快速傅里叶变换FFT.
快速傅里叶变换FFT
本章主要内容
▪ 引言 ▪ 基2FFT算法 ▪ 进一步降低运算量旳措施
4.1 引言
▪ DFT是信号分析与处理中旳一种主要变换。但直接计算DFT旳 计算量与变换区间长度N旳平方成正比，当N较大时，计算量 太大，直接用DFT算法进行谱分析和信号旳实时处理是不切 实际旳。
▪ 1965年发觉了DFT旳一种迅速算法，使DFT旳运算效率提升1－2 个数量级，为数字信号处理技术应用于多种信号旳实时处理 发明了条件，推动了数字处理技术旳发展。
r 0
x2 ( r )WN2 kr
X (k) x(n)WNkn x(n)WNkn
n
n
X(k) x(n)WNkn x(n)WNkn
n
n
X (k )
x(n)WNkn
x(n)WNkn
N / 21
N / 21
N / 21
N / 21
n
n
x(2r)WN2kr
x(2r 1)WNk(2r1) x(2r)WN2kr x(2r1)WNk(2r1)
4.2 基2FFT算法
2.旋转因子旳变化规律
N点DIT―FFT运算流图中，每个蝶形都要乘以旋转因子WpN，p 称为旋转因子旳指数。N＝8 ＝23 时各级旳旋转因子
第一级：L=1， 有1个旋转因子：WNp =WN/4J =W2LJ J=0 第二级：L=2，有2个旋转因子：WNp =WN/2J =W2LJ J=0,1 第三级：L=3，有4个旋转因子：WNp =WNJ =W2LJ J=0,1,2,3 对于N＝2M 旳一般情况，第L级共有2L-1个不同旳旋转因子：
▪ 1984年，提出了分裂基迅速算法，使运算效率进一步提升；
4.2 基2FFT算法
FFT-快速傅里叶变换
p=6.283185306/n;
pr[1]=cos(p);
pi[1]=-sin(p);
if (l)
pi[1]=-pi[1];
for(i=2;i<=n-1;i++){
p=pr[i-1]*pr[1];
q=pi[i-1]*pi[1];
s=(pr[i-1]+pi[i-1])*(pr[1]+pi[1]);
注：亲测，这个版本无法运行，作者删改了重要内容[1] 请参考源码（2）
//快速傅立叶变换
// 入口参数：
// l: l=0, 傅立叶变换;l=1, 逆傅立叶变换
// il: il=0,不计算傅立叶变换或逆变换模和幅角；il=1,计算模和幅角
// n: 输入的点数，为偶数，一般为32，64，128，...,1024等
wi = wi*wpr + wtemp*wpi + wi;
}
mmax = istep;
}
}
在C++环境下的源码
bool FFT(complex<double> * TD, complex<double> * FD, int r)
{
//一维快速Fourier变换。
//complex<double> * TD ——指向时域数组的指针; complex<double> * FD ——指向频域数组的指针; r ——2的幂数，即迭代次数
// fr[]: l=0, 返回傅立叶变换的实部
// l=1, 返回逆傅立叶变换的实部
// fi[]: l=0, 返回傅立叶变换的虚部
快速傅里叶变换 FFT
因为
，所以：
上式中X1(k)和X2(k)分别为x2(r)和x2(r)的N/2点DFT， 即
由于X1(k)和X2(k)均以N/2为周期，且 X(k)又可表示为：
，以
即将一个N点的DFT分解成为两个N/2点的DFT。 上述运算可用右下图来表示，称为蝶形运算符号。
从右图可知，要完成一 个蝶形运算需要进行一 次复数相乘和两次复数 相加运算。
对于象雷达、通信、声纳等需要实时处理的信号， 因为其运算量更大，所以无法满足信号处理的实时 性要求。迫切需要有新的算法。
二、DFT运算的特点
实际上，DFT运算中包含有大量的重复运算。在WN
矩阵中，虽然其中有N2个元素，但由于WN的周期
性，其中只有N个独立的值，即
，且
这N个值也有一些对称关系。总之，WN因子具有如 下所述周期性及对称性：
N 1
X (k) x(n)WNkn n0
x(n)
1 N
N 1
X (k)WNkn
k 0
k 0,1,2, , N 1 n 0,1,2, , N 1
计算X(k)的运算量：需要N2次复数乘法，N(N－1)
次复数加法。在N较大时计算量很大。
例如：N＝1024时, 需要1,048,576次复数乘法, 即 4,194,304次实数乘法
1.对称性
2.周期性 由上述特性还可得出：
利用上述对称特性，可使DFT运算中有些项可以合 并，这样，可使乘法次数减少大约一半；利用WN 矩阵的对称性及周期性，可以将长序列的DFT分解 为短序列的DFT，N越小，运算量能够减少。 例如，对于四点的DFT，直接计算需要16次复数乘 法，根据上述特性可以有以下形5年，J. W. Cooley和J. W. Tukey巧妙应用DFT中 W因子的周期性及对称性提出了最早的FFT，这是 基于时间抽取的FFT。具有里程碑式的贡献(运算量 缩短两个数量级)
快速傅里叶变换作用
快速傅里叶变换作用
快速傅里叶变换（FFT）是一种重要的数学工具，它被广泛应用于信号处理、图像处理、通信等领域。
FFT可以将一个信号从时域转换到频域，并且可以在计算效率上有大幅度的
提升，因此被称为“快速”。
FFT的作用可以用以下几个方面来描述：
1. 信号频域分析
FFT可以将一个信号从时域转换到频域，得到信号的频谱图。
在频谱图上，可以直观
地观察信号中不同频率成分的大小和性质。
因此，在信号处理领域，FFT被广泛应用于信
号的频域分析。
例如，在音频信号处理中，可以通过FFT找到音频信号的频率成分，从而
实现声音的去噪、滤波、均衡等效果。
2. 信号降噪
FFT可以将一个信号从时域转换到频域，并将频谱图中小于某个阈值的频率部分过滤掉，从而实现信号的降噪。
这种方法被称为频域降噪。
频域降噪比时域降噪的效果更好，
因为在频域上可以更精确地过滤掉噪声。
3. 图像处理
在图像处理领域，FFT可以将一个图像从空间域转换到频域，并在频域上对图像进行
处理。
例如，可以对图像的高频部分进行滤波，从而实现图像的锐化。
同时，FFT也可以
将多个图像叠加在一起，得到一个合成图像。
这种方法被广泛应用于合成图像、匹配图像
等领域。
《快速傅里叶变换》课件
FFT的历史背景
01
1960年代，Cooley和Tukey提 出了基于“分治”思想的FFT 算法，为快速傅里叶变换的实 用化奠定了基础。
02
随后，出现了多种FFT算法的 变种和优化，如Radix-2、 Radix-4等。
03
随着计算机技术的发展，FFT 算法在硬件实现上也得到了广 泛应用，如FPGA、GPU等。
《快速傅里叶变换》ppt课件
contents
目录
• FFT简介 • FFT基本原理 • FFT实现 • FFT的应用 • FFT的优化与改进 • FFT的挑战与未来发展
01 FFT简介
FFT的定义
快速傅里叶变换（FFT）：一种高效计算离散傅里叶变换（DFT）及其逆变换的 算法。它将复杂度为$O(N^2)$的DFT计算降低到$O(Nlog N)$，大大提高了计 算效率。
详细描述
混合基数FFT算法结合了基数-2和基数-4算法的特点，利用两者在计算过程中的 互补性，减少了计算量，提高了计算效率。同时，该算法在处理大规模数据时 ，能够保持较高的精度。
分段FFT算法
总结词
分段FFT算法将输入数据分成若干段，对每一段进行快速傅里叶变换，以降低计算复杂度和提高计算效率。
详细描述
02 FFT基本原理
离散傅里叶变换（DFT）
定义
应用
DFT是时间域信号到频域的变换，通 过计算信号中各个频率成分的幅度和 相位，可以分析信号的频谱特性。
DFT在信号处理、图像处理、频谱分 析等领域有广泛应用。
计算量
DFT的计算量随着信号长度N的增加 而呈平方关系增长，因此对于长信号 ，计算量巨大。
fft与傅里叶变换的区别
fft与傅里叶变换的区别FFT（快速傅里叶变换）与傅里叶变换是数字信号处理领域中常用的两种信号变换方法。
它们在频域分析和信号处理中起着重要作用。
虽然它们都基于傅里叶分析理论，但在实际应用中存在一些区别。
傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的方法。
它将一个连续时间域的信号分解成一系列正弦和余弦函数的和，得到信号的频谱信息。
傅里叶变换可以用于分析信号的频率成分、频谱特性等，适用于连续时间和连续频率的信号。
而FFT是一种快速计算傅里叶变换的算法。
它通过对离散时间域信号进行有限点数的离散傅里叶变换来实现。
FFT算法利用了信号的周期性和对称性质，将复杂度为O(n^2)的计算简化为O(nlogn)，提高了计算速度。
因此，FFT广泛应用于数字信号处理、频谱分析、图像处理等领域。
傅里叶变换是一种精确的信号分析方法，能够得到信号的精确频谱信息。
但是，傅里叶变换需要进行大量的运算，计算复杂度较高，对于大规模数据处理可能会耗费较长的时间。
而FFT通过采用分治的思想，将大规模的傅里叶变换问题分解为多个小规模的傅里叶变换问题，从而提高了计算效率。
傅里叶变换和FFT在数据处理和实现方式上也存在一些差异。
傅里叶变换通常应用于连续时间和连续频率的信号，需要对信号进行采样和插值处理，以满足变换的要求。
而FFT适用于离散时间和离散频率的信号，可以直接对离散数据进行变换，无需额外处理。
在实际应用中，由于FFT算法的高效性和优势，它被广泛应用于信号处理、图像处理、音频处理等领域。
例如，在音频压缩和解码中，FFT算法可以用于将音频信号从时域转换为频域，提取信号的频谱信息，并进行压缩和解码操作。
而傅里叶变换由于计算复杂度较高，通常在对信号进行精确频谱分析时使用。
FFT是一种快速计算傅里叶变换的算法，相比于傅里叶变换具有计算效率高的优势。
傅里叶变换是一种精确的信号分析方法，适用于连续时间和连续频率的信号。
两者在理论基础和实际应用上有所差异，但都在数字信号处理中起着重要作用。
快速傅里叶变换推导
快速傅里叶变换推导摘要：1.快速傅里叶变换的概念与意义2.傅里叶变换的定义与性质3.快速傅里叶变换的算法原理4.快速傅里叶变换的实际应用正文：一、快速傅里叶变换的概念与意义快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种高效的计算离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）及其逆变换的算法。
DFT 是一种将时间域信号转换到频率域的方法，常用于信号处理、图像处理等领域。
然而，当信号长度很长时，DFT 的计算复杂度较高，因此，为了加速计算，提出了快速傅里叶变换算法。
二、傅里叶变换的定义与性质傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的方法。
对于一个信号f(t)，其傅里叶变换结果为频谱F(ω)，可以通过以下公式计算：F(ω) = ∫[f(t) * e^(-jωt) dt]，其中积分范围为-∞到∞。
傅里叶变换具有以下性质：1.傅里叶变换是线性的，即满足线性性质的信号可以通过傅里叶变换分开。
2.傅里叶变换是可逆的，即频域信号可以通过傅里叶逆变换转换回时域信号。
3.傅里叶变换具有时域与频域之间的帕斯卡三角关系，即频谱的幅度与相位分别对应时域信号的幅度与相位。
三、快速傅里叶变换的算法原理快速傅里叶变换算法的原理是将DFT 分解成更小的子问题，并重复利用子问题的计算结果。
具体来说，如果将信号长度为N 的DFT 表示为：X_k = ∑[x_n * e^(-j2πnk/N)]，其中n 为时域索引，k 为频域索引。
那么，如果将信号长度分解为2 的幂次方形式（如N = 2^m），则可以将DFT 分解为两个较短的DFT 的加权和，即：X_k = ∑[x_n * e^(-j2πnk/N)] = ∑[x_n * e^(-j2πn(k-m)/2^m)] + e^(-j2πkm/2^m) * ∑[x_n * e^(-j2πn(k+m)/2^m)]其中，第一个和式计算偶数项的DFT，第二个和式计算奇数项的DFT。
快速傅里叶变换
快速傅⾥叶变换快速傅⾥叶变换快速傅⾥叶变换（FFT ）是根据计算量的最⼩化原理来设计和实施离散傅⾥叶变换(DFT)计算的⽅法。
1965年，库利（T.W.Cooley ）和图基（J.W.tukey ）发表了著名的《计算机计算傅⾥叶级数的⼀种算法》论⽂。
从此掀起了快速傅⾥叶变换计算⽅法研究的热潮。
快速傅⾥叶变换（FFT ）的出现，实现了快速、⾼效的信号分析和信号处理，为离散傅⾥叶变换(DFT)的⼴泛应⽤奠定了基础。
1.1离散傅⾥叶变换(DFT)的计算设x(n)是⼀个长度为M 的有限长序列，则定义x(n)的N 点离散傅⾥叶变换为∑-===10)()]([)(N n kn NW n x n x DFT k X 其中由于计算⼀个X(k)值需要N 次复乘法和(N-1)次复数加法，因⽽计算N 个X(k)值，共需N2次复乘法和N(N-1)次复加法。
每次复乘法包括4次实数乘法和2次实数加法，每次复加法包括2次实数加法，因此计算N 点的DFT 共需要4N2次实数乘法和(2N2+2N ·(N-1))次实数加法。
当N 很⼤时，这是⼀个⾮常⼤的计算量。
1.2减少DFT 计算量的⽅法减少DFT 的计算量的主要途径是利⽤k N W 的性质和计算表达式的组合使⽤，其本质是减少DFT 计算的点数N 以便减少DFT 的计算量。
k N W 的性质：（1）对称性： (2)周期性： (3) 可约性： (4) 特殊点：选择其中⼀个证明N N j k N j N k N j N k N e e e W 222)2(22πππ--+-+==ππj k N j e e --=2k N j e π2--=k N W -=FFT 算法是基于可以将⼀个长度为N 的序列的离散傅⾥叶变换逐次分解为较短的离散傅⾥叶变换来计算这⼀基本原理的。
这⼀原理产⽣了许多不同的算法，但它们在计算速度上均取得了⼤致相当的改善。
0,1,,1k N =-()*nk nk N N W W -=()()nk N n k n N k N N NW W W ++==nk mnk N mN W W =//nk nk m N N mW W =01N W =/21N N W =-(/2)k N k N NW W +=-在这⾥讨论两类基本的FFT 算法。
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————第四章———— 快速傅里叶变换FFT所谓的快速算法，就是根据原始变换定义算法的运算规律及其中的某些算子的特殊性质，找出减少乘法和加法运算次数的有效途径，实现原始变换的各种高效算法。
一种好的快速算法可使变换速度提高几个数量级。
由于快速算法很多，而且还在不断研究和发展。
较成熟的算法都有现成的程序。
所以，通过教材中介绍的四种快速算法，主要学习研究快速算法的基本思想和减少运算量的途径，熟悉各种快速算法的特点、运算效率和适用情况。
为今后研究新的快速算法和合理选用快速算法打好基础。
4.1 学 习 要 点4.1.1 直接计算N 点DFT 的运算量 对于()(),10∑-==N n knN W n x k X 1,,1,0-=N k复数乘法次数：2N M c =复数加法次数：()1-=N N A c当1>>N 时，复数乘法和加法次数都接近为2N 次，随着N 增大非线性增大。
4.1.2 减少运算量的基本途径DFT 定义式中只有两种运算：()n x 与knN W 的乘法相加。
所以，knN W 的特性对乘法运算量必有影响。
（1）根据的对称性、周期性和特殊值减少乘法运算次数。
①对称性：kN N k N W W -=+2，()k k NNW 12-=，()kNk N N W W =*- ②周期性：kN lNk NW W =+。
③knN W 的特殊值(无关紧要旋转因子)：1;;124-===±N NNNN Wj W W 。
对这些因子不能进行乘法运算。
（2）将较大数N 点DFT 分解为若干个小数点DFT 的组合，减少运算量。
这正是FFT 能大量节省运算量的关键。
4.1.3 四种快速算法的基本思想及特点 根据上述减少运算量的途径，巧妙地在时域或频域进行不同的抽取分解与组合，得到不同的快速算法。
下面简要归纳四种快速算法的基本思想和特点。
1. 基2 DFT-FFT 算法（1）算法思想：时域M 级奇偶抽取，并利用kNN k N W W -=+2，将N 点DFT 变成M 级蝶形运算。
（2）运算量：复数乘法次数： N NM N M c 2log 22=⋅=复数加法次数： N N M N A c 2log =⋅=（3）特点：运算流图结构规则，可原位计算，程序简短，应用广泛。
2. 基2 DIF-FFT 算法（1）算法思想：频域对()k X 进行M 级奇偶抽取，并利用()kk NNW 12-=，将N 点DFT变成M 级DIF-FFT 蝶形运算。
（2）运算量及特点与基2 DIF-FFT 相同3. 分裂基快速算法（1）算法思想：基2 FFT 算法简单，基4FFT 算法效率较高。
分裂基是将基2分解和基4分解糅合在一起形成的高效新算法。
具体是对每次的频域奇偶抽取的偶数输出使用基2算法（按二进制抽取），而奇数输出使用基4算法（按四进制抽取）。
（2）运算量：复数乘法次数： ()92192log 312m c N N N M -+-=复数加法次数： N N A c 2log = （3）特点：①在MN 2=的快速算法中，分裂基算法的乘法次数最少，接近理论最小值。
比基2 FFT 减少33%，比基4减少11%。
②运算流图结构规则，可同址计算，程序简短，便于DSP 实现。
4.2 教材第四章习题解答1. 如果通用计算机的速度为平均每次复数乘需要5s μ，每次复数加需要1s μ，用来计算N=1024点DFT ，问直接计算需要多少时间。
用FFT 计算呢？照这样计算，用FFT 进行快速卷积对信号进行处理时，估算可实现时处理的信号最高频率。
解：当N=1024=210时，直接计算DFT 的复数运算次数为N 2=10242次复数加法计算次数为104755210231024)1(=⨯=-N N 次直接计算所用计算时间T D 为s T D 290432.61010475521024105626=⨯+⨯⨯=--用FFT 计算1024点DFT 所需计算时间为ms N N N NT D 84.3510log log 21056226=⨯+⨯⨯=-- 快速卷积时，要计算一次N 点FFT （考虑到)]([)(n h DFT k H =已计算好存入内存），一次N 点IFFT 和N 次频率复数乘法。
所以，计算1024点快速卷积的计算时间约为s s s T T F c μμμ76800102457168010242=⨯+=+=次复数乘计算时间所以，每秒钟处理的采样点数（即采样频率）次3.13333107680010246=⨯<-s f /秒。
由采样定理知，可实时处理的信号最高频率为HZ f f s 7.666623.133332max ==<应当说明，实际实现时，m ax f 还要你小一些。
这是由于采样频率高于奈奎斯特速率，而且在采用重叠相加法时，重叠部分还要计算两次。
重叠部分长度与()n h 长度有关，而且还有存取数据指令周期等。
3. 已知()X k 和()Y k 是两个N 点实序列()x n 和()y n 的DFT ，若要从()X k 和()Y k 求()x n 和()y n ，为提高运算效率，试设计用一次N 点IFFT 来完成。
解：因为()x n 和()y n 均为实序列，所以，()X k 和()Y k 为共轭对称序列，j ()Y k 为共轭反对称序列。
可令()X k 和j ()Y k 分别作为复序列)(k F 的共轭对称分量和共轭反对称分量， 即)()()()()(k F k F k jY k X k F op ep +=+=计算一次N 点IFFT 得到)](Im[)](Re[)]([)(n f j n f k F IFFT n f +==由DFT 的共轭对称性可知，)()]([)]([)](Im[)()]([)]([)](Re[n jy k jY IDFT k F IDFT n f j n x k X IDFT k F IDFT n f op ep ======故)]()([21)()]()([21)(n f n f jn y n f n f n x **-=+=4. 设()x n 是长度()X k 为2N 的有限长实序列，()X k 为()x n 的确N 点DFT 。
（1）试设计用一次N 点FFT 完成计算()X k 的高效算法。
（2）若已知()X k ，试设计用一次N 点IFFT 实现求()x n 的2N 点IDFT 运算。
解：（1）在时域分别抽取偶书点和奇数点()x n 得到两个N 点实序列)(1n x 和)(2n x ：1,,1,0),12()(1,,1,0),2()(21-=+=-==N n n x n x N n n x n x根据DIT-FFT 的思想，只要求得)(1n x 和)(2n x 的N 点DFT,再经过简单的一级蝶形运算就得到()x n 的2N 点DFT 。
因为)(1n x 和)(2n x 均为实序列，所以根据DFT 的共轭对称性，可用一次N 点FFT 求得)(1k X 和)(2k X 。
具体方法如下： 令 )()()(21n jx n x n y +=1,1,0)],([)(-==N k n y DFT k Y则 )]()([21)()]([)(11k N Y k Y k Y n x DFT k X ep -+===* )]()([21)()]([)(22k N Y k Y k Y n jx DFT k jX op --===*2N 点)()]([k X n X DFT =可由)(1k X 和)(2k X 得到)()()(1,,1,0),()()(221221k X W k X N k X N k k X W k X k X k Nk N -=+-=+=这样，通过一次N 点IFFT 计算就完成了计算2N 点DFT 。
当然还要进行运算量相对很少的，由)(k Y 求)(1k X ，)(2k X 和)(k X 的运算。
（2）和（1）相同，设1,,1,0),12()(1,,1,0),2()(21-=+=-==N n n x n x N n n x n x1,1,0)],([)(1,1,0)],([)(2211-==-==N k n x DFT k X N k n x DFT k X则应满足关系式)()()(1,,1,0),()()(221221k X W k X N k X N k k X W k X k X kNk N -=+-=+=由上式可解出kN W N k X k X k X N k X k X k X -+-=++=221)]()([21)()]()([21)(由以上分析可得到运算过程如下： ① 由)(k X 计算出)(1k X 和)(2k XkN W N k X k X k X N k X k X k X -+-=++=221)]()([21)()]()([21)(② 由)(1k X 和)(2k X 构成N 点频域序列)(k Y)()()()()(21k Y k Y k jX k X k Y op ep +=+=其中)()(1k X k Y ep =，)()(2k jX k Y op =，进行N 点IFFT 得到1,,1,0)],(Im[)](Re[)]([)(-=+==N n n y j n y k Y IFFT n y由DFT 的共轭对称性知)()]([)]()([21)](Im[)()]([)]()([21)](Re[21n jx k Y DFT n y n y n y j n x k Y DFT n y n y n y op ep ==-===+=**③ 由)(1n x 和)(2n x 合成()x n120,)21(),2()(21-≤≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==N n n n x n nx n x 奇数，偶数在便成实现时，只要将存放)(1n x 和)(2n x 的两个数组的元素分别依次存放()x n 的数组的偶数和奇数数组元素中即可。
5. 按照下面的IDFT 算法：1()[()][[()]]x n IDFT X k DFT X k N**==编写IFFT 程序，其中的FFT 部分不用写出清单，可调用FFT 子程序。
解：通过调用FFT 子程序实现题中所给IFFT 算法程序框图如题5图解所示。
数组X[N]用于存放输入X（k）、中间结果及最终结果x(n)。
用matlab语言编写的IFFT程序清单如下：％题4.6计算IFFT的程序％Xk:被变换数据X（k）％XN:IFFT[X(k)]结果x(n)%N:x(n),X(k)长度Xk＝[X(0) X(1) …X(N-1)];n=size(Xk);N=n(2); %取得X（k）的长度Xk＝conj(Xk); %取复共轭XN=fft(Xk); ％计算FFT[X(k)]XN=conj(XN)/N;Stem(real(XN)); %绘制x(n)序列波形图说明：数据向量Xk也可以通过键盘，数据文件或函数计算等多种方法建立，本程序使用最简单的方法，在程序中直接赋值Xk向量。