第7章 图(2)
第七章 2汉密尔顿图
L: v1
vp
2021/2/16
7-2 汉密尔顿图 2021/2/16
7-2 汉密尔顿图
如果 v p 不邻接于 vl1, vm1,..., v j1,..., vt1 中的任意一个结点，则 deg(vp ) p 1 k ，
deg(u)＋deg(v)≥ n， 则G是汉密尔顿图。
2021/2/16
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7-2 汉密尔顿图
设G＝〈V ,E〉是有n个结点的简单图， (1) 如果任两结点u，v∈V， 均有
deg(u)＋deg(v)≥ n－1， 则在G中存在一条汉密尔顿路；
（1）证明：首先证明图 G 连通。用反证法进行证明。假设图 G 不连通，则图 G 至少
deg(v1) k ， deg(vp ) deg(v1) p 1 k k p 1 n 1 ， 这 与 前 提 条 件
deg u ＋deg v n－1矛盾。因此 v p 必然邻接于 vl1, vm1,..., v j1,..., vt1 中的任意一个结
点。回路 L1 一定存在。 STEP 3：打开回路，得到基本路径 L2。
有两个连通分支 G1 和 G2 。G1＝<V1, E1> ，G2＝<V2 , E2> 。| V1 | n1 ，| V2 | n2 。在G1 中取 一 个 结 点 v1 ， deg(v1) n1 1 ， 在 G2 中 取 一 个 结 点 v2 ， deg(v2 ) n2 1 。
deg(v1) deg(v2 ) n1 1 (n2 1) n1 n2 2 n 2 ，与 deg u＋deg v n－1 矛
因此该定理不能证明彼得森图是非 汉密尔顿图。但彼得森图是非汉密尔 顿图。
第7章 信号处理电路 习题解答
7.3简述电荷放大器有什么特点，应用于何种场合。
解：电荷放大器应用于压电式加速度传感器、压力传感器等的后端放大。
上述两种传感器属于电容性传感器，这类传感器的阻抗非常高，呈容性，输出电压很微弱；他们工作时，将产生正比于被测物理量的电荷量，积分运算电路可以将电荷量转换成电压量，电路如下图所示。
解：1）LBF；2）BPF；3）HPF；4）BEF。
二、判断下列说法是否正确，用 “√”（正）和“ ”（误）填入括号内。
1）高通滤波器的通频带是指电压的放大倍数不变的频率范围。（）
2）低通滤波器的截止频率就是电压放大倍数下降1/2的频率点。（）
3）带通滤波器的频带宽度是指电压放大倍数大于或等于通带内放大倍数0.707的频率范围。（）
其中 ；
该滤波器为二阶低通滤波电路，幅频特性如下图：
7.7试说明图P7－8所示各电路属于哪种类型的滤波电路，是几阶滤波电路。
（1）
（2）
图P7-7
解：
图（1）所示电路二阶带通滤波器或者二阶带阻滤波器。
前一个运放为高通滤波器（截止频率f1），后一个运放为低通滤波器（截止频率f2），如果 ，则f1<f2，该滤波器为二阶带通滤波器；如果 ，则f1>f2，该滤波器为二阶带阻滤波器。
电容性传感器可等效为因存储电荷而产生的电动势Ut与一个输出电容Ct串联，如图中虚线框内所示。根据集成运放的特点，可得到输出电压为： 。
7.4简述隔离放大器有什么特点，应用于何种场合。
解：隔离放大器通常应用于远距离信号传输。
在远距离信号传输的过程中，常因强干扰的引入使放大电路的输出有很强的干扰背景，甚至将有用信号淹没，造成系统无法正常工作。隔离放大器将电路的输入侧和输出侧在电气上完全隔离，它既可切断输入侧和输出侧电路间的直接联系，避免干扰混入输出信号，又可使有用信号畅通无阻。目前集成隔离放大器有变压器耦合式、光电耦合式和电容耦合式三种。
(名师整理)最新人教版物理8年级下册第7章第2节《弹力》精品课件
解析：弹簧测力计 A 的读数为 3 N 时，说明弹簧测力 计 A 的弹簧受力为 3 N，由于弹簧测力计 A 处于静止，受 平衡力作用，则左侧手对弹簧测力计的拉力为 3 N；弹簧 测力计 A 的弹簧受力大小为 3 N，由于力的作用是相互的， A 弹簧对 B 弹簧的拉力等于弹簧测力计 A 的弹簧受力大 小，也是 3 N，即弹簧测力计 B 的示数为 3 N；而两个弹 簧测力计整体要处于平衡状态，右手对弹簧测力计 B 的拉 力等于左侧手对弹簧测力计的拉力，也是 3 N．故选：A.
面挂一个钩码时长度为 6 cm，挂 2 个相同的钩码时
长度为 7 cm，挂 4 个相同的钩码时，弹簧测力计的
伸长量是( D )
A．8 cm
B．7 cm
C．9 cm
D．4 cm
10．如图所示的三个装置中，弹簧和小球均完 全相同，弹簧和细线的质量均不计，一切摩擦忽略 不计，平衡时各弹簧的长度分别为 L1、L2、L3，其 大小关系是( D )
图 3 中弹簧受到两个小球的拉力而平衡，其情况可以 等效为图 2，故弹簧的长度 L3＝L2；
故 L1＝L2＝L3.
11．某实验小组的同学对 A、B 两根长度相同、 粗细不同的橡皮筋进行研究，并做成橡皮筋测力 计．将橡皮筋的一端固定，另一端悬挂钩码(如图甲 所示)，记录橡皮筋受到的拉力大小 F 和橡皮筋伸长 量Δx，根据多组测量数据作出的图线如图乙所示．
解析：物体间力的作用是相互的可知，对弹簧测力计施加 力，弹簧测力计的长度就伸长，则该力的受力物一定为弹簧测 力计；
A、秒表的重力，施力物体是地球，受力物体是秒表，故 A 错误；
B、秒表对弹簧的拉力，施力物体是秒表，受力物是弹簧测 力计，故 B 正确；
C、弹簧对秒表的拉力，施力物体是弹簧，受力物体是秒表， 故 C 错误；
第7章图(2)-数据结构教程(Python语言描述)-李春葆-清华大学出版社
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或者
def DFS1(G,v): print(v,end=' ') visited[v]=1 for p in G.adjlist[v]: w=p.adjvex if visited[w]==0: DFS1(G,w)
#邻接表G中从顶点v出发的深度优先遍历 #访问顶点v #置已访问标记 #处理顶点v的所有出边顶点 #取顶点v的一个邻接点w
图采用邻接矩阵为存储结构，其广度优先遍历算法如下：
from collections import deque
MAXV=100
#全局变量，表示最多顶点个数
visited=[0]*MAXV
def BFS(g,v):
#邻接矩阵g中顶点v出发广度优先遍历
qu=deque()
#将双端队列作为普通队列qu
print(v,end=" ")
#访问顶点v
visited[v]=1
#置已访问标记
qu.append(v)
#v进队
while len(qu)>0:
#队不空循环
v=qu.popleft()
#出队顶点v
for w in range(g.n):
if g.edges[v][w]!=0 and g.edges[v][w]!=INF:
#全局变量，表示最多顶点个数
#邻接表G中顶点v出发广度优先遍历 #将双端队列作为普通队列qu #访问顶点v #置已访问标记 #v进队
#队不空循环 #出队顶点v
#处理顶点v的所有出边 #取顶点v的第j个出边邻接点w #若w未访问 #访问顶点w #置已访问标记 #w进队
时间复杂度为O(n+e)。
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第7章《平面图形的认识(二)》考点+易错
第7章《平面图形的认识（二)》考点+易错知识梳理重难点分类解析考点1 和平移有关的图形周长、面积计算【考点解读】本考点解题时,一般运用平移的性质(如:连接平移前后对应点的线段的长等于平移的距离）来解决有关图形的周长、面积计算问题.例 1 如图所示是重叠的两个直角三角形,将直角三角形ABC 沿BC 方向平移到DEF ∆.如果8AB =c ｍ，4BE =cm,3DH =cm ，那么图中阴影部分的面积为 ｃm 2．分析:阴影部分是一个梯形,用我们目前所学的知识无法求出该梯形的上、下底和高，因而不能运用梯形的面积公式求其面积.注意到DEF ∆是由ABC ∆经过平移得到的,因此ABC DEF S S ∆∆=,即HEC DEF ABEH S S S S ∆∆+=+阴影梯形，于是ABEH S S =阴影梯形1(883)4262=+-⨯=（cm ２). 答案：26【规律·技法】本题考查平移的性质:经过平移,对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且相等，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等,对应角相等。
解题的关键是找到平移的对应点。
【反馈练习】1。
(2018·苏州期中)如图,将ABC ∆沿BC 方向平移2 cm 得到DEF ∆.若ABC ∆的周长为16 ｃm ，则四边形ABFD 的周长为( ）A 。
16 c ｍ Ｂ． 18 c ｍ C. ２0 c ｍ Ｄ。
２2 ｃｍ点拨:由平移的性质可知2BE FC AD ===ｃm,AC DF =。
2。
（201８·扬州期末）如图是某公园里一处长方形风景欣赏区ABCD ，长50AB =m ，宽30BC =m,为方便游人观赏,公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分）,小路的宽均为1 m ，那么小明沿着小路的中间从出口A 到出口B 所走的路线（图中虚线)长为 m.点拨:分别求出小明横向和纵向移动的距离即可。
考点2 利用平行线的性质和三角形内角和定理求角度大小【考点解读】本考点解题时要熟练掌握平行线的性质与三角形内角和定理，这是解题的基础,要善于分解图形，即将较复杂的图形分解出“两条平行线被第三条直线所截"与“三角形”的图形,然后分析各角之间的联系．例2 (2０17·重庆)如图，//AB CD ,E 是CD 上一点,42AEC ∠=︒,EF 平分AED ∠交AB于点F ，求AFE ∠的度数．分析:由互补的性质求出AED ∠的度数,由角平分线的定义得出DEF ∠的度数，再由平行线的性质即可求出AFE ∠的度数.解答：因为42AEC ∠=︒,所以18042138AED ∠=︒-︒=︒。
第7章第2节 区域产业结构、演进机制、演进理论
（资料来源： Bergman E F, Renwick W H .Introduction to Geography: Pe3o2ple, Places, and Environment. New Jersey :Prentice-Hall,Inc,1999.447）
(二) 区域产业结构演进理论
图 区域产业结构示意图
4
一、区域产业分类
（一）三次产业分类法（克拉克(C.G.Clark)产业分类）
第一产业、第二产业、第三产业
（二）产业功能分类
根据各个产业在经济增长中的作用和相互之间的联系，分为主导产业、关 联产业、基础产业
（三）要素集约度产业分类
根据产业对自然资源、资本、劳动力、技术等生产要素的依赖程度划分的产业类型。 例如资源密集型产业、资本密集型产业、劳动密集型产业、技术密集型产业
支柱产业—延长其生命力
➢ 给予必要的支持和保护。同时，要积极采用新的技术改造 支柱产业，使它能够保持长久的生命力，防止它过早地出 现衰退而限制了区域经济增长。
22
三、区域产业结构演变理论
（一）区域产业结构演进机制 ➢ 1、市场机制 ➢ 2、政府干预
市场机制与政府干预相互补充、相互制约，引导和 推动着区域产业结构不断地发生变化。
环保产业，重点产业等
14
二、区域产业结构模式
区域产业结构模式代表了区域内各产业之间的典型 组合方式。
此处主要介绍以主导产业、关联产业和基础 性产业所构建的区域产业结构模式。
15
以主导产业为核心的区域产业结构
主导产业是区域经济的组织核心。 关联产业的配套就是根据主导产业来合理规划、促进其相关产
（2）重要性——这类产业有可能在不远的将来发展 为新的主导产业。
华南理工大学 运筹学 第7章 图论-2(简) 工商管理学院
节点标号—对已标号未检查的节点v1，对与其相邻 、未标号的节点v4（前向非饱和弧）进行标号。
[+vs,4]
(7,3) v1 (7,2)
[+v1,4]
v4 (9,6)
(5,1) v2
[-, ∞]
vs
(8,4)
(4,0) (7,1) (16,5) (6,4) v5
18
(10,4)
vt
(4,0)
(10,4)
[-, ∞]
vs
(10,4)
(4,0) (10,4) v3
(16,5)
(6,4) v5
22
Ford-Fulkerson标号算法示例1
（第2轮迭代） 1-搜索过程：
节点标号—对节点v4（前向非饱和弧）进行标号。
[+vs,1]
(7,6) v1 (7,5)
[+v1,1]
v4 (9,9)
(5,1) v2
图G为流量网络。
2
最大流问题示例1
Petro公司的天然气管道输送网络：vs为Petro公 司的制气厂，vt为输送目的地的储气库，其它 中间节点为流量检测和控制站。各点间的弧代 表输送管道，其权值的两个数字分别表示容量 和当前的流量。问：如何利用输送管道，可以 使从制气厂运输到目的地的天然气最多？
(1) 已标号已检查；(2)已标号未检查；(3)未标号。
检查是指从一个已取得标号、未检查的节点vi 出发，搜寻与之邻接的其它未取得标号的节点 vj ，并根据vi的标号计算得到vj的标号。
7
Ford-Fulkerson标号算法
节点vj的标号为[+vi,θj]或[−vi,θj]：
第7章图(下)-数据结构简明教程(第2版)-微课版-李春葆-清华大学出版社
成
树
（1）置U的初值等于V（即包含有G中的全部顶点），TE的初
和 最
值为空集（即图T中每一个顶点都构成一个连通分量）。
小
（2）将图G中的边按权值从小到大的顺序依次选取：若选取
生
成
的边未使生成树T形成回路，则加入TE；否则舍弃，直到TE中包
树
含n-1条边为止。
实现克鲁斯卡尔算法的关键是如何判断选取的边是否与生成树 中已保留的边形成回路？
7.4
建立了两个辅助数组closest和lowcost。
所有顶点分为U和V-U两个顶点集。
U中的顶点i：lowcost[i]=0；
生
V-U中的顶点j：lowcost[j]>0。
成
树
和
最
小 生
i
j
成
树
U中i：lowcost[i]=0
V-U中j：lowcost[j]>0
7.4
实现普里姆算法（2/3）：
生
通过深度优先遍历产生的生成树称为深度优先生成树。
成
树
通过广度优先遍历产生的生成树称为广度优先生成树。
和
最
小
生
成
树
无向图进行遍历时：
7.4
连通图：仅需要从图中任一顶点出发，进行深度优先遍历或广
度优先遍历便可以访问到图中所有顶点，因此连通图的一次遍
历所经过的边的集合及图中所有顶点的集合就构成了该图的一
7.4
为此设置一个辅助数组vset[0..n-1]，它用于判定两个顶点之
生
间是否连通。
成
数组元素vset[i]（初值为i）代表编号为i的顶点所属的连通
树
子图的编号。
和
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第七章图
一、选择题
1．用DFS遍历一个无环有向图，并在DFS算法退栈返回时打印相应的顶点，则输出的顶点序列是( )。
A．逆拓扑有序 B．拓扑有序 C．无序的【中科院软件所1998】
2．下面哪一方法可以判断出一个有向图是否有环（回路）：【东北大学 2000 4、2（4分）】A．深度优先遍历 B. 拓扑排序 C. 求最短路径 D. 求关键路径
3. 求解最短路径的Floyd算法的时间复杂度为( )。
【合肥工业大学 1999 一、2 （2分）】
A．O（n） B. O（n+c） C. O（n*n） D. O（n*n*n）
4．已知有向图G=(V,E)，其中V={V1,V2,V3,V4,V5,V6,V7}，
E={<V1,V2>,<V1,V3>,<V1,V4>,<V2,V5>,<V3,V5>,<V3,V6>,<V4,V6>,<V5,V7>,<V6,V7>},G的拓扑序列是（）。
A．V1,V3,V4,V6,V2,V5,V7 B．V1,V3,V2,V6,V4,V5,V7
C．V1,V3,V4,V5,V2,V6,V7 D．V1,V2,V5,V3,V4,V6,V7
【北京航空航天大学 2000 一、7 （2分）】
5．若一个有向图的邻接距阵中,主对角线以下的元素均为零,则该图的拓扑有序序列（）。
A．存在 B．不存在【中科院计算所1998 二、6 (2分）】【中国科技大学 1998二、6（2分）】
6．一个有向无环图的拓扑排序序列（）是唯一的。
【北京邮电大学 2001 一、3 （2分）】A．一定 B．不一定
7. 关键路径是事件结点网络中（）。
【西安电子科技大学 2001应用一、4 （2分）】
A．从源点到汇点的最长路径 B．从源点到汇点的最短路径
C．最长回路 D．最短回路
8．下列关于AOE网的叙述中，不正确的是（）。
A．关键活动不按期完成就会影响整个工程的完成时间
B．任何一个关键活动提前完成，那么整个工程将会提前完成
C．所有的关键活动提前完成，那么整个工程将会提前完成
D．某些关键活动提前完成，那么整个工程将会提前完成
【北方交通大学 1999 一、7 （3分）】【北京工业大学 1999 一、1 (2分)】
二、判断题
1．任何有向图的结点都可以排成拓扑排序，而且拓扑序列不唯一。
（）【上海交通大学1998 一、13】
2. 关键路径是AOE网中从源点到终点的最长路径。
（）【青岛大学 2000 四、10（1分）】
三、填空题
1．克鲁斯卡尔算法的时间复杂度为______,它对______图较为适合。
【中科院计算所 1999 二、3 （2分）】
2．求最短路径的Dijkstra 算法的时间复杂度为______。
【哈尔滨工业大学 2001 一、5 （2分）】
3．在 AOV 网 中，存在环意味着______，这是______的；对程序的数据流图来说，它表明存在______。
【厦门大学 1999 一、2】
四、 应用题
1．请回答下列关于图(Graph)的一些问题：（每题4分）
（1）．有n 个顶点的有向强连通图最多有多少条边?最少有多少条边?
（2）．表示有1000个顶点、l000条边的有向图的邻接矩阵有多少个矩阵元素？是否稀
疏矩阵？
（3）．对于一个有向图，不用拓扑排序，如何判断图中是否存在环？【清华大学2000一(12分）】
2．下图所示是一带权有向图的邻接表法存储表示。
其中出边表中的每个结点均含有三个字段，依次为边的另一个顶点在顶点表中的序号、边上的权值和指向下一个边结点的指针。
试求：
（1）．该带权有向图的图形；
（2）．从顶点V1为起点的广度优先周游的顶点序列及对应的生成树（即支撑树）；
（3）．以顶点V1为起点的深度优先周游生成树；
（4）．由顶点V1到顶点V3的最短路径。
【中山大学 1994 四 （12分）】
五、算法设计题
1．我们可用“破圈法”求解带权连通无向图的一棵最小代价生成树。
所谓“破圈法”就是“任取一圈，去掉圈上权最大的边”，反复执行这一步骤，直到没有圈为止。
请给出用“破圈法”求解给定的带权连通无向图的一棵最小代价生成树的详细算法，并用程序实现你所给出的算法。
注：圈就是回路。
【复旦大学 1997 六 （13分）】
123
456(顶点边)（出边表）
2．欲用四种颜色对地图上的国家涂色，有相邻边界的国家不能用同一种颜色（点相交不算相邻）。
（1）．试用一种数据结构表示地图上各国相邻的关系，（６分）。
（2）．描述涂色过程的算法。
（不要求证明）（１２分）。
【浙江大学 2002 八（18分）】
六、上机作业
图遍历的演示
1.问题描述
很多涉及图上操作的问题都是以图的遍历算法作为基础。
试写一个程序，演示在连通无向图上访问全部结点的操作。
2.基本要求
以邻接表为存储结构，实现连通无向图的深度优先和广度优先遍历。
以用户指定的结点为起点，分别输出每种遍历下的结点访问序列。
3.测试数据
教科书图7.33.。