第七章、图

例 1 3 2 5 4 7 6

子图——如果图G(V,E)和图G‘(V’,E‘),满足：

V’V E’E
2 1 4 3 5 6 图与子图
则称 例G‘为G的子图
3
5 6


连通——从顶点V到顶点W有一条路径，则说V和W 是连通的 连通图——图中任意两个顶点都是连通的叫~ 连通分量——非连通图的每一个连通部分叫~ 强连通图——有向图中，如果对每一对Vi,VjV, ViVj,从Vi到Vj 和从Vj到 Vi都存在路径，则称G 是~ 例
答：对于n个顶点的无向图和有向图，用邻接矩 阵表示时： 1)设m为矩阵中非零元素的个数，则无向图的边 数=m/2 2)在矩阵中第i行,第j列的元素若为非零值，则该 两顶点有边相连。 3)对于无向图，任一顶点i的度为第i行中非零元 素的个数。
邻接矩阵法的实现
P.119
2、邻接表(P.119)
对于图G1中每个顶点vi,将所有邻接于vi的顶点vj链成一个单 链表,这个单链表就称为顶点vi的邻接表,再将所有顶点的邻接表 表头放到数组中,就构成了图的邻接表。
第三节、图的遍历

给出一个图G和其中的任意一个顶点v，从v出
发访问图G中的所有顶点，且每个顶点仅访问
一次，这一过程叫做图的遍历。

根据每个顶点在遍历过程中访问的先后顺序
，可以得到由图的所有顶点组成的序列，这
个序列称为遍历序列。

复杂性 与树的遍历相比，图的遍历要复杂得多。因为图的任一顶点都可能与其 余的顶点相邻接，所以在访问了某个顶点之后，在以后的访问过程中又可能
w = p->adjvex;
if (!visited[w]) DFS(G, w);
// 对v的尚未访问的邻接顶点w递归调用DFS
}
}//DFS
二、广度优先遍历
广度优先遍历BFS—Breadth First Search方法：从 图的某一顶点V0出发，访问此顶点后，依次访问V0的各 个未曾访问过的邻接点；然后分别从这些邻接点出发， 广度优先遍历图，直至图中所有已被访问的顶点的邻接 点都被访问到；若此时图中尚有顶点未被访问，则另选 图中一个未被访问的顶点作起点，重复上述过程，直至 图中所有顶点都被访问为止
2
^
6 7
8
8
void DFSTraverse(ALGraph G)
{
// 对以邻接表表示的图G作深度优先遍历。
bool visited[G.vexnum];
// 附设访问标志数组
for (v=0; v<G.vexnum; ++v) visited[v] = FALSE; // 访问标志数组初始化 for (v=0; v<G.vexnum; ++v) if (!visited[v]) DFS(G, v); // 对尚未访问的顶点调用 DFS }
例 V2 V4 V8 广度遍历：V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V5 V6 V1 V3 V7 V4 V8 广度遍历：V1 V2 V3 V4 V6 V7 V8 V5 例 V2 V5 V6 V1 V3 V7
开始
开始 标志数组初始化 Vi=1 Y Vi访问过 N BFS BFS 访问V0,置标志 初始化队列 V0入队 队列空吗 N 队头V出队 求V邻接点w N Vi==Vexnums Y 结束 w存在吗 Y w访问过 N a Y a 访问w,置标志 w入队 V下一邻接点w
向图和有向图都适用
一、深度优先遍历
无向图的例子
深度优先遍历算法--递归算法
开始 标志数组初始化 Vi=1 Vi访问过 Y Vi=Vi+1 N Vi==Vexnums Y 结束 N 开始 访问V0,置标志 求V0邻接点
有邻接点w
N
结束 Y
DFS
Y
W访问过 N wV0 DFS
求下一邻接点
例
void DFS(ALGraph G, int v) { // 从第v个顶点出发递归地深度优先遍历图G。 visited[v] = TRUE; VisitFunc(G.vertices[v].data); // 访问第v个顶点 for ( p=G.vertices[ v ].firstarc; p; p=p->nextarc; ) {
使用邻接表存储的图广度遍历 vexdata firstarc 例 2 1 3 4 1 2 3 4
1
2 3 4 5 f
4 5
adjvex next 3
1 1 1 3 f 4 3 0 1 2 3 4 5 ^ ^ ^
2
^
5
5 4
5
5
2
^
f 1 0 1 2 3 4 5 r
4 0 1 2 3 4 5
r
r
遍历序列：1 4 3
Y
Vi=Vi+1 N
结束
//------- 按广度优先非递归遍历图G。使用辅助队列Q 和访问标志数组visited。
void BFSTraverse(Graph G, Status (*Visit)(int v)) { for (v=0; v<G.vexnum; ++v) visited[v] = FALSE; InitQueue(Q); // 置空的辅助队列Q for ( v=0; v<G.vexnum; ++v ) if ( !visited[v]) { // v尚未访问 EnQueue(Q, v); // v入队列 while (!QueueEmpty(Q)) { DeQueue(Q, u); // 队头元素出队并置为u visited[u] = TRUE; Visit(u); // 访问u for ( w=FirstAdjVex(G, u); w!=0; w=NextAdjVex(G, u, w) ) if ( ! visited[w]) { visited[w]=TRUE; visit(w); EnQueue(Q, w); // u的尚未访问的邻接顶点w入队列Q };//if }//while }//if } // BFSTraverse
第二节、图的存储结构
图的存储结构
邻接矩阵
邻接表
邻接矩阵（数组表示法）
有向图邻接矩阵举例
无向图邻接矩阵举例
无向网的邻接矩阵表示
邻接矩阵表示法的特点
邻接矩阵表示法的特点



例、对n个顶点的无向图采用邻接矩阵 表示时，如何判别下列有关问题? 1) 图中有多少条边? 2) 任意两个顶点i和j是否有边相连? 3) 任意一个顶点的度是多少?
遍历序列：1
遍历序列：1 4
vexdata firstarc 例 2 1 3 5 4 1 2 3 4 5
1
2 3 4 5
4 5
adjvex next 3
1 1 1 3 ^ ^ ^
2
^
5
5 4
2
^
f 4 3 2 0 1 2 3 4 5 r 遍历序列：1 4 3 2
f 3 2 0 1 2 3 4 5 r
a
c b
d (b) 无向图G


有向完全图——n个顶点的有向图最大边数是 n(n-1) 无向完全图——n个顶点的无向图最大边数是 n(n-1)/2 2 2
例 1
有向完全图
3
1
无向完全图
3

顶点的度

无向图中，顶点的度TD为与每个顶点相连的边数 有向图中，顶点的度分成入度与出度 入度ID：以该顶点为头的弧的数目 出度OD：以该顶点为尾的弧的数目
第七章、图
本章内容

第一节、基本概念 第二节、图的存储结构 第三节、图的遍历 第四节、图的应用
第一节 图的定义和基本术语

图(Graph)G是由两个集合V和E组成的偶对,表示为
G=（V，E）
其中V是有限非空的顶点集合，E是由顶点偶对表示的关系集合。 A 一个图可以形式化定义为： B G=（V，E） V={v|v data object} E={<v,w>| v,w V∧P(v,w)}
C
D
E
F 其中v是数据元素，称为顶点（vertex），P(v,w)表示从顶点v
到顶点w有一条直接通路，即v和w之间存在一个关系，用顶点偶对 <v,w>来表示。 通常可以根据图的顶点偶对将图分为有向图和无向图。
有向图
如下图(a)是一个有向图G，可形式地表示为：
G=(V,E) V={a，b，c，d，e} E={<a,b>，<a,c>，<a,e>，<c,d>，<c,e>，<d,a>， <d,b>，<e,d>}
例 1 3 2 5 4 7 6 1 2 4 3 G1 顶点2入度：1 出度：3 顶点4入度：1 出度：0 5 6
例
G2
顶点5的度：3 顶点2的度：4

权——与图的边或弧相关的数叫权 网——带权的图叫网
1 2 2 61 3 3 81 9 5 4 5
1
一个带权有向图




例
路径——路径是顶点的序列V={Vi0,Vi1,……Vin}，满足 (Vij-1,Vij)E 或 <Vij-1,Vij>E,(1<jn) 路径长度——沿路径边的数目或沿路径各边权值之和 回路——第一个顶点和最后一个顶点相同的路径叫回路 简单路径——序列中顶点不重复出现的路径叫~ 简单回路——除了第一个顶点和最后一个顶点外，其余 顶点不重复出现的回路叫~
邻接表表示存储结构
P。120
邻接表的优点
边（或弧）稀疏时，节省空间； 边（或弧）相关的信息多时，节省时间 容易求得当前定点的第一个邻接点、下一个邻 接点