初等代数研究(1)

绪言一、“代数学”的起源及几种历史观点⒈“代数学”的起源公元820年前后时，花剌子模数学家和天文学家穆罕默德·伊本·穆斯·阿里·花剌子模的著作《Kitab al jabrw’al-mugabala》，意思是“整理”和“对比”。

到14世纪，aljabr演变成了algebra，这就是拉丁文的“代数学”。

其中Algoritmi是花拉子模的拉丁译名，现代术语“算法”（Algorithm）即源于此。

代数的基础就是脱离了具体数字在一般形态上形式地加以考察的关于算术的学说。

代数的课题首要就是字母表示的式的变换和解方程的规则和方法。

所以，代数这个名称的起源完全符合这门科学本身的内容。

算术→初等代数→高等代数→近世代数。

⒉历史观点⑴Ⅰ16世纪后期，视为普遍化的算术；Ⅱ17世纪60年代，各种量的计算理论；⑵18世纪末至19世纪初，代数方程的解法；⑶19世纪至今，研究各种代数结构。

二、“代数学”的定义“代数学”的定义——初等代数学（或称古典代数学）是更古来的算术的推广和发展；抽象代数学（曾称近世代数学）则是在初等代数学的基础上发生、发展，而于20世纪形成的。

“初等代数学”——研究数字和文字的代数运算（加法、减法、乘法、除法、乘方、开方）的理论和方法；更确切点说，研究实数或复数和以它们为系数的多项式的代数运算的理论和方法。

三、为什么数应专业学生要学习本门课程中学数学教师的历史使命第一章自然数一、数系的历史发展⑴数学思维对象与实体的分离数的概念的产生和发展人类在朦胧时代就已具有识别事物多寡的能力。

在人类开始数数之前，人类是根据物体样子的差别来判断物体是多还是少。

从这种原始的“数觉”到抽象的“数”概念的形成，是一个缓慢的、渐进的过程。

原始人先是注意到一只羊与许多羊、一头狼与整群狼的区别，逐渐看到一只羊、一头狼、一条鱼之间存在着某种共通的东西，即他们的单位性。

数：一定物群所共有的抽象性质。

“数”概念的形成可能与火的使用一样古老，大约是在30万年以前。

Ⅰ最早是手指计数。

十进制、五进制多发于此。

Ⅱ石子计数。

但计数的石子堆很难长久保存信息。

Ⅲ结绳计数、刻痕计数。

人类刻痕计数发现的最早证据，是1937年在捷克摩拉维亚出土的幼狼胫骨，其上有55道刻痕。

历史途径扩展：*自然数{} 3,2,1→正有理数→简单的代数无理数（如32,2+等）→零（公元650年左右，印度）与负有理数→复数→严格的实数系。

逻辑扩展：自然数−−−−→−添加负数和零整数系−−−→−作分数域有理数系−−−−−→−作柯西序列等价类实数系−−−−→−次代数扩展作2复数系。

自然数是人类最早认识的数。

我们研究初等代数就从这最基本的对象开始。

二、自然数系和0⑴自然数的基数理论和序数理论 ①建立自然数理论的几种方案Ⅰ康托尔以集合论为基础，建立自然数基数理论； Ⅱ皮亚诺以公理法为基础，建立自然数序数理论； Ⅲ罗素等人试图用纯逻辑学为基础，建立自然数理论。

②自然数的基数理论 ⑴康托尔简介德国人。

1846年3月3日出生于俄国彼得堡。

康托尔曾先后就学于苏黎世大学、哥廷根大学、法兰克福大学和柏林大学，主要学习数学、物理、哲学等课程。

1867年获得柏林大学的哲学博士学位。

康托尔是集合论的创始人。

为了将有穷集合的元素个数的概念推广到无穷几何，他以一一对应为原则，提出了集合等价的概念。

康托尔在深入研究集合的势这个概念时，引进了基数与序数的理论。

⑵定义 分别给出《现代汉语词典》以及小学数学课本中对于自然数的定义：“正整数，即1，2，3，…”以及“表示物体个数的一种数”。

找出定义自然数的关键：把“物体”、“个数”这两个词形式化 物体：集合（具有某种属性的一些对象组成的一个整体） 个数：基数（等价集合在数量上所具有的共同特征）有限集的基数叫做自然数。

所有等价于{}φ的集合的基数，用符号1表示，类似地，{}{}2,=φφ {}{}{}{}3,,=φφφ…………一切自然数组成的集合，叫做自然数集，记为NⅡ顺序。

)(a 顺序定义如果有限集B A ,的基数分别为b a ,。

那么， 当B A ~时，说a 等于b ，记作b a =； 当B B A ⊂'~时，就说a 小于b ，记作b a <； 当B A A ~'⊃时，就说a 大于b ，记作b a >。

()b 顺序性质⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧）（三歧性传递性对逆性大小（全序性））、传递性（相等。

反身性、对称性与21Th Th b a c a c b b a N c b a a b b a N b a a a N a Th ===∈∀==∈∀=∈∀则若⑶则若⑵有⑴,,,,,,,,,1中有且只有一个成立。

在⑶则若⑵时，当且仅当⑴b a b a b a N b a ca cb b a Nc b a a b b a N b a Th >=<∈∀<<<∈∀><∈∀,,,,,,,,,,,2。

，即，于是，且，这就有集合，使得、。

根据定义，存在集合，都是有限集，、、⑵设。

时，；同理，当时，当即则。

则存在都是有限集。

证：⑴设c a C C C A B C C C C C B B B A C B c C b B a A C B A b a a b a b A B B B B A B B b B a A B A <⊂'⊂'''⊂'''⊂''⊂'⊂'''===<>>'⊃⊂'⊂'==~~,~,~.~,,,Ⅲ运算 ()a 运算定义加法定义：设B A ,都是有限集。

φ=⋂==B A b B a A 且,,，则B A ⋃的基数为a 加上b 的和，记作b a +。

乘法定义：若b 个有限集b A A A ,,,21 彼此之间没有公共元素，它们的基数都是a ，则称b A A A ⋃⋃⋃ 21的基数为a 乘以b 的积，记作b a ⨯。

()b 运算性质3Th 自然数的加法满足交换律和结合律。

4Th （乘法交换律）ba ab N b a =∈∀恒有,。

5Th （乘法结合律）。

恒有c ab bc a N c b a )()(,,=∈∀6Th （乘法对加法的分配律）()()。

总有ca ba a c b ac ab c b a N c b a +=++=+∈∀,,,, ()()()()()()caba c c c b b b c b c b c b a c b a a a +=+++++++++++++=+个个个＝析：③自然数的序数理论 Ⅰ提出原因基数理论没有很好揭露自然数在顺序上的意义，也没有给出自然数加法、乘法运算的具体方法。

Ⅱ定义集合N 的元素叫做自然数。

如果N 的元素间有一个基本关系“后继”（用“+”表示），并满足()a N ∈1()b N a N a ∈∈∀+有唯一的, ()c 1,不是+∈∀a N a()d b a b a N b a =∈∀++相同，则与若,,()e （归纳公理）。

则有；且若N M M a M a M N M =∈∈︒∀∈︒⊆+,211, 注：归纳公理是数学归纳法的理论依据。

Ⅲ顺序)(a 顺序定义等于：b a b a N b a =∈∀++相同，则与若,,。

小于：。

，记为大于则称，使得，且存在若b a b a k b a N k N b a >+=∈∈,, ()b 顺序性质自然数的顺序关系具有对逆性、传递性和全序性。

Ⅳ运算)(a 运算定义加法：自然数的加法是一种对应关系“+”，由于它，对任何N b a ∈,，有唯一确定的N b a ∈+，并且()()++++=+=+)(2;11b a b a a a 。

乘法：自然数的乘法是一种对应关系“·”，由于它，对任何N b a ∈,，有唯一确定的N b a ∈+，并且()()a b a b a a a +⋅=⋅=⋅+2;11。

减法：设N b a ∈,，若存在N x ∈，使a x b =+，则称x 为a 减去b 的差，记作b a -，这里a 叫做被减数，b 叫做减数。

求两数差的运算叫做减法。

除法：设N b a ∈,，若存在N x ∈，使a bx =，则称x 为a 除以b 的商，记作b a |，这里a 叫做被除数，b 叫做除数。

求两数商的运算叫做除法。

例1 证明532=+54)22(2232,43)12(12223212==+=+=+∴==+=+=+=+=++++++，＝证例2 证明632=⋅6242222232,42121222212=+=+⋅=⋅=⋅∴=+⋅=⋅=⋅=⋅+++，证()b 运算性质加法的唯一性、结合律、交换律；乘法的唯一性、结合律、交换律。

自然数列的离散性：任意两个相邻的自然数a 与+a 之间不存在自然数b ，使+<<a b a 。

阿基米德性：对任意N b a ∈,，必有b na N n >∍∈,。

（右分配律）对任何N c b a ∈，，，总有()bc ac c b a +=⋅+()的任意性，得证。

、又由因此，，于是，则假定。

组成的集合为有的设使上面等式成立的所证b a N M Mc bc ac b bc a ac b a bc ac b a c b a c b a M c Mb a b a b a Mc .)()()()()(1,111=∈+=+++=+++=+++=⋅+∈∈∴⋅+⋅=+=⋅+++++⑵关于自然数系的几点说明⒈定义了加法和乘法运算的自然数系统也称为算术系统。

⒉公理系统的一个基本要求是公理之间的在逻辑上的相容性，也就是说必须保证从公理出发不会推导出两个矛盾的命题。

⒊整数的算术运算系统中存在大量的数论难题。

⑶自然数和0扩大的自然数集：含0在基数理论中，把空集的基数定义为“零”，在序数理论中把“零”作为1的先行数，这样便构成了扩大的自然数集。

“自然数”这一术语首先被罗马学者波伊修斯使用。

我国数学教科书中在20世纪90年代之前一直没有把0作为自然数。

1993年《中华人民共和国国家标准》中《量和单位》311页规定自然数包括0。

从集合论的角度看，把0作为自然数比较合理。

{}{}{}{}{}{}() ,,,,,,,,φφφφφφφφ将这一系列集合所对应的基数看成自然数列数学归纳法⒈数学归纳法的几种形式⑴（第一数学归纳法）设)(n P 是关于自然数n 的命题，若Ⅰ)(n P 在1=n 时成立Ⅱ)(k P （k 是任意自然数）成立的假设下可以推出)1(+k P 成立。

则)(n P 对一切自然数n 都成立。

证明：设M 是使命题成立的所有自然数组成的集合，则由ⅠM ∈1；Ⅱ若M k ∈，则M k ∈+ 由归纳公理，得证。