人教版八年级数学上册 第十五章 分式方程应用题 章节复习讲义
分式方程应用题分类练习一、【行程中的应用性问题】
【例1】甲、乙两个车站相距96千米，快车和慢车同时从甲站开出，1小时后快车在慢车前12千米，快车比慢车早40分钟到达乙站，快车和慢车的速度各是多少？分析：
所行距离速度时间
快车
慢车
等量关系：[练习1]一队学生去校外参观．他们出发30分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从学校出发，按原路追赶队伍．若骑车的速度是队伍行进速度的2倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间？
解：设 .
根据题意，可列方程： .
【例2】A、B两地相距87千米，甲骑自行车从A地出发向B地驶去，经过30分钟后，乙骑自行车由B地出发，用每小时比甲快4千米的速度向A地驶来，两人在距离B地45千米C处相遇，求甲乙的速度。
分析：
示意图：
等量关系：
所行距离速度时间
甲
乙
[练习2]甲乙两人同时从一个地点相背而行，1小时后分别到达各自的终点A与B；若从原地出发，但是互换彼此的目的地，则甲将在乙到达A之后35分钟到达B，求甲与乙的速度之比。
解：设 .
根据题意，可列方程： .
二、【工程类应用性问题】
【例1】甲乙两个工程队合作一项工程，两队合作2天后，由乙队单独做1天就完成了全部工程。
已知乙队单独做所需天数是甲队单独做所需天数的倍，问甲乙单独做各需多少天？
分析：
等量关系：
1 1 2。
人教版八年级数学上册第15章3 分式方程
(2)公分母检验法：将整式方程的解代入最简公分母，
若最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式
方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.
知2－讲
4. 增根 在分式方程化为整式方程的过程中，若整式 方程的解使最简公分母的值为0, 则这个解叫做原分 式方程的增根.
特别解读
知2－讲
1. 解分式方程的关键是去分母. 去分母时不要漏乘不含分母的
1-1. 下列方程中不是分式方程的是( C )
A.x＋2 1=3
B.1x=x－3 1
C.x2=2
D.x－x 1=x2－2 1
知1－练
1-2. 下列关于x的方程：
①23x2＝1；②π2－x2＝1； ③32x＝x；④x－1 2＋3＝xx－－12； 其中是分式方程的是__③__④____(填序号).
知1－练
知3－练
5-2. 某校篮球社团人数迅增，急需购进A，B 两种品牌篮 球， 已知A 品牌篮球的单价比B 品牌篮球单价的2 倍 少48 元，采购相同数量的A，B 两种品牌篮球分别需 要花费9 600 元和7 200 元.A，B 两种品牌篮球的单价 分别是多少元？
解：设 B 品牌篮球的单价是 x 元，
思路引导：
工作效率 工作时间/天 工作总量
甲乙合作
1
9
9
12
12
甲
1
5
5
x
x
等量关系 系甲乙合作9 天的工程量＋ 甲单独
工作5 天的工程量=1
知3－练
解：设甲队单独完成工程需x 天.
知3－练
根据题意，得112×9 ＋1x×5=1，解得x =20 . 经检验，x =20 是方程的解.
因为112－210= 310，所以乙单独完成工程需30 天. 又因为20 天<3 0 天， 所以从缩短工期角度考虑，应该选择甲队.
人教版八年级上册第十五章分式全章复习课件
分式方程的解法
例
解分式方程：x+1 x2
5 1= x2 4
.
例
解分式方程：x+1 x2
5 1= x2 4
.
解：原方程变形为 x+1 x2
5 1= (x+2)(x
2)
.
去分母，得 (x+1)(x+2) (x+2)(x 2)=5.
确定最简公分母 不要漏乘
整理，得 x2+3x+2 (x2 4)=5 . 去括号注意负号要变号
m1
若关于x的分式方程 求m的取值范围.
x
1 =2的解为正数，
解：去分母，得 m 1=2(x 1) . m+1
解得 x= 2 .
∵原方程解为正数，
∴ x＞0且x≠1 .
∴
m+1 2 ＞0
且
m+1 2 ≠1
.
∴ m＞ 1 且 m≠1 .
例
若关于x的分式方程 求m的取值范围.
m x
1 1
=2
的解为正数，
；
x 1 5x 5 去分母，得
.
x=2是否为方程
的解？答：
.
x x 1 因此
是原分式方程的解，并符合题意.
（3） x 2 x 4 1 已车知方小 式王所家用距时上间班是地自点驾车18方千式米所．用他时用间乘的公交车.2 的方式平均每小.时行驶的路程比他自用驾车的方式平均每小时行驶的路程的2倍还多9千米，他从家出发到达上班地点，乘公交
答：小王自驾车方式上班平均每小时行驶27千米.
概念
分式方程定义 分式方程的解
分
化 去分母转化为整式方程
式 方
八年级数学上册 第十五章分式小结与复习课件11-15
写:答案.
考点讲练
考点一 分式的有关概念
例1 如果分式
x2 −1 x +1
的值为0，那么x的值为
“这种事你可是一窍不通，告诉你也是白搭
针对训练
1.若分式 1 无意义，则a的值 -3 . x+3
2.如果分式 a − 2 的值为零，则a的值为 2 .
a+2
考点二 分式的性质及有关计算
例2 如果把分式 x 中的x和y的值都扩大为原来 x+ y
的3倍，则分式的值（ B ）
A.扩大为原来的3倍
C.缩小为原来的
1 3
B.不变
D.缩小为原来的
.
【解析】根据分式值为0的条件：分子为0而分母不为0，列出关于x的方
程，求出x的值，并检验当x的取值时分式的分母的对应值是否为零.由题
意可得：x2-1=0, 解得x=±1.当x=-1时，x+1=0;当x=1时，x+1 ≠0.【答案】1归纳总结
分式有意义的条件是分母不为0，分式无意义的条件是分母的值为0； 分式的值为0的条件是：分子为0而分母不为0.
1 6
泄气的蟒蛇气喘吁吁地爬到了一边。正等在河里的鳄鱼，见此即张开了血盆大口，把他吞进了肚里。那里立即长出了一棵高大的、直挺挺的茁壮的树芽，霎时长成了一株异常巨大而神奇的大树。 电影在线观看 /tv/29.html 看地的人会把它当做一只老虎，而不敢把它赶走。经过长时间的愤慨的争论，——因为在那个时候，动物都像人说话，他们愿意让羊自己决定。，”
【人教版】八年级数学上册 第十五章《分式方程及其应用》(讲义+习题+随堂测试及答案)
分式方程及其应用（讲义）➢课前预习1.请回顾相关知识，填空：2.回忆并背诵应用题的处理思路，回答下列问题：（1）理解题意，梳理信息．梳理信息的主要手段有_______________________________．（2）建立数学模型．建立数学模型要结合不同特征判断对应模型，如：①共需.同时.刚好.恰好.相同……，考虑___________；②不超过.不多于.少于.至少……，考虑_____________． （3）求解验证，回归实际．主要是看结果是否_________________． ➢ 知识点睛1. 分式方程的定义：__________________的方程叫做分式方程．2. 解分式方程：根据________________，把分式方程转化为__________求解，结果必须_______，因为解方程的过程中有可能产生______． 增根产生的原因是方程两边同乘了一个_________________．3. 列分式方程解应用题，也要进行___________．➢ 精讲精练1. 下列关于x 的方程是分式方程的有__________．（填写序号）①315x -=；②x x π=π；③11123x y -=；④1152x x +=+；⑤11x a b =-． 2. 已知方程2512kx x +=+的解为1x =，则k =_________．3. 解分式方程：（1）2115225x x x ++=--； （2）100602020x x=+-； （3）3201(1)x x x x +-=--； （4）2216124x x x ++=---；（5）2236111x x x +=+--； （6）2221114268x x x x x +-=----+．4. 对于分式方程，下列说法一定正确的是（ ）A ．只要是分式方程，一定有增根B ．分式方程若有增根，把增根代入最简公分母，其值一定为0C ．使分式方程中分母为零的值，都是此方程的增根D ．分式方程化成整式方程，整式方程的解都是原分式方程的解5. 若分式方程1322m x x x -=---有增根，则m 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．1 D ．1-6. 若分式方程11222kx x x-+=--有增根，则k 的值为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．27. 若分式方程61(1)(1)1mx x x -=+--有增根，则它的增根是（ ）A ．0B ．1C ．1-D ．1和1-8. 若分式方程342(2)a x x x x =+--有增根，则增根可能为（ ） A ．0 B ．2 C ．0或2 D ．19. 某校用420元钱到商店购买笔记本，经过还价，每本便宜0.5元，结果多买了20本，则原价每本多少元？设原价每本x 元，则由题意列出的方程为（ ）A ．420420200.5x x -=- B ．420420200.5x x -=- C ．4204200.520x x -=-D ．4204200.520x x-=-10. 已知A ，B 两地相距48千米，一艘轮船从A 地顺流航行至B 地，又立即从B 地逆流返回A 地，共用去9小时．若水流速度为4千米/时，设该轮船在静水中的速度为x 千米/时，则由题意列出的方程为（ ） A ．4848944x x +=+-B ．4848944x x +=+- C ．4849x+=D ．9696944x x +=+-11. 为保证某高速公路在2016年底全线顺利通车，某路段规定在若干天内完成修建任务．已知甲队单独完成这项工程比规定时间多用10天，乙队单独完成这项工程比规定时间多用40天，如果甲.乙两队合作，可比规定时间提前14天完成任务．若设规定的时间为x 天，则由题意列出的方程为（ ）A ．111104014x x x +=--+ B ．111104014x x x +=++- C ．111104014x x x -=++- D ．111101440x x x +=-+- 12. 某商店第一次用600元购进2B 铅笔若干支，第二次又用600元购进该铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的54倍，购进数量比第一次少了30支．（1）第一次每支铅笔的进价是多少元？（2）若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，则每支售价至少是多少元？13.公交快速通道开通后，小王上班由骑电动车改为乘坐公交车．已知小王家距上班地点9千米，他用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他用骑电动车的方式平均每小时行驶的路程的1.5倍还多5千米，他从家出发到达上班地点，乘公交车方式所用时间是骑电动车方式所用时间的4．小王用骑电动车方式上班平均每7小时行驶多少千米？【参考答案】➢课前预习1.等式，消元不等号，不等式2.（1）列表，画线段图或示意图（2）①方程模型；②不等式模型（3）符合实际情况➢知识点睛1.分母中含有未知数2.等式的基本性质，整式方程，检验，增根使分母为零的整式3.检验➢精讲精练1.②④2.-13.（1）4x=3（2）5x=（3）无解（4）无解（5）无解（6）x=14.B5.C6.C7.B8.A9.B10. A11. B12. （1）第一次每支铅笔的进价是4元（2）每支售价至少是6元13.小王用骑电动车方式上班平均每小时行驶20千米分式方程及其应用（习题）➢ 例题示范 例1：解分式方程：11322x x x-=---． 【过程书写】1(1)3(2)1136242x x x x x x =----=-+-+==解：检验：把x =2代入原方程，不成立 ∴x =2是原分式方程的增根 ∴原分式方程无解例2：八年级（1）班学生周末乘汽车到游览区游览，游览区距学校120km ．一部分学生乘慢车先行，出发0.5h 后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达游览区．已知快车的速度是慢车速度的1.2倍，求慢车的速度. 【思路分析】 列表梳理信息：【过程书写】解：设慢车的速度为x km/h ，则快车的速度为1.2x km/h ， 由题意得，1201200.51.2x x =-解得，x =40经检验：x =40是原方程的解，且符合题意 答：慢车的速度是40km/h ． ➢ 巩固练习1. 下列关于x 的方程，其中不属于分式方程的是（ ）A ．1a ba x a++= B ．xa b x b a +=-11 C ．bx a a x 1-=+ D ．1=-+++-nx mx m x n x 2. 解分式方程2236111x x x +=+--分以下四步，其中错误的一步是（ ）A ．方程两边分式的最简公分母是(1)(1)x x -+B ．方程两边都乘以(1)(1)x x -+，得整式方程2(1)3(1)6x x -++= C ．解这个整式方程，得1x = D ．原方程的解为1x =3. 张老师和李老师同时从学校出发，骑行15千米去县城购买书籍．已知张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，则两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x 千米，依题意可列方程为（ ） A ．1515112x x -=+ B ．1515112x x -=+C ．1515112x x -=- D ．1515112x x -=- 4. 若方程61(1)(1)1mx x x -=+--有增根，则m =_________．5. 如果解关于x 的分式方程1134x m x x +-=-+出现了增根，那么增根是___________．6. 解分式方程：（1）43(1)1x x x x +=--； （2）22(1)23422x x x x +=+--+；（3）23112x x x x -=+--； （4）11222x x x-=---．7. 某服装厂设计了一款新式夏装，想尽快制作8 800件投入市场．已知该服装厂有A ，B 两个制衣车间，A 车间每天加工的数量是B 车间的1.2倍．A，B两车间共同完成一半的生产任务后，A车间因出现故障而停产，剩下的全部由B车间单独完成，结果前后共用了20天完成全部生产任务．则A，B两车间每天分别能加工多少件该款夏装？【思路分析】列表梳理信息：【过程书写】8.某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8万元购进这种衬衫，面市后果然供不应求．商厦又用17.6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但是单价贵了4元．商厦销售这种衬衫时每件定价都是58元，最后剩下150件按八折销售，很快售完．在这两笔生意中，商厦共盈利多少元？【思路分析】列表梳理信息：【过程书写】【参考答案】 ➢ 巩固练习1. C2. D3. B4. 35.x =36. （1）x =2（2）43x = （3）无解 （4）无解7. A 车间每天能加工384件该款夏装B 车间每天能加工320件该款夏装8. 商厦共盈利90260元分式方程及其应用（随堂测试）1. 下列关于x 的方程：①2103x -=；②x x 3=π-1；③31πy x -=；④13+4x=； ⑤11x a b =-；⑥2153x x x -=--． 其中属于分式方程的是________________．（填序号） 2. 解方程：214111x x x +-=--．3. 如果解关于x 的分式方程1132x k x x+-=--出现了增根，那么增根是_________，k 的值是________．【参考答案】 1. ②④⑥2. x =1是原方程的增根，原分式方程无解3.2x =，4. 1。
人教版八年级上册数学 第十五章 分式方程 知识点及考点
第十五章分式方程知识点及考点一、知识点1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．2．分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．（2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．易错提醒：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．3．增根在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．温馨提示：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解．4．分式方程的应用（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝工作量工作效率，时间＝路程速度等．（2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答．二、考试方向（一）解分式方程分式方程的解法：①能化简的应先化简；②方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程； ③解整式方程；④验根． 例题：1、解分式方程：312242x x x -=--． 【解析】去分母得：6-x =x -2，解得：x =4，经检验x =4是分式方程的解．【名师点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．2、方程33122x x x-+=--的解为_______________． 【答案】1x =【解析】方程两边同乘以(2)x -，得(32)3x x -+-=-，解得1x =，检验：1x =时，20x -≠，所以1x =是原分式方程的解． 故填1x =．【名师点睛】分式方程的解题步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1．同时应注意分式方程必须检验．（二）分式方程的解（1）求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根.（2）验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根；否则这个根就是原分式方程的根，若解出的根都是增根，则原方程无解.（3）如果分式本身约分了，也要代入进去检验.（4）一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零，因此要将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则是方程的解.例题：3、 若关于x 的方程3111ax x x -=++的解为整数解，则满足条件的所有整数a 的和是 A ．6 B ．0 C ．1 D ．9【答案】D【解析】分式方程去分母得：ax -1-x =3，解得：x =41a -， 由分式方程的解为整数解，得到a -1=±1，a -1=±2，a -1=±4， 解得：a =2，0，3，-1，5，-3（舍去），则满足条件的所有整数a 的和是9， 故选D ．【名师点睛】此题考查了分式方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4、若关于x 的分式方程121k x -=+的解为负数，则k 的取值范围为_______________． 【答案】3k <且1k ≠【解析】分式方程去分母转化为整式方程，去分母得122k x -=+，解得32x k =-，由分式方程的解为负数，可得203k -<且10x +≠，即213k -≠-，解得3k <且1k ≠． （三）分式方程的应用分式方程解实际问题的求解步骤：审题、设未知数、列方程、解方程、检验、写出答案，检验时要注意从方程本身和实际问题两个方面进行．例题：5、某工厂生产一种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个．设原计划每天生产x 个，根据题意可列分式方程为A ．2010154x x +=+ B ．2010154x x -=+ C ．201015x x += D ．201015x x -= 【答案】A 【解析】由题意可知原计划每天生产x 个零件，则实际每天生产了(4)x +个零件，实际15天共生产了(200)1x +个零件，因此根据题意可列分式方程为2010154x x +=+． 故选A ． 6、元旦假期即将来临，某旅游景点超市用700元购进甲、乙两种商品260个，其中甲种商品比乙种商品少用100元，已知甲种商品单价比乙种商品单价高20%，那么乙种商品单价是A ．2元B ．2.5元C ．3元D ．5元【答案】B【解析】设乙种商品单价为x 元，则甲种商品单价为(1)20%x +元，由题易得，甲种商品花费300元，乙种商品花费400 解得 2.5x =元．故选B ．。
人教版数学八年级上册第15章第3节《分式方程》复习讲义
分式方程知识导图类比分基础知识点【分式方程】 4．解方程：（1）2313x x =--； （2）33122x x x-+=--；（3）313221x x+=--； （4）221422x x x x +=-+-．5．已知关于x 的方程3533x mx x+=--有增根，求m 的值．6．若关于x 的方程322133x mxx x-++=---无解，求m 的值．重点题型2【分式方程应用题--行程、工程问题】7．天津市奥林匹克中心体育场——“水滴”位于天津市西南部的奥林匹克中心内，某校九年级学生由距“水滴”10千米的学校出发前往参观，一部分同学骑自行车先走，过了20分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车同学速度的2倍，求骑车同学的速度．（1）设骑车同学的速度为x 千米/时，利用速度、时间、路程之间的关系填写下表．（28．轮船顺水航行80千米所需要的时间和逆水航行60千米所需要的时间相同，已知水流的速度是3km/h ，设则轮船在静水中的速度为x ，则可列出方程________．9．某单位向一所希望小学赠送1080件文具，现用A 、B 两种不同的包装箱进行包装，已知每个B 型包装箱比A型包装箱多装15件文具，单独使用B 型包装箱比单独使用A 型包装箱可少用12个．设B 型包装箱每个可以装x 件文具，根据题意列方程为（ ）．A ．1080x ＝1080x －15＋12B ．1080x ＝1080x －15－12C ．1080x ＝1080x ＋15－12D ．1080x ＝1080x ＋15＋1210．为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息： 信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天； 信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍． 根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？11．列方程解应用题：某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，乙工程队工程款0.5万元．工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案： （1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天；（3）若甲、乙两队合做3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．试问：在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由．两步一回头12．分式方程253x x =+的解是___________． 13．解分式方程13132x x x--=，去分母后所得的方程是（ ）． A ．()12313x --= B ．()2313x x -+=C ．2316x x --=D ．2316x x -+=14．为响应承办“绿色奥运”的号召，九年级（1）班全体师生义务植树300棵．原计划每小时植树x 棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，结果提前20分钟完成任务．则下面所列方程中，正确的是（ ）．A ．3002030060 1.2x x -=B ．300300201.2x x -=C ．300300201.260x x x -=+D ．300300201.260x x =-15．甲、乙两人同时从A 地出发，骑自行车行30千米到B 地，甲比乙每小时少走3千米，结果乙先到40分钟．若设乙每小时走x 千米，则可列方程__________． 16．如果关于x 的方程255x mx x-=--无解，则m 的值为（ ）． A ．-2 B ．5 C ．2D ．3问题探究【分式字母运算】 17．（1）一件工作，甲单独做x 小时完成，乙单独做y 小时完成，甲乙两人合作，需要 ______小时．（2）某单位全体员工在植树节义务植树240棵．原计划每小时植树a 棵．实际每小时植树的棵数是原计划的1.2倍，那么实际比原计划提前了 小时完成任务（用含a 的代数式表示）． 18．请先阅读下列一段文字，然后解答问题：有这样一段叙述：“要比较a 与b 的大小，可以先求出a 与b 的差，再看这个差是正数、负数还是零，”由此可见，要判断两个代数式值的大小，只要考虑它们的差就可以．问题：甲、乙两人两次同时在同一粮店购买粮食（假设两次购买粮食的单价不相同）甲每次购买粮食100kg ，乙每次购粮用去100元．（1）设第一、第二次购粮单价分别为x 元/kg 和y 元/kg ，用含x 、y 的代数式表示：甲两次购买粮食共需付粮款 元，乙两次共购买 kg 粮食．若甲两次购粮的平均单价为每千克q 1元，乙两次购粮的平均单价和每千克q 2元，则 ．（2）若规定：谁两次购粮的平均单价低，谁的购粮方式就更合算，请你判断甲、乙两人的购粮方式哪一个更合算，并说明理由．19．甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料．两次饲料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买1000 kg ，乙每次用去800元，而不管购买多少饲料．设两次购买的饲料单价分别为m 元/kg 和n 元/kg （m ，n 是正数，且 m ≠n ），那么甲、乙所购饲料的平均单价各是多少？哪一个较低？拓展延伸20．已知关于x 的方程232x mx +=-的解是正数，则m 的取值范围为 ． 21．符号“a b c d”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：a bad bc c d =-，则等式2111111xx =--中x 的值为 ．22．一个人从A 地到B 地，去时速度为x km/h ，回时速度为y km/h ，则这个人往返的平均速度为（ ）km/h ．A ．2x y+ B ．2xy x y + C ．xy x y + D ．()2x y xy +23．当m 为何值时，关于x 的方程23242mx x x x 2+=--+会产生增根？ 24．（08南昌）甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线l 起跑，绕过P 点跑回到起跑线（如图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜．结果：甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学则顺利跑完．事后，甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒”，乙同学说：“捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1.2倍”．根据图文信息，请问哪位同学获胜？25．某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同．（1）甲、乙工程队每天各能铺设多少米？（2）如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量的方案有几种？请你帮助设计出来（工程队分配工程量为正整百数）．26．甲、乙两人同时从A地沿同一路线走到B地．甲有一半时间以速度a行走，另一半时间以速度b行走；乙有一半路程以速度a行走，另一半路程速度以b行走．设甲、乙两人从A地到B地所走的路程都为S，且a≠b．（1）试用含a、b、S的式子分别表示甲、乙两人从A地到B地所用的时间x和y（2）试问甲、乙两人谁先到达B地？并说明理由．课堂加油站愚弄了爱因斯坦的数学题1937年秋天，科学巨匠爱因斯坦收到一位朋友（德国著名心理学家韦特海默）的来信，信的末尾给他介绍了一道有趣的数学题：一辆老破车要翻过一座山，上山、下山的路程各为1km．它上山时的速度小于每小时15km．问下山的速度要多快，才能使平均速度达到每小时30km．爱因斯坦非常喜欢做一些数学智力题，他读完信之后，就约了和他一起工作的另一位科学家一同来解答这道题．他们花了很长一段时间来进行计算，才发觉上当了．后来爱因斯坦在回信中写道：为什么要这样说呢？原来这道题根本没有答案，这只需要用简单的数学知识就可以说明．设上、下山的速度分别是v1，v2，依题意可列出1v1＋1v2＝230即1v1＋1v2＝115但1v1＞115，故1v2＜0因而，下山时无论有多快都不能使往返平均速度达到30km/h．课后练习27．分式方程131x x x x +=--的解为（ ）． A ．1x = B ．1x =- C ．3x = D ．3x =-28．分式方程223124x x x --=+-的解是________． 29．（14 广州）从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍． （1）求普通列车的行驶路程；（2）若高铁的平均速度（千米/时）是普通列车平均速度（千米/时）的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度．课堂小测30．要使51x -与42x -的值相等，则x =__________． 31．当x =______时，13x x ++的值等于13． 32．当x ＝_______时，分式15x -与1023x -互为相反数． 33．如果关于x 的方程255x mx x-=--无解，则m 的值为（ ）． A ．-2 B ．5 C ．2 D ．334．甲、乙两地相距S 千米，某人从甲地出发，以v 千米/小时的速度步行，走了a 小时后改乘汽车，又过b 小时到达乙地，则汽车的速度（ ）．A ．S a b +B ．S av b -C ．S av a b -+D ．2S a b+35．某校用420元钱到商场去购买“84”消毒液，经过还价，每瓶便宜0.5元，结果比用原价多买了20瓶，求原价每瓶多少元？设原价每瓶x 元，则可列出方程为（ ）．A ．420420200.5x x -=-B ．420420200.5x x -=-C ．4204200.520x x -=-D ．4204200.520x x-=-36．甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同，已知乙车每小时比甲车多行驶15千米，设甲车的速度为x 千米/小时，依题意列方程正确的是（ ）．A ．304015x x =-B ．304015x x =- C ．304015x x =+ D ．304015x x=+ 37．小明借了一本书，共280页，要在两周借期内读完，当他读了一半时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完．他读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读x 页，则下面所列方程中，正确的是（ ）．A ．1401401421x x +=-B ．2802801421x x +=+C ．1010121x x +=+D ．1401401421x x +=+38．若关于x 的方程112x a ax -=-的解是x ＝2，则a ＝． 39．关于x 的分式方程121m x -=-的解为正数，则m 的取值范围是（ ）． A ．1m >- B ．1m ≠ C ．1m >且1m ≠- D ．1m >-且1m ≠参考答案基础知识点1．C2．B3．D重点题型14．（1）3x =-；（2）1x =；（3）76x =；（4）3x =． 5．9m =-6．方程两边同时乘以()3x -，约去分母，得：()()3223x mx x --+=--，整理，得：(1)2m x +=-， 当10m +=时，即1m =-，整式方程无解当3x =时，即5332,3m m +=-=-，分式方程无解∴当1m =-或53m =-时，分式方程无解．重点题型2（2）根据题意，列方程得32+=x x ．解这个方程，得15=x ．经检验，15=x 是原方程的根．所以，15=x ． 答：骑车同学的速度为每小时15千米． 8．806033x x =+- 9．B ． 10．解：设甲工厂每天加工x 件产品，则乙工厂每天加工1.5x 件产品，依题意得12001200101.5x x-=，解得：x ＝40，经检验：x ＝40是原方程的根，所以1.5x ＝60 答：甲工厂每天加工40件产品，乙工厂每天加工60件产品．11．设这项工程的工期为x 天，依题意，得：316xx x +=+，解得6x =经检验，6x =是原方程的解，且符合题意．方案（1）甲队单独完成这项工程需要6天，需要支付甲队的工程款为6 1.27.2⨯=万元；方案（2）乙队单独完成这项工程需要12天，超过工程的工期；方案（3）甲、乙两队合做3天，余下的工程由乙队单独完成， 需要支付甲队和乙队的工程款一共为3 1.260.5 6.6⨯+⨯=万元， 所以，在不耽误工期的前提下，方案（3）最节省工程款．两步一回头12．2x =13．D14．A15．3030233x x -=- 16．D问题探究17．（1）xy x y + （2）40a18．解：（1）甲两次购买粮食共需付粮款（100x +100y ）元，乙两次共购买100100xy ⎛⎫+ ⎪⎝⎭kg 粮食． 110010021002x y x yq ++==⨯， 210010010010021002200x y xyq x y xy x y ⎛⎫+=⨯÷+=÷= ⎪+⎝⎭（2）2122()022()x y xy x y q q x y x y +--=-=++＞，故乙的购粮方式合算． 19．解：∵甲每次购买1000千克，两次购买饲料的单价为m 元/千克和n 元/千克，∴甲的平均单价为：1000m ＋1000n 1000＋1000＝m ＋n2，而乙每次用去800元，两次购买饲料的单价为m 元/千克和n 元/千克，∴乙的平均单价为：1600800m ＋800n ＝2mnm ＋n，∴m ＋n 2－2mn m ＋n ＝(m ＋n )2－4mn 2(m ＋n )＝(m －n )22(m ＋n )而m ，n 是正数，且m ≠n ，∴m ＋n 2－2mn m ＋n ＝(m ＋n )2－4mn 2(m ＋n )＝(m －n )22(m ＋n )＞0，∴乙所购买的饲料的平均单价较低．拓展延伸20．6m -＞且4m ≠- 21．4x = 22．B23．解：方程两边都乘以24x -，得2436x mx x ++=-，整理，得()110m x -=-当1m ≠时，101x m =--，如果方程产生增根，那么240x -=，即2x =或2x =- 若2x =，则1021m -=-，4m =-∴ 若2x =-，则1021m -=--，6m =∴综上所述，当4m =-或6时，原方程产生增根．24．解：设乙同学的速度为x 米/秒，则甲同学的速度为1.2x 米/秒，根据题意，得60606501.2x x⎛⎫++= ⎪⎝⎭，解得 2.5x =． 经检验， 2.5x =是方程的解，且符合题意．∴甲同学所用的时间为：606261.2x +=（秒）， 乙同学所用的时间为：6024x=（秒）． 2624>，∴乙同学获胜．25．解：（1）设甲工程队每天能铺设x 米，则乙工程队每天能铺设（x －20）米．根据题意得：35025020x x =-， 解得x ＝70．经检验，x ＝70是原分式方程的解，且符合题意， 乙工程队每天能铺设：x －20＝70－20＝50米． 答：甲、乙工程队每天分别能铺设70米和50米．（2）设分配给甲工程队y 米，则分配给乙工程队（1000y -）米.由题意，得10,70100010.50yy ⎧⎪⎪⎨-⎪⎪⎩≤≤解得500700y ≤≤．所以分配方案有3种．方案一：分配给甲工程队500米，分配给乙工程队500米； 方案二：分配给甲工程队600米，分配给乙工程队400米； 方案三：分配给甲工程队700米，分配给乙工程队300米26．解：设路程是s ，甲用的时间是x ，乙用的时间是y ，112222ax bx s s sy a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得：2()2s x a ba b s y ab ⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪⎩当a ＝b 时，xy＝1，所以同时到达．当a ≠b 时，∵a 2－2ab +b 2＞0，∴a 2+b 2＞2ab ，∴a 2+2ab +b 2＞4ab ，∴xy＜1，甲先到达． 课后练习27．D28．54x =29．（1）依题意可得，普通列车的行驶路程为400×1.3＝520（千米）（2）设普通列车的平均速度为千米/时，则高铁平均速度为千米/时．依题意有：52040032.5x x-=，可得：120x =，答：高铁平均速度为2.5×120＝300千米/时 【课堂小测】30．631．032．433．D 34．B35．B 36．C 37．D 38．5439．D人教版数学八年级上册第15章第3节《分式方程》复习讲义11 / 11。
人教版数学八年级上册 第十五章 分式(小结与复习)课件
ab
4.计算：
（1）
x
2
4
4
x
1
2
原式=
4 ( x 2) x2 4
= 1
x2
（2）
x
2
x2
y2 2x
1
3x2 x
3 xy 1
原式= ( x y)( x y)· x 1
( x 1)2
3x( x y)
=
x y 3x( x 1)
= x y
3x2 3x
解得 : x 1 2
经检验，x 1
2
是原原分式方程的解;
练一练
(2)某市为进一步缓解交通拥堵现象，决定修建一条从市中心到机场 的轻轨铁路．实际施工时，每月的工效比原计划提高了20%，结果提 前5个月完成这一工程．求原计划完成这一工程的时间是多少个月．
解：设原计划完成这一工程的时间为x个月，则
练一练
1.
已知
x y
2 3
，
求 x2
x2 y2 2xy
y2
xy y2 2x2 2xy
的值.
解:
由
x2 y3
，得
x2y 3
，
x2 y2 xy y2 x2 2xy y2 2x2 2xy
(x
y)(x (x y)2
y)
2x(x y) y(x y)
本题还可以由已知 条件x=2m， y=3m.
(1 20%) 1 1 x x5
，解得: x=30.
经检验，x=30是原方程的根．
答：原计划完成这一工程的时间是30个．
专题复习
专题五 本章数学思想和解题方法
主元法
例5.(1)已知： 2a b 3 a 2b 14
【精品讲义】人教版八年级上册15.3分式方程
分式方程这节课我们学什么1.掌握一元一次分式方程的应用；2.掌握整数指数幂及其运算；3.掌握含字母的方程；4.掌握行程工程等应用题；知识点梳理1、分式方程的定义分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2、分式方程的解法方程两边同乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程．解分式方程必须检验，检验的方法是看所得的解是否使最简公分母为零．3、分式方程的增根使最简公分母为零的整式方程的根．4、列分式方程解决实际问题和列一元一次方程解决实际问题的思考和处理过程是类似的，只是多了对分式方程的根的检验．这里的检验应包括两层含义：第一，检验得到的根是不是分式方程的增根；第二，第二，检验得到的根是不是使实际问题有意义.5、常见应用题模型：（1）行程问题这类问题涉及到三个数量：路程、速度和时间．它们的数量关系是：路程=速度*时间．列分式方程解决实际问题要用到它的变形公式：速度=路程/时间，时间=路程/速度（2）工程问题这类问题也涉及三个数量：工作量、工作效率和工作时间．它们的数量关系是：工作量=工作效率*工作时间．列分式方程解决实际问题用它的变形公式：工作效率=工作量/工作时间．特别地，有时工作总量可以看作整体“1”，这时，工作效率=1/工作时间（3） 销售问题销售问题是近几年来新增加的题型，解决这类问题，首先要弄清一些有关的概念：商品的进价：商店购进商品的价格；商品的标价：商店销售商品时标出的价格；商品的售价：商店售出商品时的实际价格；利润：商店在销售商品时所赚的钱；利润率：商店在销售商品时利润占商品进价的百分率；打折：商店在销售商品时的实际售价占商品标价的百分率.其次，还要弄清它们之间的关系：商品的售价=商品的标价*商品的打折率；商品的利润=商品的售价-商品的进价；商品的利润率=商品的利润/商品的进价.6、 含字母分式方程（1） 将字母看成系数（2） 应用7、 负整数指数幂的意义1(0,)n na a n a -=≠为整数 8、 任何一个不等于零的数的零次幂等于1，即01(a a =≠0)．9、 整数指数幂的运算(m n m n a a a m n +=、为整数，0)a ≠；()(m m m ab a b m =为整数，0,0)a b ≠≠()(m n mn a a m n =、为整数，0)a ≠．10、 用科学计数法表示绝对值大于10的n 位数时，其中10的指数是1n -． 用科学计数法表示绝对值小于1的正小数时，其中10的指数是第一个非0数字前面0数字前面0的个数（包括小数点前面的一个0）的相反数．典型例题分析1、 分式方程的应用；例1、下列关于x 的方程：①2124023x x -+=；②4x a=；③36186(125%)x x -=+；④2913x x -=+；⑤162x =+；⑥112x x a a--+=；是分式方程的是______________________．【答案：③④⑤；】例2、解方程：（1）2236111x x x +=+-- （2）22263525815215x x x x x =+-++-- 【答案：无解；4】例3、设1x A x =-，2311B x =+-，当x 为何值时，分式A 与B 的值相等． 【答案：2】例4、解方程：845710679x x x x x x x x ----+=+---- 【答案：8】2、 含字母的分式方程；例5、若关于x 的方程233x k x x -=--无解，求k 的值 【答案：3k =；】例6、当k =____________时，方程11(1)(2)x k x x x -=--+会有增根 【答案：3】例7、若关于x 的分式方程2122x m x x-=--的解为正数，求m 的范围【答案：2,4m m <-≠-且】例8、解关于x 的方程a axb b bx a x -++=2 【答案：（1）当b a 220-=，即a b =±时，有02⋅=-x ab ，方程无解．（2）当b a 220-≠，即a b ≠±时，解之，得x ab a b =-2 若a 、b 有一个为0，方程为12x x=，无解 若a 、b 全为0，分母为0，方程无意义 检验：当x ab a b=-2时，公分母()()ax b bx a -+≠0，所以当ab a b ≠≠±0，时，x ab a b=-2是原方程的解】 例9、如果121,1,a b b c+=+=求2c a +的值. 【答案：2】例10、已知22a a x y a y z +=+=，求证：2a z a x+= 【答案：由已知得2a x a y +=，则()2a a y a x a y y --=-=，2a ay x y a=-； 再由已知得2a y a z +=，则2a a y z=-，2a z a y =-. 所以()22a a y a a ay z a x a y y a a y-+=+==---，则得证。
人教版数学 八年级上 第十五章 《分式》精品讲义
所以 x2 y2 z2 0. yz zx xy
【解读策略】 条件分式的求值，如需把已知条件或所示条件分式变形，必 须依据题目自身的特点，这样才能到事半功倍的效果，条件分式的求值问题体现 了整体的数学思想和转化的数学思想.
所以 (x
xyz y)( y z)(x
z）
2k k 3k 3k 4k 5k
6k 3 60k 3
1 10
.
例6 已知 x a, z c, 且 abc o ,求 a b c 的值.
yz xy
a 1 b1 c 1
解: 由已知得 1 y z , ax
所以 1 1 y z 1 x y z , 即 a 1 x y z ,
同分母分式，再进行相加减.在通分时，先确定最简公分母，然后将各分式的分
子、分母都乘以分母与最简公分母所差的因式.运算的结果应根据分式的基本性
质化为最简形式.
专题 2 有关求分式值的问题
【专题解读】对于一个分式，如果给出其中字母的值，可以先将分式进行化
简，然后将字母的值代入，求出分式的值.但对于分式的求值问题,却没有直接给
知识网络结构图
分式的概念
分式的概念 分式的意义、无意义的条件
分式的值为 0 的条件
分式的基本性质
分式的基本性质 分式的约分
分式的通分
分式的乘法规则
分式的除法规则
分式
同分母分式的加减法法则
分式的运算 分式的加减法法则
异分母分式的加减法法则
运算性质
负正数指数幂
科学记数法
公式方程的概念
解分式方程的步骤
分式方程 分式方程中使最简公分母为 0 的解
人教版数学八年级上册15.3.2分式方程解应用题 课件
——分式方程解应用题
解分式方程
(1) 3 2
x x3 (2) x 2x 1
x1 3x3
注意验根哦
分式方程
去分母
整式方程
解整式方程
x =a
检验
x =a 最简公分母是
否为零？
步骤
x =a不是分式 方程的解
x =a是分式 方程的解
列一元一次方程解应用题的步骤是什么？
1.审题； 2.设未知数； 3.列方程； 4.解方程； 5.作答。
说明：应用分式方程解决 实际问题与一元一次方程 解决实际问题的步骤基本 相同，但要注意验根。
一验是否是原方程的解； 二验是否符合实际问题。
例4：从2004年5月起某列列车平均提速 v千米/
时。用相同的时间，列车提速前行驶 s千米，
提速后比提速前多行驶50千米，提速前列车的平 均速度是多少？
分析：这里的字母 v 和 s表示已知量，设提速前的平
1、（1）工程问题基本公式： 工作量=工时×工效，
（2）某项工程甲独做10天完成，则每天完成
1 10
，乙独做6天完成这项工程的
1
2 3
，则
需 9 天完成 ，每天完成 9
。
此时，不知具体的工作总量，常常设为“1”。
（3）某公司需要600台机器，甲工厂12天可完成，
则甲工厂每天生产 50 台，乙工厂每天比甲多生
分析：设甲每小时做 x个零件，则乙每小时做 (x 6)
个零件，由“甲90个所用的时间与乙做60个所有的时间
相等”可知等量关系为： 甲做90个所用的时间= 乙做60个所用的时间
列方程为： 90 60 x x6
2.某工程队需要在规定日期内完成。若甲队单 独做正好按时完成；若乙队单独做，超过规定日期 三天才能完成。现由甲、乙合作两天，余下工程由 乙队单独做，恰好按期完成，问规定日期是多少天？