湖南省雅礼中学2019届高三上学期11月份月考(三)数学理试卷(含答案)
雅礼中学2019届高三11月月考试卷(三)
数学(理科)
本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页．时量120分钟．满分150分．
第I 卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设全集I 是实数集R ，{}()(){}3,310M x x N x x x =≥=--≤都是I 的子集(如图所示)，则阴影部分所表示的集合为
A. {}
13x x <<B ．{}13x x ≤<C ．{}13x x <≤D ．{
}13x x ≤≤2．设()1+1i x yi =+，其中,x y 是实数，则x yi +=
A.1B 23
D ．23．已知命题p ：函数12x y a +=-的图象恒过定点(1，2)；命题q ：若函数()1y f x =-为偶函数，则
函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，则下列命题为真命题的是
A. p q ∨B ．p q ∧ C ．p q ⌝∧D ．p q
∨⌝4．某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，
[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是
A.56B ．60C ．120D ．140
5．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：
①()sin f x x =；②()cos f x x =；③()1f x x =
；④()2.f x x =则输出的函数是
A. ()sin f x x
= B. ()cos f x x =C. ()1
f x x
= D. ()2f x x =
6．若变量,x y 满足222,239,0,x y x y x y x +≤⎧⎪-≤+⎨⎪≥⎩
则的最大值是
A.4B ．9 C.10D ．12
7．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.则下列说法错误的是
A. 此人第二天走了九十六里路
B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里
C ．此人第三天走的路程占全程的
18
D ．此人后三天共走了42里路
8．如图，下列三图中的多边形均为正多边形，M 、N 是所在边上的中点，双曲线均以图中12F F ，为焦点．设图①②③中双曲线的离心率分别为123,,e e e
，则A. 123e e e >> B. 321e e e >> C. 213e e e >= D. 132
e e e =>9．已知△ABC 是边长为4的等边三角形，P 为△ABC 内一点，则()
PA PB PC ⋅+ 的最小值为A. 3-B ．6-C ．2-D ．8
3
-10．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如
图所示，则该截面的面积为A. 9
2
B ．4
C ．3
11．如图，已知抛物线1C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，且过点
(2，4)，圆222:430C x y x +-+=，过圆心2C 的直线l 与抛物线和圆分
别交于P ，Q ，M ，N ，则9PN QM +
的最小值为
A.36
B ．42C.49D ．50
12．已知函数()23236,0,34,0,x x x f x A x x x ⎧-+≥⎪==⎨--+<⎪⎩设()({}
0x Z x f x a ∈-≥，若A 中有且仅有4个元素，则满足条件的整数a 的个数为
A.31B ．32 C.33 D.34
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和．若212593,10a a S a +=-=，则的值是___________．
14．定义在区间[]03π，
上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象的交点个数是___________．15．若直线1ax by +=(,a b 都是正实数)与圆221x y +=相交于A ，B 两点，当△AOB(O 是坐标原点)的面积最大时，a b +的最大值为________．
16．如右图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，作以A 为顶点，分别以
AB ，AD ，AA 1为轴，底面圆半径为()01r r <≤的圆锥．当半径r 变化时，正方体挖去三个14
圆锥部分后，余下的几何体的表面积的最小值是__________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：60分．
17．(本小题满分12分)
已知△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边分别为,,,a b c ABC ∆的面积S 满足222
a b c =+-．(1)求角C 的值；
(2)求()cos 2cos A A B +-的取值范围．18.(本小题满分12分)
如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面
ABCD ，AD=2BC=2，∠BAD=∠ABC= 90°．
(1)证明：PC BC ⊥；
(2)若直线PC 与平面PAD 所成角为30°，求二面角B —PC —D 的余弦
值．
19．(本小题满分12分)已知椭圆22
124
x y +=两焦点分别为12,F F P 、是椭圆在第一象限弧上一点，并满足121PF PF = ，过P 作倾斜角互补的两条直线PA 、PB 分别交椭圆于A 、B 两点．
(1)求P 点坐标；
(2)求证：直线AB 的斜率为定值；
(3)求△PAB 面积的最大值．
20．(本小题满分12分)
十九大提出，加快水污染防治，建设美丽中国．根据环保部门对某河流的每年污水排放量X(单位：吨)
的历史统计数据，得到如下频率分布表：
将污水排放量落入各组的频率作为概率，并假设每年该河流的污水排放量相互独立．
(1)求在未来3年里，至多1年污水排放量[)270310X ∈，
的概率；(2)该河流的污水排放对沿河的经济影响如下：当[)2300X ∈，27时，没有影响；当
[)270310X ∈，时，经济损失为10万元；当X ∈[310，350)时，经济损失为60万元．为减少损失，现有三种应对方案：
方案一：防治350吨的污水排放，每年需要防治费3.8万元；
方案二：防治310吨的污水排放，每年需要防治费2万元；
方案三：不采取措施．
试比较上述三种方案，哪种方案好，并请说明理由．
21．(本小题满分12分)
已知函数()()2
8ln f x x x a x a R =-+∈．(1)当1x =时，()f x 取得极值，求a 的．
(2)当函数()f x 有两个极值点()12121,1x x x x x <≠，且时，总有()()21111
ln 2431a x m x x x >-+--
成立，
求m 的取值范围．
(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，曲线1:2cos C ρθ=，曲线22:sin 4cos C ρθθ=.以极点为坐标原点，极轴为x 轴正
半轴建立直角坐标系xOy ，曲线C
的参数方程为12,2x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)
(1)求12,C C 的直角坐标方程；
(2)C 与12,C C 交于不同四点，这四点在C 上的排列顺次为P ，Q ，R ，S ，求PQ RS -的值.
23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲
已知函数()243f x x a x =-++．
(1)若2a =时，解不等式：()22f x >；
(2)对任意实数x ，不等式()34f x a ≥+恒成立，求实数a 的取值范围．。
湖南省长沙市雅礼中学2019届高三上学期月考(一)数学(理)试题含答案
C
(cos )sin , c (sin )cos ，则 ． b<a<c D ． c<a<b
8．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题“今有金，长五尺、斩本一尺，重四斤，斩末
一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是： “现有一根金杖，长 5 尺，一头粗，一头细，
在粗的一端截下 1 尺，重 4 斤；在细的一端截下 1 尺，重 2 斤：问依次每一尺各重多少斤？”
6．函数 y＝ f （ x）是 R 上的奇函数，满足 f （3＋ x）＝ f （ 3－ x），当 x （0， 3）
f
（
x
）＝
2
x
，则当
x
（－ 6，－ 3）时， f （ x）＝
A．
x
2
6
B
．
x6
2
x6
C
、2
D
．
x6
2
7．已知 A． a<b<c
(0, ), a (sin )sin ,b 4
B ． a<c<b
． [ 2, 1) 3
C ． ( 1 , 2] 3
2 cos 2xdx ，则 a 等于
0
D ． (1 , 2) 3
A． 1
B
．1 C ．2 D ．4
3．函数 f ( x) x2 2(a 1)x 与 g( x) 个充分不必要条件是实数 a
a1
这两个函数在区间［ 1． 2］上都是减函数 B ． ( 1,0) (0,2)
C ． (1, 2) D
． (1,2]
x1
4．已知实数 x，y 满足
y 1 ，则 x＋ y 的取值范围为
2x y 6
A． [2,5]
雅礼重点中学22019届高三上11月份月考(三)数学文试卷有答案
2019届高三月考试卷(三)数 学(文科)本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。
时量120分钟。
满分150分。
第I 卷一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个，选项中只有一个选项是符合题目要求的． 1(i 为虚数单位)等于A.1B ．1-C ．iD ．i -2．若集合{13,11,A y y x x B x x A B ⎧⎫==-≤≤==⋂=⎨⎬⎩⎭，则A. (]1-∞，B. []11-，C. ∅D. {}13．已知向量()1,2a =，向量()(),2,b x a a b =-⊥-且，则实数x 等于 A.9B.4C.0D. 4-4．已知{}n a 为等差数列，若()15928cos a a a a a π++=+，则的值为A. 12- B． C. 12 D5．若圆226260x y x y +--+=上有且仅有三个点到直线10ax y -+=(a 是实数)的距离为1，则a 等于A. 1±B. 4±C.D．6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别是,,a b c ，若角,,,3B a b c π=成等差数列，且6ac b =，则的值是A.B.C.D. 7．如图，函数()y f x =的图象在点()(5,5P f 处的切线方程是()()855y x f f '=-++=，则A.12B. 1C. 2D.08．若将函数cos y x x =的图象向左平移()0m m >个单位后，所得图象关于y 轴对称，则实数m 的最小值为 A.6π B.3π C.23π D.56π 9．不等式组0,34,34x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域的面积等于A.32B.23C.43D.3410．阅读右边的程序框图，则输出的S= A.14 B.20 C.30D.5511.函数()2,0,4sin ,0,x x f x x x π⎧≤=⎨<≤⎩则集合()(){}0x f f x =中元素的个数有A.2个B.3个C.4个D.5个12．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()(),2f x f x f x -=--=()2,f x +x ∈且()1,0-时，()()()2122018log 205x f x f f =++=，则A.1B ．45C. 1-D ．45-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，其中正视图是直角梯形，侧视图和俯视图都是矩形，则这个几何体的体积是____________cm 3．14.已知()2810,0x y x y x y+=>>+，则的最小值为__________． 15．已知()1,4,A F 是双曲线221412x y -=的左焦点，P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为_____________．16．若关于x 的不等式()2221x ax -<的解集中整数恰好有3个，则实数a 的取值范围是___________．三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()111,1n n a S a n N *+==-∈．(1)证明数列{}n a 是等比数列，并求{}n a 的通项公式； (2)若()21log nn n n b a a =+-，求数列{}n b 的前2项的和2n T ．18．(本小题满分12分)如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，2,AD PA CD E F ===、分别是AB 、PD 的中点． (1)求证：AF ⊥平面PCD ． (2)求三棱锥P EFC -的体积．19．(本小题满分12分)为了了解某学校高三年级学生的数学成绩，从中抽取n 名学生的数学成绩(百分制)作为样本；按成绩分成5组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，频率分布直方图如图所示．成绩落在[70，80)中的人数为20． (1)求a 和n 的值；(2)根据样本估计总体的思想，估计该校高三学生数学成绩的平均数x 和中位数m ；(3)成绩在80分以上(含80分)为优秀，样本中成绩落在[50，80)中的男、女生人数比为1：2，成绩落在[80，100]中的男、女生人数比为3：2，完成2×2列联表，并判断是否有95％的把握认为数学成绩优秀与性别有关．参考公式和数据：()()()()()22,n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++．20．(本小题满分12分)知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，过抛物线的焦点且斜率为1的直线与抛物线交于A 、B 两点，若16AB =．(1)求抛物线的方程；(2)若AB 的中垂线交抛物线于C 、D 两点，求过A 、B 、C 、D 四点的圆的方程．21.(本小题满分12分) 已知函数()1ln f x a x x=+． (1)若()12x f x =是的极值点，求a 的值，并求()f x 的单调区间； (2)在（1）的条件下，当0m n <<时，求证：()()22112.2m n f m n f n n m n--+-<++．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．(本小题满分10分)(坐标系与参数方程)已知圆的极坐标方程为2cos 604πρθ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭． (1)将圆的极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程； (2)若点(),P x y 在该圆上，求x y +的最大值与最小值的和．23．(本小题满分10分)(不等式选讲) 已知函数()f x x a =-．(1)若不等式()3f x ≤的解集为{}15x x -≤≤，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若()()5f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．。
湖南省雅礼中学2019届高三上学期11月份月考(三)数学理试题含答案.doc
- 1 - 雅礼中学2019届高三11月月考试卷(三)
数学(理科)
本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页．时量120分钟．满分150分．
第I 卷
一、选择题：本题共
12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设全集I 是实数集R ，3,310M
x x N x x x 都是I 的子集(如图所示)，则阴影部分所表示的集合为
A. 13x x
B ．13x x
C ．1
3x x D ．13x x 2．设1+1i x yi ，其中,x y 是实数，则x
yi A.1
B ．2 C. 3D ．2 3．已知命题
p ：函数12x y a 的图象恒过定点(1，2)；命题q ：若函数1y f x 为偶函数，则函数
y f x 的图象关于直线1x 对称，则下列命题为真命题的是A. p q B ．p q C ．p q D ．p q
4．某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是
[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)，
[25，27.5)，[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于
22.5小时的人数是A.56 B ．60 C ．120 D ．140
5．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：
①sin f x x ；②cos f x x ；③1
f x x ；④2
.f x x 则输出的函数是
A. sin f x x
B. cos f x x。
2024-2025学年湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考(三)数学试题(含答案)
2024-2025学年湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考（三）数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“存在x∈Z，x2+2x+m≤0”的否定是( )A. 存在x∈Z，x2+2x+m>0B. 不存在x∈Z，x2+2x+m>0C. 任意x∈Z，x2+2x+m≤0D. 任意x∈Z，x2+2x+m>02.已知集合A={ i , i2 , i3 ,i4 }(i是虚数单位)，B={ 1 , −1 }，则A∩B=( )A. { −1 }B. { 1 }C. { 1 , −1 }D. ⌀3.已知奇函数f(x)=(2x+m⋅2−x)cos x，则m=( )A. −1B. 0C. 1D. 124.已知m，l是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，则下列可以推出α⊥β的是( )A. m⊥l,m⊂β,l⊥αB. m⊥l,α∩β=l,m⊂αC. m//l,m⊥α,l⊥βD. l⊥α,m//l,m//β5.已知函数f(x)=4cos(ωx+φ)(ω>0)图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为5，则f(−6φπ)=( )A. 0B. 2φC. 4D. φ26.已知M是圆C:x2+y2=1上一个动点，且直线l1:mx−ny−3m+n=0与直线l2:nx+my−3m−n=0(m,n∈R,m2+n2≠0)相交于点P，则|PM|的取值范围是( )A. [3−1,23+1]B. [2−1,32+1]C. [2−1,22+1]D. [2−1,33+1]7.P是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点，F1、F2是C的两个焦点，PF1⋅PF2=0;点Q在∠F1PF2的平分线上，O为原点，OQ//PF1，且|OQ|=b.则C的离心率为( )A. 12B. 33C. 63D. 328.设集合A={(x1,x2,x3,x4,x5)|x i∈{−1,0,1},i=1,2,3,4,5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+ |x4|+|x5|≤3”的元素个数为( )A. 60B. 90C. 120D. 130二、多选题：本题共3小题，共18分。
湖南省长沙市雅礼中学2024-2025学年高三上学期月考(三)数学试题(含解析)
雅礼中学2025届高三月考试卷（三）数学命题人：审题人：得分：________本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟，满分150分.第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“存在，”的否定是A.存在，B.不存在，C.任意，D.任意，2.若集合（i 是虚数单位），，则等于A. B. C. D.3.已知奇函数，则A.-1B.0C.1D.4.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列可以推出的是A.，， B.，，C.，， D.，，5.已知函数图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为5，则A.0B. C.4D.x ∈Z 220x x m ++…x ∈Z 220x x m ++>x ∈Z 220x x m ++>x ∈Z 220x x m ++…x ∈Z 220x x m ++>{}2341,i ,i ,i A ={}1,1B =-A B ⋂{}1-{}1{}1,1-∅()()22cos x x f x m x -=+⋅m =12m l αβαβ⊥m l ⊥m β⊂l α⊥m l ⊥l αβ⋂=m α⊂m l m α⊥l β⊥l α⊥m l m β()()4cos (0)f x x ωϕω=+>6f ϕπ⎛⎫-=⎪⎝⎭2ϕ2ϕ6.已知是圆上一个动点，且直线与直线（，，）相交于点，则的取值范围为A. B.C. D.7.是椭圆上一点，，是的两个焦点，，点在的角平分线上，为原点，，且.则的离心率为A.8.设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为A.60B.90C.120D.130二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是A.这10年粮食年产量的极差为16B.这10年粮食年产量的第70百分位数为35C.这10年粮食年产量的平均数为33.7D.前5年的粮食年产量的方差小于后5年粮食年产量的方差10.已知函数满足，，并且当时，，则下列关于函数说法正确的是M 22:1C x y +=1:30l mx ny m n --+=2:30l nx my m n +--=m n ∈R 220m n +≠P PM 1,1⎤-+⎦1⎤-⎦1,1⎤-+⎦1⎤+⎦P 2222:1(0)x y C a b a b+=>>1F 2F C 120PF PF ⋅= Q 12F PF ∠O 1OQPF OQ b =C 12(){}{}{}12345,,,,|1,0,1,1,2,3,4,5iAx x x x x x i ∈-=A 1234513x x x x x ++++……()f x ()()22f x f x ππ+=-()()0fx f x ππ++-=()0,x π∈()cos f x x =()f xA. B.最小正周期C.的图象关于直线对称D.的图象关于对称11.若双曲线，，分别为左、右焦点，设点是在双曲线上且在第一象限的动点，点为的内心，，则下列说法不正确的是A.双曲线的渐近线方程为B.点的运动轨迹为双曲线的一部分C.若，，则D.不存在点，使得取得最小值答题卡题号1234567891011得分答案第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中的系数为________.13.各角的对应边分别为，，，满足，则角的取值范围为________.14.对任意的，不等式（其中e 是自然对数的底）恒成立，则的最大值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）设为正项等比数列的前项和，，.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，，求数列的前项和.302f π⎛⎫=⎪⎝⎭2T π=()f x x π=()f x (),0π-22:145x y C -=1F 2F P I12PF F △()0,4A C 045x y±=I 122PF PF =12PI xPF yPF =+ 29y x -=P 1PA PF +523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭4x ABC △a b c 1b ca c a b+++…A *n ∈N 11e 1nan n n ⎛⎫⎛⎫+⋅ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭…a n S {}n a n 21332S a a =+416a ={}n a {}n b 11b =1222log log n nn n b a b a ++={}n b n n T16.（本小题满分15分）如图，在四棱锥，，，，点在上，且，.（1）若为线段的中点，求证：平面；（2）若平面，求平面与平面所成夹角的余弦值.17.（本小题满分15分）已知函数有两个极值点为，，.（1）当时，求的值；（2）若（e 为自然对数的底数），求的最大值.18.（本小题满分17分）已知抛物线的焦点为，为上任意一点，且的最小值为1.（1）求抛物线的方程；（2）已知为平面上一动点，且过能向作两条切线，切点为，，记直线，，的斜率分别为，，，且满足.①求点的轨迹方程；②试探究：是否存在一个圆心为，半径为1的圆，使得过可以作圆的两条切线，，切线，分别交抛物线于不同的两点，和点，，且为定值？若存在，求圆的方程，不存在，说明理由.19.（本小题满分17分）对于一组向量，，，…，（且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”.（1）设，且，若是向量组，，的“长向量”，求实数的取值范P ABCD -BCAD 1AB BC ==3AD =E AD PE AD ⊥2DE PE ==F PE BFPCD AB ⊥PAD PAB PCD ()21ln 2f x x x ax =+-1x ()212x x x <a ∈R 52a =()()21f x f x -21e x x …()()21f x f x -2:2(0)E x py p =>F H E HF E P P E M N PM PN PF 1k 2k 3k 123112k k k +=P ()0,(0)Q λλ>P Q 1l 2l 1l 2l E ()11,A s t ()22,B s t ()33,C s t ()44,D s t 1234s s s s Q 1a 2a 3a n a N n ∈3n …123n n S a a a a =++++{}()1,2,3,,p a p n ∈ p n p a S a - …p a(),2n a n x n =+n ∈N 0n >3a 1a 2a 3ax围；（2）若，且，向量组，，，…，是否存在“长向量”？给出你的结论并说明理由；（3）已知，，均是向量组，，的“长向量”，其中，.设在平面直角坐标系中有一点列，，，…，，满足为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与（且）关于点对称，求的最小值.sin,cos 22n n n a ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭n ∈N 0n >1a 2a 3a 7a 1a 2a 3a 1a2a3a()1sin ,cos a x x =()22cos ,2sin a x x = 1P 2P 3P n P 1P 2P 3a 21k P +2k P 1P 22k P +21k P +k ∈N 0k >2P10151016P P参考答案一、二、选择题题号1234567891011答案DCADCBCDACDADABD1.D2.C 【解析】集合，，.故选C.3.A【解析】是奇函数，，，，，.故选A.4.D 【解析】有可能出现，平行这种情况，故A 错误；会出现平面，相交但不垂直的情况，故B 错误；，，，故C 错误；，，又由，故D 正确.故选D.5.C 【解析】设的最小正周期为，函数图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为5，则有，得，则有，解得，所以，所以.故选C.6.B 【解析】依题意，直线恒过定点，直线恒过定点，显然直线，因此，直线与交点的轨迹是以线段为直径的圆，其方程为：，圆心，半径，而圆的圆心，半径，如图：，两圆外离，由圆的几何性质得：，{}i,1,1,i A =--{}1,1B =-{}1,1A B ⋂=-()f x ()()22cos x x f x m x -=+⋅()()()2222x x x xf x f x m --⎡⎤∴+-=+++⎣⎦cos 0x =()()122cos 0x x m x -∴++=10m ∴+=1m =-αβαβm l m α⊥l βαβ⊥⇒ l α⊥m l m α⇒⊥ m βαβ⇒⊥ ()f x T 224254T ⎛⎫+= ⎪⎝⎭12T =212πω=6πω=()4cos 6f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭664cos 4cos046f ϕϕπϕππ⎛⎫⎛⎫-=-⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()1:310l m x n y ---=()3,1A ()()2:130l n x m y -+-=()1,3B 12l l ⊥1l 2l P AB 22(2)(2)2x y -+-=()2,2N 2r =C ()0,0C 11r =12NC r r =>+12min1PMNC r r =--=-，所以的取值范围为.故选B.7.C 【解析】如图，设，，延长交于点，由题意知，为的中点，故为中点，又，即，则，又由点在的角平分线上得，则是等腰直角三角形，故有化简得即代入得，即，又，所以，所以，.故选C.8.D 【解析】因为或，所以若，则在中至少有一个，且不多于3个.所以可根据中含0的个数进行分类讨论.①五个数中有2个0，则另外3个从1，-1中取，共有方法数为，②五个数中有3个0，则另外2个从1，-1中取，共有方法数为，③五个数中有4个0，则另外1个从1，-1中取，共有方法数为，所以共有种.故选D.9.ACD 【解析】将样本数据从小到大排列为26，28，30，32，32，35，35，38，39，42，这10年的粮食年产量极差为，故A 正确；，结合A 选项可知第70百分位数为第7个数和第812max1PMNC r r =++=+PM 1⎤-+⎦1PF m =2PF n =OQ 2PF A 1OQ PF O 12F F A 2PF 120PF PF ⋅= 12PF PF ⊥2QAP π∠=Q 12F PF ∠4QPA π∠=AQP △2222,4,11,22m n a m n c b n m ⎧⎪+=⎪+=⎨⎪⎪+=⎩2,2,m n b m n a -=⎧⎨+=⎩,,m a b n a b =+⎧⎨=-⎩2224m n c +=222()()4a b a b c ++-=2222a b c +=222b a c =-2223a c =223e =e =0i x =1i x =1234513x x x x x ++++……()1,2,3,4,5i x i =1i x =i x 2315C 2N =⋅3225C 2N =⋅435C 2N =⋅23324555C 2C 2C 2130N =⋅+⋅+⋅=422616-=1070%7⨯=个数的平均数，即，故B 不正确；这10年粮食年产量的平均数为，故C 正确；结合图形可知，前5年的粮食年产量的波动小于后5年的粮食产量波动，所以前5年的粮食年产量的方差小于后5年的粮食年产量的方差，故D 正确.故选ACD.10.AD 【解析】由于时，，并且满足，则函数的图象关于直线对称.由于，所以，故，故，故函数的最小正周期为，根据，知函数的图象关于对称.由于时，，，故A 正确，由于函数的最小正周期为，故B 错误；由函数的图象关于对称，易知的图象不关于直线对称，故C 错误；根据函数图象关于点对称，且函数图象关于直线对称，知函数图象关于点对称，又函数的最小正周期为，则函数图象一定关于点对称，故D 正确.故选AD.11.ABD 【解析】双曲线，可知其渐近线方程为，A 错误；设，，的内切圆与，，分别切于点，，，可得，，，由双曲线的定义可得：，即，又，解得，则点的横坐标为，由点与点的横坐标相同，即点的横坐标为，故在定直线上运动，B 错误；由，且，解得，，，，则，同理可得：，设直线，直线，联立方程得，设的内切圆的半径为，则，解得，即，353836.52+=()13232302835384239263533.710⨯+++++++++=()0,x π∈()cos f x x =()()22f x f x ππ+=-()f x 2x π=()()0fx f x ππ++-=()()fx f x ππ+=--()()()()()22f xf x f x f x ππππ--+=+=--=-()()()24f x f x f x ππ=-+=+4π()()0fx f x ππ++-=()f x (),0π()0,x π∈()cos f x x =3cos 022222f f ff πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=--=-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭4π()f x (),0π()f x x π=(),0π2x π=()3,0π4π(),0π-22:145x y C -=02x =1PF m =2PF n =12PF F △1PF 2PF 12F F S K T PS PK =11F S FT =22F T F K =2m n a -=12122F S F K FT F T a -=-=122FT F T c +=2F T c a =-T a I T I 2a =I 2x =122PF PF =1224PF PF a -==18PF =24PF =1226F F c ==126436167cos 2868PF F ∠+-∴==⨯⨯12sin PF F ∠==12tan PF F ∠∴=21tan PF F ∠=)1:3PF y x =+)2:3PF y x =-(P 12PF F △r ()12118684622PF F S r =⨯⨯=⨯++⋅△r =I ⎛ ⎝，，，由，可得解得，，故，C 正确；，，当且仅当，，三点共线取等号，易知，故存在使得取最小值，D 错误.故选ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.90 【解析】展开式的通项公式为，令，解得，所以展开式中的系数为.13. 【解析】从所给条件入手，进行不等式化简，观察到余弦定理公式特征，进而利用余弦定理表示，由可得，可得.14. 【解析】对任意的，不等式（其中e 是自然对数的底）恒成立，只需恒成立，只需恒成立，只需恒成立，2,PI ⎛∴=- ⎝ (17,PF =- (21,PF =- 12PI xPF yPF =+ 27,,x y -=--⎧⎪⎨=⎪⎩29x =49y =29y x -=1224PF PF a -== 12244PA PF PA PF AF ∴+=+++…A P 2F ()1min549PA PF +=+=P 1PA PF +523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()()521031553C C 3rr rrr r r T x x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭1034r -=2r =4x 225C 310990⋅=⨯=0,3π⎛⎤⎥⎝⎦()()1b c b a b c a c a c a b+⇒+++++……()()222a c a b b c a bc ++⇒++…cos A 222b c a ac +-…2221cos 22b c a A bc +-=…0,3A π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦11ln2-*n ∈N 11e 1n an n n ⎛⎫⎛⎫+⋅ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭…11e n an +⎛⎫+ ⎪⎝⎭…()1ln 11n a n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭…11ln 1a n n -⎛⎫+ ⎪⎝⎭…构造，，，.下证，再构造函数，，，，设，，，令，，，，在时，，单调递减，，即，所以递减，，即，所以递减，并且，所以有，，所以，所以在上递减，所以的最小值为.，即的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【解析】（1）因为是正项等比数列，所以，公比，因为，所以，即，则，解得（舍去）或，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（3分）又因为，所以，所以数列的通项公式为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（6分）（2）依题意得，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（7分）当时，，所以，因为，所以，当时，符合上式，所以数列的通项公式为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（10分）()()11ln 1m x x x =-+(]0,1x ∈()()()()()22221ln 11ln 1x x x m x x x x ++-=++'(]0,1x ∈()(]22ln 1,0,11x x x x+<∈+()()22ln 11x h x x x =+-+(]0,1x ∈()()()2221ln 12(1)x x x xh x x ++-'-=+(]0,1x ∈()()()221ln 12F x x x x x =++--()()2ln 12F x x x =+-'(]0,1x ∈()()2ln 12G x x x =+-(]0,1x ∈()21xG x x=-+'(]0,1x ∈(]0,1x ∈()0G x '<()G x ()()00G x G <=()0F x '<()F x ()()00F x F <=()0h x '<()h x ()00h =()22ln 11x x x+<+(]0,1x ∈()0m x '<()m x (]0,1x ∈()m x ()111ln2m =-11ln2a ∴-…a 11ln2-{}n a 10a >0q >21332S a a =+()121332a a a a +=+21112320a q a q a --=22320q q --=12q =-2q =3411816a a q a ===12a ={}n a 2n n a =1222222log log 2log log 22n n n n n n b a nb a n +++===+2n …()324123112311234511n n b b b b n b b b b n n n --⨯⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=++ ()121n b b n n =+11b =()21n b n n =+1n =1n b ={}n b ()21n b n n =+因为，所以.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（13分）16.【解析】（1）设为的中点，连接，，因为是中点，所以，且，因为，，，，所以四边形为平行四边形，，且，所以，且，即四边形为平行四边形，所以，因为平面平面，所以平面.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（6分）（2）因为平面，所以平面，又，所以，，相互垂直，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（7分）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（9分）设平面的一个法向量为，则取，则，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（11分）设平面的一个法向量为，()211211n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭1111112212221223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭M PD FM CM F PE FMED 12FM ED =AD BC 1AB BC ==3AD =2DE PE ==ABCE BC ED 12BC ED =FM BC FM BC =BCMF BFCM BF ⊄,PCD CM ⊂PCD BF PCD AB ⊥PAD CE ⊥PAD PE AD ⊥EP ED EC E ()0,0,2P ()0,1,0A -()1,1,0B -()1,0,0C ()0,2,0D ()1,0,0AB = ()0,1,2AP = ()1,0,2PC =- ()1,2,0CD =-PAB ()111,,m x y z =1110,20,m AB x m AP y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 11z =-()0,2,1m =- PCD ()222,,n x y z =则取，则，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（13分）设平面与平面所成夹角为，则∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（15分）17.【解析】（1）函数的定义域为，则，当时，可得，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（2分）当或时，；当时，；所以在区间，上单调递增，在区间上单调递减；∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（4分）所以和是函数的两个极值点，又，所以，；所以，即当时，.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（6分）（2）易知，又，所以，是方程的两个实数根，则且，，所以，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（9分）所以，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（11分）设，由，可得，令，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（13分）则，所以在区间上单调递减，222220,20,n PC x z n CD x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 21z =()2,1,1n = PAB PCD θcos θ=()21ln 2f x x x ax =+-()0,+∞()211x ax f x x a x x -+=+-='52a =()()2152122x x x x f x x x'⎛⎫---+ ⎪⎝⎭==10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()2,x ∈+∞()0f x '>1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()2,+∞1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭12x =2x =()f x 12x x <112x =22x =()()()211115152ln225ln 2ln222848f x f x f f ⎛⎫⎛⎫-=-=+--+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭52a =()()21152ln28f x f x -=-()()()()22221212111ln2x f x f x x x a x x x -=+---()21x ax f x x-+='1x 2x 210x ax -+=2Δ40a =->120x x a +=>121x x =2a >()()()()()()()2222222121212112211111lnln 22x x f x f x x x a x x x x x x x x x x -=+---=+--+-()()222222221212111121121111lnln ln 222x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫=--=-⋅-=-- ⎪⎝⎭21x t x =21e x x (21)e x t x =…()11ln 2g t t t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭e t …()222111(1)1022t g t t t t-⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭'()g t [)e,+∞得，故的最大值为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（15分）18.【解析】（1）设抛物线的准线为，过点作直线于点，由抛物线的定义得，所以当点与原点重合时，，所以，所以抛物线的方程为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（4分）（2）①设，过点且斜率存在的直线，联立消去，整理得：，由题可知，即，所以，是该方程的两个不等实根，由韦达定理可得∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（6分）又因为，所以，，由，有，所以，因为，，，所以点的轨迹方程为.②由①知，设，，且，∙∙∙∙∙∙∙∙∙（9分）联立消去，整理得，又，，，，由韦达定理可得，同理可得，所以，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（11分）又因为和以圆心为，半径为1的圆相切，，即.同理，所以，是方程的两个不等实根，()()11e 1e 1e 12e 22eg t g ⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭…()()21f x f x -e 1122e -+E l 2py =-H 1HH ⊥l 1H 1HF HH =H O 1min 12pHH ==2p =E 24x y =(),P m n P ():l y k x m n =-+()24,,x y y k x m n ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩y 24440x kx km n -+-=()2Δ164440k km n =--=20k mk n -+=1k 2k 1212,,k k m k k n +=⎧⎨=⎩()0,1F 31n k m -=0m ≠123112k k k +=121232k k k k k +=21m m n n =-0m ≠12n n -=1n ∴=-P ()10y x =-≠(),1P m -()14:1l y k x m =--()25:1l y k x m =--1m ≠±0m ≠()244,1,x y y k x m ⎧=⎪⎨=--⎪⎩y 2444440x k x k m -++=()11,A s t ()22,B s t ()33,C s t ()44,D s t 12444s s k m =+34544s s k m =+()()()212344515454444161616s s s s k m k m k k m m k k =++=+++1l ()0,(0)Q λλ>1()()2224412120m k m k λλλ-++++=()()2225512120m k m k λλλ-++++=4k 5k ()()22212120m k m k λλλ-++++=所以由韦达定理可得∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（14分）所以，若为定值，则，又因为，所以，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（16分）所以圆的方程为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（17分）19.【解析】（1）由题意可得：，解得.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（3分）（2）存在“长向量”，且“长向量”为，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（5分）理由如下：由题意可得，若存在“长向量”，只需使，又，故只需使，即，即，当或6时，符合要求，故存在“长向量”，且“长向量”为，.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（8分）（3）由题意，得，，即，即，同理，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（10分）三式相加并化简，得，即，，所以，设，由得∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（12分）设，则依题意得：∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（13分）()452245221,12,1m k k m k k m λλλ⎧++=-⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩()()()22222123445452216161616162221621611m m s s s s k k m m k k m m λλλλ=+++=+--+=-+--1234s s s s 220λ-=0λ>λ=Q 22(1x y +=312a a a +…40x -……2a 6a1n a ==p a1n p S a - …()()712371010101,01010100,1S a a a a =++++=+-+++--+++-+=-71p S a -=== 022cos12p π+ (1)1cos 22p π--……2p =2a 6a123a a a + (2)2123a a a + …()22123a a a +...222123232a a a a a ++⋅ (2)22213132a a a a a ++⋅ …222312122a a a a a ++⋅…2221231213230222a a a a a a a a a +++⋅+⋅+⋅…()21230a a a ++…1230a a a ++ …1230a a a ++=()3,a u v = 1220a a a ++= sin 2cos ,cos 2sin ,u x x v x x =--⎧⎨=--⎩(),n n n P x y ()()()()()()212111222222222121,2,,,,2,,,k k k k k k k k x y x y x y x y x y x y ++++++⎧=-⎪⎨=-⎪⎩得，故，，所以，，当且仅当时等号成立，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（16分）故.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（17分）()()()()2222221122,2,,,k k k k x y x y x y x y ++⎡⎤=-+⎣⎦()()()()2222221122,2,,,k k x y k x y x y x y ++⎡⎤=-+⎣⎦()()()()2121221122,2,,,k k x y k x y x y x y ++⎡⎤=--+⎣⎦()()()212222212221221112,4,,4k k k k k k P P x x y y k x y x y k PP ++++++⎡⎤=--=-=⎣⎦22212(sin 2cos )(cos 2sin )58sin cos 54sin21PP x x x x x x x =--+--=+=+ …()4x t t ππ=-∈Z 10151016min1014420282P P =⨯=。
【100所名校】2019届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期11月月考(三)数学(文)试题(解析版)
2019届湖南省长沙市雅礼中学 高三上学期11月月考（三）数学（文）试题 数学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题 1．复数 (i 为虚数单位)等于 A ．1 B ． C ．i D ． 2．若集合 ，则 A ． ， B ． ， C ． D ． 3．已知向量 ，向量 且 ，则实数x 等于 A ．9 B ．4 C ．0 D ． 4．已知数列{}n a 为等差数列，若159a a a π++=，则()28cos a a +的值为 A ．12-B ．C ．12D 5．若圆226260x y x y +--+=上有且仅有三个点到直线10ax y -+=（a 是实数）的距离为1，则a = A ．1±B ．4±C ．D ．±6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别是 ，若角 成等差数列，且 ，则 的值是 A ． B ． C ． D ． 7．如图，函数 的图象在点 处的切线方程是 ，则 A ． B ． C ． D ．0 8．把函数 的图象向左平移 个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是 A ． B ． C ． D ． 9．不等式组 所表示的平面区域的面积等于 A ． B ． C ． D ． 10．阅读右面的程序框图，则输出的S= A ．14 B ．20 C ．30 D ．55 11．函数 则集合中元素的个数有此卷只装订不密封 班级姓名准考证号考场号座位号A．2个B．3个C．4个D．5个12．已知定义在R上的函数满足且时，，则A．1 B．C．D．二、填空题13．已知一个几何体的三视图如下图所示(单位：cm)，其中正视图是直角梯形，侧视图和俯视图都是矩形，则这个几何体的体积是________cm3.14．已知＞0，＞，则的最小值为________．15．已知点，又是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为__________．16．若关于的不等式的解集中的整数恰有个，则实数的取值范围是________________．三、解答题17．设数列的前项和为，且．(1)证明数列是等比数列，并求的通项公式；(2)若，求数列的前项的和．18．如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，、分别是AB、PD的中点．(1)求证：平面PCD．(2)求三棱锥的体积．19．为了了解某学校高三年级学生的数学成绩，从中抽取n名学生的数学成绩(百分制)作为样本；按成绩分成5组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，频率分布直方图如图所示．成绩落在[70，80)中的人数为20．(1)求a和n的值；(2)根据样本估计总体的思想，估计该校高三学生数学成绩的平均数和中位数m；(3)成绩在80分以上(含80分)为优秀，样本中成绩落在[50，80)中的男、女生人数比为1：2，成绩落在[80，100]中的男、女生人数比为3：2，完成2×2列联表，并判断是否有95％的把握认为数学成绩优秀与性别有关．参考公式和数据：．20．已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，过抛物线的焦点且斜率为1的直线与抛物线交于A、B两点，若．(1)求抛物线的方程；(2)若AB的中垂线交抛物线于C、D两点，求过A、B、C、D四点的圆的方程．21．已知函数．(1)若是的极值点，求的值，并求的单调区间；(2)在（1）的条件下，当时，求证：．22．（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知某圆的极坐标方程为（I）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；（II）若点在该圆上，求的最大值和最小值．23．（本小题满分12分）已知函数.（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）在（1）的条件下，若对一切实数恒成立，求实数的取值范围.2019届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期11月月考（三）数学（文）试题数学答案参考答案1．C【解析】【分析】利用复数的四则运算计算可得结果.【详解】，故选C.【点睛】本题考查复数的四则运算，属于基础题.2．B【解析】【分析】算出后可计算.【详解】，，故，选B.【点睛】一般地，在考虑集合的交、并、补时，要认清集合中元素的含义，如表示函数的定义域，而表示函数的值域，表示函数的图像.3．A【解析】【分析】算出的坐标利用可得的值.【详解】，又，故，所以，故选A.【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用；（2）计算角，.特别地，两个非零向量垂直的充要条件是.4．A【解析】试题分析：159553,3a a a a aππ++===，()()28521cos cos2cos32a a aπ+===-.考点：数列，三角函数．5．B【解析】试题分析：圆心为()3,1，半径为2，由于圆上有3个点到直线的距离等于1，所以圆心到直线的距离等于1，即1,4d a===±.考点：直线与圆锥曲线位置关系.6．D【解析】【分析】利用余弦定理可得，结合成等差数列可得，从而.【详解】由余弦定理可以得打，又成等差数列，故，所以，，，所以，因，所以为等边三角形，故，选D.【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；（3）如果知道两角及一边，用正弦定理.7．C【解析】略8．C【解析】，将其图像向左平移个单位长度后得到函数的图象，则其对称轴为即，所以，则。
湖南省长沙市雅礼中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案
增，所以1
h(x)
Hale Waihona Puke e2．当k
1
时，
g
'( x)
0
，
g(x)
在 [0,
]上递增，
g(x)
g (0)
0
，符合题意；当
2
k
e2
时，
g
'( x)
0
，
g(x)
在 [0,
] 上递减，
g(x)
g (0)
0
，与题意不合；当1
k
e2
时，
g ( x)
为一
2
个递增函数，而
g
'(0)
1
k
0
，
g
'( )
2
e2
k
0
，由零点存在性定理，必存在一个零点
2． 【答案】D 【解析】
考 点：函数导数与不等式．1
【思路点晴】本题主要考查导数的运用，涉及划归与转化的数学思想方法.首先令 f x 0 将函数变为两个函 数 g x ex 2x 1 , h x ax a ，将题意中的“存在唯一整数，使得 g t 在直线 h x 的下方”，转化为 存在唯一的整数，使得 g t 在直线 h x ax a 的下方.利用导数可求得函数的极值，由此可求得 m 的取值
湖南省长沙市雅礼中学 2018-2019 学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案（参考答案） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.）
1． 【答案】C
【解析】由已知等式，得 c 3b cos C 3c cos B ，由正弦定理，得 sin C 3(sin B cos C sin C cos B) ，则 sin C 3sin(B C) 3sin A ，所以 sin C : sin A 3 :1 ，故选 C．
【100所名校】湖南省雅礼中学2019届高三上学期11月月考(三)数学(文)试卷
BatchDoc-Word 文档批量处理工具BatchDoc-Word 文档批量处理工具 2019届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期11月月考（三）数学（文）试题本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、单选题1．复数 (i 为虚数单位)等于A ．1B ．C ．iD ．2．若集合，则A ． ，B ． ，C ．D ．3．已知向量 ，向量 且 ，则实数x 等于A ．9B ．4C ．0D ．4．已知数列{}n a 为等差数列，若159a a a π++=，则()28cos a a +的值为 A ．12-B ．2-C ．12D ．2 5．若圆226260x y x y +--+=上有且仅有三个点到直线10ax y -+=（a 是实数）的距离为1，则a = A ．1±B ．4±C ．D ．2±6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别是 ，若角 成等差数列，且 ，则 的值是 A ． B ． C ． D ． 7．如图，函数 的图象在点 处的切线方程是 ，则 A ． B ． C ． D ．0 8．把函数 的图象向左平移 个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是 A ． B ． C ． D ． 9．不等式组 所表示的平面区域的面积等于 A ． B ． C ．D ． 10．阅读右面的程序框图，则输出的S=此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号BatchDoc-Word 文档批量处理工具BatchDoc-Word 文档批量处理工具A ．14B ．20C ．30D ．5511．函数 则集合 中元素的个数有A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个12．已知定义在R 上的函数 满足 且 时， ，则A ．1B ．C ．D ．二、填空题13．已知一个几何体的三视图如下图所示(单位：cm)，其中正视图是直角梯形，侧视图和俯视图都是矩形，则这个几何体的体积是________cm 3.14．已知 ＞0， ＞ ，则 的最小值为________．15．已知点 ，又 是双曲线 的左焦点， 是双曲线右支上的动点，则 的最小值为__________．16．若关于 的不等式 的解集中的整数恰有 个，则实数 的取值范围是________________．三、解答题 17．设数列 的前 项和为 ，且 ． (1)证明数列 是等比数列，并求 的通项公式； (2)若 ，求数列 的前 项的和 ． 18．如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面， 、 分别是AB 、PD 的中点． (1)求证： 平面PCD ． (2)求三棱锥 的体积． 19．为了了解某学校高三年级学生的数学成绩，从中抽取n 名学生的数学成绩(百分制)作为样本；按成绩分成5组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，频率分布直方图如图所示． 成绩落在[70，80)中的人数为20． (1)求a 和n 的值； (2)根据样本估计总体的思想，估计该校高三学生数学成绩的平均数 和中位数m ； (3)成绩在80分以上(含80分)为优秀，样本中成绩落在[50，80)中的男、女生人数比为1：2，成绩落在[80，100]中的男、女生人数比为3：2，完成2×2列联表，并判断是否有95％的把握认为数学成绩优秀与性别有关．参考公式和数据：．BatchDoc-Word 文档批量处理工具BatchDoc-Word 文档批量处理工具20．已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，过抛物线的焦点且斜率为1的直线与抛物线交于A 、B 两点，若 ．(1)求抛物线的方程；(2)若AB 的中垂线交抛物线于C 、D 两点，求过A 、B 、C 、D 四点的圆的方程．21．已知函数 ．(1)若 是 的极值点，求 的值，并求 的单调区间；(2)在（1）的条件下，当 时，求证：． 22．（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程 已知某圆的极坐标方程为（I ）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；（II ）若点 在该圆上，求 的最大值和最小值．23．（本小题满分12分）已知函数 .（1）若不等式 的解集为 ，求实数 的值；（2）在（1）的条件下，若 对一切实数恒成立，求实数的取值范围.BatchDoc-Word 文档批量处理工具BatchDoc-Word 文档批量处理工具 2019届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期11月月考（三）数学（文）试题数学 答 案参考答案1．C【解析】【分析】利用复数的四则运算计算可得结果.【详解】，故选C.【点睛】本题考查复数的四则运算，属于基础题.2．B【解析】【分析】算出 后可计算 .【详解】， ，故 ，选B.【点睛】一般地，在考虑集合的交、并、补时，要认清集合中元素的含义，如 表示函数的定义域，而 表示函数的值域， 表示函数的图像.3．A【解析】【分析】算出 的坐标利用 可得 的值.【详解】，又 ，故 ，所以 ，故选A.【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用 ；（2）计算角， .特别地，两个非零向量 垂直的充要条件是 . 4．A 【解析】 试题分析：159553,3a a a a a ππ++===，()()28521cos cos 2cos 32a a a π+===-. 考点：数列，三角函数． 5．B 【解析】 试题分析：圆心为()3,1，半径为2，由于圆上有3个点到直线的距离等于1，所以圆心到直线的距离等于1，即1,4d a ===±. 考点：直线与圆锥曲线位置关系. 6．D 【解析】 【分析】 利用余弦定理可得 ，结合 成等差数列可得 ，从而 . 【详解】 由余弦定理可以得打 ，又 成等差数列，故 ， 所以 ， ， ，所以 ，因 ，所以 为等边三角形，故 ，选D. 【点睛】 三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量. （1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理； （2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）； （3）如果知道两角及一边，用正弦定理. 7．C 【解析】 略 8．CBatchDoc-Word 文档批量处理工具BatchDoc-Word 文档批量处理工具 【解析】，将其图像向左平移 个单位长度后得到函数的图象，则其对称轴为 即 ，所以 ，则 。
湖南省长沙市雅礼中学2019届高三数学上学期月考试题(一)文
长沙市雅礼中学2019届高三月考试巻（一）数学（文科）第I 卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个 选项中，只有一个选项是符合题目要求的1．已知集合{}{}2lg(4),2,0,1,2A x y x B ==-=-，则A B =A ．{}0,1B ．{}1,0,1-C ．{}2,0,1,2-D ．{}1,01,2-2．在复平面内，复数121i i-+的共轭复数对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3执行如图所示的程序图，如果输入1a =，2b =，则输出的a 的值为A ．7B ．8C ．12D ．164．若变量x ，y 满足约束条件30101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为A ．1B ．3C ．4D ．55．已知回归直线的斜率的估计值是1．23，样本点的中心为（4，5），则回归直线的方程是A ． 1.234y x ∧=+B ． 1.230.8y x ∧=+C ． 1.230.08y x ∧=+D ． 1.230.08y x ∧=-6．在数列{}n a 中，11a =，数列{}n a 是以3为公比的等比数列，则20193log a 等于 A ．2017 B ．2018 C ．2019 D ．20207．设()s i n ()c o s ()5f x a x b x παπβ=++++，且(2018)2f =，则(2019)f 等于A ．2B ．2-C ．8D ．8-8．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为A ．32π B．π．52π+．32π+9．将函数sin 2y x =的图象向右平移16π个单位后得到的函数为()f x ，则函数()f x 的图象 A ．关于点（12π，0）对称 B ．关于直线12x π=对称 C ．关于直线512x π=对称 D ．关于点（5,012π）对称 10．若函数6,2()(03log ,2x a x x f x a x -+≤⎧=>⎨+>⎩且1a ≠）的值域是［4，＋∞），则实数a 的取值范围是A ．(1,2]B ．(0,2]C ．[2,)+∞ D．(111．已知点F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是饨角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是A ．(1,)+∞B ．(1,2) C．[1,1 D ．(2,)+∞12．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为△ABC 所在平面内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是A ．32-B ．2-C ．43- D ．1- 第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试題考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小題，每小题5分，共20分13．锐角△ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，△ABC的面积为BC ＝_______。
湖南省雅礼中学2019届高三上学期11月份月考(三)数学文试题含答案.doc
1
A.
2
3
B．
2
1
C.
2
3
D．
2
5．若圆 x2 y2 6x 2y 6 0 上有且仅有三个点到直线 ax y 1 0 (a 是实数 )的距离为
1，则 a 等于
A. 1
2
B.
4
C. 2
3
D．
2
6．在△ ABC 中，角 A， B， C 所对的边长分别是 a, b, c ，若角 B , a,b, c 成等差数列，且 3
ac 6，则 b 的值是
A. 2
B. 3
C. 5
D. 6
7 ．如图，函数 y f x 的图象在点 P 5, f 5 处的切线方程是
y x 8，则 f 5 f 5
1
A.
B. 1
C. 2
D.0
2
-1-
3i
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1．复数
(i 为虚数单位 )等于
1 3i
A.1
B． 1
2．若集合 A y y
1
x3, 1
C． i x 1 ,B
D． i
x x 1 x ，则 A B
A.
，1
B. 1，1
C.
D. 1
3．已知向量 a 1,2 ，向量 b x, 2 , 且a a b ，则实数 x 等于
A.9
B.4
C.0
D. 4
4．已知 an 为等差数列，若 a1 a5 a9 ，则 cos a2 a8 的值为
雅礼中学 2019 届高三月考试卷 (三 )
数 学( 文科 )
本试卷分第 I 卷(选择题 )和第Ⅱ卷 (非选择题 )两部分，共 8 页。时量 120 分钟。满分 150 分。