线性整数规划习题(隐枚举法)
运筹学_第4章__整数规划习题
运筹学_第4章__整数规划习题第四章整数规划4.1 某⼯⼚⽣产甲、⼄两种设备，已知⽣产这两种设备需要消耗材料A 、材料B ，有关数据如下，问这两种设备各⽣产多少使⼯⼚利润最⼤？（只建模不求解）解：设⽣产甲、⼄这两种设备的数量分别为x 1、x 2，由于是设备台数，则其变量都要求为整数，建⽴模型如下：2123max x x z +=≥≤+≤+为整数21212121,0,5.45.01432x x x x x x x x4.2 2197max x x z +=≥≤+≤+-且为整数0,35763.212121x x x x x x t s割平⾯法求解。
（下表为最优表）线性规划的最优解为：63max ,0,2/7,2/94321=====z x x x x由最终表中得：27221227432=++x x x ④将系数和常数项分解成整数和⾮负真分式之和，上式化为；2132********+=++x x x移项后得：①②③④①②③即：21221227212212274343-≤--→≥+x x x x只要把增加的约束条件加到B 问题的最优单纯形表中。
表4－3表4－4由x 1⾏得：7327171541=-+x x x 将系数和常数项分解成整数和⾮负真分数之和：74476715541+=+-+x x x x得到新的约束条件： 74767154-≤--x x747671654-=+--x x x 在的最优单纯形表中加上此约束，⽤对偶单纯形法求解：则最优解为3,421==x x ，最优⽬标函数值为z =55。
4.3 max z ＝4x 1＋3x 2＋2x 3=≥+≥++≤+-10,,13344352.32132321321或x x x x x x x x x x x t s隐枚举法解：（1）先⽤试探的⽅法找出⼀个初始可⾏解，如x 1＝x 2＝0，x 3＝1。
满⾜约束条件，选其作为初始可⾏解，⽬标函数z 0＝2。
（2）附加过滤条件以⽬标函数0z z ≥作为过滤约束：2234321≥++x x x原模型变为：max z ＝4x 1＋3x 2＋2x 3=≥++≥+≥++≤+-10,,22341334435232132132321321或x x x x x x x x x x x x x x 求解过程如表所⽰。
线性整数规划习题(隐枚举法)
三、线形整数规划习题（隐枚举法）某长输管道泵站配有6台输油泵，串联使用。
现要求泵站工作点为Q=2000m 3/h,H=550m.当输量Q=2000m 3/h 时，各台泵的扬程及相应的电耗见下表：试确定一个最优泵组合方案，使所耗的总功率最小。
解 ：该问题的数学模型如下：6543211150110010201000530365m in x x x x x x s +++++=⎩⎨⎧-==≥+++++611,05502002001801809060..654321j x x x x x x x t s j 按约束条件的系数由达到小的顺序将相应的变量排列起来：6543213655301000102011001150m in x x x x x x s +++++=⎩⎨⎧-==≥+++++611,055060901801802000200..123456j x x x x x x x t s j用隐枚举法求解，步骤如下：1. NFREE={+6}，FREE={5,4,3,2,1}，X=(0,0,0,0,0,1)T,S=1150,R(X)=200<550,X 不可行。
令S =+∞2. NFREE={+6,+5}，FREE={4,3,2,1}，X=(0,0,0,0,1,1)T ,S=2250,R(X)=400<550,X 不可行。
3. NFREE={+6,+5,+4},FREE={3,2,1},X=(0,0,0,1,1,1)T,S=3270,R(X)=580>550, X 可行。
因S<S ,故令S =S=3270.从这可知,每一个可行的泵组合中至少应有三台泵. 4. 因已得到可行解,故应从NFREE 中退出+4,则:NFREE={+6,+5-4},FREE={3,2,1},X=(0,0,0,0,1,1)T ,S=2250, Bound=S -S=10205. 因C 3=1000<Bound,故将+3进入到NFREE:NFREE={+6,+5,-4,+3},FREE={2,1},X=(0,0,1,0,1,1)T,S=3250,R(X)=580>550,X可行。
例析0-1整数规划及隐枚举法的应用
例析0-1整数规划及隐枚举法的应用自主招生近年来成为各大高校又一招纳人才的举措,面试在自主招生中扮演着越来越重要的角色,考生面试的成绩不容忽视。
因此如何确定面试专家的分配方案,使录取工作真正公平合理的进行,是各大高校积极考虑的问题。
本文通过采用0-1整数规划及隐枚举法建立相关模型,较好地解决了这一问题。
1 预备知识简介1.1 线性规划[1]在人们的生产实践中,经常会遇到如何利用现有资源来安排生产,以取得最大经济效益的问题。
此类问题构成了运筹学的一个重要分支——数学规划,而线性规划则是数学规划的一个重要分支。
若在线性规划模型中,变量限制为整数,则为整数线性规划。
0-1整数规划是整数规划中的特殊情形,它的变量仅取0或1。
合理地引用0-1规划能够容易且高效率地求解相关问题。
1.2 隐枚举法[2]隐枚举法是Balas E在1965年提出的,是求解0-1规划问题的一种有效方法。
它只检查一部分变量组合,在这过程中根据已有信息自动舍弃许多不可能成为最优解的组合,求得最优解,从而大大减少了工作量。
隐枚举法只需比较目标函数在小部分组合点上的取值大小,就能求得最优解和最优值。
2 问题描述与建模2.1 问题描述某高校采用通过专家面试的方式进行自主招生,经过初选合格进入面试的考生有N人,拟聘请老师M人进行面试。
每位学生要分别接收“面试组”每位老师的单独面试,每个面试组由4名老师组成。
已知要求面试不同考生的“面试组”成员不能完全相同。
试求在考生数N已知的条件下,聘请老师数M至少应为多大,才能做到任两位学生的“面试组”都没有两位面试老师相同。
2.2 数学建模该问题是一个单目标规划问题,解决的是满足一定约束条件要求,计算在给出一定的学生人数下,所需要教师的最少人数。
根据实际情况分析,一般面试学生的个数要远大于教师的个数。
因为教师人数较少,容易进行分组(即按照约束条件将教师每4人分成一组),满足约束条件的情况下,所能组合的最大组数目即可面试学生的最大人数[3～4]。
运筹学与最优化方法习题集
一．单纯性法一．单纯性法1.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 122121212max 25156224..5,0z x x x x x s t x x x x =+£ìï+£ïí+£ïï³î 2.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 12121212max 2322..2210,0z x x x x s t x x x x =+-³-ìï+£íï³î 3.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 1234123412341234max 24564282..2341,,,z x x x x x x x x s t x x x x x x x x =-+-+-+£ìï-+++£íï³î4.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 123123123123123max 2360210..20,,0z x x x x x x x x x s t x x x x x x =-+++£ìï-+£ïí+-£ïï³î 5.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 12312312123max 224..26,,0z x x x x x x s t x x x x x =-++++£ìï+£íï³î6.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 12121212max 105349..528,0z x x x x s t x x x x =++£ìï+£íï³î7.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 16 分）分） 12121212max 254212..3218,0z x x x x s t x x x x =+£ìï£ïí+£ïï³î二．对偶单纯性法二．对偶单纯性法1.灵活运用单纯形法和对偶单纯形法解下列问题（共灵活运用单纯形法和对偶单纯形法解下列问题（共 15 分）分）12121212max 62..33,0z x x x x s t x x x x =++³ìï+£íï³î 2.灵活利用单纯形法和对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共灵活利用单纯形法和对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 121212212max 3510501..4,0z x x x x x x s t x x x =++£ìï+³ïí£ïï³î 3.用对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共用对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 1212121212min 232330210..050z x x x x x x s t x x x x =++£ìï+³ïï-³íï³ïï³î4.灵活运用单纯形法和对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共灵活运用单纯形法和对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 124123412341234min 262335,,,0z x x x x x x x s t x x x x x x x x =+-+++£ìï-+-³íï³î5.运用对偶单纯形法解下列问题（共运用对偶单纯形法解下列问题（共 16 分）分） 12121212max 24..77,0z x x x x s t x x x x =++³ìï+³íï³î6.灵活运用单纯形法和对偶单纯形法解下列问题（共灵活运用单纯形法和对偶单纯形法解下列问题（共 15 分）分） 12121212max 62..33,0z x x x x s t x x x x =++³ìï+£íï³î三．0-1整数规划整数规划1.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共型整数规划问题（共10 分） 12345123451234512345123345max 567893223220..32,,,,,01z x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x or =++++-++-³ìï+--+³ïí--+++³ï=î 2.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共型整数规划问题（共 10 分） 12312312323123min 4322534433..1,,01z x x x x x x x x x s t x x x x x or =++-+£ì++³ïí+³ïï=î 3.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共型整数规划问题（共 10 分） 1234512345123451234512345max 20402015305437825794625..81021025,,,,01z x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x =++++++++£ìï++++£ïí++++£ïï=î或 4.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共型整数规划问题（共10 分） 12345123451234512345max 2534327546..2420,,,,01z x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x =-+-+-+-+£ìï-+-+£íï=î或 5.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共型整数规划问题（共10 分） 12341234123412341234min 25344024244..1,,,01z x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x =+++-+++³ì-+++³ïí+-+³ïï=î或6.7.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共型整数规划问题（共10 分） 123451234513451245max 325232473438..116333z x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x =+--+++++£ìï+-+£ïí-+-³ï 1231231231223max 3252244..346z x x x x x x x x x s t x x x x =-++-£ìï++£ïï+£íï+£ïï=四.K-T 条件条件1.利用库恩-塔克（K-T ）条件求解以下问题（共）条件求解以下问题（共 15 分）分）22121122121212max ()104446..418,0f X x x x x x x x x s t x x x x =+-+-+£ìï+£íï³î2.利用库恩-塔克（K-T ）条件求解以下非线性规划问题。
整数规划习题
（2）max z 3x2 3x1 2x2 7 x x 1－ 2 －2 x1 0,x2 0
x1、x 2 均是整数
3. 用隐枚举法求解下列 0-1规划问题:
（1）max z 2x1－x2＋5x3 3x4 4x5 3x1 2x2 7x3 5x4 4x5 6 x1 x2 2x3 4x4 2x5 0 xj 0 或（1 j 1,2,3,4,5)
（2）min z 2x1 5x2＋3x3 4x4 4x1 x2 x3 x4 0 2x1 4x2 2x3 4x4 4 x1 x2 x3 x4 1 xj 0 或（1 j 1,2,3,4)
4. 有四个工人，要分别指派他们完成四项 不同的工作，每人做各项工作所消耗的 时间如表题2.4。问应该如何指派，才 能使总的消耗时间为最少？
• 什么是隐枚举法,为什么说分支定界法也是一种隐枚举 法。
判断题
• 整数规划解的目标函数值一般优于其相应的线性规划 问题的解的目标函数值;
• 用分枝定界法求解一个极大化的整数规划问题时,任何 一个可行解的目标函数值是该问题目标函数值的下界;
• 用分支定界法求解一个极大化的整数规划问题,当得到 多于一个可行解时,通常任取其中一个作为下界值,再 进行比较剪枝;
x1 0,x2 0
x1、x 2 均是整数
（2）max z 5x1 8x2 x1 x2 6 5x1 9x2 45 x1 0,x2 0
x1、x 2 均是整数
2．分别用穷举法和割平面法求解下列整数规划 问题:
（1）max z x1 x2 2x1 x2 6 4x1 5x2 20 x1 0,x2 0
运筹学作业参考答案
《运筹学》作业参考答案作业一一、是非题：1.图解法与单纯形法虽然求解的形式不同，但从几何上理解，两者是一致的。
（√）2.线性规划问题的每一个基解对应可行解域的一个顶点。
（╳）3.如果线性规划问题存在最优解，则最优解一定可以在可行解域的顶点上获得。
（√）4.用单纯形法求解Max型的线性规划问题时，检验数Rj＞0对应的变量都可以被选作入基变量。
（√）5.单纯形法计算中，如果不按最小比值规划选出基变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值为负。
（√）6.线性规划问题的可行解如为最优解，则该可行解一定是基可行解。
（╳）7.若线性规划问题具有可行解，且可行解域有界，则该线性规划问题最多具有有限个数的最优解。
（╳）8.对一个有n个变量，m个约束的标准型线性规划问题，其可行域的顶点数恰好为mnC个。
（╳）9.一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，而不影响计算结果。
（√）10.求Max型的单纯形法的迭代过程是从一个可行解转换到目标函数值更大的另一个可行解。
（√）二、线性规划建模题：1.某公司一营业部每天需从A、B两仓库提货用于销售，需提取的商品有：甲商品不少于240件，乙商品不少于80台，丙商品不少于120吨。
已知：从A仓库每部汽车每天能运回营业部甲商品4件，乙商品2台，丙商品6吨，运费200元/每部；从B仓库每部汽车每天能运回营业部甲商品7件，乙商品2台，丙商品2吨，运费160元/每部。
问：为满足销售量需要，营业部每天应发往A、B两仓库各多少部汽车，并使总运费最少？解：设营业部每天应发往A、B两仓库各x1，x2部汽车,则有：12 121212min200160 47240 2280 621200(1,2)jW x xx xx xx xx j=++≥⎧⎪+≥⎪⎨+≥⎪⎪≥=⎩2.现有一家公司准备制定一个广告宣传计划来宣传开发的新产品，以使尽可能多的未来顾客特别是女顾客得知。
ch5-40-1规划与隐枚举法
c1x1 c2 x2 cn xn Z0
(*)
当求最小值时，上式改为小于等于约束；
3. 列出所有可能解，对每个可能解先检验式（*），若满足再检 验其它约束，若不满足式（*），则认为不可行，若所有约束都 满足，则认为此解是可行解，求出目标值；
4. 目标函数值最大（最小）的解就是最优解。
作业：教材P135 T5.6
指派问题 Exit
(1) (2) (3)
x j 0或1 j 1,2,3
【解】容易求得X＝(1,0,0)是一可行解，Z0＝6。加一个约束
6x1 2x2 3x3 6
(0)
由于3个变量每个变量取0或1，共有8种组合，用列表的方法检验每 种组合解是否可行解，满足约束打上记号“√”，不满足约束打上 记号“ ×”，计算如表5－3所示。
（1，0，0） √
√
√
√
6
（1，0，1） √ （1，1，0） √
√
√
√
9
√
×
（1，1，1） √
×
由表5－3知，X＝（1，0，1）是最优解，最优值Z＝9。
§5.4 0－1规划
Ch5Integer Programming
Binary Integer Programming
2019年5月1日星期三 Page 4 of 4
§5.4 0－1规划
Ch5Integer Programming
Binary Integer Programming
2019年5月1日星期三 Page 1 of 4
求解0－1整数规划的隐枚举法(Implicit Enumeration Method)
隐枚举法的步骤：
1.找出任意一可行解，目标函数值为Z0； 2. 原问题求最大值时，则增加一个约束
第四章整数规划与分配问题习题
1
0
X1 32/7 1 0 0 1/7 -1/7 0
X3 11/7 0 0 1 1/7 -22/7 0
S1 -4/7 0 0 0 [-1/7] -6/7 1
Cj—Zj
0 0 0 -1
-8
0
X2 3
0
00
1
0
X1 4 1 0 0 0
-1 1
X3 1 0 0 1 0
-4 1
X4 4 Cj—Zj
0001 0000
解：
（1）
LP（1）
1 x1 = 39
7 x2 = 29
5 Z1 = 329
z = 32 5 9
z = 28
x1≤3 LP（4） x1 = 3 x2 = 2 z4 = 28
剪去
x2≤2
x2≥3
LP（2） 1
x1 = 32 x2 = 2
z2 = 31
LP（3） 2
x1 = 25
x2 = 3 4
z3= 315
x3* = (1,2)T , z * = 3 由于表 3(b)中一非基变量x5的检验数为 0，故让x5进量，用单纯形法迭代一次，得另一最优解
（见表 4）：
x3* = (2,1)T , z * = 3
8、 用完全枚举法求解 0—1 规划问题.
max z = 3x1 − 2x2 + 5x3 s.t. x1 + 2x2 − x3 ≤ 2
变换效益矩阵：
⎛0 1 2 3⎞⎛0 ⎞ ⎛0 1 2 3⎞ ⎛ⓞ Ø 2 3 ⎞
Ci'j
=
⎜ ⎜ ⎜
7 8
6 9
5 9
4 8
⎟ ⎟ ⎟
⎜ ⎜ ⎜
−4 −8
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三、线形整数规划习题（隐枚举法）
某长输管道泵站配有6台输油泵，串联使用。
现要求泵站工作点为Q=2000m 3
/h,H=550m.当输量Q=2000m 3
/h 时，各台泵的扬程及相应的电耗见下表：
试确定一个最优泵组合方案，使所耗的总功率最小。
解 ：该问题的数学模型如下：
6543211150110010201000530365m in x x x x x x s +++++=
⎩
⎨
⎧-==≥+++++611,0550
2002001801809060..654321j x x x x x x x t s j 按约束条件的系数由达到小的顺序将相应的变量排列起来：
6543213655301000102011001150m in x x x x x x s +++++=
⎩
⎨
⎧-==≥+++++611,0550
60901801802000200..123456j x x x x x x x t s j
用隐枚举法求解，步骤如下：
1. NFREE={+6}，FREE={5,4,3,2,1}，X=(0,0,0,0,0,1)T
,S=1150,R(X)=200<550,
X 不可行。
令S =+∞
2. NFREE={+6,+5}，FREE={4,3,2,1}，X=(0,0,0,0,1,1)T ,S=2250,R(X)=400<550,
X 不可行。
3. NFREE={+6,+5,+4},FREE={3,2,1},X=(0,0,0,1,1,1)T
,S=3270,R(X)=580>550, X 可行。
因S<S ,故令S =S=3270.
从这可知,每一个可行的泵组合中至少应有三台泵. 4. 因已得到可行解,故应从NFREE 中退出+4,则:
NFREE={+6,+5-4},FREE={3,2,1},X=(0,0,0,0,1,1)T ,S=2250, Bound=S -S=1020
5. 因C 3=1000<Bound,故将+3进入到NFREE:
NFREE={+6,+5,-4,+3},FREE={2,1},X=(0,0,1,0,1,1)T,S=3250,R(X)=580>550,
X可行。
因S<S,故令S-=S=3250.
6.因已得到可行解,故应从NFREE中退出+3,则:
NFREE={+6,+5,-4,-3},FREE={2,1},X=(0,0,0,0,1,1)T,S=2250, Bound=S-S=1000 7.因C2=530<Bound,故将+2进入到NFREE:
NFREE={+6,+5,-4,-3,+2},FREE={1},X=(0,1,0,0,1,1)T,S=2780,R(X)=490<550,
X不可行。
8.NFREE={+6,+5,-4,-3,+2,+1},FREE=Ф, X=(1,1,0,0,1,1)T, S=3145,R(X)=550=550, X可行。
因S<S,故令S=S=3145.
9.因已得到可行解,故应从NFREE中退出+5,因要满足三台泵的要求则:
NFREE={+6,-5,+4,+3}，FREE={2,1}，X=(0,0,1,1,0,1)T,S=3170>S,X不可行. 10.故应从NFREE中退出+3:
NFREE={+6,-5,+4,-3},FREE={2,1},X=(0,0,0,1,0,1)T,S=2170, Bound=S-S=1000 11.因C2=530<Bound,故将+2进入到NFREE:
NFREE={+6,-5,+4,-3,+2},FREE={1},X=(0,1,0,1,0,1)T,S=2900,R(X)=470<550,
X不可行.
12.NFREE={+6,-5,+4,-3,+2,+1}，FREE=Ф，X=(1,1,0,1,0,1)T,S=3265>S,
X不可行.
13.故应从NFREE中退出+4, 因要满足三台泵的要求:
NFREE={+6,-5,-4,+3,+2},FREE={1},X=(0,1,1,0,0,1)T,S=2680,R(X)=470<550,
X不可行.
14.NFREE={+6,-5,-4,+3,+2,+1},FREE=Ф，X=(1,1,1,0,0,1)T,S=3045,R(X)=530<550, X不可行.
故应从NFREE中退出+6, 因要满足三台泵的要求:
15.NFREE={-6,+5,+4,+3}，FREE={2,1}，X=(0,0,1,1,1,0)T,S=3120,R(X)=560>550,
X可行. 因S<S,故令S-=S=3120.
16.故应从NFREE中退出+3,
NFREE={-6,+5,+4,-3},FREE={2,1},X=(0,0,0,1,1,0)T,S=2120,
Bound=S-S=1000
17.因C2=530<Bound,故将+2进入到NFREE:
NFREE={-6,+5,+4,-3,+2},FREE={1},X=(0,1,0,1,1,0)T,S=2650,R(X)=470<550,
X不可行.
18.NFREE={-6,+5,+4,-3,+2,+1},FREE=Ф, X=(1,1,0,1,1,0)T,S=3015,R(X)=530<550, X不可行.
19.故应从NFREE中退出+4, 因要满足三台泵的要求:
NFREE={-6,+5,-4,+3,+2},FREE={1},X=(0,1,1,0,1,0)T,S=2630,R(X)=470<550,
X不可行.
20.NFREE={-6,+5,-4,+3,+2,+1}, FREE=Ф, X=(1,1,1,0,1,0)T,S=2995,R(X)=530<550, X不可行.
21.故应从NFREE中退出+4, 因要满足三台泵的要求:
NFREE={-6,-5,+4,+3,+2},FREE={1},X=(0,1,1,1,0,0)T,S=2550,R(X)=450<550,
X不可行.
22.NFREE={-6,-5,+4,+3,+2,+1},FREE=Ф, X=(1,1,1,1,0,0)T,S=2915,R(X)=510<550, X不可行.
综上:最优解为: X=(0,0,1,1,1,0)T S=3120。