精品 2014年九年级数学上册暑期讲义+同步练习--二次函数 第09课 二次函数综合复习
2024年初中九年级数学上册同步精品讲义(人教版)第09课 二次函数的定义(学生版)
第09课 二次函数的定义课程标准1、掌握二次函数的定义；2、根据二次函数的定义确定参数的值；3、会根据实际问题列出相应的二次函数；知识点01 二次函数的概念1、有关概念形如2y ax bx c =++(a ,b,c 是常数,a≠0)的函数为二次函数.其中，x 是自变量,a ,b,c 分别是函数解析式的 、 和 .2、二次函数的解析式必须满足的三个条件 （1）等号右边是 ;（2）自变量的最高次数必须是 ; （3）二次项系数不为 . 3、二次函数的结构特征等号左边是y ,等号右边是关于x 的 次多项式或 次单项式. (1)当b=0时,二次函数为 ;知识精讲目标导航(2)当c=0时,二次函数为 ; (3)当b=0,c=0时,二次函数为 . 【注意】(1)注意二次函数2y ax bx c =++与一元二次方程20ax bx c ++=的异同.(2)在二次函数的概念中，0a ≠是二次函数概念的一部分,若a 为0，则函数2y ax bx c =++就是y bx c =+,这不符合二次函数的概念.(3)二次函数的出客教项系数、一次项系数和常数项包括它们前面的符号,不要漏掉.知识点02 列二次函数解析式的一般步骤例题解释审题某商场销售一批衬衫,平均每天售出20件,每件盈利40元.为减少库存,商场决定降价处理,每件衬衫每降价1元,每天多售出2件.请写出商场每天盈利y(单位:元)与每件衬衫降价x(单位:元)之间的函数解析式. 找出已知量和未知量,分析它们之间的关系找等量关系找到两个未知量之间的关系,用等式表示列方程结合已给或设出的未知量的字母根据等量关系列出函数的解析式注意自变量的取值范围【注意】实际问题中自变量的取值范围的确定(1)二次函数自变量的取值范围一般是全体实数,但是在实际问题中,自变量的取值范围应使实际问题有意义. (2)确定自变量的取值范围时,需正确列出不等式或不等式组.考法01 二次函数的判断【例题1】下列函数中,哪些是二次函数? (1)y=3x —l; (2)232y x =+ ; (3)3232y x x =+ ; (4)2221y x x =-+ ; (5)2()1y x x x =-+ ; (6)2y xx -=+考法02 根据二次函数的概念求字母的值【例题2】已知函数238()226m m y m x x --=+++ 是关于x 的二次函数,求满足条件的m 的值.【方法总结】要确定二次函数中待定字母的值， 需根据二次函数自变量的最高次数是2,二次项系数不为0,列出关于所求字母的方程或不等式(组),解方程或不等式(组),即可确定字母的值.考法03 列二次函数的解析式【例题3】某商场购进一种单价为40元的商品,如果以单价60元出售,那么每天可卖出300个,根据销售经验,每降价1元,每天可多卖出20个,假设每个降价x 元,每天销售y 个,每天获得利润W 元. (1)写出y 与x 之间的函数解析式;能力拓展(2)求出W与x之间的函数解析式(不必写出x的取值范围).考法04 实际问题中根据几何知识列二次函数的解析式【例题4】某校为绿化校园,在一块长为15 m、宽为10 m的矩形空地上建造一个矩形花圃，如图,设计这个花圃的一边靠墙(墙长大于15 m),并在不靠墙的三边留出一条宽相等的小路,设小路的宽为xm,花圃面积为y m2,求y关于x 的函数解析式,并写出函数自变量的取值范围.【方法总结】解决此类问题时,一般利用“数形结合”的思想,在具体解题时，常用的建立等量关系的方法有“面积法”“周长法”“勾股法”。
精品2014年九年级数学上册暑期讲义同步练习--二次函数第04课二次函数的图象03
(4) 求出该抛物线与 x 轴的交点坐标及两交点间距离；
(5) 求出该抛物线与 y 轴的交点坐标；
时， y 随 x 的增大而减小 .
(6) 该函数图象可由 y 3x 2 的图象经过怎样的平移得到的？
，对称轴是
，当 x=
时，
y 有最
值为
。当 x
时， y 随 x 的增大而增大 .
8. 若抛物线 y
a( x 1) 2
k 上有一点 A（ 3， 5），则点 A 关于对称轴对称点
/
A
的坐标为
____________
9. 一条抛物线的对称轴是 x=1，且与 x 轴有唯一的公共点，并且开口方向向下，则这条抛物线的解析式 为 ________________ 10. 已知抛物线的顶点坐标为 (2,1) ，且抛物线过点 (3,0) ，则抛物线的关系式是 11. 若函数 y x2 mx m 2的图象经过 (3 ，6) 点，则 m=______
P 的坐标； P 的坐标；
P 的坐标。
课堂练习：
1. 要得到 y 2( x 2) 2 3 的图象，需将抛物线 y 2 x2 作如下平移 ( )
A. 向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位 B. 向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位
C. 向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位 D. 向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位
1 x
2 2 向右平移 1 个单位后，得到的抛物线解析式为
3
_______
，当 x＝
9. 若把函数 y
5x
2
2
3 的图象分别向下 , 向左移动 2 个单位 , 则得到的函数解析式为
。
10. 二次函数 y (x 1) 2 2的最小值为 ____________
沪科版数学九年级上册二次函数精品习题讲义
沪科版数学九年级上册二次函数[讲义]【考点一：二次函数定义】例1、下列函数中是二次函数的是（）、A. y=1x2B. y=2x+1 C. y=12x2+2x3 D. y=−4x2+5变式1-1、已知y=mx|m−2|+2mx+1是y关于x的二次函数，则m的值为（）A.0B.1C.4 D．0或4变式1-2、二次函数y=x2−6x−1的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）A. 1,-6,-1 B. 1,6,1 C. 0,-6,1 D. 0,6,-1变式1-3、有下列函数：①y=5x−4②y=2x3−8x+3③y=3x2−1x−2④y=38x2−1x2−6x其中属于二次函数的是_____________（填序号）.⑤y=23变式1-4、函数y=2(m+2)x m2−2+2x−1（x≠0）当m＝________时，它是二次函数，当m＝___________时，它为一次函数.2．如图，正方形ABCD和圆O的周长之和为20cm，设圆的半径为xcm，正方形的边长为ycm，阴影部分的面积为Scm²．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（）A.一次函数关系，一次函数关系B.一次函数关系，二次函数关系C.二次函数关系，二次函数关系D.二次函数关系，一次函数关系【考点二：列二次函数表达式】例2、若二次函数y=mx2+(2m+n)x+3n的二次项系数比一次项系数小12，一次项系数比常数项大8，则这个二次函数的解析式为___________.变式2-1．（2022秋·承德县期末）“抖音直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某抖音主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降5元时，日销售量会增加10件，已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），则w与x之间的函数解析式为（)A. w=(99−x)[200+10(x−50)]B.w=(x−50)[200+10(99−x)]×10]C. w=(x−50)[200+x−995D. w=(x−50)[200+x−995×10]变式2-1．（2023·金水区校级模拟）将一根长为50cm的铁丝弯成一个长方形（铁丝全部用完且无损耗）如图所示，设这个长方形的一边长为x（cm），它的面积为y（c㎡），则y与x之间的函数关系式为（）A. y=−x2+50xB. y=x2−50xC. y=−x2+25xD. y=−2x2+25变式2-2（2023春·沈北新区期末）如图，李大爷用24米长的篱笆靠墙围成一个长方形（ABCD）菜园，若菜园靠墙的一边（AD）长为x（米），那么菜园的面积y（平方米）与x的关系式为（)A. y=x(12−x)2B. y=x(12−x) C. y=x(24−x)2D. y=x(24−x)变式2-3．（2022秋·亭湖区校级期末）如图，某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用旧墙，其余各面用木材围成栅栏，该农场计划用木材围成总长24m的栅栏，设面积为s(m²)，垂直于墙的一边长为x（m）．则s关于x的函数关系式：_____________（并写出自变量的取值范围）变式2-4（2023春·石景山区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点P从点A出发，沿线段AD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动；点Q从点B出发，沿线段BA以每秒2个单位长度的速度向终点A运动.P，Q两点同时出发，设点P运动的时间为t（单位：秒），ΔAPQ的面积为y.则y关于t的函数表达式为________1．（2022秋·蜀山区校级月考）若y=(a+1)x|a+3|−x+3是关于x的二次函数，则a的值是（)A. 1B. -5C. -1 D．-5或-12．（2022秋·石景山区期末）如图，线段AB＝10cm，点P在线段AB上（不与点A，B重合），以AP为边作正方形APCD.设AP＝x cm，BP＝y cm，正方形APCD的面积为S cm²，则y与x，S与x满足的函数关系分别为（)A.一次函数关系，二次函数关系B.反比例函数关系，二次函数关系C.一次函数关系，反比例函数关系D.反比例函数关系，一次函数关系3．（2020秋·龙凤区校级月考）已知函数y=(m2−m)x2+(m−1)x+m+1（1）当m为何值时，这个函数是关于x的一次函数；（2）当m为何值时，这个函数是关于x的二次函数．4．（2020秋·滨州月考）某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件．设每件商品的售价x元（x为整数），每个月的销售量为y件.（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式．。
九年级数学上册二次函数讲义
初三数学 二次函数讲义一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c=+的性质： 上加下减。
()2x h -4. ()2y a x h k =-+的性质：1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；0a >二次函数图像参考：十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y 1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
精品 2014年九年级数学上册暑期讲义+同步练习--二次函数 第07课 二次函数图象性质
y ax 2 bx c 的值为 m 的自变量 x 的值．
例 2.如图为二次函数 y=ax2+bx+c 的图象，在下列说法中： ①ac＜0；②方程 ax2+bx+c=0 的根是 x1=-1，x2=3；③a+b+c＞0；④当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大． 正确的说法有__________________（把正确的序号都填在横线上） ．
第 07 课 二次函数图象性质
知识点： ⑴ 一 元 二 次 方 程 ax 2 bx c 0 的 实 数 根 就 是 对 应 的 二 次 函 数 y ax 2 bx c 与 的 .（即把 y 0 代入 y ax bx c ）
2
x 轴交点
⑵二次函数与一元二次方程的关系如下： （一元二次方程的实数根记为 x1、x2 ）
例 5.如图，一元二次方程 ax 2 bx c 0 的解为 例 6.如图，一元二次方程 ax 2 bx c 3 的解为
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。 。
课堂练习：
1.已知抛物线 y=ax +bx,当 a>0,b<0 时,它的图象经过( ) A.一、二、三象限 B.一、二、四象限 C.一、三、四象限
0
8.已知二次函数 y ax bx c 的图象如图所示，则 a___0，b___0，c___0， b 2 4ac ____0；
2
9.一元二次方程 ax 2 bx c 0 的解为____________
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10.抛物线 y ( x 2)( x 5) 与坐标轴的交点分别为 A、B、C，则△ABC 的面积为__________ 11.如图，是二次函数 y ax 2 x a 2 1 的图象，则 a=________
九年级上册二次函数专题讲义
九年级上册二次函数专题讲义一、二次函数概念二次函数是指形如y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的函数。
需要注意的是，和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b，c可以为零。
例如，下列函数中哪些是二次函数：①y=3x²；②y=x²-x(1+x)；③y=x²(x²+x)-4；④y=1+x；⑤2xy=x(1-x)。
其中，例1需要判断每个函数的a，b，c值，而例2则是给定函数，需要判断m取何值时，该函数是关于x 的二次函数。
练1和练2则是练判断给定函数是否是关于x的二次函数，需要注意二次项系数a是否为零。
练3是已知点A在函数y=x-1的图像上，需要求出点A的坐标。
二、二次函数的基本形式二次函数的基本形式是y=ax²，它的图象是一条抛物线，有一条对称轴，对称轴和图象有一点交点，这个点叫做抛物线的顶点。
画出函数y=x的图象的步骤如下：首先列出函数对应值表，然后在直角坐标系中描点，最后用光滑的曲线连接各点得到函数的图象。
需要注意的是，抛物线与它的对称轴的交点就是抛物线的顶点。
通过观察比较函数y=x和y=-x的图象，可以得出它们关于y轴对称的结论；通过观察比较函数y=2x和y=-2x的图象，可以得出它们关于x轴对称的结论。
同时，可以发现这四个函数的图象都是抛物线，都有一条对称轴和一个顶点。
因此，结论是函数y=ax²的图象是一条抛物线，它关于y轴对称，它的顶点坐标是(0,0)。
当$a>0$时，抛物线$y=ax^2$开口向上，对称轴左侧，$y$随$x$的增大而增大；对称轴右侧，$y$随$x$的增大而减小；顶点是抛物线上位置最低的点。
当$x=-\frac{b}{2a}$时，函数值$y=ax^2$取得最小值，最小值是$-\frac{b^2}{4a}$。
当$a<0$时，抛物线$y=ax^2$开口向下，对称轴左侧，$y$随$x$的增大而减小；对称轴右侧，$y$随$x$的增大而增大；顶点是抛物线上位置最高的点。
2014年 九年级数学上册同步教案+同步练习--二次函数
第22章 二次函数第01课 二次函数图像性质 一知识点：定义：一般地，形如 ，（a,b,c 常数，且 ）的函数为二次函数。
其中x 是自变量，a 是_______，b 是_______，c 是_________．复习：画一个函数图象的一般过程是① ；② ；③ 。
抛物线2ax y =的性质(2)当a ＞0时，在对称轴的左侧，即x 0时，y 随x 的增大而 ； 在对称轴的右侧，即x 0时,y 随x 的增大而 。
(3)在前面图中，关于x 轴对称的抛物线有 对，它们分别是哪些？答： 。
由此可知和抛物线2ax y =关于x 轴对称的抛物线是 。
(4)当a ＞0时，a 越大，抛物线的开口越___________；当a ＜0时，a 越大，抛物线的开口越_________； 因此，a 越大，抛物线的开口越________。
函数k ax y +=2图象性质（1）形状：二次函数k ax y +=2的图象是 ，（2）开口方向：当a 0时，开口向_____；当a 0时，开口向_____； （3）顶点坐标：（4）对称轴： 或（5）最值：当a 0时，有最 值；当a 0时，有最 值。
（6）增减性：当a 0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而______，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而______；当a 0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而______，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而______； （7）图象上下平移：2ax y =向 平移 个单位后解析式为）（02>+=k k ax y 2ax y =向 平移 个单位后解析式为）（0-2>=k k ax y上下平移与 有关 平移规律：例1.已知3-2)4-(2-3-2x m y m m+=是二次函数,求m 的值.例2.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC 边长为x m ，绿化带的面积为y m 2．求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．例3.某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图： (1)根据如图直角坐标系求该抛物线的解析式；(2)若菜农身高为1.69米，则在他不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围有几米？例4.已知二次函数y=ax 2经过点A （-2，4） (1)求出这个函数关系式；(2)写出抛物线上纵坐标为4的另一个点B 的坐标，并求出S △AOB ；(3)在抛物线上是否存在另一个点C ，使得△ABC 的面积等于△AOB 面积的一半？如果存在，求出点C 的坐标；如果不存在，请说明理由．课堂练习：1.下列函数中，是二次函数的是（ ） A.y=x 2－1B.y=x －1C.y=8xD.y=8x22.函数2ax y =与b ax y +=-的图象可能是（ ）3.抛物线y=-x 2不具有的性质是（ ）A.开口向下B.对称轴是 y 轴C.与 y 轴不相交D.最高点是原点4.观察：①26y x =；②235y x =-+；③y=200x 2＋400x ＋200；④32y x x =-；⑤213y x x=-+； ⑥()221y x x =+-．这六个式子中二次函数有 。
精品 2014年九年级数学上册暑期讲义+同步练习--二次函数 第06课 二次函数解析式求法
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10.已知二次函数的图象与 x 轴交于 A（-2，0） 、B（3，0）两点，且函数有最大值是 2. (1)求二次函数的图象的解析式；(2)设次二次函数的顶点为 P，求△ABP 的面积.
11.已知某绿色蔬菜生产基地收获的大蒜， 从四月一日起开始上市的 30 天内， 大蒜每 10 千克的批发价 y （元）是上市时间 x (天)的二次函数，有近几年的行情可知如下信息：
2
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日期：
1.已知 y mx m A.0，-3
课堂测试题 06 满分：100 分 姓名：
） C.0 ） B.x>0 时 y 随 x 增大而增大。 D.若 a>0 则 y 有最大值。
得分：
是二次函数，则 m 的值为（ B.0，3
D.-3
2.关于二次函数 y ax 2 b ，命题正确的是（ A.若 a>0,则 y 随 x 增大而增大 C.若 x>0 时，y 随 x 增大而增大
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9.如图：(1)求该抛物线的解析式；(2)根据图象回答：当 x 为何范围时，该函数值大于 0。
10.如图，已知平行四边形 ABCD 的周长为 8cm，∠B=30°，若边长 AB=x(cm)。 (1)写出□ABCD 的面积 y(cm )与 x 的函数关系式，并求自变量 x 的取值范围。 (2)当 x 取什么值时，y 的值最大?并求最大值。 (3)求二次函数的函数关系式
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例 4.已知二次函数 y
1 2 、B（0，－6）两点。 x bx c 的图象经过 A（2，0） 2
（1）求这个二次函数的解析式 （2）设该二次函数的对称轴与 x 轴交于点 C，连结 BA、BC，求△ABC 的面积。
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第09课 二次函数综合复习
1.把242+--=x x y 化成k h x a y +-=2)(的形式是（ ）
A.y=-(x-2 )2
-2 B.y=-(x-2 )2
+6 C. y =-(x+2 )2
-2 D. y=-(x+2 )2
+6 2.图象的顶点为(-2，-2 )，且经过原点的二次函数的关系式是（ ） A.y=
12(x+2 )2 -2 B.y=12
(x-2 )2 -2 C. y = 2(x+2 )2 -2 D. y= 2(x-2 )2
-2 3.把二次函数215
322
y x x =++的图象向右平移2个单位，
再向上平移3个单位，所得到图象的函数解析式是（ ）
A.21(5)12
y x =-+ B.21(1)52y x =+- C.21322y x x =++ D.217
22y x x =+-
4.抛物线y=2x 2
-5x+3与坐标轴的交点共有（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个 5.二次函数y=(x-3)(x+2)的图象的对称轴是( ) A.x=3 B.x=-2 C.x=-12 D.x=1
2
6.二次函数522-+=x x y 有( )
A.最大值-5
B.最小值-5
C.最大值-6
D.最小值-6 7.抛物线2)1(2
1
2+-=
x y 的对称轴是直线__________顶点坐标为__________ 8.把322---=x x y 配方成k h x a y +-=2)(的形式为__________ 9.抛物线262+--=x x y 与x 轴的交点的坐标是_________
10.方程ax 2
+bx+c=0的两根为-3，1则抛物线y=ax 2
+bx+c 的对称轴是直线__________
11.已知直线y=2x-1与两个坐标轴的交点是A 、B ，把y=2x 2
平移后经过A 、B 两点，则平移后的二次函数解析式为______________
12.已知抛物线222)1(2k k x k x y -+-+-=，它的图象经过原点，求①解析式; ②与x 轴交点O 、A 及顶点C 组成的△OAC 面积。
13.二次函数y =ax 2
+bx+c （a ≠0）的部分图象如图所示， 求函数解析式．
14.如图，直线m x y +=和抛物线c bx x y ++=2都经过点A(1，0)，B(3，2)． ⑴ 求m 的值和抛物线的解析式； ⑵ 求不等式m x c bx x +>++2
的解集．
15.右图为抛物线c bx x y ++-=2的一部分，它经过A (1,0)-，B (0,3)两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将此抛物线向左平移3个单位，再向下平移1个单位， 求平移后的抛物线的解析式．
16.将10cm 长的线段分成两部分，一部分作为正方形的一边，另一部分作为一个等腰直角三角形的斜边，求这个正方形和等腰直角三角形面积之和的最小值。
17.在一边靠墙的空地上，用砖墙围成三格的矩形场地（如下图）已知砖墙在地面上占地总长度160m，问分隔墙在地面上的长度x为多少时所围场地总面积最大？并求这个最大面积。
18.如图，已知抛物线y1=-x2+bx+c经过A(1,0)，B(0,-2)两点，顶点为D．
（1）求抛物线y1 的解析式；
（2）将△AOB绕点A顺时针旋转90°后，得到△AO/B/，将抛物线y1沿对称轴平移后经过点B/，写出平移后所得的抛物线y2 的解析式；
课堂测试题09
日期： 月 日 满分：100分 姓名： 得分：
1.与y=2(x-1)2+3形状相同的抛物线解析式为（ ）
A.y=1+
2
1x 2 B.y=(2x+1)2 C.y = (x-1)2 D.y=2x 2
2.抛物线()2
23y x =+-可以由抛物线2y x =平移得到,则下列平移过程正确的是( )
A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位
B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位
C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位
D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位 3.已知二次函数的图象(0≤x ≤3)如图．关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是( ) A.有最小值0，有最大值3
B.有最小值－1，有最大值0
C.有最小值－1，有最大值3
D.有最小值－1，无最大值
4.二次函数223y x x =--的图象如图所示．当y ＜0时，自变量x 的取值范围是（ ）． A.－1＜x ＜3 B.x ＜－1
C.x ＞3
D ．x ＜－1或x ＞3
5.如图为抛物线2y ax bx c =++的图像，A 、B 、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是( )
A.a ＋b=-1
B.a-b=-1
C.b<2a
D.ac<0 6.当m__________时，y=x 2-(m+2)x+4
1m 2
与x 轴有交点. 7.若()4
2
3---=a a
x a y 是二次函数，则二次函数解析式是__________
8.抛物线452+-=x x y 与x 轴交点的坐标为 。
9.抛物线122
12
---
=x x y 的顶点坐标是____________
10.抛物线c bx ax y ++=2中，a<0，抛物线与x 轴有两个交点A （2，0）B （-1，0）， 则02>++c bx ax 的解是____________;02<++c bx ax 的解是___________ 11.抛物线y=
2
1x 2
向上平移2个单位长度后得到新抛物线的解析式为___________ 12.二次函数 2
53212++=
x x y 的图像是由221
x y =的图像先向 平移 个 单位，再向
平移 个单位得到的．
13.根据下面的条件，求二次函数的解析式：
(1)图象经过（1，-4），（-1，0），（-2，5） (2)图象顶点是（-2，3），且过（-1，5）
14.当二次函数图象与x 轴交点的横坐标分别是x 1=-3，x 2=1时，且与y 轴交点为（0，-2），求这个二次函数的解析式
15.已知二次函数y=x 2+mx+m-5，求证:不论m 取何值时，抛物线总与x 轴有两个交点.
16.体育课上，老师用绳子围成一个周长为40米的游戏场地，围成的场地是如图所示的矩形ABCD ．设宽AB 的长为x （单位：米），图形ABCD 的面积为S （单位：平方米）．
（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）当x为多少时，图形ABCD的面积为最大，其最大值为多少平方米？。