(完整版)概率论第四章答案

习题4-11. 设随机变量X求()E X ；E (2－3 X );2()E X ；2(35)E X +.解由定义和数学期望的性质知2.03.023.004.0)2()(-=⨯+⨯+⨯-=X E ; (23)23()23(0.2) 2.6E X E X -=-=-⨯-=; 8.23.023.004.0)2()(2222=⨯+⨯+⨯-=X E ; 4.1358.235)(3)53(22=+⨯=+=+X E X E . 2. 设随机变量X 的概率密度为,0,()0,0.xe xf x x -⎧>⎪=⎨⎪⎩≤求Xe Z X Y 22-==和的数学期望.解()(2)2()22x E Y E X E X x x ∞-====⎰e d ,2201()()3Xx x E Z E ee e dx ∞---==⋅=⎰. 3. 游客乘电梯从底层到电视塔顶观光, 电梯于每个整点的第5分钟、第25分钟和第55分钟从底层起行. 假设一游客在早八点的第X 分钟到达底层侯梯处, 且X 在区间[0, 60]上服从均匀分布. 求该游客等候电梯时间的数学期望. 解已知X 在[0,60]上服从均匀分布, 其概率密度为1,060,()600,.x f x =⎧⎪⎨⎪⎩≤≤其它记Y 为游客等候电梯的时间,则5,05,25,525,()55,2555,65,5560.X X X X Y g X X X X X -<-<==-<-<⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≤≤因此, 6001()[()]()()()60E Y E g X g x f x dx g x dx ∞-∞===⎰⎰()5255560525551(5)(25)(55)(65)60x dx x dx x dx x dx =-+-+-+-⎰⎰⎰⎰=11.67(分钟)..14. 某保险公司规定, 如果在一年内顾客的投保事件A 发生, 该公司就赔偿顾客a 元. 若一年内事件A 发生的概率为p , 为使该公司受益的期望值等于a 的10％, 该公司应该要求顾客交多少保险费？解设保险公司要求顾客交保费c 元. 引入随机变量⎩⎨⎧=.A ,0,A 1不发生事件发生事件，X 则{1},{0}1P X p P X p ====-. 保险公司的受益值1,,0.c a X Y c X -=⎧=⎨=⎩，于是 ()(){1}{0}E Y c a P X c P X ap c =-⨯=+⨯==-+. 据题意有10%ap c a -+=⨯, 因此应要求顾客角保费(0.1)c p a =+.习题4-21. 选择题(1) 已知(1,(3))E D X X =-= 则2[3(2)]()E X-=.(A) 9. (B) 6. (C) 30. (D) 36. 解22[3(2)]3(44)E X E X X -=-+23[()4()4]E X E X =-+23{()[()]4()4}D X E X E X =+-+ 3(3144)36=⨯+++=.可见，应选(D).(2) 设~(,),(6,( 3.6))B n p E D X X X ==, 则有( ).(A)10, 0.6n p ==. (B) 20, 0.3n p ==. (C) 15, 0.4n p ==. (D) 12, 0.5n p ==.解因为~(,),B n p X 所以E (X )=n p,D (X )=np (1-p ), 得到np =6, np (1-p )=3.6 . 解之,n=15 , p =0.4 . 可见，应选(C).(3) 设X 与Y 相互独立，且都服从2(,)N μσ, 则有( ).(A) ()()()E X Y E X E Y -=+. (B) ()2E X Y μ-=.(C)()()()D X Y D X D Y -=-. (D) 2()2D X Y σ-=.解注意到0)()()(=-=-Y E X E Y XE .由于X 与Y 相互独立,所以22)()()(σ=+=-Y D X D Y X D . 选(D).(4) 在下列结论中, 错误的是( ).(A) 若~(,),().X B n p E X np =则(B) 若()~1,1X U -，则()0D X =. (C) 若X 服从泊松分布, 则()()D X E X =.(D) 若2~(,),X N μσ 则~(0,1)X N μσ-.解)1,1(~-U X , 则3112212)()(22==-=a b X D . 选(B). 2. 已知X , Y 独立, E (X )= E (Y )=2, E (X 2)= E (Y 2)=5, 求E (3X -2Y ),D (3X -2Y ).解由数学期望和方差的性质有E (3X -2Y )= 3E (X )-2 E (Y )=3×2-2×2=2,(32)9()4()D X Y D X D Y -=+})]([)({4})]([)({92222Y E Y E X E X E -⨯+-⨯=13)45(4)45(9=-⨯+-⨯=.3. 设随机变量X 1, X 2, X 3相互独立, 其中X 1服从区间[0, 6]上的均匀分布,22~0,2X N （）, 3~3X P （）, 记12323Y X X X =-+, 求E (Y )和D (Y ) .解由题设知21122(60)()3,()3,()0,()4,12E X D X E X D X -=====3321111(),()39E X D X λλ====.由期望的性质可得123123()(23)()2()3()13203 4.3E Y E X X X E X E X E X =-+=-+=-⨯+⨯=又123,,X X X 相互独立, 所以123123()(23)()4()9()1344920.9D Y D X X X D X D X D X =-+=++=+⨯+⨯=4. 设两个随机变量X 和Y 相互独立, 且都服从均值为0, 方差为12的正态分布, 求||X Y -的的期望和方差.解记UX Y =-. 由于11~(0,),~(0,)22X N Y N , 所以()()()0,E U E X E Y =-= ()()()1D U D X D Y =+=.由此~(0,1)U N . 进而2222220 (||)(||)||x x xE X Y E U x dx xe dx e+∞---+∞+∞-∞-====⎰2222(||)()()[()]101E U E U D U E U==+=+=.故而2222 (||)(||)(||)[(||)]11D X Y D UE U E Uπ-==-=-=-.5. 设随机变量]2,1[~-UX, 随机变量⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=.0,1,0,0,0,1XXXY求期望()E Y和方差)(YD.解因为X的概率密度为1,12,()30,.Xxf x-=⎧⎪⎨⎪⎩≤≤其它于是Y的分布率为00--11{1}{0}31()d d3XP Y P X f x x x∞=-=<===⎰⎰,{0}{0}0P Y P X====,+2002{1}{0}31()d d3XP Y P X f x x x∞==>===⎰⎰.因此121()1001333E Y=-⨯+⨯+⨯=,222212()(1)001133E Y=-⨯+⨯+⨯=.故有2218()()[()]199D YE Y E Y=-=-=.6. 设随机变量U在区间[-2, 2]上服从均匀分布, 随机变量1,1,1, 1.UXU--=>-⎧⎨⎩若≤若1,1,1, 1.UYU-=>⎧⎨⎩若≤若求E(X+Y), D(X+Y).解(1) 随机变量(X, Y)的可能取值为(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1).{1,1}{P X Y P U =-=-=≤1,U -≤-1-211}{1}41d 4P U x =-==⋅⎰≤, {1,1}{P X Y P U =-==≤1,U -1}0>=, {1,1}{1P X Y P U ==-=>-,U ≤1111}21d 4x -==⋅⎰, 211{1,1}{1,1}41d 4P X Y P U U x ===>->==⋅⎰.于是得X 和Y 的联合密度分布为(2) Y X +和)(Y X +的概率分布分别为由此可见22()044E X Y +=-+=;2()[()]2D X Y E X Y +=+=.习题4-31. 选择题(1) 在下列结论中, ( )不是随机变量X 与Y 不相关的充分必要条件(A) E (XY )=E (X )E (Y ). (B) D (X +Y )=D (X )+D (Y ). (C) Cov(X ,Y )=0. (D) X 与 Y 相互独立.解 X 与 Y 相互独立是随机变量X 与Y 不相关的充分条件,而非必要条件. 选(D).(2) 设随机变量X 和Y 都服从正态分布, 且它们不相关, 则下列结论中不正确的是( ).(A) X 与Y 一定独立. (B) (X , Y )服从二维正态分布. (C) X 与Y 未必独立. (D) X +Y 服从一维正态分布.解对于正态分布不相关和独立是等价的. 选(A).(3) 设(X , Y )服从二元正态分布, 则下列说法中错误的是( ).(A) (X , Y )的边缘分布仍然是正态分布.(B) X 与Y 相互独立等价于X 与Y 不相关. (C) (X , Y )是二维连续型随机变量.(D)由(X , Y )的边缘分布可完全确定(X , Y )的联合分布. 解仅仅由(X , Y )的边缘分布不能完全确定(X , Y )的联合分布. 选(D)2 设D (X )=4, D (Y )=6, ρXY =0.6, 求D (3X -2Y ) .解(32)9()4()12Cov(,)D X Y D X D Y X Y -=+-)()(126449Y D X D XY ⨯⨯-⨯+⨯=ρ727.24626.0122436≈⨯⨯⨯-+=.3. 设随机变量X , Y 的相关系数为5.0, ,0)()(==Y E X E 22()()2E X E Y ==,求2[()]E XY +.解222[()]()2()()42[Cov(,)()()]E X Y E X E XY E Y X Y E X E Y +=++=++42420.526.ρ=+=+⨯⨯=4. 设随机变量(X , Y )若E (XY )=0.8, 求常数a ,b 解首先由∑∑∞=∞==111i j ijp得4.0=+b a . 其次由0.8()100.420110.2210.22E XY a b b ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+ 得3.0=b . 进而1.0=a . 由此可得边缘分布律于是 , . 故 Cov(,)()()()0.8 1.40.50.1X Y E XY E X E Y =-=-⨯=.5. 已知随机变量(,)~(0.5,4;0.1,9;0)X Y N , Z =2X -Y , 试求方差D (Z ), 协方差Cov(,)X Z , 相关系数ρXZ .解由于X ,Y 的相关系数为零, 所以X 和Y 相互独立(因X 和Y 服从正态分布). 因此25944)()(4)2()(=+⨯=+=-=Y D X D Y X D Z D ,Cov(,)Cov(,2)2Cov(,)Cov(,)2()08X Z X X Y X X X Y D X =-=-=-=.因此80.825XZ ρ===⨯. 6. 设随机变量(X , Y )服从二维正态分布: 2~(1,3)X N , 2~(0,4)Y N ; X 与Y 的相关系数1,232XYX YZ ρ=-=+. 求: (1) E (Z ), D (Z )； (2) X 与Z 的相关系数ρXZ ; (3)问X 与Z 是否相互独立?为什么?解 (1) 由于)3,1(~2N X , )4,0(~2N Y , 所以16)(,0)(,9)(,1)(====Y D Y E X D X E ,而1Cov(,)3462XY X Y ρ==-⨯⨯=-.因此 31021131)(21)(31)23()(=⨯+⨯=+=+=Y E X E Y X E Z E ,1111()()()()2Cov(,)329432X Y D Z D D X D Y X Y =+=++111916Cov(,)943X Y =⨯+⨯+3)6(3141=-⨯++=.(2) 由于1111Cov(,)Cov(,)()Cov(,)9(6)0,323232XY X Z X D X X Y =+=+=⨯+⨯-= 所以0XZ ρ==.(3) 由0=XZ ρ知X 与Z 不相关, 又X 与Z 均服从正态分布, 故知X 与Z 相互独立.7．证明: 对随机变量(X , Y ), E (XY )=E (X )E (Y )或者D (X ±Y )=D (X )+D (Y )的充要条件是X与Y 不相关.证首先我们来证明)()()(Y E X E XY E =和()()()D X Y D X D Y ±=+是等价的.事实上, 注意到()()()2Cov(,)D X Y D X D Y X Y ±=+±.因此()()()D X Y D X D Y ±=+Cov(,)0()()()X Y E XY E X E Y ⇔=⇔=.其次证明必要性. 假设E (XY )=E (X )E (Y ), 则Cov(,)()()()0X Y E XY E X E Y =-=.进而0XYρ==, 即X 与Y 不相关.最后证明充分性. 假设X 与Y 不相关, 即0=XYρ, 则Cov(,)0X Y =. 由此知)()()(Y E X E XY E =.总习题四1. 设X 和Y 是相互独立且服从同一分布的两个随机变量, 已知X 的分布律为1{},1,2,33P X i i ===. 又设max{,},min{,}U X Y V X Y ==.(1) 写出二维随机变量(U , V )的分布律; (2) 求()E U .解 (1) 下面实际计算一下{1,3}P UV ==.注意到max{,},min{,}U X Y V X Y ==, 因此{1,3}{1,3}{3,1}P U V P X Y P X Y =====+=={1}{3}{3}{1}P X P Y P X P Y ===+==9231313131=⨯+⨯=.(2) 由(,)U V 的分布律可得关于U 的边缘分布律所以13522()1239999E U =⨯+⨯+⨯=. 2. 从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗. 假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的, 并且概率是25. 设X 为途中遇到红灯的次数, 求随机变量X 的分布律、分布函数和数学期望.解令X 表示途中遇到红灯的次数, 由题设知2~(3,)XB . 即X 的分布律为从而3127543686(){}01231251251251255k E X kP X k ====⨯+⨯+⨯+⨯=∑. 3. 设随机变量),(Y X 的概率密度为212,01,(,)0,.y y x f x y ⎧⎪=⎨⎪⎩≤≤≤其它求22(),(),(),()E X E Y E XY E X Y +.解 112404()(,)1245xE X xf x y dxdy dx x y dy x dx ∞∞-∞-∞==⋅==⎰⎰⎰⎰⎰. 11240003()(,)1235xE X yf x y dxdy dx y y dy x dx ∞∞-∞-∞==⋅==⎰⎰⎰⎰⎰.112500031()(,)12362x E XY xyf x y dxdy dx xy y dy x dx ∞∞-∞-∞==⋅===⎰⎰⎰⎰⎰.122222220()()(,)()12xE X Y x y f x y dxdy dx x y y dy ∞∞-∞-∞+=+=+⋅⎰⎰⎰⎰155012423216(4)5653015x x dx =+=+==⎰. 4. 设随机变量(X ,Y )的概率密度为1sin(),0,0,222(,)0,.≤≤≤≤其它ππx y x y f x y ⎧+⎪=⎨⎪⎩求E (X ),D (X ),E (Y ),D (Y ),E (XY )和 Cov(X ,Y ).解22001()(,)sin()24E X xf x y dxdy x x y dxdy πππ+∞+∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰.22222200()(,)1sin() 2.282E X x f x y dxdyx x y dxdy ππππ+∞+∞-∞-∞==+=+-⎰⎰⎰⎰于是有2216)]([)()(222-+=-=ππX E X E X D . 利用对称性,有2216)(,4)(2-+==πππY D Y E .又()(,)E XY xyf x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰22001sin()2xy x y dxdy ππ=+⎰⎰220022001sin()21[sin cos cos sin ]2xdx y x y dyxdx y x y x y dyππππ=+=+⎰⎰⎰⎰12-=π.所以协方差2Cov(,)()()()1216X Y E XY E X E Y ππ=-=--.5. 设随机变量X 与Y 独立, 同服从正态分布1(0,)2N , 求(1)();()E X Y D X Y --；(2) (max{,});(min{,})E X Y E X Y .解 (1) 记Y X -=ξ.由于)21,0(~),21,0(~N Y N X ,所以,0)()()(=-=Y E X E E ξ 1)()()(=+=Y D X D D ξ.由此)1,0(~N ξ. 所以2222(||)(||)||x x E X Y E x dx xedx ξ+∞+∞---∞-==⎰22x e+∞-==101)]([)()()|(|2222=+=+==ξξξξE D E E .故而ππξξξ2121|)](|[)|(||)(||)(|222-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==-E E D Y X D .(2) 注意到2||)(),max(Y X Y X Y X -++=, 2||),min(Y X Y X Y X --+=.所以ππ21221|]}[|)()({21)],[max(==-++=Y X E Y E X E Y X E ,ππ21221|]}[|)()({21)],[min(-=-=--+=Y X E Y E X E Y X E .6. 设随机变量),(Y X 的联合概率密度为,02,02,8(,)0,.x yx y f x y +⎧⎪=⎨⎪⎩≤≤≤≤其它求: E (X ), E (Y ), Cov(X ,Y ), ρXY , D (X+Y ).解注意到),(y x f 只在区域2≤≤0,2≤≤0:y x G 上不为零, 所以()(,)8Gx yE X xf x y dxdy x x y ∞∞-∞-∞+==⎰⎰⎰⎰d d222000117()(1)846dx x x y dy x x dx =+=+=⎰⎰⎰,22()(,)E Xx f x y dxdy ∞∞-∞-∞=⎰⎰222232000115()()843dx x x y dy x x dx =+=+=⎰⎰⎰, 因而 36116735)]([)()(2222=-=-=X E X E X D .又()(,)E XY xyf x y dxdy ∞∞-∞-∞=⎰⎰22220001144()()8433dx xy x y dy x x dx =+=+=⎰⎰⎰. 由对称性知2275()(),()()63E Y E X E Y E X ====, 3611)()(==X D Y D . 这样，4491Cov(,)()()()33636X Y E XY E X E Y =-=-=-, 111XY ρ==-,5()()()2Cov(,)9D X Y D X D Y X Y +=++=.7. 设A , B 为随机事件, 且111(),(|),(|)432P A P B A P A B ===, 令 10A X A =⎧⎨⎩，发生,，不发生, 10B Y B =⎧⎨⎩，发生,，不发生.求: (1) 二维随机变量(X , Y )的概率分布; (2) X 与Y 的相关系数XY ρ.解由1()(|)3()P AB P B A P A ==得1111()()33412P AB P A ==⨯=, 进而由1(|)2P A B = ()()P AB P B =得1()2()6P B P AB ==. 在此基础上可以求得(1)1{1,1}()12P X Y P AB ====,111{0,1}()()()61212P X Y P AB P B P AB ====-=-=,111{1,0}()()()4126P X Y P AB P A P AB ====-=-=,{0,0}()1()1[()()()]P X Y P AB P A B P A P B P AB ====-=-+-U 11121[]46123=-+-=.故(X , Y )的概率分布为(2) 由(1)因此211(),(),44E X E X ==22113()()[()]41616D XE X E X =-=-=, 22211115(),(),()()[()]6663636E Y E Y D Y E Y E Y ===-=-=. 又由(X , Y )的分布律可得21111()00011011312121212E XY =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=. 故11115XYρ-⨯===.。

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概率论与数理统计》课后习题答案第四章

习题4.11．设10个零件中有3个不合格．现任取一个使用，若取到不合格品，则丢弃重新抽取一个，试求取到合格品之前取出的不合格品数X 的数学期望．解可得X 的概率分布为0123~77711030120120X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦于是X 的数学期望为7771()012310301201204531208E X =⨯+⨯+⨯+⨯==2．.某人有n 把外形相似的钥匙，其中只有1把能打开房门，但他不知道是哪一把，只好逐把试开．求此人直至将门打开所需的试开次数X 的数学期望．解可得X 的概率分布为12~111n X nn n ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦于是X 的数学期望为111()121(1)122E X n n n nn n n n =⨯+⨯++⨯++==3．设5次重复独立试验中每次试验的成功率为0.9，若记失败次数为X ，求X 的数学期望。

解由题意~(5,0.1)X B ，则X 的数学期望为 ()50.10.E X =⨯= 4．设某地每年因交通事故死亡的人数服从泊松分布．据统计，在一年中因交通事故死亡一人的概率是死亡两人的概率的21，求该地每年因交通事故死亡的平均人数。

解设该地每年因交通事故死亡的人数为X ，由题意X 服从泊松分布() (0)P λλ>.因1{1}{2}2P X P X === 即121 41!22!ee λλλλλ--=⇒= 于是X 的数学期望为()4E X λ== 所以地每年因交通事故死亡的平均人数为4人。

5．设随机变量X 在区间(1,7)上服从均匀分布，求2{()}P X E X <. 解因X 在区间(1,7)上服从均匀分布，故X 的数学期望为17()42E X +== 于是22{()}{4}1 {22}6P X E X P X P X <=<=<-<<=6．设连续型随机变量X 的概率密度为01() (,0)0 b ax x p x a b ⎧<<=>⎨⎩其它又知()0.75E X =,求,a b 的值解由密度函数的性质可得()1p x dx +∞-∞=⎰即1111b aax dx b =⇒=+⎰又由()0.75E X =，可得1()0.75b xp x dx x ax dx +∞-∞=⋅=⎰⎰即0.752ab =+ 求解110.752ab a b ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩可得 3,2a b ==.7．设随机变量X 的概率密度为0<1()2 120 x x p x x x <⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其它求数学期望()E X解1201331221()() (2) ()133E X xp x dxx xdx x x dx x x x +∞-∞==⋅+⋅-=+-=⎰⎰⎰8.设随机变量X 的概率分布为X -2 -1 0 1 P 0.2 0.3 0.1 0.4 求 (1)(21)E X -；（2）2()E X .解 (1) (21)2()1E X E X -=- 其中()20.210.3010.40.3E X =-⨯-⨯++⨯=-则(21)2()12(0.3)1 1.6E X E X -=-=⨯--=-(2）22222()0.2(2)0.3(1)0.100.41 1.5E X =⨯-+⨯-+⨯+⨯=9．假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作。

概率论与数理统计第四章课后习题及参考答案

概率论与数理统计第四章课后习题及参考答案1．在下列句子中随机地取一个单词，以X 表示取到的单词包含的字母的个数，试写出X 的分布律，并求)(X E ．Have a good time解：本题的随机试验属于古典概型．所给句子共4个单词，其中有一个单词含一个字母，有3个单词含4个字母，则X 的所有可能取值为1，4，有41)1(==X P ，43)4(==X P ，从而413434411)(=⋅+⋅=X E ．2．在上述句子的13个字母中随机地取一个字母，以Y 表示取到的字母所在的单词所含的字母数，写出Y 的分布律，并求)(Y E ．解：本题的随机试验属于古典概型．Y 的所有可能取值为1，4，样本空间Ω由13个字母组成，即共有13个样本点，则131)1(==Y P ，1312)4(==Y P ，从而1349131241311)(=⋅+⋅=Y E ．3．一批产品有一、二、三等品及废品4种，所占比例分别为60%，20%，10%和10%，各级产品的出厂价分别为6元、8.4元、4元和2元，求产品的平均出厂价．解：设产品的出厂价为X (元)，则X 的所有可能取值为6，8.4，4，2，由题设可知X 的分布律为X 68.442P6.02.01.01.0则16.51.021.042.08.46.06)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E (元)．4．设随机变量X 具有分布：51)(==k X P ，5,4,3,2,1=k ，求)(X E ，)(2X E 及2)2(+X E ．解：3)54321(51)(=++++=X E ，11)54321(51)(222222=++++=X E ，274)(4)()44()2(222=++=++=+X E X E X X E X E ．5．设离散型随机变量X 的分布列为k k kk X P 21)!2)1((=-=， ,2,1=k ，问X 是否有数学期望．解：因为∑∑∞=∞==⋅-111212)1(k k k k kkk 发散，所以X 的数学期望不存在．6．设随机变量X 具有密度函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他．,0,22,cos 2)(2πππx x x f 求)(X E 及)(X D ．解：因为x x 2cos 在]2,2[ππ-上为奇函数，所以0d cos 2d )()(222=⋅==⎰⎰-∞+∞-πππx x x x x f x X E ，2112d cos 2d )()(2222222-=⋅==⎰⎰-∞+∞-ππππx x x x x f x X E ，故2112)]([)()(222-=-=πX E X E X D ．7．设随机变量X 具有密度函数⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤<=其他．,0,21,2,10,)(x x x x x f 求)(X E 及)(X D ．解：1d )2(d d )()(2112=-+==⎰⎰⎰∞+∞-x x x x x x x f x X E ，67d )2(d d )()(2121322=-+==⎰⎰⎰∞+∞-x x x x x x x f x X E ，61)]([)()(22=-=X E X E X D ．8．设随机变量X 在)21,21(-上服从均匀分布，求)sin(X Y π=的数学期望与方差．解：由题可知X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他．,0,2121,1)(x x f 则0d 1sin d )(sin )][sin()(2121=⋅===⎰⎰-∞+∞-x x x x f x X E Y E πππ，21d 1sin d )(sin )]([sin )(21212222=⋅===⎰⎰-∞+∞-x x x x f x X E Y E πππ，21)]([)()(22=-=Y E Y E Y D ．9．某正方形场地，按照航空测量的数据，它的边长的数学期望为350m ，又知航空测量的误差随机变量X 的分布列为X (m)30-20-10-0102030P05.008.016.042.016.008.005.0而场地边长随机变量Y 等于边长的数学期望与测量误差之和，即X Y +=350，求场地面积的数学期望．解：设场地面积为S ，则2Y S =，16.01042.0016.0)10(08.0)20(05.030)(⨯+⨯+⨯-+⨯-+⨯-=X E 005.03008.020=⨯+⨯+，16.01042.0016.0)10(08.0)20(05.0)30()(222222⨯+⨯+⨯-+⨯-+⨯-=X E 18605.03008.02022=⨯+⨯+，故)350700(])350[()()(2222++=+==X X E X E Y E S E 122686350)(700)(22=++=X E X E ．10．A ，B 两台机床同时加工零件，每生产一批较大的产品时，出次品的概率如下表所示：A 机床次品数X 0123概率P7.02.006.004.0B 机床次品数X 0123概率P8.006.004.010.0问哪一台机床加工质量较好．解：44.004.0306.022.017.00)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E ，8.004.0306.022.017.00)(22222=⨯+⨯+⨯+⨯=X E ，6064.0)]([)()(22=-=X E X E X D ，44.010.0304.0206.018.00)(=⨯+⨯+⨯+⨯=Y E ，12.110.0304.0206.018.00)(22222=⨯+⨯+⨯+⨯=Y E ，9264.0)]([)()(22=-=Y E Y E Y D ，)()(Y E X E =，但)()(Y D X D <，故A 机床加工质量较好．11．设随机变量X 与Y 相互独立，且方差存在，试证：22)]()[()()]([)()()(Y E X D Y D X E Y D X D XY D ++=，由此得出)()()(Y D X D XY D ≥．证：22)]([])[()(XY E XY E XY D -=222)]()([)(Y E X E Y X E -=2222)]([)]([)()(Y E X E Y E X E -=2222)]([)]([})]([)(}{)]([)({Y E X E Y E Y D X E X D -++=22)]()[()()]([)()(Y E X D Y D X E Y D X D ++=．因为)(X D ，)(Y D ，2)]([X E ，2)]([Y E 非负，所以)()()(Y D X D XY D ≥．12．已知随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤++=其他．,010,)(2x c bx x a x f又已知5.0)(=X E ，15.0)(=X D ，求a ，b ，c ．解：c b a x c bx x a x x f ++=++==⎰⎰∞+∞-2131d )(d )(1102，c b a x c bx x a x x x f x X E 213141d )(d )()(5.0102++=++===⎰⎰∞+∞-，⎰⎰++-=-==∞+∞-1222d )()5.0(d )()]([)(15.0xc bx x a x x x f X E x X D 41314151-++=c b a ，解之得12=a ，12-=b ，3=c ．13．设),(Y X 的分布律为(1)求)(X E 及)(Y E ；(2)设XYZ =，求)(Z E ；(3)设2)(Y X Z -=，求)(Z E ．解：(1)2)13.00(3)1.001.0(2)1.01.02.0(1)(=++⨯+++⨯+++⨯=X E ，0)1.01.01.0(1)3.001.0(0)01.02.0()1()(=++⨯+++⨯+++⨯-=Y E ，(2)1.01)3.001.0(00)31(1.021(2.01)(⨯+++⨯+⨯-+⨯-+⨯-=Z E 1511.0311.021-=⨯+⨯+，(3)1.0)01(0)]1(3[1.0)]1(2[2.0)]1(1[)(2222⨯-+⨯--+⨯--+⨯--=Z E 51.0)13(1.0)12(1.0)11(3.0)03(0)02(22222=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+．14．设随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=其他．,0,10,20,3),(y x yx y x f求)(X E ，)(Y E ，)(Y X E +及)(22Y X E +．解：⎰⎰∞+∞-∞+∞-=y x y x f x X E d d ),()(911d d 31020=+⋅=⎰⎰y x y x x ，⎰⎰∞+∞-∞+∞-=y x y x yf Y E d d ),()(95d d 31020=+⋅=⎰⎰y x y x y ，⎰⎰∞+∞-∞+∞-+=+y x y x f y x Y X E d d ),()()(916d d 3)(1020=+⋅+=⎰⎰y x y x y x ，⎰⎰∞+∞-∞+∞-+=+y x y x f y x Y X E d d ),()()(2222613d d 3)(102022=+⋅+=⎰⎰y x y x y x ．15．),(Y X 在区域}1,0,0|),{(≤+≥≥=y x y x y x D 上服从均匀分布，求)(X E ，)23(Y X E -及)(XY E ．解：由题可知),(Y X 的联合密度函数为⎩⎨⎧≤≤-≤≤=其他．,0,10,10,2),(y y x y x f ⎰⎰∞+∞-∞+∞-=y x y x f x X E d d ),()(31d d 21010==⎰⎰-yy x x ，⎰⎰∞+∞-∞+∞--=-y x y x f y x Y X E d d ),()23()23(31d d )23(21010=-=⎰⎰-yy x y x ，⎰⎰∞+∞-∞+∞-=y x y x xyf XY E d d ),()(121d d 21010==⎰⎰-y y x xy ．16．设二维随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+=．1,0,1,1),(2222y x y x y x f π证明：随机变量X 与Y 不相关，也不相互独立．证：⎰⎰⎰⎰⋅=⋅=∞+∞-∞+∞-πθθππ201d d cos 1d d 1)(r r r y x x X E ，同理，0)(=Y E ，⎰⎰⎰⎰⋅⋅=⋅=∞+∞-∞+∞-πθθθππ201d d sin cos 1d d 1)(r r r r y x xy XY E ，0)()()(),cov(=-=Y E X E XY E Y X ，故随机变量X 与Y 不相关．当11≤≤-x 时，ππ21112d 1d ),()(22x y y y x f x f x x X -===⎰⎰---∞+∞-，其他，0)(=x f X ，故⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=其他．,0,11,12)(2x x x f X π同理，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=其他．,0,11,12)(2y y y f Y π易得)()(),(y f x f y x f Y X ≠，故随机变量X 与Y 不相互独立．17．设随机变量1X ，2X 的概率密度分别为⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 2)(21x x x f x ，⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 4)(42y y y f y 试用数学期望的性质求：(1))(21X X E +及)32(221X X E -；(2)又设1X ，2X 相互独立，求)(21X X E ．解：由题可知1X ～)2(E ，2X ～)4(E ，则21)(1=X E ，41)(2=X E ，161)(2=X D ，81)]([)()(22222=+=X E X D X E ．(1)43)()()(2121=+=+X E X E X X E ，85)(3)(2)32(221221=-=-X E X E X X E ．(2)81)()()(2121==X E X E X X E ．18．(1)设1X ，2X ，3X 及4X 独立同在)1,0(上服从均匀分布，求)51(41∑=k k kX D ；(2)已知随机变量X ，Y 的方差分别为25和36，相关系数为4.0，求Y X U 23+=的方差．解：(1)由题易得121)(=i X D ，)51(41∑=k k kX D )(5141∑==k kkX D )](4)(3)(2)([514321X D X D X D X D +++=21)4321(121512222=+++⋅=．(2)由已知25)(=X D ，36)(=Y D ，4.0)()(),cov(==Y D X D Y X XY ρ，得12),cov(=Y X ，)2,3cov(2)2()3()23()(Y X Y D X D Y X D U D ++=+=513),cov(232)(2)(322=⋅⋅++=Y X Y D X D ．19．一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如果到达一个车站没有旅客下车就不停车，以X 表示停车的次数，求)(X E (设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车相互独立)．解：引入随机变量⎩⎨⎧=站无人下车．，在第站有人下车；，在第i i X i 01，10,,2,1 =i ．易知1021X X X X +++= ．按题意，任一旅客在第i 站不下车的概率为9.0，因此20位旅客都不在第i 站下车的概率为209.0，在第i 站有人下车的概率为209.01-，也就是209.0)0(==i X P ，209.01)1(-==i X P ，10,,2,1 =i ．由此209.01)(-=i X E ，10,,2,1 =i ．进而)()()()()(10211021X E X E X E X X X E X E +++=+++= 784.8)9.01(1020=-=(次)．20．将n 只球(1～n 号)随机地放进n 只盒子(1～n 号)中去，一只盒子装一只球．若一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对，记X 为总的配对数，求)(X E ．解：引入随机变量⎩⎨⎧=号盒子．号球未放入第第号盒子号球放入第第i i i i X i ,0,,1，n i ,,2,1 =，则n X X X X +++= 21，显然n X P i 1)1(==，则nX P i 11)0(-==，n i ,,2,1 =，从而nX E i 1)(=，n i ,,2,1 =，于是1)()()()()(2121=+++=+++=n n X E X E X E X X X E X E ．21．设随机变量),(Y X 的分布律为试验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的．证：0)25.00(2)025.0(1)025.0()1()25.00(2)(=+⨯++⨯++⨯-++⨯-=X E ，5)25.00025.0(4)025.025.00(1)(=+++⨯++++⨯=Y E ，0)4(25.0)8(0225.0125.0)1(02)(⨯-+⨯-+⨯+⨯+⨯-+⨯-=XY E 025.0804=⨯+⨯+，所以0)()()(),cov(=-=Y E X E XY E Y X ，故X 与Y 不相关．易知25.025.00)2(=+=-=X P ，5.0025.025.00)1(=+++==Y P ，0)1,2(==-=Y X P ，有)1()2()1,2(=-=≠=-=Y P X P Y X P ，故X 与Y 不相互独立．22．设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤+=其他．,0,10,10,),(y x y x y x f 求)(X E ，)(Y E ，)(X D ，)(Y D ，)(XY E ，),cov(Y X 及XY ρ．解：127d d )(d d ),()(1010=+==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x x y x y x f x X E ，125d d )(d d ),()(1010222=+==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x x y x y x f x X E ，14411)]([)()(22=-=X E X E X D ，由轮换对称性，得127)(=Y E ，14411)(=Y D ，31d d )(d d ),()(1010=+==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x xy y x y x xyf XY E ，1441)()()(),cov(-=-=Y E X E XY E Y X ，111)()(),cov(-==Y D X D Y X XY ρ．23．设X ～),(2σμN ，Y ～),(2σμN ，且X ，Y 相互独立．求Y X Z βα+=1和Y X Z βα-=2的相关系数(α，β是不为0的常数)．解：由题可知μ==)()(Y E X E ，2)()(σ==Y D X D ，则2222)]([)()(σμ+=+=X E X D X E ，2222)]([)()(σμ+=+=Y E Y D Y E ，μβαβα)()()(1+=+=Y X E Z E ，μβαβα)()()(2-=-=Y X E Z E ，222221)()()()()(σβαβαβα+=+=+=Y D X D Y X D Z D ，222222)()()()()(σβαβαβα+=+=-=Y D X D Y X D Z D ，)()])([()(222221Y X E Y X Y X E Z Z E βαβαβα-=-+=))(()()(22222222σμβαβα+-=-=Y E X E ，222212121)()()()(),cov(σβα-=-=Z E Z E Z Z E Z Z ，22222121)()(),cov(21βαβαρ+-==Z D Z D Z Z Z Z ．24．设),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤--=.,0,10,10,2),(其他y x y x y x f (1)求),cov(Y X ，XY ρ和)32(Y X D -；11(2)X 与Y 是否独立？解：(1)125d d )2(d d ),()(1010=--==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x x y x y x f x X E ，41d d )2(d d ),()(1010222=--==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x x y x y x f x X E ，61d d )2(d d ),()(1010=--==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x xy y x y x xyf XY E ，14411)]([)()(22=-=X E X E X D ，由轮换对称性，125)(=Y E ，14411)(=Y D ，1441)()()(),cov(-=-=Y E X E XY E Y X ，111)()(),cov(-==Y D X D Y X XY ρ，)3,2cov(2)3()2()32(Y X Y D X D Y X D -+-+=-144155),cov(12)(3)(222=-+=Y X Y D X D ．(2)当10≤≤x 时，x y y x y y x f x f X -=--==⎰⎰∞+∞-23d )2(d ),()(10，其他，0)(=x f X ，故⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他．,0,10,23)(x x x f X 同理，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他．,0,10,23)(y y y f Y 因为)()(),(y f x f y x f Y X ≠，故X 与Y 不相互独立．。

概率论第四章习题答案

1 ⎛2⎞ 1 DX = EX − ( EX ) = − ⎜ ⎟ = . 2 ⎝ 3 ⎠ 18 1 2 DZ = 4 DX = 4 × = . 18 9
【解毕】
9．在一次拍卖中，两人竞买一幅名画，拍卖以暗标的形式进行，并以最高价成交．设两人的出价相互独立且均服从（1，2）上的均匀分布，求这幅画的期望成交价．解：设两人的出价分别为随机变量 X , Y ，则这幅画的期望成交价为 Z = max { X , Y } 由题意知， X 与Y 独立，且 X ∼ U (1, 2); Y ∼ U (1, 2) 先求 Z 的分布函数当 1 < z < 2 时， F ( z ) = P ( Z £ z ) = P (max { X , Y } £ z ) = P ( X £ z ,Y £ z )
= P( X £ z ) P (Y £ z ) = ( z -1)2
当 z £ 1 时， F ( z ) = 0 ；当 z ³ 2 时， F ( z ) = 1 于是 Z 的密度函数为 f ( z ) = ï í
ì2( z -1),1 < z < 2 ï ï 0, 其它 ï î 5 3
EZ = ò
+¥
3 X .求：（ 1）常数 a, b, c; （2） Ee . 4
【解】（1）由概率密度的性质知，有
+∞ 2 4
1=
又因为
−∞
∫
f ( x )dx = ∫ axdx + ∫ ( cx + b )dx = 2a + 6c + 2b.
0 2
+∞
2
4
2 = EX =
−∞
∫ xf ( x )dx = ∫ xiaxdx + ∫ x ( cx + b )dx

《概率论与数理统计》第04章习题解答

第四章正态分布１、解：(0,1)ZN（1）{ 1.24}(1.24)0.8925P Z ∴≤=Φ={1.24 2.37}(2.37)(1.24)0.99110.89250.0986P Z <≤=Φ-Φ==-= {2.37 1.24}( 1.24)( 2.37)(1.24)(2.37)0.89250.99110.0986P Z -<≤-=Φ--Φ-=-Φ+Φ=-+=（2）{}0.9147()0.9147 1.37{}0.05261()0.0526()0.9474 1.62P Z a a a P Z b b b b ≤=∴Φ==≥=-Φ=Φ==，，得，，，得2、解：(3,16)XN8343{48}()()(1.25)(0.25)0.89440.59870.295744P X --∴<≤=Φ-Φ=Φ-Φ=-= 5303{05}()()(0.5)(0.75)44(0.5)1(0.75)0.691510.77340.4649P X --<≤=Φ-Φ=Φ-Φ-=Φ-+Φ=-+= 31(25,36){25}0.95442(3,4){}0.95X N C P X C X N C P X C -≤=>≥、（）设，试确定，使；（）设，试确定，使解：（1）(25,36){25}0.9544X N P X C -≤=，{2525}0.9544P C X C ∴-≤≤+=25252525()()0.954466()()2()10.9544666()0.9772,21266C C C C CC CC +---Φ-Φ=-Φ-Φ=Φ-=Φ=∴==即，（2）(3,4){}0.95XN P X C >≥，331()0.95()0.952231.6450.292C CCC ---Φ≥Φ≥-≥≤-即，，4、解：（1）2(3315,575)XN4390.2533152584.753315{2584.754390.25}()()575575(1.87)( 1.27)(1.87)1(1.27)0.969310.89800.8673P X --∴≤≤=Φ-Φ=Φ-Φ-=Φ-+Φ=-+= （2）27193315{2719}()( 1.04)1(1.04)10.85080.1492575P X -≤=Φ=Φ-=-Φ=-=(25,0.1492)YB ∴4440{4}(0.1492)(10.1492)0.6664ii i i P Y C -=∴≤=-=∑5、解：(6.4,2.3)X N{}{}1()81(1.055)10.85540.14462.3(85}0.17615 6.451(0.923)(0.923)0.82121()2.3P X P X X P X -Φ>-Φ-∴>>======->-Φ-Φ-Φ6、解：（1）2(11.9,(0.2))XN12.311.911.711.9{11.712.3}()()(2)(1)(2)1(1)0.20.20.977210.84130.8185P X --∴<<=Φ-Φ=Φ-Φ-=Φ-+Φ=-+= 设A ={两只电阻器的电阻值都在欧和欧之间} 则2()(0.8185)0.6699P A ==（2）设X , Y 分别是两只电阻器的电阻值，则22(11.9,(0.2))(11.9,(0.2))X N Y N ，，且X , Y 相互独立[]22212.411.9{(12.4)(12.4)}1{12.4}{12.4)}1()0.21(2.5)1(0.9938)0.0124P X Y P X P Y -⎡⎤∴>>=-≤⋅≤=-Φ⎢⎥⎣⎦=-Φ=-=7、一工厂生产的某种元件的寿命X （以小时计）服从均值160μ=，均方差为的正态分布，若要求{120200}0.80P X <<≥，允许最大为多少解：因为2(160,)XN σ由2001601201600.80{120200}()()P X σσ--≤<<=Φ-Φ从而 40402()10.80()0.9σσΦ-≥Φ≥，即，查表得401.282σ≥，故σ≤8、解：（1）2(90,(0.5))XN8990{89}()(2)1(2)10.97720.02280.5P X -∴<=Φ=Φ-=-Φ=-= （2）设2(,(0.5))X N d由808080{80}0.991()0.99()0.99 2.330.50.50.5d d d P X ---≥≥∴-Φ≥Φ≥≥，，，即从而d ≥ 9、解：22~(150,3),~(100,4)X Y X N Y N 与相互独立，且则（1）2221~(150(100,3)4)(250,5)W X Y N N =+++=()222222~2150100,(2)314(200,52)W X Y N N =+-⨯+-⨯+⨯=-22325~(125,)(125,(2.5))22X Y W N N +== （2）242.6250{242.6}()( 1.48)1(1.48)10.93060.06945P X Y -+<=Φ=Φ-=-Φ=-= 12551255125522212551251255125()1()(2)1(2)2.5 2.522(2)220.97720.0456X Y X Y X Y P P P ⎧+⎫++⎧⎫⎧⎫->=<-+>+⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭--+-=Φ+-Φ=Φ-+-Φ=-Φ=-⨯=10、解：（1）22~(10,(0.2)),~(10.5,(0.2))X N Y N X Y ，且与相互独立22~(0.5,2(0.2))(0.5,(0.282))X Y N N ∴--⨯=-0(0.5){0}()(1.77)0.96160.282P X Y ---<=Φ=Φ=（2）22~(10,(0.2)),~(10.5,)X N Y N X Y σ设，且与相互独立222~(0.5,2(0.2))(0.5,(0.2))X Y N N σ∴--⨯=-+0.90{0}P X Y ≤-<=Φ=Φ由1.28≥，故σ≤11、设某地区女子的身高（以m 计）2(1.63,(0.025))WN ，男子身高（以m 计）2(1.73,(0.05))MN ，设各人身高相互独立。

概率论第四、五章课后习题答案

第四章随机变量的数字特征2．某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次，每次随机地取10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于1，就去调整设备。

以X 表示一天中调整设备的次数，试求E (X )。

(设诸产品是否为次品是相互独立的。

)解：先求检验一次，决定需要调整设备的概率。

设抽检出次品件数为Y ，则Y ~b (10,0.1).记需调整设备一次的概率为p ，则2639.01.09.01109.01}1{}0{1)1(910=⨯⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==-=-=>=Y P Y P Y P p 又因各次检验结果相互独立，故)2639.0,4(~b X X 的分布律为于是0556.12639.0444)1(43)1(62)1(41)(43223=⨯==⨯+-⨯+-⨯+-⨯=p pp p p p p p X E以后将会知道若X ~b (n ,p )，则np X E =)(.6．(1)设随机变量X 的分布律为求)53(),(),(22+XE X E X E(2)设)(~λπX ，求)11(+X E解：(1)E (X )=(-2)⨯0.4+0⨯0.3+2⨯0.3=-0.2 由关于随机变量函数的数学期望的定理，知E (X 2)=(-2)2⨯0.4+02⨯0.3+22⨯0.3=2.8E (3X 2+5)=[3⨯ (-2)2+5]⨯0.4+[3⨯ 02+5]⨯0.3+[3⨯22+5]⨯0.3=13.4如利用数学期望的性质，则有E (3X 2+5)=3E (X 2)+5=3⨯2.8+5=13.4(2)因)(~λπX ，故!}{k ek X P k λλ-==)1(1)1()1!(!)!1()!1(}{11)11(1100λλλλλλλλλλλλλλλλ--∞=-∞=-∞=+-∞=-∞=-=-=-==+=+==+=+∑∑∑∑∑eeej ej ek ek ek X P k X E j jj jk k k k k7. (1)设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-0,00,)(x x e x f x求(I)Y =2X ；(II) Y =e -2X 的数学期望(2)设随机变量n X X X ,,2,1 相互独立，且都服从(0,1)上的均匀分布,(I)求},,max{2,1n X X X U =的数学期望；(II)求},,min{2,1n X X X V =的数学期望。

概率论第四章习题解答(全)

(0.9)10 (0.9)9 3486 0.3874 0.7361
则需要调整设备的概率
P{Y 1} 1 P{Y } 1 0.7361 0.2639
（3）求一天中调整设备的次数 X 的分布律由于 X 取值为 0，1，2，3，4。 p 0.2369 ，则 X B (4, 0.2369) 于是
个随机变量，其概率密度为
1 x, 0 x 1500, 15002 1 f ( x) ( x 3000),1500 x 3000, 2 1500 0, 其它
求 E( X ) 解按连续型随机变量的数学期望的定义有
0 1500
E ( X ) xf ( x)dx xf ( x)dx
X p
2
3
4
9
1 8
5 8
1 8
1 8
所以
1 5 1 1 15 E( X ) 2 3 4 9 。 8 8 8 8 4
（2）因为 Y 的取值为 2,3，4，9 当 Y 2 时，包含的字母为“O”，“N”，故
P{Y 2}
1 C2 1 ； 30 15
当 Y 3 时，包含的 3 个字母的单词共有 5 个，故
P (Ck ) P ( Ak | A1 A2 Ak 1 ) P ( Ak 1 | A1 A2 Ak 2 ) P ( A2 | A1 ) P ( A1 )
而
P{ X 1} P ( A1 )
1 2
1 1 P{ X 2} P ( A1 A2 ) P ( A2 | A1 ) P ( A1 ) 3 2 1 2 1 1 1 P ( A2 | A1 A2 ) P ( A2 | A1 ) P ( A1 ) ， 4 3 2 4 3 一般地，若当 X k 时，盒中共有 k 1 只球，其中只有一只白球，故 P ( X k ) P ( A1 A2 Ak 1 Ak ) P ( Ak | A1 A2 Ak 1 ) P ( Ak 1 | A1 A2 Ak 2 ) P ( A2 | A1 ) P ( A1 ) 1 k 1 k 2 1 2 1 1 1 k 1 k k 1 4 3 2 k k

概率论与数理统计第四章习题参考答案

=
⎡ E⎢
1
⎢⎣ n −1
n i =1
(Xi
−
⎤ X )2 ⎥
⎥⎦
=
1 n −1
⎡ E⎢
⎢⎣
n i =1
X
2 i
−
nX
2⎤ ⎥ ⎥⎦
=
1 n −1
⎡n ⎢ ⎢⎣ i=1
E
(
X
2 i
)
−
nE( X
2⎤ )⎥ ⎥⎦
∑[ ] [ ] =
1 n −1
⎧ ⎨ ⎩
n i =1
D(X i ) + E 2 (X i )
X −µ 3/2
<
⎫ 1.96⎬
=
0.95
⎭
故，正态总体均值 µ 的 95%的置信区间为 (X − 2.94, X + 2.94)
代入样本值得正态总体均值 µ 的 95%的置信区间为（-2.565，3.315）。
（2）当σ 未知时，由 T = X − µ ~ t(n − 1) 即T = X − µ ~ t(3) ，所以
n
−a n
=0 =0
无解。由此不能求得
a,
b
的极大似然估计量。
⎩ ∂b
b−a
解：X
的概率密度为
f
(x)
=
⎪⎧ ⎨b
1 −
a
,
a
≤
x
≤
b
，
⎪⎩ 0, 其它
似然函数为 L(a, b) = 1 , θ1 ≤ xi ≤ θ 2 ,i = 1,2,L, n ， (b − a)n
对于给定的样本值 (x1 , x2 ,L, xn )
−
n
D(

概率论第四章习题答案

概率论第四章习题答案概率论是数学中的一个重要分支，它研究了随机现象的规律性和不确定性。

在概率论的学习过程中，习题是不可或缺的一部分，通过解答习题可以加深对概率论知识的理解和运用。

本文将针对概率论第四章的习题进行解答，以帮助读者更好地掌握这一章节的内容。

第一题：某班级有30名学生，其中有10名男生和20名女生。

从中随机选取2名学生，求选出的两名学生都是男生的概率。

解答：首先，计算总的样本空间。

从30名学生中选取2名学生，共有C(30, 2)= 435种可能的选法。

然后，计算选出的两名学生都是男生的样本空间。

从10名男生中选取2名学生，共有C(10, 2) = 45种可能的选法。

所以，选出的两名学生都是男生的概率为P = 45/435 = 1/9。

第二题：某班级有30名学生，其中有10名男生和20名女生。

从中随机选取4名学生，求选出的学生中至少有1名男生的概率。

解答：首先，计算总的样本空间。

从30名学生中选取4名学生，共有C(30, 4)= 27,405种可能的选法。

然后，计算选出的学生中全是女生的样本空间。

从20名女生中选取4名学生，共有C(20, 4) = 4,845种可能的选法。

所以，选出的学生中至少有1名男生的概率为P = 1 - 4,845/27,405 =22,560/27,405 ≈ 0.822。

第三题：某班级有30名学生，其中有10名男生和20名女生。

从中随机选取6名学生，求选出的学生中至少有3名男生的概率。

解答：首先，计算总的样本空间。

从30名学生中选取6名学生，共有C(30, 6) = 593,775种可能的选法。

然后，计算选出的学生中全是女生或者只有1名男生或者只有2名男生的样本空间。

从20名女生中选取6名学生，共有C(20, 6) = 38,760种可能的选法。

从10名男生中选取1名学生，共有C(10, 1) = 10种可能的选法。

从10名男生中选取2名学生，共有C(10, 2) = 45种可能的选法。

概率论第四章习题解答

X9
EX 9
9
9
8 9
20
2024年8月31日7时4分
P104 练习4.2 题1 SD 1
1,1
f XY
x,
y
1 0
0 x 1, x y x 其它
yx
DZ D2X 1 4DX
EX xf x, ydxdy
0D
y x 1
1 0
x x
xdy
dx
1 2x2dx 2
P113 习题四一填空题 7 X与Y相互独立
f
X
x
2x
0
0
x 其它
1，fY
y
x y t
FT t PT t P X Y t fXY x, y dxdy
x yt
1当t 0时：FT t 0dxdy 0
0
x yt
2 当0 t时：FT
t
t
dx
tx 25e5x5 ydy
0
0
1 e5t 5te5t
t,0
x
FT
t
1
e5t
0
5te5t
t0 t0
33
2 EX 2
xi2 pij
i1 j1
20.1 30.3 30.1 2
33
3 EY 2
yi2 pij
12 0.212 0.112 0.1 22 0.1
22 0.132 0.332 0.1 4.8
i1 j1
12 0.2 12 0.1 12 0.1
12 0.1 12 0.1 0.6
2024年8月31日7时4分
P100 练习4.1 题12
2
f XY
x,
y
x