极坐标和参数方程
参数方程与极坐标
参数方程与极坐标参数方程和极坐标是数学中常用的描述平面曲线的两种方法。
两者分别适用于不同类型的曲线，并且在不同的数学领域中都有广泛的应用。
下面将详细介绍参数方程和极坐标。
1.参数方程参数方程是用参数形式描述曲线的方程。
一条平面曲线可以用参数方程表示为：x=f(t)y=g(t)其中x和y是曲线上的点的坐标，t是参数。
通过改变参数t的取值，我们可以获得曲线上的各个点。
参数方程的优点是可以轻松地描述一些复杂的曲线，例如椭圆、双曲线、直角坐标系不容易表示的曲线等。
此外，参数方程也常用于描述运动学问题，其中x和y可以表示物体在不同时间点的位置。
然而，参数方程也有一些限制。
一条曲线可以有多种不同的参数方程表示，而同一条曲线也可能存在无穷多个参数方程。
因此，在使用参数方程时，需要选择恰当的参数范围以确保曲线的完整性和正确性。
2.极坐标极坐标是一种描述平面上点的方法，其中每个点由一个距离和一个角度组成。
极坐标系中，坐标轴被称为极轴，原点为极点，极轴正方向为极角为0的方向。
一个点的极坐标可以用(r,θ)表示，其中r是点到极点的距离，θ是点相对极轴的角度。
通过改变r和θ的取值，我们可以获得平面上的各个点。
极坐标的优点在于能够简洁地表示出具有对称特点的曲线，例如圆、椭圆、双曲线等。
此外，极坐标也常用于描述极坐标系下的物体运动，其中r和θ可以表示物体在不同时间点的位置。
然而，极坐标也有一些局限性。
极坐标系不适用于描述直线和垂直于极轴的曲线。
此外，极坐标系下的计算也相对复杂，需要进行数学变换来转换为直角坐标系进行计算。
3.参数方程与极坐标的关系参数方程和极坐标是可以相互转换的。
对于一个曲线的参数方程x=f(t)，y=g(t)，我们可以将x和y转换为极坐标r和θ，从而得到曲线的极坐标方程。
设x=r*cos(θ)，y=r*sin(θ)，则有：r*cos(θ) = f(t)r*sin(θ) = g(t)通过这个转换，我们可以将一个曲线从参数方程转换为极坐标方程，并反过来。
极坐标与参数方程的求解方法
极坐标与参数方程的求解方法极坐标与参数方程的概述极坐标和参数方程是数学中常用的描述曲线的方法。
极坐标使用极径和极角来表示点的位置，而参数方程使用参数关联横坐标和纵坐标。
在解决数学问题和绘制曲线时，掌握这两种求解方法非常重要。
极坐标的求解方法极坐标的求解方法主要包括确定极径和极角。
下面是一些常用的求解方法：1. 已知直角坐标求解极坐标：通过公式计算出极径和极角。
具体来说，极径可以通过点到原点的距离计算，极角可以通过点的坐标构成的直角三角形的角度计算。
2. 已知极坐标求解直角坐标：通过公式计算出横坐标和纵坐标。
具体来说，横坐标可以通过极径乘以cos(极角)计算，纵坐标可以通过极径乘以sin(极角)计算。
3. 极坐标的运算：对于已知的极坐标，可以进行加减乘除等运算。
极坐标的运算结果仍然是极坐标。
参数方程的求解方法参数方程的求解方法主要包括确定参数的取值范围和参数与直角坐标的关系。
下面是一些常用的求解方法：1. 确定参数的取值范围：通常通过给定的条件来确定参数的取值范围，例如给定一个时间段或一个长度范围。
2. 参数与直角坐标的关系：通过给定的参数与直角坐标之间的关系，可以求解出直角坐标的值。
这个关系可以是线性、二次方程或其他形式的函数关系。
3. 参数方程的求解：通过确定参数的取值范围和参数与直角坐标的关系，可以求解出满足条件的参数方程。
总结极坐标和参数方程是数学中常用的求解曲线问题的方法。
在使用这些方法时，需要掌握相应的求解技巧和公式。
通过熟练掌握这些求解方法，我们可以更好地理解和解决与曲线相关的数学问题。
极坐标与参数方程
极坐标与参数方程极坐标和参数方程是解析几何中的两种常见的坐标系统。
它们在描述曲线、曲面和图形等数学问题中具有重要的应用。
本文将就极坐标和参数方程的定义、特点以及应用做详细介绍。
一、极坐标1.1 定义极坐标是用一个有序的有序对(r, θ)来表示平面上的点P。
其中r表示点P到原点的距离，θ表示点P与X轴正半轴的夹角。
极坐标可以看做是极径和极角的一种表示方式。
1.2 特点极坐标的主要特点在于其描述了点P与原点之间的极径和极角关系，而不是点的直角坐标。
极坐标有助于描述某些特殊的图形特征，如圆、扇形和螺旋线等。
1.3 转换关系极坐标与直角坐标之间存在一定的转换关系。
对于平面上一点P(x,y)，其转换为极坐标(r,θ)的关系如下：r = √(x² + y²)θ = arctan(y/x)二、参数方程2.1 定义参数方程又称参数表示法，是用参数的形式描述平面上点的坐标。
对于平面上点P，可以使用一组参数t来表示其坐标(x,y)，即P(x(t),y(t))。
参数方程可以看做是x和y的函数表达。
2.2 特点参数方程的主要特点在于可以通过参数的变化来描述点的轨迹和运动规律。
参数方程常用于描述曲线、线段和曲面等几何形体，同时也在物理学和工程学中广泛应用。
2.3 转换关系直角坐标和参数方程之间也存在转换关系。
对于平面上一点P(x,y)，其对应的参数方程为：x = x(t)y = y(t)三、极坐标与参数方程的应用3.1 几何图形的描述极坐标和参数方程可以更直观地描述某些几何图形。
比如，圆的极坐标方程为(r,θ) = (a, θ)，其中a为半径；直线可用参数方程表示，利用参数t可以描述直线的起点、终点和运动方向。
3.2 物理学中的应用极坐标和参数方程在物理学中有着广泛的应用。
例如，带电粒子在磁场中的运动可通过参数方程来描述；振动系统中的物体位置随时间的变化也可以通过参数方程来表示。
3.3 工程学中的应用工程学中常常需要处理复杂的曲线和曲面。
参数方程与极坐标(精华版)
参数方程与极坐标(精华版)y y tsin注意：倾角为的直线，斜率为tan，所以tan=tan，即tcos=tsin，所以cos=sin，即=45，即直线与x轴或y轴夹45角。
Eg：已知直线L过点（1，2）且与x轴夹45角，求直线L的方程。
解：设直线L的参数方程为x=1+tcos45，y=2+tsin45，即x=1+t/2，y=2+t/2，将y=mx+b代入得到m=1，b=3/2，即直线L的方程为y=x+3/2.四、极坐标1、定义：在平面直角坐标系中，点P到原点O的距离r和OP与x轴正半轴的夹角唯一确定点P的位置，称（r，）为点P的极坐标，r为极径，为极角，记作P（r，）。
2、极坐标与直角坐标的转换x=r cos，y=r sinr2=x2+y2，tan=y/x3、常见曲线的极坐标方程1）圆：r=a2）半直线：=0或=3）双曲线：r=a sec或r=a cosec4）椭圆：r=a bcos或r=a sin5）心形线：r=a(1+cos)6）阿基米德螺线：r=a+b7）对数螺线：r=a e b8）伯努利双曲线：r2=a2 sec29）费马螺线：r=2a sin(/2)10）旋轮线：r=a或r=a sin(n)/sin（n为正整数）总结：极坐标的方程形式比较简单，但是不同曲线的极坐标方程需要记忆，转换成直角坐标系方程需要用到三角函数的知识。
P点的有向距离在点P两侧t的符号相反，可以通过直线的参数方程来表示。
其中，t代表有向距离的几何意义。
需要注意的是，t的符号相对于点P，正负在P点两侧，且|PP|=|t|。
直线参数方程可以有多种变式，比如y=y+tsinα和x=x+at，y=y+bt，但此时t的几何意义不是有向距离。
只有当t前面系数的平方和为1时，t的几何意义才是有向距离。
因此，可以将直线参数方程整理为x=x+a2+b2t，XXX，让a2+b2t作为t，这样t的几何意义就是有向距离了。
例如，对于直线x=-1+3t，y=2-4t，可以求其倾斜角。
高等数学课件：极坐标参数方程
例 2．将极坐标方程2 a2cos2 化为直角坐标方程： 解： 2 a2(cos 2sin2), 4 a22(cos2sin2), 4 a2[(cos)2 (sin)2], (x2 y2)2 a2(x2 y2).
（三）极坐标系中曲线的对称性
（2）当 R, R 时，
M(, )
的量法 ：逆转为正，顺转为负. O
0
x
的量法 ： 0 时，则在角的 终边上取 M 点，使OM ；
0 时，则在角的 终边的反向延长线上取 M 点，
使 OM .
O
0
x
M(, )
M(, )
(, )
O
x
M1(, )
这样，一对实数(, ) 对应唯 一 点 M，
(, 2k) (, (2k
2．
椭圆
x2 a2
y2 b2
1
(ab0)
的参数方程：
xacost
ybsint
,
t[0, 2].
椭圆
(
x
x a2
)2
(
y
y b2
)2
1
(ab0)
的参数方程：
x y
x y
acost bsint
(a
b
0),
t[0, 2].
3．摆线的参数方程：
xa(t sint) y a(1cost )
(
y
)
2 3
1
，
aa
2 22
故普通方程为 x 3 y 3 a 3 .
（二）几种常见曲线的参数方程
1． 圆 x2 y2 a2 的参数方程：
x acost yasint
极坐标与参数方程的区别
极坐标与参数方程的区别在数学中，极坐标和参数方程是描述平面上曲线的两种常见表示方法。
尽管它们都可以用来描述复杂的曲线，但它们之间存在着一些重要的区别。
极坐标极坐标是一种使用距离和角度来描述点位置的坐标系统。
它由两个值组成：极径（r）和极角（θ）。
极径表示从原点到点的距离，而极角表示从参考线（通常是正 x 轴）逆时针旋转的角度。
在极坐标系统中，一个点的位置可以用坐标（r，θ）表示。
例如，一个点的极坐标为（2，π/4），意味着它离原点的距离为2，角度为π/4。
极坐标非常适用于描述具有很强对称性的曲线，如圆形、花朵等。
相较于直角坐标系，极坐标具有更直观的表示方式。
通过改变极径和极角的值，可以轻松地绘制出不同形状的曲线。
参数方程参数方程是一种使用参数变量来表示曲线的坐标系统。
它将曲线上的每个点的坐标表示为参数的函数。
在参数方程中，使用参数 t 来描述曲线上的点。
对于每个 t 的取值，对应于该参数值的曲线上存在一个点。
通过将 t 代入参数方程的 x 和 y 分量，可以得到曲线上点的坐标。
例如，参数方程可能会将 x 和 y 的坐标表示为以下函数：x = cos(t)y = sin(t)在这个参数方程中，x 和 y 的值依赖于参数 t 的值。
通过改变 t 的值，可以得到曲线上不同点的坐标。
参数方程非常适合描述复杂的曲线，如椭圆、螺旋线等。
相较于极坐标，参数方程在描述一些非对称的曲线时更加灵活。
通过调整参数的范围，可以绘制出整个曲线或者只绘制其中一部分。
区别与应用极坐标和参数方程在描述曲线时有着不同的方式和应用场景。
下面是两者之间的区别：1.参数数量：极坐标只需要两个参数，即极径和极角；而参数方程可以有多个参数，具体取决于曲线的复杂程度。
2.描述方式：极坐标使用距离和角度来描述点的位置，更适合描述对称的曲线；参数方程使用参数变量来表示点的位置，更适合描述复杂的曲线。
3.表示范围：极坐标可以表示整个曲线，而参数方程可以绘制出整个曲线或者只绘制其中一部分。
参数方程与极坐标
思源个性化学习讲义参数方程与极坐标教学任务参数方程与极坐标1、已知方程2cos 3sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩1）若t 为参数，求曲线1C 的普通方程；2）若α为参数，求曲线2C 的普通方程；3）若曲线2C 过原点，(,)M x y 为曲线2C 上任一点，求x y +的最大值。
2、抛物线28cos sin θρθ=上有一点M ，它的极径等于点M 到准线的距离，求点M 的极坐标。
课后作业填空：1、曲线⎩⎨⎧+=+=ty t x 2112（t 为参数，R t ∈）的焦点坐标是_____________2、直线2y x b =+被曲线2sin 2cos x ty t=⎧⎨=⎩(t 为参数)所截得的线段的最大值是_______3、已知极坐标系中，)6,3(πP ，)3,2(πQ 两点，那么直线PQ 与极轴所在直线所夹的锐 角是__________4、在极坐标系中，O 是极点，设点)6,4(πA ，)65,2(πB ，则AB = 5、椭圆3cos ,4sin x y θθ=⎧⎨=-⎩的焦距为6、B A 、两点的极坐标分别为)3,2()3,3(ππ-B A 、，则B A 、两点的距离=AB _______ 7、在极坐标系中，若过点(3，0)且与极轴垂直的直线交曲线θρcos 4=两点，则AB =________8、在极坐标系内，如果圆C ：2cos (0)a a ρθ=>与直线l ：cos 2ρθ=相切，那么a =9、在极坐标系中，写出与圆θρsin 4=相切的一条直线的方程是。
(完整版)极坐标与参数方程知识点总结大全
极坐标与参数方程一、参数方程1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即 ⎩⎨⎧==)()(t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上（即曲线上的点在方程上，方程的解都在曲线上），那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.练习1．若直线的参数方程为，则直线的斜率为（ ）12()23x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数A ．B ．C ．D ．2323-3232-2．下列在曲线上的点是（ ）sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数A ．B ．C ．D ．1(,231(,)42-3．将参数方程化为普通方程为（ ）222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数A ．B ．C ．D ．2y x =-2y x =+2(23)y x x =-≤≤2(01)y x y =+≤≤注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一（由上面练习（1、3可知））。
应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。
3．圆的参数方程如图所示，设圆的半径为，点从初始位置出发，按逆时针方向在圆上作匀速圆周运动，设，则。
这就是圆心在原点，半径为的圆的参数方程，其中的几何意义是转过的角度（称为旋转角）。
圆心为，半径为的圆的普通方程是，它的参数方程为：。
4．椭圆的参数方程以坐标原点为中心，焦点在轴上的椭圆的标准方程为其参数方程为，其中参数称为离心角；焦点在轴上的椭圆的标准方程是其参数方程为其中参数仍为离心角，通常规定参数的范围为∈[0，2）。
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(2)若把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点 P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用 两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题．
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(1)(2011年江西)若曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ＋ 4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系， 则该曲线的直角坐标方程为________．
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；
②直线过点M(a,0)且垂直于极轴： ρcosθ＝a ；
③直线过点M(b，π2)且平行于极轴：ρsinθ＝b .
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(2)圆的极坐标方程 若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆方程为 ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r2＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程 ①当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r ； ②当圆心位于M(a,0)，半径为a： 2acosθ ； ③当圆心位于M(a，π2)，半径为a： ρ＝2asinθ .
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(对应学生用书P235)
极坐标与直角坐标的互化 (1)互化的前提条件： ①极点与原点重合； ②极轴与x轴正方向重合； ③取相同的单位长度．
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点P1、P2的距离？ 提示：t表示在直线上过定点P0(x0，y0)与直线上的任一点
P(x，y)构成的有向线段P0P的数量．
|P1P2|＝|t1－t2|
＝ t1＋t22－4t1t2.
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(2)圆 以O′(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是
x＝x0＋tcosα y＝y0＋tsinα (t为参数)．
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问题探究2：在直线的参数方程
x＝x0＋tcosα y＝y0＋tsinα
(t为参数)
中，t的几何意义是什么？如何利用t的几何意义求直线上任两
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(2)直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且
在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内的任意一
点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则
x＝ρcosθ y＝ρsinθ
ρ2＝x2＋y2 ，tanθ＝xyx≠0
解析：ρ2＝－2ρsinθ ∴x2＋y2＝－2y 即x2＋(y＋1)2＝1，圆心为(0，－1) ∴圆心的极坐标为(1，－π2)． 答案：B
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2．(2011年安徽)在极坐标系中，点(2，π3)到圆ρ＝2cosθ的
圆心的距离为
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(2)(2012年上海，改编)如图，在极坐标系中，过点M(2,0)
的直线l与极轴的夹角α＝
π 6
.若将l的极坐标方程写成ρ＝f(θ)的
形式，则f(θ)＝______.在直角坐标系下的方程为______．
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1．(2011年北京)在极坐标系中，圆ρ＝－2sinθ的圆心的
极坐标是
()
A.1，π2 C．(1,0)
B.1，－π2 D．(1，π)
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么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y之间关系
的变数t叫做参变数，简称 参数 ．相对于参数方程而言，直接
给出点的坐标间关系的方程叫做 普通方程 ．
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5．几种常见曲线的参数方程 (1)直线 经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程是
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2．坐标系 (1)极坐标系的概念 在平面上取一个定点O叫做 极点 ；自点O引一条射线Ox 叫做 极轴 ；再选定一个长度单位、角度单位(通常取弧度) 及其正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个 极坐标系．
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设M是平面上任一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M 的极径，记为ρ ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的∠xOM 叫做点M的 极角 ，记为 θ .有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐 标，记作 M(ρ，θ) ．
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答案： 3
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6．若x2＋y2＝4，则x－y的取值范围是________． 解析：令x＝2cosθ，y＝2sinθ，则x－y＝2cosθ－2sinθ＝ 2 2cos(θ＋φ)∈[－2 2，2 2]
答案：－2 2≤x－y≤2 2
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【解析】(1)∵xy＝＝ρρcsionsθθ. ∴x2＋y2＝ρ2. ∵ρ＝2sinθ＋4cosθ， ∴ρ2＝2ρsinθ＋4ρcosθ， ∴x2＋y2＝2y＋4x. 即(x－2)2＋(y－1)2＝5. ∴x2＋y2－4x－2y＝0 即(x－2)2＋(y－1)2＝5.
()
A．2
B.
4＋π92
C.
1＋π92
D. 3
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解析：将点2，π3化为直角坐标为(1， 3)， ρ＝2cosθ化为直角坐标系下方程为：(x－1)2＋y2＝1，圆 心为(1,0)．∴两点间距离为 3.
答案：D
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高考中该部分的试题是综合性的，题目中既有极坐标的 问题，也有参数方程的问题，考生既可以通过极坐标解决， 也可以通过直角坐标解决，但大多数情况下，把极坐标问题 转化为直角坐标问题，把参数方程转化为普通方程更有利于 在一个熟悉的环境下解决问题．要重视把极坐标问题化为直 角坐标问题，把参数方程化为普通方程的思想意识的形成， 这样可以减少由于对极坐标和参数方程理解不到位造成的错 误．
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4．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是( ) A．两个圆 B．两条直线 C．一个圆和一条射线 D．一条直线和一条射线 解析：由(ρ－1)(θ－π)＝0可得ρ＝1或θ＝π. ρ＝1表示圆，θ＝π(ρ≥0)表示一条射线，故选C. 答案：C
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考纲要求
考情分析
1.了解坐标系的作用．了解在平面直角 坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化 情况． 2．了解极坐标的基本概念．会在极坐 标系中用极坐标刻画点的位置，能进行 极坐标和直角坐标的互化． 3．能在极坐标系中给出简单图形(如过 极点的直线、过极点或圆心在极点的 圆)表示的极坐标方程． 4．了解柱坐标系、球坐标系中表示空 间中点的位置的方法，并与空间直角坐 标系中表示点的位置的方法相比较，了 解它们的区别． 5．了解参数方程，了解参数的意义． 6．能选择适当的参数写出直线、圆和 椭圆的参数方程.
从近三年的高考试题来看，极坐标部分重点
考查极坐标与直角坐标的互化，尤其是涉及
直线与圆的极坐标方程问题，同时考查直线 与圆的位置关系．如2012年陕西卷15，湖南 卷10，辽宁卷3等．参数方程部分多考查直线 与圆的参数方程及应用．如2012年广东卷 14，属容易题． 单独考查参数方程和极坐标的题目，一般为 选择、填空题形式，分值4～5分．若综合考 查参数方程和极坐标的知识，则通常以解答 题形式出现，如2012年课标卷23，辽宁卷23 等，分值10分． 预测：2013年仍会以直线、圆的极坐标参数 方程为载体，以极坐标参数方程与普通方程
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3．极坐标方程ρcosθ＝4表示的曲线是 A．一条平行于极轴的直线 B．一条垂直于极轴的直线 C．圆心在极轴上的圆 D．过极点的圆 解析：ρcosθ＝4化为直角坐标方程为x＝4 答案：B
()
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x＝a＋rcosα y＝b＋rsinα
，其中α是参数．
当圆心在(0,0)时，方程为xy＝ ＝rrcsionsαα.，
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(3)椭圆 中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下 两种情况：