置信区间与假设检验
置信区间与假设检验
置信区间与假设检验置信区间和假设检验是统计学中常用的两种方法，用于对总体参数进行推断和判断。
本文将介绍置信区间和假设检验的概念、应用场景、计算方法以及它们在实际问题中的应用。
一、置信区间的概念和应用场景置信区间是用来估计总体参数的范围，它表示了参数的估计值在一定置信水平下的可能取值范围。
常见的置信水平有95%和99%，表示我们对参数估计的可信度程度。
在现实问题中，我们往往无法获得总体的全部数据，而只能通过抽样得到一部分样本数据。
利用这部分样本数据，我们可以计算出样本统计量，如平均值、比例等。
而参数的估计就是在这样的情况下，根据样本统计量推断总体参数的取值范围。
二、置信区间的计算方法对于样本均值的置信区间计算，假设样本满足正态分布。
置信区间的计算方法为：X̄ ±X̄∗(X̄/√X̄)其中，X̄ 为样本均值，X̄∗为给定置信水平下的标准正态分布的临界值，X̄为总体标准差，X̄为样本容量。
对于样本比例的置信区间计算，假设样本满足二项分布。
置信区间的计算方法为：X̄ ±X̄∗(√(X̄ (1−X̄ )/X̄))其中，X̄ 为样本比例，X̄∗为给定置信水平下的标准正态分布的临界值，X̄为样本容量。
三、假设检验的概念和应用场景假设检验是用来对总体参数进行推断和判断的方法，它通过设立一个或多个假设，并基于样本数据进行统计推断，最终对假设的成立与否进行判断。
在假设检验中，我们通常会提出一个零假设（H0）和一个备择假设（H1）。
零假设是我们要进行检验的假设，备择假设是对零假设的否定。
根据样本数据，通过计算得到一个统计量，并根据统计量的取值判断零假设是否成立。
四、假设检验的步骤和方法假设检验的一般步骤包括指定假设、确定显著性水平、计算统计量、计算拒绝域、进行决策。
常见的假设检验方法有：单样本均值检验、单样本比例检验、两样本均值检验、两样本比例检验等。
具体的计算方法和推理过程需要根据问题的具体设定来确定。
假设检验与置信区间
假设检验与置信区间假设检验和置信区间是统计学中两个重要的概念和方法。
它们被广泛应用于数据分析和实证研究中，用于对样本数据进行统计推断和判断。
本文将详细介绍假设检验和置信区间的定义、原理、应用以及它们之间的关系。
一、假设检验的定义和原理假设检验是通过对样本数据进行统计推断，来判断某一假设是否成立的方法。
它分为参数假设检验和非参数假设检验两种。
参数假设检验是基于总体参数的已知或估计值，对样本数据进行统计推断；非参数假设检验则是基于样本数据的分布自由度，对总体分布进行推断。
无论是参数假设检验还是非参数假设检验，它们的基本原理是一样的。
假设检验的基本步骤如下：1. 提出原假设（H0）和备择假设（H1）；2. 选择适当的统计检验方法和显著性水平，计算样本数据的检验统计量；3. 根据检验统计量的大小，进行统计推断，得出是否拒绝原假设的结论；4. 根据结论进行统计解释和决策。
二、置信区间的定义和原理置信区间是用于估计总体参数值的一种方法，表示参数估计的不确定性范围。
置信区间通常以一个区间范围来表示，例如95%置信区间。
这意味着，在一系列相同样本条件下，对总体参数的估计在95%的情况下会落在该置信区间内。
置信区间的计算方法取决于估计的参数类型和样本数据的分布，常见的包括正态分布、t分布和二项分布等。
置信区间的计算涉及到样本的均值、方差、样本量以及置信水平等因素。
较大的置信水平意味着更高的可信度，但是对应的置信区间也会更宽。
三、假设检验和置信区间的应用假设检验和置信区间在各个领域的应用非常广泛，特别是在医学、社会科学和市场研究等领域。
在医学研究中，假设检验和置信区间被应用于新药的疗效评估、药物剂量的调整以及治疗方法的比较等方面。
通过对患者样本数据进行假设检验，可以判断新药是否安全有效；置信区间则可以提供药效的可信区间范围。
在社会科学研究中，假设检验和置信区间被应用于社会调查、教育评估和舆情分析等方面。
例如，对于某一教育政策的效果评估，可以通过假设检验和置信区间对样本数据进行分析，判断改革是否达到预期目标。
置信区间与假设检验
置信区间与假设检验置信区间和假设检验是统计学中常用的两种基本方法，它们帮助我们进行统计推断、做出决策和进行预测。
在本文中，我们将详细介绍置信区间和假设检验的概念、应用场景以及计算方法。
一、置信区间置信区间是指通过样本统计量对总体参数进行估计，并给出一个范围，表明参数真值存在于此范围内的概率。
置信区间可以用来评估统计量的精度和灵敏度。
1.1 构建置信区间的步骤构建置信区间的一般步骤如下：步骤一：收集样本数据并计算出样本统计量（如平均值、标准差等）。
步骤二：选择置信水平，一般常用的置信水平为90%、95%或99%。
步骤三：根据样本数据、样本统计量的分布以及置信水平，查找相应的临界值。
步骤四：根据样本统计量及置信水平计算置信区间。
1.2 置信区间的应用置信区间的应用十分广泛，例如：1）对总体均值的估计：在对某种产品的平均寿命进行估计时，可以构建一个置信区间来估计总体平均寿命。
2）对总体比例的估计：在调查选举民意时，可以通过构建置信区间来估计某候选人获胜的概率。
3）对总体方差的估计：在品质控制中，可以通过构建置信区间来估计某一批次产品的方差。
二、假设检验假设检验是一种统计推断方法，用于判断样本数据是否支持或反驳某个假设。
在假设检验中，我们通过计算出现观察值的概率，从而判断假设是否可信。
2.1 假设检验的步骤假设检验的一般步骤如下：步骤一：制定原假设和备择假设。
原假设通常表示无变化或无差异，备择假设则相反。
步骤二：选择显著性水平，一般常用的显著性水平为0.05或0.01。
步骤三：计算统计量的值，如t值或z值。
步骤四：根据计算出的统计量值和显著性水平，查找相应的临界值。
步骤五：比较统计量的值与临界值，并给出结论，支持原假设或拒绝原假设。
2.2 假设检验的应用假设检验在实际应用中非常重要，例如：1）医学实验：用于判断某种药物的疗效是否显著。
2）市场调研：用于比较两个产品或两种市场策略的效果。
3）社会调查：用于判断某一政策对民众态度的影响。
数据分析中的假设检验与置信区间
数据分析中的假设检验与置信区间在数据分析领域，假设检验和置信区间是两个重要的概念和工具。
它们可以帮助我们对数据进行统计推断，从而做出准确的判断和决策。
本文将介绍假设检验和置信区间的基本原理和应用。
一、假设检验假设检验是一种统计推断方法，用于验证关于总体参数的假设。
在进行假设检验时，我们首先提出一个原假设（H0）和一个备择假设（H1），然后根据样本数据来判断是否拒绝原假设。
例如，假设我们想要研究某个药物对疾病的治疗效果。
我们可以提出原假设H0：该药物对疾病的治疗效果没有显著影响，备择假设H1：该药物对疾病的治疗效果有显著影响。
然后，我们收集一定数量的患者数据，并进行统计分析。
在假设检验中，我们需要选择一个适当的显著性水平（α）来进行判断。
显著性水平是指当原假设为真时，我们犯下拒绝原假设的错误的概率。
通常，我们选择显著性水平为0.05或0.01，表示我们愿意接受5%或1%的错误率。
接下来，我们需要计算一个统计量（如t值或z值），并根据该统计量和显著性水平来判断是否拒绝原假设。
如果计算得到的统计量落在拒绝域内，我们就可以拒绝原假设，并接受备择假设。
否则，我们无法拒绝原假设。
二、置信区间置信区间是一种用于估计总体参数的方法。
与假设检验不同，置信区间提供了一个范围，而不是一个确定的点估计。
置信区间可以告诉我们总体参数的估计值的可信程度。
例如，我们想要估计某个产品的平均销售量。
我们可以收集一定数量的样本数据，并计算样本的平均值和标准差。
然后，我们可以使用置信区间来估计总体的平均销售量。
在计算置信区间时，我们需要选择一个置信水平（通常为95%或99%），表示我们希望总体参数落在置信区间内的概率。
然后，我们可以使用样本数据的平均值和标准差来计算置信区间的上限和下限。
置信区间的计算公式为：估计值±临界值×标准误差。
其中，临界值可以从统计表中查找，标准误差可以根据样本数据计算得到。
三、假设检验与置信区间的关系假设检验和置信区间是密切相关的。
统计推断中的假设检验与置信区间
统计推断中的假设检验与置信区间统计推断是统计学中的一项重要工具，通过对样本数据进行分析和推断，来对总体的特征做出合理的判断和估计。
在统计推断中，假设检验和置信区间是两个常用的方法。
本文将从基本概念、应用场景和具体步骤等方面介绍假设检验和置信区间的相关内容。
一、假设检验假设检验是指通过对样本数据进行推断，判断总体参数是否符合某种假设。
其中，假设有两种类型：原假设（H0）和备择假设（H1）。
原假设通常是根据问题要求或已知信息建立的，而备择假设则是对原假设的补充或相反假设。
在进行假设检验时，我们需要选择一个适当的检验统计量，该统计量会基于样本数据给出一个具体的值。
然后，我们计算该统计量在原假设下的概率，即p值。
如果p值小于预先设定的显著性水平α，则可以拒绝原假设，否则则不能拒绝原假设。
例如，我们要检验一批产品的平均重量是否达到标准要求。
我们首先建立原假设H0：平均重量等于标准要求值，备择假设H1：平均重量不等于标准要求值。
然后，收集一定数量的产品进行称重，计算出平均重量，并根据样本数据计算出检验统计量。
接着，我们根据显著性水平α选择临界值，计算p值。
若p值小于α，则拒绝原假设，否则则不能拒绝原假设。
二、置信区间置信区间是对总体参数的估计，用于描述参数的不确定性范围。
在给定置信水平下，我们构建一个区间，该区间以样本统计量为中心，上下界分别为置信区间的上限和下限。
置信水平是指对总体参数的估计的准确程度。
以对总体平均值的估计为例，假设我们要求95%置信水平的置信区间。
首先，我们从总体中抽取一定数量的样本，计算出样本平均值和样本标准差。
接着，根据样本数据和置信水平计算出临界值，并计算出标准误差。
最后，根据样本平均值、临界值和标准误差计算出置信区间。
置信区间的含义是，在重复进行抽样和估计的情况下，有95%的置信水平可以保证总体参数落在该区间内。
三、假设检验与置信区间的关系假设检验与置信区间是统计推断中密切相关的两个概念。
第2章 第4节 置信区间与假设检验
且
Cov ( ui , u j ) E ( ui u j ) 0,
u 正态假定理由如下： uii 的 的正态假定理由如下：
1．ui 代表回归模型中未包含的变量的集合。 这些未引入的变量的影响是微弱的和随机的。根 据中心极限定理，如果存在大量独立且同分布的 随机变量，随着这些变量个数的增大，它们的总 和将趋向正态分布。 2．即使变量个数不是很大或这些变量不是严 格独立的，它们的总和仍可视同正态分布。
同理我们可得到的 β1置信度为(1-α)的置信区间：
( ( ˆ t ( n 2) Se ˆ ), ˆ t ( n 2) Se ˆ ) 1 1 /2 1 1 /2
例如，在例 2.1 中，我们得到 ˆ 0.7616 2 ˆ ) 0.0149 Se(
置信下限
置信上限
需要指出的是，给定样本，给定置信水平 ， 置信区间不是唯一的. 对同一个参数，我们可以 构造许多置信区间. 在概率密度为单峰且对称的情形，取对称的 分位点求得的置信区间的长度为最短.
三、 ui 正态性假定和普通最小二乘估计量
ˆ , ˆ 和 2 的性质 ˆ 1 2
（一）ui 正态性假定 在回归分析中，我们的目的不仅仅是得到 j ，
ˆ 推断 。因此，我们需要得到 ˆ 的置 而且要用 j j j
信区间，通过置信区间去判断这种推断的可靠性。
ˆ 的概率分布。 这就需要 j
ˆ 是Yi 的线性函数， 在最小二乘估计式中， j ˆ 的置信 从而也就是 ui 的线性函数。要推 断 j
区间，我们就必须获得 ui 的概率分布。 在回归分析中，人们常常假定 ui 服从正态 分布。即
统计学假设检验与置信区间
统计学假设检验与置信区间统计学假设检验与置信区间是统计学中两个重要且常用的概念。
它们的主要作用是在样本数据的基础上对总体的特征进行推断和判断。
本文将从统计学假设检验和置信区间的定义、计算方法以及实际应用等方面进行论述。
一、统计学假设检验的基本概念统计学假设检验是用统计原理对总体的某个特征进行推断和判断的一种方法。
其基本思想是：根据样本数据推断总体参数，然后进行统计推断，判断总体参数是否满足某个事先给定的假设。
在进行统计学假设检验时，我们常常会对总体均值、总体比例、总体方差等进行检验。
对于总体均值的检验，通常会使用t检验、z检验等方法；对于总体比例的检验，则常常使用卡方检验、比例检验等方法；而总体方差的检验则可以使用F检验等方法。
根据具体的问题和数据类型，我们可以选择适当的检验方法进行分析。
二、统计学假设检验的步骤统计学假设检验通常包括以下几个步骤：1. 提出原假设和备择假设。
原假设（H0）是对总体参数的一个假设，备择假设（H1）则是对原假设的一个反面假设。
通常情况下，原假设被假定为不成立或不满足的情况，而备择假设则是我们要进行推断和判断的目标。
2. 选择合适的统计量。
在假设检验中，我们需要选择适当的统计量来对总体参数进行估计和判断。
根据检验的要求和数据的特点，我们可以选择t统计量、z统计量、卡方统计量等。
3. 设置显著性水平。
显著性水平通常用α表示，表示我们允许出现的错误的概率。
常用的显著性水平有0.05和0.01。
4. 计算检验统计量的观察值。
根据样本数据进行计算，得到检验统计量的观察值。
5. 判断拒绝域。
根据显著性水平和检验的方法，判断处于拒绝域的观察值，如果观察值落入拒绝域内，则拒绝原假设，否则不拒绝。
6. 得出结论。
根据观察值的判断结果，得出对原假设的结论。
三、置信区间的基本概念置信区间是指对总体参数的估计范围，用于描述样本对总体的推断和判断。
在统计学中，置信区间通常由点估计和标准误差构成。
报告中的假设检验与置信区间
报告中的假设检验与置信区间假设检验（Hypothesis Testing）和置信区间（Confidence Interval）是统计推断中常用的两种方法。
假设检验用于判断一个假设是否成立，而置信区间用于估计一个未知参数的范围。
在科学研究和实验设计中，这两种方法经常被用来进行统计推断和决策分析。
本文将从六个方面详细论述报告中的假设检验与置信区间的意义和应用。
一、假设检验方法的基本原理假设检验方法基于一个统计模型，首先提出一个原假设和一个备择假设，然后利用样本数据进行推断和决策。
在假设检验中，我们使用一个统计量来计算样本数据的观察值，并根据该统计量与相应的概率分布对比来做出决策。
例如，在医学研究中，我们可以利用假设检验方法来判断某种药物的疗效是否显著，从而决定是否接受这种药物的疗程。
二、假设检验中的类型I错误和类型II错误在假设检验中，我们需要设置显著性水平，即拒绝原假设的概率的上限。
当我们拒绝原假设却实际上原假设是正确的时候，称为类型I错误。
而当我们接受原假设却实际上原假设是错误的时候，称为类型II错误。
在实际应用中，我们需要权衡这两种错误的概率，以便做出正确的决策。
三、置信区间的含义和计算方法置信区间是用来估计一个未知参数的范围的一种方法。
在置信区间中，我们可以给出一个区间范围，并说明其对应的置信水平。
例如，在调查中估计某种产品的平均销售量时，我们可以给出一个置信区间，比如95%置信水平的置信区间为[2000, 5000]，意味着我们对该产品的平均销售量有95%的置信区间在2000到5000之间。
四、假设检验与置信区间的关系假设检验和置信区间在某种程度上是相互关联的。
当我们进行假设检验时，如果我们拒绝了原假设，那么相应的置信区间将不包含假设值。
反之，如果置信区间包含了假设值，那么我们无法拒绝原假设。
因此，假设检验和置信区间可以互相验证，增强我们对实验结果的信心。
五、样本量对假设检验和置信区间的影响样本量是假设检验和置信区间的重要因素之一。
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用Minitab计算置信区间
在 在95% 95%置信情况下，实际均值 置信情况下，实际均值 介于 介于54.3882 54.3882和 和55.3318 55.3318之间。 之间。 有 有5% 5%的机会不在此范围 的机会不在此范围
的95%置信区间：
54.3882 55.3318
的95%置信区间：
2
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我应当了解什么？
计算置信区间以表示样本统计中的不确定性，以及能 计算普通情况的置信度 了解置信区间随着样本规模改变而改变 了解统计检验、检验统计和显著性水平的基础 学习有关假设检验使我们能：
的均值和标准偏差由下列公式
X
和
X
n
当n足够大时，那么X 的分布大致是正态的（“钟形曲线”）
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回到样本变动例子
s= 0.29
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– – – – – 正确处理不确定性 更加客观 证实或否定假设 控制做出错误决策或结论的风险 如何设置和说明统计检验
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3
问题: 为什么这么多分布是正态?
为什么这么复杂的东西如此的普遍?
μ
1 P( x) e 2 ( x )2 2 2
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为何需要置信区间？
置信区间会考虑在估计总体或过程数中的随机误 差。 一般我们计算95%置信区间。这就是说：
–我们95%肯定真正的总体参数（如， 或 ）是在我 们计算区间内。 –换言之，我们用于计算置信区间的样本有95%的可能 会给我们一个包括真正总体参数的区间。
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统计，例如均值和标准偏差，只是总体均值（） 和标准偏差（）的估计值，而且是基于有限的 数据。 因为不同的样本中估计值不尽相同，我们可以用 统计学的置信区间来量化不确定性。置信区间为 总体参数 （ 和 ）提供了似真值范围。
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n=5
n=3
x
x
n
n=1
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中心极限定理
如果: x1, x2, …, xn 是来自总体的独立衡量值，（即，随机 样本规模为n）， 其中X的均值是， X的标准偏差是， 那么：分布 X 给出：
X 1 X 2 X n n
54.1，53.3，56.1，55.7，54.0，54.1，54.5，57.1，55.2，53.8， 54.1，54.1，56.1，55.0，55.9，56.0，54.9，54.3，53.9，55.0
对于每桶石油的真正均值来说，95%的置信区间是什么？
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用Minitab计算置信区间
练习： 文档
HT&CI >工作表 <炼油>
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用Minitab计算置信区间
现在选择： 统计>基本统计量 > 图形 化汇总
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Parent Population
Sam pling Distributions of x for n = 2
Sampling Distributions of x for n = 5
Sampling Distributions of x for n = 30
经允许重印自Schmidt和Berdine的《基本统计学》 （1997年）
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样本变动例子
计算 > 随机数据 > 均匀
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6
样本变动例子
均匀分布中设n = 2500 产生25个样本并存入 C1-C25栏中。
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在未知标准偏差情况下 均值 的置信区间
要记住非常重要的一点是，在许多情况下我们并不知 道总体标准偏差。我们通常依靠样本来估计均值和标 准偏差。 样本规模小于100时，最好使用稍后解释的t分布。 再次强调，在许多情况下，真正总体未知，所以我们 用样本估计值(s)。在这种情况下，置信区间变成：
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样本变动例子
S/n = 0.286/25 = 0.286/5 = 0.057
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中心极限定理
该定理主要用于确定总体均值的合理值，因为假设是正 态，它被应用于统计和质量控制的许多方面 当进行平均值（置信区间、假设检验、ANOVA、控制图 等）的统计检验时，中心极限定理有助于我们满足正态假 设。样本规模越大，我们对正态担心越小
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新车
假设得到一份新工作，作为付出，您决定购买一辆用 了一年的Honda Civic车，以节省汽油钱。以前的车主 保留了原来的标签，您很高兴地看到，在该标签上美 国环保暑估计该车每加仑汽油能行驶31英里。 购买该车后，您立刻将油箱加满，打算全家驱车外出 并在第二天上班去。 几天后，您再次加满油箱，并计算油箱中的汽油能行 驶的英里数。按计算器上的“=”号，显示只有27.1。
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样本变动例子
在C1和C25栏中选择 若干栏，并同时选择 均值统计栏C26。
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样本变动例子
例如，C1-C25 中的一个栏。
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样本量指南
(a) Normal (b) Uniform (c) Exponential (d) Parabolic
不管总体总体的形状如何，X-bar样 本分布很快接近正态分布 经验之谈 若总体是正态，X-bar对任何样本规 模来说都是正态的。 若总体至少是对称的，5~20个样本 规模应当是可行的。 较坏的情况是：不管总体离正态多远 ，样本规模30个应足以使X-bar接近 正态。
σ ?
σ
σ
σ
σ
σ
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4
总体参数对比样本统计
随机抽样，样本量=4
总体
x1 , s1 x2 , s2 x3 , s3
,
总体的统计参数：均值与标准偏差
x4 , s4
总体的统计参数：均值与标准偏差
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六西格玛培训
置信区间和假设检验
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学习目的
介绍基本描述性统计，如：
–总体、样本、总体参数、样本统计、样本均值、样本标准偏差
显示如何将中心极限定理应用于样本均值分布 介绍置信区间以表示样本统计中的不确定性以及如何 计算某些普通情况的置信区间 对假设检验进行概述 熟悉假设检验术语 使假设检验与其他统计工具相联系 学会如何用Minitab进行假设检验
0.7666 1.4724
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练习
让我们观察一个正态分布的总体，
– 已知均值=65 – 标准偏差=4 – 这些来自数据集 <置信区间>
班上每名成员从总体（在Minitab中，用 计算>随机数据>来自列 的样本）中随机抽取25个数据点 从C1中抽取25个数据行并将结果存入C2中 以25个样本数据点为基础，运用图形描述性统计计算均值和 sigma的95%置信区间。它们是否包括均值65 和sigma 4？ 如果班级人数为25，我们预计一个置信区间不包括均值65，也不 包括sigma 4。
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什么是置信区间？
置信区间一般有叠加的不确定性： 估计值±误差范围
样本统计± [ ___ X ___ ]
例如 x，s
置信 因子
可变动性 衡量
在有些情况下，不确定性是不对称的 （叠加的），如 。
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为何需要置信区间？
样本变动例子
计算 > 行统计量
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样本变动例子
C1-C25均值统 计存入C26 栏中
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