离散数学(01)
自考离散数学课件
离散概率论在统计学中的应用
离散概率论在统计学中用于描述和分 析离散随机事件。例如，在调查研究 时，离散概率论可以用于估计样本大 小、计算抽样误差和置信区间等。
自考离散数学课件
目录
CONTENTS
• 离散数学简介 • 集合论基础 • 图论基础 • 离散概率论基础 • 组合数学基础 • 离散概率论的应用
01 离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学 研究，最初是为了解决当时的一些实 际问题而发展起来的。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、 图、树等）的数学分支，它不涉及连 续的量或函数，而是专注于研究离散 结构及其性质。
离散概率论在统计学中还用于构建和 检验离散随机变量的统计模型。这些 模型可以帮助我们理解和预测离散随 机变量的分布和性质。
离散概率论在决策理论中的应用
离散概率论在决策理论中用于评估不 确定环境下的决策效果。通过离散概 率模型，可以计算期望效用和期望收 益，从而帮助决策者做出最优决策。
离散概率论在决策理论中还用于风险 评估和管理。通过离散概率模型，可 以评估风险的大小和性质，并制定相 应的风险管理策略。
集合的运算和性质
总结词
集合的运算包括并集、交集、差集等，这些运算具有一些重要的性质，如交换律、结合律等。
详细描述
集合的运算包括并集、交集、差集等，这些运算具有一些重要的性质，如交换律、结合律等。交换律指的是集合 的并集和交集运算满足交换性；结合律指的是集合的并集和交集运算满足结合性。这些性质在离散数学的后续内 容中有着广泛的应用。
离散数学题库
常熟理工学院20 ～20 学年第学期《离散数学》考试试卷（试卷库01卷）试题总分： 100 分考试时限：120 分钟题号一二三四五总分阅卷人得分一、单项选择题（每题2分，共20分）1.下列表达式正确的有( )（A）（B）（C）（D）2.设P：2×2=5，Q：雪是黑的，R：2×4=8，S：太阳从东方升起，下列( )命题的真值为真。
（A）（B）（C）（D）3.集合A={1,2,…,10}上的关系R={<x,y>|x+y=10,x,y A}，则R 的性质为( )（A）自反的（B）对称的（C）传递的，对称的（D）传递的4.设，，其中表示模3加法，*表示模2乘法，在集合上定义如下运算：有称为的积代数，则的积代数幺元是( )（A）<0，0> （B）<0，1> （C）<1，0> （D）<1，1>5.下图中既不是Eular图，也不是Hamilton图的图是( )6.设为无向图，，则G一定是( )（A）完全图（B）树（C）简单图（D）多重图7.设P：我将去镇上,Q：我有时间。
命题“我将去镇上,仅当我有时间”符号化为（）。
（A） P Q （B）Q P （C）P Q （D）8.在有n个结点的连通图中,其边数（）（A）最多有n-1条（B）最多有n 条（C）至少有n-1条（D）至少有n条9.设A－B＝,则有（）（A）B＝（B）B（C）A B （D）A B10.设集合A上有3个元素,则A上的不同的等价关系的个数为（）（A）5 （B）7 （C）3 （D）6二、填空题（每题2分，共20分）1．n个命题变元组成的命题公式共有种不同的等价公式。
2．设〈L，≤〉为有界格，a为L中任意元素，如果存在元素b∈L,使，则称b是a 的补元。
3．设*，Δ是定义在集合A上的两个可交换二元运算，如果对于任意的x,y∈A,都有 ,则称运算*和运算Δ满足吸收律。
4．设T是一棵树，则T是一个连通且的图。
离散数学第一章命题逻辑PPT课件
P
Q
0
0
0
1
1
0
1
1
P→Q 1 1 0 1
如： P:雪是黑的。
Q:太阳从东方升起 。
P → Q:如果雪是黑的，则太阳从东方升起 。
命题P→Q是假, 当且仅当P是真而Q是假。
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1.2 联结词
条件与汉语中“如果…，就…”相类似，但有所区别: (1)自然语言中，“如果P则Q”，往往P和Q有一定的因果 关系，而条件复合命题P→Q中 P和Q 可以完全不相关。 (2)自然语言中，“如果P则Q”，当P为0、Q为1时，整个 句子真值难以确定；而条件复合命题P→Q中，当P为0时， 复合命题的真值为1。 P则Q的逻辑含义:P是Q的充分条件,的表示 命题变元——常用P、Q、R、S等大写字母或加下标的大 写字母P1, Q2, R10, ……表示来表示一个命题，称为命题 变元。 如： P:巴黎在法国。
Q:煤是白色的。
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1.1 命题及其表示法
3、命题相关概念 简单命题（原子命题）——不能再分解的命题。 复合命题——由若干个简单命题复合而成的命题。 真值表——把组成复合命题的各命题变元的真值的所有 组合及其相对应的复合命题的真值列成表，称为真值表。
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1.1 命题及其表示法
【例3 】求公式 (P→R)∨(Q→R)的真值表。 解：∵公式含有３个命题变元P、Q、R,
∴真值表有２3=8行。其真值表如下表 所示：
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1.2 联结词
命题和原子命题常可通过一些联结词构成新命题, 这
离散数学ppt课件
02
集合论基础
集合的基本概念
总结词
集合是离散数学中的基本概念， 是研究离散对象的重要工具。
详细描述
集合是由一组确定的、互不相同 的、可区分的对象组成的整体。 这些对象称为集合的元素。例如 ，自然数集、平面上的点集等。
集合的运算和性质
总结词
集合的运算和性质是离散数学中的重要内容，包括集合的交、并、差、补等基本运算，以及集合的确定性、互异 性、无序性等性质。
生，1表示事件一定会发生。
离散概率论的运算和性质
概率的加法性质
如果两个事件A和B是互斥的，那么P(A或B)等于P(A)加上 P(B)。
概率的乘法性质
如果事件A和B是独立的，那么P(A和B)等于P(A)乘以P(B) 。
全概率公式
对于任意的事件A，存在一个完备事件组{E1, E2, ..., En}， 使得P(Ai)>0 (i=1,2,...,n)，且E1∪E2∪...∪En=S，那么 P(A)=∑[i=1 to n] P(Ai)P(A|Ei)。
工程学科
离散数学在工程学科中也有着重要的 应用，如计算机通信网络、控制系统 、电子工程等领域。
离散数学的重要性
基础性
离散数学是数学的一个重要分支 ，是学习其他数学课程的基础。
应用性
离散数学在各个领域都有着广泛的 应用，掌握离散数学的知识和方法 对于解决实际问题具有重要的意义 。
培养逻辑思维
学习离散数学可以培养人的逻辑思 维能力和问题解决能力，对于个人 的思维发展和职业发展都有很大的 帮助。
详细描述
邻接矩阵是一种常用的表示图的方法，它是 一个二维矩阵，其中行和列对应于图中的节 点，如果两个节点之间存在一条边，则矩阵 中相应的元素为1，否则为0。邻接表是一 种更有效的表示图的方法，它使用链表来存 储与每个节点相邻的节点。
离散数学(一)知识梳理
离散数学（一）知识梳理•逻辑和证明部分o命题逻辑题型▪命题符号化问题将自然语言转为符号化逻辑命题▪用命题变量来表示原子命题▪用命题联结词来表示连词▪命题公式的类型判断判断命题公式是否是永真式、矛盾式、可能式▪利用真值表判断▪利用已知的公式进行推理判断▪利用主析取和合取范式判断▪定理：A为含有n个命题变元的命题公式，若A的主析取范式含有2^n个极小项，则A为重言式，若极小项在0到2^n之间，则为可满足式，若含有0个极小项，则A为矛盾式；若A的主合取范式含有2^n个极大项，则A为矛盾式，若极小项在0到2^n之间，则为可满足式，若含有0个极小项，则A为重言式▪翻译：一个命题公式化成主范式后，若所有项都分布在主析取范式中（主合取范式为1）则为重言式；若所有项都分布在主合取范式中（主析取范式为0）则为矛盾式；若均有分布，则为可满足式。
【思想来源：真值表法求主范式】▪一个质析取式是重言式的充要条件是其同时含有某个命题变元及其否定式；一个质合取式是矛盾式的充要条件是其同时含有某个命题变元及其否定式▪一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每项都是矛盾式；一个合取范式是重言式当且仅当它的每项都是重言式▪求（主）析取或合取范式▪等值演算法▪ 1. 利用条件恒等式消除条件（蕴含和双条件）联结词，化简得到一个范式▪ 2. 在缺项的质项中不改变真值地添加所缺项，化简得到一个主范式▪ 3. 找出包含所有命题变元排列中剩余项，凑出另一个主范式（思想上类似于真值表法）▪真值表法▪ 1. 画出命题公式真值表▪ 2. 根据真值表结果求出主范式▪主析取范式：真值为1的所有项，每一项按对应01构成极小项▪主合取范式：真值为0的所有项，每一项按对应01构成极大项▪形式证明与命题推理利用推理规则构造一个命题公式的序列，证明结论▪形式证明：命题逻辑的论证是一个命题公式的序列，其中每个公式或者是前提，或者是由它之前的公式作为前提推得的结论，序列的最后一个是待证的结论，这样的论证也称为形式证明。
离散数学习题及答案01
CIS 607: Mathematical Basis for ComputingSOLUTIONS OF HOMEWORK 1Homework 1 -- Propositional Logic, Predicate Logic and ProofsDue Date: February 14, 2017In this homework, you will answer the following questions. Prepare a pdf file for your solutions and upload that pdf file into the blackboard system.Q1)Let p and q be the propositionsp : I bought a lottery ticket this week.q : I won the million dollar jackpot.Express each of these propositions as an English sentence.∙p →qo If I bought a lottery ticket this week, then I won the million dollar jackpot on Friday.∙￢p ∨(p ∧q)o Either I did not buy a lottery ticket this week, or else I did buy one and won the million dollar jackpot on Friday.∙￢p →￢qo If I did not buy a lottery ticket this week, then I did not win the million dollar jackpot on Friday.Q2)Let p and q be the propositionsp : It is below freezing.q : It is snowing.Write these propositions using p and q and logical connectives (including negations).∙It is not below freezing and it is not snowing.o(￢p ∧￢q)∙If it is below freezing, it is also snowing.o p →q∙Either it is below freezing or it is snowing, but it is not snowing if it is below freezing.o(p ∨ q) ∧ ( p →￢q)Q3)Construct a truth table for each of these compound propositions.∙p →(￢q ∨r)∙(p →q) ∧(￢p →r)∙(￢p ↔￢q) ↔(q ↔r)∙Show that ￢(p ↔q) and p ↔￢q are logically equivalent.o p q ￢(p ↔q) p ↔￢qo T T F Fo T F T To F T T To F F F F∙Show that (p →q) →r and p →(q →r) are not logically equivalent.o p q r (p →q) →r p →(q →r)o F F F F TQ5)Determine the truth value of each of these statements if the domain consists of all integers.∙∀n(n + 1 > n)o T∙∃n(2n = 3n)o T (when n=0)∙∃n(n = −n)o T (when n=0)∙∀n(3n ≤4n)o F (when n is a negative integer)Q6)Suppose that the domain of the propositional function P(x) consists of the integers 1, 2, and 3. Write out each of these propositions using disjunctions, conjunctions, and negations.∙∃xP(x)o P(1) ∨P(2) ∨P(3)∙∀xP(x)o P(1) ∧P(2) ∧P(3)∙￢∃xP(x)o￢ (P(1) ∨P(2) ∨P(3))∙￢∀xP(x)o￢ (P(1) ∧P(2) ∧P(3))Express the negations of each of these statements so that all negation symbols immediately precede predicates.∙∀x∃y∀zT (x, y, z)o∃x∀y∃z￢T (x, y, z)∙∀x∃yP(x, y) ∨∀x∃yQ(x, y)o∃x∀y￢P(x, y) ∧∃x∀y￢Q(x, y)∙∀x∃y(P(x, y) ∧∃zR(x, y, z))o∃x∀y(￢P(x, y) ∨∀z￢R(x, y, z))∙∀x∃y(P(x, y) →Q(x, y))o∃x∀y(P(x, y) ∧￢Q(x, y))Q8)∙Determine whether ∀x(P(x) →Q(x)) and ∀xP(x) →∀xQ(x) are logically equivalent. Justify your answer.o NOTo P: is even number, Q: is odd numbero∀x P(x) →∀xQ(x) is true since ∀xP(x) is false and ∀xQ(x) is falseo But ∀x(P(x) →Q(x)) is false∙Determine whether ∀x(P(x) ↔Q(x)) and ∀x P(x) ↔∀xQ(x) are logically equivalent. Justify your answer.o NOTo P: is even number, Q: is odd numbero∀x P(x) ↔∀xQ(x) is true since ∀xP(x) is false and ∀xQ(x) is falseo But ∀x(P(x) ↔Q(x)) is false∙Show that ∃x(P(x) ∨Q(x)) and ∃xP(x) ∨∃xQ(x) are logically equivalent.o if ∃x(P(x) ∨Q(x)) is trueo P(a) ∨Q(a) is true for a constant ‘a’ (∃-inst)o If P(a) is true →∃xP(x)is true →∃xP(x) ∨∃xQ(x) is trueo If Q(a) is true →∃xQ(x)is true →∃xP(x) ∨∃xQ(x) is trueoo if ∃x(P(x) ∨Q(x)) is falseo→ there is no constant such that P(a) ∨Q(a) is trueo→ there is no constant such that P(a) is true or there is no constant such that Q(a) is trueo→∃xP(x) is false and ∃xQ(x) is falseo→∃xP(x) ∨∃xQ(x) is falseQ9)∙Use rules of inference to show that if ∀x(P(x) →(Q(x) ∧S(x))) and ∀x(P(x) ∧R(x)) are true, then ∀x(R(x) ∧S(x)) is true.Step Reason1.∀x(P(x) → (Q(x) ∧ S(x))) Premise2.∀x(P(x) ∧ R(x)) Premise3.P(a) ∧ R(a) for arbitrary a UI from 24.P(a) for arbitrary a Simplification from 35.R(a) for arbitrary a Simplification from 36.P(a) → (Q(a) ∧ S(a))) for arbitrary a UI from 17.(Q(a) ∧ S(a)) for arbitrary a MP from 4 and 68.S(a) for arbitrary a Simplification from 79.R(a) ∧ S(a) for arbitrary a Conjunction from 5 and 810.∀x(R(x) ∧ S(x)) UG from 9∙Use rules of inference to show that if ∀x(P(x) ∨Q(x)), ∀x(￢Q(x) ∨S(x)), ∀x(R(x)→￢S(x)), and ∃x￢P(x) are true, then ∃x￢R(x) is true.Step Reason1.∀x(P(x) ∨ Q(x)) Premise2.∀x(￢Q(x) ∨ S(x)) Premise3.∀x(R(x) →￢S(x)) Premise4.∃x￢P(x) Premise5.￢P(a) for some a EI from 46.P(a) ∨ Q(a) UI from 17.Q(a) for some a Disjunctive Syllogism from 5 and 68.￢Q(a) ∨ S(a) UI from 29.S(a) for some a Disjunctive Syllogism from 7 and 810.R(a) →￢S(a) UI from 311.￢R(a) for some a Modes Tollens from 9 and 1012.∃x￢R(x) Existential Generalization (EG) from 11Q10)∙Use a direct proof to show that every odd integer is the difference of two squares.Direct Proofo Let n be an odd integer such that n=2k+1 where k is an integer (definition of odd integers) o Let squares of two integers k and (k+1) such as k2 and (k+1)2= k2+2k+1o(k+1)2 - k2 = 2k+1o So, n is the difference of two squares.o QED∙Show that if n is an integer and n3+ 5 is odd, then n is even using a proof by contraposition.Proof by Contrapositiono Assume n is an odd integer (negation of even is odd)o So, n=2k+1 where k is an integer (definition of odd integers)o n3 + 5 = (2k+1)3 + 5 = 8k3+12k2 +6k+1+5 = 2(4k3+6k2 +3k+3)o So, n3 + 5 = 2m where m is an integer such that m = (4k3+6k2 +3k+3)o Thus, n3 + 5 is an even integer (negation of “n3 + 5 is odd”)o Then, n is even (not odd)o QED.∙Prove that if n is an integer and 3n + 2 is even, then n is even using a proof by contradiction.Proof by Contradictiono Assume that n is an odd integer (negation of even is odd)o So, n=2k+1 where k is an integer (definition of odd integers)o3n+2 = 3(2k+1)+2 = 6k+5 = 2(3k+2)+1o So, 3n+2 = 2m+1 where m is an integer such that m=3k+2o Thus, 3n+2 is odd (contradiction with our assumption “3n + 2 is even”)o So, n is eveno QED.。
离散数学.第1章
例4
设P：我们去看电影。Q：房间里有十张桌子。则
P ∧ Q表示“我们去看电影并且房间里有十张桌子。”
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3. 析取“∨”（相容或）[讲解教材P3-5关于或]
4. 定义1.3
由命题P和Q利用“∨”组成的复合命题，称 为析取式复合命题，记作“P∨Q”（读作“P或Q”）。 当且仅当P和Q至少有一个取值为真时，P∨Q取值为真。
练习1-1
1. 判断下列语句哪些是命题，若是命题，则指出其真值。
（1） （2） 只有小孩才爱哭。 X+6=Y ( 是 假 ) ( 不是 ) (是 真) ( 不是 )
（3）
银是白的。
（4） 起来吧，我的朋友。 2． 将下列命题符号化
（1） 我看见的既不是小张也不是老李。 解 令P：我看见的是小张；Q：我看见的是老李。 则该命题可表示为¬ P∧¬ Q （2） 如果晚上做完了作业并且没有其它的事，他就会 看电视或听音乐。 解 令 P：他晚上做完了作业；Q：他晚上有其它的事； R：他看电视； S：他听音乐。 则该命题可表示为（P∧¬ Q）→（R∨S）
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1.3 等值演算
• 定义1.10 设A和B是两个命题公式, 若等价式A↔B 是重言式，则称公式A 和B等值，记为A B,称 AB为等 值式。
• 注意： （1）符号“”与“↔”的区别与联系 “”不是联结词，AB不表示一个公式， 它表示两个公式间的一种关系，即等值关系。 “↔”是联结词，A↔B是一个公式。 AB 当且仅当 A↔B 是永真公式。
1 0 1 0 1 0 1 0
0 0 1 1 1 1 1 1
0 0 0 1 0 0 0 1
1 1 0 1 0 0 0 1
离散数学第一章习题解答,屈婉玲耿素云高等教育出版社
习题一1.下列句子中,哪些是命题？在是命题的句子中,哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？（1）中国有四大发明.答：此命题是简单命题，其真值为1.（2是无理数.答：此命题是简单命题，其真值为1.（3）3是素数或4是素数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为1.x+<（4）235答：不是命题.（5）你去图书馆吗？答：不是命题.（6）2与3是偶数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（7）刘红与魏新是同学.答：此命题是简单命题，其真值还不知道.（8）这朵玫瑰花多美丽呀！答：不是命题.（9）吸烟请到吸烟室去！答：不是命题.（10）圆的面积等于半径的平方乘以π.答：此命题是简单命题，其真值为1.（11）只有6是偶数，3才能是2的倍数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（12）8是偶数的充分必要条件是8能被3整除.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（13）2008年元旦下大雪.答：此命题是简单命题，其真值还不知道.2.将上题中是简单命题的命题符号化.解:（1）p：中国有四大发明.（2）p:错误!未找到引用源。
是无理数.（7）p:刘红与魏新是同学.（10）p:圆的面积等于半径的平方乘以π.（13）p:2008年元旦下大雪.3.写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号化,最后指出各否定式的真值.（1是有理数.是无理数.p.q.其否定式q的真值为1.（2不是无理数.答：是有理数. p 不是无理数. q 是有理数. 其否定式q 的真值为1.（3）2.5是自然数.答：否定式：2.5不是自然数. p ：2.5是自然数. q ：2.5不是自然数. 其否定式q 的真值为1.（4）ln1是整数.答：否定式：ln1不是整数. p ：ln1是整数. q ：ln1不是整数. 其否定式q 的真值为1.4.将下列命题符号化，并指出真值. （1）2与5都是素数答：p ：2是素数，q ：5是素数，符号化为p q ∧，其真值为1.（2）不但π是无理数，而且自然对数的底e 也是无理数.答：p ：π是无理数，q ：自然对数的底e 是无理数，符号化为p q ∧，其真值为1. （3）虽然2是最小的素数，但2不是最小的自然数.答：p ：2是最小的素数，q ：2是最小的自然数，符号化为p q ∧⌝，其真值为1. （4）3是偶素数.答：p ：3是素数，q ：3是偶数，符号化为p q ∧，其真值为0. （5）4既不是素数，也不是偶数.答：p ：4是素数，q ：4是偶数，符号化为p q ⌝∧⌝，其真值为0. 5.将下列命题符号化，并指出真值. （1）2或3是偶数. （2）2或4是偶数. （3）3或5是偶数.（4）3不是偶数或4不是偶数. （5）3不是素数或4不是偶数.答: p ：2是偶数，q ：3是偶数，r :3是素数，s :4是偶数, t :5是偶数 (1) 符号化: p q ∨，其真值为1. (2) 符号化：p r ∨，其真值为1. (3) 符号化：r t ∨，其真值为0. (4) 符号化：q s ⌝∨⌝，其真值为1.(5) 符号化：r s ⌝∨⌝，其真值为0. 6.将下列命题符号化.（1）小丽只能从筐里拿一个苹果或一个梨.答：p ：小丽从筐里拿一个苹果，q ：小丽从筐里拿一个梨，符号化为: p q ∨. （2）这学期，刘晓月只能选学英语或日语中的一门外语课.答：p ：刘晓月选学英语，q ：刘晓月选学日语，符号化为: ()()p q p q ⌝∧∨∧⌝. 7.设p ：王冬生于1971年，q ：王冬生于1972年，说明命题“王冬生于1971年或1972年”既可以化答:列出两种符号化的真值表：p q0 0 0 00 1 1 11 0 1 11 1 0 1根据真值表,可以判断出,只有当p与q同时为真时两种符号化的表示才会有不同的真值,但结合命题可以发现,p与q不可能同时为真,故上述命题有两种符号化方式.8.将下列命题符号化,并指出真值.（1）只要错误!未找到引用源。
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第七章 格与布尔代数*(在时间充足时学习) 是研究“代数系统”中“格”以及“特殊
格” 的有关问题。是对“代数系统”的进一
步研究。
第八章 图论
是研究平面图形中“结点”与“连线”之 间的关系，路径的优化、网络、匹配等问题，
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《离散数学》课每周上课两次，4学时，安 排15周，共60学时。
考核方式：期末笔试占70%，平时作业占30%，
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从以上分析, 我们得出他必须既非说谎也 不是讲真话。这样, 断言“我正在说谎”事实
上不能指定它的真假, 所以不是命题。 这种
断言叫悖论。
例：学生甲在教师乙处学习法律，约定一年学
成甲支付学费 2000 圆，同时规定在学生甲和 教师乙在同一场官司中，师生分别作为控辩
双方，若学生方获胜为学成的标准；
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学业结束后学生拒绝支付学费，他认为：
教师您可以通过打官司解决，如果教师
官司打输了，我自然不支付学费，如果教师 官司打嬴了，说明我还没有学成，根据先前 的约定，我仍然可以不支付学费。 这也是个悖论的例子，无论教师乙的怎样
努力，在签合同时就被学生甲算计进去了。
每人准备两个作业本（或者用合页纸），写 清班级、学号、姓名。每星期交一次作业，由 班长统一收齐交到四楼“专业教研室”。交新 作业时领回批改过的作业，按学校规定每次作 业将登记，批改三分之一。
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第一章 数理逻辑
1.1 命 题
逻辑学分为：“形式逻辑”和“数理逻辑”
两个部分，他们的最大区别在于， “形式逻辑” 允许有二意性而“数理逻辑”决不允许。“数 理逻辑” 就是将 “形式逻辑”数学符号化； 例如：陈述句“你吃饱了”在“形式逻辑”中
研究集合基本概念、集合之间的运算关
系以及特殊集合。
第三章 二元关系
是研究“关系”的运算、 复合、划分，以 及“关系”上的闭包运算等问题。本章内容
占全书很大比例。
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第四章 函数 本章内容我们已经是第三次学习，重点放
在函数的映射问题上。
第六章 代数
是研究“代数系统”中元素与运算构成群、
半群、环与域的有关问题。完全不同于中学、 大一学习过的代数问题
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例 3 一个人说:“我正在说谎”。 他是在说谎还是在说真话呢? 如果他讲真
话, 那么他所说的是真
另一方面, 如果他是说谎, 那么他说的是假;
因为他承认他是说谎, 所以他实际上是在说真 话, 我们得出结论如果他是说谎 , 那么他是讲 真话。
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“离散数学”一方面给后继课，如“数据 结构”、“编译系统”、“操作系统”、
“数据库原理”等，提供必要的科学基础；
另一方面，通过学习离散数学，培养和提高
了同学们的抽象思维和逻辑推理能力，为大
家今后继续学习和工作打下坚实的数学基础。
我们选用的这本教材是方世昌著《离散
数学》（第二版），西安电子科技大学
(b)和(c)是真, (d)已无法查明它的真值, 但它
是或真或假, 将它归属于命题。 (e)目前尚未
确定其真假, 但它是有真值的, 应归属于命题。
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例 2 下述都不是命题: (a) x+y＞4。 (c) 真好啊!
(b) x=3。
(d) 你去哪里?
(a)和(b)是断言，不是命题, 因为它的真值 取决于x和y的值。 (c)和(d)都不是断言, 所 以不是命题。自然语句中有陈述句、祈使句、 疑问句、和感叹句等，其中能判断对错的只 有陈述句。
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与计算机科学技术密切相关的课题，既着重于
各部分内容之间的紧密联系，又深入探讨各部
分内容的概念、理论、算法和实际应用。因而
本书既有深度，又有广度，相信学了本书，即
能培养思维能力，又能培养理论联系实际的扎
实功底 。各章内容大致如下： 第一章 数理逻辑 将形式逻辑符号化后进行逻辑推理，来
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证明命题的真值，对命题公式运算。 第二章 集合
一个命题是一个或真或假而不能两者都是的
断言。如果命题是真, 我们说它的真值为真， 如果命题是假, 我们说它的真值是假。
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例 1 下述都是命题: (a) 今天下雪; (c) 2 是偶数而 3 是奇数;
(b) 3+3=6;
(d) 陈胜起义那天, 杭州下雨;
(e) 2008年人类将登上火星。 以上命题, (a)的真值取决于今天的天气,
可以理解为：
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（1）你的确是吃的过饱了
（2）你这个人的行为很无聊，如同吃饱饭撑的。 这就是“形式逻辑”的二意性。一个陈述句 可能有两个意识。
命题是逻辑学中的基本单位；陈述语句是逻
辑学的形式语言，断言是一个陈述语句。
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1.1.1 命题 在特定的范围、时间、和空间内具有唯 一确定的真假性。这样的陈述语句就是 命题 ；
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“离散数学”是一门相对于“连续数学” 而命名的数学分支，也叫“不连续的数 学”“离散数学”主要研究一些不连续的数 学问题。 《概率论与数理统计》中的随机变量就 有离散型和连续型之区分；
离散数学是现代数学的一个重要分支，上
世纪八十年代，计算机科学得到迅猛发展， 3
迫切需要一门适合计算机科学的相关数学课 程，离散数学由此建立，它是研究离散量的结
构及相互关系的学科。它充分描述了计算机科
学离散性的特点，是计算机科学与技术的理论
基础，所以又称为计算机数学。是计算机、软
件专业本科生必修的专业基础课；到硕士研究
生段还将开设“组合数学”；到博士研究生段
还将开设“计算数学”；
办公电话：8 8 4 5 1 1 2 8 住宅电话：8 2 4 9 5 8 7 4 移动电话：1 3 0 9 6 9 8 1 1 8 2 电子邮件：xaLiaohu@
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《离 散 数 学》
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方世昌 编著
电 话： 029-88202945
手 机：1 3 3 1 9 2 7 1 9 6 0
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出版社出版。是高等学校工科电子类规划教材
精选系列，本书是一本非常有特点的教材。初
版出版十三年后，经过全国众多学校的应用，
于1996年改进后出第二版；本书力求把握与计
算机科学密切相关的问题，通过精选的大量实
例深入浅出地介绍了数理逻辑、集合论、二元 关系、函数、代数系统、格与布尔代数* 、图 论等（我们省掉其中的“无限集合”一章）