线AB与CD所成角的余弦值；（3）设二面角A﹣BC﹣D的大小为θ，猜想θ为何值时，四面体A﹣BCD的体积最大．（不要求证明）考点：与二面角有关的立体几何综合题；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）根据线面垂直的性质证明BC⊥平面AOD即可证明BC⊥AD；（2）根据二面角A﹣BC﹣D的大小，即可求异面直线AB与CD所成角的余弦值；（3）根据条件进行猜想即可得到四面体A﹣BCD的最大体积．解答：证明：（1）取BC中点O，连结AO，DO．∵△ABC，△BCD都是边长为4的正三角形，∴AO⊥BC，DO⊥BC，且AO∩DO=O，∴BC⊥平面AOD．又AD⊂平面AOD，∴BC⊥AD．（2）取AC中点M，AD中点N，则OM∥AB，MN∥CD，∴∠OMN为所求角（或其补交）另一方面，由（1）知道BC⊥平面AOD，从而二面角A﹣BC﹣D的平面角为．∴△AOD为正三角形，∴，∴ON=AD=3从而在∴△OMN中，∴异面直线AB与CD所成角的余弦值为；（3）当θ=90°时，四面体ABCD的体积最大．点评：本题主要考查空间直线和平面垂直的性质和判断，以及空间二面角和异面直线所成角的计算，考查学生的计算能力．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A′B′C′，∠BAC=90°，，AA′=1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．（Ⅰ）证明：MN∥平面A′ACC′；（Ⅱ）求三棱锥A′﹣MNC的体积．（椎体体积公式V=Sh，其中S为底面面积，h为高）考点：直线与平面平行的判定；棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：综合题．分析：（Ⅰ）证法一，连接AB′，AC′，通过证明MN∥AC′证明MN∥平面A′ACC′．证法二，通过证出MP∥AA′，PN∥A′C′．证出MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′，即能证明平面MPN∥平面A′ACC′后证明MN∥平面A′ACC′．（Ⅱ）解法一，连接BN，则V A′﹣MNC=V N﹣A′MC=V N﹣A′BC=V A′﹣NBC=．解法二，V A′﹣MNC=V A′﹣NBC﹣V M﹣NBC=V A′﹣NBC=．解答：（Ⅰ）（证法一）连接AB′，AC′，由已知∠BAC=90°，AB=AC，三棱柱ABC﹣A′B′C′为直三棱柱，所以M为AB′的中点，又因为N为B′C′中点，所以MN∥AC′，又MN⊄平面A′ACC′，AC′⊂平面A′ACC′，所以MN∥平面A′ACC′；（证法二）取A′B′中点，连接MP，NP．而M，N分别为AB′，B′C′中点，所以MP∥AA′，PN∥A′C′．所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′；又MP∩PN=P，所以平面MPN∥平面A′ACC′，而MN⊂平面MPN，所以MN∥平面A′ACC′；（Ⅱ）（解法一）连接BN，由题意A′N⊥B′C′，平面A′B′C′∩平面B′BCC′=B′C′，所以A′N⊥平面NBC，又A′N=B′C′=1，故V A′﹣MNC=V N﹣A′MC=V N﹣A′BC=V A′﹣NBC=．（解法二）V A′﹣MNC=V A′﹣NBC﹣V M﹣NBC=V A′﹣NBC=．点评：本题考查线面关系，体积求解，考查空间想象能力、思维能力、推理论证能力、转化、计算等能力．20．（13分）如图，在四棱柱ABC﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，AA1=4，AB=2，点E在棱CC1上，点E是棱C1C上一点．（1）求证：无论E在任何位置，都有A1E⊥BD（2）试确定点E的位置，使得A1﹣BD﹣E为直二面角，并说明理由．（3）试确定点E的位置，使得四面体A1﹣BDE体积最大．并求出体积的最大值．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）由AA1⊥底面ABCD，可得AA1⊥BD，结合菱形的性质可得AC⊥BD，由线面垂直的判定定理可得BD⊥平面AA1C1C，进而得到A1E⊥BD；（2）由（1）得二面角A1﹣BD﹣E的平面角为∠A1OE，令CE=x，利用勾股定理，可得x值，进而确定E点的位置；（3）过E作A 1O的垂线与H，则必有EH⊥平面A1BD，从而，所以当EH最大时，四面体A1﹣BDE体积最大．所以当E点和C1重合时体积最大．代入棱锥体积公式，可得答案．解答：证明：（1）∵AA1⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，∴AA1⊥BD又∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD又∵AA1∩AC=A，AA1，AC⊂平面AA1C1C∴BD⊥平面AA1C1C又∵A1E⊂平面AA1C1C∴A1E⊥BD…（4分）解：（2）由（1）得BD⊥平面AA1C1C，∴二面角A1﹣BD﹣E的平面角为∠A1OE．令CE=x，则易得，由…（8分）（3）∵另一方面，∵BD⊥平面AA1C1C，∴平面A1BD⊥平面AA1C1C，过E作A 1O的垂线与H，则必有EH⊥平面A1BD，从而∴当EH最大时，四面体A1﹣BDE体积最大．∴当E点和C1重合时体积最大．此时，…（11分）从而…（13分）点评：本题考查的知识点是棱锥的体积，直线与平面垂直的性质，难度中档．21．（14分）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，，∠ABC=90°（如图1）．把△ABD沿BD翻折，使得二面角A﹣BD﹣C的平面角为θ（如图2）（1）若，求证：CD⊥AB；（2）是否存在适当θ的值，使得AC⊥BD，若存在，求出θ的值，若不存在说明理由；（3）取BD中点M，BC中点N，P、Q分别为线段AB与DN上一点，使得．令PQ与BD和AN所成的角分别为θ1和θ2．求证：对任意θ∈（0．π），总存在实数λ，使得sinθ1+sinθ2均存在一个不变的最大值．并求出此最大值和取得最大值时θ与λ的关系．考点：与二面角有关的立体几何综合题．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）先证明CD⊥BD，利用平面ABD⊥平面BCD，可得CD⊥平面ABD，利用线面垂直的性质可得CD⊥AB；（2）不存在．由AC⊥BD，CD⊥BD，AC∩CD=C，可得BD⊥平面ACD，BD⊥AD，与∠ABC=90°矛盾；（3）BN线段取点R使得，从而易得PR∥AN且RQ∥BDA，θ1=∠PQR，θ2=∠QPR，确定θ1+θ2，利用基本不等式，即可求sinθ1+sinθ2的最大值．此时有PR=QR，利用比例关系，结合余弦定理，即可得出取得最大值时θ与λ的关系．解答：（1）证明：由已知条件可得BD=2，CD=2，CD⊥BD．∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，∴CD⊥平面ABD．又∵AB⊂平面ABD，∴CD⊥AB．（2）解：不存在．∵AC⊥BD，CD⊥BD，AC∩CD=C，∴BD⊥平面ACD，∵AD⊂平面ACD，∴BD⊥AD，与∠ABC=90°矛盾，故不存在；（3）证明：在BN线段取点R使得从而易得PR∥AN且RQ∥BDA，θ1=∠P QR，θ2=∠QPR另一方面，AM⊥BD，MN⊥BD，从而θ=∠AMN．∵AM⊥BD，MN⊥BD，AM∩MN=M，∴BD⊥AN，∵PR∥AN，RQ∥BD，∴∠PRQ=，从而有，∴当且仅当sinθ1=sinθ2，即θ1=θ2时取得最大值．此时有PR=QR，又∵，，∴…（14分）点评：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面等基础知识，考查基本不等式的运用，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想．。
2020-2021成都树德中学高三数学上期中模拟试卷附答案
2020-2021成都树德中学高三数学上期中模拟试卷附答案一、选择题1．定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}n a ,若(){}nf a 仍是比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在()(),00,-∞⋃+∞上的如下函数： ①()3f x x =；②()xf x e =；③()f x =④()ln f x x =则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为（ ） A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④2．下列命题正确的是A ．若 a ＞b,则a 2＞b 2B ．若a ＞b ，则 ac ＞bcC ．若a ＞b ，则a 3＞b 3D ．若a>b ，则1a ＜1b3．已知实数x ，y 满足521802030x y x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≥⎩，若直线10kx y -+=经过该可行域，则实数k的最大值是（ ） A ．1B ．32C ．2D ．34．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则313233310log log log log a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．10B ．12C ．31log 5+D ．32log 5+5．已知,x y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则3x y -的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．166．已知数列{a n } 满足a 1=1，且111()(233n n n a a n -=+≥，且n ∈N*），则数列{a n }的通项公式为（ ）A ．32nn a n =+B ．23n n n a +=C ．a n =n+2D ．a n =（ n+2）·3n7．若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解,则a 的取值范围是（ ）A ．23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．23,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()1,+∞D ．23,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦8．已知ABC ∆中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3b =，33c =，30B =︒，则AB 边上的中线的长为( )A ．372B ．34 C ．32或372D ．34或3729．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为56米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．若国歌长度约为秒，要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为()（米 /秒）A ．110B ．310C ．12D ．71010．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，60A =︒，43a=，4b =，则B =（ ） A ．30B =︒或150B =︒ B ．150B =︒ C ．30B =︒D ．60B =︒11．如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么1a +2a +…+7a =（ ）A ．14B ．21C ．28D ．3512．已知{}n a 是等比数列，22a =，514a =，则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．()1614n--B ．()1612n--C ．()32123n -- D ．()32143n -- 二、填空题13．在平面内，已知直线12l l P ，点A 是12,l l 之间的定点，点A 到12,l l 的距离分别为和，点是2l 上的一个动点，若AC AB ⊥，且AC 与1l 交于点C ，则ABC ∆面积的最小值为____．14．已知12 0,0,2a ba b>>+=，2+a b的最小值为_______________.15．已知等比数列{}na的首项为2，公比为2，则112nnaa a aaa a a+=⋅⋅⋅L_______________．16．不等式211x x--<的解集是．17．某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B 类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为__________元．18．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得80CD=，135ADB∠=︒，15BDC DCA∠∠==︒，120ACB∠=︒，则A，B两点的距离为________．19．正项等比数列{}n a满足2418-=a a，6290-=a a，则{}n a 前5项和为________. 20．如图在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是___________．三、解答题21．已知等差数列{}n a的前n项和为n S，各项为正的等比数列{}n b的前n项和为n T，11a=-，11b=，222a b+=.（1）若335a b+=，求{}n b的通项公式；（2）若321T=，求3S22．已知数列{}n a满足：121n na a n+=-+，13a=.（1）设数列{}n b满足：n nb a n=-，求证:数列{}nb是等比数列；（2）求出数列{}n a的通项公式和前n项和n S.23．设数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和.24．C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量()3m a b =r与()cos ,sin n =A B r平行．（Ⅰ）求A ； （Ⅱ）若7a =2b =求C ∆AB 的面积．25．在数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，223()n n S n a n N *+=∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n n a b a a ++=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明14n T <.26．已知函数()f x a b =⋅v v ，其中()()2cos 32,cos ,1,a x sin x b x x R ==∈v v．（1）求函数()y f x =的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为(),,,2,7a b c f A a ==2b c =，求ABC ∆的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，验证()()1n n f a f a +是否为非零常数，由此可得出正确选项. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则1n na q a +=. 对于①中的函数()3f x x =，()()3313112n n n n n n f a a a q f a a a +++⎛⎫=== ⎪⎝⎭，该函数为“保等比数列函数”；对于②中的函数()xf x e =，()()111n n n n a a a n a n f a e e f a e++-+==不是非零常数，该函数不是“保等比数列函数”； 对于③中的函数()f x =()()1n n f a f a +===，该函数为“保等比数列函数”；对于④中的函数()ln f x x =，()()11ln ln n n n na f a f a a ++=不是常数，该函数不是“保等比数列函数”.故选：C. 【点睛】本题考查等比数列的定义，着重考查对题中定义的理解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.2．C解析：C 【解析】对于A ，若1a =，1b =-，则A 不成立；对于B ，若0c =，则B 不成立；对于C ，若a b >，则33a b >，则C 正确；对于D ，2a =，1b =-，则D 不成立.故选C3．B解析：B 【解析】 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用直线20kx y -+=过定点()0,1，再利用k 的几何意义，只需求出直线10kx y -+=过点()2,4B 时，k 值即可． 【详解】直线20kx y -+=过定点()0,1， 作可行域如图所示，，由5218020x y x y +-=⎧⎨-=⎩，得()2,4B ．当定点()0,1和B 点连接时，斜率最大，此时413202k -==-， 则k 的最大值为：32故选：B ． 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．4．A解析：A 【解析】 【分析】利用对数运算合并，再利用等比数列{}n a 的性质求解。
四川省成都市树德中学2021-2022学年高三上学期10月段考数学(理科)试卷
2021-2022学年四川省成都市树德中学高三（上）段考数学试卷（理科）（10月份）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．设集合A＝{x∈N*|x2﹣2x＜0}，B＝{x|≤x≤3}，则A∩B＝（）A．B．C．{1}D．{1，2}2．已知是虚数z的共轭复数，则下列复数中一定是纯虚数的是（）A．z+B．z﹣C．z•D．3．某市物价部门对5家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x（元）和销售量y （件）之间的一组数据如表所示：价格x99.51010.511销售量y1110865按公式计算，y与x的回归直线方程是y＝﹣3.2x+a，相关系数|r|＝0.986，则下列说法错误的是（）A．变量x，y线性负相关且相关性较强B．C．当x＝8.5时，y的估计值为12.8D．相应于点（10.5，6）的残差为0.4．4．已知数列{a n}前n项和为S n，命题p：，命题q：{a n}为等差数列，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知函数f（x）＝e|x|，g（x）＝sin x，某函数的部分图象如图所示，则该函数可能是（）A．y＝f（x）+g（x）B．y＝f（x）﹣g（x）C．y＝f（x）g（x）D．6．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2CD，E为线段AD的中点，且4BF＝AB，则＝（）A．B．C．D．7．曲线y＝ax cos x+16在x＝处的切线与直线y＝x+1平行，则实数a的值为（）A．﹣B．C．D．﹣8．若执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．B．﹣1C．1D．29．已知正数α，β满足，则下列不等式错误的是（）A．2α﹣β+1＞2B．lnα+α＜lnβ+βC．D．10．已知四面体ABCD的所有棱长均为，M，N分别为棱AD，BC的中点，F为棱AB上异于A，B的动点．有下列结论：①线段MN的长度为1；②若点G为线段MN上的动点，则无论点F与G如何运动，直线FG与直线CD都是异面直线；③∠MFN的余弦值的取值范围为；④△FMN周长的最小值为．其中正确结论的为（）A．①②B．②③C．③④D．①④11．已知，且f（x）在区间上有最小值，无最大值，则ω＝（）A．B．C．或D．12．双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，离心率为2，焦距为4．设M是双曲线C上任意一点，且M在第一象限，直线MA与MF的倾斜角分别为α1，α2，则2α1+α2的值为（）A．B．C．πD．与M位置有关二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知（1+x）（1﹣2x）4的展开式中x4的系数是．14．已知变量x，y满足，则z＝x2+（y﹣1）2的最小值为．15．北宋著名建筑学家李诫编写了一部记录中国古代建筑营造规范的书《营造法式》，其中说到“方一百，其斜一百四十有一”，即一个正方形的边长与它的对角线的比是1：1.414，接近．如图，该图由等腰直角三角形拼接而成，以每个等腰直角三角形斜边中点作为圆心，斜边的一半为半径作一个圆心角是90°的圆弧，所得弧线称为螺旋线，称公比为的数列为等比数列．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，满足．若，且，则λ的最小整数为．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771．）16．已知定义在R上的函数f（x）＞0，满足f（x）•f（x+2）＝4，且∀x∈[﹣1，1]，f（x）•f（﹣x）＝4，当﹣1≤x≤0时，f（x）＝2﹣x+k（k为常数），关于x的方程f（x）﹣logα（x+1）＝1（a＜8且a≠1）有且只有3个不同的根，则能推出下列正确的是.（请填写正确的编号）①函数f（x）的周期T＝2；②f（x）在[﹣1，1]单调递减；③f（x）的图象关于直线x＝1对称；④实数a的取值范围是．三、解答题（本大题分必考题和选考题两部分，第17题〜第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题〜第23题为选考题，考生根据要求作答.满分60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算过程）17．设函数f（x）＝，其中向量＝（2cos x，1），＝（cos x，sin2x）．（1）求函数f（x）的最小正周期与单调递减区间；（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知f（A）＝2，b＝1，△ABC的面积为，判断△ABC的形状，并说明理由．18．某省举办线上万人健步走活动，希望带动更多的人参与到全民健身中来，以更加强健的体魄、更加优异的成绩，向中国共产党百年华诞献礼．为了解群众参与健步走活动的情况，随机从参与活动的某支队伍中抽取了60人，将他们的年龄分成7段：[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60）（50，70）[70，80]后得到如图所示的频率分布直方图．（1）以各组的区间中点值代表各组取值的平均水平，求这60人年龄的平均数；（2）若从样本中年龄在[50，70）的居民中任取3人，这3人中年龄不低于60岁的人数为X，求X的分布列及数学期望；（3）一支200人的队伍，男士占其中的岁以下的男士和女士分别为30和70人，请补充完整2×2列联表，并通过计算判断是否有95%的把握认为40岁以下的群众是否参与健步走活动与性别有关．40岁以下40岁以上合计男士30女士70合计200附：K2＝.P（K2≥…0.050.0250.0100.0050.001k0）k0… 3.841 5.024 6.6357.87910.828 Array19．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°，四边形BFED为矩形，平面BFED⊥平面ABCD，BF＝1．（1）求证：BD⊥平面AED，AD⊥平面BDEF；（2）点P在线段EF上运动，设平面PAB与平面ADE所成锐二面角为θ，试求θ的最小值．20．已知F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上任意一点P到焦点距离的最小值与最大值之比为，过F1且垂直于长轴的椭圆C的弦长为3．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过F1的直线与椭圆C相交的交点A、B与右焦点F2所围成的三角形的内切圆面积是否存在最大值？若存在，试求出最大值；若不存在，说明理由．21．设函数．（1）求f（x）的单调区间；（2）如果当x＞0，且x≠1时，，求k的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝a cosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若|PA|•|PB|＝|AB|2，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数g（x）＝|x﹣2|，f（x）＝|x﹣a|．（Ⅰ）当a＝1时，解不等式g（x）﹣f（x）﹣＞0；（Ⅱ）若正数a，b，c，d满足a2+b2＝g（4），c2+d2＝1，求ac+bd的最大值．。
四川省成都市树德中学2020届高三11月阶段性测试数学(理)试题Word版含答案
四川省成都市树德中学2020届高三11月阶段性测试数学（理）试题满分：150分 时间：120分钟一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合}2|{)},9lg(|{22x y y N x y x M -==-==，则=⋃N M（A ）}23|{≤<-y y （B ）}33|{<<-y y （C ）}3|{<y y （D ）}2|{≤y y 2.命题“若b a >，则c b c a +>+”的否命题是（A ）若b a >，则c b c a +≤+ （B ）若c b c a +≤+，则b a ≤ （C ）若c b c a +>+，则b a > （D ）若b a ≤，则c b c a +≤+ 3.已知复数21,z z 在复平面内对应的点分别为)1,0(),1,2(--，则=+||221z z z （A ）i 22+ （B ）i 22- （C ）i +-2 （D ）i --24.已知⎩⎨⎧≥<=-0,log 0,2)(2x x x x f x ，则=+)81(log )81(2f f（A ）3（B ）5 （C ）11 （D ）125．已知函数)0,0)(sin(>>+=ωϕωA x A y 的最大值为4，最小值为4-，最小正周期为2π，直线3π=x 是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式是 （A ）)64sin(4π+=x y （B ）)34sin(4π+=x y （C ）)34sin(2π+=x y （D ）)64sin(4π-=x y6.函数xx f x 1)21()(1-=-的零点个数为 （A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个7.已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，其面积为S ，且()22b c a +-=，则角=A （A ）6π （B ）4π （C ）3π （D ）32π8. 已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且有)1()1(+=-x f x f ，任意不等实数]1,0[,21∈x x 都有0))](()([2121>--x x x f x f ，则=a )1sin 2(+f 、=b )1cos (-f 、=c )2019(f 的大小关系是（A ）b a c << （B ）c a b << （C ）b c a << （D ）a b c <<9.过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x E ：的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A,B 两点，与双曲线的渐近线交于C,D 两点，若|CD |23|AB |=，则双曲线的离心率是（A ）2（B ）2 （C ）3 （D ）310.如图阴影部分1C 是曲线x y =与x y =所围成的封闭图形，A 是两曲线在第一象限的交点，以原点O 为圆心，OA 为半径作圆，取圆的第一象限的扇形OCAB 部分图形为2C ，在2C 内随机选取m 个点，落在1C 内的点有n 个，则运用随机模拟的方法得到的π的近似值为 （A ）m n 23 （B ）n m 3 （C ）m n 3 （D ）nm32 11.已知圆1)1(:22=+-y x C ，圆)(4)sin 4()cos 41(:22R y x M ∈=-+--θθθ，过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PF PE 、，切点分别为F E 、，则⋅的最小值是 （A ）32 （B ）3 （C ）3 （D ）2312.已知P,A,B,C 是半径为2的球面上的点，PA=PB=PC=2，︒=∠90ABC ，点B 在AC 上的射影为D ，则三棱锥ABD P -体积的最大值为 （A ）433 （B ）43 （C ）83 （D ）833二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13. 若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥32320y x y x x 则y x z -=的最小值是__________。
2025届高三上学期月考(三)(11月)数学试卷[含答案]
2025届高三上学期月考（三）（11月）数学试卷一、单选题（本大题共8小题）1．若复数满足，则（ ）z 1i34i z +=-z =A ．B ．C ．D ．252．已知数列的前项和，则等于（ ）{}n a n 22n S n n =-345a a a ++A ．12B ．15C ．18D ．213．抛物线的焦点坐标为（ ）24y x =A ．B ．(1,0)(1,0)-C ．D ．1(0,)16-1(0,164．如图是函数的部分图象，则函数的解析式可为（ ）()sin y x ωϕ=+A ．B ．πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．D ．πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭5πcos 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭5．1903年，火箭专家、航天之父康斯坦丁・齐奥尔科夫斯基就提出单级火箭在不考虑空气阻力和地球引力的理想情况下的最大速度满足公式：，其中v 1201lnm m v v m +=分别为火箭结构质量和推进剂的质量，是发动机的喷气速度.已知某单级火12,m m 0v 箭结构质量是推进剂质量的2倍，火箭的最大速度为，则火箭发动机的喷气8km /s 速度为（ ）（参考数据：，）ln20.7≈ln3 1.1,ln4 1.4≈≈A ．B ．C ．D ．10km /s 20km /s80km /s 340km /s6．若，，则的值为（ ）83cos 5αβ=63sin 5αβ=()cos αβ+A ．B ．C ．D ．7．如图，一个质点从原点O 出发，每隔一秒随机向左或向右移动一个单位长度，向左的概率为，向右的概率为，共移动4次，则该质点共两次到达1的位置的概2313率为（ ）A ．B ．C ．D ．42782729498．设为数列的前n 项和，若，且存在，，n S {}n a 121++=+n n a a n *N k ∈1210k k S S +==则的取值集合为（ ）1a A ．B ．{}20,21-{}20,20-C ．D ．{}29,11-{}20,19-二、多选题（本大题共3小题）9．如图，在正方体中，点，分别为，的中点，则下列说1111ABCD A B C D -E F 1AD DB 法正确的是（ ）A ．直线与为异面直线B ．直线与所成的角为EF 11D B 1D E1DC 60C ．D ．平面1D F AD⊥//EF 11CDD C 10．已知是圆上的动点，直线与P 22:4O x y +=1:cos sin 4l x y θθ+=交于点，则（ ）2:sin cos 1l x y θθ-=Q A ．B ．直线与圆相切12l l ⊥1l OC ．直线与圆截得弦长为D ．的值为2l O OQ11．已知三次函数有三个不同的零点，，，()32f x ax bx cx d=+++1x 2x ()3123x x x x <<函数也有三个零点，，，则（ ）()()1g x f x =-1t 2t()3123t t t t <<A ．23b ac>B ．若，，成等差数列，则1x 2x 3x 23b x a=-C ．1313x x t t +<+D ．222222123123x x x t t t ++=++三、填空题（本大题共3小题）12．已知随机变量服从二项分布，若，，则 .X (),B n p ()3E X =()2D X =n =13．已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则a b 2a = 1= b b a 14a - 为 .a b+ 14．如图，已知四面体的体积为32，，分别为，的中点，，ABCD E F AB BC G 分别在，上，且，是靠近点的四等分点，则多面体的体积H CD AD G H D EFGHBD 为 .四、解答题（本大题共5小题）15．设的内角，，的对边分别为，，，已知.ABC A B C a b c sin cos 0a B A =(1)求；A(2)若，且的面积为的值.sin sin 2sin B C A +=ABC a 16．设，.()()221ln 2f x x ax x x=++a ∈R (1)若，求在处的切线方程；0a =()f x 1x =(2)若，试讨论的单调性.a ∈R ()f x 17．已知四棱锥，底面为菱形，为上的点，过的P ABCD -ABCD ,PD PB H =PC AH 平面分别交于点，且∥平面．,PB PD ,M N BD AMHN(1)证明：；MN PC ⊥(2)当为的中点，与平面所成的角为，求平面H PC ,PA PC PA ==ABCD 60︒与平面所成的锐二面角的余弦值．PAM AMN18．已知双曲线的左、右焦点为，，过的直线与双曲线交于，22:13y x Γ-=1F 2F 2F l ΓA 两点.B (1)若轴，求线段的长；AB x ⊥AB (2)若直线与双曲线的左、右两支相交，且直线交轴于点，直线交轴l 1AF y M 1BF y 于点.N （i ）若，求直线的方程；11F AB F MNS S = l （ii ）若，恒在以为直径的圆内部，求直线的斜率的取值范围.1F 2F MN l 19．已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，设集合{}n a *k ∈N ，设为集合中的元素个数，当时，规定.{}*k i B i a k=∈<N ∣kb kB k B =∅0k b =(1)若，求，，的值；2n a n =1b 2b 17b (2)若，设的前项和为，求；2n n a =n b n n S 12n S +(3)若数列是等差数列，求数列的通项公式.{}n b {}n a参考答案1．【答案】C【详解】由可得，1i 34i z +=-()()()()1i 34i 1i 17i 34i 34i 34i 25z +++-+===--+故选：C 2．【答案】B 【详解】因为数列的前项和，{}n a n 22n S n n =-所以.34552=a a a S S ++-()2252522215=-⨯--⨯=故选：B.3．【答案】D【详解】解：由，得，24y x =214x y =所以抛物线的焦点在轴的正半轴上，且，y 124p =所以，，18p =1216p =所以焦点坐标为，1(0,16故选：D 4．【答案】A【详解】观察图象可得函数的最小正周期为，()sin y x ωϕ=+2ππ2π36T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭所以，故或，排除B ；2ππω=2ω=2ω=-观察图象可得当时，函数取最小值，π2π5π63212x +==当时，可得，，2ω=5π3π22π+122k ϕ⨯+=Z k ∈所以，，排除C ；2π2π+3k ϕ=Z k ∈当时，可得，，2ω=-5ππ22π122k ϕ-⨯+=-Z k ∈所以，，π2π+3k ϕ=Z k ∈取可得，，0k =π3ϕ=故函数的解析式可能为，A 正确；πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，D 错误5ππππcos 2cos 2sin 26233y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：A.5．【答案】B 【详解】由题意，，122m m =122200122lnln 82m m m m v v v m m ++===得，故，03ln82v =0888203ln3ln 2 1.10.7ln 2v ==≈=--故选：B 6．【答案】C 【详解】因为，，83cos 5αβ=63sin 5αβ=所以，，25(3cos 4)62αβ=2(3sin)2536αβ=即所以，2259cos co 6s 1042cos ααββ++=，229sin sin +10sin2536ααββ-=两式相加得，9)104αβ+++=所以cos()αβ+=故选：C ．7．【答案】A【详解】共移动4次，该质点共两次到达1的位置的方式有和0101→→→，且两种方式第次移动向左向右均可以，0121→→→4所以该质点共两次到达1的位置的概率为.211124333332713⨯⨯+⨯⨯=故选：A.8．【答案】A 【详解】因为，121++=+n n a a n 所以，()()()()()()212342123+41=++++++37+41=212n n n n n S a a a a a a n nn --⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅-=+假设，解得或（舍去），()2=21=210n S n n +=10n 21=2n -由存在，，所以有或，*N k ∈1210kk S S +==19k =20k =由可得，，两式相减得：，121++=+n n a a n +1223n n a a n ++=+22n n a a +-=当时，有，即，20k =2021210S S ==210a =根据可知：数列奇数项是等差数列，公差为2，22n n a a +-=所以，解得，()211+11120a a =-⨯=120a =-当时，有，即，19k =1920210S S ==200a =根据可知：数列偶数项也是等差数列，公差为2，22n n a a +-=所以，解得，()202+10120a a =-⨯=218a =-由已知得，所以.123a a +=121a =故选：A.9．【答案】ABD【详解】如图所示，连接，，，AC 1CD EF 由于，分别为，的中点，即为的中点，E F 1AD DB F AC 所以，面，面，1//EF CD EF ⊄11CDD C 1CD ⊆11CDD C 所以平面，即D 正确；//EF 11CDD C 所以与共面，而，所以直线与为异面直线，即A 正确；EF 1CD 1B ∉1CD EF 11D B 连接，易得，1BC 11//D E BC 所以即为直线与所成的角或其补角，1DC B ∠1D E 1DC 由于为等边三角形，即，所以B 正确；1BDC 160DC B ∠=假设，由于，，所以面，1D F AD ⊥1AD DD ⊥1DF DD D = AD ⊥1D DF 而面显然不成立，故C 错误；AD ⊥1D DF 故选：ABD.10．【答案】ACD 【详解】选项A ：因，故，A 正确；()cos sin sin cos 0θθθθ+-=12l l ⊥选项B ：圆的圆心的坐标为，半径为，O O ()0,02r =圆心到的距离为，故直线与圆相离，故B 错误；O 1l 14d r==>1l O 选项C ：圆心到的距离为，O 1l21d ==故弦长为，故C正确；l ==选项D ：由得，cos sin 4sin cos 1x y x y θθθθ+=⎧⎨-=⎩4cos sin 4sin cos x y θθθθ=+⎧⎨=-⎩故，()4cos sin ,4sin cos Q θθθθ+-故，故D 正确OQ ==故选：ACD 11．【答案】ABD 【详解】因为，()32f x ax bx cx d=+++则，，对称中心为，()232f x ax bx c '=++0a ≠,33bb f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于A ，因为有三个不同零点，所以必有两个极值点，()f x ()f x 即有两个不同的实根，()2320f x ax bx c '=++=所以，即，故A 正确；2Δ4120b ac =->23b ac >对于B ，由成等差数列，及三次函数的中心对称性，123,,x x x 可知为的对称中心，所以，故B 正确；()()22,x f x ()f x 23b x a =-对于C ，函数，当时，，()()1g x f x =-()0g x =()1f x =则与的交点的横坐标即为，，，1y =()y f x =1t 2t 3t 当时，画出与的图象，0a >()f x 1y =由图可知，，，则，11x t <33x t <1313x x t t +<+当时，则，故C 错误；0a <1313x x t t +>+对D ，由题意，得，()()()()()()32123321231a x x x x x x ax bx cx d a x t x t x t ax bx cx d ⎧---=+++⎪⎨---=+++-⎪⎩整理，得，123123122331122331b x x x t t t ac x x x x x x t t t t t t a ⎧++=++=-⎪⎪⎨⎪++=++=⎪⎩得，()()()()2212312233112312233122x x x x x x x x x t t t t t t t t t ++-++=++-++即，故D 正确.222222123123x x x t t t ++=++故选：ABD.12．【答案】9【详解】由题意知随机变量服从二项分布，，，X (),B n p ()3E X =()2D X =则，即得，()3,12np np p =-=1,93p n ==故答案为：913．【答案】【详解】因为在上的投影向量为，b a14a -所以，又，14b a a a aa ⋅⋅=-2a =所以，又，1a b ⋅=-1= b 所以a b+==== 故答案为：14．【答案】11【详解】如图，连接，则多面体被分成三棱锥和四棱锥.,EG ED EFGHBD G EDH -E BFGD -因是上靠近点的四等分点，则，H AD D 14DHE AED S S =又是的中点，故，E AB 11114428DHE AED ABD ABD S S S S ==⨯= 因是上靠近点的四等分点，则点到平面的距离是点到平面的G CD D G ABD C ABD 距离的，14故三棱锥的体积；G EDH -1113218432G EDH C ABD V V --=⨯=⨯=又因点是的中点，则，故，F BC 133248CFG BCD BCD S S S =⨯= 58BFGD BCD S S =又由是的中点知，点到平面的距离是点到平面的距离的，E AB E BCD A BCD 12故四棱锥的体积，E BFGD -51532108216E BFGD A BCD V V --=⨯=⨯=故多面体的体积为EFGHBD 11011.G EDH E BFGD V V --+=+=故答案为：11.15．【答案】(1)π3A =(2)2a =【详解】（1）因为,即，sin cos 0a B A =sin cos a B A =由正弦定理得，sin sin cos A B B A ⋅=⋅因为，所以,则，sin 0B ≠sin A A =tan A =又，所以.()0,πA ∈π3A =（2）因为，由正弦定理得，sin sin 2sin B C A +=2b c a +=因为，所以，π3A =11sin 22ABC S bc A bc === 4bc =由余弦定理，得，2222cos a b c bc A =+-⋅224b c bc +-=所以，则，解得.()234b c bc +-=()22344a -⨯=2a =16．【答案】(1)4230--=x y (2)答案见解析【详解】（1）当时，，，因0a =()221ln 2f x x x x=+()2(ln 1)f x x x =+'，1(1),(1)22f f '==故在处的切线方程为，即；()f x 1x =12(1)2y x -=-4230--=x y （2）因函数的定义域为，()()221ln 2f x x ax x x=++(0,)+∞，()(2)ln 2(2)(ln 1)f x x a x x a x a x =+++=++'① 当时，若，则，故，即函数在2a e ≤-10e x <<ln 10,20x x a +<+<()0f x '>()f x 上单调递增；1(0,e 若，由可得.1e x >20x a +=2a x =-则当时，，，故，即函数在上单调1e 2a x <<-20x a +<ln 10x +>()0f x '<()f x 1(,e 2a-递减；当时，，故，即函数在上单调递增；2a x >-ln 10,20x x a +>+>()0f x '>()f x (,)2a-+∞② 当时，若，则，故，即函数在2e a >-1e x >ln 10,20x x a +>+>()0f x '>()f x 上单调递增；1(,)e +∞若，则，故，即函数在上单调递减；12e a x -<<ln 10,20x x a +<+>()0f x '<()f x 1(,)2e a -若，则，故，即函数在上单调递增，02a x <<-ln 10,20x x a +<+<()0f x '>()f x (0,2a-当时，恒成立，函数在上单调递增，2e a =-()0f x '≥()f x ()0,+∞综上，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在2e a <-()f x 1(0,)e 1(,)e 2a -上单调递增；(,)2a-+∞当时，函数在上单调递增；2e a =-()f x ()0,+∞当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上2e a >-()f x (0,2a -1(,2e a -1(,)e +∞单调递增.17．【答案】(1)证明见详解【详解】（1）设，则为的中点，连接，AC BD O = O ,AC BD PO 因为为菱形，则，ABCD AC BD ⊥又因为，且为的中点，则，PD PB =O BD PO BD ⊥，平面，所以平面，AC PO O = ,AC PO ⊂PAC BD ⊥PAC 且平面，则，PC ⊂PAC BD PC ⊥又因为∥平面，平面，平面平面，BD AMHN BD ⊂PBD AMHN PBD MN =可得∥，所以.BD MN MN PC ⊥（2）因为，且为的中点，则，PA PC =O AC PO AC ⊥且，，平面，所以平面，PO BD ⊥AC BD O = ,AC BD ⊂ABCD ⊥PO ABCD 可知与平面所成的角为，即为等边三角形，PA ABCD 60PAC ∠=︒PAC 设，则，且平面，平面，AH PO G = ,G AH G PO ∈∈AH ⊂AMHN PO ⊂PBD 可得平面，平面，∈G AMHN ∈G PBD 且平面平面，所以，即交于一点，AMHN PBD MN =G MN ∈,,AH PO MN G 因为为的中点，则为的重心，H PC G PAC 且∥，则，BD MN 23PM PN PG PB PD PO ===设，则，2AB=11,32PA PC OA OC AC OB OD OP ========如图，以分别为轴，建立空间直角坐标系，,,OA OB OP ,,x y z 则，)()22,0,0,3,0,,1,0,,133AP M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得，()24,1,0,,0,33AM NM AP ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设平面的法向量，则，AMN ()111,,x n y z =1111203403n AM y z n NM y ⎧⋅=++=⎪⎪⎨⎪⋅==⎪⎩ 令，则，可得，11x=110,y z ==(n = 设平面的法向量，则，PAM ()222,,m x y z =2222220330m AM y z m AP z ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅=+=⎩ 令，则，可得，2x =123,1y z ==)m = 可得，cos ,n m =所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值PAMAMN18．【答案】(1)线段的长为；AB 6(2)（i）直线的方程为；l 2x y =+（ii ）直线的斜率的取值范围为.l 33()(44- 【详解】（1）由双曲线的方程，可得，所以22:13y x Γ-=221,3a b ==，1,2a b c ====所以，，若轴，则直线的方程为，1(2,0)F -2(2,0)F AB x ⊥AB 2x =代入双曲线方程可得，所以线段的长为；(2,3),(2,3)A B -AB 6（2）（i）如图所示，若直线的斜率为0，此时为轴，为左右顶点，此时不构成三角形，矛l l x ,A B 1,,F A B 盾，所以直线的斜率不为0，设，，l :2l x ty =+1122()A x y B x y ,,(,)联立，消去得，应满足，22132y x x ty ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩x 22(31)1290t y ty -++=t 222310Δ14436(31)0t t t ⎧-≠⎨=-->⎩由根与系数关系可得，121222129,3131t y y y y t t +=-=--直线的方程为，令，得，点，1AF 110(2)2y y x x -=++0x =1122y y x =+112(0,)2y M x +直线的方程为，令，得，点，1BF 220(2)2y y x x -=++0x =2222y y x =+222(0,)2y N x +，121122221111|||||2||2|F F F B A A F B F S y F S S F y y y -=⨯-==- 111212221||||||222F M N M F MN N S y y x y y y y x x =-=-=-++ ，12122112212121212222(4)2(4)8()||||||44(4)(4)4()16y y y ty y ty y y ty ty ty ty t y y t y y +-+-=-==+++++++由，可得，11F AB F MN S S = 1212212128()||2||4()16y y y y t y y t y y -=-+++所以，所以，21212|4()16|4t y y t y y +++=222912|4()16|43131tt t t t ⨯+-+=--解得，，解得，22229484816||431t t t t -+-=-22916||431t t -=-22021t =经检验，满足，所以222310Δ14436(31)0t t t ⎧-≠⎨=-->⎩t =所以直线的方程为；l 2x y =+（ii ）由，恒在以为直径的圆内部，可得，1F 2F MN 2190F MF >︒∠所以，又，110F F N M < 112211,22(2,)(2,22F y y N x x M F =+=+所以，所以，1212224022y y x x +⨯<++121210(2)(2)y y x x +<++所以，所以，1221212104()16y y t y y t y y +<+++2222931109124()163131t t t t t t -+<⨯+-+--所以，解得，解得或，22970916t t -<-271699t <<43t <<43t -<<经检验，满足，222310Δ14436(31)0t t t ⎧-≠⎨=-->⎩所以直线的斜率的取值范围为.l 33()(44- 19．【答案】(1)12170,1,4b b b ===(2)1(1)22n n +-⨯+(3)n a n=【详解】（1）因为，则，2n a n =123451,4,9,16,25a a a a a =====所以，，{}*11i B i a =∈<=∅N ∣{}*22{1}i B i a =∈<=N ∣，{}*1717{1,2,3,4}i B i a =∈<=N ∣故.12170,1,4b b b ===（2）因为，所以，2nn a =123452,4,8,16,32a a a a a =====则，所以，，**12{|1},{|2}i i B i a B i a =∈<=∅=∈<=∅N N 10b =20b =当时，则满足的元素个数为，122i i k +<≤ia k <i 故，121222i i i b b b i+++==== 所以()()()1112345672122822n n n n S b b b b b b b b b b b ++++=++++++++++++ ，1212222n n =⨯+⨯++⨯ 注意到，12(1)2(2)2n n nn n n +⨯=-⨯--⨯所以121321202(1)21202(1)2(2)2n n nS n n ++=⨯--⨯+⨯-⨯++-⨯--⨯ .1(1)22n n +=-⨯+（3）由题可知，所以，所以，11a ≥1B =∅10b =若，则，，12a m =≥2B =∅1{1}m B +=所以，，与是等差数列矛盾，20b =11m b +={}n b 所以，设，11a =()*1n n n d a a n +=-∈N 因为是各项均为正整数的递增数列，所以，{}n a *n d ∈N 假设存在使得，设，由得，*k ∈N 2k d ≥k a t =12k k a a +-≥12k a t ++≥由得，，与是等差数列矛盾，112k k a t t t a +=<+<+≤t b k <21t t b b k ++=={}n b 所以对任意都有，*n ∈N 1nd =所以数列是等差数列，.{}n a 1(1)n a n n =+-=。
四川省成都市树德中学2021届高三数学上学期10月月考试题 文(含解析).doc
四川省成都市树德中学2021届高三数学上学期10月月考试题 文（含解析）一、选择题：（共大题共12小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.若21iZ i+=-（i 为虚数单位），则Z 对应点位于（ ）. A. 第一象限 B. 第二象限C. 第二象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】先化简复数，再计算Z ，确定象限. 【详解】2(2)(1)13=1(1)(1)2i i i iZ i i i ++++==--+ 1322Z i =-对应点位于第四象限 故答案为D【点睛】本题考查了复数的化简和共轭复数，属于基础题型.2.已知{}6A x N x =∈<，{}14B x x =-<<，则A B =（ ）.A. {}0,1,2,3B. {}1,2,3C. {}1,4-D. ()2,6【答案】A 【解析】 【分析】先计算集合A ，再计算AB【详解】{}{}60,1,2,3,4,5A x N x =∈<={}14B x x =-<<{}0,1,2,3A B =故答案选A【点睛】本题考查了集合的运算，属于基础题型.3.圆22:420M x y x y +-+=的面积为（ ） A. 5π B. 4π C. 3π D. 2π【答案】A 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准式，得到圆的半径即可得圆的面积.【详解】圆22:420M x y x y +-+=，即()()22215x y -++=，所以圆的半径r =25r ππ=，故选A.【点睛】本题主要考查了利用配方法将圆的一般方程转化为圆的标准方程，得到圆的半径，属于基础题.4.()22xxf x a -=-⋅为奇函数，()(ln g x x =为奇函数，则a b +=（ ）.A. 1-B. 1C. 0D. 2【答案】D 【解析】 【分析】利用奇函数性质有(0)0f =，()()0g x g x +-=代入函数得到答案.【详解】()22x xf x a -=-⋅为奇函数，(0)10,1f a a =-==()(ln g x x =为奇函数()(ln g x x -=-故((()()ln ln ln 0,1g x g x x x b b +-=++-===2a b +=故答案选D【点睛】本题考查了奇函数的性质，利用奇函数性质得到(0)0f =可以简化运算，是解题的关键.5.给出下列命题：①“若2x ≠或1y ≠，则2xy ≠”的否命题； ②“x R ∀∈，222x x -+>”的否定；③“菱形的两条对角线相互垂直”的逆命题.其中正确命题有（ ）个. A. 0个 B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C 【解析】 【分析】依次判断每个选项的正误，得到答案.【详解】①“若2x ≠或1y ≠，则2xy ≠”的否命题为：若2x =且1y =，则2xy =，正确 ②“x R ∀∈，222x x -+>”的否定为：x R ∃∈，222x x -+≤”，0x =时成立，正确 ③“菱形的两条对角线相互垂直”的逆命题为：对角线相互垂直的四边形为菱形，错误 故答案选C【点睛】本题考查了命题的否定，否命题，逆命题，意在考查学生的综合知识能力.6.已知()3sin 5πα+=-，α为第二象限角，则tan2α=（ ）. A.247B. 247-C. 724D. 724-【答案】B 【解析】 【分析】 先化简3sin 5α=，计算4cos 5α=- ，3tan 4α=-，利用二倍角公式得到答案. 【详解】()33sin sin ,sin 55πααα+=-=-=α为第二象限角，4cos 5α=- ，3tan 4α=-22tan 24tan 21tan 7ααα==-- 故答案选B【点睛】本题考查了三角恒等变换，没有考虑函数值的正负是容易发生的错误.7.已知2a =，3b =，a ，b 夹角60︒，且a λb +与a b -垂直，则λ=（ ）. A.56B.12C.23D.16【答案】D 【解析】 【分析】先计算3a b ⋅=，再利用垂直关系得到()()0a λb a b +-=，计算得到答案. 【详解】2a =，3b =，a ，b 夹角60︒，则3a b ⋅=a λb +与a b -垂直22()()(1)43(1)90a λb a b a λa b λb λλ+-=+-⋅-=+--=16λ=故答案选D【点睛】本题考查了向量的计算，意在考查学生的计算能力.8.执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（ ）A. 4B. 3C. 2-D. 3-【答案】A【解析】执行程序框图，2i = ，第一次循环，2;s = 3i = ，第二次循环，1;s =-4i = ，第三次循环，3;s =5i = ，第四次循环，2;s =-6i = ，第五次循环，4;s =7i = 结束循环，输出4,s =故选A.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.9.一个几何体三视图如图：（每个小正方形边长为1），则该几何体体积为（ ）.A.372B.352C.332D.312【答案】C 【解析】 【分析】将三视图还原为立体图像，再把图像分为四棱锥和三棱柱，体积相加得到答案. 【详解】如图所示，根据三视图还原立体图形：将体积分为左右两部分四棱锥和三棱柱体积相加：121133334331322V V V =+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=故答案选C【点睛】本题考查了三视图和体积的计算，其中将体积分为两部分体积相加是解题的关键，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.10.ABC ∆中，2AC =，120A =︒，cos 3B C =，则AB =（ ）. A. 2 35D. 3【答案】A 【解析】 【分析】化简cos 3B C =得到30B C ∠=∠=︒ ，2AB AC == 【详解】120A =︒，cos 3B C =得到133cos(60)3,cos 3,tan 2C C C C C C ︒-=+==30B C ∠=∠=︒2AB AC ==故答案选A【点睛】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生对于三角公式的灵活运用和计算能力.11.()122ln11xxxf x x-+=-++-，若()()12f a f a ++>，则a 的范围（ ）. A. 1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B. 1,12⎛⎫-⎪⎝⎭C. 1,02⎛⎫-⎪⎝⎭D. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】设1()22ln1xxxg x x-+=-+-，判断()g x 为奇函数，()g x 为增函数，代入利用函数性质解得答案.【详解】设1()22ln1xxxg x x-+=-+-，则()()1f x g x =+ 1()22ln()1x x xg x g x x ---=-+=-+，()g x 为奇函数 12()22ln 22ln(1)(11)11x x x x x g x x x x--+=-+=-+--<<--易知：2x ，2x --，2ln(1)1x --为增函数，故()g x 为增函数 ()()12f a f a ++>即()()1112,()(1)g a g a g a g a ++++>>-+ 即()(1)g a g a >--故111111a a a a >--⎧⎪-<<⎨⎪-<+<⎩解得102a -<<故答案选C【点睛】本题考查了函数的单调性，奇偶性，其中构造函数1()22ln1x xxg x x-+=-+-是解题的关键，忽略掉定义域是容易发生的错误.12.若xy e -=与()0ay a x=>有两个公共点，则a 范围为（ ）A. 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ⎛ ⎝C. 1e ⎛⎫⎪⎝⎭D. 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得xa ex -=有两个根，等价于()0x xa x e =≠有两个根，令()x x f x e=，对函数进行求导，判断出函数的单调性，通过y a =和x xy e=的图象有两个交点即可得出a 的范围.【详解】若xy e -=与()0a y a x=>有两个公共点，即方程x ae x -=有两个根，等价于()0x xa x e =≠， 令()x x f x e=，则()1x xf x e -'=，当1x <时，()0f x '>，函数()x xf x e =单调递增； 当1x >时，()0f x '<，函数()x xf x e =单调递减；且当x →-∞时，()f x →-∞，()11f e=，当x →+∞时，()0f x →由于y a =和x x y e =的图象有两个交点，故10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 故选A.【点睛】本题主要考查了已知函数零点的个数求参数的范围，利用导数判断函数的单调性，构造函数()xxf x e =是解题的关键，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知{|A x y ==，{|1}B x x m =≤+，若x A ∈是x B ∈的必要条件，则m 范围是______. 【答案】(,0]-∞【解析】 【分析】根据函数的定义域求出集合A ，由x A ∈是x B ∈的必要条件可得B A ⊆，结合集合的包含关系得出参数的范围.【详解】由{}{|1}1A x y x x x ==-=≤，{|1}B x x m =≤+ 又∵x A ∈是x B ∈的必要条件，∴B A ⊆，∴11m +≤，解得0m ≤，即m 的取值范围是(,0]-∞， 故答案为(,0]-∞.【点睛】本题主要考查函数定义域的求法、考查数学中的等价转化能力、集合的包含关系，属于中档题.14.已知23x y y x +≤⎧⎨≥⎩，则2x y -的最小值为______.【答案】9- 【解析】 【分析】画出可行域，利用直线的平移得到最值.【详解】23x y y x +≤⎧⎨≥⎩表示的图像如图所示：根据图像知：当3,3x y =-=时，有最小值为9- 故答案为9-【点睛】本题考查了线性规划，求线性目标函数(0)z ax by ab =+≠的最值:当0b >时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小； 当0b <时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.15.1F 、2F 为E ：22221x y a b-=左右焦点，M E ∈，且212MF F F ⊥，1230MF F ∠=︒，则E的离心率e =______. 【答案】3 【解析】 【分析】在12Rt MF F ∆中，根据边关系得到12122,2MF MF MF MF a =-=，1123F F MF =，化简计算得到答案.【详解】在12Rt MF F ∆中，1230MF F ∠=︒12122,2MF MF MF MF a =-=得到22MF a =1122332F F c MF a ===⨯故3==ce a【点睛】本题考查了离心率的计算，找到,,a b c 的数量关系是解题的关键.16.如图圆锥高为2，侧面积为42π，P 为顶点，O 为底面中心，A ，B 在底面圆周上，M 为PA 中点，MB OA ⊥，则O 到面PAB 的距离为______.【解析】 【分析】先利用侧面积计算2r，再利用体积法得到O ABP P OAB V V --=，代入数据计算得到答案.【详解】如图所示：N 为OA 中点，连接,,MN OB BN圆锥高为2，侧面积为即,2r π==M 为PA 中点，N 为OA 中点，MN OP ，故MN OA ⊥又MB OA ⊥，所以OA ⊥平面MNB ，故OA BN ⊥ 故OAB ∆为等边三角形.112232P OAB V -=⨯⨯⨯=在ABP ∆中：2AP BP AB ===，AB 边上的高h =122ABP S ∆=⨯=13O ABP ABP P OAB V h S V -∆-=⨯==7h =【点睛】本题考查了点到平面的距离，利用体积法可以简化运算，是解题的关键，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.三、解答题（本大题分必考题和选考题两部分，第17题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程）17.如图，ABC ∆为等腰直角三角形，2AB BC ==，2B π∠=，D 、E 分别为AB 、AC 中点，将ADE ∆沿DE 折起，使A 到达P 点，且6PC =.（1）证明：PD EC ⊥；（2）求异面直线PC 与ED 所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）63.【解析】 【分析】（1）在PCD ∆中，通过勾股定理得到222PC PD CD =+，即PD CD ⊥，结合PD ED ⊥根据线面垂直判定定理即可得PD ⊥面DBCE ，进而得线线垂直；（2）先证得PCB ∠为异面直线PC 与ED 所成角平面角，在PCB 中通过余弦定理计算出结果.【详解】（1）在PCD ∆中，PC =1PD =，CD∴222PC PD CD =+，∴PD CD ⊥. 又PD ED ⊥，CDED D =,∴PD DBCE ⊥面.∴PD EC ⊥. （2）∵//BC ED ，∴PCB ∠为异面直线PC 与ED 所成角平面角. ∵PD DBCE ⊥面，∴PD DB ⊥，∴PB ==∵BC=2，PC =cos3PCB ∠==. 【点睛】本题主要考查了通过线线垂直得出线面垂直，再通过线面垂直得到线线垂直的过程，异面直线所成角的求法，属于中档题.18.已知{}n a 为等差数列，公差0d ≠，36S =，1a ，3a ，9a 成等比. （1）求n a ； （2）求{}2nn a ⋅的前n 项和nT .【答案】（1）n a n =；（2）12(1)2n n T n +=+-⋅. 【解析】 【分析】（1）根据题意列出关于1a 和d 的方程组，解出方程即可得数列的通项公式；（2）利用错位相减法即可得出数列{}2nn a ⋅的前n 项和nT .【详解】（1）∵36S =，1a ，3a ，9a 成等比，()()311211133618210s a d a a a d a d d d =+=⎧=⎧⎪⇒⋅+=+⎨⎨=⎩⎪≠⎩， ∴n a n =.（2）∵1231122232(1)22n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅231121222(2)2(1)22n n n n T n n n -+=⨯+⨯++-⋅+-⋅+⋅∴()23122222n n n T n +-=++++-⋅12(1)2n n +=---⋅∴12(1)2n n T n +=+-⋅.【点睛】本题主要考查了等差数列中基本量的计算以及利用错位相减求数列的前n 项和，考查了学生的计算能力，属于中档题.19.大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备.某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有250人参与学习先修课程.（Ⅰ）这两年学校共培养出优等生150人，根据下图等高条形图，填写相应列联表，并根据列联表检验能否在犯错的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？优等生 非优等生 总计 学习大学先修课程250没有学习大学先修课程优质资料\word可编辑（Ⅱ）某班有5名优等生，其中有2名参加了大学生先修课程的学习，在这5名优等生中任选3人进行测试，求这3人中至少有1名参加了大学先修课程学习的概率.参考数据：参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++【答案】（1）列联表见解析有关系（2）9 10【解析】【分析】（1）根据优等生的人数、学习大学先修课程的人数，结合等高条形图计算数值，填写好表格，计算出2K的值，比较题目所给参考数据，得出“在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系”这个结论.（2）利用列举法，求得基本事件的众数为10种，其中“没有学生参加大学先修课程学习”的情况有1种，利用对立事件的概率计算方法，求得至少有1名参加了大学先修课程学习的概率.【详解】（1）列联表如下：由列联表可得()212505090020010018.939 6.63525010001501100k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系.（2）在这5名优等生中，记参加了大学先修课程的学习的2名学生为1A ，2A ，记没有参加大学先修课程学习的3名学生为1B ，2B ，3B . 则所有的抽样情况如下：共10种，{}121,,A A B ，{}122,,A A B ，{}123,,A A B ，{}112,,A B B ，{}113,,A B B ， {}123,,A B B ，{}212,,A B B ，{}213,,A B B ，{}223,,A B B ，{}123,,B B B ，其中没有学生参加大学先修课程学习的情况有1种，为{}123,,B B B . 记事件A 为至少有1名学生参加了大学先修课程的学习，则()1911010P A =-=. 【点睛】本小题主要考查等高条形图的识别，考查22⨯列联表及独立性检验，考查古典概型等知识，属于中档题.20.已知函数()ln 1f x x ax =-+.（1）当1a =时，求证：()0f x ≤恒成立；（2）若关于x 的方程2()10f x x ++=至少有两个不相等的实数根，求实数a 的最小值.【答案】（1）见证明；（2）3 【解析】 【分析】（1）当1a =时，()ln 1f x x x =-+，求导，研究函数单调性，求最值，证明不等式；（2）将方程2ln 20x x ax +-+=转化为ln 2x a x x x =++，构造函数()()ln 20x x x x x xφ=++>，求导数，研究函数单调性及取值范围，数形结合得a 的最小值 【详解】（1）证明：当1a =时，()ln 1f x x x =-+，()111xf x x x-=-='， 令()01f x x ='⇒=，所以当()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减. 故()()max 10f x f ==，所以()0f x ≤. （2）2ln 20x x ax +-+= ln 2x a x x x⇒=++至少有两个根， 记()ln 2(0)x x x x x x φ=++>，所以()22221ln 2ln 11x x x x x x xφ---=+'-=， 记()2ln 1(0)h x x x x =-->，所以()21212x h x x x x='-=-，令()0h x x x '=⇒==舍）所以当0,2x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，()0h x '<，()h x单调递减，,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0h x '>， ()h x 单调递增，所以()h x 的最小值为2ln 1222h ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()111ln21ln20222=-+=--<， 又()10h =，所以()1,x ∈+∞时，()0h x >， 又当1x e =时，2111ln 1h e ee ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 2211110e e =+-=>，因此必存在唯一的01,2x e ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，使得()00h x =.因此()00,x x ∈时，()0h x >，()x φ单调递増，()0,1x x ∈，()0h x <，()x φ单调递减，()1,x ∈+∞时，()0h x >，()x φ单调递増，画出()y x φ=的大致图象，如图所示因此当()()01a x φφ≤≤时，y a =与()y x φ=至少有两个交点， 所以a的最小值为()13φ=.【点睛】利用导数解决方程的根或曲线的交点个数问题，可构造函数，转化为研究函数零点个数问题，可利用导数研究函数的极值、最值、单调性、变化趋势等，从而画出函数的大致图象，然后根据图象判断函数的零点个数21.已知1,0A ，动点C 在B ：()2218x y ++=上运动.线段AC 的中垂线与BC 交于D .（1）求D 点的轨迹E 的方程；（2）设M 、N 、P 三点均在曲线E 上，且0OM ON OP ++=，（O 为原点），求MN 的范围.【答案】（1）2212x y +=；（2）3,6⎡⎣ 【解析】 【分析】（1）根据中垂线性质得到22BD DA BC +==. （2）考虑斜率存在和不存在两种情况，设:MN y kx m =+，联立方程得到2412p mkx k =+，2212p m y k -=+，2122113112MN k x k=+-=++. 【详解】（1）)2222BD DA BD DC BC AB +=+==>D ∴点轨迹是以A 、B 为焦点椭圆.22a =，21c =，21b ∴=，2212x y ∴+=.（2）当MN 斜率存在时，设:MN y kx m =+2222xy y kx m ⎧+=⎨=+⎩()222124220k xmkx m +++-=，令两根为1x ，2x .由0OM ON OP ++=.()122412p mk x x x k =-+=+，()()121222212p my y y k x x m k -=-+=-+-=+. 代入2212x y +=，()()222228411212m k m k k +=++，即22412m k =+. 故()()2228126120k mk ∆=+-=+>.2121MN k x x ∴=+-()22611k k +=+⋅，221612k k+=⋅+，213112k=⋅++(3,6⎤∈⎦.当MN x ⊥轴时，易求3MN =，MN ∴范围是3,6⎡⎤⎣⎦.【点睛】本题考查了轨迹方程，弦长范围，其中忽略掉斜率不存在的情况是容易犯的错误，意在考查学生的应用能力和计算能力.（二）选考题（请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号）22.极坐标系下，曲线1E ：2cos ρθ=，曲线2E ：)2cos sin ρθθ=+.（1）求曲线2E 围成区域面积； （2）设1A E ∈，2B E ∈，2AOB π∠=（O 为极点），求2AB 最大值.【答案】（1）π；（2）4+【解析】 【分析】（1）将极坐标方程化为直角坐标系方程，再利用圆面积公式的答案.（2）设()1,A ρθ，则2,2B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭得到12cos ρθ=，)2sin cos ρθθ=-+，22212AB ρρ=+代入数据得到答案.【详解】（1）)cos sin ρθθ=+得220x y +-=，即22122x y ⎛⎫⎛-+-= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，2E 面积为π. （2）设()1,A ρθ，则2,2B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.12cos ρθ=， )2cos sin sin cos 22ππρθθθθ⎤⎛⎫⎛⎫=+++=-+ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦()()2222124cos 212sin cos 21cos 222sin 2424AB πρρθθθθθθ⎛⎫∴=+=+-=++-=++ ⎪⎝⎭当8πθ=-时，2AB 最大值为4+【点睛】本题考查了极坐标方程，意在考查学生对于极坐标方程的理解掌握和计算能力.23.已知0a ≥，0b ≥，()2f x x a x b =++-； （1）若0a =，2b =，求()2f x ≤的解集.（2）若()f x 最小值为1.【答案】（1）40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2优质资料\word 可编辑- 21 - / 21- 21 - 【解析】【分析】（1）将函数()f x 化简为分段函数，分别解不等式得到答案.（2）将函数()f x 化简为分段函数，根据最小值得到22a b +=，变形2212⎫=⎪⎪⎭，利用柯西不等式解得答案.【详解】（1）0a =，2b =时，()32,1222,0132,0x x f x x x x x x x -≥⎧⎪=+-=-≤<⎨⎪-+<⎩，解不等式：322,122,01322,0x x x x x x -≤≥⎧⎪-≤≤<⎨⎪-+≤<⎩解得答案为：40,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （2）()3,22,23,b x a b x b f x x a x b x a b a x x b a x a ⎧+-≥⎪⎪⎪=++-=-++-≤<⎨⎪-+-<-⎪⎪⎩当2b x =时，()min 2b f x a =+，22a b ∴+=.()221121322a b ⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭≤. ∴当222a b +=⎧=即1343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时. 【点睛】本题考查了绝对值不等式，最大值问题，将绝对值函数化简为分段函数时解题的关键.。
2022-2023学年四川省成都市树德中学高一年级上册学期11月阶段性测试数学试题【含答案】
2022-2023学年四川省成都市树德中学高一上学期11月阶段性测试数学试题一、单选题1．设全集N U *=，集合{}2,3,4,6,9=A ，集合{}4,N B x x x *=>∈，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A ．{}6,9B ．{}2,3C ．{}2,3,4D ．{}24x x ≤≤【答案】C【分析】根据Venn 图表示的集合计算． 【详解】因为全集N U *=，所以UB {|4,N*}{1,2,3,4}x x x =≤∈=，所以图中阴影部分表示(){2,3,4}U A B =． 故选：C ．2．命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是 A ．0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠- B ．0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =- C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠- D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-【答案】C【详解】试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-【解析】全称命题与特称命题3．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．2()1,()1x f x x g x x=+=+B ．2()||,()()f x x g x x ==C ．222()2log ,()log f x x g x x ==D ．2(),()log 2xf x xg x ==【答案】D【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，则它们是同一函数，对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ，()1f x x =+的定义域为R ，而2()1x g x x=+的定义域为{|0}x x ≠，定义域不同，∴不是同一函数；对于B ，()f x x =的定义域为R ，而2()g x =的定义域为{|0}x x ≥，定义域不同，∴不是同一函数；对于C ，2()2log f x x =的定义域为{|0}x x >，而22()log g x x =的定义域为{|0}x x ≠，定义域不同，∴不是同一函数；对于D ，()f x x =，2()log 2xg x x ==，它们的定义域为R ，对应关系也相同，∴是同一函数.故选：D4．已知()2212x axf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭在[]1,3上是减函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(],1-∞B ．[]1,2C ．[]2,3D ．[)3,+∞【答案】A【分析】利用复合函数的单调性即可求解.【详解】令22t x ax =-，则()12th t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为()f x 在[]1,3上是减函数，由复合函数的单调性知，函数22t x ax =-与()12th t ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性相反；又因为()h t 单调递减，所以22t x ax =-需在[]1,3上单调递增.函数22t x ax =-的对称轴为x a =，所以只需要1a ≤， 故选:A.5．若不等式20ax bx c ++>的解集为1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭，则20b c x x a a ++<成立的一个必要不充分条件是（ ）A ．132x -<<B ．102x -<<C ．132x -<< D ．16x -<<【答案】D【分析】先根据不等式20ax bx c ++>的解集为1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭得到a ，b ，c 三者的关系，从而解出20b c x x a a ++<的解集1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭，再寻找必要不充分条件，即找一个集合，使得它真包含1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭即可.【详解】∵若不等式20ax bx c ++>的解集为1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭∴12-与3是方程20ax bx c ++=的两个根，且a<0∴132b a -+=-，132c a -⨯=∴52b a =-，32c a =-∴20b c x x a a ++<可化为：253022x x --< 解得：132x -<<A 、B 、C 、D 四个选项中，只有选项D 满足：{}16x x -<<真包含132x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∴20b cx x a a++<成立的一个必要不充分条件是D 选项故选：D6．已知函数,,log a xc y x y b y x ===的图象如图所示，则（ ）A ．21lg 2a c b -⎛⎫<< ⎪⎝⎭B ．21lg 2a b c -⎛⎫<< ⎪⎝⎭C ．21lg 2a b c -⎛⎫<< ⎪⎝⎭D ．21lg 2ac b -⎛⎫<< ⎪⎝⎭【答案】C【分析】由幂函数、指数函数、对数函数性质确定函数图象对应的函数式，确定,,a b c 的范围后，再确定lg b ，2c -，1()2a的范围，从而得它们的大小关系．【详解】由图象知最上方的图象是a y x =的图象，过(0,1)点的是x y b =的图象，过(1,0)点的是log c y x =的图象，因此a<0，01b <<，1c >，lg 0b <，201c -<<，1()12a >，即21lg 2ab c -⎛⎫<< ⎪⎝⎭， 故选：C ．7．函数||1()1e x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若关于x 的方程22()(23)()30-++=f x a f x a 有4个不同的根，则a 的取值范围（ ） A ．(1,2) B ．3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．330,,222⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．331,,222⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【分析】令()f x t =，求得()222330t a t a -++=的两根，再结合函数()f x 的图象，数形结合即可求得a 的范围.【详解】令()f x t =，()222330t a t a -++=，即()()230t t a --=，解得123,2t t a ==；故要使得方程22()(23)()30-++=f x a f x a 有四个不相等的实数根，则3,2y y a ==与()f x 的图象有四个交点，如下图所示：数形结合可知，a ∈331,,222⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.8．已知实数a 、b 满足51825log 6log 5log 9,51213a a ba =+++=，则下列判断正确的是（ ）A ．2a b >>B ．2b a >>C ．2b a >>D ．2a b >>【答案】D【分析】由对数的运算法则化简a ，再借用基本不等式可得a 的范围，再利用51213a a b +=可得b 的范围，在构造新函数，借助放缩法可得,a b 的大小关系. 【详解】251825555555211log 6log 5log 9log 6log log 6log log 18log 1833a =++=++++=551log 182log 18=+>=， 51213a a b +=， 2221351251213b a a ∴=>=++ 2b ∴>令20x t -=>，()51213x x xf x =+-，则()22251213255144121691316913169130t t t t t t t t g t +++=+-=⨯+⨯-⨯<⨯-⨯=所以当2x >时，()0f x <，即5121313a a b a +=< a b ∴>2a b ∴>>故选：D.二、多选题9．已知函数()()1lg ,0e ,0x x xf x x -⎧-<=⎨⎩，若()()213f f a +=，则a 的值可能为（ ）A ．1B ．1-C ．10D ．10-【答案】AD【分析】首先求得()1f a =，再讨论a 的取值，解方程即可求解.【详解】()01e 1f ==，因为()()213f f a +=，所以()1f a =，当a<0时，()()lg 1f a a =-=，解得：10a =-，当0a >时，()1e 1af a -==，解得：1a =，故选：AD10．若lg lg a b >，则（ ） A ．11a b <B ．11b b a a +<+C ．11a b b a->-D ．112a b-⎛⎫< ⎪⎝⎭【答案】ABD【分析】根据对数函数的单调性，结合不等式的性质以及指数函数的单调性，即可判断和选择. 【详解】lg y x =是()0,+∞上的单调增函数，故由lg lg a b >，可得0a b >>； 对A ：因为0a b >>，则11a b<，A 正确；对B ：因为()()()1111ab a ab b b b a ba a a a a a +-++--==+++，因为0ab >>，故()01a b a a ->+，即11b b a a +>+，B 正确；对C ：当11,2a b ==时，满足0a b >>，但1111,2a b b a -=--=-，不满足11a b b a ->-，C 错误； 对D ：12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是R 上的单调减函数，又0a b ->，故011122a b-⎛⎫⎛⎫<= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，D 正确； 故选：ABD.11．函数()24x x f x =-，对[0,1],()22x m x f x +∀∈>-恒成立的一个充分条件是m ∈（ ） A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．(0,)+∞C ．(1,)+∞D ．(2,)+∞【答案】CD【分析】首先利用换元法，转化成恒成立问题，从而只要求()g t 得最大值，利用导数分析单调性，从而求出最大值，解出m 的范围，再根据充分条件的含义即可判断.【详解】因为[0,1],()22x m x f x +∀∈>-，所以2422x x x m +->-，令2x t =，因为[][]0,1,1,2x t ∈∈则，所以222,m t t t ->-即221mt t >+-.令2()1g t t t=+-，所以max 2()mg t >，22222()1t g t t t-'=-=，则t ⎤∈⎦时，()g t 单调递增，t ⎡∈⎣时，()g t 单调递减，则(1)2,(2)2g g ==，即()g t 在1t =或2t =时取得最大值2.max ()2,g t =所以22,m > 所以1m >，即()1,m ∈+∞.由题意知，选项为()1,m ∈+∞的充分条件的只有CD. 故选：CD12．已知函数)21()ln321x x f x x -=+++，函数()g x 满足()()6g x g x -+=．则（ ）A ．1(lg 2022)lg 62022f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭B ．函数()g x 的图象关于点(0,3)对称C ．若实数a 、b 满足()()6f a f b +>，则0a b +>D ．若函数()f x 与()g x 图象的交点为()()()112233,,,x y x y x y 、、，则1122336x y x y x y +++++= 【答案】ABC【分析】利用函数)21()ln321x x f x x -=+++的解析式可知，()()6f x f x -+=，则，有由()()6g x g x -+=即可判断A,B 选项，利用函数单调性的性质可判断函数)21()ln321x x f x x -=+++的单调性，即可判断C 选项，根据两个函数的对称性即可判断D 选项.【详解】对于A 选项，由函数)21()ln 321x x f x x -=+++，函数定义域为R ，则))2121()ln3ln32121x x x x f x x x -----=++=-+++所以))2121ln 3ln 321)21()(xxxxf f x x x x --+++-+=++-+)2121ln 3362121xxxxx x --=++-+=++，所以()()6f x f x -+=，故A 选项正确.对于B 选项，因为()g x 满足()()6g x g x -+=，()g x 的图象关于点(0,3)成中心对称.故B 选项正确.对于C 选项，设)21()ln21x x h x x -=++，则()()0h x h x -+=，则()h x 为奇函数，由函数单调性的性质可知，当0x >时，()h x 单调递增，所以()h x 在R 上为增函数，则()()3f x h x =+也为R 上的增函数，因为实数a 、b 满足()()6f a f b +>，且()()6f a f a -+=，则)())((()f f f b a f a a +-+>，即()()f b f a >-，所以b a >-，即0a b +>.故C 选项正确.对于D 选项，由()()6f x f x -+=，()()6g x g x -+=，()f x 的图象关于点(0,3)成中心对称，()g x 的图象也关于点(0,3)成中心对称，令0x =，则(0)3,(0)3f g ==，因为函数()f x 与()g x 图象的交点为()()()112233,,,x y x y x y 、、，不妨设123x x x <<，由对称性可知，1320,0x x x +==，所以1326,3y y y +==，则1239y y y ++=.故D 选项错误. 故选：ABC三、填空题13．若幂函数()2224()5m m f x m m x +-=+-在区间(0,)+∞上单调递增，则()4f =_____________．【答案】256【分析】根据幂函数的定义及性质求出m ，即可得出答案.【详解】解：因为幂函数()2224()5m m f x m m x +-=+-在区间(0,)+∞上单调递增，所以2251240m m m m ⎧+-=⎨+->⎩，解得2m =，所以()4f x x =，则()4256f =. 故答案为：256.14．50log 2132632910.125(2)285-⎛⎫⎛⎫⎡⎤-+-+-⨯= ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭________．【答案】80【分析】根据指数幂的运算法则、对数的性质化简求值即可. 【详解】原式513()13132log 26322512(23)2510⨯-⨯-⎛⎫=-++⨯-⨯ ⎪⎝⎭321218(23)22=-++⨯-⨯80=.故答案为：8015．己知函数(1)f x -是偶函数，()f x 在区间[1,)-+∞内单调递减，(3)0f -=，则不等式()ln 10f x x ⋅+>的解集为__________．【答案】()()320,1--,【分析】首先判断函数()f x 的性质，不等式转化为()0ln 10f x x ⎧>⎪⎨+>⎪⎩或()0ln 10f x x ⎧<⎪⎨+<⎪⎩，再求解不等式的解集.【详解】因为函数(1)f x -是偶函数，关于y 轴对称，向左平移1个单位后得函数()f x ，函数()f x 关于直线=1x -对称，因为函数在区间[1,)-+∞内单调递减，(3)0f -=，所以函数在区间()1-∞-，单调递增，且()10f =,不等式等价于()0ln 10f x x ⎧>⎪⎨+>⎪⎩，即3111x x -<<⎧⎨+>⎩，解得：01x <<或32-<<-x ；或()0ln 10f x x ⎧<⎪⎨+<⎪⎩，即31011x x x ⎧-⎪⎨<+<⎪⎩或 ，解集为∅； 综上可知，不等式的解集为()()3201--，，.故答案为：()()3201--，，16．已知,,,a b m n 为正实数，且满足20212022202220210,7a b ab m n ab ⎛⎫+-=+=+ ⎪⎝⎭，则11m n m n ⎛⎫⎛⎫+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的取值范围为___________．【答案】)2,+∞⎡⎣【分析】先求得m n +，然后结合基本不等式求得正确答案. 【详解】由202220210a b ab +-=，得202220211b a+=， 所以7m n +=，24924m n mn +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当72m n ==时等号成立， 221111m n m n m n m n ++⎛⎫⎛⎫+⋅+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()222222111m n m nm n mnmn+++++== ()22222214921m n m n mn m n mn mnmn++-++-+==50222mn mn =+-≥=，当且仅当50,mn mn mn==. 11m n m n ⎛⎫⎛⎫+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的取值范围为)2,+∞⎡⎣.故答案为：)2,+∞⎡⎣四、解答题17．集合1121x A xx ⎧⎫+=>⎨⎬-⎩⎭，{}22B x a x a =-<<+． (1)若{}23,4,23,0()C a a B C =+-∈，求实数a 的值；(2)若()R A B ⋂=∅，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)1 (2)502a ≤≤【分析】（1）根据0B ∈且0C ∈，求解实数a 的值； （2）首先求解集合A ，由条件确定A B ⊆，列不等式求解.【详解】（1）因为0()B C ∈，所以0C ∈，所以2230a a +-=，解得：1a =或3a =-． 且0B ∈，所以202a a -<<+，得22a -<<；∴实数a 的值为1 （2）集合12110221212x x A xx x x x x +-⎧⎫⎧⎫⎧⎫=>=>=<<⎨⎬⎨⎬⎨⎬--⎩⎭⎩⎭⎩⎭集合{}22B x a x a =-<<+，()R A B ⋂=∅,A B ∴⊆，则12222a a ⎧-≤⎪⎨⎪+≥⎩，解得：502a ≤≤.所以a 的取值范围是502a ≤≤.18．已知函数()()log 1a f x x =-（0a >，且1a ≠） (1)求()2f 的值及函数()f x 的定义域；(2)若函数()f x 在[]2,9上的最大值与最小值之差为3，求实数a 的值． 【答案】(1)0；(1,)+∞； (2)12或2.【分析】（1）代入计算得()2f ，由对数有意义列出不等式求解作答. （2）由a 值分类讨论单调性，再列式计算作答.【详解】（1）函数()()log 1a f x x =-，则()2log 10a f ==，由10x ->解得：1x >， 所以()2f 的值是0，()f x 的定义域是(1,)+∞.（2）当01a <<时，()()log 1a f x x =-在[]2,9上单调递减，()max (2)0f x f ==，()min (9)log 8a f x f ==， 于是得0log 83a -=，即38a -=，解得12a =，则12a =， 当1a >时，()()log 1a f x x =-在[]2,9上单调递增，()min (2)0f x f ==，()max (9)log 8a f x f ==， 于是得log 803a -=，即38a =，解得2a =，则2a =， 所以实数a 的值为12或2.19．已知函数()()211R y m x mx m m =+-+-∈.(1)若不等式0y <的解集是空集，求m 的取值范围； (2)当2m >-时，解不等式y m ≥. 【答案】(1))∞+⎣(2)答案见解析【分析】（1）对二次项系数分类讨论，10m +=与10m +≠，当10m +≠时， 10Δ0m +>⎧⎨≤⎩，求解不等式组即可得解；（2）分1m =-，1m >-和21m -<<-三种情况解不等式.【详解】（1）①10m +=，即1m =-时，20y x =-<解集不是空集，舍去，②10m +≠时，即1m ≠-时，210Δ4(1)(1)0m m m m +>⎧⎨=-+-≤⎩， 即21340m m >-⎧⎨-≥⎩，∴1m m m >-⎧⎪⎨≤⎪⎩，解得m ≥∴m的取值范围是⎫+∞⎪⎭；（2）∵y m ≥化简得：[(1)1](1)0m x x ++-≥，①10m +=时，即1m =-时，解集为{1}∣≥xx ， ②10m +>时，即1m >-时，1(1)01x x m ⎛⎫+-≥ ⎪+⎝⎭，1011m -<<+，解集为{1|1x x m ≤-+或}1x ≥， ③10+<m 时，即21m -<<-时，解集为1(1)01x x m ⎛⎫+-≤ ⎪+⎝⎭，∵21m -<<-，∴110m -<+<， ∴111m ->+， ∴解集为1|11x x m ⎧⎫≤≤-⎨⎬+⎩⎭.综上，1m >-时，解集为{1|1x x m ≤-+或}1x ≥； 1m =-时，解集为{1}∣≥xx ； 21m -<<-时，解集为1|11x x m ⎧⎫≤≤-⎨⎬+⎩⎭20．据国家气象局消息，今年各地均出现了极端高温天气.漫漫暑期，空调成了很好的降温工具，而物体的降温遵循牛顿冷却定律.如果某物体的初始温度为0T ，那么经过t 分钟后，温度T 满足()012tha a T T T T ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，其中a T 为室温，h 为半衰期.为模拟观察空调的降温效果，小明把一杯75C 的茶水放在25C 的房间，10分钟后茶水降温至50C .（参考数据：lg 20.30,lg30.48≈≈）(1)若欲将这杯茶水继续降温至35C ，大约还需要多少分钟？（保留整数）(2)为适应市场需求，2022年某企业扩大了某型号的变频空调的生产，全年需投入固定成本200万元，每生产x 千台空调，需另投入成本()f x 万元，且()2460,040,36003013700,40.x x x f x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-⎪⎩已知每台空调售价3000元，且生产的空调能全部销售完.问2022年该企业该型号的变频空调的总产量为多少千台时，获利最大？并求出最大利润. 【答案】(1)13分钟(2)当该企业该型号的变频空调总产量为30千台时，获利最大，最大利润为3400万元.【分析】（1）由题意列方程求解（2）由题意得出利润与x 的函数关系，结合基本不等式求解最值【详解】（1）由题意可得()101502575252h⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭，解得10h =.设经过t 分钟，这杯茶水降温至35C ，则()101352550252t ⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭， 解得2110log 51010213lg2t ⎛⎫=-=⨯-≈ ⎪⎝⎭（分钟）. 故欲将这杯茶水降温至35C ，大约还需要13分钟. （2）设2022年该企业该型号的变频空调的利润为()W x ，当040x <<时，()223002004604(30)3400W x x x x x =---=--+，当30x =时，()W x 取得最大值3400万元； 当40x 时，()3600360030020030137003500W x x x x x x ⎛⎫=---+=-+ ⎪⎝⎭， 因为360023600120x x+=，当且仅当60x =时，等号成立， 则当60x =时，()W x 取得最大值3380万元.因为34003380>，所以当该企业该型号的变频空调总产量为30千台时，获利最大，最大利润为3400万元.21．已知函数()f x 的定义域为{},0x x x ∈≠R ，对定义域内任意12,x x ，都有()()()1212f x x f x f x =+，且当1x >时，()0f x <，请解答以下问题： (1)证明函数()f x 为偶函数；(2)判定函数()f x 的单调性并加以证明； (3)若(16)4f =-，解不等式|()|(2)2f x f +>． 【答案】(1)证明见解析；(2)在(,0)-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，证明见解析；(3)11(,8),00,(8,)88⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【分析】（1）由()()()1212f x x f x f x =+分别令121x x ==、121x x ==-求出()10f -=，即可令12,1x x x ==-按定义证得偶函数；（2）根据定义证单调性，区别是由()()22110x f x f x f x ⎛⎫-=< ⎪⎝⎭说明符号；（3）由(16)4f =-得(4)2f =-，再进一步求得124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由函数单调性，结合()f x 的符号分类讨论去绝对值，即可结合()()()1212f x x f x f x =+及单调性求解.【详解】（1）由于对定义域内任意12,x x ，都有()()()1212f x x f x f x =+， 取121x x ==，则(1)2(1)(1)0f f f =⇒=， 取121x x ==-，则(1)2(1)(1)0f f f =-⇒-=，取12,1x x x ==-，则()()(1)()f x f x f f x -=+-=，所以()f x 是偶函数； （2）()f x 在(,0)-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减. 证明如下： 令120x x <<，则211x x >，由1x >时()0f x <得210x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭， ∵()()()()222211211110x x x f x f x f x f f x f x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=+⇒-=< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴()f x 在(0,)+∞上单调递减；由()f x 为偶函数，所以()f x 在(,0)-∞上单调递增；（3）∵(16)2(4)4(4)2f f f ==-⇒=-，11(1)(4)0244f f f f ⎛⎫⎛⎫=+=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由(1)0f =且()f x 在(0,)+∞上单调递减；当1x >时，原不等式可化为：11()(2)(2)()444x f x f f f f f x f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+>⇒>+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则24x >得8x >；当01x <<时，原不等式可化为：1()(2)4f x f f ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，即11(2)244f x fx ⎛⎫>⇒< ⎪⎝⎭，得108x <<；当0x <时，由()f x 是偶函数可得108x -<<或8x <-.故原不等式的解集是：11(,8),00,(8,)88⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．22．双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）．记双曲正弦函数为()f x ，双曲余弦函数为()g x ，已知这两个最基本的双曲函数具有如下性质： ①定义域均为R ；②()f x 为奇函数，()g x 为偶函数；③()()e x f x g x +=（常数e 是自然对数的底数，e 2.71828=）．利用上述性质，解决以下问题：(1)求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式： (2)解不等式21e (())2ef f x ->；(3)已知m ∈R ，记函数2(2)4(),[0,ln2]y m g x f x x =⋅-∈的最小值为()m ϕ，求()m ϕ． 【答案】(1)e e e e(),()22x x x xf xg x ---+== (2)1),)+∞ (3)()1723,43122,3mm m m m m ϕ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩【分析】（1）由题意，建立方程组，解得答案；（2）根据函数解析式，可得函数的单调性，利用单调性解不等式，可得答案；（3）代入函数解析式，利用配方法和换元法，化简函数，分类讨论，结合二次函数的性质，可得答案.【详解】（1）由性质③知()()e x f x g x +=，所以()()e x f x g x --+-=， 由性质②知，()(),()()f x f x g x g x -=--=，所以()()e x f x g x --+=，即()()()()e e xx f x g x f x g x -⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得e e e e (),()22x x x xf xg x ---+==． （2）因为函数e e x x y y -==-、均为R 上的增函数，故函数()f x 为R 上的增函数，由题设．21e (())(1)2ef f x f ->=-，又()f x 单调递增，所以e e ()12x x f x --=>-，整理得2e 2e 10x x +->，解得e 1x >=，所以1)x >，故不等式解集为1),)+∞（3）函数()()()()2222(2)4()e e 2e e e e 22e e x x x x x x x x y m g x f x m m ----⎡⎤=⋅-=+--=-+--⎢⎥⎣⎦，设e e x x t -=-，由（2），e e ()2x xf x --=在R 是增函数知，当[0,ln2]x ∈时，30,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以原函数即2322,0,2y mt t m t ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦，设23()22,0,2h t mt t m t ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦，当0m =时，()2h t t =-在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，此时min 3()32h t h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．当0m ≠时，函数()h t 的对称轴为1t m=，当0m <时，则10,()h t m <在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，此时min 317()324mh t h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 当1302m <<时，即23m >时，()h t 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在13,2m ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 此时min 11()2h t h m m m ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．当132m ≥时，即203m <≤时，()h t 在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，此时min 317()324mh t h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭． 综上所述，()1723,43122,3mm m m m m ϕ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩．。