2020届河北省衡水中学高三二调考试数学(文)试题(解析版)
2020届河北省衡水中学高三二调考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}|10A x x =+>，{}|1B x x =∈≤Z ，则A B =I ( ) A ．{}|011x x ≤+≤ B ．{}|11x x -<≤ C ．{}0,1 D ．{}1【答案】C【解析】对集合A 进行化简，然后根据集合的交集运算，得到A B I 的值. 【详解】集合{}{}|10|1A x x x x =+>=>-， 集合{}|1B x x =∈≤Z所以{}{}|110,1B x x A =∈-<≤=Z I . 故选：C. 【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题.2．若函数2ln y ax b x =-在1x =处的切线方程为52y x =-，则a ，b 的值为( ) A ．2,1 B ．-2，-1 C ．3,1 D ．-3，-1【答案】C【解析】将1x =代入切线方程得到切点，将切点代入到解析式中，得到a ，利用导数的几何意义，对函数求导，代入1x =，得到切线斜率，得b 的值. 【详解】将1x =代入切线52y x =-， 得到切点坐标为()1,3，将()1,3代入到函数解析式中，得到3=a ， 所以23ln y x b x =-， 求导得6by x x'=-， 代入1x =得6k b =-， 所以65b -=，得1b =. 故选：C.【点睛】本题考查导数的几何意义，根据导数的切线求参数的值，属于简单题.3．已知命题[)0:0,p x ∃∈+∞使00420x x k --=.命题2:(0,),0q x x k ∀∈+∞+>.则命题p 是命题q 的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 【答案】C【解析】根据命题p 、q 的等价条件确定k 的取值范围，即可得到本题答案. 【详解】p :设()42x x f x =-，因为211()42224x x x f x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，得当0x =时，()f x 取最小值0，且0[0,)x ∃∈+∞使00420x x k --=的等价条件为()42xxf x =-在[0,)+∞的值域即为k 的范围，即0k ≥;q ：2(0,),0x x k ∀∈+∞+>的等价条件为0k ≥; 所以，命题p 是命题q 的充要条件. 故选：C 【点睛】本题主要考查根据全称命题、特称命题确定参数的取值范围，以及判断充分条件、必要条件.4．设2log 3a =，3log 4b =，5log 8c =，则（ ） A ．c a b >> B ．c b a >>C ．a b c >>D ．a c b >>【答案】D 【解析】由35lg64lg64log 4log 8lg27lg25==，比较 b ，c 的大小，利用中间量32比较a , c ，从而得解. 【详解】∵327lg64log 4log 64lg27==，525lg64log 8log 64lg25==，∴35log 4log 8<. ∵2385<，∴3285<，∴32553log 8log 52<=.又2443log 3log 9log 82=>=，∴253log 3log 8log 4>>，即a c b >>. 故选：D 【点睛】本题主要考查了利用对数函数的单调性比较大小，解题的关键是找到合适的中间量进行比较大小，属于难题.5．若函数()ln f x x kx =-在()1, +∞上单调递减，则k 的最小值是（ ） A ．1 B ．-1C ．2D ．2-【答案】A【解析】对函数求导，则函数()ln f x x kx =-在()1, +∞上单调递减等价于()0f x '„在()1, +∞上恒成立，分离参数k ，即可求出k 的最小值。
【详解】由()1f x k x '=-，又()f x 在()1,+∞上单调递减，则()0f x '„在()1, +∞上恒成立，即1k x …在()1, +∞上恒成立.又当()1,x ∈+∞时，101x<<，故1k ³，所以k 的最小值为1. 故答案选A 【点睛】本题考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，属于中档题。
6．已知幂函数1()(21)a g x a x +=-的图象过函数1()(0,1)2x bf x m m m -=->≠且的图象所经过的定点，则b 的值等于（ ）A ．12±B ．2±C ．2D ．2±【答案】B【解析】由1()(21)a g x a x+=-为幂函数，即可得到a 的值，计算出1()2x bf x m-=-，(0,m >且1)m ≠经过的定点，代入()g x 中，即可得到b 的值．【详解】由于1()(21)a g x a x +=-为幂函数，则211a -=，解得：1a =，函数1()2x bf x m-=-，(0,m >且1)m ≠，当x b =时，11()22b bf b m -=-= ，故()f x 的图像所经过的定点为1(,)2b ，所以1()2g b =，即212b =，解得：2b =±, 故答案选B 【点睛】本题考查幂函数的定义以及函数恒过点点的问题，属于基础题．7．若函数()1y f x =+为偶函数，且1x ≥时，()2xf x x e =-则不等式()()3f x f ≥的解集为( ) A ．[]3,-+∞B ．[]1,3-C ．(][),13,-∞-+∞UD ．(][),22,-∞-+∞U【答案】B【解析】根据题意得到()f x 关于1x =成轴对称，得到()()31f f =-再利用导数，得到1x ≥时的单调性，从而得到不等式()()3f x f ≥的解集. 【详解】因为函数函数()1y f x =+为偶函数， 所以可得()f x 关于1x =成轴对称， 所以()()31f f =-， 当1x ≥时，()2xf x x e =-，所以()2xf x x e '=-设()2xg x x e =-，则()2xg x e '=-，当1x ≥，()0g x '<，()g x 单调递减，()()120g x g e ≤=-<，即()0f x '<，所以()f x 在[)1,x ∈+∞上单调递减， 在(],1x ∈-∞上单调递增，所以不等式()()3f x f ≥的解集为[]1,3-. 故选：B. 【点睛】本题考查利用导数求函数的单调性，根据函数的单调性和对称性解不等式，属于中档题.8．已知函数()y f x =的导函数为()f x '，满足R x ∀∈，()()f x f x '>且(1)e f =，则不等式(ln )f x x >的解集为( ) A ．(e,)+∞ B ．(1,)+∞ C ．(0,e) D ．(0,1)【答案】A【解析】令ln t x =，这样原不等式可以转化为()e tf t >，构造新函数()()e xf xg x =，求导，并结合已知条件()()f x f x '>，可以判断出()g x 的单调性，利用单调性，从而可以解得1t >，也就可以求解出x e >，得到答案. 【详解】解:令ln t x =，则(ln )()e tf x x f t >⇔>，令()()e x f x g x =，则()()()0exf x f xg x '-'=>， ()g x ∴在R 上单调递增，()()e 1et t f t f t ∴>⇔>()(1)1ln 1e g t g t x x ⇔>⇔>⇔>⇔>，故选A.【点睛】本题考查了利用转化法、构造函数法、求导法解决不等式解集问题，考查了数学运算能力和推理论证能力.9．已知函数()22211315x x f x x x x ，，⎧+-<≤⎪=⎨+-<≤⎪⎩，若关于x 的方程()102f x kx -=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A．(220625⎛⎤⋃-- ⎥⎝⎦，，B．(110325⎛⎤⋃-- ⎥⎝⎦，，C ．(](013⋃--，， D ．(](026⋃--，， 【答案】A【解析】画出函数()f x 与12y kx =的图像，根据两个函数图像有两个不同的交点，求得实数k 的取值范围. 【详解】画出函数()f x 与12y kx =的图像如下图所示，其中115,5A ⎛⎫⎪⎝⎭,由图可知，当(]10,2OA k k ∈时，两个函数图像有两个不同的交点.11115525OAk ==，故111220,,0,22525k k ⎛⎤⎛⎤∈∈ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦.注意到()1,2OA OD k k k ∈，即11122,1,,222525k k ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，两个函数图像只有一个交点，不符合题意，由此排除B,C,D 三个选项.故本小题选A.【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 10．已知函数()()()ln 2240f x x a x a a =+--+>，若有且只有两个整数1x ，2x 使得()10f x >，且()20f x >，则a 的取值范围是（ ） A ．()ln3,2 B ．[)0,2ln3- C ．()0,2ln3- D ．(]0,2ln3-【答案】D【解析】令()0f x >，可得()22ln 40ax a x x a ->-->，原问题转化为直线有且只有两个整数点处的函数值大于函数2ln 4y x x =--的值，利用导函数研究函数的单调性得到关于a 的不等式组，求解不等式组即可确定a 的取值范围. 【详解】令()0f x >，则：()()ln 22400x a x a a +--+>>，()22ln 40ax a x x a ∴->-->，设()2ln 4g x x x =--，()2h x ax a =-， 故121'()2x g x x x-=-=， 由()'0g x =可得12x =， 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上，'()0g x <，()g x 为减函数， 在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上，'()0g x >，()g x 为增函数， ()()20h x ax a a =->的图像恒过点()2,0，在同一坐标系中作出()g x ，()h x 的图像，如图所示，若有且只有两个整数12,x x ，使得()10f x >，且()20f x >，则0(1)(1)(3)(3)a h g h g >⎧⎪>⎨⎪≥⎩，即022ln 3a a a >⎧⎪->-⎨⎪≤-⎩， 解得：02ln3a <≤-. 故选：D . 【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，直线恒过定点问题，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．已知函数2()(1)2xa f x x e x =--，对于任意1x R ∈，()20,x ∈+∞，不等式()()121222f x x f x x x +-->-恒成立，则整数a 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】首先将原问题转化为恒成立的问题，然后结合导函数在特殊点处的值即可确定整数a 的最大值. 【详解】()()()()1212212122f x x f x x x x x x x +-->-=--+，设112t x x =+，212t x x =-则有12,t t R ∈且12t t >，即()()1221f t f t t t ->-恒成立， 即()()1122f t t f t t +>+，令()()g x f x x =+， 则()g x 在R 上单调递增，即()0g x '≥恒成立，即()10xg x xe ax =-+≥'，(1)10g e a -+'=≥，得14a e ≤+<，下证3a =成立：()31x g x xe x '=-+，易证当0x ≤时，()311x x g x xe x xe '=-+≥+，考查函数：xy x e =⋅，则()'1xy ex =+，故函数x y x e =⋅在区间(),1-∞-上单调递减，在区间()1,-+∞上单调递增，当1x =-时，函数的最小值为min 1y e=-， 据此可得：()1'110x g x xe e≥+≥->， 当0x >时，()31xg x xe x '=-+>22(1)3121(1)0x x x x x x +-+=-+=-≥， 故3a =成立. 故选C . 【点睛】本题主要考查等价转化的数学思想，恒成立问题的处理方法，不等式的放缩等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．设函数()f x 是定义在(),0-∞上的可导函数，其导函数为()f x ¢，且有()()23xf x x f x >+'，则不等式()()()382014201420f x x f +++->的解集为（ ） A ．(),2016-∞-B ．()2018,2016--C ．()2018,0-D ．(),2018-∞-【答案】A【解析】函数()f x 是定义在(),0∞-上的函数，所以有x 20140+<， 不等式()()()38f x 2014x 2014f 20+++->可变形为：33(2014)(2)(2014)(2)f x f x +-<+- ，构造函数3()()f x g x x = ，2442()3()1()0xf x f x x g x x x x-=>=>' ，所以()g x 在(),0∞-上单增，由(2014)(2)g x g +<- ，可得20140{201620142x x x +<⇒<-+<- ，故选A.点睛：本题考查的是构造函数，利用条件构造3()()f x g x x =，进而将不等式转化为33(2014)(2)(2014)(2)f x f x +-<+-，即(2014)(2)g x g +<-，若函数()f x 在区间上单调递增，则1212,,()()x x D f x f x 且∈>时，有12x x >，事实上，若12x x ≤,则12()()f x f x ≤，这与12()()f x f x >矛盾，类似地，若()f x 在区间上单调递减，则当1212,,()()x x D f x f x 且∈>时有12x x <；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.二、填空题13．已知:p 指数函数()(1)xf x t =-在(),-∞+∞上为减函数；:q x ∃∈R ，221x t x +≤+.则使“p 且q ”为真命题的实数t 的取值范围为______． 【答案】()1,2【解析】由指数函数的单调性和一元二次不等式有解得出命题p 和q ，然后取交集即可. 【详解】解：由函数()()1xf x t =-在(),-∞+∞上为减函数，故011t <-<，即12t <<所以命题:12p t <<由x R ∃∈，221x t x +≤+，得2210x x t -+-≤有解，故()()22410t ---≥，即2t ≤ 所以命题:2q t ≤ 因为“p 且q ”为真命题所以p 、q 都是真命题 所以12t << 故答案为()1,2. 【点睛】本题考查了指数函数的单调性，一元二次不等式能成立问题，复合命题的真假性，属于基础题.14．已知2()f x x =，1()()2x g x m =-，若对1[1,3]x ∀∈-，2[0,2]x ∃∈，12()()f x g x ≥，则实数m 的取值范围是 . 【答案】1[,)4+∞【解析】试题分析：因为对1[1,3]x ∀∈-，2[0,2]x ∃∈，12()()f x g x ≥，所以只需min min ()()f x g x ≥即可，因为2()f x x =，1()()2x g x m =-，所以()min ()00f x f ==，()min 1()24g x g m ==-，由110,44m m ≥-≥故答案为1[,)4+∞.【考点】1、函数的最值；2、全称量词与存在量词的应用.【方法点睛】本题主要考查函数的最值、全称量词与存在量词的应用.属于难题.解决这类问题的关键是理解题意、正确把问题转化为最值和解不等式问题，全称量词与存在量词的应用共分四种情况：（1）12,,x D x E ∀∈∀∈()()12f x g x ≥只需()()min max f x g x ≥；（2）1,x D ∀∈2x E ∃∈()()12f x g x ≥，只需()min f x ≥()min g x ；（3）1x D ∃∈，2,x E ∀∈()()12f x g x ≥只需()max ,f x ≥()max g x ；（4）12,x D x E ∃∈∃∈，()()12f x g x ≥，()max f x ≥()min g x .15．数学老师给出一个函数()f x ，甲、乙、丙、丁四个同学各说出了这个函数的一条性质：甲：在(]0-∞，上函数单调递减；乙：在[)0+∞，上函数单调递增；丙：在定义域R 上函数的图象关于直线1x =对称；丁：()0f 不是函数的最小值．老师说：你们四个同学中恰好有三个人说的正确．那么，你认为____说的是错误的． 【答案】乙【解析】根据四位同学的回答，不妨假设其中的任何三个同学回答正确，然后推出另一位同学的回答是否正确来分析，体现了反证法的思想. 【详解】如果甲、乙两个同学回答正确，因为在[)0+∞，上函数单调递增， 所以丙说：在定义域R 上函数的图象关于直线1x =对称是错误的，此时()0f 是函数的最小值，所以丁的回答也是错误的，与四个同学中恰好有三个人说的正确矛盾，所以应该是甲、乙两个同学有一个回答错误， 此时丙正确，则乙就是错误的. 故答案为：乙. 【点睛】本题利用函数的性质考查逻辑推理能力和反证法思想，考查数形结合思想的运用.16．已知方程2()()10f x kf x -+=恰有四个不同实数根，当函数2()x f x x e =时，实数k的取值范围是_______.【答案】224(,)4e e ++∞【解析】求出函数()f x 单调区间及极值，作出其大致图象，设()f x t =，对t 的取值分类讨论，即可确定k 的取值范围. 【详解】2()2(2)x x x f x xe x e x x e '=+=+，令()0f x '=，解得0x =或2x =-，易得()f x 在(,2),(0,)-∞-+∞上单调递增，在(2,0)-上单调递减，所以，当2x =-时，函数()f x 取得极大值24(2)f e -=，当0x =时，()f x 取得极小值(0)0f =， 作出()f x 的大致函数图象如图所示：令()f x t =，则当0t =或24t e>时，关于x 的方程()f x t =只有1解； 当24t e=时，关于x 的方程()f x t =有2解； 当240t e<<时，关于x 的方程()f x t =有3解；因为2()()()1g x f x kf x =-+恰有四个零点， 所以关于t 的方程210t kt -+=在240,e ⎛⎫⎪⎝⎭上有1解， 在24,{0}e ⎛⎫+∞⋃⎪⎝⎭上有1解， 显然0t =不是方程210t kt -+=的解， 所以关于t 的方程210t kt -+=在240,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭和24,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上各有1解， 所以4216410k e e -+<，解得2244e k e >+，即224,4e k e ⎛⎫∈++∞ ⎪⎝⎭.故答案为：224,4e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查根据方程零点的个数确定参数的取值范围，数形结合与分类讨论是解决此题的关键.三、解答题17．已知函数()32f x x x =-，()ln 5ag x x x x=-+. (1)若5a =，求曲线()g x 在1x =处的切线方程；(2)若对任意的m ，1,22n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()20f m g n -+≤恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】(1)66y x =-；(2)(,1]-∞-.【解析】（1）对()f x 求导得到()f x '，代入1x =，得到切线的斜率，结合切点，得到切线方程；（2）根据题意，得到()()max 2f m g n ≤-，然后利用参变分离，得到2ln a n n n ≤-，设()2ln n n n n ϕ=-，利用导数得到()n ϕ的最小值，从而得到a 的范围. 【详解】（1）因为5a =，所以函数()5ln 5g x x x x=-+， 所以()10g =，即切点为()1,0所以()25ln 1g x x x '=++， 代入1x =，得到()16k g '==， 故所求的切线方程为()61y x =-， 即66y x =-.（2）对任意的m ，1,22n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()20f m g n -+≤恒成立，可得()()max 2f m g n ≤-，对任意的m ，1,22n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，()232f m m m '=-，令()0f m '=得0m =或23m =，所以12,23m ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f m '<，()f m 单调递减， 2,23m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f m '>，()f m 单调递增，而1128f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()24f =，所以()max 4f m =， 所以()24g n -≥，对任意的1,22n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，即ln 524a n n n -+-≥对任意的1,22n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， 所以2ln a n n n ≤-，对任意的1,22n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，设()2ln n n n n ϕ=-，1,22n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()min a n ϕ≤()2ln 1n n n n ϕ'=+-，设()2ln 1t n n n n =+-，()2ln 3t n n '=+因为1,22n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()0t n '>，所以()t n 单调递增，即()n ϕ'单调递增，而()01ϕ'=，所以当1,12n ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0n ϕ'<，()n ϕ单调递减，当()1,2n ∈，()0n ϕ'>,()n ϕ单调递增， 所以1n =时，()n ϕ取得最小值，为()11ϕ=-， 所以1a ≤-. 【点睛】本题考查根据导数的几何意义求函数在一点的切线，利用导数研究函数的单调性和最值，利用导数研究不等式恒成立问题，属于中档题.18．某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产万件，需另投入流动成本万元，当年产量小于万件时，（万元）；当年产量不小于7万件时，（万元）.已知每件产品售价为6元，假若该同学生产的商品当年能全部售完. （1）写出年利润（万年）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？ （取）.【答案】（1） （2）当年产量约为万件，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为万元【解析】（1）根据年利润=年销售收入-固定成本-流动成本，分和两种情况，得到与x 的关系式即可；（2）求出两种情况的最大值，作比较即可得到本题答案.【详解】（1）产品售价为元，则万件产品销售收入为万元. 依题意得，当时，，当时，，；（2）当时，， 当时，的最大值为（万元），当时，，当时，单调递增，当单调递减， 当时，取最大值（万元），当时，取得最大值万元，即当年产量约为万件，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为万元. 【点睛】本题主要考查利用分段函数解决实际问题，其中涉及到二次函数的值域问题以及用导数求最值问题.19．已知函数()ln ()af x x a R x=+∈. （Ⅰ）讨论函数f （x ）的单调性； （Ⅱ）令(5)2()a k g a a--=，若对任意的x ＞0，a ＞0，恒有f （x ）≥g （a ）成立，求实数k 的最大整数. 【答案】（1）见解析（2）7 【解析】（1）()221,a x af x x x x-='=-讨论0a ≤和0a >两种情况；（2）由()()()min 1ln 1f f x a x g a （），=+≥ 成立转化为()()min max f x g a ≥，分离k,构造函数求最值即可. 【详解】（1）此函数的定义域为()0,+∞，()221,a x af x x x x-='=- （1）当0a ≤时，()0,f x '> ()f x ∴在()0,+∞上单调递增，（2）当0a >时， ()()()0,,0,x a f x f x <'∈单调递减，()()(),,0,x a f x f x '∈+∞> 单调增综上所述：当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递增当0a >时， ()()0,,x a f x ∈单调递减，()(),,x a f x ∈+∞ 单调递增. （2）由（Ⅰ）知()()min ln 1,f x f a a ==+()()f x g a ∴≥恒成立，则只需()ln 1a g a +≥恒成立，则()522ln 15,a k a k aa--+≥=--2ln 6a k a⇔+≥-， 令()2ln ,h a a a=+则只需()min 6,h a k ≥-则 ()22122,a h a a a a -='=- ()()()0,2,0,a h a h a '∴∈<单调递减， ()()()2,,0,a h a h a '∈+∞>单调递增，()()min 2ln21h a h ==+即ln216,ln27,k k k +≥-∴≤+∴的最大整数为7. 【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，求最值，考查双变元恒成立问题，综合性强,第二问转化为()()min max f x g a ≥是关键. 20．已知函数1()ln (1),f x x a a R x=+-∈. （Ⅰ）若()0f x ≥，求实数a 取值的集合； （Ⅱ）证明：212ln (2)xe x x e x x+≥-++-. 【答案】（Ⅰ）{}1 （Ⅱ）证明见解析【解析】（1）当0a ≤时，不满足题意，当0a >时，求()f x 的最小值，即可得到本题答案； （2）要证212ln (2)xe x x e x x+≥-++-，只需证当0x >时，2(2)10x e x e x ----≥，求得2()(2)1(0)xh x e x e x x =---->的最小值，即可得到本题答案. 【详解】（Ⅰ）由已知，有221()(0)a x af x x x x x-'=-=> 当0a ≤时，1()ln 202f a =-+<，与条件()0f x ≥矛盾,当0a >时，若(0,)x a ∈，则()0f x '<，()f x 单调递减,若(,)x a ∈+∞，则()0f x '>，则()f x 单调递增.所以()f x 在(0,)+∞上有最小值1()ln (1)ln 1f a a a a a a=+-=+-， 由题意()0f x ≥，所以ln 10a a +-≥.令()ln 1g x x x =-+，所以11()1x g x x x-'=-=， 当(0,1)x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以()g x 在(0,)+∞上有最大值(1)0g =，所以()ln 10g x x x =-+≤，ln 10a a -+≤，ln 10a a -+=，1a =，综上，当()0f x ≥时，实数a 取值的集合为{}1；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知：1a =时，()0f x ≥，即1ln 1x x≥-在0x >时恒成立. 要证212ln (2)xe x x e x x+≥-++-，只需证当0x >时，2(2)10x e x e x ----≥ 令2()(2)1(0)xh x e x e x x =---->()2(2)x h x e x e '=---，令()2(2)x u x e x e =---，则()2xu x e '=-，令()20xu x e '=-=，解得ln 2x =， 所以，函数()u x 在(0,ln 2)内单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增. 即函数()h x '在(0,ln 2)内单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增. 而(0)1(2)30h e e '=--=->.(ln 2)(1)0h h '<'=∴存在0(0,ln 2)x ∈，使得0()0h x '=当0(0,)x x ∈时，()0,()h x h x '>单调递增；当0(,1)x x ∈时，()0,()h x h x '<单调递减. 当(1,)x ∈+∞时，()0,()h x h x '>单调递增， 又(0)110,(1)11(2)0h h e e =-==----=，∴对0,()0x h x ∀>≥恒成立，即2(2)10x e x e x ----≥，综上可得：212ln (2)xe x x e x x+≥-++-成立. 【点睛】本题主要考查利用导数研究含参函数的最值问题以及利用导数证明不等式. 21．已知函数()()()11ln 1f x a x x =---+，()1xg x xe -=.（1）求()g x 在区间(]0,e 上的值域；（2）是否存在实数a ，对任意给定的(]00,x e ∈，在[]1,e 存在两个不同的()1,2i x i =使得()()0i f x g x =，若存在，求出a 的范围，若不存在，说出理由.【答案】（1）(]0,1（2）满足条件的a 不存在，详见解析【解析】（1）对函数()g x 进行求导，知()g x 在区间(]0,1上单调递增，在区间[)1,e 上单调递减，由此能求出()g x 的值域；（2）对函数()f x 进行求导，对a 进行分类讨论，当0a ≤和11a e ≥-时，不合题意，求出当101a e<<-时，判断单调性，()min 11f x f a ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，由（1）知()g x 在(]0,e 上值域为(]0,1，根据数形结合思想原题意可等价于()1101f e f a ⎧≥⎪⎨⎛⎫≤ ⎪⎪-⎝⎭⎩，解不等式即可. 【详解】（1）()()1'1xg x x e-=-，()0,1x ∈时，()'0g x >，()g x 单调递增，(]1,x e ∈时，()'0g x <，()g x 单调递减，()00g =，()11g =，()10e g e e e -=⨯>，∴()g x 在(]0,e 上值域为(]0,1. （2）由已知得1()1f x a x='--，且[]1,x e ∈， 当0a ≤时，()'0f x ≥，()f x 在[]1,e 上单调递增，不合题意． 当11a e≥-时，()'0f x ≤，()f x 在[]1,e 上单调递减，不合题意． 当101a e <<-时，()0f x '=得011x a=-． 当1(1,)1x a∈-时()'0f x <，()f x 单调递减， 当1()1x e a ，∈-时，()'0f x >，()f x 单调递增，∴()min 11f x f a ⎛⎫= ⎪-⎝⎭.由（1）知()g x 在(]0,e 上值域为(]0,1，而()11f =，所以对任意(]00,x e ∈，在区间[]1,e 上总有两个不同的()1,2i x i =，使得()()0i f x g x =. 当且仅当()1101fe f a ⎧≥⎪⎨⎛⎫≤ ⎪⎪-⎝⎭⎩，即()()()()()1111ln 1102a e a a ⎧--≥⎪⎨+-+≤⎪⎩，由（1）得111a e ≤--. 设()()ln 11h a a a =+-+，10,1a e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()1'111a h a a a =-=--， 当10,1a e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()'0h a <，()h a 单调递减，∴()11110h a h e e ⎛⎫>-=-> ⎪⎝⎭. ∴()0h a ≤无解.综上，满足条件的a 不存在. 【点睛】本题考查函数的值域的求法，探索是否存在满足条件的实数，探索函数图象上满足条件的两点是否存在．综合性强，难度大，对数学思维能力要求较高，有一定的探索性． 22．已知函数()()21[]1xf x x a x e =+++．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线与x 轴平行，求a 的值； （Ⅱ）若()f x 在1x =-处取得极大值，求a 的取值范围；（Ⅲ）当a=2时，若函数()()1g x mf x =-有3个零点，求m 的取值范围．（只需写出结论）【答案】（Ⅰ）2-；（Ⅱ）()1-∞-，；（Ⅲ）45e m ＞【解析】（Ⅰ）对函数求导，由点()()00f ，处的切线与x 轴平行可得(0)0f '=，即可求出实数a ；（Ⅱ）对函数求导可得()()()'12xf x x x a e ⎡⎤=+++⎣⎦，令导数等于零，解得11x =-，2(2)x a =-+，分类讨论1x 与2x 的大小，即可求出实数a 的范围，使得()f x 在1x =-处取得极大值；（Ⅲ）对()g x 求导，分别讨论m 大于零和小于零时函数的单调性，结合单调性，讨论函数极值的正负，即可求出使函数()()1g x mf x =-有3个零点时，m 的取值范围。
2020届河北省衡中同卷高三第二次调研考试数学(文)
2020届河北省衡中同卷高三第二次调研考试文科数学试题★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1、已知集合{}{}14,12,10,8,6,,23=∈+==B N n n x x A ,则集合B A 中元素的个数为（） A.5B.4C.3D.22、若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A.125B.－125C.512D.－5123、的根。
是方程：；命题，总有：对任意已知命题0210=+=≥∈x x q x R x p 是（）则下列命题是真命题的 A.p q ∧⌝ B.p q ⌝∧C.p q ⌝∧⌝D.p q ∧4、设a ∈R ，则“2a a >”是“1>a ”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5、已知()()xf x x a e =+的图象在x=-1与x=1处的切线互相垂直，则a=( )A.-1B.0C.1D.26、设函数()f x 是定义在实数集上的奇函数，在区间[1,0)-增函数，且(2)()f x f x +=-，则有（ ）A.13()()(1)32f f f << B.31(1)()()23f f f <<C.13(1)()()32f f f <<D.31()(1)()23f f f <<7．若实数a 满足432log 1log 3aa >>，则a 的取值范围是（ ） A.2,13⎛⎫⎪⎝⎭B. 23,34⎛⎫⎪⎝⎭C.3,14⎛⎫⎪⎝⎭ D.20,3⎛⎫⎪⎝⎭8、函数)cos()(ϕ+=wx x f 的部分图象如图所示，则)(x f 的单调递减区间为（）A.Z k k k ∈+-),43,41(ππ B.Z k k k ∈+-),432,412(ππC.Z k k k ∈+-),43,41(D.Z k k k ∈+-),432,412(9、若函数()f x x =，则函数()12log y f x x =-的零点个数是（ ）A.5B.4C.3D.210、已知函数⎩⎨⎧>+-≤-=-1),1(log 1,22)(21x x x x f x 且=--=)6(,3)(a f a f 则A.47-B.45-C.43-D.41-11、函数y=xsinx+cosx 的图像大致是（ ）12、设函数)(x f y =的图象与对称的图象关于直线x y y a x -==+2，,1)4()2(=-+-f f 且则=a （ ）A.1-B.1C.2D.4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13、函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝2sin x 的图象至少向右平移________个单位长度得到.14、已知函数1)(3++=x ax x f 的图象在点（1，)1(f ）处的切线过点（2，7），则=a _________.15__________．16、已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17、（本小题满分12分）函数f(x)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的部分图象如图所示．(1)写出f(x)的最小正周期及图中 、 的值； (2)求f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．18．（本小题满分12分）设函数bx ax x x f 33)(23+-=的图像与直线0112=-+y x 相切于点)11,1(-。
河北省衡水中学2020届高三数学下学期二调考试试题文
河北省衡水中学2017届高三下学期二调考试数学（文）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N =（ ）A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(,1]-∞2.设z 是复数，则下列命题中的假命题是（ ）A ．若z 是纯虚数，则20z <B ．若z 是虚数，则20z ≥C ．若20z ≥，则z 是实数D ．若20z <，则z 是虚数3.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．344.执行下面的程序框图，输出S 的值为（ ）A ． 8B ．18 C. 26 D ．805.将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，min t 后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线nt y ae =，假设过5min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过min m 甲桶中的水只有4a 升，则m 的值为（ ） A ．10 B ． 9 C. 8 D ．56.平面直角坐标系中，双曲线中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为20x y -=，则它的离心率为（ ）A ．5B ．52C. 3 D ．2 7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ． 8B ．10 C. 12 D ．148.以下四个命题中是真命题的是（ ）A ．对分类变量x 与y 的随机变量2k 的观测值k 来说，k 越小，判断“x 与y 有关系”的把握程度越大； B ．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于0；C.若数据123,,,,n x x x x 的方差为1，则1232,2,2,,2n x x x x 的方差为2D ．在回归分析中，可用相关指数2R 的值判断模型的拟合效果，2R 越大，模型的拟合效果越好9.将函数()3sin(2)f x x ϕ=+，(0,)ϕπ∈的图象沿x 轴向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 满足(||)()g x g x =，则ϕ的值为（ ）A ．6πB ．3πC. 56π D ．23π 10.《九章算术》商功章有云：今有圆困，高一丈三尺三寸、少半寸，容米二千斛，问周几何？即一圆柱形谷仓，高1丈3尺133寸，容纳米2000斛（1丈=10尺，1尺=10寸，斛为容积单位，1斛≈1.62立方尺，3π≈），则圆柱底面圆的周长约为（ ）A ．1丈3尺B ．5丈4尺 C. 9丈2尺 D ．4811.如图，正方体1111ABCD A B C D -绕其体对角线1BD 旋转θ之后与其自身重合，则θ的值可以是（ ） A ．56π B ．34π C. 23π D ．35π 12.若函数1()cos 23(sin cos )(41)2f x x a x x a x =+-+-在[,0]2π-上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1[,1]7B ．1[1,]7- C. 1(,][1,)7-∞-+∞ D ．[1,)+∞第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知平面向量(1,2)a =，(2,)b m =-，且||||a b a b +=-，则|2|a b += ． 14.若,x y 满足001x y y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≥+⎩，则2x y -的最大值为 ．15.设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，且3cos cos 5a B b A c -=，则tan tan A B的值为 ． 16.圆221x y +=的切线与椭圆22143x y +=交于两点,A B 分别以,A B 为切点的22143x y +=的切线交于点P ，则点P 的轨迹方程为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知正项等比数列{}n b 的前n 项和为n S ，34b =，37S =，数列{}n a 满足*11()n n a a n n N +-=+∈，且11a b =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列1{}na 的前n 项和． 18. 某蛋糕店每天做若干个生日蛋糕，每个制作成本为50元，当天以每个100元售出，若当天白天售不出，则当晚以30元/个价格作普通蛋糕低价售出，可以全部售完．（1）若蛋糕店每天做20个生日蛋糕，求当天的利润y （单位：元）关于当天生日蛋糕的需求量n （单位：个，*n N ∈）的函数关系；（2）蛋糕店记录了100天生日蛋糕的日需求量（单位：个）整理得下表：（ⅰ）假设蛋糕店在这100天内每天制作20个生日蛋糕，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；（ⅱ）若蛋糕店一天制作20个生日蛋糕，以100天记录的各需求量的频率作为概率，求当天利润不少于900元的概率．19. 在三棱柱111ABC A B C -中，已知15AB AC AA ===，4BC =，点1A 在底面ABC 的投影是线段BC 的中点O ．（1）证明：在侧棱1AA 上存在一点E ，使得OE ⊥平面11BB C C ，并求出AE 的长；（2）求三棱柱111ABC A B C -的侧面积．20. 在直角坐标系xOy 中，曲线2:4C x y =与直线(0)y kx a a =+>交与,M N 两点．（1）当0k =时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（2）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由．21. 已知函数31()4f x x ax =++，()lng x x =-． （1）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；（2）用min{,}m n 表示,m n 中的最小值，设函数()min{(),()}(0)h x f x g x x =>，讨论()h x 零点的个数．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆C 的直角坐标方程为22220x y x y ++-=，直线l 的参数方程为1x t y t =-+⎧⎨=⎩（t 为参数），射线OM 的极坐标方程为34πθ=． （1）求圆C 和直线l 的极坐标方程；（2）已知射线OM 与圆C 的交点为,O P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．23.选修4-5：不等式选讲 已知关于x 的不等式||x a b +<的解集为{|24}x x <<．（1）求实数,a b 的值； （212at bt ++的最大值．2016～2017学年度第二学期高三年级二调考试一、选择题ABCCD ADDCB CD二、填空题5 2- 4 191622=+y x . 三、解答题：本大题共6小题，共70分。
2020届河北省衡水市衡水中学高三上学期二调考试数学（文）试题
2020届河北省衡水市衡水中学高三上学期二调考试数学（文）试题一、单选题1．若集合}{12A x x =-≤≤，{}10B x x =-<，则A B =( ).A ．}{1x x < B ．}{11x x -≤<C ．{}2x x ≤D ．{}21x x -≤<【答案】C【解析】直接根据并集的定义求解即可. 【详解】因为}{12A x x =-≤≤，{}{}101B x x x x =-<=<，所以，根据并集的定义：A B ⋃是属于A 或属于B 的元素所组成的集合， 可得{}2A B x x ⋃=≤，故选C. 【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 或属于集合B 的元素的集合. 2．设30.2a =，2log 0.3b =，3log2c =，则( ).A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c a b >>【答案】D【解析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出,,a b c 的取值范围，从而可得结果. 【详解】由指数函数的性质可得，31100.20.22a <=<<;由对数函数是性质可得，22log 0.3log 10b =<=,31log 22c log =>=, 所以c a b >>，故选D. 【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（本题是看三个区间()11,0,0,,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.3．函数()2ln 11y x x =-+-的图象大致为( )A. B.C. D.【答案】B【解析】利用对称性排除A ，C ；利用单调性排除D ，从而得到结果. 【详解】由于2ln y x x =+为偶函数，所以()2ln 11y x x =-+-关于直线x 1=轴对称，从而可排除A ，C ；2ln y x x =+在()0∞+，上为增函数，所以()2ln 11y x x =-+-在()1∞+，上为增函数，排除D; 故选：B 【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象. 4．在ABC ∆中，角ABC 的对边分别为a,b,c,且sin 22,1,,1cos 26c b B c π===- 则a 的值为( )1B.2C.2【答案】D 【解析】由sin211cos2c c =-得到角C ，又6B π=，故A=712π，利用正弦定理即可得到结果. 【详解】由sin211cos2c c =-可得：2212sinCcosC sin C =,即tanC=1,故C=,4πA=712π由正弦定理：a bsinA sinB = 可得：7126a bsin sin ππ=,∴7a 4s?12in π==故选：D 【点睛】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键． 5．已知1sin()62πθ-=，且02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则cos()3πθ-=( ) A.0 B.12C.1【答案】C【解析】解法一：由题意求出θ的值，然后代入求出结果；解法二：由两角差的余弦公式求出结果 【详解】解法一：由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，π3θ=，代入πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭得，πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭=cos01=，故选C ．解法二：由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，πcos 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以πππππππcos cos cos cos sin sin 13666666θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选C ．【点睛】本题考查了运用两角差的余弦公式来求出三角函数值，较为基础6．已知锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若223cos cos 20A A +=，7a =，6c =，则b 等于（ ）A.10B.9C.8D.5【答案】D【解析】利用二倍角的余弦公式以及cos 0A >求出cos A 的值，然后利用余弦定理求出b 的值. 【详解】由于ABC ∆是锐角三角形，则cos 0A >，由223cos cos 20A A +=，得2223cos 2cos 10A A +-=，即225cos 1A =， 解得1cos 5A =，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，整理得2512650b b --=， 0b >，解得5b =，故选：D.【点睛】本题考查二倍角求值以及利用余弦定理解三角形，解题时要根据所给的已知角列余弦定理进行计算，考查计算能力，属于中等题.7．已知奇函数()f x 满足()()4f x f x =+，当()0,1x ∈时，()4xf x =，则()4log 184(f = )A ．3223-B ．2332C ．34D ．38-【答案】A【解析】根据函数的周期性结合奇偶性推导出()()44442332log 184log 18443223f f f log flog ⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用()0,1x ∈时，()4x f x =能求出结果．【详解】奇函数()f x 满足()()4f x f x =+，()()44423log 184log 184432f f f log ⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭因为4231032log -<<，所以442332013223log log <-=< 所以444233232322323f log f log f log ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又因为当()0,1x ∈时，()4xf x =，所以432log 23432423f log ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 3223=-,故选A ． 【点睛】本题考查对数的运算法则，考查函数的奇偶性、周期性等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．解答函数周期性、奇偶性、解析式相结合的问题，通常先利用周期性与奇偶性转化自变量所在的区间，然后根据解析式求解.8．已知1cos sin 5αα-=，则cos 22πα⎛⎫- ⎪⎝⎭=( ).A ．2425-B ．45-C ．2425D ．45【答案】C【解析】将1cos sin 5αα-=两边平方，求出24sin 225α=，利用诱导公式可得结果. 【详解】因为1cos sin 5αα-=， 所以22cos 2sin cos sin 1sin 2ααααα-+=-=125， 所以24sin 225α=，cos 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭24sin 225α=，故选C.【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．9．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2cos ,4,cos a c Cb b B-==则ABC ∆的面积的最大值为（ ）A ．B ．C ．2 D【答案】A【解析】由已知式子和正弦定理可得B ，再由余弦定理和基本不等式可得ac ≤16，代入三角形的面积公式可得最大值． 【详解】 ∵在△ABC 中，2cos cos a c Cb B-=∴（2a ﹣c ）cos B ＝b cos C ， ∴（2sin A ﹣sin C ）cos B ＝sin B cos C ，∴2sin A cos B ＝sin C cos B +sin B cos C ＝sin （B +C ）＝sin A ， 约掉sin A 可得cos B ＝12，即B ＝3π，由余弦定理可得16＝a 2+c 2﹣2ac cos B ＝a 2+c 2﹣ac ≥2ac ﹣ac ， ∴ac ≤16，当且仅当a ＝c 时取等号，∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ≤故选：A ． 【点睛】本题考查解三角形，涉及正余弦定理和基本不等式以及三角形的面积公式，属中档题．10．已知函数()()x xf x x e e -=-，对于实数a b ，，“0a b +>”是“()()0f a f b +>”的( ).A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】先判断出函数为奇函数，且为R 的单调增函数，结合单调性与奇偶性利用充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】因为()()()()xx x x f x x ee x e ef x ---=--=--=-，所以()f x 为奇函数，0x >时，()1x x f x x e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 在()0,∞+上递增，所以函数()f x 在R 上为单调增函数，对于任意实数a 和b ，若0a b +>，则()(),a b f a f b >-∴>-， 函数()f x 为奇函数，()()f a f b ∴>-，()()0f a f b ∴+>，充分性成立；若()()0f a f b +>，则()()()f a f b f b >-=-， 函数在R 上为单调增函数，a b ∴>-，0a b ∴+>，必要性成立，∴对于任意实数a 和b ，“0a b +>”，是“()()0f a f b +>”的充要条件，故选C. 【点睛】本题主要考查函数的单调性与奇偶性以及充分条件与必要条件的定义，属于综合题. 判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理. 11．如图是函数()sin y x ωϕ=+0,02πωϕ⎛⎫><<⎪⎝⎭在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像，将该图像向右平移()0m m <个单位长度后，所得图像关于直线4x π=对称，则m 的最大值为（ ）．A.12π-B.6π-C.4π-D.3π-【答案】B【解析】由函数图像可得函数解析式为：sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，由三角函数图像的平移变换可得平移后的解析式为sin 223y x m π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再结合三角函数图像的对称性可得,26k m k Z ππ=-+∈，再求解即可. 【详解】解：由题意可知，25()66T ππππω==--=，所以2ω=，根据五点作图法可得2()06πϕ⨯-+=，解得3πϕ=，所以sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，将该函数图像向右平移()0m m <个单位长度后， 得到sin 223y x m π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图像，又sin 223y x m π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图像关于直线4x π=对称，所以22432m k ππππ⨯-+=+，即,26k m k Z ππ=-+∈， 因为0m <，所以当0k =时，m 取最大值6π-， 故选：B. 【点睛】本题考查了由函数图像求解析式及三角函数图像的平移变换，重点考查了三角函数图像的对称性，属基础题. 12．若函数2()(1)(0)f x ln x ax a x=-+->恰有一个零点，则实数a 的值为( ) A.12B.2C.1eD.e【答案】A【解析】先将函数零点转化为直线与曲线相切问题，再利用导数求切点即得切线斜率，即得a 的值. 【详解】函数的定义域为()1,+∞，若函数()()21(0)f x ln x ax a x =-+->恰有一个零点， 等价为()()210f x ln x ax x=-+-=恰有一个根，即()21ln x ax x-+=只有一个根， 即函数()21y ln x x=-+和y ax =的图象只有一个交点，即当0a >时，y ax =是函数()21y ln x x=-+的切线,设()()21g x ln x x =-+，切点为(),m n ，则()21ln m n m-+=，因为()222122201x 1x x g x x x x -+=-=>--'，切线斜率()212'1k g m a m m ==-=-， 则切线方程为()2121y n x m m m ⎛⎫-=--⎪-⎝⎭，切线过原点()2122101m ln m m mm ⎛⎫∴--+-+= ⎪-⎝⎭， 即()4101mln m m m -+-=-， 因为()()()()()()()2222224111111m m m m mln m m m m m m m m --+--+-≤---=--- 所以2m =，此时21212111121422a m m =-=-=-=--， 故选：A ．【点睛】本题考查函数零点以及导数几何意义，考查综合分析求解能力，属中档题.二、填空题13．已知3sin()(0)25πααπ-=-<<，则sin 2α=__________． 【答案】2425- 【解析】由题意求出sin α和cos α，然后再利用倍角公式求解．【详解】∵3sin cos (0)25παααπ⎛⎫-==-<<⎪⎝⎭，∴45sin α==， ∴342422sin cos 2()5525sin ααα==⨯-⨯=-． 故答案为2425-． 【点睛】本题考查同角三角函数关系及倍角公式，解题时容易出现的错误是忽视函数值的符号，属于简单题．14．将函数()sin cos (,R,0)f x a x b x a b a =+∈≠的图象向左平移6π个单位长度，得到一个偶函数图象，则ba=________．【解析】根据平移后关于y 轴对称可知()f x 关于6x π=对称，进而利用特殊值()03f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭构造方程，从而求得结果. 【详解】()f x 向左平移6π个单位长度后得到偶函数图象，即关于y 轴对称()f x ∴关于6x π=对称 ()03f f π⎛⎫∴=⎪⎝⎭即：1sincos332a b b b ππ+=+= b a ∴=【点睛】本题考查根据三角函数的对称轴求解参数值的问题，关键是能够通过平移后的对称轴得到原函数的对称轴，进而利用特殊值的方式来进行求解. 15．设定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式()()121x e f x f x -<-的解集为__________． 【答案】(1,)+∞【解析】根据条件构造函数F （x ）()xf x e =，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论． 【详解】 设F （x ）()xf x e =，则F ′（x ）()()'xf x f x e-=，∵()()f x f x '>，∴F ′（x ）＞0，即函数F （x ）在定义域上单调递增． ∵()()121x ef x f x -<-∴()()2121xx f x f x ee--＜，即F （x ）＜F （2x 1-）∴x 2x 1-＜，即x ＞1 ∴不等式()()121x ef x f x -<-的解为()1,+∞故答案为：()1,+∞ 【点睛】本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键． 16．设ABC ∆的内角A B C ，，的对边长a b c ，，成等比数列，()1cos cos 2A CB --=，延长BC 至D ，若2BD =，则ACD ∆面积的最大值为__________.【解析】由()1cos cos 2A C B --=，可得1cos cos 4A C =，由,,a b c 成等比数列，结合正弦定理可得2sin sin sin B A C =，两式相减，可求得3B π=，从而得ABC ∆为正三角形，设正三角形边长为a ，ACD S ∆ ()2a a =-，利用基本不等式可得结果. 【详解】()cos cos A C B -- ()()1cos cos 2A C A C =-++=，1cos cos 4A C ∴=，① 又,,a b c 成等比数列，2b ac ∴=，由正弦定理可得2sin sin sin B A C =，② ①-②得21sin cos cos sin sin 4B AC A C -=- ()cos cos A C B =+=-，21cos 1cos 4B B ∴+-=-，解得1cos ,23B B π==， 由()1cos cos 2A C B --=，得()1cos cos 12A C B -=+=，0,A C A B -==，ABC ∆为正三角形，设正三角形边长为a ， 则2CD a =-，1sin1202ACD S AC CD ∆=⋅()()1222a a a =-=- ()22444a a ⎡⎤+-⎣⎦≤=，1a =时等号成立。
2020届河北省衡水中学高三第二次调研考试数学(文)试题
2020届河北省衡水中学高三第二次调研考试文科数学试卷 ★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}{}2,0322<=≤-+=x x B x x x A ，则=⋂B A （ ）A ． {}13≤≤-x xB ． {}10≤≤x xC ． {}13<≤-x xD ． {}01≤≤-x x 2．复数12z i =+，若复数21,z z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，则=21z z （ ）A ．5-B ．5C ．34i -+D ．34i -3．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是( ).注：90后指1990年及以后出生,80后指1980-1989年之间出生,80前指1979年及以前出生.A ．互联网行业从业人员中90后占一半以上B ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C ．互联网行业中从事产品岗位的90后人数超过总人数的5%D ．互联网行业中从事运营岗位的90后人数比80前人数多 4．已知数列{}n a 为各项为正数的等比数列，n S 是它的前n 项和，若471=a a ，且25274=+a a ，则5S =（ ） A ．32B ．31C ．30D ．295．在△ABC 中,→→→→→→→+===AC AB BP PD AP DC BD μλ,2,,则=+μλ ( ) A ．31-B ．31 C ．21- D ．216.执行如图的程序框图，则输出x 的值是（ ）A ．2018B ．2019C ．12D ．27．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为（ ） A ．3100B ．3104C ．27D ．188如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设33==AF DF ，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边角形的概率是（ ）A.73B.721 C.134D.13132 9．在ABC ∆中，345→→→→→→⋅=⋅=⋅AB CA CA BC BC AB ，则=C B A sin :sin :sin ( )A ．8:7:9B ．8:7:9 C ．7:8:6D ．7:8:610．阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数(01)k k k >≠且的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点,A B 间的距离为2,动点P满足PAPB=当,,P A B 不共线时，PAB ∆面积的最大值是（ ） A．BCD11．关于x 的方程sin ((0,1))kx x k =∈在(3,3)ππ-内有且仅有5个根，设最大的根是α，则α与tan α的大小关系是（ ）A ．tan αα>B ．tan αα<C ．tan αα=D ．以上都不对12．已知函数()x a x a f x e e --+=+，若33log a b c ==，则（ ）A ．()()()f a f b f c <<B ．()()()f b f c f a <<C ．()()()f a f c f b <<D ．()()()f c f b f a << 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上.13．已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≥-+x y y x y x 022022则y x z +=的最大值为_________ .14．已知一组样本数据1021,x x x ，且1802102221=+++x x x ，平均数4=x ，则该组数据的方差为________15．设x x x f 2cos 32sin )(+=，将)(x f 的图像向右平移）（0>ϕϕ个单位长度，得到)(x g 的图像，若)(x g 是偶函数，则ϕ的最小值为___________16.设函数()32133f x x x x =+-，若方程()()2||10f x t f x ++=有12个不同的根，则实数t 的取值范围为________．三、解答题：(本大题共5小题,共60分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)已知数列{}n a 有0≠n a ，n S 是它的前n 项和，31=a且2,32122≥+=-n S a n S n n n ． （1）求证：数列{}1++n n a a 为等差数列.（2）求{}n a 的前n 项和n S18．(本小题满分12分)已知空间几何体ABCDE 中，BCD ∆与CDE ∆均为边长为2的等边三角形，ABC ∆为腰长为13的等腰三角形，平面⊥CDE 平面BCD ，平面⊥ABC 平面BCD .（1）试在平面BCD 内作一条直线，使直线上任意一点F 与A 的连线AF 均与平面CDE 平行，并给出详细证明（2）求点B 到平面AEC 的距离19. (本小题满分12分)某共享单车经营企业欲向甲市投放单车，为制定适宜的经营策略，该企业首先在已投放单车的乙市进行单车使用情况调查.调查过程分随机问卷、整理分析及开座谈会三个阶段.在随机问卷阶段，A,B 两个调查小组分赴全市不同区域发放问卷并及时收回；在整理分析阶段，两个调查小组从所获取的有效问卷中，针对15至45岁的人群，按比例随机抽取了300份，进行了数据统计，具体情况如下表：（1）先用分层抽样的方法从上述300人中按“年龄是否达到35岁”抽出一个容量为60人的样本，再用分层抽样的方法将“年龄达到35岁”的被抽个体数分配到“经常使用单车”和“偶尔使用单车”中去.求这60人中“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人数；（2）从统计数据可直观得出“是否经常使用共享单车与年龄（记作m 岁）有关”的结论.在用独立性检验的方法说明该结论成立时，为使犯错误的概率尽可能小，年龄m 应取25还是35？请通过比较2K 的观测值的大小加以说明.参考公式：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中d c b a n +++=.20．(本小题满分12分)已知两定点)0,31(),0,31(B A -，点M 是平面内的动点，且4=+++→→→→B B AM AB ,记M 的轨迹是C（1）求曲线C 的方程；（2）过点)0,1(1F 引直线l 交曲线C 于N Q ,两点，点Q 关于x 轴的对称点为R ，证明直线NR 过定点.21．(本小题满分12分)已知函数1)(--=x ae x f x（1）若0)(≥x f 对于任意的x 恒成立，求a 的取值范围 （2）证明：)1ln(131211+≥++++n n对任意的+∈N n 恒成立四、选做题（共10分） 22.(本小题满分10分)在平面直角坐标系xoy 中,曲线1C 过点)1,(a P ,其参数方程为()1为参数，⎧=⎪∈⎨=⎪⎩x a t a R y ，以O 为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为2cos4cos 0ρθθρ+-=．(1)求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；(2)已知曲线1C 和曲线2C 交于,A B 两点，且2=PA PB ，求实数a 的值．23.(本小题满分10分)已知函数13)(----=m x m x x f（1）若1=m ，求不等式1)(<x f 的解集。
河北省衡水中学2020届高三押题II卷文数学试题(含解析答案)
2019-2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文科数学（Ⅱ）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合，，则集合为（）A. B. C. D.2. 若复数（，）满足，则的值为（）A. B. C. D.3. 若，，则的值为（）A. B. C. D.4. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件两次的点数均为偶数且点数之差的绝对值为2，则（）A. B. C. D.5. 定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过的正角.已知双曲线：，当其离心率时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（）A. B. C. D.6. 某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则它的表面积是（）A. B.C. D.7. 函数在区间的图象大致为（）A. B. C. D.8. 已知函数若，则为（）A. 1B.C.D.9. 执行下图的程序框图，若输入的，，的值分别为0，1，1，则输出的的值为（）A. 81B.C.D.10. 已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，数列满足关系，数列的前项和为，则的值为（）A. B. C. D.11. 若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为（）A. B. C. D. 学%科%网...12. 已知函数的图象如图所示，令，则下列关于函数的说法中不正确的是（）A. 函数图象的对称轴方程为B. 函数的最大值为C. 函数的图象上存在点，使得在点处的切线与直线平行D. 方程的两个不同的解分别为，，则的最小值为第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 向量，，若向量，共线，且，则的值为__________．14. 已知点，，若圆上存在点使，则的最小值为__________．15. 设，满足约束条件则的最大值为__________．16. 在平面五边形中，已知，，，，，，当五边形的面积时，则的取值范围为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 在中，角，，所对的边分别为，，，且.（1）求角；（2）若，的面积为，为的中点，求的长.18. 如图所示的几何体中，四边形为菱形，，，，，平面平面，，为的中点，为平面内任一点.（1）在平面内，过点是否存在直线使？如果不存在，请说明理由，如果存在，请说明作法；（2）过，，三点的平面将几何体截去三棱锥，求剩余几何体的体积.19. 某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级800名学生中随机抽取100名学生进行测试，并将其成绩分为、、、、五个等级，统计数据如图所示（视频率为概率），根据图中抽样调查的数据，回答下列问题：（1）试估算该校高三年级学生获得成绩为的人数；（2）若等级、、、、分别对应100分、90分、80分、70分、60分，学校要求当学生获得的等级成绩的平均分大于90分时，高三学生的考前心理稳定，整体过关，请问该校高三年级目前学生的考前心理稳定情况是否整体过关？（3）以每个学生的心理都培养成为健康状态为目标，学校决定对成绩等级为的16名学生（其中男生4人，女生12人）进行特殊的一对一帮扶培训，从按分层抽样抽取的4人中任意抽取2名，求恰好抽到1名男生的概率..20. 已知椭圆：的离心率为，且过点，动直线：交椭圆于不同的两点，，且（为坐标原点）（1）求椭圆的方程.（2）讨论是否为定值.若为定值，求出该定值，若不是，请说明理由.21. 设函数.（1）试讨论函数的单调性；（2）如果且关于的方程有两解，（），证明.学%科%网...请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线：（为参数，），在以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线：.（1）试将曲线与化为直角坐标系中的普通方程，并指出两曲线有公共点时的取值范围；（2）当时，两曲线相交于，两点，求的值.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）在给出的直角坐标系中作出函数的图象，并从图中找出满足不等式的解集；（2）若函数的最小值记为，设，且有，试证明：.2019-2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文科数学（Ⅱ）解析版第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合，，则集合为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：，则集合为.本题选择B选项.2. 若复数（，）满足，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得：，则：，解得：，则.本题选择C选项.3. 若，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：，结合两角和差正余弦公式有：.本题选择A选项.4. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件两次的点数均为偶数且点数之差的绝对值为2，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】连续两次抛掷一枚骰子，记录向上的点数，基本事件总数n=6×6=36，两次的点数均为偶数且点数之差的绝对值为2包含的基本事件有：(2,4),(4,2), (4,6),(6,4)，学,科,网...共有4个，∴两次的点数均为偶数且点数之差的绝对值为2的概率：.本题选择B选项.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.5. 定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过的正角.已知双曲线：，当其离心率时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可得：，设双曲线的渐近线与轴的夹角为，双曲线的渐近线为，则，结合题意相交直线夹角的定义可得双曲线的渐近线的夹角的取值范围为.本题选择D选项.6. 某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则它的表面积是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是由四分之三圆锥和一个三棱锥组成的组合体，其中：由题意：，据此可知：，，，它的表面积是.本题选择A选项.点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．正方体与球各自的三视图相同，但圆锥的不同．7. 函数在区间的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意，学,科,网...则且，函数为非奇非偶函数，选项C,D错误；当时，，则函数值，排除选项B.本题选择A选项.8. 已知函数若，则为（）A. 1B.C.D.【答案】D【解析】由题意可得：，解得：.本题选择D选项.9. 执行下图的程序框图，若输入的，，的值分别为0，1，1，则输出的的值为（）A. 81B.C.D.【答案】C【解析】依据流程图运行程序，首先初始化数值，x=0,y=1,n=1 ，进入循环体：x=n y=1,y= =1，时满足条件y2≥x，执行n=n+1=2 ，进入第二次循环，x=n y=2,y= = ,时满足条件y2≥x，执行n=n+1=3 ，进入第三次循环，x=n y=2,y= =，时不满足条件y2≥x，输出 .10. 已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，数列满足关系，数列的前项和为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：,且：，两式做差可得：，则：，据此可得：.本题选择B选项.点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．11. 若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A学,科,网...【解析】很明显，且恒成立，即：由均值不等式的结论：，据此有：，解得：.本题选择A选项.12. 已知函数的图象如图所示，令，则下列关于函数的说法中不正确的是（）A. 函数图象的对称轴方程为B. 函数的最大值为C. 函数的图象上存在点，使得在点处的切线与直线平行D. 方程的两个不同的解分别为，，则的最小值为【答案】C【解析】由函数的最值可得，函数的周期，当时，，令可得，函数的解析式 .则：结合函数的解析式有，而，选项C错误，依据三角函数的性质考查其余选项正确.本题选择C选项.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 向量，，若向量，共线，且，则的值为__________．【答案】-8【解析】由题意可得：或，则：或 .14. 已知点，，若圆上存在点使，则的最小值为__________．【答案】16【解析】圆的方程即：，设圆上的点P的坐标为，则：，计算可得：，，由正弦函数的性质有：，求解关于实数的不等式可得：，学,科,网...则的最小值为16.点睛：计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用．15. 设，满足约束条件则的最大值为__________．【答案】【解析】绘制不等式组表示的平面区域，结合目标函数的几何意义可得目标函数在点处取得最大值.16. 在平面五边形中，已知，，，，，，当五边形的面积时，则的取值范围为__________．【答案】【解析】由题意可设：，则：，则：当时，面积由最大值；当时，面积由最大值；结合二次函数的性质可得：的取值范围为.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 在中，角，，所对的边分别为，，，且.（1）求角；（2）若，的面积为，为的中点，求的长.【答案】（1）.（2）.【解析】试题分析：(1)利用题意结合余弦定理首先求得.则.(2)利用题意首先求得，然后结合余弦定理可得.试题解析：（1）由，得.由正弦定理，得，即.又由余弦定理，得.因为，所以.（2）因为，所以为等腰三角形，且顶角.故，所以.学,科,网...在中，由余弦定理，得.解得.18. 如图所示的几何体中，四边形为菱形，，，，，平面平面，，为的中点，为平面内任一点.（1）在平面内，过点是否存在直线使？如果不存在，请说明理由，如果存在，请说明作法；（2）过，，三点的平面将几何体截去三棱锥，求剩余几何体的体积.【答案】（1）见解析;（2）.【解析】试题分析：(1)利用线面平行的判断定理结合题意可知点G存在；(2)利用题意将所要求解的多面体的体积进行分解可得几何体的体积.试题解析：（1）过点存在直线使，理由如下：由题可知为的中点，又为的中点，所以在中，有.若点在直线上，则直线即为所求作直线，所以有；若点不在直线上，在平面内，过点作直线，使，又，所以，即过点存在直线使.（2）连接，，则平面将几何体分成两部分：三棱锥与几何体（如图所示）.因为平面平面，且交线为，又，所以平面.故为几何体的高.又四边形为菱形，，，，所以，所以.学,科,网...又，所以平面，所以，所以几何体的体积.19. 某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级800名学生中随机抽取100名学生进行测试，并将其成绩分为、、、、五个等级，统计数据如图所示（视频率为概率），根据图中抽样调查的数据，回答下列问题：（1）试估算该校高三年级学生获得成绩为的人数；（2）若等级、、、、分别对应100分、90分、80分、70分、60分，学校要求当学生获得的等级成绩的平均分大于90分时，高三学生的考前心理稳定，整体过关，请问该校高三年级目前学生的考前心理稳定情况是否整体过关？（3）以每个学生的心理都培养成为健康状态为目标，学校决定对成绩等级为的16名学生（其中男生4人，女生12人）进行特殊的一对一帮扶培训，从按分层抽样抽取的4人中任意抽取2名，求恰好抽到1名男生的概率..【答案】（1）.（2）见解析;（3）.【解析】试题分析：(1)利用题意首先求得该校学生获得成绩等级为的概率，然后求解人数约为448人；(2)利用平均分是数值可得该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.(3)利用分层抽样的结论结合古典概型公式可得恰好抽到1名男生的概率为.试题解析：（1）从条形图中可知这100人中，有56名学生成绩等级为，故可以估计该校学生获得成绩等级为的概率为，则该校高三年级学生获得成绩等级为的人数约有.（2）这100名学生成绩的平均分为（分），因为，所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.（3）按分层抽样抽取的4人中有1名男生，3名女生，记男生为，3名女生分别为，，.从中抽取2人的所有情况为，，，，，，共6种情况，其中恰好抽到1名男生的有，，，共3种情况，故所求概率.点睛：两个防范一是在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率/组距，而不是频率；二是利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.20. 已知椭圆：的离心率为，且过点，动直线：交椭圆于不同的两点，，且（为坐标原点）（1）求椭圆的方程.（2）讨论是否为定值.若为定值，求出该定值，若不是，请说明理由.【答案】（1）.（2）.【解析】试题分析：(1)由题意求得，，故所求的椭圆方程为.(2)联立直线与椭圆的方程，利用根与系数的关系结合题意可证得为定值. 试题解析：（1）由题意可知，所以，即，①学,科,网...又点在椭圆上，所以有，②由①②联立，解得，，故所求的椭圆方程为.（2）设，由，可知.联立方程组消去化简整理得，又由题知，即，整理为.将③代入上式，得.化简整理得，从而得到.21. 设函数.（1）试讨论函数的单调性；（2）如果且关于的方程有两解，（），证明.【答案】（1）见解析;（2）见解析.【解析】试题分析：(1)求解函数的导函数，分类讨论可得：①若，则当时，数单调递减，当时，函数单调递增；②若，函数单调递增；③若，则当时，函数单调递减，当时，函数单调递增.(2)原问题即证明，构造新函数，结合新函数的性质和题意即可证得结论.试题解析：（1）由，可知.因为函数的定义域为，所以，①若，则当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增；②若，则当在内恒成立，函数单调递增；③若，则当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增.（2）要证，只需证.学,科,网...设，因为，所以为单调递增函数.所以只需证，即证，只需证.（*）又，，所以两式相减，并整理，得.把代入（*）式，得只需证，可化为.令，得只需证.令（），则，所以在其定义域上为增函数，所以.综上得原不等式成立.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线：（为参数，），在以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线：.（1）试将曲线与化为直角坐标系中的普通方程，并指出两曲线有公共点时的取值范围；（2）当时，两曲线相交于，两点，求的值.【答案】（1）见解析;（2）.【解析】试题分析：(1)由题意计算可得曲线与化为直角坐标系中的普通方程为，；的取值范围是；(2)首先求解圆心到直线的距离，然后利用圆的弦长计算公式可得.试题解析：（1）曲线：消去参数可得普通方程为.曲线：，两边同乘.可得普通方程为.把代入曲线的普通方程得：，学,科,网...而对有，即，所以故当两曲线有公共点时，的取值范围为.（2）当时，曲线：，两曲线交点，所在直线方程为.曲线的圆心到直线的距离为，所以.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）在给出的直角坐标系中作出函数的图象，并从图中找出满足不等式的解集；（2）若函数的最小值记为，设，且有，试证明：.【答案】（1）.（2）见解析.【解析】试题分析：(1)将函数写成分段函数的形式解不等式可得解集为.(2)整理题中所给的算式，构造出适合均值不等式的形式，然后利用均值不等式的结论证明题中的不等式即可，注意等号成立的条件.试题解析：（1）因为所以作出图象如图所示，并从图可知满足不等式的解集为.21 / 21 （2）证明：由图可知函数的最小值为，即. 所以，从而， 从而. 当且仅当时，等号成立， 即，时，有最小值， 所以得证.。
【精编】2020年衡水中学高三下学期二模数学(文)试题(解析版)
2020年衡水中学高三下学期二模数学（文）试题一、单选题1．窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，常常运用象征、隐喻、借景等手法，将民族文化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境.从窗的外形看，常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等.如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形128PP P 的中心，18PP x ⊥轴，现用如下方法等可能地确定点M ：点M 满足2i j OM OP OP ++=0（其中1,8i j ≤≤且*,i j N ∈，i j ≠），则点M （异于点O ）落在坐标轴上的概率为（ ）A ．35B ．37C ．38D ．272．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析.①甲同学的成绩的中位数为130；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110,120]内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步.其中正确的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 3．已知集合2{|2}A x y x ==-，集合2{|2}B y y x ==-，则有( ) A ．A B = B ．A B =∅ C ．A B A ⋃= D ．A B A =4．设i =（ ） A ．1i -+ B ．22i -+C ．1i -D ．22i - 5．某企业拟生产甲、乙两产品，已知每件甲产品的利润为3万元，每件乙产品的利润为2万元，且甲、乙两种产品都需要在A 、B 两种设备上加工，在每台设备A 、每台设备B 上加工1件甲产品所需工时分别为1h 和2h ，加工1件乙产品所需工时分别为2h 和1h ，A 设备每天使用时间不超过4h ，B 设备每天使用时间不超过5h ，则通过合理安排生产计划，该企业在一天内的最大利润是（ ） A ．18万元 B ．12万元 C ．10万元 D ．8万元6．执行如图的程序框图，如果输入72m =，输出的6n =，则输入的n 是（ ）A ．30B ．20C ．12D ．87．m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若//m n ，//m α，则//n αB ．//m α，n αβ=，则//m nC ．m α⊥，n ⊂α，则m n ⊥D ．αβ⊥，m α⊥，则//m β8．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径若该几何体的体积是2243π，则它的表面积是（ ）A ．68πB ．69πC ．70πD ．80π9．已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且1a ，3a ，7a 为等比数列{}n b 的连续三项，则3445b b b b ++的值为（）A ．12B ．4C ．2 D10．如表为某港口在某季节中每天水深与时刻的关系：若该港口水深y （单位：m ）和时刻t （0≤t ≤24）的关系可用函数y ＝Asin （ωt +φ）+h 来近似描述，则该港口在11：00的水深（单位：m ）为（ ）A ．4B ．5C ．5D ．311．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |=|DE |=C 的焦点到准线的距离为 ( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．212．已知x ＝﹣1是函数f （x ）13=x 312-（a 2+a ﹣3）x 2+（2a +2）x 的极大值点，则实数a ＝（ ） A ．0B ．0或﹣3C ．0或3D ．﹣3二、填空题13．如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ︒∠=∠=，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为_____________14．在点O 的正上方有气球P ，从点O 的正西方A 点，测得气球P 的仰角为30，同时从点O 南偏东60︒的B 点，测得气球P 的仰角为45︒.若A ，B 两点的距离为，则气球P 离地面的距离为________m.15．数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=++，则数列{}n a 的通项公式为______．16．已知双曲线22:221(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点M 在C 的渐近线上，且12MF MF ⊥ ，122MF b MF =+，则22b a=_______.三、解答题17．如图，点C 为某沿海城市的高速公路出入口，直线BD 为海岸线，3CAB π∠=，AB BD ⊥，BC 是以A 为圆心，半径为1km 的圆弧型小路.该市拟修建一条从C 通往海岸的观光专线CP PQ -，其中P 为BC 上异于,B C 的一点，PQ 与AB 平行，设PAB θ∠=.（1）证明：观光专线CP PQ -的总长度随θ的增大而减小；（2）已知新建道路PQ 的单位成本是翻新道路CP 的单位成本的2倍.当θ取何值时，观光专线CP PQ -的修建总成本最低？请说明理由.18．如图，三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥平面11AAC C ，1AA AC =.过1AA 的平面交11B C 于点E ，交BC 于点F .(l)求证：1A C ⊥平面1ABC ；(Ⅱ)求证：1//AA EF ；(Ⅲ)记四棱锥11B AA EF -的体积为1V ，三棱柱111ABC A B C -的体积为V .若116V V =，求BF BC的值．19．（本小题满分14分）已知函数，对任意的，满足，其中为常数． （1）若的图像在处切线过点，求的值； （2）已知，求证：；（3）当存在三个不同的零点时，求的取值范围．20．函数()log (01)a f x b x a a =+>≠且的图象经过点(8,2)和(1,1)-．（1）求函数()f x 的解析式；（2）函数2()()()g x f x f x =-，求函数()g x 的最小值． 21．椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为()12,0F ，过1F 作圆222x y b +=的切线交y 轴于点Q ，切点N 为线段1F Q 的中点.（1）求椭圆的方程；（2）曲线2y x m =+与椭圆交于四点，若这四个点都在同一个圆上，求此圆的圆心坐标.22．为了调查某中学学生在周日上网的时间，随机对名男生和名女生进行了不记名的问卷调查,得到了如下的统计结果：表1：男、女生上网时间与频数分布表（Ⅰ）若该中学共有女生750人,试估计其中上网时间不少于60分钟的人数；（Ⅱ）完成下表，并回答能否有90%的把握认为“学生周日上网时间与性别有关”？ 附：公式22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中23．已知函数()()231f x mx m x =+-+的图象与x 轴的交点至少有一个在原点右侧． （1）求实数m 的取值范围；（2）令2t m =-+，求1t ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值（其中[]t 表示不超过t 的最大整数，例如：[]11=，[]2.52=)； （3）对（2）中的t 求函数()[][]1111t tg t t t t t +=⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的值域．。
河北省衡水中学2020届高三上学期第二次调研考试(文数)
河北省衡水中学2020届高三上学期第二次调研考试数学（文科）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
共4页，满分150分，考试时间120分钟。
第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合}01|{},21|{<-=≤≤-=x x B x x A ，则B A = ( ) A ．}1|{<x x B ．}11|{<≤-x x C ．}2|{≤x x D ．}12|{<≤-x x2．若2log ,3.0log ,2.0323===c b a ，则 ( )A ．c b a >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．b a c >> 3．函数2)1(1ln -+-=x x y 的图象大致为 ( )4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且6,12cos 12sin ,2π==-=B C C b ，则a 的值为( )A ．13-B ．232-C ．26+D ．232+5．已知216sin =⎪⎭⎫⎝⎛-πθ，且⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πθ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-3cos πθ= ( ) A ．0 B ．21C ．1D ．236．已知在锐角△ABC 中,角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，6,7,02cos cos 232===+c a A A , 则b = ( )A ．10B ．9C ．8D ．57．已知奇函数)(x f 满足)4()(+=x f x f ，当)1,0(∈x 时，xx f 4)(=，则)184(log 4f = ( ) A ．2332-B ．3223 C ．43 D ．83-8．已知51sin cos =-αα，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-22cos πα= ( )A ．2524-B ．54- C ．2524 D ．549．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4,cos cos 2==-b BCb c a ，则△ABC 的面积的最大值为 ( )A ．34B ．32C ．2D ．310．已知函数)(||)(xx e e x x f --=，对于任意实数”“0,,>+b a b a 是”“0)()(>+b f a f 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 11．如图是函数)20,0)(sin(πϕωϕω<<>+=x y 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-65,6ππ上的图象，将该图象向右平移)0(||<m m 个单位长度后，所得图象关于直线4π=x 对称，则m 的最大值为 ( )A ．12π-B ．6π-C ．4π-D ．3π- 12．若函数)0(2)1ln()(>-+-=a ax xx x f 恰有一个零点，则实数a 的值为 ( ) A ．21 B ．2 C ．e1D ．e 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知,0,532sin πααπ<<-=⎪⎭⎫⎝⎛-则α2sin 的值为 .14．将函数∈+=b a x b x a x f ,(cos sin )(R )0,=/a 的图象向左平移6π个单位长度，得到一个偶函数图象，则ab的值为 . 15．设定义域为R 的函数)(x f 满足)()(x f x f >'，则不等式)12()(1-<-x f x f ex 的解集为 ．16．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边长a ，b ，c 成等比数列，21cos )cos(=--B C A ，延长BC 至D ．若BD = 2，则△ACD 面积的最大值为 .三、解答题（共70分。
2020年河北省衡水中学高考数学二调试卷2 (含答案解析)
2020年河北省衡水中学高考数学二调试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x 2−16<0}，B ={−5,0，1}，则( )A. A ∩B =⌀B. B ⊆AC. A ∩B ={0,1}D. A ⊆B2. 若i 为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z 表示复数z ，则复数z 的共轭复数是( )A. 2+iB. 2−iC. 1+2iD. 1+2i 3. 下列函数中，x =0是极值点的函数是( )A. y =−x 3B. y =cos 2xC. y =tanx −xD. y =1x4. 已知变量x ，y 满足约束条件{x +y −1≤03x −y +1≥0x −y −1≤0，则z =3y −2x 的最小值为( )A. 1B. 2C. −3D. −45. 执行如图所示的程序框图，若输入的n =4，则输出的j =A. 1B. 3C. 5D. 7 6. 一个等差数列第9项为9，则它的前17项和为( )A. 153B. 144C. 17D. 1627. 在某次数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布N(90,σ2)，若ξ在(80,100)内的概率为0.6，则任意选取一名参加本次数学测试的学生，该生成绩不低于100分的概率为( )A. 0.2B. 0.3C. 0.35D. 0.48. 已知函数f(x)=sin(ωx +φ)，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f(π2)的值为( )A. 1B. −1C. √22D. −√229. 若(x 2+1)(x −3)9=a 0+a 1(x −2)+a 2(x −2)2+a 3(x −2)3+⋯+a 11(x −2)11，则a 1+a 2+⋯+a 11的值为( )A. 0B. −5C. 5D. 25510. 椭圆x 212+y 28=1与曲线x 28−k −y 2k−12=1(k <8)的( )A. 焦距相等B. 离心率相等C. 焦点相同D. 准线相同11. 已知函数f(x)={3(a −3)x +2,x ≤1,−4a −lnx,x >1,对于任意的x 1≠x 2，都有(x 1−x 2)[f(x 2)−f(x 1)]>0成立，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,3]B. (−∞,3)C. (3,+∞)D. [1,3)12. 四面体ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥面ABC ，AD =√7，AB =3，BC =4，此四面体的外接球的表面积为( )A. 28πB. 32πC. 36πD. 48π二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知(如图)为某四棱锥的三视图，则该几何体体积为______14. 已知向量a ⃗ =(2,λ)，b ⃗ =(4,−3)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则|a ⃗ |=____________． 15. 已知抛物线y 2=4x 的准线与双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的两条渐近线分别交于A ，B 两点，且|AB|=2√3，则双曲线的离心率e 为______ ．16.设数列{a n}的前n项和为S n，满足：S n+a n=n−1，n=1，2，…，n，则S2019=________．n(n+1)三、解答题（本大题共8小题，共94.0分）17.在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2bsinA=√3a.(1)求角B的大小；(2)若a+c=5，且a>c，b=√7，求边a，c．18.某公司开发一新产品有甲、乙两种型号，现分别对这两种型号产品进行质量检测，从它们的检测数据中随机抽取8次(数值越大产品质量越好)，记录如下：甲：8.3，9.0，7.9，7.8，9.4，8.9，8.4，8.3乙：9.2，9.5，8.0，7.5，8.2，8.1，9.0，8.5(Ⅰ)画出甲、乙两产品数据的茎叶图；(Ⅱ)现要从甲、乙中选一种型号产品投入生产，从统计学角度，你认为生产哪种型号产品合适？简单说明理由；(Ⅲ)若将频率视为概率，对产品乙今后的三次检测数据进行预测，记这三次数据中不低于8.5分的次数为ξ，求ξ的分布列及期望Eξ．19.如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，P是AB的中点，将△ADP沿DP向上折起到△A1DP的位置，使平面A1DP⊥平面BCDP．(1)求证：A1D⊥CP；(2)求二面角B−A1C−P的余弦值．20.设椭圆C:x2+y2=1的右焦点为F，过点(m,0)(|m|≥1)作直线l与椭圆C交于A，B两点，且4坐标原点O(0,0)到直线l的距离为1．(1)当m=1时，求直线AF的方程；(2)求ΔABF面积的最大值．ax2+lnx，g(x)=−bx，设ℎ(x)=f(x)−g(x)．21.已知函数f(x)=12(1)若f(x)在x=√2处取得极值，且f′(1)=g(−1)−2，求函数ℎ(x)的单调区间；2(2)若a=0时函数ℎ(x)有两个不同的零点x1、x2．①求b的取值范围；>1．②求证：x1x2e222.如图所示，△ABC内接于⊙O，直线AD与⊙O相切于点A，交BC的延长线于点D，过点D作DE//CA交BA的延长线于点E．(I)求证：DE2=AE⋅BE；(Ⅱ)若直线EF与⊙O相切于点F，且EF=4，EA=2，求线段AC的长．23.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：x2+y2−2y=0，倾斜角为π的直线l过点M(−2,0)，以原6点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．(1)求C1和C2交点的直角坐标；(2)若直线l与C1交于A，B两点，求|MA|+|MB|的值．24.求y=3sin x+2√2+2cos2x的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：A={x|x2−16<0}={x|−4<x<4}，B={−5,0，1}，则A∩B={0,1}，故选：C．根据集合的基本运算进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.答案：B解析：解：由题意可得z=2+i．复数的共轭复数为：2−i．故选：B．利用表格写出复数z，然后求解共轭复数即可．本题考查复数的几何意义，是基础题．3.答案：B解析：A.y=−x3，∵y′=(−x3)′=−3x2，当x<0或x>0时，y′<0，∴x=0不是极值点.B．y= cos2x，y′=(cos2x)′=2cosx(−sinx)=−sin2x，当x<0时，−sin2x>0，y′>0；当x>0时，−sin2x<0，y′<0，所以x=0是y=cos2x的极大值点.C．y=tanx−x，y′=(tanx−x)′=1cos2x−1，当x<0或x>0时，0<cos2x<1，y′>0，∴x=0不是极值点.D．y=1x ，y′=(1x)′=−1x2，当x<0或x>0时，y′<0，∴x=0不是极值点．4.答案：D解析：【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影部分ABC)，由z =3y −2x 得y =23x +z3，平移直线y =23x ，由图象可知当直线y =23x +z3经过点A 时，直线y =23x +z3的截距最小，此时z 最小，由{x −y −1=03x −y +1=0，解得A(−1,−2)， 将A(−1,−2)的坐标代入目标函数z =3y −2x ，得z =3×(−2)−2×(−1)=−4， 即z =3y −2x 的最小值为−4． 故选D ．5.答案：C解析： 【分析】本题考查程序框图，属基础题． 模拟算法，可得输出的j 的值． 【解答】解： 框图的执行过程如下表：i 1 2 3 4 j 1 3 3 5 5． 故选C ．6.答案：A解析：【分析】本题考查等差数列的性质，根据前n项和与通项的关系即可求解．【解答】解：S17=17×(a1+a17)2=17a9=17×9=153．故选A．7.答案：A解析：【分析】本题考查正态曲线的性质，利用对称性求解．【解答】解：ξ服从正态分布N(90,σ2)，所以正态曲线关于直线x=90对称，由若ξ在(80,100)内的概率为0.6，得ξ在(90,100)内的概率为0.3，所以该生成绩不低于100分的概率为0.5−0.3=0.2，故选A．8.答案：D解析：解：根据函数f(x)=sin(ωx+φ)，ω>0，|φ|<π2的部分图象，可得T2=3π4−5π12=πω，∴ω=3，将(7π12,−1)代入，可得sin(7π4+φ)=−1，故，又|φ|<π2，∴φ=−π4，∴f(x)=sin(3x−π4)，∴f(π2)=sin5π4=−√22，故选D．由周期求出ω的值，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数f(x)的解析式，从而求得f(π2)的值．本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，属于基础题．9.答案：C解析：解：在(x2+1)(x−3)9=a0+a1(x−2)+a2(x−2)2+a3(x−2)3+⋯+a11(x−2)11中，令x=2，得a0=(4+1)×(−1)=−5；令x=3，得a0+a1+a2+a3+⋯+a11=(9+1)×0=0；∴a1+a2+a3+⋯+a11=5．故选：C．在所给的等式中，令x=2求得a0的值，令x=3求得a0+a1+a2+a3+⋯+a11，从而求得结果．本题考查二项式定理的应用问题，利用赋值法求出结果，属于基础题．10.答案：A解析：【分析】利用椭圆方程以及双曲线方程，求出c，然后推出结果．本题考查椭圆的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．【解答】解：因为椭圆方程为x212+y28=1，所以a=2√3，b=2√2，c=2，焦点在x轴上．曲线x28−k −y2k−12=1(k<8)，因为k<8，所以8−k>0，k−12<0，曲线方程可写为：x28−k +y212−k=1(k<8)，12−k>8−k，所以曲线为焦点在y轴上的椭圆，a=√12−k，b=√8−k，c=2，所以焦距相等正确．故选：A．11.答案：D解析：【分析】本题考查函数的单调性的判断和应用，考查不等式的解法和运算能力，属于中档题．【解答】解：由(x1−x2)[f(x2)−f(x1)]>0对任意x1≠x2成立，得(x 1−x 2)·[f(x 1)−f(x 2)]<0，所以函数f(x)为R 上的单调递减函数对任意x 1≠x 2成立， 则{a −3<0,3(a −3)+2≥−4a,解得1≤a <3． 故选D ．12.答案：B解析： 【分析】本题考查球O 的表面积，考查学生的计算能力，确定四面体ABCD 的外接球的半径是关键，属于基础题．由正弦定理可得△ABC 外接圆的半径，利用勾股定理可得四面体ABCD 的外接球的半径，即可求出球O 的表面积． 【解答】 解：由题意，由AB ⊥BC ，AB =3，BC =4，可得△ABC 外接圆的半径为52， ∵AD ⊥平面ABC ，AD =√7，∴四面体ABCD 的外接球的半径为12DC =12√7+25=2√2， ∴球O 的表面积为4π×8=32π． 故选：B ．13.答案：83解析： 【分析】根据四棱锥的三视图知，四棱锥是侧放的直四棱锥，结合图中数据求出它的体积．本题考查了空间几何体三视图的应用问题，是基础题． 【解答】解：根据四棱锥的三视图知，则四棱锥是侧放的直四棱锥，且底面四边形是边长为2的正方形，高为2；所以该四棱锥的体积为V 四棱锥=13×22×2=83． 故答案为：83．14.答案：103解析： ↵ 【分析】考查向量数量积运算，以及向量垂直的充要条件及向量模的求法．根据条件a ⃗ 与b ⃗ 垂直，从而得出a ⃗ ⋅b ⃗ =0，进行向量数量积的坐标运算即可得出关于λ的方程，求出λ的值即可． 【解答】解：a ⃗ =(2,λ)，b ⃗ =(4,−3)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ， ∵a ⃗ ⊥b ⃗ ，∴a ⃗ ⋅b ⃗ =8−3λ=0， ∴λ=83，则|a ⃗ |=√22+(83)2=103，故答案为103．15.答案：2解析： 【分析】求出y 2=4x 的准线l ：x =−1，由抛物线y 2=4x 的准线与双曲线x 2a2−y 2b 2=1的两条渐近线分别交于A ，B 两点，且|AB|=2√3，从而得出A 、B 的坐标，将A 点坐标代入双曲线渐近线方程结合a ，b ，c 的关系式得出出a ，c 的关系，即可求得离心率．本题考查双曲线的性质和应用，考查学生的计算能力，属于中档题． 【解答】解：∵y 2=4x 的准线l ：x =−1，∵抛物线y2=4x的准线与双曲线x2a2−y2b2=1的两条渐近线分别交于A，B两点，且|AB|=2√3，∴A(−1,√3)，B(−1,−√3)，将A点坐标代入双曲线渐近线方程得ba=√3，∴b2=3a2，又b2=c2−a2∴3a2=c2−a2，即4a2=c2，∴e=ca=2．则双曲线的离心率e为2．故答案为：2．16.答案：12020−(12)2019解析：解：数列{a n}的前n项和为S n满足：S n+a n=n−1n(n+1)，n=1，2，…，n．则：当n=1时，S1=0，当n≥2时，S n+S n−S n−1=2S n−S n−1=1n+1−(1n−1n+1)，所以：S n−1n+1=12(S n−1−1n)=(12)n−1(S1−12)=−(12)n，故：S n=1n+1−(12)n故：S2019=12020−(12)2019，故答案为：12020−(12)2019首先利用关系式的恒等变换求出数列的和的关系式，进一步求出结果．本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，数列的和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．17.答案：解：(1)在锐角△ABC中，∵2bsinA=√3a，∴2sinBsinA=√3sinA，sinA≠0，∴sinB=√32，B∈(0,π2)，∴B=π3．(2)由余弦定理可得：b2=a2+c2−2accosB，∴7=(a+c)2−2ac−2accosπ3，化为：ac=6，与a+c=5，a>c，联立解得：a=3，c=2．解析：(1)由2bsinA=√3a，利用正弦定理可得：2sinBsinA=√3sinA，sinA≠0，化简整理即可得出．(2)由余弦定理可得：b2=a2+c2−2accosB，代入化简解出即可．本题考查了正弦定理余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：解：(Ⅰ)由已知作出甲、乙两产品数据的茎叶图如图：(Ⅱ)x 甲=18(8.3+9.0+7.9+7.8+9.4+8.9+8.4+8.3)=8.5， x 乙=18(9.2+9.5+8.0+7.5+8.2+8.1+9.0+8.5)=8.5，S 甲2=18[(8.3−8.5)2+(9.0−8.5)2+(7.9−8.5)2+(7.8−8.5)2+(9.4−8.5)2+(8.9−8.5)2+(8.4−8.5)2+(8.3−8.5)2]=0.27，S 乙2=18[(9.2−8.5)2+(9.5−8.5)2+(8.0−8.5)2+(7.5−8.5)2+(8.2−8.5)2+(8.1−8.5)2+(9.0−8.5)2+(8.5−8.5)2]=0.405，∵x 甲=x 乙，S 甲2<S 乙2，∴甲和乙的质量数值的平均数相同，但甲的方差较小， 说明甲的数据更加稳定，故生产甲产品合适． (Ⅲ)依题意，乙不低于8.5分的频率为12， ξ的可能取值为0，1，2，3， 则ξ～B(3,12)，∴P(ξ=0)=C 30(12)3=18，P(ξ=1)=C 31(12)(12)2=38， P(ξ=2)=C 32(12)2(12)=38， P(ξ=3)=C 33(12)3=18，∴ξ的分布列为： ξ 0 1 2 3 P18383818×18+×38+×38+×18=32．解析：(Ⅰ)由已知数据能作出甲、乙两产品数据的茎叶图．(Ⅱ)分别求出x 甲，x 乙，S 甲2，S 乙2，得到x 甲=x 乙，S 甲2<S 乙2，这说明甲的数据更加稳定，故生产甲产品合适．(Ⅲ)依题意，乙不低于8.5分的频率为12，ξ的可能取值为0，1，2，3，ξ～B(3,12)，由此能求 本题主要考查茎叶图、概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力．19.答案：证明：(1)在矩形ABCD 中，AB =2，AD =1，P 是AB 的中点，∴DP =√AD 2+AP 2=√2，CP =√BP 2+BC 2=√2， ∴CD 2=4=DP 2+CP 2，∴CP ⊥DP ，∵平面A 1DP ⊥平面BCDP ，平面A 1DP ∩平面BCDP =PD ， CP ⊂平面BCDP ，∴CP ⊥平面A 1DP ， ∵A 1D ⊂平面A 1DP ，∴A 1D ⊥CP ．解：(2)以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，作A 1E ⊥DP 于点E ， 则A 1E =12DP =√22，P(1,1，0)，B(1,2，0)，C(0,2，0)，E(12,12,0)，A 1(12,12,√22)，从而CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,−32,√22)，CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，0)，CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)， 设m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)是平面A 1BC 的法向量， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12x −32y +√22z =0m ⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ =x =0，取z =3，得m ⃗⃗⃗ =(0,√2,3)， 设n⃗ =(x,y ，z)为平面A 1CP 的法向量， 则{n ⃗ ⋅CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12x −32y +√22z =0n ⃗ ⋅CP⃗⃗⃗⃗⃗ =x −y =0，取z =√2，得n⃗ =(1,1，√2)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√22√11=2√2211， ∴二面角B −A 1C −P 的余弦值为2√2211．解析：(1)推导出CP ⊥DP ，从而CP ⊥平面A 1DP ，由此能证明A 1D ⊥CP ．(2)以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，作A 1E ⊥DP 于点E ，利用向量法能求出二面角B −A 1C −P 的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.答案：解：(1)焦点F(√3,0)，当m =1时，直线l:x =1，点A(1,±√32)，k AF =√32−01−√3或−√32−01−√3，∴直线AF 的方程为：y =−√3+34(x −√3)或y =√3+34(x −√3)；(2)当直线l 的斜率不存在时，m =±1， S ΔABF =3−√32或3+√32．当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y =k(x −m)，联立方程{x 24+y 2=1y =k(x −m)，得(1+4k 2)x 2−8mk 2x +4m 2k 2−4=0． 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=8mk 21+4k 2，x 1⋅x 2=4m 2k 2−41+4k 2．由题意知|km|√1+k 2=1，即k 2m 2=k 2+1 ①，，利用①式，消去k ，得|y 1−y 2|=4√3m 2+3， ∴，当m <−1或1<m <√3时，S ΔABF =2√3(√3−m)m 2+3， 令t =√3−m ，t ∈(0,√3−1)∪(√3+1,+∞) ， 则；当m >√3时，S ΔABF =2√3(m−√3)m 2+3， 令t =m −√3，，则；∴当m =−1时，ΔABF 面积的最大值为3+√32．解析：本题考查直线与椭圆的综合问题．(1)当m =1时，直线l ：x =1，点A(1,±√32)，从而直线AF 有两个，利用点斜式方程即可;(2)当直线的斜率不存在时，m =±1，此时S ▵AFB =3√32；当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y =k(x −m)，联立方程组，用点A 、B 的坐标表示出S ▵ABF =12|m −√3|⋅|y 1−y 2|=2√3|m−√3|m +3，通过换元用 基本不等式解决．21.答案： 解：(1)因为f ′(x)=ax +1x ，所以f ′(1)=a +1，由f′(1)=g(−1)−2可得a =b −3，又因为f(x)在x =√22处取得极值，所以f′(√22)=√22a +√2=0，所以a =−2，b =1， 所以，其定义域为，ℎ′(x)=−2x +1x+1=−2x 2+x+1x=−(2x+1)(x−1)x令ℎ′(x)=0得x 1=−12，x 2=1， 当x ∈(0,1)时，ℎ′(x)>0， 当ℎ′(x)<0，所以函数ℎ(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为；(2)当a =0时，，其定义域为，①ℎ′(x)=1x +b ，当b ⩾0，则ℎ′(x)>0，ℎ(x)在上单调递增，不合题意，当b <0时，ℎ(x)在(0,−1b )上单调递增，在上单调递减，因为ℎ(x)有2个不同零点，所以ℎ(−1b )>0，即b ∈(−1e ,0)， 此时存在1<−1b <4b 2 ，使得ℎ(1)=b <0，ℎ(4b 2)<0， 又ℎ(x)在(0,−1b )和都连续， 所以ℎ(x)在(0,−1b )和各有一个零点，所以b 的取值范围为(−1e ,0)． ②由题意得，，所以，，所以，不妨设x 1<x 2， 要证x 1x 2>e 2，只需要证，即证，设t=x2x1(t>1)，则，因为F(t)=1t −4(t+1)2=(t−1)2t(t+1)2>0，所以函数F(t)在上单调增，而F(1)=0，所以F(t)>0即，所以x1x2>e2，所以x1x2e2>1．解析：【分析】本题考查函数的综合应用问题，属于较难题，应用导数解决函数的极值，零点，单调区间以及利用不等式求解参数的取值范围和证明相关问题．(1)利用导数解决极值，由导函数与0的关系，求单调区间；(2)利用导数，利用函数与方程，利用函数的零点求出b的范围，构造函数证明不等式．22.答案：证明：(Ⅰ)∵AD是⊙O的切线，∴∠DAC=∠B，∵DE//CA，∴∠DAC=∠EDA，∴∠EDA=∠B，∵∠AED=∠DEB，∴△AED∽△DEB，∴DEBE =AEDE，∴DE2=AE⋅BE．解：(Ⅱ)∵EF是⊙O的切线，EAB是⊙O割线，∴EF2=EA⋅EB，∵EF=4，EA=2，∴EB=8，AB=EB−EA=6，由(Ⅰ)知DE2=AE⋅BE，∴DE=4，∵DE//CA，∴△BAC∽△BED，∴BABE =ACED，∴AC=BA⋅EDBE =6×48=3．解析：(Ⅰ)推导出△AED∽△DEB，由此能证明DE2=AE⋅BE．(Ⅱ)由切割线定理得EF2=EA⋅EB，由DE//CA，得△BAC∽△BED，由此能求出AC．本题考查与圆有关的线段间等量关系的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．23.答案：解：(1)曲线C 2的极坐标方程为，化为直角坐标系的方程为x +y −2=0， 联立{x +y −2=0x 2+y 2−2y =0, 消去x 得，y 2−3y +2=0， 解得y =1或2，故C 1和C 2交点的坐标为(0,2)，(1,1)． (2)依题意，直线l 的参数方程为为参数)，把直线l 的参数方程{x =−2+√32t y =12t代入x 2+y 2−2y =0，得(−2+√32t)2+(12t)2−t =0，即t 2−(2√3+1)t +4=0， 设A ，B 对应得参数分别为t 1,t 2， 则t 1+t 2=2√3+1，t 1·t 2=4． 易知点M 在圆x 2+y 2−2y =0外， 所以|MA|+|MB|=|t 1+t 2|=2√3+1．解析：本题主要考查由直线极坐标方程求直角坐标方程，由直线直角坐标方程求其参数方程，考查参数的几何意义，属于中档题． (1)将曲线C 2的极坐标方程化成直角坐标方程，联立方程即可求解；(2)通过设直线l 的参数方程，联立方程，利用参数的几何意义求解．24.答案：解：y =3sinx +2√2+2cos2x =3sinx +4√cos 2x ．由柯西不等式得：y 2=(3sinx +4√cos 2x)2≤(32+42)(sin 2x +cos 2x )=25， 所以y max =5，此时sinx =35， 所以函数的最大值为5．解析：本题考查利用柯西不等式求函数的最值，由柯西不等式得到y2=(3sinx+4√cos2x)2≤(32+42)(sin2x+cos2x)=25，即可求出答案．。
河北省衡水中学2020届高三数学下学期第二次调研试题理(含解析)
uuur uuur uuur AB AC 且 AP
uuur BC ，
则实数 的值为__________．
【答案】1
【解析】
试题分析：因为 AP BC ，所以 AP BC 0 ．
AP
BC
(
AB
AC)
( AC
AB)
AB
AC
2 AC
－
2 AB
AB
AC
＝
( 1) AB AC cos 60 AC |2 AB |2 ＝ 2( 1) 4 4 2 2 0 ，解得 1 ．
【解析】
试题分析：令 x 0 ，得 a0 1；令 x 1 ，得 2 a0 a1 a2 a8 ，即
a1 a2 a8 3 ．又 a8 (2)7 C77 128 ，所以 a1 a2 a7 3 a8 125 ，
故选 C．
考点：二项式定理．
10.已知圆 C1 ： x2
2cx
它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离， 就是球的半径，
三棱柱中，底面 BDC ， BD CD 1, BC 3 , BDC 120 ，
BDC
的外接圆的半径为
1 2
sin
3 120
1
，
3 由题意可得：球心到底面的距离为 2 .
r 3 1 7
球的半径为
y2
0 ，圆 C2 ： x2
2cx
y2
x2 0 ， c 是椭圆 C ： a2
y2 b2
1
的
半焦距，若圆 C1 ， C2 都在椭圆内，则椭圆离心率的范围是（ ）
A.
1 2
,1
【答案】B
B.
0,
1 2
河北省衡水中学2020届高三年级小二调考试数学文科试卷(解析版)
2019-2020学年度高三年级小二调试数学（文科）试卷一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，下列每小题所给选项只有一个符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.已知集合{}|10A x x =+>，{}|1B x x =∈≤Z ，则A B =I ( )A. {}|011x x ≤+≤B. {}|11x x -<≤C. {}0,1D. {}1 【答案】C【分析】对集合A 进行化简，然后根据集合的交集运算，得到A B I 的值.【详解】集合{}{}|10|1A x x x x =+>=>-，集合{}|1B x x =∈≤Z所以{}{}|110,1B x x A =∈-<≤=Z I .故选：C.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题.2.若函数2ln y ax b x =-在1x =处的切线方程为52y x =-，则a ，b 的值为( )A. 2,1B. -2，-1C. 3,1D. -3，-1 【答案】C【分析】将1x =代入切线方程得到切点，将切点代入到解析式中，得到a ，利用导数的几何意义，对函数求导，代入1x =，得到切线斜率，得b 的值.【详解】将1x =代入切线52y x =-，得到切点坐标为()1,3，将()1,3代入到函数解析式中，得到3=a ，所以23ln y x b x =-， 求导得6b y x x'=-， 代入1x =得6k b =-，所以65b -=，得1b =.故选：C.【点睛】本题考查导数的几何意义，根据导数的切线求参数的值，属于简单题.3.已知命题[)0:0,p x ∃∈+∞使00420x x k --=.命题2:(0,),0q x x k ∀∈+∞+>.则命题p 是命题q 的（ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要【答案】C【分析】根据命题p 、q 的等价条件确定k 的取值范围，即可得到本题答案. 【详解】p :设()42x x f x =-，因为211()42224x xx f x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，得当0x =时，()f x 取最小值0，且0[0,)x ∃∈+∞使00420x x k --=的等价条件为()42x x f x =-在[0,)+∞的值域即为k 的范围，即0k ≥; q ：2(0,),0x x k ∀∈+∞+>的等价条件为0k ≥;所以，命题p 是命题q 的充要条件.故选：C【点睛】本题主要考查根据全称命题、特称命题确定参数的取值范围，以及判断充分条件、必要条件. 4.设2log 3a =，3log 4b =，5log 8c =，则（ ）A. c a b >>B. c b a >>C. a b c >>D. a c b >> 【答案】D【分析】 由35lg64lg64log 4log 8lg27lg25==，比较 b ，c 的大小，利用中间量32比较 a , c ，从而得解. 【详解】∵327lg64log 4log 64lg27==，525lg64log 8log 64lg25==，∴35log 4log 8<. ∵2385<，∴3285<，∴32553log 8log 52<=. 又2443log 3log 9log 82=>=，∴253log 3log 8log 4>>，即a c b >>. 故选D【点睛】本题主要考查了利用对数函数的单调性比较大小，解题的关键是找到合适的中间量进行比较大小，属于难题.5.若函数()ln f x x kx =-在()1, +∞上单调递减，则k 的最小值是（ ）。