安徽名校2020-2021学年高二上学期期中联考 数学(理科)试题附答案
2020~2021学年安徽名校第一学期期中联考
高二理科数学
本试卷共4页,全卷满分150分,考试时间120分钟㊂考生注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名㊁准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置㊂
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑㊂写在试卷㊁草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效㊂
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内㊂写在试卷㊁草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效㊂
4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交㊂
一㊁选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分㊂在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的㊂
1.若集合M =x 0<x ɤ3{},N =x x 2+x -2>0{},则M ɘ(∁R N )=A.0,1(] B.0,3(] C.0,2(] D.-2,1(]
2.正项等比数列a n {}满足:a 2a 4=1,S 3=13,则其公比是A.14
B.1
C.12
D.13
3.秦九韶是我国南宋时期的数学家,在他所著的‘数书九章“中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法,给出如图所示的秦九韶算法程序框图,若输入n ,
x 的值分别为5,2,
则输出v 的值是A.259
B.130
C.65
D.324.已知x ,y 的取值如下表所示:
x 2345y
2.2
3.8
5.5
m
若y 与x 线性相关,且回归直线方程为^y =1.46x -0.61,则表格中实数m 的值为A.7.69
B.7.5
C.6.69
D.6.5
5.如图是一个几何体的三视图,其中正视图是腰长为2的等腰三角形,俯视图是半径为1的半圆,则该几何体的表面积是A.3π+3
2
B.2π+32
C.
3π2+3 D.
3π4
+36.已知向量a ,b 满足:a =3,a -b =1,且a ㊃(a -b )=0,则b 的模等于A.2
B.2
C.3
D.3
7.平面α与平面β所成的二面角为θ,直线AB ⊂平面α,且与二面角的棱l 所成的角为γ,与平面β所成的角为δ,则θ,γ,δ满足关系式A.sin δ=sin θ㊃sin γ B.cos θ=cos γ㊃cos δC.sin 2θ=sin 2γ+sin 2δ
D.cos 2θ=cos 2γ+cos 2δ
8.已知函数f (x )=sin ωx ()(ω>0)在区间-π12,π3(
ùûúú上单调递增,在区间π3,5π12
éëêê)
上单调递减,则ω=A.6k -3
2
,k ɪN B.6k +3
2
,k ɪN C.32
D.3
9.在әABC 中,AB ң=(cos24ʎ,cos66ʎ),AC ң
=(2cos69ʎ,2cos21ʎ),则әABC 的面积为A.22
B.2
C.22
D.23
10.在等差数列a n {}中,a 1>0,3a 8=5a 13,则S n 中最大的是A.S 21
B.S 20
C.S 19
D.S 18
11.若关于x 的不等式
4x a +1x -2
ȡ4对任意x >2恒成立,则正实数a 的最大值是A.4 B.3
C.2
D.1
12.已知函数f (x )=x ,0ɤx <11f (x +
1)
-1,-1<x <0ìîíïï
ï,g (x )=f (x )-4mx -m ,其中m 是非零的实数,若函数g (x )
在区间(-1,1)内有且仅有两个零点,则实数m 的取值范围是A.(- ,-1
5
)ɣ(0,1) B.(- ,-1)ɣ(1
5
,+ )C.(- ,-1)ɣ(0,
15) D.(- ,-1
5
)ɣ(1,+ )二㊁填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分㊂
13.已知直线l 经过点P (-1,2),且垂直于直线2x +3y -1=0,则直线l 的方程是
.
14.某人将甲㊁乙两颗骰子先后各抛一次,a ,b 分别表示抛掷甲㊁乙两棵骰子所得的点数,若点S (a ,b )落在不等式组x >0y >0x +y ɤ4ìî
íïï
ïï表示的平面区域内的事件记为A ,则事件A 的概率是.
15.设函数f (x )=2cos 2x +23sin x cos x +m ,当x ɪ[0,π2]时f (x )的值域为[12,7
2],则实数m 的值
是
.
16.在平行四边形ABCD 中,AB ʅBD ,4㊃AB 2+2㊃BD 2=1,将此平行四边形沿对角线BD 折叠,使平
面ABD ʅ平面CBD ,则三棱锥A -BCD 外接球的体积是
.
三.解答题:共70分㊂解答应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤㊂
17.(10分)
我国是世界上严重缺水的国家,某市为了制定合理的节水方案,对居民用水情况进行了调查,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1), ,[4,4.5]分成9
（ ）
(1)求直方图中
(2)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,说明理由;
(3)估计居民月均用水量的中位数.
18.(12分)
在әABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且向量m=(a-c,b
2)和向量n=(
a+c
2,b-3a)互
相垂直.
(1)求角C的大小;
(2)若әABC外接圆的半径是1,面积是32,求әABC的周长.
19.(12分)
已知圆C:x2+y2=14和直线l:y=kx-1(kɪR).
(1)若直线l与圆C相交,求k的取值范围;
(2)若k=1,点P是直线l上一个动点,过点P作圆C的两条切线PM㊁PN,切点分别是M㊁N,证明:直线MN恒过一个定点.。
2020-2021学年安徽省名校高二上学期期中联考数学(理)试题(解析版)
2020-2021学年安徽省名校高二上学期期中联考数学（理）试题一、单选题1．若集合{03}M xx =<≤∣，{}220N x x x =+->∣，则()RM N ⋂=（ ）A ．(0,1]B ．(0,3]C ．(0,2]D ．(-2,1]【答案】A【分析】先求出集合N ，进一步求出RN ，再求交集.【详解】因为{01}M xx =<≤∣，{}220{2N x x x x x =+->=<-∣∣或1}x >， {}21RN x x =-≤≤∣，所以()(]{01}0,1RM N x x ⋂=<≤=∣.故选：A2．正项等比数列{}n a 满足：241a a =，313S =，则其公比是（ ） A ．14B ．1C ．12D ．13【答案】D【分析】根据241a a =，由2243a a a =，解得31a =，再根据313S =求解.【详解】因为正项等比数列{}n a 满足241a a =，由于2243a a a =，所以231a =，31a =，211a q =.因为313S =， 所以1q ≠.由()()31231111a q S a q q q-==++-得22131q q q =++，即21210q q --=，解得13q =，或14q =-（舍去）.故选：D3．秦九韶是我国南宋时期的数学家，在他所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，给出如图所示的秦九韶算法程序框图，若输入n ，x 的值分别为5，2，则输出v 的值是（ ）A ．259B ．130C ．65D ．32【答案】B【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的v 的值. 【详解】模拟程序的运行，可得5n =，2x =，1v =，4i =满足条件0i ≥，执行循环体，1246v =⨯+=，3i =； 满足条件0i ≥，执行循环体，62315v =⨯+=，2i =； 满足条件0i ≥，执行循环体，152232v =⨯+=，1i =； 满足条件0i ≥，执行循环体，322165v =⨯+=，0i =； 满足条件0i ≥，执行循环体，6520130v =⨯+=，1i =-； 不满足条件0i ≥，退出循环，输出v 的值为130v =． 故选：B ．【点睛】解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可. 4．已知x ，y 的取值如下表所示： x 2 3 4 5 y2.23.85.5m若y 与x 线性相关，且回归直线方程为ˆ 1.460.61y x =-，则表格中实数m 的值为（ ）A ．7.69B ．7.5C ．6.69D ．6.5【答案】D【分析】先求得样本数据中的x ，y 的平均值，根据回归直线方程过样本中心点，可得选项.【详解】因为2345742x +++==， 2.2 3.8 5.511.544m my +++++==，所以11.571.460.6142m +=⨯-，解得 6.5m =. 故选：D.5．如图是一个几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是（ ）A ．33π+B ．32π+C ．332πD ．334π【答案】C【分析】根据几何体的三视图得到该几何体是底面半径为1，母线长为2的半圆锥，结合侧面积公式和圆、三角形的面积公式，即可求求解.【详解】根据几何体的三视图，可得该几何体是底面半径为1，母线长为2的半圆锥， 如图所示，其中1,2OA SA ==，可得3SO =，因此其表面积为221113321212322242S πππ=⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯=+. 故选：C.6．已知向量a ，b 满足：||3a =，||1a b -=，且()0a a b ⋅-=，则b 的模等于（ ） A 2 B ．2C 3D ．3【答案】B【分析】由()0a a b ⋅-=可得2a a b =⋅，再将||1a b -=平方，化简可得答案. 【详解】由2()0a a b a a b ⋅-=⇒=⋅， 所以2222||()2a b a b a a b b -=-=-⋅+22231a b b =-+=-+=，可得2||4b =，因此||2b =. 故选：B.【点睛】向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式cos a b a b ；二是向量的平方等于向量模的平方22a a =. 7．平面α与平面β所成的二面角为θ，直线AB平面a ，且与二面角的棱l 所成的角为γ，与平面β所成的角为δ，则θ，γ，δ满足关系式（ ） A ．sin sin sin δθγ=⋅B ．cos cos cos θγδ=⋅C ．222sin sin sin θγδ=+D ．222cos cos cos θγδ=+【答案】A【分析】作出图示如下图所示，根据线面角、二面角的定义得出θ，γ，δ所表示的角，再由锐角三角函数的定义得出各角的正弦和余弦的表示，代入选项验证可得选项. 【详解】设直线AB 交棱l 于点B ，过点A 作AH ⊥面β，过点H 作CH ⊥棱l ，连接AC ，则AH ⊥棱l ，所以棱l ⊥面ACH ，所以棱l AC ⊥，所以ACH θ∠=，ABC γ∠=，ABH δ∠=，所以sin ,sin ,sin AH AH ACAB AC ABδθγ===，所以sin sin sin AH AH ACAB AC AB δθγ==⋅=⋅成立，故A 正确； cos ,cos ,cos BH CH BCAB AC AB δθγ===，所以cos cos cos CH BH BCAC AB AB θγδ=≠⋅=⋅，故B 不正确；sin ,sin ,sin AH AH ACAB AC ABδθγ===，所以222222222sin +sin sin AH AC AH AC AB ABθγδ=≠=+，故C 不正确； cos ,cos ,cos BH CH BCAB AC ABδθγ===，所以222222222cos +cos cos CH BC BH AC AB ABθγδ=≠=+，故D 不正确； 故选：A.8．已知函数()sin()(0)f x x ωω=>在区间,123ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增，在区间5,312ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，则ω=（ ） A ．362k -，k ∈N B ．362k +，k ∈N C ．32D ．3【答案】C【分析】由题意知，当3x π=时，函数()f x 取得最大值，可求得362k ω=+，k ∈N .再由函数的单调区间得出不等式组，解之可得选项.【详解】由题意知，当3x π=时，函数()f x 取得最大值，所以232k ππωπ⋅=+，k Z ∈.得362k ω=+，k ∈N . 因为()f x 在区间,123ππ⎛⎤-⎥⎝⎦上递增，在5,312ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递减，所以312πππω≥+且5123πππω≥-， 解得1205ω<≤.因此32ω=.故选：C.9．在ABC 中，()cos24,cos66AB =︒︒，()2cos69,2cos21AC =︒︒，则ABC 的面积为（ ）A ．BC ．2D 【答案】C【分析】根据()cos24,cos66AB =︒︒，()2cos69,2cos21AC =︒︒，求得||1AB =，||2AC =，2AB AC ⋅=，再利用 cos AB AC AB AC A ⋅=⋅=cos A ，sin A ，代入三角形面积公式1||sin 2ABCS AB AC A =||求解. 【详解】因为()cos24,cos66AB =︒︒，()2cos69,2cos21AC =︒︒， 所以||1AB =，||2AC =，2cos 24cos692cos66cos 212cos 45AB AC ︒︒︒︒︒⋅=+==.所以cos AB AC AB AC A ⋅=⋅=所以cos A =sin A =.所以ABC 的面积为1||sin 22ABCS AB AC A =||=. 故选：C10．在等差数列{}n a 中，10a >，81335a a =，则n S 中最大的是（ ） A ．21S B ．20SC ．19SD ．18S【答案】B【分析】设等差数列的公差为d .由已知得()()1137512a d a d +=+，可得关系1392a d =-.再运用求和公式和二次函数的性质可得选项. 【详解】设等差数列的公差为d .由81335a a =得，()()1137512a d a d +=+，整理得，1392a d =-. 又10a >，所以0d <，因此222120(20)2002222n d d d dS n a n n dn n d ⎛⎫=+-=-=-- ⎪⎝⎭， 所以20S 最大. 故选：B.11．若关于x 的不等式4142x a x +≥-对任意2x >恒成立，则正实数a 的最大值是（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】A【分析】将原问题化为min 414(2)184422x x a x ax a -⎡⎤+≥⇔++≥⎢⎥--⎣⎦，根据基本不等式求得最值可得选项.【详解】因为2x >，所以20x ->， 所以min 414(2)184(2)18444222x x x a x a x a ax a --⎡⎤+≥⇔++≥⇔++≥⎢⎥---⎣⎦，而4(2)12x a x -+≥=-4(2)12x a x -=-时，取等号.84a≥，解得04a <≤.正实数a 的最大值是4. 故选：A.【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.12．已知函数,01()11,10(1)x xf xxf x≤<⎧⎪=⎨--<<⎪+⎩，()()4g x f x mx m=--，其中m是非零的实数，若函数()g x在区间(1,1)-内有且仅有两个零点，则实数m的取值范围是（）A．1,(0,1)5⎛⎫-∞-⋃⎪⎝⎭B．1(,1),5⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭C．1(,1)0,5⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭D．1,(1,)5⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭【答案】C【分析】先求得分段函数的解析式，函数()g x零点等价于函数()y f x=的图象与直线4y mx m=+公共点，做出图像，数形结合，即可求得答案.【详解】当10x-<<时，011x<+<，满足上支范围，所以()11f x x+=+，所以,01()11,101x xf xxx≤<⎧⎪=⎨--<<⎪+⎩，作函数()y f x=的图象，如图所示.函数()g x零点的个数等价于函数()y f x=的图象与直线4y mx m=+公共点的个数. 当直线4y mx m=+过点(1,1)时，15m=，所以当15m<<时，直线4y mx m=+与函数()y f x=图象有两个公共点.当直线4y mx m=+与曲线111yx=-+（10x-<<）相交时，联立4111y mx m y x =+⎧⎪⎨=-⎪+⎩消去y 得，24(51)0mx m x m -++=， 因此22(51)160m m ∆=+->且510m +<时，解得1m <-.综上知，实数m 的取值范围是1(,1)0,5⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭.故选：C【点睛】本题的关键是根据x 的范围，先求得函数解析式，做出图像，再将零点问题转化为图像交点问题，易错点为，4y mx m =+可以与函数两支都有交点，也可以与函数111y x =-+单支产生交点，需分别检验和计算，属中档题.二、填空题13．已知直线l 经过点(1,2)P -，且垂直于直线2310x y ，则直线l 的方程是________.【答案】3270x y -+=【分析】根据题意，设直线l 的方程是320x y c -+=，代入点(1,2)P -，求得c 的值，即可求解.【详解】由题意，所求直线l 垂直于直线2310x y ， 设直线l 的方程是320x y c -+=，又由直线l 过点(1,2)P -，代入可得340c --+=，解得7c =， 故l 的方程是3270x y -+=.【点睛】1、与直线220(0)Ax By C A B ++=+≠平行的直线方程可0()Ax By n n c ++=≠；2. 与直线220(0)Ax By C A B ++=+≠垂直的直线方程可0Bx Ay M -+=。
安徽省2021版高二上学期期中数学试卷(理科)A卷(新版)
安徽省2021版高二上学期期中数学试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）某实验中学共有职工150人，其中高级职称的职工15人，中级职称的职工45人，一般职员90人，现采用分层抽样抽取容量为30的样本，则抽取的高级职称、中级职称、一般职员的人数分别为A . 5、10、15B . 3、9、18C . 3、10、17D . 5、9、162. （2分）(2018·广州模拟) 某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2015年1月至2017年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（）A . 年接待游客量逐年增加B . 各年的月接待游客量高峰期在8月C . 2015年1月至12月月接待游客量的中位数为30万人D . 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳3. （2分） (2016高一下·黄山期末) 在平面区域{（x，y）|0≤x≤1，1≤y≤2}内随机投入一点P，则点P 的坐标（x，y）满足y≤2x的概率为（）A .B .C .D .4. （2分） (2018高二上·南宁期中) 手机给人们的生活带来便利的同时，也给青少年的成长带来不利的影响，有人沉迷于手机游戏无法自拔，严重影响了自己的学业，某学校随机抽取个班，调查各班带手机来学校的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为将数据分组成，，…，，时，所作的频率分布直方图是（）A .B .C .D .5. （2分）若数据x1 ， x2 ，…，xn的平均值为，方差为S2 ，则3x1+5，3x2+5，…，3xn+5的平均值和方差分别为（）A . 和S2B . 3 +5和9S2C . 3 +5和S2D . 和9S26. （2分）函数是奇函数的充要条件是（）A .B .C .D .7. （2分） (2020高一下·徐汇期末) 设是首项为正数的等比数列，公比为q，对于以下两个命题：(甲)“ ”是“ 为递增数列”的充分非必要条件；(乙)“ ”是“对任意的正整数n，”的必要非充分条件，下列判断正确的是（）A . 甲和乙均为真命题B . 甲和乙均为假命题C . 甲为假命题，乙为真命题D . 甲为真命题，乙为假命题8. （2分）设=（1，1，﹣2），=（3，2，8），=（0，1，0），则线段AB的中点P到点C的距离为（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高三上·定州期中) 如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若=λ +μ ，则λ+μ=（）A .B .C .D . 210. （2分） (2016高一下·郑州期末) 某商场想通过检查发票存根及销售记录的2%来快速估计每月的销售总额，采取如下方法：从某本发票的存根中随机抽一张，如15号，然后按序往后将65号，115号，165号，…发票存根上的销售额组成一个调查样本．这种抽取样本的方法是（）A . 抽签法B . 随机数法C . 系统抽样法D . 其他方式的抽样11. （2分）已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F，M分别是AB，AD，AA1的中点，又P，Q分别在线段A1B1 ， A1D1上，且A1P=A1Q=x，0<x<1，设平面MEF∩平面MPQ=l，则下列结论中不成立的是（）A . l∥平面ABCDB . l⊥ACC . 平面MEF与平面MPQ不垂直D . 当x变化时，l不是定直线12. （2分） (2018高二上·临汾月考) 如图，在正方体中，若是线段上的动点，则下列结论不正确的是（）A . 三棱锥的正视图面积是定值B . 异面直线，所成的角可为C . 异面直线，所成的角为D . 直线与平面所成的角可为二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二上·江都月考) 命题“ ”的否定是________.14. （1分） (2019高一下·鄂尔多斯期中) ________.15. （1分） (2018高二上·黑龙江期中) 假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进入同一部手机，若这两条短信进入手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为________16. （1分）给出下列四个命题：①半径为，圆心角的弧度数为的扇形面积为；②若为锐角，，，则或；③函数图象的一条对称轴是 .其中真命题是________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2020高一下·温州期末) 已知是同一平面内的三个向量，其中 .（1）若，且，求的坐标；（2）若，且，求与的夹角θ的余弦值.18. （15分） (2017高二上·伊春月考) 随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图所示.（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高;（2）计算甲班的样本方差;（3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学,求身高为176cm的同学被抽中的概率.19. （5分）已知函数f（x）=2x2﹣2ax+b，当x=﹣1时，f（x）取最小值﹣8，记集合A={x|f（x）＞0}，B={x||x ﹣t|≤1}（Ⅰ）当t=1时，求（∁RA）∪B；（Ⅱ）设命题P：A∩B≠∅，若￢P为真命题，求实数t的取值范围．20. （10分） (2019高一下·梅河口月考) 如图所示，四棱锥中，，底面中，，，又，，为中点．（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角．21. （10分） (2019高二下·鹤岗月考) 设命题 :实数满足，其中，命题 :实数满足．（1）若且为真，求实数的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．22. （5分）(2018·新疆模拟) 如图，在斜三棱柱中，侧面与侧面都是菱形，，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共55分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、答案：18-3、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：。
安徽省江淮名校2020-2021学年高二期中考试试题数学(理)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如果直线 与直线 垂直，则 等于（ ）
A． B． C． D．
2．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()
7．D
【分析】
作出示意图，再结合两点间的斜率公式，即可求得答案.
【详解】
， ，
又 直线 过点 且与线段 相交，作图如下：
则由图可知，直线 的斜率 的取值范围是： 或 ．
故选：D
【点睛】
本题借直线与线段的交点问题，考查两点间的斜率公式，考查理解辨析能力，属于中档题.
8．B
【解析】
因为四边形 是菱形， ，又 平面 ， ，又 平面 ，即有 ，故要使平面 平面 ，只需 或 .
其中正确结论的序号是______．
13．若直线 经过原点和 ，则直线 的倾斜角大小为__________．
14．直线 过 和 的交点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线 的方程为__________．
15．已知圆 ，直线 ： ，当圆上仅有 个点到直线 的距离为 ，则 的取值范围为__________．
A． B． C． D．
3．直线 恒过定点 ，则以 为圆心， 为半径的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 ，腰长为 的等腰直角三角形，则这个平面图形的面积是（ ）
A． B． C． D．
5．与两直线 和 的距离相等的直线是（ ）
A． B． C． D．以上都不对
（2）求与直线 平行，且被圆 截得的线段长为 的直线的方程.
安徽省淮南第一中学2020-2021学年高二上学期期中联考数学(理)试题含答案
3
②八面体的外接球球心为正方形 ABCD 对角线交点，
8
易得外接球半径为 2 表面积为 8 ；
③取 AD 的中点 G，连接 EG，FG，EF，
易得 EG FG 3 ， AD 平面 EGF， 过 E 作 EH FG ，交 FG 的延长线于 H， 又 EH AD ， AD FG G ，故 EH 平面 ADF，
为真，“ p q ”为假，求实数 a 的取值范围．
18．（本小题满分 12 分）
（1）求过点 4, 3 且与直线 x 2 y 1 0 垂直的直线 l 的方程；
3
（2）求过点 A2, 1 且在 x 轴和 y 轴上的截距相等的直线 l 的方程．
19．（本小题满分 12 分）
如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB AD 1 ， AA1 2 ，点 P 为棱 DD1 的中点． （1）证明： BD1 / / 平面 PAC； （2）求异面直线 BD1 与 AP 所成角的大小．
13
D．
9
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．命题“ x 1, 3 ， x2 3x 2 0 ”的否定为__________．
14．已知直线 l1 : 2x by 2 0 与直线 l2 : 2x y 1 0 平行，则直线 l1 ， l2 之间的距离为__________．
3
3
故选 B．
由题可得，准线 l 的方程为 x 3 .
由抛物线的定义可知， | MF | xM 3 ，
| MN | | MF || MN | xM 3 xN 3 2 3 5 ．
故选 D．
10．C
因为 PF1F2 的内切圆的周长为 2 r内
2
2021年高二上学期联考(期中)数学(理)试题 含答案
图 12021年高二上学期联考（期中）数学（理）试题 含答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的.1、已知集合{31,},{4,6,8,10,12}A x x n n N B ==+∈=，则集合中的元素个数（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．42、已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 ( )A ．B ．C ．D ．2 3、已知为钝角，，则 （ ）A ．B ．C ．D ． 4、某商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关，则其回归方程可能是 ( ) A ．y ^＝－10x ＋200 B ．y ^＝10x ＋200 C ．y ^＝－10x －200 D ．y ^＝10x －2005、执行如图1所示的程序框图,若输入的值为10， 则输出S 的值是 （ ） A ．45 B ．46C ．55D ．566、函数的一个单调增区间是 ( ) A ． B ． C ． D ．7、在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是AA 1、AB 、BB 1和B 1C 1的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角为 （ ） A ． B ． C ． D ． 8、给出如下四个命题：①若“”为真命题，则均为真命题； ②“若”的否命题为“若，则”； ③“”的否定是“”；④“”是 “”的充分不必要条件． 其中不正确．．．的命题是 ( ) A ．①② B ．②③C ．①③D ．③④9、已知，，其中，则、的大小关系是（ ）A ．B ．PC ．D ．10、一个多面体的三视图如图2所示，则该多面体的表面积为 （ ） A ． B ． C ． D ．11、设函数的定义域为,若函数满足条件：存在,使在 上的值域是则称为“倍缩函数”，若函数为“倍缩函数”，则的范围是( )A ．B ．C ．D ．12、从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则与的大小关系为 （ ） A ． B ． C ． D ．不确定二、填空题：本大题共4个小题，共20分，将答案填写在题中的横线上.13、在直角坐标系中，设集合，在区域内任取一点P ，则满足的概率是 ．14、设抛物线焦点F ,经过点P(4，1)的直线与抛物线相交于A 、B 两点，且点P 恰好为线段AB 的中点，则|AF|+|BF|= .15、如图3，已知点在线段上， ，用和来表示向量，则等于 . 16、若函数()满足且时,,函数,则函数在区间内零点有 个．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17、（本小题满分10分）如图, 已知四边形ABCD 和BCEG 均为直角梯形，AD ∥BC 、 CE ∥BG ，且，平面ABCD ⊥平面BCEG ，BC =CD =CE =2AD =2BG =2． (Ⅰ)求证：AG ∥平面BDE ； (Ⅱ)求几何体EG-ABCD 的体积．18、（本小题满分12分） 函数是定义在上的奇函数,且. (Ⅰ)求的解析式,(Ⅱ)用函数单调性的定义证明在上是增函数． 19、（本小题满分12分）已知直线与双曲线x 2－y 2＝1的左支相交于不同的两点A 、B ，线段AB 的中点为点M ，定点C(－2，0)． (Ⅰ)求实数k 的取值范围；(Ⅱ)求直线MC 在y 轴上的截距的取值范围． 20、（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，，，侧面为等边三角形，侧棱． （Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：平面平面； （Ⅲ）求二面角的余弦值．21、（本小题满分12分）已知数列中，，，其前项和满足（，）（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设为非零整数，），试确定的值，使得对任意，都有成立．22、（本小题满分12分）已知椭圆，过焦点垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点的直线l交椭圆于A，B两点，交直线于点E，，，判断是否为定值，若是，计算出该定值；若不是，说明理由．高二理数答案一、B A D A B C B C A D A B 二、填空题：13、 14、10 15、. 16、_ 8 _个． 三、解答题：17、证明：（1）在平面BCDG 中，过G 作GN ⊥CE 交BE 于M ， 连 DM ，则由已知知；MG =MN ，MN ∥BC ∥DA ,且MG ∥AD ,MG =AD ， 故四边形ADMG 为平行四边形，AG ∥DM ……4分 ∵DM 平面BDE ，AG 平面BDE ， AG ∥平面BDE ………………5分（Ⅱ）1133EG ABCDD BCEG G ABD BCEG ABD V V V S DC S BG ---∆=+=⋅+⋅1211172212132323+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=………………10分 18、【解】(Ⅰ)由题知,是上的奇函数,所以,即……3分所以又因为,所以,…6分(Ⅱ)则有22121221121212222222121212(1+)-(1+)(-)(1-)()-()=-==1+1+(1+)(1+)(1+)(1+)x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x ……………………9分由,所以,又由所以即,又因,所以,即所以函数在区间上为增函数……………………………………………12分19、解：(Ⅰ)．把直线y ＝kx ＋1代入x 2－y 2＝1整理有(1－k 2)x 2－2kx －2＝0，…2分 ∵设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由韦达定理可知x 1＋x 2＝＜0， ①x 1·x 2＝＞0． ②………………4分且 ∆＝(－2k)2－4(1－k 2)·(－2)＝4k 2－8 k 2＋8＞0得－＜k ＜③………………5分∴ 1＜k ＜………………6分 (Ⅱ)．∵ M ， M ，即M .∴MC ：y ＝x ＋………………9分在y 轴线截距为y m ＝，………………10分当k ∈(1，)，有y m ＞2或y m ＜－2－.………………12分 20、解：（Ⅰ）设中点为，连结，，………… 1分 因为，所以.又，所以. ………………… 2分 因为，所以平面.因为平面，所以. ……… 3分 （Ⅱ）由已知，， 所以，.又为正三角形，且，所以. …………………… 5分因为，所以. 所以.由（Ⅰ）知是二面角的平面角.所以平面平面. …………………………………………… 7分 （Ⅲ）方法1：由（Ⅱ）知平面. 过作于，连结，则.所以是二面角的平面角. ………………………………… 10分 在中，易求得.因为，所以. ………………………… 11分 所以.即二面角的余弦值为. ……12分 方法2：由（Ⅰ）（Ⅱ）知，，两两垂直.以为原点建立如图所示的空间直角坐标系. 易知，，，.所以，.设平面的法向量为， 则 即令，则，.所以平面的一个法向量为.易知平面的一个法向量为. 所以.由图可知，二面角为锐角.所以二面角的余弦值为. …………………………………… 12分 21、解：（Ⅰ）．由已知，（，）， ……2分∴数列是以为首项，公差为1的等差数列．∴ ………4分 （Ⅱ）．∵，∴，要使恒成立，∴()()112114412120nn n n n n n n b b λλ-++++-=-+-⋅--⋅>恒成立，∴恒成立，∴恒成立．………6分 （ⅰ）当为奇数时，即恒成立，当且仅当时，有最小值为1，∴ ……………8分 （ⅱ）当为偶数时，即恒成立，当且仅当时，有最大值， ∴ 即，又为非零整数，则．…………10分综上所述，存在，使得对任意，都有．…12分 22、解：（Ⅰ）由条件得，所以方程 ……4分（Ⅱ）易知直线l 斜率存在，令11220:(1),(,),(,),(4,)l y k x A x y B x y E y =+- 由2222222(1)(14)84404816014y k x k x k x k k x y =+⎧⎪⇒+++-=∆=+>⎨+=⎪⎩……5分………………6分由12112212(1)(1)(1,)(1,)x x AQ QB x y x y y y λλλλ-+=+⎧=⇒---=+⎨=-⎩即得 …………………7分A由111012200120(4)(4)(4,)(4,)()x x AE EB x y y x y y y y y y μμμμ-+=+⎧=⇒---=+-⎨-=-⎩即得……………8分121212122222(1)(4)(4)(1)25()8(1)(4)(1)(4)x x x x x x x x x x x x λμ++++++++∴+=-=-++++将代入有2222222222228840884083281414140(1)(4)(1)(4)k k k k k k k k x x x x λμ---++-++++∴+=-=-=++++ …………12分20865 5181冁q34260 85D4 藔w720419 4FC3 促 }24968 6188 憈 38363 95DB 闛-w32197 7DC5 緅2。
安徽省名校2020_2021学年第一学期期中联考高二理科数学(含答案)
高二第一学期期中检测理科数学参考答案题号123456789101112答案A DB DC B A C C B A C 1.【解析】因为{}{}{}1202,102>-<=>-+=≤<=x x x x x x N x x M 或,=N C R {},12≤≤-x x 所以{}10)(≤<=x x N C M R (]1,0=.2.【解析】因为正项等比数列{}n a 满足142=a a ，由于2342a a a =，所以1,1,121323===q a a a .因为133=S ，所以1q ≠.由)1(1)1(21313q q a q q a S ++=--=得,,11322q q q ++=即01122=--q q ，解得31=q ，或41-=q （舍去）.3.【解析】初始值2,5==x n ，程序运行过程如下表所示1v =；6421=+⨯=v ；15326=+⨯=v ；322215=+⨯=v ；651232=+⨯=v ；1300265=+⨯=v .1i =-，跳出循环，输出.130=v 4.【解析】因为2745432=+++=x ，,45.1145.58.32.2m m y +=++++=所以61.02746.145.11-⨯=+m ，解得.5.6=m 5.【解析】该几何体是底面半径为1，母线长为2的半圆锥，因此其表面积为.323243121212212122+=⨯+⨯+⨯⨯⨯⨯πππ6.【解析】由⇒=-⋅0)(b a a b a a ⋅=22222)(b b a a b a +⋅-=-=-,13222=+-=+-=b b a .27.【解析】特值法，当βα⊥时，D C B ,,,0cos =θ均不成立.8.【解析】由题意知，当3π=x 时，函数()f x 取得最大值，所以.,223Z k k ∈+=⋅ππωπ解得.,236N k k ∈+=ω因为)(x f 在区间⎦⎤ ⎝⎛-3,12ππ上递增，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡125,3ππ上递减，所以123ππωπ+≥且3125ππωπ-≥，解得.5120≤<ω因此23=ω.9.,1,2.245cos 221cos 66cos 269cos 24cos 2==+=⋅ AC AB所以.22sin ,22cos ,2==⋅=A A A AC AB 于是ABC ∆.22=A 10.【解析】设等差数列的公差为.d 由13853a a =得,)12(5)7(311d a d a +=+,整理得,.2391d a -=因此d n d dn n d n d a n d S n 200)20(22022(22212--=-=-+=,20S 最大.11.【解析】4214≥-+x a x 4821)2(4≥+-+-⇔a x a x 4821)2(4min ≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-⇔a x a x 即,484≥+⇔aa 解得40≤<a .12.【解析】001()1111x x x f x x <<<⎧⎪=⎨--⎪+⎩≤， ，.作函数()y f x =的图象，如图所示.函数()g x 零点的个数⇔函数()y f x =的图象与直线4y mx m =+公共点的个数.当直线4y mx m =+过点(11)，时，15m =,,所以当510<<m 时,直线4y mx m =+与函数()y f x =图象有两个公共点.当直线4y mx m =+与曲线111y x =-+（01x <<-）相交时，联立⎪⎩⎪⎨⎧-+=+=1114x y m mx y 消去y 得，0)15(42=++-m x m mx 因此016)15(22>-+=∆m m 且015<+m 时，解得.1-<m 综上知，实数m 的取值范围是51,0()1,( --∞.13.【答案】.0723=+-y x 【解析】设直线l 的方程是.023=+-c y x 将2,1=-=y x 代入得，,043=+--c 所以7=c .故l 的方程是.0723=+-y x 14.【答案】61【解析】因抛掷一颗骰子有6种结果，所以抛掷两颗骰子有3666=⨯种不同结果.点),(b a S 在不等式所表示的区域内，有如下几种情况：当1=a 时，=b １，2，3;当2=a 时，=b 1，2;当3=a 时，1=b .共有(1,1)，（1,2），(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)六个点落在条件区域内，故61366)(==A P .15.【答案】21【解析】因为m x x x x f ++=cos sin 32cos 2)(2162sin(22sin 32cos 1+++=+++=m x m x x π.]2,0[π∈x ，∴]1,21[62sin(67626-∈+≤+≤ππππx x ，则.∴]3,[1)62sin(2)(m m m x x f +∈+++=π.由=+]3,[m m 27,21[得,且27321=+=m m 故21=m .16.【答案】.242π【解析】如图，因为平面BDC ⊥平面ABD ，所以AB ⊥平面BDC ，CD ⊥平面ABD ，得.AD CD BC AB ⊥⊥，取AC 的中点O ，则OD OC OB OA ===.于是外接球的球心是O ，12OA AC =，2214OA AC =.而.21)24(2122222222=+=+=+=BD AB BD AB BC AB AC 所以半径.4221==AC OA 于是外接球的体积为.24242(343ππ=17.【解析】（1）由频率分布直方图可知,月用水量在[0,0.5)的频率为0.08×0.5=0.04.同理，在[0.5,1),[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]等组的频率分别为0.08，0.21，0.25,0.06，0.04,0.02.由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)=2×0.5×a，解得a=0.30.………………………………………………………………4分（2）由(1)知,100位居民月均水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02=0.12.由以上样本的频率分布,可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.12=36000(人).………………………………………………………6分(3)设中位数为x 吨.因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25=0.73＞0.5，而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21=0.48＜0.5,所以2≤x＜2.5.由0.50×(x－2)=0.5－0.48,解得x=2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.…………………………………10分18.【解析】(1)因为n m ,互相垂直,所以0)3(22)(=-⋅++⋅-=⋅a b b c a c a n m ,……………………………………2分即2223b ab c a -=-，ab c b a 3222=-+.…………………………………4分由余弦定理得，=C cos .23232222==-+ab ab ab c b a 因为π<<C 0,所以6π=C .…………………………………………………6分（2）因为,236sin 21==∆πab S ABC 所以32=ab .……………………………8分ab c b a 3222=-+就是ab b a 3)6sin 2(222=-+π,即ab ab b a 312)(2=--+,因此347123)(2+=++=+ab ab b a ,32+=+b a .…………………11分故ABC ∆的周长是33+=++c b a .…………………………………………12分19.【解析】（1）直线1-=kx y 就是,01=--y kx 圆C 的圆心是),0,0(C 半径是21.由题意得，圆心)0,0(C 到直线l 的距离是21112<+k ，……………………………2分解得3-<k 或.3>k 故k 的取值范围是).,3()3,(+∞--∞ ………………5分（2）当1=k 时，直线l 与圆C 相离.设点P 的坐标是),(00y x ，则直线MN 的方程是4100=+y y x x .………………………………………………7分因为点P 在直线1-=x y 上，所以100-=x y .代入4100=+y y x x 中，得到,41)1(00=-+y x x x 即.0)41()(0=+-+y x y x ……9分由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+0)41(0y y x 得，.4141⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==y x 故直线MN 恒过一个定点).41,41(-…………………………………………………12分20.【解析】（1）因为AC=BC ，D 是AB 的中点，所以CD AB ⊥.又VC ⊥底面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以VC AB ⊥.………………………2分而,C CD VC = 所以⊥AB 平面.VCD 又AB ⊂平面VAB ，所以平面VAB ⊥平面VCD .…………………………………5分（2）过点D 在平面ABC 内作DF CE ⊥于F ，则由题意知DF ⊥平面VCE.连接VF ，于是DVF ∠就是直线VD 与平面VCE 所成的角.…………………………7分在t R VFD ∆中，DF VD =.又因为VD=,所以DF =.在t R DCE ∆中,可求出DE=1.故知点E 位于线段AD 的中点或线段BD 的中点.…10分三棱锥VDE C -的体积为.3222212213131=⨯⨯⨯⨯=⋅⋅A VC S CDE (12)分21.【解析】（1）令0n , 1==m 代入等式中可得,2)0(-=f ，即2-=c .………2分再令n m -=得,2)(),12()()0(2-+=++--=-n n n f n n n n f f ,所以.2)(2-+=z z z f ………………………………………………6分（2）因为直线被圆9)2()1(22=-++y x 截得的弦长为6,所以直线过圆心,有1=+b a .……………………………………………………8分于是由均值不等式得,abb a +4=94545))(41(41=+≥++=++=+a b b a b a b a b a ,当且仅当a b b a =4,即32,31==b a 时等号成立.故abb a +4的最小值是.9…………12分22.【解析】(1)当2≥n 时，.12)1(221-=--=-=-n n n S S a n n n 在2n S n =中，令1=n ，则111==S a ，满足.12-=n a n 故数列{}n a 的通项公式是.,12*∈-=N n n a n ……………………………4分（2)因为一般项)11(41121121+++++-=n n n n n n n a a a a a a a ，所以原式⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⋅⋅⋅+-+-=+++11()11()11(4121143323221n n n n a a a a a a a a a a a a =-=++11(412121n n a a a a .)32)(12(32)32)(12(64222+++=+++n n n n n n n n ………………………8分于是)32)(12(322+++n n n n ,)2141(2λn n +≥即存在*∈N n ,使≤λ)32)(12(34++n n 成立.≤λ.454)32)(12(34max =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++n n 故实数λ的最大值是.454………………………12分。
安徽省第二中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题 理(含解析)
安徽省蚌埠市第二中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题 理（含解析）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．） 1.等腰三角形ABC 绕底边上的中线AD 所在的直线旋转所得的几何体是( )A. 圆台B. 圆锥C. 圆柱D. 球【答案】B 【解析】由题意可得AD ⊥BC ，且BD ＝CD ，所以形成的几何体是圆锥．故选B. 2.球的表面积膨胀为原来的2倍，则其体积变为原来的（ ）倍 A. 2B. 3C. 8D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出球的半径，求出膨胀后球的半径，即可得到球的体积比。
【详解】设球的半径为r ，所以球的体积为3143v r π=， 球的表面积膨胀为原来的2， 所以球的体积为332144)33v r ππ=== 所以膨胀后球的体积变为原来的故选：D【点睛】本题考查球的表面积以及体积公式，需熟记公式，属于基础题。
3.一个梯形采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原来梯形面积的（ ）倍 A.4B.12C.2【答案】A【解析】 【分析】梯形的直观图仍是梯形，且上下底保持不变，设原来梯形的高为h ，则在直观图中表示梯形高的线段应为2h ，且与底边夹角为45，故梯形直观图的高为2sin 4524h h ⋅= 【详解】设原来梯形上下底分别为,a b ，高为h ，则梯形面积为2a bs h +=⋅ 在梯形直观图中，上下底保持不变，表示梯形高的线段为2h，且与底边夹角为45，故梯形直观图的高为2sin 452h ⋅=，∴梯形直观图的面积为24a b s h +'=⋅4s s '∴=故选：A4.已知m ，n 是空间两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列命题正确的是 A. 若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m nB. 若=,=,//m n m n αγβγ⋂⋂，则//αβC. 若,,m βαβ⊂⊥则m α⊥D. 若,//,m m βα⊥则αβ⊥【答案】D 【解析】【详解】试题分析：对于A ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则,m n 可平行或异面，所以不成立， 对于 B ．若=,=,//m n m n αγβγ⋂⋂，则//αβ，还可能相交，故错误。
安徽省皖南名校2020-2021学年高二上学期期中考试 数学试题(扫描版含答案详解)
高二数学参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
题号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11
12
答案 D C C B D D A A B B
C
D
{ } 1．D【解析】∵ A = {x | 2 < x < 4} ， B = x x2 − 4x + 3 < 0 ， = {x |1 < x < 3}
x + y ≥1
【解析】由约束条件 y − x ≤1，作出可行域如图中阴影部分， x ≤ 1
由图可知，当
z
取得最小值时，最优解为
A
，联立
x y
+ −
y x
= =
1 1
，解得
A(
0,1)
,∴
z
=
2x
−
y
+
3
的最小值为 2×0 −1+ 3 = 2 .
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15．【答案】 ( −4, 2)
−
a3
=
1 3
−
1 4பைடு நூலகம்
⋅⋅⋅
an
−
an−1
=
1 n −1
−
1 n
an
−
a1
=
1−
1 n
a1 = 1
所以 ，所以 an
=
2
−
1 n
a2020
=
2
−
1 2020
=
4039 2020
.
10．B【解析】当
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安徽省江淮名校2020-2021学年高二数学上学期期中试题理(含解析)
安徽省江淮名校20212021学年高二数学上学期期中试题理（含解析）一、选择题（共12小题,每小题5分,共60分）1. 假如直线与直线垂直，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为直线与直线垂直，因此，故选B. 2. 若某几何体的三视图如图所示，则那个几何体的直观图能够是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由已知中三视图的上部分有两个矩形，一个三角形，故该几何体上部分是一个三棱柱，下部分是三个矩形，故该几何体下部分是一个四棱柱．考点：三视图．3. 直线恒过定点，则以为圆心，为半径的圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】直线，化为，时，总有，即直线直线过定点，圆心坐标为，又因为圆的半径是，因此圆的标准方程是，故选B.4. 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为，腰长为的等腰直角三角形，则那个平面图形的面积是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依照斜二测的画法，直观图等腰直角三角形，还原为一条直角边长为、另一条直角边为的直角三角形，由三角形面积公式可得那个平面图形的面积是，故选A.5. 与两直线和的距离相等的直线是（）A. B. C. D. 以上都不对【答案】A【解析】直线平行于直线到两平行直线距离相等的直线与两直线平行，可设直线方程为，利用两平行线距离相等，即，解得直线方程为，故选A.6. 已知，表示两条不同的直线，，，表示三个不同的平面，给出下列四个命题：①，，，则；②，，，则；③，，，则；④，，，则其中正确命题的序号为（）A. ①②B. ②③C. ③④D. ②④【答案】C【解析】①，，，则能够垂直,也能够相交不垂直，故①不正确；②，则与相交、平行或异面，故②不正确；③若，则，③正确；④，，可知与共线的向量分别是与的法向量，因此与所成二面角的平面为直角，，故④正确，故选C.【方法点晴】本题要紧考查线面平行的判定与性质、面面垂直的性质及线面垂直的判定，属于难题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判定，常采纳画图（专门是画长方体）、现实实物判定法（如墙角、桌面等）、排除选择法等；另外，若原命题不太容易判定真假，能够考虑它的逆否命题，判定它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.7. 已知两点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范畴是（）A. B. 或 C. D.【答案】B【解析】如图所示，直线的斜率为；直线的斜率为，当斜率为正时，，即；当斜率为负时，，即，直线的斜率的取值范畴是或，故选B.8. 如图所示，在四棱锥中，底面，且底面为菱形，是上的一个动点，若要使得平面平面，则应补充的一个条件能够是（）A. B. C. D. 是棱的中点【答案】B【解析】因为四边形是菱形，，又平面，，又平面，即有，故要使平面平面，只需或.9. 不共面的四个定点到平面的距离都相等，如此的平面共有（）个A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】D【解析】空间中不共面的四个定点构成三棱锥，如图：三棱锥,①当平面一侧有一点，另一侧有三点时，即对此三棱锥进行换底，则三棱锥有四种表示形式，现在满足条件的平面个数是四个；②当平面一侧有两点，另一侧有两点时，即构成的直线是三棱锥的相对棱，因三棱锥的相对棱有三对，则现在满足条件的平面个数是三个，因此满足条件的平面共有个，故选D.10. 光线沿着直线射到直线上，经反射后沿着直线射出，则由（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A...............11. 正方体的棱长为，线段上有两个动点、，且，则下列结论中错误的是（）A. B. 异面直线，所成角为定值C. 平面D. 三棱锥的体积为定值【答案】B【解析】在正方体中，平面平面，故正确；平面平面平面平面，故正确；的面积为定值，，又平面为棱锥的高，三棱锥的体积为定值，故正确；利用图形设异面直线所成的角为，当与重合时；当与重合时异面直线所成角不是定值，错误，故选D.12. 如图所示，正四棱锥的底面面积为，体积为，为侧棱的中点，则与所成的角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】连接交于点，连接正四棱锥的底面是正方形，是中点，是中点，与所成的角为正四棱锥的底面积为，体积为，，在中，，，故选C.【方法点晴】本题要紧考查正四棱锥的性质与体积公式、异面直线所成的角，属于难题.求异面直线所成的角要紧方法有两种：一是向量法，依照几何体的专门性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.二、填空题（共4小题，每题5分，满分20分）13. 若直线通过原点和，则直线的倾斜角大小为__________．【答案】【解析】原点的坐标为原点与点的斜率，即为倾斜角），又点在第二象限，，故答案为.14. 直线过和的交点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为__________．【答案】或【方法点睛】本题要紧考查待定系数法求直线方程以及直线截距式方程，属于中档题.待定系数法求直线方程的一样步骤是：（1）判定，依照题设条件判定出用那种形式的直线方程参数较少；（2）设方程，设出所选定的标准形式的直线方程；（3）求参数，依照条件列方程求出参数；（4）将参数代入求解；（5）考虑专门位置的直线方程，因为除一样式外，其他四种标准方程都有局限性.15. 已知圆，直线：，当圆上仅有个点到直线的距离为，则的取值范畴为__________．【答案】【解析】由圆上仅有个点到直线的距离为可得圆心到直线的距离满足，由于，即，解得，故答案为.16. 如图，矩形中，，为边的中点，将沿直线翻转成.若为线段的中点，则翻折过程中：①是定值；②点在某个球面上运动；③存在某个位置，使得；④存在某个位置，使平面其中正确的命题是__________．【答案】①②④【解析】解：取CD中点F，连接MF,BF，则MF∥DA1,BF∥DE，∴平面MBF∥平面DA1E，∴MB∥平面DA1E，故④正确.由，由余弦定理可得，因此为定值，因此①正确；B是定点，M是在以B为圆心，MB为半径的球面上，故②正确.假设③正确，即在某个位置，使得DE⊥A1C，又矩形ABCD中，，满足，从而DE⊥平面A1EC，则DE⊥A1E，这与DA1⊥A1E矛盾.因此存在某个位置，使得DE⊥A1C不正确，即③不正确.综上，正确的命题是①②④点睛：有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．三、解答题（本大题包括6小题，共70分）17. 已知圆：.（1）若直线与圆相切且斜率为，求该直线的方程；（2）求与直线平行，且被圆截得的线段长为的直线的方程.【答案】（1）或；（2）或【解析】试题分析：（1）设切线方程为：,依照圆心到切线的距离等于半径，列方程可得的值，从而求得直线方程；（2）设所求直线方程为，依照点到直线距离公式及勾股定理列方程求出的值，从而可得直线的方程.试题解析：（1）设所求的切线方程为：，由题意可知：圆心到切线的距离等于半径，即，∴，即或.∴切线方程为或.（2）因为所求直线与已知直线平行，可设所求直线方程为.由所截得的线段弦长的一半为，圆的半径为，可知圆心到所求直线的距离为，即：，∴或.∴所求直线方程为或18. 如图的几何体中，平面，平面，为等边三角形，，为的中点，为的中点.（1）求证：平面平面；（2）求证：平面平面.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（1）由中位线定理可得，可得平面，由线面垂直的性质及线段长度可证明而四边形四边形为平行四边形为平行四边形，从而可得出平面，从而可得结论；（2）取的中点，连接，，先证明，再证明平面，可得平面，从而平面平面.试题解析：（1）∵平面，平面∴.又∵为的中点，.∴四边形为平行四边形.∴.而为的中点，为的中点，∴，又.∴平面平面（2）取的中点，连接，，由（1）知，且，∴为平行四边形，∴，而为等边三角形，为的中点，因此，又，因此平面，因此平面，从而平面平面.【方法点晴】本题要紧考查线面平行的判定定理、面面平行的判定定理，属于中档题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用那个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特点，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、查找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是确实是利用方法①证明线面平行后，再证明面面平行的.19. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）由平面，得，由，得，再由，得到平面；（2）过点作的平行线交于点，连结，则与平面所成的角等于与平面所成的角，由平面，得到为直线和平面所成的角，由此能求出直线与平面所成角的正弦值.试题解析：（1）证明：因为平面，直线平面，因此，又因为，因此，而，因此平面.（2）过点作的平行线交于点，连接，则与平面所成的角等于与平面所成的角，因为平面，故为在平面上的射影，因此为直线与平面所成的角，由于，.故.由已知得，，又，故，在中，可得，在中，可得. 因此，直线与平面所成的角的正弦值为【方法点晴】本题要紧考查线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理，属于难题.解答空间几何体中垂直关系时，一样要依照已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.20. 已知矩形的对角线交于点，边所在直线的方程为，点在边所在的直线上.（1）求矩形的外接圆的方程；（2）已知直线：（），求证：直线与矩形的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线的方程.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：由且点在边所在的直线上得直线的方程，联立直线方程得交点的坐标，则题意可知矩形外接圆圆心为，半径，可得外接圆方程；（２）由可知恒过点，求得，可证与圆相交，求得与圆相交时弦长，经检验，时弦长最短，可得，进而得，最后可得直线方程．试题解析：（1）∵且，∴，点在边所在的直线上，∴所在直线的方程是，即．由得．∴，∴矩形的外接圆的方程是．（2）证明：直线的方程可化为，可看作是过直线和的交点的直线系，即恒过定点，由知点在圆内，因此与圆恒相交，设与圆的交点为（为到的距离），设与的夹角为，则，当时，最大，最短．现在的斜率为的斜率的负倒数，即，故的方程为，即．考点：圆的标准方程；直线与圆相交．21. 已知在四棱锥中，底面为矩形，且，，平面，，粪分别是线段，的中点.（1）证明：；（2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.（3）若与平面所成的角为.【答案】（1）见解析；（2）当为的一个四等分点（靠近点）时，平面；（3）【解析】试题分析：（1）利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．（2）证明证线线垂直，只需要证明直线的方向向量垂直；（3）把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;（4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特点，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化．同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备．试题解析：解法一：（1）∵平面，，，，建立如图所示的空间直角坐标系，则． 2分不妨令∵，∴，即． 4分（2）设平面的法向量为，由，得，令，得：．∴． 6分设点坐标为，，则，要使∥平面，只需，即，得，从而满足的点即为所求． 8分（3）∵，∴是平面的法向量，易得， 9分又∵平面，∴是与平面所成的角，得，，平面的法向量为10分∴，故所求二面角的余弦值为． 12分解法二：（1）证明：连接，则，，又，∴，∴2分又，∴，又，∴4分（2）过点作交于点，则∥平面，且有5分再过点作∥交于点，则∥平面且，∴ 平面∥平面7分∴∥平面．从而满足的点即为所求． 8分（3）∵平面，∴是与平面所成的角，且．∴9分取的中点，则，平面，在平面中，过作，连接，则，则即为二面角的平面角 10分∵∽，∴，∵，且∴，，∴12分考点：1、直线与直线垂直的判定；2、直线与平面垂直的判定；3、二面角的余弦值．22. 如图（1），在矩形中，，为的中点，将沿折起，使平面平面，如图（2）所示.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积；（3）求二面角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）；（3）【解析】试题分析：（1）由勾股定理可得，再由面面垂直的性质定理可得平面；（2）过作，交于点，可得平面，利用及棱锥的体积公式可得结果；（3）由（2）可知平面，过点作，交的延长线于，连接，则为二面角的平面角，在直角三角形中求出，从而可得结果.试题解析：（1）∵，，∴又平面平面，平面平面∴平面.（2）过作，交于点，∴平面∴（3）由（2）可知平面，过点作，交的延长线于，连接，则为二面角的平面角∵，，且为，∴.∴.即二面角的正弦值为。
安徽省第二中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题 理
(1)若 为 中点,求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
22、（本小题满分12分）已知矩形 , ,沿对角线 将 折起至 ,使得二面角 为 ,连结 ．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值．
蚌埠二中2020-2021学年度高二第一学期期中考试数学（理）试题答案
一、选择题
1 B 2 D 3 A 4 D 5 A 6 C 7 A 8 B 9 B 10 B 11 A 12 C
2、填空题
13 14 15 16
3、解答题
17(1)略；
(2)略.
18解(1) ；
(2)M是AC的中点, ．
19（1）略；
(2) .
20(1)
(2)
21(1)略；
（2） .
22 在矩形ABCD中,取AB中点O,连结DO,与AC交于点E．
则 与 中, , ∽ ,
,
,即 ． , ．
折起后,DE即为PE,则仍有 , ,
则 即为二面角 的平面角,即 ,
连结PO．
所以在 中, ,
即 ,即 ．
由前所证, , , , 平面PEO, ．
而 ,AC, 平面ABC,所以 平面ABC．
又 平面PAB, 平面 平面ABC．
(2) .
的表面积为（ ）
11、正方体 的棱长为2， 的中点， 点是正方形 内的动点，若 ，则 点的轨迹长度为（ ）
12、如图,正方体 的棱长为 , 分别是棱 的中点,过点E、F的平面分别与棱 交于点 ,设 ,给出以下四个命题：
(1)平面 与平面 所成角的最大值为 ；(2)四边形 的面积的最小值为 ；(3)四棱锥 的体积为 ；(4)点 到平面 的距离的最大值为 ,其中正确的个数为( )