(安徽专用)2014届高考数学 第四章 第一节 平面向量的基本概念及线性运算课件 文 新人教A版
→ 与向量CD → 是共线向量，则 A，B，C，D 1．向量AB 四点在一条直线上，这种说法正确吗？
→ 与向量CD → 是共线向量， 【提示】 不正确． 若向量AB → 与CD → 所在的直线平行或重合，因此，A，B，C， 则向量AB D 不一定共线．
2．a∥b是a＝λb(λ∈R)的充要条件吗？ 【提示】 a∥b， ∴ a∥b 是 a ＝ λb(λ∈R) 的必要不充分条件，不是充要条 当a≠0，b＝0时，a∥bD a＝λb，但a＝λb
【答案】 B
)
4．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－ 3a)共线，则λ的值为( ) 1 1 A．1 B．－1 C. D．－ 3 3
【解析】
由题意知a＋λb＝－k(b－3a)＝－kb＋3ka，
【答案】
D
5．(2012· 四川高考)设 a、b 都是非零向量，下列四个条 a b 件中，使 ＝ 成立的充分条件是( ) |a| |b| A．|a|＝|b|且 a∥b B．a＝－b C．a∥b D．a＝2b a b 【解析】 表示与 a 同向的单位向量， 表示与 b 同 |a| |b| a b 向的单位向量．只要 a 与 b 同向就有 ＝ ，观察选择项易 |a| |b| 知 D 满足题意．
1.向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不
存在，也可能有无数个．
2 ． 证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注 意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公 共点时，才能得出三点共线； 3 ． 利用向量平行证明直线平行，必须说明这两条直线
【思路点拨】
明其不正确．
以概念为判断依据，或通过举反例来说
【尝试解答】 ①不正确．|a|＝|b |但 a、b的方向不确 定，故a， b不一定相等； → ＝ DC → ， A、B、C、 D可能在同一直 ②不正确．因为 AB 线上，所以ABCD不一定是四边形． ③不正确．两向量不能比较大小． ④不正确．当λ＝ μ＝0时， a与 b可以为任意向量，满足 λa＝μb，但a与b不一定共线．
【思路点拨】 → 、CB → 表示； CA
→ 用 (1)D是AB边上的三等分点，把 CD
→ ＋ OC → ＝2 OD → ，代入已知条 (2)由D为BC边中点可得 OB 件即可求解．
2→ → 2 → → → → 【尝试解答】 (1)CD＝CA ＋ AD ＝ CA ＋ AB ＝ CA ＋ 3 3 1→ 2→ 2 → → (CB－CA)＝ CA＋ CB，所以λ＝ ，故选A. 3 3 3 → ＋ OC → ＝2 OD → ，又2 OA →＋ (2)因为D为 BC边中点，∴ OB → ＋OC → ＝ 0，∴ 2OA → ＋ 2OD → ＝ 0，即AO → ＝OD → ，故选A. OB
(1)(2013· 海口模拟)如图 4－1－2 所示， → ＝a，OB → ＝b，OC → ＝c，A、B、C 在 向量OA → ＝－3CB → ，则( 一条直线上，若AC 1 3 A．c＝－ a＋ b 2 2 C．c＝－a＋2b ) 3 1 B．c＝ a－ b 2 2 D．c＝a＋2b
→ | ＝ | AC → | ＝ | AB → － AC → | ＝ 2 ， 则 | AB → ＋ AC → |＝ (2) 若 | AB ________．
→ ∥AF → ，从而存在实数λ，使得AC → ＝λAF →. ∴AC ∴ 3e1－2e2＝ 3λe1－ λke2， 又 e1， e2是不共线的非零向量， 因此k＝ 2. 所以实数 k的值为2.
1．向量b与非零向量a共线的充要条件是存在唯一实数 λ，使b＝ λa.要注意通常只有非零向量才能表示与之共线的 其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用． 2． (1)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应 注意当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线． → ＝λOB → ＋ μOC → (μ，λ∈ R)，若A、B、 C三点共线， (2)OA 则 λ＋ μ＝ 1.
2．向量的加法和减法
(1)加法法则：服从三角形法则，平行四边形法则． a＋(b＋c) ． b＋a ；(a＋b)＋c＝__________ 运算性质：a＋b＝_______ 加法 互为逆运算；服从三角形法则． (2)减法与_______ 3．实数与向量的积 (1)实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，规定： |λ||a| ；②方向：当 _______ λ>0 时，λa与 ①长度： |λa|＝________ λ＜0 时， λa 与 a 的方向相反；当 λ ＝ 0 a 的方向相同；当 _________ 0 时，λa＝_____．
【答案】 D
给出下列四个命题： ①若 |a|＝ |b |，则 a＝b或 a＝－b； → ＝DC → ，则四边形ABCD为平行四边形； ②若AB ③若 a与 b同向，且|a|＞ |b |，则 a＞b； ④λ ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线． 其中假命题的个数为( ) A．1 B． 2 C．3 D．4
(2)运算律：设λ、μ∈R，则：①λ(μa)＝ (λμ)a λa＋μa __________ ；② (λ ＋ μ)a ＝ ____________ ；③ λ(a ＋ b) ＝
λa＋λb ． ____________ 4．平面向量共线定理 向量b与a(a≠0)共线的充要条件是 有且只有一个实数λ，使得b＝λa _________________________________ ．
【答案】 D
2．下列给出的命题正确的是(
A．零向量是唯一没有方向的向量
)
B．平面内的单位向量有且仅有一个 C．a与b是共线向量，b与c是平行向量，则a与c是方向 相同的向量 D．相等的向量必是共线向量
【解析】
零向量方向任意，而不是没有方向，故 A
错；平面内单位向量有无数个，故B错；若b＝0，b与a、c都 平行，但a、c不一定共线，故C错；相等的向量方向相同， 必是共线向量，故D正确． 【答案】 D
【答案】 D
1 ． (1) 易忽视零向量这一特殊向量，误认为④是正确 的；(2)充分利用反例进行否定是对向量的有关概念题进行判 定的行之有效的方法． 2．准确理解向量的基本概念是解决这类题目的关 键． (1) 相等向量具有传递性，非零向量平行也具有传递
性． (2) 共线向量 ( 平行向量 ) 和相等向量均与向量的起点无 关．
【思路点拨】 → ＝λCD →. AC → ＝λAF →. (2)A、C、F三点共线⇔存在实数λ，使AC (1)A、C、D三点共线⇔存在实数λ使
【尝试解答】
→ ＝ e1－ e2，BC → ＝ 3e1＋2e2， (1)AB
→ ＝AB → ＋BC → ＝ 4e1＋ e2， ∴AC → ＝－ 8e1－2e2， 又CD → ＝－2AC → ，∴AC → 与CD → 共线， 所以CD → 与CD → 有公共点 C， 又∵AC ∴ A、 C、 D三点共线． → ＝ e1＋ e2，BC → ＝ 2e1－3e2， (2)∵AB → ＝AB → ＋BC → ＝ 3e1－ 2e2. ∴AC ∵ A、 C、 F三点共线，
第一节
平面向量的基本概念及线性运算
1．向量的有关概念 方向 的量叫做向量，向量 大小 又有_______ (1)向量：既有_______ 长度 (或模) ． 的大小叫做向量的 ______
长度为0 的向量，其方向是任意的． (2)零向量：__________
1个单位 的向量． (3)单位向量：长度等于__________ 相同或相反 的非零向量．平行向量 (4)平行向量：方向____________ 共线向量 平行 ． 又叫_____________ ．规定：0与任一向量_______ 相等 且方向_______ 相同 的向量． (5)相等向量：长度_______ 相等 且方向_______ 相反 的向量． (6)相反向量：长度_______
【答案】 (1)A (2)2 3
设两个非零向量e1和e2不共线． → ＝e1－e2，BC → ＝3e1＋2e2，CD → ＝－8e1－2e2， (1)如果AB 求证：A、C、D三点共线． → ＝e1＋e2，BC → ＝2e1－3e2，AF → ＝3e1－ke2，且 (2)如果AB A、C、F三点共线，求k的值．
A．充分不必要条件 C．充分必要条件
【解析】
(1)∵c∥d，∴c＝λd，
即ka＋b＝λ(a－b)＝λa－λb，
∴k＝λ＝－1，故选D. (2)由a＋b＝0知道a与b互为相反向量，从而a∥b，充分 性成立．由a∥b知a＝λb，λ≠－1时，a＋b≠0， ∴必要性不成立．
【答案】
(1)D
(2)A
一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个 向量起点指向最后一个向量终点的向量．
3 ．“向量”和“有向线段”是两个不同的概念，向量
只有两个要素：大小、方向；而有向线段有三个要素：起 点、方向、长度．
给出下列四个命题： ①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若a＝b，b＝c，则a＝c；
③若a∥b，b∥c，则a∥c； ④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b. 其中假命题的个数为( A．1 B．2 ) C．3 D．4
【解析】
点．
①不正确．两个向量起点相同，终点相同，
则两向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终
②正确．根据向量相等的定义知． ③不正确．若 b ＝ 0 时， b与 a 、 c 都平行，但 a、 c 不一定
平行．
④不正确．a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a，b同向．
【答案】
C
→ ＝ 2 DB →， (1)在△ABC中，若D是AB边上一点，且 AD 1→ → → ，则λ＝( CD＝ CA＋λCB ) 3 2 1 1 2 A. B. C．－ D．－ 3 3 3 3 (2)若 O是△ ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且 → ＋OB → ＋OC → ＝ 0，那么( 2OA → ＝OD → A.AO → ＝ 3OD → C.AO ) → ＝ 2OD → B.AO → ＝OD → D．2AO
高考一轮文数ppt课件：第四章-第一节-平面向量的概念及线性运算
④若 m=n,n=p, ⑤若 a//b,bc,
则 m=p; 则 a///c.
其中不正确的个数是( )
A. 2 C. 4
B. 3 D. 5
解析 答 案
考点一
考点二
(2)给出下列命题： ①两个具有公共终点的向量， 一定是共线向量. ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小. ③a=0(a 为实数),则λ必为零. ④ ,μ为实数，若a=μb, 则 a 与 b 共线. 其中错误的命题的个数为( )
-2e₂ 共线，则实数t 的值为
.
(3)如图所示，在△ABO 中，
,OD
,AD 与 BC 相交于点M, 设OA=a,
OB=b. 试用a 和 b 表示向量OM.
解析 答案
21
考点一
考点二
(1)设 c=xa+yb, 则
,x+2y), 所以
解得
则
, 故 选 A.
(2)因为2te₁+e₂ 与 e₁-2e₂ 共线，所以存在实数2,使2te₁+ e₂=λ(e₁-2e₂),则(2t-2)e₁=(-2λ-1)e₂,由于e₁ 和e₂不共线，
4.(2017 ·高考全国卷 I 改编)若 a=(-1,2),b=(m,1), 当 a
⊥b时，求a+b.
答案：(1,3)
11
考点一
考点二
向量的基本概念 |易错突破
[例1] (1)给出下列五个命题：
①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若 |a |= |b |, 则 a=b;
③在□ABCD 中，一定有AB=DC;
A.(2,2) C. (2,2)或(3,- 1)
B.(3,—1) D. (2,2)或(3,1)
2014届高考数学(理)复习课件第4单元-平面向量-数学(理科)-人教A版(共185张PPT)
＝tO→A＋(1－t)O→B.
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第25讲 平面向量的概念及其线性运算
双
向
固
基 础
3．平面向量线性运算的应用
(1)△ABC
中，D
是
BC
中
点
，
则
A→D
＝
1 2
(
A→C
＋
A→B)．( )
(2)O 为△ABC 重心的充要条件是O→A＋O→B＋O→C＝
0.( )
(3)四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件是A→B＋
• 变式题 给出下列命题：
①若|a|＝|b|，则 a＝b；
②若 A，B，C，D 是不共线的四点，则A→B＝D→C是
点 面
四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件；
讲
③若 a＝b，b＝c，则 a＝c；
考 向
④a＝b 的充要条件是|a|＝|b|且 a∥b. 其中正确命题的序号是________．
[答案] ②③
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第四单元 平面向量
第25讲 平面向量的概念及其线性运算 第26讲 平面向量基本定理及坐标表示 第27讲 平面向量的数量积与平面向量应用举例
_____0___
(1)对向量加法 的分配律：
λ(a＋b)＝ λ_a_＋__λ_b___ (2)对实数加法 的分配律：
(λ1＋λ2)a＝ λ_1_a_＋__λ_2a__
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第25讲 平面向量的概念及其线性运算
高考数学总复习 第四章 平面向量 第1讲 平面向量及其线性运算课件 文
法则(或几何意义)
运算律
减法 数乘
求a与b的 相反向量－b 的和的运算 叫做 a 与 b 的差
三角形法则
(1)|λa|＝_____|λ_||_a_|
(2)当λ>0 时,λa 的方向
求实数λ与向 与 a 的方向相同；当λ<0
量 a 的积的 运算
时，λa 的方向与 a 的方
向_相__反___；当λ＝0 时，
5．共线向量及其坐标表示 (1)向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ， 使得 b＝λa. (2)设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0，当且仅当 x1y2 －x2y1＝0 时，向量 a，b 共线．
1．设平面向量 a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则 a－2b＝( A )
设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)， a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝_(λ_x_1_，__λ_y_1)____，|a|＝ x12＋y21.
(2)向量坐标的求法： ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A→B＝(x2－x1，y2－y1)，|A→B| ＝ x2－x12＋y2－y12.
考情风向标
从近几年的高考试题看， 向量的线性运算、共线问题 是高考的热点，尤其是向量 的线性运算出现的频率最高， 多以选择题、填空题的形式 出现，属中低档题目. 预计2016年高考仍将以向量 的线性运算、向量的基本概 念为主要考点，也可与向量 加、减的三角形法则和平行 四边形法则交汇命题. 透彻理解平面向量的有关概 念及运算是学好本节的基础 ，因此复习时注意运用概念 分析和求解相关问题.
(平行向量) 的非零向量
(安徽专用)高考数学 第四章 第一节 平面向量的基本概念及线性运算名师课件 文 新人教A版
2．向量的加法和减法 (1)加法法则：服从三角形法则，平行四边形法则． 运算性质：a＋b＝_b_＋__a___；(a＋b)＋c＝_a_＋__(_b_＋__c_)_． (2)减法与__加__法___互为逆运算；服从三角形法则． 3．实数与向量的积 (1)实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，规定： ①长度：|λa|＝___|λ_|_|a_|__；②方向：当___λ_>_0__时，λa与 a的方向相同；当___λ_＜__0___时，λa与a的方向相反；当λ＝0 时，λa＝_____．0
∴A→C∥A→F，从而存在实数λ，使得A→C＝λA→F. ∴3e1－2e2＝3λe1－λke2， 又e1，e2是不共线的非零向量，
因此k＝2. 所以实数k的值为2.
1．向量b与非零向量a共线的充要条件是存在唯一实数 λ，使b＝λa.要注意通常只有非零向量才能表示与之共线的 其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用．
第一节 平面向量的基本概念及线性运算
1．向量的有关概念 (1)向量：既有__大__小___又有__方__向___的量叫做向量，向量 的大小叫做向量的 __长__度__ (或模) ． (2)零向量：__长__度__为__0__的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于__1_个__单__位___的向量． (4)平行向量：方向__相__同__或__相__反__的非零向量．平行向量 又叫__共__线__向__量_____．规定：0与任一向量__平__行___． (5)相等向量：长度_相__等____且方向__相__同___的向量． (6)相反向量：长度__相__等___且方向__相__反___的向量．
【解析】 (1)∵O→C＝O→A＋A→C＝O→A＋3B→C＝O→A＋3(O→C －O→B)＝3O→C＋O→A－3O→B，∴2O→C＝－O→A＋3O→B，
高考数学一轮复习第四章平面向量第1讲平面向量及其线性运算课件理
D.垂心
解析：作∠BAC 的平分线 AD. ∵O→P＝O→A＋λ|AA→→BB|＋|AA→ →CC|， ∴A→P＝λ|AA→→BB|＋|AA→ →CC|＝λ′·|AA→ →DD|[λ′∈[0，＋∞)]. ∴A→P＝|λA→′D|·A→D.∴A，P，D 三点共线. ∴点 P 的轨迹一定通过△ABC 的内心.
向量 定义
运算
法则(或几何意义)
运算律
求 a 与 b 的相反向 减法 量－b 的和的运算
叫做 a 与 b 的差
三角形法则
a－b＝a＋(－b)
(1)|λa|＝___|λ_||_a_| __；(2)当
求实数 λ 与向量 a λ>0 时，λa 的方向与 a 的 λ(μa)＝__λ_μ_a___；
数乘
方向相同；当 λ<0 时，λa (λ＋μ)a＝λa＋μa；
零向量与任一向量平 行或共线
记作a＝b
第三页，共三十九页。
2.向量(xiàngliàng)的线性运算
向量 运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
求两个向量和的 加法
运算
三角形法则 平行四边形法则
(1)交换律： a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c ＝a＋(b＋c)
第四页，共三十九页。
(续表)
第二十页，共三十九页。
【规律方法】(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，
但应注意向量共线与三点共线的区别与联系(liánxì)，当两向量共线且
有公共点时，才能得出三点共线.(2)向量 a，b 共线是指存在不 全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立；若λ1a＋λ2b＝0，当 且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a，b不共线.
2014高考数学一轮复习课件：平面向量的概念及其线性运算(精)
→ → → 2→ → 解：CD＝AD－AC＝ AB－AC 3 2 ＝ a－b， 3 1 → 1 AM＝2a＋2b， → → → → → → → ∴AC＝AP＋PC＝AP－CP＝λAM－μCD
1 2 1 ＝λ2a＋2b－μ3a－b
λ 2μ λ → ＝b， ＝2－ 3 a＋2＋μb.又AC
即 3e1－ke2＝λe1－4λe2 ∵e1、e2 不共线．
λ＝3 ∴ －k＝－4λ
，………………………………………10 分
解得 k＝12， ∴k＝12.……………………………………………… 12 分
•
共线向量定理的条件和结论是 充要条件，既可以证明向量共线，也可以由 向量共线求参数． • 利用两向量共线证明三点共线要强调有一个 公共点．
b＝λa
• 2．如何用向量法证明三点A、B、C共线？
→ ＝λAC → (或AB → ＝λBC → 或AC → ＝λBC → )， →与 提示： 证明AB 即证明AB → 共线，又因为有一公共点，所以三点共线． AC
1．判断下列各命题的真假： → 的长度与向量BA → 的长度相等； (1)向量AB (2)向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； (3)两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； (4)两个有公共终点的向量，一定是共线向量； → 与向量CD → 是共线向量，则点 A、B、C、D 必在 (5)向量AB 同一条直线上；
a ＋b ＝
加法
求两个 向量 和的 运算
. ＋c) a＋(b
(2)结合律：
(a＋b)＋c
向量运 算
定义 求a 与 b 的相 反向 量－b 的和 的运 算叫 做a与 b的差
法则(或几何意 义)
高考数学总复习 第4单元第1节 平面向量的概念及其线性运算课件 文 新人教A版
3. (2011· 福州模拟)如图e1,e2为互相垂直的单位向量，则 向量a-b可表示为( C ) A. 3e2-e1 B. -2e1-4e2 C. e1-3e2 D.3e1-e2
∴CD= a+ b.
2 3
1 3
题型三 向量的共线及应用 【例3】（2010· 苏州模拟改编）设a、b是不共线的 两个非零向量. (1)若OA＝2a－b，OB＝3a＋b，OC＝a-3b，求证：A、 B、C三பைடு நூலகம்共线； (2)是否存在实数k使8a＋kb与ka＋2b共线，若存在， 求出实数k的值；若不存在，请说明理由.
减法
求a与b的相反 向量-b的和的 运算叫做a与b 的差 求实数λ与向 量a的积的运算
三角形 法则 a| (1)|λa|= |λ||. (2)当λ>0时,λa与a 的方向 相同; 当λ<0时,λa与a的方 向 相反 ; 当λ=0时,λa= . λ(μa)= (λμ) ;a (λ+μ)a= λa+μa
解析：如图所示，记向量a，b的终点分别为A，B， 则a－b＝ AB ＝e1－3e2.
4. (2011· 南京模拟改编)设△ABC的外心为O，以线段OA、OB 为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC、OD为邻边 作平行四边形，它的第四个顶点为H. 若OA=a,OB=b,OC=c,用 a,b,c表示OH为 a+b+c .
第四单元
平面向量与复数
第一节
平面向量的概念及其线性运算
【金版教程】2014届高考数学总复习 第4章 第1讲 向量的概念及运算课件 理 新人教A版
1.大小 方向 有向线段 大小 方向 长度 想一想：提示：不对．有向线段与向量是两个不同的概 念，有向线段由起点、方向、终点唯一确定，而向量由大小和 方向确定．向量可以用有向线段来表示．
填一填：①④ 2．0 不确定 1个单位 相反 平行 相等 相同 相等 相反 填一填：(1)② (2)以所给点为圆心，以1为半径的圆 3．三角形 平行四边形 b＋a a＋(b＋c) 三角形 填一填：(1)a－b＋c 提示：D→C＝A→C－A→D＝(A→B＋B→C) －A→D＝a－b＋c.
(1)化简：112[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]＝________. (2)[2012·陕西西安5月]在△ABC中，已知D是AB边上一 点，若A→D＝2D→B，C→D＝13C→A＋λC→B，则λ＝________. (3)点B在直线AC上，A→B＋2B→C＝0，则A→C＝________.
例2 [2012·大纲全国]△ABC中，AB边的高为CD，若
C→B＝a，C→A＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则A→D＝( )
A. 13a－13b
B. 23a－23b
C. 35a－35b
D. 45a－45b
[审题视点] 画出图形，根据向量的加法、减法、数乘
的运算法则建立未知量A→D与已知向量a，b的关系．
⑤不正确．考虑b＝0这种特殊情况． [答案] A
本题主要考查向量的基本概念，关键是要掌握向量既有大 小又有方向的二重性，同时要注意零向量的特殊性——方向任 意，即它可以与任意向量共线，还要注意区分共线向量、相等 向量等概念．
[变式探究] 判断下列命题是否正确，并说明理由． (1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b； (2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反； (3)由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行； (4)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向 量．
高考数学一轮总复习 第四章 第1节 平面向量的概念及线性运算课件
a0＝|aa|
共线(平 如果向量的基线__互__相__平__行__或__重__合___，则称这 向量 a 与 b 平行
行)向量 些向量共线或平行 记作 a∥b
相等 向量
__同__向__且__等__长____的有向线段表示同一向量， 或相等的向量
如A→B＝a
相反 向量
与向量 a__反__向____且等长的向量，叫做 a 的 相反向量
1．向量的有关概念
[要点梳理]
名称
定义
备注
向量
具有_大__小___和_方__向___的量；向量的大小叫 做向量的长度(或_模___)
如 a，A→B
零向量 __长__度__等__于__零___的向量；其方向不确定 记作 0
单位 向量
给定一个非零向量 a，与 a同__向__且__模__为__1__ 的向量，叫做向量 a 的单位向量，可记作 a0.
则A→B＝D→C是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件；③若 a
＝b，b＝c，则 a＝c；④a＝b 的充要条件是|a|＝|b|且 a∥b.
其中正确命题的序号是( )
A．②③
B．①②
C．③④
D．②③④
[解析] ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向 不一定相同．
②正确．∵A→B＝D→C，∴|A→B|＝|D→C|且A→B∥D→C， 又 A，B，C，D 是不共线的四点， ∴四边形 ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形 ABCD 为平行四边形， 则A→B∥D→C且|A→B|＝|D→C|， 因此， A→B＝D→C.
[解析] 由向量减法的三角形法则，易知选 B.
[答案] B
2．如图，e1，e2 为互相垂直的单位向量，则向量 a－b 可 表示为( )
2014届高考人教A版数学(理)一轮复习讲义5.1平面向量的概念及其线性运算
第1讲平面向量的概念及其线性运算【2014年高考会这样考】1．在平面几何图形中考查向量运算的平行四边形法则及三角形法则．2．考查平面向量的几何意义及共线向量定理的应用．对应学生70考点梳理1．向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的加法与减法平行四边形法则(1)定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下： ①|λa |＝|λ||a |；②当λ＞0时，λa 与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0.(2)运算律：设λ，μ是两个实数，则①λ(μa )＝(λμ)a ；②(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；③ λ(a ＋b )＝λa ＋λb . 4．共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使b ＝λa . 【助学·微博】 一条规律一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量． 一个结论在△ABC 中，若D 为BC 的中点，则AD→＝12(AB →＋AC →)． 一个区别向量的平行与直线的平行不同，向量的平行包括两向量所在直线平行和重合两种情形．考点自测1．若向量a 与b 不相等，则a 与b 一定( )． A ．有不相等的模 B ．不共线C ．不可能都是零向量D ．不可能都是单位向量解析 因为所有的零向量都是相等的向量，故只有C 正确． 答案 C2．若m ∥n ，n ∥k ，则向量m 与向量k ( )． A ．共线 B ．不共线C ．共线且同向D ．不一定共线解析 当n ＝0时，k 与m 不共线，故选D. 答案 D3．(2012·全国)△ABC 中，AB 边的高为CD ，若CB →＝a ，CA →＝b ，a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则AD →＝( )． A.13a －13b B.23a －23b C.35a －35b D.45a －45b解析 由题可知|AB |2＝22＋12＝5，因为AC 2＝AD ·AB ，所以AD ＝AC 2AB ＝455，∴AD→＝45AB →＝45(a －b )＝45a －45b . 答案 D4．D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →等于( )． A ．－BC→＋12BA → B ．－BC →－12BA → C.BC→－12BA → D.BC →＋12BA →解析 如图，CD→＝CB →＋BD →＝CB→＋12BA →＝－BC →＋12BA →. 答案 A5．设a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与2a －b 共线，则λ＝________.解析 由题意知：a ＋λb ＝k (2a －b )，则有：⎩⎪⎨⎪⎧1＝2k ，λ＝－k ，∴k ＝12，λ＝－12. 答案 －12对应学生71考向一 平面向量的有关概念【例1】►给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB→＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b .其中正确命题的序号是________．[审题视点] 以概念为判断依据，或通过举反例．解析 ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． ②正确．∵AB→＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又∵A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB→∥DC →且|AB →|＝|DC →|，因此，AB →＝DC →.③正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同； 又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ] ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件． 综上所述，正确命题的序号是②③.答案 ②③准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法．【训练1】 给出下列四个命题：①a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线；②任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四顶点；③向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量；④有相同起点的两个非零向量不平行． 其中所有正确命题的序号是________．解析 由于零向量与任一向量都共线，命题①中的b 可能为零向量，从而不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，更不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以命题②不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以命题④不正确；③正确．综上所述，正确命题的序号是③.答案 ③ 考向二 平面向量的线性运算【例2】►如图，在梯形ABCD 中，|AB→|＝2|DC →|，M ，N 分别是DC ，AB 的中点．若AB →＝e 1，AD →＝e 2，用e 1，e 2表示DC →，BC →，MN →. [审题视点] 结合图形，灵活运用三角形法则和平行四边形法则进行加减运算． 解 DC→＝12AB →＝e 12； BC→＝BA →＋AC →＝－AB →＋AC →＝AD →＋DC →－AB →＝AD →－12AB →＝e 2－12e 1；MN →＝MD →＋DA →＋AN →＝－14AB →－AD →＋12AB → ＝14AB →－AD →＝14e 1－e 2.用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或平行四边形；③运用法则找关系；④化简结果． 【训练2】在△ABC 中，AD→＝23AB →，DE ∥BC 交AC 于点E ，BC 边上的中线AM 交DE 于点N .设AB→＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示向量AE →，BC →，DE →，DN →，AM →，AN →.解⎩⎨⎧DE→∥BC →，AD →＝23AB→⇒AE→＝23AC →＝23b ， BC →＝AC →－AB →＝b －a .由△ADE ∽△ABC ，得DE→＝23BC →＝23(b －a )．又AM 是△ABC 的边BC 上的中线，DE ∥BC ， ∴DN→＝12DE →＝13(b －a )．AM→＝AB →＋BM →＝a ＋12BC →＝a ＋12(b －a )＝12(a ＋b )．由⎩⎪⎨⎪⎧△ADN ∽△ABM ，AD →＝23AB →⇒AN →＝23AM →＝13(a ＋b )．考向三 共线向量定理的应用【例3】►设两个非零向量a 与b 不共线． (1)若AB→＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )． 求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．[审题视点] (1)先证明AB →，BD →共线，再说明它们有一个公共点；(2)利用共线向量定理列出方程组求k .(1)证明 ∵AB→＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．∴BD→＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB→，BD →共线，又它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． (2)解 假设k a ＋b 与a ＋k b 共线， 则存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即(k －λ)a ＝(λk －1)b .又a ，b 是两不共线的非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0.∴k 2－1＝0.∴k ＝±1.共线向量定理的条件和结论是充要条件关系，既可以证明向量共线，也可以由向量共线求参数．利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点．【训练3】 若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b 起点相同，则当t 为何值时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一条直线上？ 解 设OA→＝a ，OB →＝t b ，OC →＝13(a ＋b )，∴AC→＝OC →－OA →＝－23a ＋13b ，AB →＝OB →－OA →＝t b －a . 要使A ，B ，C 三点共线，只需AC→＝λAB →.即－23a ＋13b ＝λt b －λa .又a 与b 为不共线的非零向量 ∴有⎩⎪⎨⎪⎧ －23＝－λ，13＝λt ⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，t ＝12.∴当t ＝12时，三向量终点在同一直线上．对应学生72方法优化6——准确把握平面向量的概念和运算【命题研究】通过近三年的高考试题分析，平面向量的概念和运算时常以选择题、填空题的形式出现，有时解答题的题设条件也以向量的形式给出，命题的出发点主要是以平面图形为载体，借助平面几何、解析几何等知识，考查平面向量的线性运算法则及其几何意义以及两个向量共线的充要条件，或以向量为载体求参数的值．【真题探究】►(2012·浙江)设a，b是两个非零向量．()．A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥bB．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λaD．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|[教你审题] 思路1 根据选项逐个进行排除．思路2 将模的运算转化为数量积的形式进行分析．[一般解法] (排除法)选项A，若b＝－a，则等式|a＋b|＝|a|－|b|成立，显然a ⊥b不成立；选项B，若a⊥b且|a|＝|b|，则|a|－|b|＝0，显然，|a＋b|＝2|a|≠0，故|a＋b|＝|a|－|b|不成立；选项D，若b＝a，则|a|－|b|＝0，显然，|a＋b|＝2|a|≠0，故|a＋b|＝|a|－|b|不成立．综上，A，B，D都不正确，故选C.[优美解法] (数量积法)把等式|a＋b|＝|a|－|b|两边平方，得(a＋b)2＝(|a|－|b|)2，即2a·b＝－2|a|·|b|，而a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，所以cos〈a，b〉＝－1.又因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝π，即a，b为方向相反的共线向量．故C正确．[答案] C[反思] 在高考结束后，了解到部分学生做错的主要原因是：题中的条件“|a＋b |＝|a |－|b |”在处理过程中误认为“|a ＋b |＝|a －b |”，从而得到“a ⊥b ”这个错误的结论．【试一试】 在△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OD 是AB 边上的高，若AD →＝λAB →，则实数λ＝( )． A.a ·(a －b )|a －b | B.a ·(b －a )|a －b |C.a ·(a －b )|a －b |2D.a ·(b －a )|a －b |2解析 由AD→＝λAB →，∴|AD →|＝λ|AB →|. 又∵|AD →|＝|a |cos A ＝|a |·a ·(a －b )|a ||b －a |＝a ·(a －b )|b －a |，|AB →|＝|b －a |，∴λ＝a ·(a －b )|b －a |2＝a ·(a －b )|a －b |2.故选C. 答案 C对应学生265A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2013·合肥检测)已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( )．A.AO→＝OD → B.AO →＝2OD →C.AO→＝3OD →D ．2AO→＝OD → 解析 由2OA →＋OB →＋OC →＝0可知，O 是底边BC 上的中线AD 的中点，故AO →＝OD→.答案 A2．已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，且四边形ABCD 为平行四边形，则 ( )． A ．a －b ＋c －d ＝0 B ．a －b －c ＋d ＝0 C ．a ＋b －c －d ＝0D ．a ＋b ＋c ＋d ＝0解析 依题意，得AB→＝DC →，故AB →＋CD →＝0，即OB →－OA →＋OD →－OC →＝0，即有OA →－OB →＋OC →－OD →＝0，则a －b ＋c －d ＝0.选A. 答案 A3．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C .若OA →＋2OC →＝3OB →，则|BC →||AB →|的值为 ( )．A.12B.13C.14D.16解析 由OA →＋2OC →＝3OB →，得OA →－OB →＝2OB →－2OC →，即BA →＝2CB →，所以|BC →||AB →|＝12.故选A. 答案 A4．(2011·山东)设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2.已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下列说法正确的是 ( )． A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点 C ．C 、D 可能同时在线段AB 上D ．C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上解析 若A 成立，则λ＝12，而1μ＝0，不可能；同理B 也不可能；若C 成立，则0＜λ＜1，且0＜μ＜1，1λ＋1μ＞2，与已知矛盾；若C ，D 同时在线段AB 的延长线上时，λ＞1，且μ＞1，1λ＋1μ＜2，与已知矛盾，故C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上，故D 正确． 答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·泰安模拟)设a ，b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为________． 解析 ∵BD→＝BC →＋CD →＝2a －b ，又A ，B ，D 三点共线， ∴存在实数λ，使AB →＝λBD →.即⎩⎪⎨⎪⎧2＝2λ，p ＝－λ，∴p ＝－1. 答案 －16.如图，在矩形ABCD 中，|AB→|＝1，|AD →|＝2，设AB →＝a ，BC→＝b ，BD →＝c ，则|a ＋b ＋c |＝________. 解析 根据向量的三角形法则有|a ＋b ＋c |＝|AB →＋BC →＋BD →|＝|AB →＋BD →＋AD →|＝|AD →＋AD →|＝2|AD →|＝4. 答案 4三、解答题(共25分)7．(12分)如图，在平行四边形OADB 中，设OA→＝a ，OB →＝b ，BM→＝13BC →，CN →＝13CD →.试用a ，b 表示OM →，ON →及MN →. 解 由题意知，在平行四边形OADB 中，BM→＝13BC →＝16BA →＝16(OA →－OB →)＝16(a－b )＝16a －16b ，则OM→＝OB →＋BM →＝b ＋16a －16b ＝16a ＋56b . ON→＝23OD →＝23(OA →＋OB →)＝23(a ＋b )＝23a ＋23b ，MN →＝ON →－OM →＝23(a ＋b )－16a －56b ＝12a －16b .8．(13分)(1)设两个非零向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝2e 1＋3e 2，BC →＝6e 1＋23e 2，CD →＝4e 1－8e 2，求证：A ，B ，D 三点共线． (2)设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，求k 的值． (1)证明 因为BC →＝6e 1＋23e 2，CD →＝4e 1－8e 2， 所以BD →＝BC →＋CD →＝10e 1＋15e 2.又因为AB →＝2e 1＋3e 2，得BD →＝5AB →，即BD →∥AB →，又因为AB →，BD →有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线． (2)解 D B →＝CB →－CD →＝e 1＋3e 2－2e 1＋e 2＝4e 2－e 1，AB →＝2e 1＋k e 2， 若A ，B ，D 共线，则AB →∥D B →，设D B →＝λAB →，所以⎩⎨⎧－1＝2λ，4＝λk⇒k ＝－8.B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2013·济南一模)已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12OA →＋12OB →＋2OC →，则点P 一定为三角形ABC 的 ( )．A ．AB 边中线的中点B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．AB 边的中点解析 设AB 的中点为M ，则12OA →＋12OB →＝OM →，∴OP→＝13(OM →＋2OC →)＝13OM →＋23OC →，即3OP →＝OM →＋2OC →，也就是MP →＝2PC →，∴P ，M ，C 三点共线，且P 是CM 上靠近C 点的一个三等分点． 答案 B2．若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为( )．A.15B.25C.35D.45解析 设AB 的中点为D ，由5AM →＝AB →＋3AC →，得3AM →－3AC →＝2AD →－2AM →，即3CM →＝2MD →.如图所示，故C ，M ，D 三点共线，且MD →＝35CD →，也就是△ABM 与△ABC对于边AB 的两高之比为3∶5，则△ABM 与△ABC 的面积比为35，选C. 答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)3．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________．解析 OB→＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →，OB→－OC →＝CB →＝AB →－AC →，∴|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|. 故A ，B ，C 为矩形的三个顶点，△ABC 为直角三角形． 答案 直角三角形4.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC→＝nAN →，则m ＋n 的值为________． 解析 ∵O 是BC 的中点， ∴AO→＝12(AB →＋AC →)．又∵AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，∴AO →＝m 2AM →＋n 2AN →. ∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n2＝1，则m ＋n ＝2. 答案 2三、解答题(共25分)5．(12分)如图所示，在△ABC 中，在AC 上取一点N ，使得AN ＝13AC ，在AB 上取一点M ，使得AM ＝13AB ，在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ，在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ→＝λCM →时，AP →＝QA →，试确定λ的值．解 ∵AP→＝NP →－NA →＝12(BN →－CN →)＝12(BN →＋NC →)＝12BC →，QA →＝MA →－MQ →＝12BM →＋λMC→，又∵AP→＝QA →，∴12BM →＋λMC →＝12BC →， 即λMC→＝12MC →，∴λ＝12.6．(13分)已知点G 是△ABO 的重心，M 是AB 边的中点． (1)求GA→＋GB →＋GO →；(2)若PQ 过△ABO 的重心G ，且OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b ，求证：1m ＋1n ＝3.(1)解 ∵GA→＋GB →＝2GM →，又2GM →＝－GO →，∴GA→＋GB →＋GO →＝－GO →＋GO →＝0. (2)证明 显然OM→＝12(a ＋b )．因为G 是△ABO 的重心，所以OG →＝23OM →＝13(a＋b )．由P ，G ，Q 三点共线，得PG →∥GQ →，所以，有且只有一个实数λ，使PG →＝λGQ→.而PG →＝OG →－OP →＝13(a ＋b )－m a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ，GQ →＝OQ →－OG →＝n b －13(a ＋b )＝－13a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13b ， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13b . 又因为a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧13－m ＝－13λ，13＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13，消去λ，整理得3mn ＝m ＋n ，故1m ＋1n ＝3.。