置信区间与假设检验.ppt
假设检验与置信区间
假设检验与置信区间假设检验和置信区间是统计学中两个重要的概念和方法。
它们被广泛应用于数据分析和实证研究中，用于对样本数据进行统计推断和判断。
本文将详细介绍假设检验和置信区间的定义、原理、应用以及它们之间的关系。
一、假设检验的定义和原理假设检验是通过对样本数据进行统计推断，来判断某一假设是否成立的方法。
它分为参数假设检验和非参数假设检验两种。
参数假设检验是基于总体参数的已知或估计值，对样本数据进行统计推断；非参数假设检验则是基于样本数据的分布自由度，对总体分布进行推断。
无论是参数假设检验还是非参数假设检验，它们的基本原理是一样的。
假设检验的基本步骤如下：1. 提出原假设（H0）和备择假设（H1）；2. 选择适当的统计检验方法和显著性水平，计算样本数据的检验统计量；3. 根据检验统计量的大小，进行统计推断，得出是否拒绝原假设的结论；4. 根据结论进行统计解释和决策。
二、置信区间的定义和原理置信区间是用于估计总体参数值的一种方法，表示参数估计的不确定性范围。
置信区间通常以一个区间范围来表示，例如95%置信区间。
这意味着，在一系列相同样本条件下，对总体参数的估计在95%的情况下会落在该置信区间内。
置信区间的计算方法取决于估计的参数类型和样本数据的分布，常见的包括正态分布、t分布和二项分布等。
置信区间的计算涉及到样本的均值、方差、样本量以及置信水平等因素。
较大的置信水平意味着更高的可信度，但是对应的置信区间也会更宽。
三、假设检验和置信区间的应用假设检验和置信区间在各个领域的应用非常广泛，特别是在医学、社会科学和市场研究等领域。
在医学研究中，假设检验和置信区间被应用于新药的疗效评估、药物剂量的调整以及治疗方法的比较等方面。
通过对患者样本数据进行假设检验，可以判断新药是否安全有效；置信区间则可以提供药效的可信区间范围。
在社会科学研究中，假设检验和置信区间被应用于社会调查、教育评估和舆情分析等方面。
例如，对于某一教育政策的效果评估，可以通过假设检验和置信区间对样本数据进行分析，判断改革是否达到预期目标。
8.4 置信区间与假设检验之间的关系
且由一样本算得 x 5.20 ,
于是得到参数 的一个置信水平为 0.95 的置信 1 1 区间 ( x z0.025 , x z0.025 ) 16 16
(5.20 0.49, 5.20 0.49) (4.71, 5.69 ).
考虑检验问题 H 0 : 5.5, H1 : 5.5,
验问题 H0 : 0 , H1 : 0 有类似的对应关系.
若已求得单侧置信区间 (, ( X 1 , X 2 , , X n )), 则当0 (, ( x1 , x2 , , xn )) 时接受 H0 ; 当0 (, ( x1 , x2 , , xn )) 时拒绝 H0 .
数 的一个置信水平为1 的置信区间.
这就是说, 为要求出参数 的置信水平为 1 的
置信区间 , 要先求出显著水平为 的检验假设
H 0 : 0 , H1 : 0 , 的接受域 :
( x1 , x2 , , xn ) 0 ( x1 , x2 , , xn ).
那么 , ( ( X 1 , X 2 , , X n ), ( X 1 , X 2 , , X n )) 是参数
的一个置信水平为 1 的置信区间 .
二、 置信区间与单边检验之间的对应 关系
（1）置信水平为 1 的单侧置信区间 (, ( X 1 , X 2 , , X n ))与显著水平为 的左边检
即有
P0 { ( X 1 , X 2 , , X n ) 0 ( X 1 , X 2 , , X n )}
由 0 的任意性, 有
P { ( X1 , X 2 , , X n ) ( X1 , X 2 , , X n )}
《假设检验》课件
方差分析
总结词
适用于多组数据比较的检验方法
详细描述
方差分析是一种适用于多组数据比较的假设检验方法。它通过比较不同组之间的变异和 误差来源，计算F值和对应的P值，以判断原假设是否成立。方差分析在很多领域都有
应用，如农业、生物统计学和心理学等。
秩和检验
总结词
适用于等级数据或非参数数据的检验方法
详细描述
秩和检验是一种适用于等级数据或非参数数 据的假设检验方法。它通过将数据排序后进 行比较，计算秩和值和对应的P值，以判断 原假设是否成立。秩和检验在很多领域都有 应用，如医学、生物学和环境科学等。
04 假设检验的实例分析
单样本Z检验实例
总结词
用于检验一个样本的平均值与已知的 某一总体均值之间是否存在显著差异 。
如果样本量过小，可能无 法得出可靠的结论，因为 小样本可能无法代表总体 。
样本量过大
如果样本量过大，可能会 导致统计效率降低，增加 计算复杂度和成本。
样本代表性
在选择样本时，需要确保 样本具有代表性，能
假设检验的结果只能给出拒绝或接受 假设的结论，但无法给出假设正确与 否的确凿证据。
置信区间有助于判断假设的正确性
02
通过比较置信区间和假设值的位置关系，可以判断假设是否成
立。
置信区间与假设检验的互补关系
03
置信区间和假设检验各有优缺点，可以结合使用以更全面地评
估数据的统计性质。
THANKS 感谢观看
提出假设
根据研究问题和目的，提出原 假设和备择假设。
确定临界值
根据统计量的性质和显著性水 平，确定临界值。
做出决策
根据计算出的样本统计量和临 界值，做出接受或拒绝原假设 的决策。
第2章 第4节 置信区间与假设检验
且
Cov ( ui , u j ) E ( ui u j ) 0,
u 正态假定理由如下： uii 的 的正态假定理由如下：
1．ui 代表回归模型中未包含的变量的集合。 这些未引入的变量的影响是微弱的和随机的。根 据中心极限定理，如果存在大量独立且同分布的 随机变量，随着这些变量个数的增大，它们的总 和将趋向正态分布。 2．即使变量个数不是很大或这些变量不是严 格独立的，它们的总和仍可视同正态分布。
同理我们可得到的 β1置信度为(1-α)的置信区间：
( ( ˆ t ( n 2) Se ˆ ), ˆ t ( n 2) Se ˆ ) 1 1 /2 1 1 /2
例如，在例 2.1 中，我们得到 ˆ 0.7616 2 ˆ ) 0.0149 Se(
置信下限
置信上限
需要指出的是，给定样本，给定置信水平 ， 置信区间不是唯一的. 对同一个参数，我们可以 构造许多置信区间. 在概率密度为单峰且对称的情形，取对称的 分位点求得的置信区间的长度为最短.
三、 ui 正态性假定和普通最小二乘估计量
ˆ , ˆ 和 2 的性质 ˆ 1 2
（一）ui 正态性假定 在回归分析中，我们的目的不仅仅是得到 j ，
ˆ 推断 。因此，我们需要得到 ˆ 的置 而且要用 j j j
信区间，通过置信区间去判断这种推断的可靠性。
ˆ 的概率分布。 这就需要 j
ˆ 是Yi 的线性函数， 在最小二乘估计式中， j ˆ 的置信 从而也就是 ui 的线性函数。要推 断 j
区间，我们就必须获得 ui 的概率分布。 在回归分析中，人们常常假定 ui 服从正态 分布。即
置信区间与假设检验之间的关系
侧置信区间， 侧置信区间，则有
P(−∞< θ < θ2 ) ≥ 1−α. 考虑显著性水平为 的左侧检验 α H0 :θ ≥ θ0 , H1 :θ < θ0
由P(−∞ < θ0 < θ2 ) ≥ 1−α得P(θ0 ≥ θ2 ) < α,
θ H H 故当 0 ∈(−∞,θ2 )时，接受 0;当θ0 ∉(−∞,θ2 )时，拒绝 0。
例如， X 已知时， µ 例如，当总体 ~ N(µ,σ 2 )且σ已知时，参数 的 置信区间为
（X −
σ
n
zα / 2 , X +
σ
n
zα / 2）
假设 0：µ = µ0的拒绝域为 H
X − µ0 ≥ zα σ0 / n 2
即
µ0 ≤ X − σ
n
µ zα / 2或者 0 ≥ X +
σ
n
zα / 2，
µ 即， 0 ≥ X + σ
n zα， 从而接受域为（ 从而接受域为（ ∞, X + −
σ
n
zα）。
7 ， 例 .11 看书
n n 又例Байду номын сангаас， X 已知时， µ 又例如，当总体 ~ N(µ,σ 2 )且σ已知时，参数 的 左侧置信区间为 （− ∞, X +
从而接受域为（ X 从而接受域为（ −
σ
zα / 2 , X +
σ
zα / 2）。
σ
n
zα） ,
而假设 0：µ ≥ µ0的拒绝域为 H
X − µ0 ≤ −zα σ0 / n
X的样本， x 设X1 , X2 ,⋯, Xn是来自总体 的样本， 1 , x2 ,⋯, xn 是相应的样本值。 是相应的样本值。 (1)设(θ1 ,θ2 )是参数 的一个置信水平为−α的置信 θ 1 区间， 区间，则有 P(θ1 < θ < θ2 ) ≥ 1−α. 考虑显著性水平为 的双侧检验 α H0 :θ = θ0 , H1 :θ ≠ θ0
报告中的假设检验与置信区间
报告中的假设检验与置信区间假设检验（Hypothesis Testing）和置信区间（Confidence Interval）是统计推断中常用的两种方法。
假设检验用于判断一个假设是否成立，而置信区间用于估计一个未知参数的范围。
在科学研究和实验设计中，这两种方法经常被用来进行统计推断和决策分析。
本文将从六个方面详细论述报告中的假设检验与置信区间的意义和应用。
一、假设检验方法的基本原理假设检验方法基于一个统计模型，首先提出一个原假设和一个备择假设，然后利用样本数据进行推断和决策。
在假设检验中，我们使用一个统计量来计算样本数据的观察值，并根据该统计量与相应的概率分布对比来做出决策。
例如，在医学研究中，我们可以利用假设检验方法来判断某种药物的疗效是否显著，从而决定是否接受这种药物的疗程。
二、假设检验中的类型I错误和类型II错误在假设检验中，我们需要设置显著性水平，即拒绝原假设的概率的上限。
当我们拒绝原假设却实际上原假设是正确的时候，称为类型I错误。
而当我们接受原假设却实际上原假设是错误的时候，称为类型II错误。
在实际应用中，我们需要权衡这两种错误的概率，以便做出正确的决策。
三、置信区间的含义和计算方法置信区间是用来估计一个未知参数的范围的一种方法。
在置信区间中，我们可以给出一个区间范围，并说明其对应的置信水平。
例如，在调查中估计某种产品的平均销售量时，我们可以给出一个置信区间，比如95%置信水平的置信区间为[2000, 5000]，意味着我们对该产品的平均销售量有95%的置信区间在2000到5000之间。
四、假设检验与置信区间的关系假设检验和置信区间在某种程度上是相互关联的。
当我们进行假设检验时，如果我们拒绝了原假设，那么相应的置信区间将不包含假设值。
反之，如果置信区间包含了假设值，那么我们无法拒绝原假设。
因此，假设检验和置信区间可以互相验证，增强我们对实验结果的信心。
五、样本量对假设检验和置信区间的影响样本量是假设检验和置信区间的重要因素之一。
一元线性回归：假设检验和置信区间
一般步骤
1. 提出原假设和备择假设
原假设和双边备择假设: H0: 1 = 1,0 对 H1: 1 ≠ 1,0 其中 1,0 为原假设下的假设值. 原假设和单边备择假设: H0: 1 = 1,0 对 H1: 1 < 1,0 或 H0: 1 = 1,0 对 H1: 1 >1,0
检验 Y 的均值: 检验 1,
t = Y Y ,0
sY / n
ˆ t = 1 1,0 , ˆ) SE ( 1
ˆ)= ˆ 抽样分布的方差的估计的平方根 ，公式？ 其中 SE( 1 1
5
ˆ ) 的公式 SE( 1
ˆ 方差的表达式(大 n): 回顾 1
2 var[( X ) u ] i x i v ˆ)= var( = , 其中 vi = (Xi – X)ui. 1 2 2 4 n( X ) n X ˆ 方差的估计量：利用数据构造估计量取替未知总体值 2
ˆ 的抽样分布: 1 ˆ 近似服从, 在 LSA 下, 对大 n , 1
2 ˆ ~N , v 1 1 n 4 X
, 其中 vi = (Xi – X)ui
3
5.1 关于某个回归系数的假设检验
• 1的假设检验
目的是利用数据检验诸如 1 = 0 的假设，得到（原）假设正 确与否的暂时性结论.
2 ˆ
1 n 2 ˆi v n 2 i 1
1
1
1
这个公式看着令人有些讨厌，但: 事实上并没有看上去的那样复杂，其中分子估计的是 var(v), 分母估计的是 var(X). 为什么自由度调整为 n – 2? 因为有两个系数 (0 和 1)是 估计的. ˆ )是由回归软件计算的 SE(
概率论与数理统计教学课件8置信区间与假设检验之间的关系及p值
一、置信区间与双边检验之间的对应关系
二、 置信区间与单边检验之间的对应关系 三、小结
一、置信区间与双边检验之间的对应关系
设 X1 , X 2 , , X n 是一个来自总体的样本 ,
x1 , x2 , , xn 是相应的样本值 , 是参数 的可能 取值范围. 设 ( ( X 1 , X 2 , , X n ), ( X 1 , X 2 , , X n ))
反之 , 若已求得检验问题 H 0 : 0 , H 1 : 0 的接受域为 :
( x1 , x2 , , xn ) 0 ,
则可得 的一个单侧置信区间
( ( X 1 , X 2 , , X n ) , ) .
例1 设 X ~ N ( , 1), 未知, 0.05, n 16,
验问题:
H 0 : 0 , H1 : 0 也有类似的对应关系 .
若已求得单侧置信区间 ( ( X1 , X 2 , , X n ), ), 则当0 ( ( x1 , x2 , , xn ) , ) 时接受 H0 ;
当0 ( ( x1 , x2 , , xn ), ) 时拒绝 H0 .
置信区间 , 要先求出显著水平为 的检验假设
H 0 : 0 , H1 : 0 , 的接受域 :
( x1 , x2 , , xn ) 0 ( x1 , x2 , , xn ).
那么 , ( ( X 1 , X 2 , , X n ), ( X 1 , X 2 , , X n )) 是参数
且由一样本算得 x 5.20 ,
于是得到参数 的一个置信水平为 0.95 的置信 1 1 区间 ( x z0.025 , x z0.025 ) 16 16
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即已知样本的标准差,用样本标准差估计总体标准 在一定置信度下的置信区间,也分两种情况. (1) 已知样本均值等于总体均值. (2) 未知总体均值.
4
3.对两个正态总体均值差的区间估计,也分两种情况.
(1)已知两个总体标准差. (2)未知两个总体的标准差,但假设 1 2 ,其中
区间估计方法在日常生活中应用广泛,如调查机构通过抽取 一部分样本,根据计算的样本数据值来估计全部调查对象的 某种观点的可能范围.通过对两种同一物料不同供应商的抽 样计算来判断其总体数值的分布范围,从而得出品质优劣的 结论等.六西格玛管理法中许多分析方法都包含了对数据进 行区间估计以判断改善前后或不同类别数据间的区别,特别 说明的是本章第一节置信区间的计算公式的前提条件是数 据连续数据且总体数据服从正态分布.非正态分布数据的置 信区间是很难计算的,估计作以讨论.本节将讨论连续数据单 样本区间估计例.
a 2
n2 j 1
Y
j 2
2
n
2
两个正 态总体 正态总体ξ ~N(μ1,σ1 )
均值 正态总体η ~N(μ2,σ2 )
的区间 估计
未知μ
1及μ
2
S12 ,
S12
F
a 2
S22
F1
a 2
S22
S1、S2为总体标 准差
n1、n2为样本容量 t为查t方分布表 所得
8
单样本区间估计应用例
nS X2
2
a 2
,
nS X12
2
a 2
备注
n为总体平均值 S2为样本容量 X2为查卡方分布 表所得
两个正 态总体
正态总体ξ
~N(μ1,σ12 )
均值差 正态总体η ~N(μ2,σ22 )
的区间 估计
已知σ
1及σ
2
X
Y
a
2 1
22
,
2 n1 n2
X Y a
参数估计与置信区间
在分析和解决实际问题时,要取得分析对象的全部数据是非常困难 的,很多时候也是根本不能实现的.比较可行的方法是从总体中抽取 一定数量的样本,取得样本的测量数据,现通过样本数据对总体数据 进估计.区间估计方法就是在已知样本状况时,估计总体值的可能区 间的方法.此类例子在实际中非常多,如要估计全国人口的平均身高, 可在已取得一定量样本的情况下可以估计出全国人口的的身高范 围.要估计消费者对某产品的满意程度,可采取抽样调查方式取得一 部分样本,再根据此样本值估计出全部消费者和满意程度范围,一般 这种估计要求有比较高的“可信程度”,如95%的可信度.
2 1
22
2 n1 n2
σ 1、σ 2为总体 标准差
n1、n2为样本容量 μ 为查方分布表 所得
两个正 正态总体ξ ~N(μ1,σ1 )
态总体 均值差 的区间
正态总体η ~N(μ2,σ2 已知σ 1及σ 2
)
估计 假设σ 1=σ2
X
Y
a 2
Sw
X
Y
a 2
Sw
的区间 估计
已知μ
1及μ
2
n1
X i 1 2 n1
i 1
F1
a 2
n2 i 1
Y j 2
2
, n2 σ 1、σ 2为总体
标准差
n1
X i 1 2 n1
n1、n2为样本容量
F为查F(n1,n2)方
i 1
分布表所得数据
F1
n
X i 0 2
n
X
i
0
2
i1
X2 a 2
, i1
X12
a 2
μ 0为总体平均值 n为样本容量
X2为查卡方分布 表所得
6
区间估 计类别
条件
正态总
体方差 未知μ σ 2的区 正态总体ξ ~N(μ,σ2 )
间估计
置信区间计算公式
9
单样本正态总体均值的区间估计
例:激光头定位座的高度会影响光头读碟性能,项目Y是定位座高度,目标值是 10.88mm,加工这种定位座的机床工有5台,我们想判断机床1所加工出来的定 位座的平均高度与目标值是否相同.
抽取机床1加工的10个定位座并测得高度尺寸如下:
10.88 10.89 10.87 10.88 10.87
1 为总体1的标准差, 2 为总体2的标准差.
4.对两个正态总体方差比的区间估计,也分两种情况. (1)已知两个总体的均值. (2)未知总体均值.
5
各类区间估计的计算公式,列于下表
区间估 计类别
条件
置信区间计算公式
备注
已知σ =60
正态总 体均值
正态总体ξ
~N(μ,σ2 )
μ 的区
间估计 未知
来确定未知参数θ的置信区间,称为参数θ的区间估计.
将置信区间用图示如下(以单个平均值的置信区间为例)
2
置信区间 下限值
a 2
1-a
置信区间
上限值
a 2
X
在(1-a)100%的置信度下,总体的均值会落在 置信区间范围内.
3
区间估计的种类
区间估计分为: 1.对正态总体均值的μ的区间估计
即已知样本的平均值,用样本均值评估总体均值的在定 置信度下的置信区间,又分为两种情况. (1)已知样本标准差等于总体标准差. (2)未知总体标准差.
10.89 10.89 10.86 10.86 10.88
1
区间估计的概念
设
1
X
、X
1
2、...X
n
及
2
X1、X
2、...X n
是由样本观测值确定的两个统计量,如对给定概率1-a,有
P( 1 2)=1-a,则随机区
(
1
,2)叫作参数θ的对应
于置信概率1-a的置信区间, 1 叫作置信下限, 2 叫作置
信上限.对于已知的置信概率(置信度),根据样本观测值
1 1, n1 n2
1
1
n1 n2
σ 1、σ 2为总体 标准差
n1、n2为样本容量 t为查t方分布表 所得
7
区间估 计类别
条件
置信区间计算公式
其中
Sw
n1 S1 n2 S2 2 n1 n2 2
备注
两个正 态总体
正态总体ξ
~N(μ1,σ12 )
均值差 正态总体η ~N(μ2,σ22 )
正态总体ξ ~N(μ,σ2 )
X
0 n
a 2
,
X
0 n
a 2
X
s ta,X n2
s n
a 2
σ 0为总体标准差 n为样本容量 μ a2 为查正态分 布所得
S为样本标准差 n为样本容量
a
μ 2 为查t分布得
正态总体ξ
已知μ =μ0
~N(μ,σ2 )