2020届山西省运城市高三调研测试(第一次模拟)数学(理)试题
运城市2020年高三调研测试数学（理）试卷本试题满分150分，考试时间120分钟.答案一律写在答题卡上. 注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓 名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2.答题时使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.、1.已知集合{}10,1,0,12x A xB x -⎧⎫=<=-⎨⎬+⎩⎭，则A B I 等于（ ）A. {}11x x -<<B. {}1,0,1-C. {}1,0-D. {}0,12.复数12z i =+，若复数12,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，则12z z 等于（ ） A. 345i+-B.345i+ C. 34i -+D.345i-+ 3.已知tan 3α=，则2cos sin 2αα+=（ ）A.B.710C. 10-D. 710-4.函数()2ln xf x x x=-的图象大致为（ ） A. B.C. D.5.已知平面向量,a b r r ，满足1,13a b ==r r ，且2a b a b +=+r r r r ，则a r 与b r的夹角为（ ）A.6π B.3π C.23π D.56π 6.公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟先他10米，当阿基里斯跑完下-个10米时，乌龟先他1米....所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.1米时，乌龟爬行的总距离为（ ）A.5101900-米 B.510990-米 C.4109900-米 D.410190-米 7.某人2018年的家庭总收人为80000元，各种用途占比如图中的折线图，2019年家庭总收入的各种用途占比统计如图中的条形图，已知2019年的就医费用比2018年的就医费用增加了4750元，则该人2019年的储畜费用为（ ）A. 21250元B. 28000元C. 29750元D. 85000元8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为（ ）A. B. 4 C. 2D. 9.已知函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<，8f π⎛⎫= ⎪⎝⎭02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π且在()0,π上是单调函数，则下列说法正确的是（ ） A. 12ω=B. 82f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭C. 函数()f x 在,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减D. 函数()f x 的图像关于点5,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 10.已知12,F F 是椭圆和双曲线公共焦点，P 是它们的-一个公共点，且1223F PF π∠=，设椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则12,e e 的关系为（ ） A.2212314e e += B.221241433e e += C.2212134e e += D. 221234e e +=11.一个正四棱锥形骨架的底边边长为2该球的表面积为（ ）A.B. 4πC.D. 3π12.设()'f x 函数()()0f x x >的导函数，且满足()()2'f x f x x>，若在ABC ∆中，34A π∠=，则（ ）A. ()()22sin sin sin sin f A B f B A <B. ()()22sinC sin sin sin f B f B C <C.的()()22cos sin sin cos f A B f B A > D. ()()22cosC sin sin cos f B f B C >第II 卷(共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第.22-23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上)13.已知()1nx +的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则n =__________.14.设,x y 满足约束条件3036x y x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为_.15.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，直线l 与抛物线C 相切于M 点，N 是l 上一点(不与M 重合)，若以线段MN 为直径的圆恰好经过F ，则点N 到抛物线顶点O 的距离ON 的最小值是__________. 16.已知ABC ∆中,AB BC =，点D 是边BC 的中点，ABC ∆的面积为2，则线段AD 的取值范围是__________.三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()2*11911,02,,6n n n a n a a n S n N +--=->≥=∈，各项均为正数的等比数列{}n b 满足1234,b a b a == （1）求数列{}{},n n a b 的通项公式； （2）若12n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T 18.在创建“全国文明卫生城”过程中，运城市“创城办”为了调查市民对创城工作了解情况，进行了一次创城知识问卷调查(一位市民只能参加一次)，通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示：.（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分(),198,Z N μμ-似为这100人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，利用该正态分布，求38.2(.)802P Z <≤； （2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： ①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费； ②每次获赠的随机话费和对应的概率为：现有市民甲参加此次问卷调查，记X (单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X 的分布列与数学期望.14≈，若()2,X Nμσ-，则()0.6826P x μσμσ-<≤+=，()220.9544P X μσμσ-<≤+=，()330.9974P X μσμσ-<≤+=19.已知椭圆C ()222210,0y x a b a b +=>>的长轴长为4，离心率2e =（1）求椭圆C 的方程；（2）设,A B 分别为椭圆与x 轴正半轴和y 轴正半轴的交点，P 是椭圆C 上在第一象限的一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，问PMN ∆与PAB ∆面积之差是否为定值？说明理由.20.已知函数()()2cos f x ax x a R =+∈（1）当12a =时，证明()'0f x ≥，[0,)+∞恒成立；（2）若()f x 在0x =处取得极大值，求a 的取值范围. 21.如图1，ADC ∆与ABC ∆是处在同-个平面内两个全等的直角三角形，30ACB ACD ︒∠=∠=90ABC ADC ︒∠=∠=，2AB =，连接是,BD E 边BC 上一点，过E 作// EF BD ，交CD 于点F ，沿EF 将CEF ∆向上翻折，得到如图2所示的六面体,P ABEFD -（1）求证：;BD AP ⊥（2）设),(BE EC R λλ=∈u u u r u u u r 若平面PEF ⊥底面ABEFD ，若平面PAB 与平面PDF所成角的余弦值为5，求λ的值；（3）若平面PEF ⊥底面ABEFD ，求六面体P ABEFD -的体积的最大值.请考生在22、23两题中任选--题作答，如果多做，则按所做的第一-题记分.作答时请写清题号.22.曲线1C 的参数方程为1cos 21122x y sin ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（ϕ为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为2cos 3sin ρθθ=. (1)求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；(2)若直线:l y kx =与曲线1C ，2C 的交点分别为A 、B （A 、B 异于原点），当斜率k ∈时，求1OA OB+的最小值. 23.已知函数()()210f x x x m m =+--> （1）当2m =时，求不等式()1f x ≤解集；（2）()()()2,g x f x g x =-的图象与两坐标轴的交点分别为,,A B C ，若三角形ABC 的面积大于12，求参数m 的取值范围.。
山西省运城市2019-2020学年高考第一次质量检测数学试题含解析
山西省运城市2019-2020学年高考第一次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数()sin x y x-=（[),0x π∈-或(]0,x π∈）的图象大致是（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】确定函数的奇偶性，排除两个选项，再求x π=时的函数值，再排除一个，得正确选项． 【详解】 分析知，函数()sin x y x-=（[),0x π∈-或(]0,x π∈）为偶函数，所以图象关于y 轴对称，排除B ，C ，当x π=时，sin 0xx=，排除D ， 故选：A ． 【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可通过研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等，研究特殊的函数的值、函数值的正负，以及函数值的变化趋势，排除错误选项，得正确结论． 2．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()()2224m f m f f n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭⋅=，当01x <<时，()0f x <.若()42f =，则函数()f x 在[]1,16上的最大值为（ ） A ．4 B ．6C ．3D ．8【答案】A 【解析】 【分析】根据所给函数解析式满足的等量关系及指数幂运算，可得()()m f f n f m n ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；利用定义可证明函数()f x 的单调性，由赋值法即可求得函数()f x 在[]1,16上的最大值.函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()()2224m f m f f n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭⋅=，则()()m f f n f m n ⎛⎫+=⎪⎝⎭； 任取()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，则1201x x <<， 故120x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，令1m x =，2n x =，则()()1212x f f x f x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭， 即()()11220x f x f x f x ⎛⎫-=<⎪⎝⎭， 故函数()f x 在()0,∞+上单调递增， 故()()max 16f x f =， 令16m =，4n =，故()()()44164f f f +==， 故函数()f x 在[]1,16上的最大值为4. 故选：A. 【点睛】本题考查了指数幂的运算及化简，利用定义证明抽象函数的单调性，赋值法在抽象函数求值中的应用，属于中档题.3．已知定义在R 上的函数()f x ，若函数()2y f x =+为偶函数，且()f x 对任意1x ，[)22,x ∈+∞()12x x ≠，都有()()21210f x f x x x -<-，若()()31f a f a ≤+，则实数a 的取值范围是（ ）A ．13,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]2,1--C ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦D ．3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分析可得函数()f x 的图象关于2x =对称且在[)2,+∞上为减函数，则不等式()()31f a f a ≤+等价于231a a -≥-，解得a 的取值范围，即可得答案.解:因为函数()2y f x =+为偶函数， 所以函数()f x 的图象关于2x =对称，因为()f x 对任意1x ，[)22,x ∈+∞ ()12x x ≠，都有()()21210f x f x x x -<-，所以函数()f x 在[)2,+∞上为减函数，则()()()()312312231f a f a f a f a a a ≤+⇔-≤+-⇔-≥-， 解得：1324a -≤≤. 即实数a 的取值范围是13,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：A. 【点睛】本题考查函数的对称性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于综合题. 4．复数21iz i=-（i 为虚数单位），则z 等于（ ）A ．3B ．C ．2 D【答案】D 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z ，从而求得z ，然后直接利用复数模的公式求解. 【详解】()()()()21211111i i iz i i i i i i +===+=-+--+，所以1z i =--，z =， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘除运算，复数的共轭复数，复数的模，属于基础题目.5．若函数()()2(2 2.71828 (x)f x x mx e e =-+=为自然对数的底数)在区间[]1,2上不是单调函数，则实数m 的取值范围是( )A ．510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．510,23⎛⎫⎪⎝⎭C ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．102,3⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】求得()f x 的导函数()'fx ，由此构造函数()()222g x x m x m =+-+-，根据题意可知()g x 在(12)，上有变号零点.由此令()0g x =，利用分离常数法结合换元法，求得m 的取值范围. 【详解】()()2'22x f x e x m x m =+-+-⎡⎤⎣⎦，设()()222g x x m x m =+-+-，要使()f x 在区间[]1,2上不是单调函数，即()g x 在(12)，上有变号零点，令()0g x =， 则()2221x x m x ++=+，令()12,3t x =+∈，则问题即1m t t =+在()2,3t ∈上有零点，由于1t t+在()2,3上递增，所以m 的取值范围是510,23⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：B 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查方程零点问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.6．已知F 为抛物线24y x =的焦点，点A 在抛物线上，且5AF =，过点F 的动直线l 与抛物线,B C 交于两点，O 为坐标原点，抛物线的准线与x 轴的交点为M .给出下列四个命题： ①在抛物线上满足条件的点A 仅有一个；②若P 是抛物线准线上一动点，则PA PO +的最小值为 ③无论过点F 的直线l 在什么位置，总有OMB OMC ∠=∠；④若点C 在抛物线准线上的射影为D ，则三点B O D 、、在同一条直线上. 其中所有正确命题的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】【分析】①：由抛物线的定义可知15AF a =+=，从而可求A 的坐标；②：做A 关于准线1x =-的对称点为'A ，通过分析可知当',,A P O 三点共线时PA PO +取最小值，由两点间的距离公式，可求此时最小值'A O ；③：设出直线l 方程，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理，可知焦点坐标的关系，进而可求0MB MC k k +=，从而可判断出,OMB OMC ∠∠的关系；④：计算直线,OD OB 的斜率之差，可得两直线斜率相等，进而可判断三点B O D 、、在同一条直线上. 【详解】解：对于①，设(),A a b ，由抛物线的方程得()1,0F ，则15AF a =+=， 故4a =， 所以()4,4A 或()4,4-，所以满足条件的点A 有二个，故①不正确； 对于②，不妨设()4,4A ，则A 关于准线1x =-的对称点为()'6,4A -，故''PA OP PA OP A O +=+≥==， 当且仅当',,A P O 三点共线时等号成立，故②正确；对于③，由题意知，()1,0M - ，且l 的斜率不为0，则设l 方程为：()10x my m =+≠， 设l 与抛物线的交点坐标为()()1122,,,B x y C x y ，联立直线与抛物线的方程为，214x my y x=+⎧⎨=⎩ ，整理得2440y my --=，则12124,4y y m y y +==-，所以 21242x x m +=+，()()221212114411x x my my m m =++=-++=则()()()()1221121212121212121122211111MB MC y x y x y yy y my y k k x x x x x x x x ++++++=+==+++++++ 2242404211m m m ⨯-⨯==+++.故,MB MC 的倾斜角互补，所以OMB OMC ∠=∠，故③正确. 对于④，由题意知()21,D y - ，由③知，12124,4y y m y y +==- 则12114,OB OD y k k y x y ===- ，由12211440OB OD y y k k y y y +-=+==， 知OB OD k k =，即三点B O D 、、在同一条直线上，故④正确. 故选:C. 【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，考查了直线方程，考查了两点的斜率公式.本题的难点在于第二个命题，结合初中的“饮马问题”分析出何时取最小值.7．已知()32z i i =-，则z z ⋅=（ ） A ．5 B．C ．13D【答案】C 【解析】 【分析】先化简复数()32z i i =-，再求z ，最后求z z ⋅即可. 【详解】解：()3223z i i i =-=+，23z i =-222313z z ⋅=+=，故选：C 【点睛】考查复数的运算，是基础题.8．己知a =544log 21b =， 2.913c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b c a >> D ．c a b >>【答案】B 【解析】 【分析】先将三个数通过指数，对数运算变形104661a ==>=，2.95544411log log 10,012133b c ⎛⎫⎛⎫=<=<=<= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭再判断. 【详解】因为104661a ==>=， 2.95544411log log 10,012133b c ⎛⎫⎛⎫=<=<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以a c b >>， 故选：B. 【点睛】本题主要考查指数、对数的大小比较，还考查推理论证能力以及化归与转化思想，属于中档题.9．已知向量a r 与a b +r r的夹角为60︒，1a =r，b =r ，则a b ⋅=r r ( )A． B ．0C ．0或32-D ．32-【答案】B【解析】 【分析】由数量积的定义表示出向量a r 与a b +r r的夹角为60︒，再由22a a =r r ，22b b =r r 代入表达式中即可求出a b ⋅r r .【详解】由向量a r 与a b +r r的夹角为60︒，得()2cos 60a a b a a b a a b ⋅+=+⋅=+︒r r r r r r r r r，所以()222211222a ab aa ba a ab b +⋅=+=+⋅+r r r r r r r r r r r ， 又1a =r ，3b =r ，22a a =r r ，22b b =r r ，所以1111232a b a b +⋅=⨯⨯+⋅+r r r r ，解得0a b ⋅=r r.故选：B 【点睛】本题主要考查向量数量积的运算和向量的模长平方等于向量的平方，考查学生的计算能力，属于基础题. 10．函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<的部分图像如图所示，若5AB =，点A 的坐标为(1,2)-，若将函数()f x 向右平移(0)m m >个单位后函数图像关于y 轴对称，则m 的最小值为（ ）A ．12B ．1C ．3π D ．2π 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象以及题中所给的条件，求出,A ω和ϕ，即可求得()f x 的解析式，再通过平移变换函数图象关于y 轴对称，求得m 的最小值.【详解】由于5AB =，函数最高点与最低点的高度差为4， 所以函数()f x 的半个周期32T =，所以263T ππωω==⇒=，又()1,2A -，0ϕπ<<，则有2sin 123πϕ⎛⎫-⨯+= ⎪⎝⎭，可得56πϕ=， 所以()()52sin 2sin 2cos 1363323f x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫=+=++=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 将函数()f x 向右平移m 个单位后函数图像关于y 轴对称，即平移后为偶函数， 所以m 的最小值为1， 故选：B. 【点睛】该题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决该题的关键，要求熟练掌握函数图象之间的变换关系，属于简单题目.11．在三棱锥S ABC -中，4SB SA AB BC AC =====，26SC =，则三棱锥S ABC -外接球的表面积是（ ） A ．403πB ．803πC ．409πD ．809π【答案】B 【解析】 【分析】取AB 的中点D ，连接SD 、CD ，推导出90SDC ∠=o ，设设球心为O ，ABC ∆和SAB ∆的中心分别为E 、F ，可得出OE ⊥平面ABC ，OF ⊥平面SAB ，利用勾股定理计算出球O 的半径，再利用球体的表面积公式可得出结果. 【详解】取AB 的中点D ，连接SD 、CD ，由SAB ∆和ABC ∆都是正三角形，得SD AB ⊥，CD AB ⊥，则3423SD CD ===，则(((222222336SD CD SC +=+==，由勾股定理的逆定理，得90SDC ∠=o .设球心为O ，ABC ∆和SAB ∆的中心分别为E 、F . 由球的性质可知：OE ⊥平面ABC ，OF ⊥平面SAB ，又143OE DF OE OF =====，由勾股定理得OD ==所以外接球半径为3R ===.所以外接球的表面积为22804433S R πππ⎛=== ⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，找出球心的位置，并以此计算出球的半径长，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 12．51(1)x x-+展开项中的常数项为 A ．1 B ．11C ．-19D ．51【答案】B 【解析】 【分析】展开式中的每一项是由每个括号中各出一项组成的，所以可分成三种情况. 【详解】展开式中的项为常数项，有3种情况： （1）5个括号都出1，即1T =；（2）两个括号出x ，两个括号出1()x-，一个括号出1，即2222531()130T C x C x =⋅⋅⋅-⋅=；（3）一个括号出x ，一个括号出1()x-，三个括号出1，即11541()120T C x C x =⋅⋅⋅-⋅=-；所以展开项中的常数项为1302011T =+-=，故选B. 【点睛】本题考查二项式定理知识的生成过程，考查定理的本质，即展开式中每一项是由每个括号各出一项相乘组合而成的.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年山西运城高三一模数学试卷(理科)
2020年山西运城高三一模数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合，，则等于（ ）．A. B. C. D.2.复数，若复数，在复平面内对应的点关于虚轴对称，则等于（ ）．A. B. C. D.3.已知，则（ ）．A. B. C. D.4.函数的图象大致是（ ）．A.B.C.D.5.已知平面向量，满足，，且，则与的夹角为（）．A.B.C.D.6.公元前世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的倍．当比赛开始后，若阿基里斯跑了米，此时乌龟便领先他米，当阿基里斯跑完下一个米时，乌龟先他米，当阿基里斯跑完下一个米时，乌龟先他米，所以，阿基里斯永远追不上乌龟．按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为米时，乌龟爬行的总距离为（ ）．A.米B.米C.米D.米7.某人年的家庭总收入为元，各种用途占比如图中的折线图，年家庭总收入的各种用途占比统计如图中的条形图，已知年的就医费用比年的就医费用增加了元，则该人年的储蓄费用为（ ）．0%5%10%15%20%25%30%35%40%储蓄衣食住旅行就医40%35%30%25%20%15%10%5%0%储蓄衣食住旅行就医A.元B.元C.元D.元正视图侧视图俯视图8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为（ ）．A.B.C.D.9.已知函数，，且在上是单调函数，则下列说法正确的是（ ）．A.B.C.函数在上单调递减D.函数的图象关于点对称10.已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，则，的关系为（ ）．A.B.C.D.11.一个正四棱锥形骨架的底边边长为，高为，有一个球的表面与这个正四棱锥的每个边都相切，则该球的表面积为（ ）．A.B.C.D.12.设是函数的导函数，且满足，若在中，，则（）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则 ．14.设，满足约束条件，则目标函数的最小值为 ．15.已知抛物线的焦点为，直线与抛物线相切于点，是上一点(不与重合)，若以线段为直径的圆恰好经过，则点到抛物线顶点的距离的最小值是 ．16.已知中，，点是边的中点，的面积为，则线段的取值范围是 ．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）（2）17.已知数列的前项和为，且满足，，，，各项均为正数的等比数列满足，．求数列，的通项公式．若，求数列的前项和．（1）（2）18.在创建”全国文明卫生城”过程中，运城市”创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次），通过随机抽样，得到参加问卷调查的人的得分统计结果如表所示：组别频数由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分，近似为这人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），利用该正态分布，求．在（）的条件下，”创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：①得分不低于的可以获赠次随机话费，得分低于的可以获赠次随机话费；②每次获赠的随机话费和对应的概率为：赠送话费的金额（单位：元）概率现有市民甲参加此次问卷调查，记（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与数学期望．附：参考数据与公式：，若，则，，．19.已知椭圆：的长轴长为，离心率．（1）（2）求椭圆的方程．设，分别为椭圆与轴正半轴和轴正半轴的交点，是椭圆上在第一象限的一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，问与面积之差是否为定值？说明理由．（1）（2）20.已知函数．当时，证明，在恒成立．若在处取得极大值，求的取值范围．图图（1）（2）（3）21.如图，与是处在同一个平面内的两个全等的直角三角形，，，，连接，是边上一点，过作，交于点，沿将向上翻折，得到如图所示的六面体．求证：．设，若平面底面，若平面与平面所成角的余弦值为，求的值．若平面底面，求六面体的体积的最大值．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）（1）（2）22.曲线的参数方程为（为参数），在以原点О为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程．若直线与曲线，的交点分别为，（，异于原点），当斜率时，求的最小值．23.已知函数．【答案】解析:∵，，∴，故选项正确．解析:由复数，复数、在复数平面内对应的点关于虚轴对称，则，．故选．解析:．故选．解析:的定义域为．∵，∴为偶函数，故排除、．时，，（1）（2）当时，求不等式的解集．，的图象与两坐标轴的交点分别为，，，若三角形的面积大于，求参数的取值范围．C 1.A 2.B 3.A 4.∴．∵时，，且时，恒成立，∴在单调递增．∵时，，且，∴在单调递减．故选．解析:∵，且，∴，即，∴，∴，∴与的夹角为．故选．解析:由题意知，乌龟每次爬行的距离构成等比数列，且，，，所以乌龟爬行的总距离为．故选．解析:年就医费用（元），年就医费用（元），A 5.D 6.D 7.则费用为（元）．故选．解析:如图所示三棱锥即为三视图还原的直观图，则，，，，∴，∵平面，∴，∴为直角三角形，∴，同理，∵平面，∴，∴为直角三角形，∴，∴该三棱锥最长的棱为．故选．解析:由题意得函数的最小正周期，∵在上单调，所以，得，∵，，D 8.B 9.∴在上单调递减，又∵，，∴，解得，∴，故选项错误；又∵，故选项正确；当时，，所以函数在上单调递增，故选项错误；∵，∴点不是函数图象的对称中心，故选项错误．综上所述，故选．解析:设椭圆的半长轴长，半焦距分别为，，双曲线的实半轴长为，依题意有，，以上两式分别平方相加与相减得：，，在中，由余弦定理有：，所以，，∴，∴．综上所述．故选．解析:如图，正四棱锥中，底面是正方形，A 10.B 11.边长为，高，是中点，则，，∵球的表面与这个四棱锥的每个边都相切，∴球心在上，设球心为，球心到棱的距离为，即，则，则，作，垂足为，则球心到棱的距离为，即，易知，则，即，化简得，解得，则该球的表面积为．故选．解析:的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则，故．故答案为：．解析:D 12.13.14.由题可知：作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，如图，yxO联立，解得：．联立，解得：．的交点为．化目标函数为直线方程的斜截式：．由图可知，当直线过时，直线的截距最小，此时最小，．∴，∴的最小值为．15.解析:不妨设点在轴上方，则，∵，∴，∵，∴，∴所在的直线方程为①由，可知抛物线轴上方的曲线方程为，∴，∴的直线方程为②，联立①②可知，∴点在抛物线的准线上．∴的最小值为．16.解析:∵，且，∴，设，则，在中，由余弦定理知，∵，∴，即，令，则，当时，，∴在单调递减，∴，，即单调递减，，，即单调递增，∴，即，（1）（2）∴，即的取值范围是．解析:∵可化为，∴，∴，∴，又时，，∴，∴数列是从开始成等差数列，∵，代入，得，∴，∴是首项为，公差为的等差数列，∴，∵，，．，，，∴两式相减得，∴．解析:（1），．（2）．17.（1）．（2）．18.（1）（2）（1）（2）由题意得，∴，∵，∴，，综上，．由题意知，，获赠话费的可能取值为，，，，，，，，，．的分布列为：∴．解析:依题意得，解得，则椭圆的方程为．设，则，直线：，令，得，则．直线：，令，得，则，（1）．（2）与面积之差为定值，证明见解析．19.（1）（2）∴．解析:，所以，令，则，所以是的增函数，故，即．因为，所以，①当时，，所以函数在上单调递增，若，则，若，则，所以函数的单调递增区间是，单调减区间是，所以在处取得极小值，不符合题意；②当时，，所以函数在上单调递减，若，则，若，则，所以的单调递减区间是，单调递增区间是，所以在处取得极大值，符合题意；（1）证明见解析．（2）的取值范围是．20.（1）（2）③当时，，使得，即，但当时，，即，所以函数在上单调递减，所以，即函数在上单调递减，不符合题意，综上所述，的取值范围是．解析:不妨设与的交点为，与的交点为，由题知，，，则有，又，则有，由折叠可知，，所以可证，由，平面，平面，则有平面，又因为平面，所以．依题意，有，平面平面，又平面，则有平面，可证，又由题意知，，以为坐标原点，，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知，，，，由可知，，，则，，，，，，（1）证明见解析．（2）．（3）六面体的体积的最大值是．21.（3）（1）则有，，，，设平面与平面的法向量分别为，，则有，则，所以，易得，解得．设所求几何体的体积为，设，则，∴，∵，∴当时，，当时，，∴在是增函数，在上是减函数，∴当时，有最大值，即，∴六面体的体积的最大值是．解析:曲线的直角坐标方程为：，即，∴曲线的极坐标方程为：，即，（1）曲线的极坐标方程为：，曲线的直角坐标方程为：．（2）．22.（2）（1）（2）∵曲线的极坐标方程为：，即∴曲线的直角坐标方程为：．设直线的极坐标方程为，代入曲线的极坐标方程，得，∴，把直线的极坐标方程代入曲线的极坐标方程，得，即，即，∴ ，∵，即，∴，∴，∴，当且仅当 ，即时取等号，故的最小值为．解析:当时，不等式可化为，当时，不等式化为，解得，当时，不等式化为，解得，当时，不等式化为，解得，综上，不等式的解集为：．，∴的图象与两坐标轴的交点坐标分别为，，，∴三角形的面积：，由，得或（舍），∴．（1）不等式的解集为：．（2）．23.。
山西省运城市城关中学2020年高三数学理模拟试题含解析
山西省运城市城关中学2020年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 知，其中是虚数单位，则( )A.－1B.3C.2D.1参考答案：B2. “”是“”成立的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分与不必要条件参考答案：A由得，，所以“”是“”成立充分不必要条件，选A.3. 设全集U=R，集合A={x|0≤x≤2}，B={y|1≤y≤3}，则（?U A）∪B=（）A．（2，3] B．（﹣∞，1]∪（2，+∞） C．[1，2）D．（﹣∞，0）∪[1，+∞）参考答案：D【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】由全集U=R，集合A={x|0≤x≤2}，B={y|1≤y≤3}，先求出?U A={x|x＜0，或x＞2}，再求（?U A）∪B．【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|0≤x≤2}，B={y|1≤y≤3}，∴?U A={x|x＜0，或x＞2}，∴（?U A）∪B={x|x＜0，或x≥1}．故选D．4. 已知函数的部分图像如图所示，若图中在点处取得极大值，在点处取得极小值，且四边形的面积为32，则的值是（）A．B． C. D．参考答案：D5. 函数是定义在上的可导函数，其导函数为且有，则不等式的解集为（）A． B． C． D．参考答案：A6. 设函数f（x）=，则不等式f（x）＞f（1）的解集是（）A．（﹣3，1）∪（2，+∞） B．（﹣3，1）∪（3，+∞） C．（﹣1，1）∪（3，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪（1，3）参考答案：B【考点】函数单调性的性质．【分析】先计算f（1）的值，再按分段函数讨论求出不等式f（x）＞f（1）的解集．【解答】解：∵f（x）=，∴f（1）=1﹣4+6=3；当x≥0时，有x2﹣4x+6＞3，解得x＞3，或x＜1，即0≤x＜1，或x＞3；当x＜0时，x+6＞3，解得x＞﹣3，即﹣3＜x＜0；综上，不等式f（x）＞f（1）的解集是：{x|﹣3＜x＜1，或x＞3}；故选：B．7. 已知双曲线的离心率为2，若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为A. B. C. D.参考答案：B试题分析：双曲线的其中一条渐近线方程为，离心率，得，由于得，抛物线的焦点坐标到渐近线的距离，整理得得，因此抛物线方程，故答案为B.考点：双曲线和抛物线的标准方程和性质应用.8. 已知函数f（x）＝ex－e－x，若对任意的x∈（0，＋∞），f（x）＞mx恒成立，则m的取值范围为A．（－∞，1）B．（－∞，1] C．（－∞，2）D．（－∞，2]参考答案：D9. 执行如图所示的程序框图，则输出的A的值为（）A．7 B．31 C．29 D．15参考答案：D【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的A，i的值，当i=5时满足条件i≥5，退出循环，输出A的值为15．【解答】解：模拟执行程序框图，可得A=0，i=1A=1，i=2不满足条件i≥5，A=3，i=3，不满足条件i≥5，A=7，i=4，不满足条件i≥5，A=15，i=5，满足条件i≥5，退出循环，输出A的值为15．故选：D．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的A，i的值是解题的关键，属于基础题．10. 设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.3参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 从5名男生和2名女生中选3人参加英语演讲比赛，则必有女生参加的选法共有 .(用数字作答)参考答案：2512. 已知向量=（，1），=（0，﹣1），=（k ，）．若与共线，则k= ．参考答案：1【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示． 【分析】利用向量的坐标运算求出的坐标；利用向量共线的坐标形式的充要条件列出方程，求出k 的值． 【解答】解：∵与共线，∴解得k=1． 故答案为1．13. 下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：“不喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n 的值为 ．参考答案：30【考点】分层抽样方法．【分析】利用分层抽样的定义，建立方程，即可得出结论． 【解答】解：由题意=，解得n=30， 故答案为：3014. 函数的定义域为_________________.参考答案：略15. 已知数列{a n }满足a 1=1，a n =log n （n+1）（n≥2，n∈N *）．定义：使乘积a 1?a 2…a k 为正整数的k （k∈N *）叫做“易整数”．则在[1，2015]内所有“易整数”的和为 ．参考答案：2036【考点】数列的函数特性． 【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意，及对数的换底公式知，a 1?a 2?a 3…a k =log 2（k+1），结合等比数列的前n 项和进行求解即可．【解答】解：∵a n =log n （n+1），∴由a 1?a 2…a k 为整数得1?log 23?log 34…log k （k+1）=log 2（k+1）为整数， 设log 2（k+1）=m ，则k+1=2m， ∴k=2m﹣1； ∵211=2048＞2015，∴区间[1，2015]内所有“易整数”为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，24﹣1，…，210﹣1，其和M=21﹣1+22﹣1+23﹣1+24﹣1+…+210﹣1=﹣10=211﹣2﹣10=2036．故答案为：2036．【点评】本题以新定义“易整数”为切入点，主要考查了对数的换底公式及对数的运算性质的应用． 16. 函数y=lgx+的定义域是 ．参考答案：{x|x≥1}【考点】对数函数的定义域． 【专题】计算题．【分析】利用对数的性质和根式的性质，得到y=lgx+的定义域是：{x|}，由此能够求出结果．【解答】解：y=lgx+的定义域是：{x|}，解得{x|x≥1}． 故答案为：{x|x≥1}．【点评】本题考查对数函数的定义域的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．17. 若关于的不等式对任意的正实数恒成立，则实数的取值范围是.参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
2020年4月山西省运城市2020届高三毕业班调研测试(一模)数学(理)试题(解析版)
绝密★启用前山西省运城市普通高中2020届高三毕业班下学期第一次质量调研测试(一模)数学(理)试题(解析版)2020年4月本试题满分150分，考试时间120分钟.答案一律写在答题卡上.注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2.答题时使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.保持卡面清洁,不折叠,不破损.第I 卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.、1.已知集合{}10,1,0,12x A x B x -⎧⎫=<=-⎨⎬+⎩⎭,则A B 等于（ ） A. {}11x x -<<B. {}1,0,1-C. {}1,0-D. {}0,1【答案】C【解析】【分析】 先化简集合A ,再与集合B 求交集.【详解】因为{}10212x A x x x x -⎧⎫=<=-<<⎨⎬+⎩⎭,{}1,0,1B =-, 所以{}1,0A B ⋂=-.故选：C【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及分式不等式的解法,属于基础题.2.复数12z i =+,若复数12,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称,则12z z 等于（ ） A. 345i +- B. 345i + C. 34i -+ D. 345i -+ 【答案】A【解析】【分析】先通过复数12,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称,得到22z i =-+,再利用复数的除法求解12z z . 【详解】因为复数12,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称,且复数12z i =+, 所以22z i =-+ 所以()()()122223422255+--+===---+-+--i i z i i z i i i 故选：A【点睛】本题主要考查复数的基本运算和几何意义,属于基础题.3.已知tan 3α=,则2cos sin 2αα+=（ ）A. 10B. 710C. 10-D. 710- 【答案】B【解析】【分析】。
山西省运城市2020届高三上学期期中调研测试数学(理)试题
运城市2019-2020学年第一学期期中调研测试高三数学（理科）试题2019.11本试题满分150分，考试时间120分钟.答案一律写在答题卡上.注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名，准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2.答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|||1,=<-∈M x x x R ，{}|01,=<<∈N x x x R ，则⋂=M N （ ）. A.∅ B.(0,1) C.(1,1)- D.R2.tan315︒=（ ）.A. B.-1 D.1 3.已知命题:0>p a 是0>ab 的充分不必要条件:q 命题“∀∈x R ，都有20>x ”的否定为“0∃∈x R ，使得020≤x ”则下列命题为真命题的是（ ）.A.∧p qB.⌝∧p qC.∧⌝p qD.⌝∧⌝p q4.已知向量r a ，r b 满足(0,1)=ra ，()⊥-r r r a ab ，则(3)⋅-=r r r a a b （ ）.A.4B.3C.2D.1 5.数列{}n a ，满足12=a ，()111++=∈-n na n N a ，则2019=a （ ）. A.-2 B.-1 C.2 D.126.等边V ABC 的边长为1，点D 在线段AC 上，且=u u u r u u u r AD AC λ，V ADE 也是等边三角形，且u u u r u u u r∥EA CB ，若3⋅=u u u r u u u rBE BD ，则=λ（ ）.A.4B.3C.2D.17.已知函数()2()(1)sin 21=--++f x x x x x 在[1,3]-上的最大值为M ，最小值为m ，则+=M m （ ）. A.4 B.2 C.1 D.0 8.已知函数()sin()=+f x x ωϕ，0,||2⎛⎫><⎪⎝⎭πωϕ的部分图像如图所示，则为了得到函数()f x 的图像，只需将函数cos 6⎛⎫=+⎪⎝⎭y x π的图像（ ）.A.先将纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移2π个单位； B.先将纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12，再向右平移2π个单位； C.先将纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移512π个单位；D.先将纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12，再向右平移512π个单位；9.定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)(2)+=--f x f x ，且(1)2->f ，若2(9)36=--f a a ，则a 的取值范围为（ ）.A.(1,4)-B.(,1)(4,)-∞-⋃+∞C.(4,1)-D.(,4)(1,)-∞-⋃+∞10.在锐角V ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若向量()=r m a 与(cos ,sin )=rn A B 平行，=a V ABC 的周长的取值范围为（ ）.A.(3+B.C. D.(3+11.已知()f x 是定义在(,0)(0,)-∞⋃+∞上的函数，()'=y f x 是它的导函数，且4()3()'=+x xf x e x f x ，(1)=f e 则不等式2(1)8->f x e 的解集为（ ）.A.(,1)1,)-∞⋃++∞B.1,)+∞C.(,1)(3,)-∞-⋃+∞D.(3,)+∞12.已知函数22,0(),0⎧≤=⎨>⎩x x x f x e x ，若关于x 的方程2[()]1=-f x a 恰有两个不同实数根1x ，2x ，则12+x x 的最大值为（ ）A.2B.3ln22-C.3ln2D.3ln22+ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.函数()2cos()cos 2⎛⎫=+++⎪⎝⎭f x ππαα的最大值为________. 14.在V ABC 中，90︒∠=ABC ，4=AB ，3=BC ，点D 在线段AC 上，若45︒∠=BDC ，则cos ∠=ABD ________.15.已知等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且321-=+n n n S T n ，则35=ab ________. 16.已知函数()sin (0)5⎛⎫=+> ⎪⎝⎭f x x πωω在[0,2]π上有且仅有3个零点，则ω的取值范围为________. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）已知函数2()2sin 2sin cos 1=++f x x x x . （1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间； （2）若0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x π，求函数()f x 的值域. 18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的各项均是正数，其前n 项和为n S ，满足4=-n n S a . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()212log +=∈-n n b n N a ，数列{}2+n n b b 的前n 项和为n T ，求证34<n T .19.（本小题满分12分）在V ABC 中，M 是边BC的中点，cos 5∠=BAM，cos 10∠=-AMC，=AM .（1）求V AMC 的面积； （2）求V ABC 的周长. 20.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的首项11=a ，公差0>d ，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{}n b 的第2项、第3项、第4项.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n c 满足：+∀∈n N 时，都有12112++++=…n n nc c ca b b b 成立，记{}n c 的前n 项和为n S ，求2019S . 21.（本小题满分12分）已知函数()2()=++xf x x mx m e ，()∈m R . （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()≥-f x e 恒成立，求实数m 的取值范围. 22.（本小题满分12分） 已知函数2()ln ()2=--∈a f x x x x x a R 在其定义域内有两个不同的极值点. （1）求函数a 的取值范围；（2）记函数()f x 的两个极值点为1x ，2x ，且210<<x x ，证明对任意实数1≥λ，都有不等式112+<ex x λλ成立.运城市2019-2020学年第一学期期中调研测试高三数学（理科）参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分） 1-5 ABBCD 6-10 CADAD 11-12 DB二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）15.219 16.719,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解：2()2sin 2sin cos 11cos2sin 21=++=-++f x x x x x x 2分224⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭x π 3分（1）=T π 4分 由3222242+<-<+k x k πππππ 5分 得()f x 的单调减区间为37,()88⎛⎫++∈⎪⎝⎭k k k Z ππππ 6分（说明：区间端点包含或不包含都正确） （2）∵02≤≤x π∴32444-≤-≤x πππ7分 ∴当0=x 时，()f x 有最小值(0)1=f 8分当242-=x ππ即38=x π时，()f x有最大值328⎛⎫= ⎪⎝⎭f π 9分 故()f x的值域为2] 10分18.解：（1）由题意知114=-a a ，得12=a 1分 由4=-n n S a114++=-n n S a 2分得112+=n n a a 3分 ∴{}n a 是以12=a 为首项，12为公比的等比数列∴212-⎛⎫= ⎪⎝⎭n n a 5分（2）∵21112log 2(2)===---n n b a n n6分∴21111(2)22+⎛⎫⋅==- ⎪++⎝⎭n n b b n n n n 8分∴132435112-++=+++++…n n n n n T b b b b b b b b b b11111111111232435112⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪-++⎝⎭…n n n n 11113122124⎛⎫=+--< ⎪++⎝⎭n n 12分19.解：由cos 5∠=BAM ，cos 10∠=-AMC ，得：sin 5∠=BAM ，sin 10∠=AMC 2分 ∵∠=∠-∠B AMC BAM∴cos cos()cos cos sin sin =∠-∠=∠∠+∠∠B AMC BAM AMC BAM AMC BAM2⎛=+= ⎝⎭，即4=B π4分 （1）在V ABM 中，由正弦定理sin sin =∠BM AMBAM B得4=BM 6分 ∴1sin 62==⋅⋅∠=V V AMC AMB S S BM AM AMB 7分 （2）由（1）知8=BC ， 8分由正弦定理sin sin =∠AB AMAMB B得=AB 9分由余弦定理得：=AC 11分故V ABC 8+ 12分20.解：（1）由已知有21=+a d ，514=+a d ，14113=+a d 1分 ∴依题有2(14)(1)(113)+=++d d d 2分 得2=d 或0=d （舍） 3分 ∴21=-n a n 4分 ∵223==b a ，359==b a∴等比数列{}n b 的公比3=q 5分∴2212333---=⋅=⨯=n n n n b b q6分（2）由12112++++=…n n nc c ca b b b 得2≥n 时，121121--+++=…n n n c c ca b b b 7分 故2≥n 时，121(21)2+=-=+--=nn n nc a a n n b 8分 ∴1223(2)-==⨯≥n n n c b n 9分当1=n 时，121=c a b ，∴13=c ，不适合上式 10分 ∴13,123,2-=⎧=⎨⨯≥⎩n n n c n 11分 ∴12201820193232323=+⨯+⨯++⨯…S()2018201931332313-=+⨯=- 12分21.（1）()2()(2)2(2)()=+++='++x xf x x m x m e x x m e 1分当2-=-m 即2=m 时，2()(2)0'=+>x f x x e 2分 当2-<-m 即2>m 时，由()0'>f x 得2>-x 或<-x m 由()0'<f x 得2-<<-m x 3分当2->-m 即2<m 时，由()0'>f x 得>-x m 或2<-x 由()0<'f x 得2-<<-x m 4分 综上：当2=m 时，()f x 的单调递增区间是(,)-∞+∞，无单调递减区间 当2>m 时，()f x 的单调递减区间是(,)-∞-m ，(2,)-+∞， 单调递减区间是(,2)--m当2<m 时，()f x 的单调递增区间是(,2)-∞-，(,)-+∞m ， 单调递减区间是(2,)--m 5分（2）方法一：()≥-f x e 恒成立 即min ()-≥f x e 6分2()(2)2(2)()'⎡⎤=+++=++⎣⎦x xf x x m x m e x x m e ， 当04≤≤m 时，20++≥x mx m ，0>x e ，所以()2()0=++>≥-xf x x mx m e e 恒成立. 7分 当4>m 时，(,]∈-∞-x m ，2()0++=++>x mx m x x m m 所以()2()-≥=++xf x x mx m e e 成立；因为(,2)∈--x m 时，()0'<f x ，()f x 单调递减，(2,)∈-+∞x 时，()0'>f x ，()f x 单调递增，所以(,)∈-+∞x m 时，2min ()(2)(4)-=-=-f x f m e ，令2(4)--≥-m ee ，解得34≤+m e ，所以，344<≤+m e .当0<m 时，(,2)∈-∞-x ，2()(1)0⎡⎤=++>>-⎣⎦xf x x m x e e 因为(2,)∈--x m 时，()0<'f x ，()f x 单调递减，(,)∈-+∞x m 时，()0'>f x ，()f x 单调递增，所以(2,)∈-+∞x 时，min ()()-=-=mf x f m me ，令-≥-m me e ，得10+≥+m m e设1()+=+m g m m e，0<m ，因为1()10+'=+>m g m e所以()g m 在(,0)-∞上单调递增，注意到(1)0-=g ，所以由()0≥g m ，得10-≤<m . 11分 综上得，m 的取值范围是31,4⎡⎤-+⎣⎦e 12分 方法二：分离参数12()(1)-≥-⇒+≥--x f x e m x e x①当1=-x 时，201≥--e 成立，故∈m R 6分②当10+>x 即1>-x 时，121---≥+x e x m x令12()1---=+x e x h x x ，即求()h x 在(1,)-+∞上的最大值∵()()()1121222(1)(2)()(1)(1)----++++-'==++xx x e x x e x x e x h x x x 7分令1()-=-xg x ex 则()g x 在(1,)-+∞上为减函数，且(1)0=g故当1>x 时，()0'<h x ，11-<<x 时，()0'>h x 故()h x 在(1,1)-上单调递增，(1,)+∞上单调递减 ∴()h x 在(1,)-+∞上的最大值为(1)1=-h ∴1≥-m 9分③当1<-x 时，121---≤+x e x m x即求()h x 在(,1)-∞-上的最小值∵21-<<-x 时，()0'>h x ，2<-x 时，()0'<h x ∴()h x 在(,2)-∞-上单调递减，(2,1)--上单调递增 ∴()h x 在(,1)-∞-上的最小值为3(2)4-=+h e ∴34≤+m e . .11分∴综上，314-≤≤+m e 12分 22.解：（1）依题0>x 1分()ln '=-f x x ax 2分()f x 有两个不同的极值点，即ln 0-=x ax 有两个不等实根.亦即函数ln =y x 与=y ax 图象在(0,)+∞上有两个不同交点 若令过原点且与ln =y x 图象相切的直线斜率为k ，则只需0<<a k设切点为()00,ln x x ，则001|='==x x k y x ，而00ln =x k x故0=x e ，于是1=k e ，所以10<<a e6分（说明：也可分离参数后，结合图象处理） （2）证明：令ln ()=x g x x 则21ln ()-'=xg x x由0<<x e 时，()0'>g x ，()g x 单调递增>x e 时，()0'<g x ，()g x 单调递减知=x e 是()g x 的极大值点 7分 故120<<<x e x 且()()12=g x g x112+<e x x λλ等价于12⎛⎫< ⎪⎝⎭e x x e λ∵201<<e x ，1≥λ∴22⎛⎫ ⎪⎝⎭≤e ex x λ故只需证212>x x e 即可 8分令2()()⎛⎫=- ⎪⎝⎭e h x g x g x ，>x e则2ln 2ln ()-=-x x x xh x x e故()2222222(ln 1)1ln 21()(ln 1)---'=-++=x e x x h x x x e e e x10分 ∵>x e ∴ln 1>x ，22>x e ，∴()0'>h x ∴()h x 在(,)+∞e 单调递增∴()()0>=h x h e∴2()⎛⎫> ⎪⎝⎭e g x g x ∵2>x e ∴()222⎛⎫> ⎪⎝⎭e g x g x又∵()()12=g x g x ∴()212⎛⎫> ⎪⎝⎭e g x g x又∵10<<x e ，220<<e e x 且()g x 在(0,)e 单调递增∴212>e x x ∴212>x x e 即原不等式成立 12分。
2020年山西省运城市高考数学一模试卷(理科) (含答案解析)
2020年山西省运城市高考数学一模试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={1,2，3，4，5}，B ={x|x−14−x >0,x ∈Z}，则A ∩B =( )A. {2,3}B. {1,2，3，4}C. {1,2，3}D. {1,2，3，5}2. 若复数z 1=1+3i ，z 2=2+i ，则z1z 2=( )A. 1+iB. 3+3iC. −1+7iD. 3+4i3. 已知角α满足tanα=2，则cos 2α+sin2α等于( )A. √5−1B. 1C. √5+1D. 24. 函数f(x)=lg(|x|+x 2)(|x|−1)x的图象大致为( )A.B.C.D.5. 在△ABC 中，满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12|AB|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，则∠B =( ) A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°6. 公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿喀琉斯悖论：他提出让乌龟在阿喀琉斯前面1000米处和阿喀琉斯赛跑，并且假定阿喀琉斯的速度是乌龟的10倍．当比赛开始后，若阿喀琉斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿喀琉斯跑完下一个100米时，乌龟领先他10米；当阿喀琉斯跑完下一个10米时，乌龟仍然领先他1米……所以，阿喀琉斯永远追不上乌龟．按照这样的规律，若阿喀琉斯和乌龟的距离恰好为10−2米时，乌龟爬行的总距离为( )A. 104−190米 B. 105−1900米 C. 105−990米 D. 104−9900米 7. 如图是1990年−2017年我国劳动年龄(15−64岁)人口数量及其占总人口比重情况：根据图表信息，下列统计结论不正确的是()A. 2000年我国劳动年龄人口数量及其占总人口比重的年增幅均为最大B. 2010年后我国人口数量开始呈现负增长态势C. 2013年我国劳动年龄人口数量达到峰值D. 我国劳动年龄人口占总人口比重极差超过6%8.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则此几何体的最长的棱长为()A. 2√2B. 3√2C. √5D. 39.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈[0,2π))的图像如图所示，则f(1)=()A. 2B. 3C. 4D. 510.如果一椭圆的两个焦点恰好是另一双曲线的两个焦点，则称它们为一对“共焦曲线”现有一对“共焦曲线”的焦点为F1，F2，M是它们的一个公共点，且∠F1MF2=60∘，设它们的离心率分别为e1，e2，则(e1⋅e2)min=()A. 1B. √32C. 2 D. √6411. 已知球O 是某几何体的外接球，而该几何体是由一个侧棱长为2√5的正四棱锥S −ABCD 与一个高为6的正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1拼接而成，则球O 的表面积为( )A.100π3B. 64πC. 100πD.500π312. 已知f(x)为二次函数，其导函数f′(x)满足f′(x)lnx <f(x)x，则有( )A. f(2)<f(e)ln2，2f(e)>f(e 2)B. f(2)<f(e)ln2，2f(e)<f(e 2)C. f(2)>f(e)ln2，2f(e)<f(e 2)D. f(2)>f(e)ln2，2f(e)>f(e 2)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. (√x +2x 2)n 的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于________．14. 若实数x,y 满足约束条件{x +2y ⩾0x −y ⩽0x −2y +2⩾0，则z =3x −y 的最小值等于_____． 15. 已知A 是抛物线y 2=4x 上的一点，以点A 和点B(2,0)为直径的圆C 交直线x =1于M ，N 两点．直线l 与AB 平行，且直线l 交抛物线于P ，Q 两点．(1)求线段MN 的长；(2)若OP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3，且直线PQ 与圆C 相交所得弦长与|MN|相等，求直线l 的方程． 16. 在△ABC 中，AC =7，BC =13，D 在边BC 上，BD =10，AD =5，则AB =________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2a n −2．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{n+1a n}的前n 项和为T n ，求T n ．18.某钢管生产车间生产一批钢管，质检员从中抽出若干根对其直径(单位：mm)进行测量，得出这批钢管的直径X服从正态分布N(65,4.84)．(1)当质检员随机抽检时，测得一根钢管的直径为73mm，他立即要求停止生产，检查设备，请你根据所学知识，判断该质检员的决定是否有道理，并说明判断的依据；(2)如果钢管的直径X满足60.6mm−69.4mm为合格品(合格品的概率精确到0.01)，现要从60根该种钢管中任意挑选3根，求次品数Y的分布列和数学期望．(参考数据：若X−N(μ,σ2)，则P(μ−σ<X≤μ+σ)=0.6826；P(μ−2σ<X≤μ+2σ)=0.9544；P(μ−3σ<X≤μ+3σ)=0.9974．19.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，离心率e=√22，且椭圆的短轴长为2．(1)求椭圆的标准方程；(2)已知直线l1，l2过右焦点F2，且它们的斜率乘积为−12，设l1，l2分别与椭圆交于点A，B和C，D．①求AB+CD的值；②设AB的中点M，CD的中点为N，求△OMN面积的最大值．x3+ax+4(a∈R)在x=2处有极值.20.已知函数f(x)=13(1)求a的值；(2)求f(x)在[0, 3]上的最大值和最小值；21.如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°(如图2所示)，(1)当BD的长为多少时，三棱锥A−BCD的体积最大；(2)当三棱锥A−BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小．)，以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直22.已知曲线C的极坐标方程为ρ=4sin(θ−π3角坐标系xOy．(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)若点P在曲线C上，点Q的直角坐标是(cosφ,sinφ)，其中(φ∈R)，求|PQ|的最大值．23.设函数f(x)=|2x+2|+|2x−3|．(1)求不等式f(x)>7的解集；(2)若关于x的不等式f(x)≤|3m−2|有解，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：B={x|1<x<4,x∈Z}={2,3}；∴A∩B={2,3}．故选：A．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，分式不等式的解法，以及交集的运算．2.答案：A解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．把z1=1+3i，z2=2+i代入z1z2，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵z1=1+3i，z2=2+i，∴z1z2=1+3i2+i=(1+3i)(2−i)(2+i)(2−i)=5+5i5=1+i．故选A．3.答案：B解析：解：∵tanα=2，则cos2α+sin2α=cos2α+2sinαcosαsin2α+cos2α=1+2tanα2=1，故选：B．利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得要求式子的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．4.答案：A解析：先判断函数的奇偶性，然后令x =2进行计算，判断函数值的符号是否一致即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性，和特殊值的关系是解决本题的关键． 解：f(−x)=lg(|−x|+(−x)2)(|−x|−1)(−x)=−lg(|x|+x 2)(|x|−1)x=−f(x)，则f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除C ，D ， f(2)=lg(2+4)2=lg62>0，排除B ，故选：A ．5.答案：C解析：本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题.由题意利用两个向量的数量积的定义可得BA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BA|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosB =−12|AB|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，即可求出答案． 解：因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12|AB|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |， 所以BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BA|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosB =−12|AB|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |， 所以cosB =−12， 故∠B =120°， 故选C ．6.答案：B解析：本题考查了等比数列的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．由题意知乌龟每次爬行的距离构成等比数列{a n }，写出a 1、q 和a n ，由此求出乌龟爬行的总距离S n ． 解：由题意知，乌龟每次爬行的距离构成等比数列{a n }， 且a 1=100，q =110，a n =10−2； ∴乌龟爬行的总距离为S n=a1−a n q1−q =100−10−2×1101−110=105−1900．故选B．7.答案：B解析：本题考查了读图识图的能力，属于基础题．A选项，2000年我国劳动年龄人口数量增幅约为6000万，是图中最大的，2000年我国劳动年龄人口数量占总人口比重的增幅约为3%，也是最多的．故A对．B选项，2010年到2011年我国劳动年龄人口数量有所增加，故B错．C选项，从图上看，2013年的长方形是最高的，即2013年我国劳动年龄人口数量达到峰值，C对，D选项，我国劳动年龄人口占总人口比重最大为2011年，约为74%，最小为1992年，约为67%，故极差超过6%.D对．故选：B．8.答案：D解析：本题考查了由几何体的三视图求几何体的体积，判断直观图是解题的关键，属于中档题．首先由三视图还原几何体，利用三视图的数据求解几何体的最长棱长即可．解：三视图表示的几何体为三棱锥D−ABC，是正方体的一部分，易知正方体的棱长为：2，则此几何体的最长的棱长为：BD=√CD2+BC2=√4+4+1=3．故选D．9.答案：B解析：本题考查y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，考查推理能力和计算能力，属于一般题．先由图象求出A、ω和φ，再赋值计算即可．解：由题意可知A=3，T=2×(7−3)=8，所以ω=2π8=π4．因为函数f(x)的图像经过点(3,0)，所以3π4+φ=π+2kπ(k∈Z)，φ=π4+2kπ(k∈Z)．又φ∈[0,2π)，所以φ=π4，所以f(1)=3．故选B．10.答案：B解析：本题考查椭圆与双曲线的简单性质，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长a2，焦距2c.由题意与双曲线的定义得到∴|MF1|=a1+a2，|MF2|=a1−a2，在△F1MF2中根据余弦定理可得到1e12+3e22=4，再由基本不等式求最值．解：如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，不妨取第一象限的公共点为M，则根据椭圆及双曲线的定义：|MF1|+|MF2|=2a1，|MF1|−|MF2|= 2a2，∴|MF1|=a1+a2，|MF2|=a1−a2，设|F1F2|=2c，∠F1MF2=60°，在△MF1F2中由余弦定理得，4c2=(a1+a2)2+(a1−a2)2−2(a1+a2)(a1−a2)cos60°，化简得：a12+3a22=4c2，该式可变成：1e12+3e22=4，∴4=1e12+3e22≥2√3e1e2，(当且仅当e2=√3e1时取等号)则e1e2≥√32．∴(e1⋅e2)min=√32．故选：B．11.答案：C解析：设球的半径为R，AB=2x，S到平面ABCD的距离为√20−2x2，列出半径的表达式，由勾股定理可得R2=32+2x2，由此求出R，即可求出球的表面积．本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，求出球的半径是关键．AC=√2x，解：设球的半径为R，AB=2x，12则球心到平面A1B1C1D1的距离为3，，几何体是由一个侧棱长为2√5的正四棱锥S−ABCD与一个高为6的正四棱柱ABCD−A1B1C1D1拼接而成，S到平面ABCD的距离为√(2√5)2−(√2x)2=√20−2x2，则：√20−2x2+3=R，又勾股定理可得R2=32+2x2，∴R=5，x=2√2∴球的表面积为4πR2=100π．故选：C．12.答案：D解析：本题考查了函数的单调性问题，考查函数值的大小比较，是一道中档题．，x∈(0,+∞)，求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数值的大小即可．构造函数g(x)=f(x)lnx，x∈(0,+∞)，解：令g(x)=f(x)lnx故g′(x)=f′(x)lnx−f(x)⋅1x(lnx)2，∵f′(x)lnx <f(x)x，∴f′(x)lnx −f(x)1x <0，∴g(x)在(0,+∞)递减， ∴g(2)>g(e)，即f(2)ln2>f(e)lne，f(2)>f(e)ln2，g(e)>g(e 2)，即f(e)lne >f(e 2)lne 2，2f(e)>f(e 2)，故选D ．13.答案：180解析：本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．由(√x +2x 2)n 展开式中只有第六项的二项式系数最大，可得n =10.再利用通项公式即可得出． 解：∵(√x +2x )n 展开式中只有第六项的二项式系数最大，∴n =10． ∴(√x +2x 2)10的通项公式为：T r+1=C 10r(√x)10−r (2x 2)r=2rC 10r x5−5r2， 令5−5r 2=0，解得r =2．∴展开式的常数项=22C 102=180．故答案为180．14.答案：−72解析：本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键，属于基础题． 作出不等式组对应的平面区域，通过目标函数的几何意义，利用数形结合即可的得到结论． 解：依题意，可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域，目标函数化为：y =3x −z ，则z 的最小值即为动直线在y 轴上的截距的最大值．通过平移可知在A 点处动直线在y 轴上的截距最大．因为A ：{x +2y =0x −2y +2=0解得A(−1,12)，所以z =3x −y 的最小值z min =3×(−1)−12=−72． 故答案为：−72．15.答案：解：(1)设A(y 024,y 0)，圆C 方程为(x −2)(x −y 024)+y(y −y 0)=0， 令x =1，得y 2−y 0y +y 024−1=0，∴y M +y N =y 0，y M y N =y 024−1，|MN|=|y M −y N |=√(y M +y N )2−4y M y N =√y 02−4(y 024−1)=2．(2)设直线l 的方程为x =my +n ，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，则 由{x =my +n,y 2=4x消去x ，得y 2−4my −4n =0， y 1+y 2=4m ，y 1y 2=−4n ，∵OP →⋅OQ →=−3，∴x 1x 2+y 1y 2=−3，则(y 1y 2)216+y 1y 2=−3，∴n 2−4n +3=0，解得n =1或n =3，当n =1或n =3时，点B(2,0)到直线l 的距离为d =2，∵圆心C到直线l的距离等于到直线x=1的距离，∴y028=√1+m2，又m=y024−2y0，消去m得y02⋅y04+6416=64，求得y02=8，此时m=y024−2y0=0，直线l的方程为x=3，综上，直线l的方程为x=1或x=3．解析：(1)根据题意利用弦长公式求出即可得到MN的长；(2)设出直线l的方程为x=my+n，P，Q点的坐标，联立直线和抛物线方程，得到关于n的式子，解出即可得到直线方程．16.答案：5√3解析：本题主要考查解三角形的应用，利用余弦定理和正弦定理是解决本题的关键，要求熟练掌握相应的公式．根据余弦定理弦求出C的大小，利用正弦定理即可求出AB的长度．解：如图所示：∵AD=5，AC=7，DC=3，∴由余弦定理得cosC=AC2+CD2−AD22AC⋅CD =72+32−522×7×3=1114，∴AB=√AC2+BC2−2AC·BC·cosC=√49+169−2×7×13×1114=√75=5√3故答案为5√3．17.答案：解：(1)∵S n=2a n−2，∴n≥2时，a n=S n−S n−1=2a n−2−(2a n−1−2)，化为：a n= 2a n−1．n=1时，a1=2a1−2，解得a1=2．∴数列{a n}是等比数列，首项与公比都为2．∴a n=2n．(2)b n=n+1a n =n+12n，∴数列{b n}前n项和T n=22+322+⋯+n+12n，1 2T n=222+323+⋯+n2n+n+12n+1，∴12T n=1+122+123+⋯+12n−n+12n+1=1+14(1−12n−1)1−12−n+12n+1．∴T n=3−n+32n．解析：(1)S n=2a n−2，可得n≥2时，a n=S n−S n−1，化为：a n=2a n−1.n=1时，a1=2a1−2，解得a1.利用等比数列的通项公式即可得出．(2)b n=n+1a n =n+12n，利用错位相减法与等比数列的求和公式即可得出．本题考查了错位相减法、等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：解：(1)∵μ=65，σ=2.2，μ−3σ=58.4，μ+3σ=71.6，∴P(X>71.6)=1−P(58.4<X≤71.6)2=1−0.99742=0.0013．∴测得一根钢管的直径为73mm为⼩概率事件，故该质检员的决定有道理．(2)∵μ=65，σ=2.2，μ−2σ=60.6，μ+2σ=69.4，∴P(60.6≤X≤69.6)=0.9544，故该批钢管为合格品的概率约为0.95，∴Y～B(3,0.05)，且P(Y=k)=C3k⋅0.05k⋅0.953−k，k=0，1，2，3．∴次品数Y的分布列列为：∴E(Y)=3×0.05=0.15．解析：(1)计算P(X >μ+3σ)的概率，比较73与μ+3σ的大小得出结论； (2)求出合格品的概率，根据二项分布得出分布列和数学期望． 本题考查了正态分布的性质，二项分布列，属于中档题．19.答案：解：(1)∵椭圆的短轴长为2，∴b =1，又∵e =√1−b 2a2=√1−1a 2=√22，a 2=2,所以椭圆的方程为x 22+y 2=1．(2)①F 2(1,0)，设直线AB 的方程为y =k(x −1),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，{x 2+2y 2=2y =k(x −1)，x 2+2k 2(x 2−2x +1)=2,(1+2k 2)x 2−4k 2x +2k 2−2=0， x 1+x 2=4k 21+2k2,x 1x 2=2k 2−21+2k 2，|x 1−x 2|=√16k 4(1+2k 2)2−4(2k 2−2)(1+2k 2)(1+2k 2)2=2√2√1+k 21+2k 2，|AB|=2√2(1+k 2)1+2k 2， ∵K AB K CD =−12，用−12k 替换上式中的k 得 ∴|CD|=√2(4k 2+1)2k 2+1， |AB|+|CD|=2√2(k 2+1)1+2k 2+√2(4k 2+1)1+2k 2=6√2k 2+3√21+2k 2=3√2．②由①知，x 1+x 2=4k 21+2k 2，M 点的横坐标为2k 21+2k 2，代入直线方程得y =k(2k 21+2k 2−1)=−k1+2k 2， 即M(2k 21+2k 2,−k 1+2k 2)，用−12k 替换M 点坐标k 得N(11+2k 2,k1+2k 2)，MN 的中点T 的坐标为(12,0)，S ΔOMN =12×OT ×|y M −y N |=14×|2k|1+2k 2=12×|k|1+2k 2=12×11|k|+2|k|≤122√2=√28，当且仅当|k|=√22时取等号． ∴ΔOMN 面积的最大值为√28．解析：本题考查椭圆的几何性质及直线与椭圆的位置关系，属于中档题． (1)由b 根据离心率求出a 即可；(2)①设直线AB 的方程为y =k(x −1),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，根据弦长公式求出|AB|，再根据斜率的关系求出|CD|，整理即可；②求出M，N的坐标，代入面积公式，利用基本不等式即可求解．20.答案：解：(Ⅰ)f′(x)=x2+a，∴f′(2)=4+a=0，解得a=−4．经过验证满足条件．(Ⅱ)f(x)=13x3−4x+4，f′(x)=x2−4=(x+2)(x−2)，令f′(x)=0得x=−2或x=2．当x变化时如下表：x0(0,2)2(2,3)3f′(x)−10+f(x)4单调递减极小值−43单调递增1因此，当x=2时，f(x)有极小值，并且极小值为f(2)=−43．又由于f(0)=4，f(3)=1．因此函数f(x)在[0,3]上最大值为4，最小值为−43．解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(Ⅰ)f′(x)=x2+a，f′(2)=4+a=0，解得a.经过验证即可得出．(Ⅱ)f(x)=13x3−4x+4，f′(x)=x2−4=(x+2)(x−2)，令f′(x)=0得x=−2或x=2.列出表格即可得出单调性极值与最值．21.答案：解：(1)设BD=x，则CD=3−x∵∠ACB=45°，AD⊥BC，∴AD=CD=3−x∵折起前AD⊥BC，∴折起后AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩DC=D∴AD⊥平面BCD∴V A−BCD=13×AD×S△BCD=13×(3−x)×12×x(3−x) =16(x3−6x2+9x)设f(x)=16(x3−6x2+9x)x∈(0,3)，∵f′(x)=12(x −1)(x −3)，∴f(x)在(0,1)上为增函数，在(1,3)上为减函数 ∴当x =1时，函数f(x)取最大值∴当BD =1时，三棱锥A −BCD 的体积最大； (2)以D 为原点，建立如图直角坐标系D −xyz ，由(1)知，三棱锥A −BCD 的体积最大时，BD =1，AD =CD =2∴D(0,0，0)，B(1,0，0)，C(0,2，0)，A(0,0，2)，M(0,1，1)，E(12,1，0)，且BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，1) 设N(0,λ,0)，则EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,λ−1,0) ∵EN ⊥BM ，∴EN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 即(−1,1，1)⋅(−12，λ−1，0)=12+λ−1=0，∴λ=12，∴N(0,12,0) ∴当DN =12时，EN ⊥BM设平面BMN 的一个法向量为n ⃗ =(x,y ，z)，由{n ⃗ ⋅BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0及BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,12,0)得{y =2xz =−x，取n⃗ =(1,2，−1) 设EN 与平面BMN 所成角为θ，则EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,−12,0) sinθ=|cos <EN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >|=|EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ ||=|−12−1|√6×√22=√32∴θ=60°∴EN 与平面BMN 所成角的大小为60°解析：(1)设BD =x ，先利用线面垂直的判定定理证明AD 即为三棱锥A −BCD 的高，再将三棱锥的体积表示为x 的函数，最后利用导数求函数的最大值即可；(2)由(1)可先建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标和相关向量的坐标，设出动点N 的坐标，先利用线线垂直的充要条件计算出N 点坐标，从而确定N 点位置，再求平面BMN 的法向量，从而利用夹角公式即可求得所求线面角本题主要考查了线面垂直的判定，折叠问题中的不变量，空间线面角的计算方法，空间向量、空间直角坐标系的运用，有一定的运算量，属中档题22.答案：解：(1)曲线C 的极坐标方程为ρ=4sin(θ−π3)，展开为ρ2=4ρ(12sinθ−√32cosθ)，可得直角坐标方程：x2+y2=2y−2√3x.即曲线C的直角坐标方程为：x2+y2+2√3x−2y=0．(2)曲线C可化为(x+√3)2+(y−1)2=4，可得圆心C(−√3,1)，半径r=2，|OC|=2，点Q的直角坐标是(cosφ,sinφ)，(φ∈R)，可知：点Q在x2+y2=1圆上．∴|PQ|≤|OC|+2+1=5，即|PQ|的最大值是5．解析：本题考查了直角坐标方程与极坐标方程的互化、涉及圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)曲线C的极坐标方程为ρ═4sin(θ−π3)，展开为ρ2=4ρ(12sinθ−√32cosθ)，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程．(2)曲线C配方可得圆心及其半径，点Q的直角坐标是(cosφ,sinφ)，(φ∈R)，可知：点Q在x2+y2=1圆上，由|PQ|≤|OC|+R+r可得最值．23.答案：解：(1)∵f(x)>7，∴|2x+2|+|2x−3|>7，当x≤−1时，不等式为：−2x−2−2x+3>7，∴解得x<−32；当−1<x<32时，不等式为：2x+2−2x+3>7，∴无解；当x≥32时，不等式为：2x+2+2x−3>7，∴解得x>2；∴综上，不等式f(x)>7的解集是{x|x<−32或x>2};(2)∵f(x)=|2x+2|+|2x−3|≥|2x+2−2x+3|=5，当且仅当(2x+2)(2x−3)≤0，时取等号，即−1≤x≤32∴f(x)的最小值为5，∵关于x的不等式f(x)≤|3m−2|有解，∴|3m−2|≥5，∴3m−2≥5或3m−2≤−5，∴解得m≤−1或m≥7，3,+∞)．∴实数m的取值范围是(−∞,−1]∪[73解析：本题考查了绝对值不等式的应用，解不等式．(1)根据绝对值不等式，讨论得到不等式的解集；(2)根据绝对值不等式的性质，得到f(x)的最小值为5，得|3m−2|≥5，求得m的范围．。
2020年山西省运城市实验中学高三数学理模拟试卷含解析
2020年山西省运城市实验中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记x m y n项的系数为f（m，n），则f（3,0）+f（2,1）+f（1，2）+f（0，3）=A．45 B．60 C．120 D．210参考答案：C2. 一个圆台的三视图和相关数据如右图所示，则该圆台的侧面积为（）A. B. C. D.参考答案：A3. 若函数有极值，则a的取值范围是（）A. (－∞,－2)B. (－2,2)C. (－∞,－2)∪(2,+∞)D. (2,+∞)参考答案：D,因为函数有极值，令,且,所以由二次函数的性质可得,求解可得本题选择D选项.4. 函数f（x）=?cosx的图象大致是（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】函数的图象．【分析】先判断函数的奇偶性，再判断函数值，问题得以解决．【解答】解：f（﹣x）=?cos（﹣x）=?cosx=﹣f（x），∴f（x）为奇函数，∴函数f（x）的图象关于原点对称，当x∈（0，）时，cosx＞0，＞0，∴f（x）＞0在（0，）上恒成立，故选：C【点评】本题考查了函数图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数值，属于基础题5. 定义在R上的函数f(x)在区间(－∞，2)上是增函数，且f(x＋2)的图像关于y轴对称，则A．f(0)>f(3) B．f(0)＝f(3) C．f(－1)＝f(3) D．f(－1)<f(3)参考答案：D函数f(x＋2)的图像关于y轴对称，说明这个函数是偶函数，即f(－x＋2)＝f(x＋2)，令x＝1，得f(1)＝f(3)，函数f(x)在(－∞，2)上是增函数，故得f(－1)<f(1)＝f(3)．6. 已知实数满足，则的最大值为( ▲ )A．B．C．D．参考答案：B7. 已知e是自然对数的底数，不等式的解集为（）A. (－1,0)∪(3,+∞)B. (－1,0)∪(0,3)C. (－∞,－1)∪(3,+∞)D. (－∞,－1)∪(0,3)参考答案：A【分析】化简不等式，分x＞0，x＜0将不等式写为等价形式，再根据的单调性解不等式即可．【详解】∵∴，∴或，由于函数,在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，故由上述不等式组解得，或，∴不等式的解集为：（-1，0）∪（3，+∞）．故选：A．【点睛】本题考查了函数单调性的应用，指数不等式的解法，关键是知道函数的单调性，属中档题．8. 设集合M＝{x|x2＋x－6<0}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N＝( )A．[1,2) B．[1,2] C．(2,3]D．[2,3]参考答案：A9. 若集合，，则（）A．B．C．D．参考答案：A略10. 右图是统计高三年级1000名同学某次数学考试成绩的程序框图，若输出的结果是720，则这次考试数学分数不低于90分的同学的频率是（）A.0.28B.0.38C.0.72D.0.62参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 袋中有6个编号不同的黑球和3个编号不同的白球，这9个球的大小及质地都相同，现从该袋中随机摸取3个球，则这三个球中恰有两个黑球和一个白球的方法总数是，设摸取的这三个球中所含的黑球数为X，则P（X=k）取最大值时，k的值为．参考答案：45,2.【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】利用组合知识能求出从该袋中随机摸取3个球，则这三个球中恰有两个黑球和一个白球的方法总数；设摸取的这三个球中所含的黑球数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，从而能求出P（X=k）取最大值时，k的值．【解答】解：袋中有6个编号不同的黑球和3个编号不同的白球，这9个球的大小及质地都相同，现从该袋中随机摸取3个球，则这三个球中恰有两个黑球和一个白球的方法总数是：n==45．设摸取的这三个球中所含的黑球数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，∴P（X=k）取最大值时，k的值2．故答案为：2．12. 已知实数x，y满足约束条件：，若只在点(4,3)处取得最小值，则a的取值范围是______．参考答案：【分析】由约束条件作出可行域，然后对进行分类，当时显然满足题意，当时，化目标函数为直线方程斜截式，比较其斜率与直线的斜率的大小得到的范围．【详解】由实数x，y满足约束条件：作可行域如图，联立，解得．当时，目标函数化为，由图可知，可行解使取得最大值，符合题意；当时，由，得，此直线斜率大于0，当轴上截距最大时最大，可行解为使目标函数的最优解，符合题意；当时，由，得，此直线斜率为负值，要使可行解为使目标函数取得最大值的唯一的最优解，则，即．综上，实数的取值范围是，故答案为．【点睛】本题考查线性规划问题，考查了分类讨论的数学思想方法和数形结合的解题思想方法，解答的关键是化目标函数为直线方程斜截式，由直线在轴上的截距分析的取值情况，是中档题．13. 已知函数，当时，函数的最大值为_______ .参考答案：【分析】对函数进行求导，判断单调性，求出函数的最大值。
山西省运城市康杰中学2020年高考数学模拟试题(1)理(含解析)
2020年山西省运城市康杰中学高考数学模拟试卷（理科）（1）一、选择题（5×12=60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号）1．设全集U=R，集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x＜1}，则集合（∁U A）∩B=（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0] C．（2，+∞）D．[2，+∞）2．已知复数Z的共轭复数=，则复数Z的虚部是（）A． B． i C．﹣D．﹣ i3．命题“∃x0≤0，使得x02≥0”的否定是（）A．∀x≤0，x2＜0 B．∀x≤0，x2≥0 C．∃x0＞0，x02＞0 D．∃x0＜0，x02≤04．已知直线l经过圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心，且坐标原点到直线l的距离为，则直线l的方程为（）A．x+2y+5=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+3=05．五个人坐成一排，甲要和乙坐在一起，乙不和丙坐在一起，则不同排法数为（）A．12 B．24 C．36 D．486．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（）A． B． C．6 D．77．已知公差不为0的等差数列{a n}，它的前n项和是S n，，a3=5，则取最小值时n=（）A．6 B．7 C．8 D．98．已知，则y=f（x）的对称轴为（）A． B． C． D．9．算法如图，若输入m=210，n=119，则输出的n为（）A．2 B．3 C．7 D．1110．设实数x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的x≥0，y≥0最大值为12，则的最小值为（）A． B． C． D．411．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2的直线交双曲线右支于A、B两点，连结AF1、BF1，若|AB|=|BF1|且，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．12．已知定义在R上的函数f（x），其导函数为f'（x），若f'（x）﹣f（x）＜﹣2，f（0）=3，则不等式f（x）＞e x+2的解集是（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣∞，0）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知，是夹角为的两个单位向量， =﹣2， =k+，若•=0，则实数k的值为．14．已知的展开式中，x3项的系数是a，则= ．15．函数f（x）=，若方程f（x）=mx﹣恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．16．已知等边三角形ABC的边长为，M，N分别为AB，AC的中点，沿MN将△ABC折成直二面角，则四棱锥A﹣MNCB的外接球的表面积为．三、解答题（本大题共5小题，满分60分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，．（1）求证：；（2）若a=2，求△ABC的面积．18．康杰中学高三数学学习小组开展“学生语文成绩与外语成绩的关系”的课题研究，在全市高三年级学生中随机抽取100名同学的上学期期末语文和外语成绩，按优秀和不优秀分类得结果：语文和外语都优秀的有16人，语文成绩优秀但外语不优秀的有14人，外语成绩优秀但语文不优秀的有10人．（1）根据以上信息，完成下面2×2列联表：语文优秀语文不优秀总计外语优秀16 10外语不优秀14总计（2）能否判定在犯错误概率不超过0.001的前提下认为全市高三年级学生的“语文成绩与外语成绩有关系”？（3）将上述调查所得到的频率视为概率，从全市高三年级学生成绩中，随机抽取3名学生的成绩，记抽取的3名学生成绩中语文、外语两科成绩至少有一科优秀的个数为X，求X的分布列和期望E（X）．p（K2≥k0）0.010 0.005 0.001k0 6.635 7.879 10.828附：其中：n=a+b+c+d．19．如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE﹣BCF和一个正四棱锥P﹣ABCD组合而成，AD⊥AF，AE=AD=2．（1）证明：平面PAD⊥平面ABFE；（2）求正四棱锥P﹣ABCD的高h，使得二面角C﹣AF﹣P的余弦值是．20．已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x+y+1=0与以椭圆C的上焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆C的方程；（2）设P为椭圆C上一点，若过点M（0，2）的直线l与椭圆C相交于不同的两点S和T，满足（O为坐标原点），求实数t的取值范围．21．已知函数f（x）=x2﹣ax（a≠0），g（x）=lnx，f（x）的图象在它与x轴异于原点的交点M处的切线为l1，g（x﹣1）的图象在它与x轴的交点N处的切线为l2，且l1与l2平行．（1）求a的值；（2）已知t∈R，求函数y=f（xg（x）+t）在x∈[1，e]上的最小值h（t）；（3）令F（x）=g（x）+g′（x），给定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，对于两个大于1的正数α，β，存在实数m满足：α=mx1+（1﹣m）x2，β=（1﹣m）x1+mx2，并且使得不等式|F（α）﹣F（β）|＜|F（x1）﹣F（x2）|恒成立，求实数m的取值范围．．[选修4-4坐标系与参数方程]22．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（ϕ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为．（Ⅰ）求点P的直角坐标，并求曲线C的普通方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C的两个交点为A，B，求|PA|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣a|（1）当a=2时，解不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|；（2）若f（x）≤1的解集为[0，2]， +=a（m＞0，n＞0）求证：m+2n≥4．2020年山西省运城市康杰中学高考数学模拟试卷（理科）（1）参考答案与试题解析一、选择题（5×12=60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号）1．设全集U=R，集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x＜1}，则集合（∁U A）∩B=（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0] C．（2，+∞）D．[2，+∞）【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据全集U=R求出A的补集，再求A的补集与B的交集即可．【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|0＜x＜2}=（0，2），B={x|x＜1}=（﹣∞，1），∴∁U A=（﹣∞，0]∪[2，+∞）；∴（∁U A）∩B=（﹣∞，0]．故选：B．2．已知复数Z的共轭复数=，则复数Z的虚部是（）A． B． i C．﹣D．﹣ i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A2：复数的基本概念．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求得Z后得答案．【解答】解：由==，得，∴复数Z的虚部是．故选：A．3．命题“∃x0≤0，使得x02≥0”的否定是（）A．∀x≤0，x2＜0 B．∀x≤0，x2≥0 C．∃x0＞0，x02＞0 D．∃x0＜0，x02≤0【考点】2J：命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0≤0，使得x02≥0”的否定是∀x≤0，x2＜0．故选：A．4．已知直线l经过圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心，且坐标原点到直线l的距离为，则直线l的方程为（）A．x+2y+5=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+3=0【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】求出圆C的圆心C（1，2），设直线l的方程为y=k（x﹣1）+2，由坐标原点到直线l的距离为，求出直线的斜率，由此能求出直线l的方程．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心C（1，2），∵直线l经过圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心，且坐标原点到直线l的距离为，∴当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，此时坐标原点到直线l的距离为1，不成立；当直线l的斜率存在时，直线l的方程为y=k（x﹣1）+2，且=，解得k=﹣，∴直线l的方程为y=﹣（x﹣1）+2，即x+2y﹣5=0．故选：C．5．五个人坐成一排，甲要和乙坐在一起，乙不和丙坐在一起，则不同排法数为（）A．12 B．24 C．36 D．48【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，用间接法分析：首先计算甲和乙坐在一起排法数目，再计算其中甲乙相邻且乙和丙坐在一起的排法数目，结合题意，用“甲和乙坐在一起排法数目”减去“甲乙相邻且乙和丙坐在一起”的排法数目即可得答案．【解答】解：根据题意，甲乙必须相邻，将甲乙看成一个元素，考虑其顺序，有A22=2种情况，将甲乙与剩余的3个人进行全排列，有A44=24种情况，则甲和乙坐在一起有2×24=48种不同的排法，其中，如果乙和丙坐在一起，则必须是乙在中间，甲和丙在乙的两边，将3个人看成一个元素，考虑其顺序，有A22=2种情况，将甲乙丙与剩余的2个人进行全排列，有A33=6种情况，则甲乙相邻且乙和丙坐在一起的排法有2×6=12种；故甲要和乙坐在一起，乙不和丙坐在一起排法有48﹣12=36种；故选C．6．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（）A． B． C．6 D．7【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】判断几何体的形状，结合三视图的数据，求出几何体的体积．【解答】解：由三视图可知，该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，如图，正方体棱长为2，正三棱锥侧棱互相垂直，侧棱长为1，故几何体的体积为：V正方体﹣2V棱锥侧=．故选：A．7．已知公差不为0的等差数列{a n}，它的前n项和是S n，，a3=5，则取最小值时n=（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出首项和公差，从而求出a n，S n，利用基本不等式能求出取最小值时n的值．【解答】解：∵公差不为0的等差数列{a n}，它的前n项和是S n，，a3=5，∴a3=a1+2d=5，且（a1+d）2=a1（a1+4d），由d≠0，解得a1=1，d=2，∴a n=2n﹣1，∴，∴，∴当n=7的取等号，故选：B．8．已知，则y=f（x）的对称轴为（）A． B． C． D．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【分析】化简函数f（x）的解析式，求出函数的对称轴即可．【解答】解：，∴对称轴方程为，∴x=﹣，令k=1，得x=，故选：B．9．算法如图，若输入m=210，n=119，则输出的n为（）A．2 B．3 C．7 D．11【考点】EF：程序框图．【分析】算法的功能辗转相除法求m、n的最大公约数，利用辗转相除法求出m、n的最大公约数可得答案．【解答】解：由程序框图知：算法的功能利用辗转相除法求m、n的最大公约数，当输入m=210，n=119，则210=119+91；119=91+28；91=3×28+7，；28=4×7+0．∴输出n=7．故选：C．10．设实数x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的x≥0，y≥0最大值为12，则的最小值为（）A． B． C． D．4【考点】7C：简单线性规划．【分析】利用线性规划的知识求出则Z max在点D处取得最大值，由此得出a、b的关系式，再利用基本不等式求的最小值．【解答】解：约束条件表示的平面区域如图所示；由，解得D（4，6），目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则Z max在点D处取得最大值；即4a+6b=12，所以2a+3b=6，所以，当且仅当a=b=时取“=”．故选：A．11．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2的直线交双曲线右支于A、B两点，连结AF1、BF1，若|AB|=|BF1|且，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】运用双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a，|BF1|﹣|BF2|=2a，结合等腰直角三角形可得|AF1|=4a，设|BF1|=x，运用勾股定理，可得a，c的关系，由离心率公式即可得到所求．【解答】解：由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a，|BF1|﹣|BF2|=2a，相加可得|AF1|+|BF1|﹣|AB|=4a，|AB|=|BF1|且，∴|AF1|=4a，设|BF1|=x，则，，又∵，即有8a2+（2a﹣2a）2=4c2，化简可得（5﹣2）a2=c2，即有e==．故选：B．12．已知定义在R上的函数f（x），其导函数为f'（x），若f'（x）﹣f（x）＜﹣2，f（0）=3，则不等式f（x）＞e x+2的解集是（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣∞，0）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】问题转化为，令，根据函数的单调性求出不等式的解集即可．【解答】解：f（x）＞e x+2转化为：，令，则，∴g（x）在R上单调递减，又∵∴g（x）＞0的解集为（﹣∞，0），故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知，是夹角为的两个单位向量， =﹣2， =k+，若•=0，则实数k的值为．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】利用向量的数量积公式求出；利用向量的运算律求出，列出方程求出k．【解答】解：∵是夹角为的两个单位向量∴∴==∵∴解得故答案为：14．已知的展开式中，x3项的系数是a，则= ．【考点】67：定积分；DB：二项式系数的性质．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得展开式中的含x3项的系数a的值，再求定积分，可得要求式子的值．【解答】解：的展开式的通项公式为T r+1=C5r（）r x5﹣2r，令5﹣2r=3则r=1∴x3的系数为，∴dx=lnx|=ln，故答案为：ln15．函数f（x）=，若方程f（x）=mx﹣恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（，）．【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【分析】方程f（x）=mx﹣恰有四个不相等的实数根可化为函数f（x）=与函数y=mx﹣有四个不同的交点，作函数f（x）=与函数y=mx﹣的图象，由数形结合求解．【解答】解：方程f（x）=mx﹣恰有四个不相等的实数根可化为函数f（x）=与函数y=mx﹣有四个不同的交点，作函数f（x）=与函数y=mx﹣的图象如下，由题意，C（0，﹣），B（1，0）；故k BC =，当x＞1时，f（x）=lnx，f′（x）=；设切点A的坐标为（x1，lnx1），则=；解得，x1=；故k AC =；结合图象可得，实数m的取值范围是（，）．故答案为：（，）．16．已知等边三角形ABC的边长为，M，N分别为AB，AC的中点，沿MN将△ABC折成直二面角，则四棱锥A﹣MNCB的外接球的表面积为52π．【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】折叠为空间立体图形，得出四棱锥A﹣MNCB的外接球的球心，利用平面问题求解得出四棱锥A﹣MNCB的外接球半径R，则R2=AF2+OF2=13，求解即可．【解答】解：由，取BC的中点E，则E是等腰梯形MNCB外接圆圆心．F是△AMN外心，作OE⊥平面MNCB，OF⊥平面AMN，则O是四棱锥A﹣MNCB的外接球的球心，且OF=DE=3，AF=2．设四棱锥A﹣MNCB的外接球半径R，则R2=AF2+OF2=13，所以表面积是52π．故答案为：52π．三、解答题（本大题共5小题，满分60分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，．（1）求证：；（2）若a=2，求△ABC的面积．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）由正弦定理得：sinBcosC﹣sinCsinB=1，从而sin（B﹣C）=1，由此能证明．（2）由，得，，由，a=2，利用正弦定理求出b，c，由此能求出三角形△ABC的面积．【解答】证明：（1）由及正弦定理得：…整理得：sinBcosC﹣sinCsinB=1，所以sin（B﹣C）=1，又…所以…解：（2）由（1）及，得，，又因为，a=2…所以，，…所以三角形△ABC的面积…18．康杰中学高三数学学习小组开展“学生语文成绩与外语成绩的关系”的课题研究，在全市高三年级学生中随机抽取100名同学的上学期期末语文和外语成绩，按优秀和不优秀分类得结果：语文和外语都优秀的有16人，语文成绩优秀但外语不优秀的有14人，外语成绩优秀但语文不优秀的有10人．（1）根据以上信息，完成下面2×2列联表：语文优秀语文不优秀总计外语优秀16 10外语不优秀14总计（2）能否判定在犯错误概率不超过0.001的前提下认为全市高三年级学生的“语文成绩与外语成绩有关系”？（3）将上述调查所得到的频率视为概率，从全市高三年级学生成绩中，随机抽取3名学生的成绩，记抽取的3名学生成绩中语文、外语两科成绩至少有一科优秀的个数为X，求X的分布列和期望E（X）．p（K2≥k0）0.010 0.005 0.001k0 6.635 7.879 10.828附：其中：n=a+b+c+d．【考点】BO：独立性检验的应用；CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）由题意填写列联表即可；（2）计算观测值，对照临界值即可得出结论；（3）根据题意知随机变量X～B（3，），计算对应的概率，写出X的分布列，求出数学期望值．【解答】解：（1）由题意得列联表：语文优秀语文不优秀总计外语优秀16 10 26外语不优秀14 60 74总计30 70 100…（2）因为，所以能在犯错概率不超过0.001的前提下，认为全市高三年级学生“语文成绩与外语成绩有关系”；…（3）由已知数据，语文、外语两科成绩至少一科为优秀的概率是，…则X～B（3，），；…X的分布列为X 0 1 2 3P…数学期望为．…19．如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE﹣BCF和一个正四棱锥P﹣ABCD组合而成，AD⊥AF，AE=AD=2．（1）证明：平面PAD⊥平面ABFE；（2）求正四棱锥P﹣ABCD的高h，使得二面角C﹣AF﹣P的余弦值是．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明：AD⊥平面ABFE，即可证明平面PAD⊥平面ABFE；（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法建立方程关系即可求正四棱锥P﹣ABCD的高．【解答】（Ⅰ）证明：直三棱柱ADE﹣BCF中，AB⊥平面ADE，所以：AB⊥AD，又AD⊥AF，所以：AD⊥平面ABFE，AD⊂平面PAD，所以：平面PAD⊥平面ABFE…．（Ⅱ）∵AD⊥平面ABFE，∴建立以A为坐标原点，AB，AE，AD分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：设正四棱锥P﹣ABCD的高为h，AE=AD=2，则A（0，0，0），F（2，2，0），C（2，0，2），=（2，2，0），=（2，0，2），=（1，﹣h，1），=（x，y，z）是平面AFC的法向量，则，令x=1，则y=z=﹣1，即=（1，﹣1，﹣1），设=（x，y，z）是平面ACP的法向量，则，令x=1，则y=﹣1，z=﹣1﹣h，即=（1，﹣1，﹣1﹣h），∵二面角C﹣AF﹣P的余弦值是．∴cos＜，＞===．得h=1或h=﹣（舍）则正四棱锥P﹣ABCD的高h=1．20．已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x+y+1=0与以椭圆C的上焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆C的方程；（2）设P为椭圆C上一点，若过点M（0，2）的直线l与椭圆C相交于不同的两点S和T，满足（O为坐标原点），求实数t的取值范围．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）圆心到直线x+y+1=0的距离，由椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，知b=c，由此能求出椭圆方程．（2）当直线l的斜率不存在时，可得t=0；当直线l的斜率存在时，t≠0，设直线l方程为y=kx+2，设P（x0，y0），将直线方程代入椭圆方程得：（k2+2）x2+4kx+2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量知识，结合已知条件能求出实数t的取值范围．【解答】解：（1）由题意，以椭圆C的上焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为x2+（y﹣c）2=a2，∴圆心到直线x+y+1=0的距离∵椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，∴b=c，，代入得b=c=1，∴，故所求椭圆方程为…（2）当直线l的斜率不存在时，可得t=0，适合题意．…当直线l的斜率存在时，t≠0，设直线l方程为y=kx+2，设P（x0，y0），将直线方程代入椭圆方程得：（k2+2）x2+4kx+2=0，…∴△=16k2﹣8（k2+2）=8k2﹣16＞0，∴k2＞2．设S（x1，y1），T（x2，y2），则，…由，当t≠0，得…整理得：，由k2＞2知，0＜t2＜4，…所以t∈（﹣2，0）∪（0，2），…综上可得t∈（﹣2，2）．…21．已知函数f（x）=x2﹣ax（a≠0），g（x）=lnx，f（x）的图象在它与x轴异于原点的交点M处的切线为l1，g（x﹣1）的图象在它与x轴的交点N处的切线为l2，且l1与l2平行．（1）求a的值；（2）已知t∈R，求函数y=f（xg（x）+t）在x∈[1，e]上的最小值h（t）；（3）令F（x）=g（x）+g′（x），给定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，对于两个大于1的正数α，β，存在实数m满足：α=mx1+（1﹣m）x2，β=（1﹣m）x1+mx2，并且使得不等式|F（α）﹣F（β）|＜|F（x1）﹣F（x2）|恒成立，求实数m的取值范围．．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）利用导数的几何意义，分别求两函数在与两坐标轴的交点处的切线斜率，令其相等解方程即可得a值；（2）令u=xlnx，再研究二次函数u2+（2t﹣1）u+t2﹣t图象是对称轴u=，开口向上的抛物线，结合其性质求出最值；（3）先由题意得到F（x）=g（x）+g′（x）=lnx+，再利用导数工具研究所以F（x）在区间（1，+∞）上单调递增，得到当x≥1时，F（x）≥F（1）＞0，下面对m进行分类讨论：①当m∈（0，1）时，②当m≤0时，③当m≥1时，结合不等式的性质即可求出a的取值范围．【解答】解：（1）y=f（x）图象与x轴异于原点的交点M（a，0），f′（x）=2x﹣a，y=g（x﹣1）=ln（x﹣1）图象与x轴的交点N（2，0），g′（x﹣1）=由题意可得k l1=k l2，即a=1；（2）y=f[xg（x）+t]=[xlnx+t]2﹣（xlnx+t）=（xlnx）2+（2t﹣1）（xlnx）+t2﹣t，令u=xlnx，在 x∈[1，e]时，u′=lnx+1＞0，∴u=xlnx在[1，e]单调递增，0≤u≤e，u2+（2t﹣1）u+t2﹣t图象的对称轴u=，抛物线开口向上，①当u=≤0，即t≥时，y最小=t2﹣t，②当u=≥e，即t≤时，y最小=e2+（2t﹣1）e+t2﹣t，③当0＜＜e，即＜t＜时，y最小=y|u==﹣；（3）F（x）=g（x）+g′（x）=lnx+，F′（x）=≥0，所以F（x）在区间（1，+∞）上单调递增，∴当x≥1时，F（x）≥F（1）＞0，①当m∈（0，1）时，有，α=mx1+（1﹣m）x2＞mx1+（1﹣m）x1=x1，α=mx1+（1﹣m）x2＜mx2+（1﹣m）x2=x2，得α∈（x1，x2），同理β∈（x1，x2），∴由f（x）的单调性知 0＜F（x1）＜F（α）、f（β）＜f（x2），从而有|F（α）﹣F（β）|＜|F（x1）﹣F（x2）|，符合题设．②当m≤0时，α=mx1+（1﹣m）x2≥mx2+（1﹣m）x2=x2，β=mx2+（1﹣m）x1≤mx1+（1﹣m）x1=x1，由f（x）的单调性知，F（β）≤F（x1）＜f（x2）≤F（α），∴|F（α）﹣F（β）|≥|F（x1）﹣F（x2）|，与题设不符，③当m≥1时，同理可得α≤x1，β≥x2，得|F（α）﹣F（β）|≥|F（x1）﹣F（x2）|，与题设不符，∴综合①、②、③得 m∈（0，1）．[选修4-4坐标系与参数方程]22．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（ϕ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为．（Ⅰ）求点P的直角坐标，并求曲线C的普通方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C的两个交点为A，B，求|PA|+|PB|的值．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）消参数即可得到普通方程，根据极坐标的几何意义即可得出P的直角坐标；（II）将l的参数方程代入曲线C的普通方程得出A，B对应的参数，利用参数得几何意义得出|PA|+|PB|．【解答】解：（Ⅰ），y=sin=，∴P的直角坐标为；由得cosφ=，sinφ=．∴曲线C的普通方程为．（Ⅱ）将代入得t2+2t﹣8=0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=﹣2，t1t2=﹣8，∵P点在直线l上，∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|==6．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣a|（1）当a=2时，解不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|；（2）若f（x）≤1的解集为[0，2]， +=a（m＞0，n＞0）求证：m+2n≥4．【考点】R6：不等式的证明；R5：绝对值不等式的解法．【分析】对第（1）问，将a=2代入函数的解析式中，利用分段讨论法解绝对值不等式即可；对第（2）问，先由已知解集{x|0≤x≤2}确定a值，再将“m+2n”改写为“（m+2n）（+）”，展开后利用基本不等式可完成证明．【解答】解：（1）当a=2时，不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|即为|x﹣2|≥4﹣|x﹣1|，①当x≤1时，原不等式化为2﹣x≥4+（x﹣1），得x≤﹣，故x≤﹣；②当1＜x＜2时，原不等式化为2﹣x≥4﹣（x﹣1），得2≥5，故1＜x＜2不是原不等式的解；③当x≥2时，原不等式化为x﹣2≥4﹣（x﹣1），得x≥，故x≥．综合①、②、③知，原不等式的解集为（﹣∞，﹣）∪[，+∞）．（2）证明：由f（x）≤1得|x﹣a|≤1，从而﹣1+a≤x≤1+a，∵f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，∴∴得a=1，∴ +=a=1．又m＞0，n＞0，∴m+2n=（m+2n）（+）=2+（+）≥2+2=4，当且仅当=即m=2n时及m=2，n=1时，等号成立，m+2n=4，故m+2n≥4，得证．。
山西省运城市三焦中学2020年高三数学理模拟试题含解析
山西省运城市三焦中学2020年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设集合，则是成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：C2.已知f(x)= x,过点A(1,m)(m≠-2)可作曲线y=f(x)的三条切线,则m的取值范围是( )A. (-1,1)B. (-2,3) (C) (-1,-2) (D) (-3,-2)参考答案：答案： D3. 已知向量，若为实数，∥，则=A．2 B．1 C．D．参考答案：C略4. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（A）（B）（C）（D）参考答案：B5. 已知函数的零点为, 则所在区间为（）A． B． C． D．参考答案：C6. 已知实数，满足，则使不等式恒成立的实数的取值集合是（）A．B． C. D．参考答案：A7. 设，则的大小关系是（）A． B． C． D．参考答案：C8. 在长方体中，，点是的中点，那么异面直线与所成角余弦值为（）（A）（B）（C）（D）参考答案：D9. 函数f(x)＝a| x－b |＋2在[0, ＋∞)上为增函数，的充分必要条件是（）A．a＝1且b＝0 B．a＜0且b＞0 C．a＞0且b≤0 D．a＞0且b<0参考答案：C10. 已知数列{a n}是等差数列，a1=cot585°，a6=11a1，设S n为数列{（﹣1）n a n}的前n项和，则S2017=（）A．3022 B．﹣3022 C．2017 D．﹣2017参考答案：D【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式可得a n，计算a2n﹣a2n+1，利用分组求和即可得出．【解答】解：a1=cot585°=cot45°=1，∵a6=11a1，∴1+5d=11，解得d=2．∴a n=1=2（n﹣1）=2n﹣1．∴a2n﹣a2n+1=4n﹣1﹣（4n+1）=﹣2．则S2017=﹣a1+（a2﹣a3）+…+（a2016﹣a2017）=﹣2017．故选：D．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与性质、分组求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设向量，，，若，则实数．参考答案：3 12.方程的解是．参考答案：13. 已知命题p:.若命题且是真命题,则实数的取值范围为．参考答案：14. 已知，则参考答案：15. 在的展开式中，含的项的系数是___．参考答案：1516. 设，，则的最小值是______.参考答案：【分析】由题得不能同时为零，当时，先令，原式=，再，原式=，再利用导数求最小值得解.【详解】由题得不能同时为零，当时，原式=1,当时，可令，原式=，令，原式=，当且仅当时取等.设，所以，所以函数在单调递增，在单调递减，所以，所以原式≥.(当且仅当x=1时取等)所以最小值是.故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.17. 已知如图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆为600颗，则可以估计阴影部分的面积约为。
2020年山西省运城市高考数学一模试卷(理科)
2020年山西省运城市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知集合1{|0}2x A x x -=<+，{1B =-，0，1}，则A B 等于( )A ．{|11}x x -<<B ．{1-，0，1}C ．{1-，0}D ．{0，1}2．（5分）复数12z i =+，若复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，则12z z 等于( )A ．345i+-B ．345i+ C ．34i -+ D ．345i-+ 3．（5分）已知tan 3α=，则2cos sin 2(αα+= ) A ．7210B ．710C ．7210-D ．710-4．（5分）函数2||()||ln x f x x x=-的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．5．（5分）已知平面向量a ，b 满足1||3a =，||1b =，且|2|||a b a b +=+，则a 与b 的夹角为( )A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 6．（5分）公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍．当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟先他10米，当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟先他1米，⋯⋯，所以，阿基里斯永远追不上乌龟．按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.1米时，乌龟爬行的总距离为( )A ．5101900-米B ．510990-米C ．4109900-米D ．410190-米7．（5分）某位教师2017年的家庭总收入为80000元，各种用途占比统计如下面的折线图.2018年家庭总收入的各种用途占比统计如下面的条形图，已知2018年的就医费用比2017年的就医费用增加了4750元，则该教师2018年的旅行费用为( )A ．21250元B ．28000元C ．29750元D ．85000元8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为( )A ．4B ．23C ．22D ．259．（5分）已知函数()2sin()(0f x x ωϕω=+>，0)ϕπ<<，()28f π=()02f π=且()f x 在(0,)π上是单调函数，则下列说法正确的是( ) A ．12ω=B ．62()8f π+-=C ．函数()f x 在[π-，]2π-上单调递减D ．函数()f x 的图象关于点5(4π，0)对称 10．（5分）已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且1223F PF π∠=，设椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则1e ，2e 的关系为( )A ．2212314e e += B ．221241433e e +=C ．2212134e e += D ．221234e e += 11．（5分）一个正四棱锥形骨架的底边边长为2锥的每个边都相切，则该球的表面积为( ) A．B ．4πC．D ．3π12．（5分）设()f x '是函数()(0)f x x >的导函数，且满足2()()f x f x x'>，若在ABC ∆中，34A π∠=，则( ) A ．22(sin )sin (sin )sin f A B f B A < B ．22(sin )sin (sin )sin f C B f B C < C ．22(cos )sin (sin )cos f A B f B A >D ．22(cos )sin (sin )cos f C B f B C >二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上） 13．（5分）已知(1)n x +的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则n = ． 14．（5分）设x ，y 满足约束条件3036x yx y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为 ．15．（5分）已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，直线l 与抛物线C 相切于M 点，N 是l 上一点（不与M 重合），若以线段MN 为直径的圆恰好经过F ，则点N 到抛物线顶点O 的距离||ON 的最小值是 ．16．（5分）已知ABC ∆中，AB BC =，点D 是边BC 的中点，ABC ∆的面积为2，则线段AD 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =-，0(2)n a n >，21916n n a n S +--=，*n N ∈，各项均为正数的等比数列{}n b 满足12b a =，34b a =． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若12n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．18．在创建“全国文明卫生城”过程中，运城市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次），通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示：．（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分(,198)Z N μ-，μ近似为这100人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），利用该正态分布，求(38.280.2)P Z <；（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： ①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费； ②每次获赠的随机话费和对应的概率为：现有市民甲参加此次问卷调查，记X （单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X 的分布列与数学期望．附：参考数据与公式：14，若2~(,)X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<+=；(22)0.9544P X μσμσ-<+=，(33)0.9974P X μσμσ-<+=．19．已知椭圆2222:1(0,0)y x C a b a b +=>>的长轴长为4，离心率e =．（1）求椭圆C 的方程；（2）设A ，B 分别为椭圆与x 轴正半轴和y 轴正半轴的交点，P 是椭圆C 上在第一象限的一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，问PMN ∆与PAB ∆面积之差是否为定值？说明理由．20．已知函数2()cos ()f x ax x a R =+∈． （1）当12a =时，证明()0f x '，在[0，)+∞恒成立； （2）若()f x 在0x =处取得极大值，求a 的取值范围．21．如图1，ADC ∆与ABC ∆是处在同一个平面内的两个全等的直角三角形，30ACB ACD ∠=∠=︒，90ABC ADC ∠=∠=︒，2AB =，连接是BD 、E 边BC 上一点，过E作//EF BD ，交CD 于点F ，沿EF 将CEF ∆向上翻折，得到如图2所示的六面体P ABEFD -．（1）求证：BD AP ⊥；（2）设()BE EC R λλ=∈，若平面PEF ⊥底面ABEFD ，若平面PAB 与平面PDF 所成角的5，求λ的值； （3）若平面PEF ⊥底面ABEFD ，求六面体P ABEFD -的体积的最大值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）曲线1C 的参数方程为1cos ,2(11sin 22x y ϕϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数），在以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为2cos 3sin ρθθ=． （Ⅰ）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线:l y kx =与曲线1C ，2C 的交点分别为A ，(B A ，B 异于原点），当斜率3[3]k ∈时，求1||||OA OB+的最小值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()2|1|||(0)f x x x m m =+-->． （1）当2m =时，求不等式()1f x 的解集；（2）()()2g x f x =-，()g x 的图象与两坐标轴的交点分别为A ，B ，C ，若三角形ABC 的面积大于12，求参数m 的取值范围．2020年山西省运城市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知集合1{|0}2x A x x -=<+，{1B =-，0，1}，则A B 等于( )A ．{|11}x x -<<B ．{1-，0，1}C ．{1-，0}D ．{0，1}【解答】解：{|21}A x x =-<<，{1B =-，0，1}，{1AB ∴=-，0}．故选：C ．2．（5分）复数12z i =+，若复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，则12z z 等于( )A ．345i+-B ．345i+ C ．34i -+ D ．345i-+ 【解答】解：12z i =+，且复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称， 22z i ∴=-+，则122(2)(2)342(2)(2)55z i i i i z i i i ++--===---+-+--． 故选：A ．3．（5分）已知tan 3α=，则2cos sin 2(αα+= ) AB ．710C．D ．710-【解答】解：tan 3α=，2222222sin cos 12tan 1237cos sin 211310cos sin cos tan ααααααααα+++⨯∴+====+++，故选：B ．4．（5分）函数2||()||ln x f x x x =-的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：因为()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，排除C 和D ．当0x >时，2()lnxf x x x =-，3321()x lnx f x x +-'=，令()0f x '<，得01x <<；令()0f x '>，得1x >．所以()f x 在1x =处取得极小值，排除B ， 故选：A ．5．（5分）已知平面向量a ，b 满足1||3a =，||1b =，且|2|||a b a b +=+，则a 与b 的夹角为( )A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【解答】解：平面向量a ，b 满足1||||13a b ==，||1a ∴=，||3b =． |2|||a b a b +=+，222442a a b b a a b b ∴++=++，320a a b ∴+=，设a 与b 的夹角为θ，[0θ∈，]π，则3213cos 0θ+=， 求得1cos 2θ=-，23πθ∴=，故选：C ．6．（5分）公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍．当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟先他10米，当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟先他1米，⋯⋯，所以，阿基里斯永远追不上乌龟．按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.1米时，乌龟爬行的总距离为()A．5101900-米B．510990-米C．4109900-米D．410190-米【解答】解：由题意可知，乌龟每次爬行的距离构成等比数列{}na，且1100a=，110q=，0.1na=，∴乌龟爬行的总距离为4111000.1101101190110nna a qSq-⨯--===--，故选：D．7．（5分）某位教师2017年的家庭总收入为80000元，各种用途占比统计如下面的折线图.2018年家庭总收入的各种用途占比统计如下面的条形图，已知2018年的就医费用比2017年的就医费用增加了4750元，则该教师2018年的旅行费用为()A．21250元B．28000元C．29750元D．85000元【解答】解：设教师2018年家庭总收入为n，则15%8000010%4750n⨯-⨯=，解得85000n=，则该教师2018年的旅行费用为8500035%29750⨯=，故选：C．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为() A．4B．23C．22D．25【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 如图所示：最长的棱长为222222AB =+． 故选：C ．9．（5分）已知函数()2sin()(0f x x ωϕω=+>，0)ϕπ<<，()28f π=()02f π=且()f x 在(0,)π上是单调函数，则下列说法正确的是( ) A ．12ω=B ．62()8f π+-=C ．函数()f x 在[π-，]2π-上单调递减D ．函数()f x 的图象关于点5(4π，0)对称 【解答】解：因为()f x 在(0,)π上是单调函数，所以周期大于2π，()28f π∴=()02f π=对应的点在一个周期内，且相差8T． ∴38288T πππ=-=，3T π∴=，∴23ω=．故A 错误． ∴2()2sin()3f x x ϕ=+，由()02f π=得22,32k k Z πϕππ⨯+=+∈． 0ϕπ<<，0k ∴=时，23πϕ=．∴22()2sin()33f x x π=+． 762()2sin 2sin()81243f ππππ+-==+，故B 正确． 当[x π∈-，]2π-时，22[0,]333x ππ+∈，这是sin y x =的增区间．故原区间是原函数的增区间．故C 错误． 因为53()2sin 2042f ππ==-≠，故D 错误． 故选：B ．10．（5分）已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且1223F PF π∠=，设椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则1e ，2e 的关系为( ) A ．2212314e e += B ．221241433e e +=C ．2212134e e += D ．221234e e += 【解答】解：如图，设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的半实轴长为2a ，则根据椭圆及双曲线的定义：121122||||2||||2PF PF a PF PF a +=⎧⎨-=⎩，解得112||PF a a =+，212||PF a a =-， 设12||2F F c =，1223F PF π∠=，则： 在△12PF F 中由余弦定理得，2221212121224()()2()()cos 3c a a a a a a a a π=++--+-， 化简得：2221234a a c +=，该式可变成：22122234a a c c+=．∴2212314e e +=． 故选：A ．11．（5分）一个正四棱锥形骨架的底边边长为22锥的每个边都相切，则该球的表面积为( ) A ．43πB ．4πC ．42πD ．3π【解答】解：过P 作PO ⊥面ABCD 于O ，分别取PB ，BC 的中点F ，E ，连接OF ，OE ，PE ，OB ，可得PO OE ⊥，PO OB ⊥，因为底边边长为22则1OE =，2OB PO ==，所以1OF =，所以O 为表面与这个正四棱锥的每个边都相切的球的球心，且球的半径1R =，所以球的表面积244S R ππ==． 故选：B ．12．（5分）设()f x '是函数()(0)f x x >的导函数，且满足2()()f x f x x'>，若在ABC ∆中，34A π∠=，则( ) A ．22(sin )sin (sin )sin f A B f B A < B ．22(sin )sin (sin )sin f C B f B C < C ．22(cos )sin (sin )cos f A B f B A >D ．22(cos )sin (sin )cos f C B f B C > 【解答】解：令2()()f x g x x =， 0x >，2()()f x f x x'>，()2()0xf x f x ∴'->， 则3()2()()0f x x f x g x x '-'=>，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增， 因为34A π=，所以12B C π+<，即10sin sin()cos 12B C C π<<-=<， (sin )(cos )g B g C ∴<，∴22(sin )(cos )f B f C sin B cos C<， 22(sin )cos (cos )sin f B C f C B ∴<，故选：D ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知(1)n x +的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则n =10 ． 【解答】解：已知(1)n x +的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，可得46n n C C =，可得4610n =+=．故答案为：10．14．（5分）设x ，y 满足约束条件3036x yx y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为 1- ．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由2z x y =+得2y x z =-+， 平移直线2y x z =-+，由图象可知当直线2y x z =-+经过点(1,3)A -时，直线的截距最小， 此时z 最小， 此时1231z =⨯-=-， 故答案为：1-．15．（5分）已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，直线l 与抛物线C 相切于M 点，N 是l 上一点（不与M 重合），若以线段MN 为直径的圆恰好经过F ，则点N 到抛物线顶点O 的距离||ON 的最小值是 2 ．【解答】解：设(M a ，2)a ，则22MF ak =，NF ∴的方程为2)22y x a=-，① 28y x =，∴取2y x =，得2y x'=，∴直线l 的方程为222()y a x a a-=-，② 联立①②，可得点N 在抛物线的准线2x =-上，因此，原问题转化为：准线上的动点N 到抛物线顶点的距离的最小值． 显然当N 位于(2,0)-时，||ON 有最小值为2， 故答案为：2．16．（5分）已知ABC ∆中，AB BC =，点D 是边BC 的中点，ABC ∆的面积为2，则线段AD 的取值范围是 [3,)+∞ ．【解答】解：设AB BC x ==，ABC α∠=，如图建立平面直角坐标系．则：(cos ,sin )A x x αα，(0,0)B ，(,0)2xD ．由已知得21sin 22ABC S x α∆==，24sin x α=． ∴2222(cos )2x AD x x sin αα=-+化简后并令22554cos cos 4sin y x x ααα-=-=．(0,)απ∈ ∴245cos y sin αα-'=，405y cos α'==令得，并令此时αθ=． 因为45cos y α=-在(0,)π上递增，(0,)αθ∴∈时，0y '<，函数递减，(,)αθπ∈时，0y '>，函数递增．故43,,55cos sin αθαα===即，3min y =．易知，当0x →或x π→时，y →+∞． 故23AD ，所以3AD．故AD 的取值范围是[3,)+∞．故答案为：)+∞．三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =-，0(2)n a n >，21916n n a n S +--=，*n N ∈，各项均为正数的等比数列{}n b 满足12b a =，34b a =． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若12n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【解答】解：（1）21916n n a n S +--=，*n N ∈①，2219(1)16n n a n S ++-+-∴=，*n N ∈②，由②-①可得2221119(1)1[91]6n n n n n a n a n S S a ++++-+-----==，整理得：2212169n n n a a a +++=--，即2212(3)n n a a +++=．0(2)n a n >，123n n a a ++∴+=． 所以213n n a a ++-=，又当1n =时22119116a S a --===-，0(2)n a n >，22a ∴=，212(1)3a a -=--=也适合．13n n a a +∴-=，所以数列{}n a 是以1-为首项，以3为公差的等差数列． 34n a n ∴=-．各项均为正数的等比数列{}n b 满足122b a ==，348b a ==，∴公比2q =， 2n n b ∴=．（2）由（1）知：11(34)22n n n n c a b n -==-，0123112225282(34)2n n T n -∴=-⨯+⨯+⨯+⨯+⋯+-①， 12312122252(37)2(34)2n n n T n n -=-⨯+⨯+⨯+⋯+-+-②，由①-②可得：1012312(12)123(2222)(34)213(43)212n n nn n T n n ----=-⨯++++⋯+--=-+⨯+--，(37)27n n T n ∴=-+．18．在创建“全国文明卫生城”过程中，运城市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次），通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示：．（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分(,198)Z N μ-，μ近似为这100人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），利用该正态分布，求(38.280.2)P Z <；（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： ①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费； ②每次获赠的随机话费和对应的概率为：现有市民甲参加此次问卷调查，记X （单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X 的分布列与数学期望．附：参考数据与公式：14，若2~(,)X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<+=；(22)0.9544P X μσμσ-<+=，(33)0.9974P X μσμσ-<+=．【解答】解：（1）350.02450.12550.20650.25750.24850.13950.0466.2μ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．故~(66.2,198)Z N ，易知14σ=．∴1(66.21466.214)10.6826(80.2)110.841322P Z P Z --<+-=-=-=．又1(66.221466.2214)10.9544(38.2)0.022822P Z P Z --⨯<+⨯-===．故(38.280.2)(80.2)(38.2)0.8185P Z P Z P Z <=-=． （2）由题意一位市民得分高于或低于μ的概率各为12．该市民参与活动获赠话费X 的可能取值为20，40，50，70，100． 133(20)248P X ∴==⨯=；1339(40)24432P X ==⨯⨯=；111(50)248P X ==⨯=；1313(70)224416P X ==⨯⨯⨯=；1111(100)24432P X ==⨯⨯=． 故X 的分布列为：X 20 40 50 70 100 P3893218316132所以391312040507010041.2583281632EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．故该市民参与活动获赠话费的数学期望为41.25元．19．已知椭圆2222:1(0,0)y x C a b a b +=>>的长轴长为4，离心率3e =．（1）求椭圆C 的方程；（2）设A ，B 分别为椭圆与x 轴正半轴和y 轴正半轴的交点，P 是椭圆C 上在第一象限的一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，问PMN ∆与PAB ∆面积之差是否为定值？说明理由．【解答】解：（1）由题意可得24a =，3c e a ==，222b a c =-，可得：24a =，21b =， 所以椭圆的方程为：2214y x +=；（2）由（1）可得(1,0)A ，(0,2)B ，设(,)P m n ，则2214n m +=，直线PA 的方程为：(1)1n y x m =--，令0x =，则1M n y m =--，所以||21nBM m =---，直线PB 的方程为：22n y x m -=+，令0y =，可得22N m x n -=-，所以2||12mAN n -=--221112114484414(22)()()||(|||||)||||(2)(1)2222122222222PMN PAB MPN PAN BAN PAN MAN BAN n m m n mn m n mn n m S S S S S S S S AN OM OB AN BM m n mn n m mn n m ∆∆∆∆∆∆∆-++--+--+-=---=-=-==---+====----+--+．所以PMN ∆与PAB ∆面积之差为定值2．20．已知函数2()cos ()f x ax x a R =+∈． （1）当12a =时，证明()0f x '，在[0，)+∞恒成立； （2）若()f x 在0x =处取得极大值，求a 的取值范围． 【解答】（1）证明：当12a =时，21()cos 2f x x x =+，()sin f x x x '=-， 令()sing x x x =-，则()1cos 0g x x '=-即()g x 在R 上单调递增， 所以()(0)0g x g =，故()0f x '，在[0，)+∞恒成立； （2）解：()2sin f x ax x '=-，令()2sin g x ax x =-，则()2cos g x a x '=-，①12a时，则()2cos 0g x a x '=-，所以()f x '单调递增，且(0)0f '=， 当0x >时，()0f x '>，()f x 单调递增，当0x <时，()0f x '<，()f x 单调递减，在0x =处取得极小值，不符合题意； ②当12a -时，则()2cos 0g x a x '=-，所以()f x '单调递减，且(0)0f '=， 当0x >时，()0f x '<，()f x 单调递减，当0x <时，()0f x '>，()f x 单调递增，在0x =处取得极大值，符合题意；③102a -<时，(2x π∈-，)2π时，则()2cos 0g x a x '=-，所以()f x '单调递减，且(0)0f '=，在0x =处取得极大值，符合题意； ④102a <<时，则存在1(2x π∈-，0)使得11()2cos 0g x a x '=-=，存在2(0,)2x π∈使得22()2cos 0g x a x '=-=，1(x x ∈，2)x ，()2cos 0g x a x '=-<，()f x '单调递减，(0)0f '=，在0x =处取得极大值，符合题意．综上可得：a 的取值范围是1(,)2-∞．21．如图1，ADC ∆与ABC ∆是处在同一个平面内的两个全等的直角三角形，30ACB ACD ∠=∠=︒，90ABC ADC ∠=∠=︒，2AB =，连接是BD 、E 边BC 上一点，过E作//EF BD ，交CD 于点F ，沿EF 将CEF ∆向上翻折，得到如图2所示的六面体P ABEFD -．（1）求证：BD AP ⊥；（2）设()BE EC R λλ=∈，若平面PEF ⊥底面ABEFD ，若平面PAB 与平面PDF 所成角的5，求λ的值； （3）若平面PEF ⊥底面ABEFD ，求六面体P ABEFD -的体积的最大值．【解答】解：（1）证明：不妨设EF 与AC 的交点为N ，BD 与AC 的交点为M ，由题知，CD BC =，30DCA BCA ∠=∠=︒，则有BD AC ⊥，又//BD EF ，则有EF AC ⊥，由折叠可知，PN EF ⊥，则有PN BD ⊥， 又ACPN N =，且都在平面PAN 内，BD ∴⊥平面PAN ，又AP 在平面PAN 内，BD AP ∴⊥；（2）依题意，有PN EF ⊥，平面PEF ⊥平面ABEFD ，又PN 在平面PEF 内，则有PN ⊥平面ABEFD ，PN AC ∴⊥，又由题意知，EF AC ⊥，故以N 为坐标原点，NA ，NE ，NP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知，2,23,1,3AB AD BD BC AM CM ======， 由BE EC λ=可知，2331EF PN CN λ===+， 则341333(0,0,0),(0,0,),(,0,0),(3,0),(0,(,3,0)1111N P A B F D λλλλλλλ+-++++， ∴41333(,0,),(,3,)1111AP BP λλλλλλ+=-=--++++，3333(0,,),(3,)111FP DP λλλ==-+++， 设平面PAB 与平面DFP 的法向量分别为(,,),(,,)m x y z n a b c ==， 则(41)303(1)30AP m x z BP m x y z λλλ⎧=-++=⎪⎨=--+=⎪⎩，可取(3,3,41)m λ=+， 同理可得(1,3,1)n =-，∴25|cos ,|||||||512(41)m n m n m n λ<>===++， 因为(0,1)λ∈，故14λ=； （3）设所求几何体的体积为V ，设(03)CN x x =<<，则3FN ， ∴2323(23)(3)11313133[231][(1)(3)1])12)32233x x x V x x x x x x -=+⨯+-+-=-+，∴2334)2)(2)V x x x '=-=+-， ∴当02x <<时，0V '>，当23x <<时，0V '<，()V x ∴在(0,2)单调递增，在(2,3)单调递减，∴()(2)8122)max V x V ==-+⨯=∴六面体P ABEFD -． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）曲线1C 的参数方程为1cos ,2(11sin 22x y ϕϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数），在以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为2cos 3sin ρθθ=． （Ⅰ）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线:l y kx =与曲线1C ，2C 的交点分别为A ，(B A ，B 异于原点），当斜率k ∈时，求1||||OA OB+的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）曲线1C 的参数方程为1cos ,2(11sin 22x y ϕϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数），得直角坐标方程为2211()24x y +-=，即220x y y +-=．∴曲线1C 的极坐标方程为2sin 0ρρθ-=，即sin ρθ=．曲线2C 的极坐标方程为2cos 3sin ρθθ=，即22cos 3sin ρθρθ=，∴曲线2C 的直角坐标方程为23x y =；（Ⅱ）设直线l 的倾斜角为α，则直线l 的参数方程为cos (sin x t y t ααα=⎧⎨=⎩为参数，)63ππα．把直线l 的参数方程代入220x y y +-=，得2sin 0t t α-=， 解得10t =，2sin t α=， 1||||sin OA t α∴==．把直线l 的参数方程代入23x y =，得22cos 3sin t t αα=，第21页（共21页）解得10t =，223sin t cos αα=， 223sin ||||OB t cos αα∴==． ∴2111||||sin (2sin )3sin 3sin cos OA OB ααααα+=+=+．k ∈，即tan α∈， ∴63πππ，∴13sin 2α，∴112sin 2sin sin ααα+．当且仅当12sin sin αα=，即sin α=时取等号．故1||||OA OB +． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()2|1|||(0)f x x x m m =+-->．（1）当2m =时，求不等式()1f x 的解集；（2）()()2g x f x =-，()g x 的图象与两坐标轴的交点分别为A ，B ，C ，若三角形ABC 的面积大于12，求参数m 的取值范围．【解答】解：（1）2m =时，()2|1||2|1f x x x =+--， 当1x <-，则2221x x ---+，解之得51x -<-； 当12x -<，则2221x x +-+，解之得113x-； 当2x ，则2221x x +-+，无解；综上所述1{|5}3x x -， （2）由题意知4,1()3,1,x m x g x x m x m x m x m ---<-⎧⎪=--⎨⎪+>⎩，所以()g x 的图象与坐标轴交点为(4,0)A m --，(0,)B m -，(3m C ，0)， 则面积为12[(4)]||(3)233m S m m m m =----=+， 令12S >，解之得3m >或6m <-（舍)，故3m >．。