新教材高中数学第三章函数3.2函数与方程、不等式之间的关系第1课时函数的零点及其与对应方程、不等式解集之
3.2+函数与方程、不等式之间的关系+第1课时课件-高一上学期数学人教B版(2019)必修第一册
−2x + 1, x ≤ 0,
A.1
1
4
B.
[解析] 当x > 0时，由f x − 2x =
1
4
C.1，
1
0，得
x
A
)
D.1，−1
= x，即x 2 = 1，解得x = −1（舍去）
1
4
或x = 1；当x ≤ 0时，由f x − 2x = 0，得4x = 1，解得x = （舍去）.所以函
a = 5.故选B.
课堂评价
−∞, 1
4.若函数y = x 2 − 2x + a有2个零点，则a的取值范围是_________.
[解析] 由已知得 = 4 − 4a > 0，所以a < 1，故a的取值范围是 −∞, 1 .
课堂评价
5.函数f
x = x2 − x −
1
− ,0
a有4个零点，则a的取值范围为________.
根，即函数f x 有2个零点.
课中探究
∣ x + 1 ∣, x ≤ 3,
变式 已知函数f x = −x 2 + 6x − 5, x > 3, 若函数g x = f x − a有3个不同
的零点，则a的取值范围是( A )
A. 0,4
B. 0, +∞
C. 0,3
D. 3,4
[解析] 作出f x 的图象，并在同一坐标系内作出直线y = a,如图所示.由图知当
α 为函数y = f x 的零点.
课前预习
【诊断分析】
（1）函数的“零点”是一个点吗？
解:不是，函数的“零点”是一个数，实际上是函数y = f x 的图象与x轴交点的横
函数的零点、二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系
1．函数 f(x)＝xx＋ 2－21，，xx＜＞00，的零点为________． 解析：当 x＜0 时，x＋2＝0，则 x＝－2. 当 x＞0 时，x2－1＝0，则 x＝1，x＝－1(舍)． 所以函数 f(x)的零点为－2 和 1. 答案：－2 和 1
2．若 2 是函数 f(x)＝x2－m 的一个零点，则 m＝________． 解析：因为 2 是 f(x)＝x2－m 的一个零点，所以 4－m＝0，m＝ 4. 答案：4
(3)一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有两个正根的条件为
Δ ≥0，
Δ ≥0，
x1＋x2＝－ba＞0， 有 两 个 负 根 的 条 件 为 x1＋x2＝－ba＜0， 有
x1·x2＝ac＞0；
x1·x2＝ac＞0；
一个正根一个负根的条件为 x1·x2＝ac＜0.
a＋b 的值为( )
A．14
B．－10
C．10
D．－14
(2)已知一元二次不等式 x2＋px＋q＜0 的解集为x－12＜x＜13， 求不等式 qx2＋px＋1＞0 的解集．
【解】 (1)选 D.由已知得，ax2＋bx＋2＝0 的解为－12，13，且 a＜0.所以－ 2a＝ba＝ －－1212×＋1313，，解得ab＝＝－－122，，所以 a＋b＝－14. (2)因为 x2＋px＋q＜0 的解集为x－12＜x＜13，所以 x1＝－12与 x2＝13是方程 x2＋px＋q＝0 两个实数根，
2．二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系 一般地，由一元二次方程解集的情况可知，对于二次函数 f(x) ＝ax2＋bx＋c(a≠0)： (1)当 Δ＝b2－4ac__＞__0__时，方程 ax2＋bx＋c＝0 的解集中有两 个元素 x1，x2，且 x1，x2 是 f(x)的两个零点，f(x)的图像与 x 轴 有_两__个___公共点___(_x_1，__0_)___，___(_x_2_，__0_) __；
高中数学第三章 3.2函数与方程不等式之间的关系学案含解析新人教B版必修第一册
3.2 函数与方程、不等式之间的关系第1课时学习目标1.帮助学生逐渐养成借助直观概念、进行逻辑推理的思维习惯,引导学生感悟高中阶段数学课程的特征,逐步适应高中阶段的数学学习.(逻辑推理)2.通过本节课的学习,帮助学生学习运用函数性质求方程近似解的方法,逐步帮助学生树立数学建模的思想.(数学建模)自主预习知识点一函数的零点一般地,如果函数y=f(x)在实数α处的,即,则称.α是函数f(x)零点的充分必要条件是,是函数图像与x轴的公共点.思考:函数的零点是一个点吗?知识点二:二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系Δ=b2-4acΔ>0 Δ=0 Δ<0y=ax2+bx+c(a>0)的图像ax2+bx+c=0 (a>0)的根有两个不相等的实根x1,x2,且x1<x2有两个相等的实根x1,x2,且x1=x2没有实数根ax2+bx+c>(a>0)的解集ax2+bx+c<(a>0)的解集课堂探究一、问题探究1.已知函数f(x)=x-1,我们知道,这个函数的定义域为,而且可以求出,方程f(x)=0的解集为,不等式f(x)>0的解集为,不等式f(x)<0的解集为.2.在图中作出函数f(x)=x-1的图像,总结上述方程、不等式的解集与函数定义域、函数图像之间的关系.要点归纳(1)函数的零点是一个,是使函数值为0的自变量的值.函数的零点不是一个二维有序数组,而是一维数轴上的点的坐标.函数的零点可以与函数的最值点进行类比,两者都是一个数.(2)函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图像与x轴有交点⇔方程f(x)=0有实数根.(3)不是所有函数都有零点,例如f(x)=1就没有零点.x(4)从函数的图像上能方便地看出函数的零点,但是得到函数的图像并不是一件容易的事.(5)知道函数的零点之后,如果可以进一步得到函数在非零点处的符号信息,就能作出这个函数图像的示意图.二、典型例题题型一:求函数的零点的零点是()例1(1)函数y=1+1xA.(-1,0)B.-1C.1D.0(2)若3是函数f(x)=x2-mx的一个零点,则m= .要点归纳函数零点的两种求法:(1)代数法:.(2)几何法:.(3)交点法:如果函数f(x)能够拆成两个函数差的形式,即f(x)=g(x)-h(x),那么函数f(x)的零点可以利用函数的图像的交点得到.变式训练:函数f(x)=ax+b有一个零点是2,那么函数g(x)=bx2-ax的零点是.题型二:一元二次不等式的解法例2利用函数求下列不等式的解集:(1)x2-x-6<0;(2)-x2-2x-3≥0;(3)x2-4x+6≤0.要点归纳解不含参数的一元二次不等式的一般步骤都有哪些?(1)化标准:;(2)判别式:;(3)求实根:;(4)画草图:;(5)写解集:.变式训练:(选自课本习题3—2A)利用函数求下列不等式的解集:(1)x2-2x-3>0;(2)x2-8x+16≥0;(3)x2+4x+5>0.题型三:“三个二次”之间的关系例3若不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-3<x<4},求不等式bx2+2ax-c-3b<0的解集.要点归纳“三个二次”之间都有什么关系?变式训练:已知方程ax2+bx2+2=0的两根为-12和2.(1)求a,b的值;(2)解不等式ax2+bx-1>0.核心素养专练1.例3中把{x|-3<x<4}改为{x|x<-3或x>4},其他条件不变,则不等式的解集又如何?2.已知x=-1是函数f(x)=ax+b(a≠0)的一个零点,则函数g(x)=ax2-bx的零点是()A.-1,1B.0,-1C.1,0D.2,13.若关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实根1,2,则函数f(x)=cx2+bx+a的零点为()A.1,2B.-1,-2C.1,12D.-1,-124.若函数f(x)在定义域{x|x∈R且x≠0}上是偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,f(2)=0,则函数f(x)的零点有()A.一个B.两个C.至少两个D.无法判断5.已知函数f(x)=x2+2x+a,f(bx)=9x2-6x+2,其中x∈R,a,b为常数,求方程f(ax+b)=0的解集.第2课时学习目标1.逐渐养成借助直观概念、进行逻辑推理的思维习惯,感悟高中阶段数学课程的特征,逐步适应高中阶段的数学学习.(逻辑推理)2.通过本节课的学习,掌握运用函数性质求方程近似解的方法,逐步树立数学建模的思想.(数学建模)自主预习知识点一:零点存在定理如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线,并且有,那么,函数y=f(x)在这个区间上,即存在一点x0∈[a,b],使得,这个x0也就是方程f(x)=0的根.思考:函数y=f(x)在区间[a,b]上有零点,则f(a)f(b)<0,对吗?知识点二:二分法1.二分法的定义对于在区间[a,b]上图像且的函数y=f(x),通过不断地把它的零点区,使得所在区间的两个端点逐步逼近,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.思考:用二分法求函数零点的近似值的条件是什么?2.二分法求零点的一般步骤在函数零点存在定理的条件满足时(即f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的,且f(a)f(b)<0),给定近似的精度ε,用二分法求零点x0的近似值x1,使得|x1-x0<ε|的一般步骤如下: 第一步检查是否成立,如果成立,取x1=a+b2,计算结束;如果不成立,转到第二步.第二步计算区间[a,b]的中点a+b2对应的函数值,若f(a+b2)=0,取x1= ,计算结束;若f(a+b2)≠0,转到第三步.第三步若f(a)f(a+b2)<0,将a+b2的值赋给,(用a+b2→b表示,下同),回到第一步;若f(a+b2)f(b)<0,将a+b2的值赋给,回到第一步.这些步骤可用如图所示的框图表示.课堂探究一、问题探究1.关于x的一元一次方程kx+b=0(k≠0)的求根公式为.2.如图所示,已知A,B都是函数y=f(x)图像上的点,而且函数图像是连接A,B两点的连续不断的线,作出3种y=f(x)的可能的图像.判断f(x)是否一定存在零点,总结出一般规律.二、典型例题题型一:函数零点存在定理例1已知函数f(x)的图像是连续的,x,f(x)的对应值如下:x 3 4 5 6 7 8f(x) 123.5621.45 -7.82-11.5753.76126.69则函数f(x)在区间[3,8]内()A.一定有零点B.一定没有零点C.可能有两个零点D.至多有一个零点要点归纳在函数图像连续的前提下,f(a)f(b)<0,能判断出在区间(a,b)内有零点,但不一定只有一个;而f(a)f(b)>0,却不能判断在区间(a,b)内无零点.变式训练:函数y=-x2+8x-16在区间[3,5]上()A.没有零点B.有一个零点C.有两个零点D.有无数个零点题型二:二分法的概念例2(1)下列函数中不能用二分法求零点近似值的是()A.f(x)=3x-1B.f(x)=x3C.f(x)=|x|D.f(x)=x2-2x(2)用二分法求函数f(x)=-4x2+8x-1的零点时,第一次计算得f(0)<0,f(0.5)>0,f(1)>0.可得其中一个零点x0∈,第二次应计算.要点归纳运用二分法求函数的零点应具备的条件:(1)函数图像在零点附近连续不断;(2)在该零点左右的函数值异号.变式训练:用二分法求方程2x+3x-7=0在区间(1,3)内的根,取区间的中点为x0=2,那么下一个有根的区间是.题型三:用二分法求函数零点例3用二分法求函数f(x)=x3-x-2的一个正实数零点(精确度小于0.1).要点归纳用二分法求函数零点的近似值的步骤往往比较烦琐,一般借助表格,利用表格可以清晰地表示逐步缩小到零点所在区间的过程;有时也利用数轴来表示这一过程.变式训练:用二分法求函数f(x)=2x2-3x-1的一个正实数零点(精确度小于0.1).核心素养专练1.已知函数f(x)=x3-2x+2,若在区间(-2,0)中任取一个数作为x0的近似值,那么误差小于;若取区间(-2,0)的中点作为x0的近似值,那么误差小于.2.已知函数f(x)=x2+ax+1有两个零点,在区间(-1,1)上是单调的,且在该区间中有且只有一个零点,求实数a的取值范围.3.求下列函数的零点,并作出函数图像的示意图,写出不等式f(x)≥0和f(x)<0的解集:(1)f(x)=(x-1)(x-2)(x+3);(2)f(x)=(x+2)x2.4.若方程x2-2ax+4=0的两个不相等实数根均大于1,求实数a的取值范围.参考答案第1课时课堂探究(1)B(2)3要点归纳略变式训练:0和-12例2(1)(-2,3)(2)⌀(3)⌀要点归纳略变式训练:(1){x|x>3或x<-1}(2)R(3)R例3{x|-3<x<5}要点归纳略<x<1.变式训练:(1)a=-2,b=3;(2)12核心素养专练x>5}2.C3.C4.B5.⌀第2课时自主预习课堂探究略二、典型例题例1 C变式训练:B例2(1)C(2)x0∈(0,0.5),f(0.25)变式训练:(1,2)例31.562 5变式训练:1.812 5核心素养专练12.(-∞,-1)∪(1,+∞)3.(1)f(x)≥0的解集是[-3,1]∪[2,+∞);f(x)<0的解集是(1,2).(2)f(x)≥0的解集是[-2,+∞);f(x)<0的解集是(-∞,-2).4.2≤a<52第1课时学习目标1.体会函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系.2.通过一元二次函数的零点问题解一元二次不等式.3.了解高次不等式的解法.自主预习完成课本第112页“尝试与发现”中的任务,并阅读第112~113页的内容,完成下列问题: 填写下列表格函数y=x2-2x-3 y=x2-2x+1 y=x2-2x+3函数的图像方程的实数根x1=x2=1不等式的解集y>0的解集y>0的解集y>0的解集y<0的解集课堂探究(一)【问题导入】已知二次函数y=x2-x-6,试问:(1)x为何值时y等于0?(2)画出这个函数的图像,并求图像与x轴交点的坐标.(3)图像与x轴交点的坐标,与方程的解有什么关系?思考:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像有什么关系?(二)【理性认识,概括性质】1.函数零点的概念:2.函数的零点是“点”吗?3.函数的零点与方程的根及函数图像有何关系?(三)【巩固练习,学以致用】例1判断下列函数是否存在零点,若存在,则求出零点.(1)f(x)=x2-x-6;(2)f(x)=x3-x.跟踪训练1若函数f(x)=x2+x-a的一个零点是-3,求实数a的值和f(x)其余的零点.例2解下列不等式:(1)-x2+5x-6>0;(2)3x2+5x-2≥0.跟踪训练2解下列不等式:(1)4x 2-4x+1>0;(2)-x 2+6x-10>0.例3 求函数f (x )=(2x+1)(x-1)(x-3)的零点,并作出函数图像的示意图,写出不等式f (x )>0和f (x )≤0的解集.跟踪训练3 求函数f (x )=(x+1)(x+2)(2x-3)的零点,并作出函数图像的示意图,写出不等式f (x )≤0的解集.(四)【课堂小结,总结升华】通过本节课的学习,你有什么收获?(知识层面,思想方法层面)课堂练习1.函数f (x )=2x 2-3x+1的零点是( ) A .-12,-1B .12,1C .12,-1D .-12,12.不等式x 2-4x+3<0的解集为( ) A .(1,3)B .(-∞,1]∪[3,+∞)C .(-3,-1)D .(-∞,-3]∪[-1,+∞)3.不等式(x+1)(x-2)(x-3)<0的解集为 .课后巩固阅读课本,结合学案,进行知识整理,形成系统.必做题A 组,选做题B 组. 课本119页习题3—2A1,2,3,5,6,7,B1,2,3第2课时学习目标1.理解函数零点存在定理.2.会用二分法求函数变号零点的近似值,并能对二分法的过程作出程式化的步骤.自主预习1.函数y=f (x )的零点的定义: .2.可以从以下三个方面来理解函数y=f (x )的零点:(1)函数的零点指的是一个实数,当函数的自变量取这个实数时,其对应的函数值为.(2)函数的零点可以理解为函数的图像与x轴的交点的.(3)确定函数y=f(x)的零点,就是求方程的.3.函数的零点、方程的根、函数的图像与x轴的交点三者关是.4.函数零点存在定理:.5.根据函数零点存在定理,函数y=f(x)满足条件:(1)函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是,(2)f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)在区间内有零点.课堂探究(一)【问题导入】1.哪组镜头说明小孩的行程一定曾渡过小河?2.当A,B与x轴是怎样的位置关系时,AB间一段连续不断的函数图像与x轴一定有交点?y=f(x)x∈[a,b]3.A,B与x轴的位置关系如何用数学符号(式子)表示?(二)【理性认识,概括性质】1.函数零点存在定理思考所有函数的图像都是连续不断的吗?试举例说明.2.二分法(1)定义:(2)用二分法求函数零点的一般步骤(三)【巩固练习,学以致用】例1分别求出下列函数的零点,并指出是变号零点还是不变号零点.(1)f(x)=3x-6;(2)f(x)=x2-x-12;(3)f(x)=x2-2x+1;(4)f(x)=(x-2)2(x+1)x.跟踪训练1判断下列函数是否有变号零点:(1)f(x)=x2-5x-14;(2)f(x)=x2+x+1;(3)f(x)=x4-18x2+81.例2求函数f(x)=x5-x3-3x2+3最右边的一个零点.(精确度0.01)跟踪训练2已知函数f(x)=x3-x-2用二分法求它的一个正实数零点.(精确到0.01)(四)【课堂小结,总结升华】通过本节课的学习,你有什么收获?(知识层面,思想方法层面)课堂练习1.函数f(x)=x3+5的可能存在区间是()A.[-2,-1]B.[-1,0]C.[0,1]D.[1,2]2.在用二分法求方程f(x)=0在(1,3)内近似解的过程中,得到f(1)<0,f(2)>0,f(1.5)<0,则方程的根所在区间为()A.(1.5,2)B.(1,1.5)C.(2,3)D.不能确定3.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,参考数据如下:f(1)=-2 f(1.5)=0.625 f(1.25)=-0.984f(1.375)=-0.2f(1.437 f(1.406 25)=-0.05460 5)=0.162那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确度0.1)为.课后巩固阅读课本,结合学案,进行知识整理,形成系统.必做题A组,选做题B组.课本119页习题3—2A1,2,3,5,6,7,B1,2,3.参考答案第1课略课堂探究课堂探究答案:(1)x=-2,x=3;(2)(-2,0),(3,0);(3)交点的横坐标是方程的解.(二)【理性认识,概括性质】1.函数零点的概念:一般地,如果函数y=f(x)在实数α处的函数值等于零,即f(α)=0,则称α为函数y=f(x)的零点.2.函数的零点是“点”吗?函数的零点不是点,而是函数y=f(x)与x轴的交点的横坐标,即零点是一个实数.当函数的自变量取这一实数时,其函数值为零.3.函数的零点与方程的根及函数图像有何关系?函数f(x)的零点,即对应方程f(x)=0的根,也是函数图像与x轴的交点横坐标.(三)【巩固练习,学以致用】例1解:(1)方法一由x2-x-6=(x-3)(x+2)=0,得x1=-2,x2=3,所以函数f(x)的零点是x1=-2,x2=3.方法二作出函数f(x)=x2-x-6的图像,如图.因为函数的图像是一条开口向上的抛物线,且f(0)=-6<0,所以函数f(x)的图像与x轴有两个交点A(-2,0),B(3,0).故f(x)的零点是x1=-2,x2=3.(2)因为x3-x=x(x2-1)=x(x-1)(x+1).令f(x)=0,即x(x-1)(x+1)=0,所以f(x)的零点有x1=0,x2=1,x3=-1.跟踪训练1解:由题意知f(-3)=0,即(-3)2-3-a=0,a=6,∴f(x)=x2+x-6.解方程x2+x-6=0,得x=-3或2.∴函数f(x)其余的零点是2.例2解:(1)方法一由x2-x-6=(x-3)(x+2)=0,得x1=-2,x2=3,所以函数f(x)的零点是x1=-2,x2=3.方法二 作出函数f (x )=x 2-x-6的图像,如图.因为函数的图像是一条开口向上的抛物线,且f (0)=-6<0, 所以函数f (x )的图像与x 轴有两个交点A (-2,0),B (3,0). 故f (x )的零点是x 1=-2,x 2=3. (2)设g (x )=3x 2+5x-2, 令g (x )=0,得3x 2+5x-2=0, 即(x+2)(x -13)=0.从而x=-2或x=13,因此-2和13都是函数g (x )的零点,从而g (x )的图像与x 轴相交于(-2,0)和(13,0),又因为函数的图像是开口向上的抛物线,所以可以作出函数图像示意图,如图所示.由图可知,不等式的解集为(-∞,-2]∪[13,+∞).跟踪训练2解:(1)∵方程4x 2-4x+1=0有两个相等的实根x 1=x 2=12.作出函数y=4x 2-4x+1的图像如图.由图可得原不等式的解集为(-∞,12)∪(12,+∞). (2)原不等式可化为x 2-6x+10<0,∵Δ=36-40=-4<0,∴方程x 2-6x+10=0无实根, ∴原不等式的解集为⌀.例3 解:函数零点依次为-12,1,3.函数的定义域被这三个点分成了四部分,每一部分函数值的符号如下表所示.x (-∞,-12) (-12,1) (1,3) (3,+∞)f(x) -+-+由此可以画出函数图像的示意图,如图所示.由图可知f(x)>0的解集为(-12,1)∪(3,+∞);f(x)≤0的解集为(-∞,-12]∪[1,3].跟踪训练3解:函数零点依次为-2,-1,32.函数的定义域被这三个点分成了四部分,每一部分函数值的符号如下表所示.x(-∞,-2) (-2,-1) (-1,32)(32,+∞)f(x) -+-+由此可以画出函数图像的示意图如图所示.所以f(x)≤0的解集为(-∞,-2]∪[-1,32].(四)【课堂小结,总结升华】略课堂练习1.B2.A3.(-∞,-1)∪(2,3)课后拓展略第2课时自主预习略课堂探究(一)【问题导入】略(二)【理性认识,概括性质】1.函数零点存在定理如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续的,并且f(a)f(b)<0(即在区间两个端点处的函数值异号),则函数y=f(x)在区间[a,b]中至少有一个零点,即∃x0∈[a,b],f(x0)=0.思考所有函数的图像都是连续不断的吗?试举例说明.答案:不是,如反比例函数y=1x.2.二分法(1)定义:对于在区间[a,b]上的图像连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到函数零点的方法叫做二分法.(2)用二分法求函数零点的一般步骤答案:已知函数y=f(x)是定义在区间[a,b]上的连续函数,且f(a)f(b)<0,给定近似的精度ε,用二分法求零点x0的近似值x1,使得|x1-x0|<ε的一般步骤如下:第一步:检查|b-a|<2ε是否成立,如果成立,取x1=a+b2,计算结束;如果不成立,转到第二步.第二步:计算区间[a,b]的中点a+b2对应的函数值,若f(a+b2)=0,取x1=a+b2,计算结束;若f(a+b2)≠0,转到第三步.第三步:若f(a)f(a+b2)<0,将a+b2的值赋b(用a+b2→b表示,下同),回到第一步;若f(a+b2)f(b)<0,将a+b2的值赋给a,回到第一步.(三)【巩固练习,学以致用】例1解:(1)零点是2,是变号零点.(2)零点是-3和4,都是变号零点.(3)零点是1,是不变号零点.(4)零点是-1,0和2,其中变号零点是0和-1,不变号零点是2.跟踪训练1解:(1)零点是-2,7,是变号零点.函数有变号零点.(2)无零点.函数无变号零点.(3)零点是-3,3,都不是变号零点.函数无变号零点.例2解:∵f(x)=x5-x3-3x2+3=x3(x2-1)-3(x2-1)=(x+1)(x-1)(x3-3),∴f(x)最右边的一个零点的横坐标就是方程x3-3=0的根.令g(x)=x3-3,以下用二分法求函数g(x)的零点.由于g(1)=1-3=-2<0,g(2)=23-3=5>0,故可取[1,2]作为计算的初始区间,列表如下:零点所在区间区间中点中点函数近似值[1,2] 1.5 g(1.5)=0.375>0[1,1.5] 1.25 g(1.25)≈-1.046 9<0 [1.25,1.5] 1.375 g(1.375)≈-0.400 4<0 [1.375,1.5] 1.437 5 g(1.437 5)≈-0.029 5<0 [1.437 5,1.5] 1.468 75 g(1.468 75)≈0.168 4>0[1.4375,1.468 75] 1.453 125 g(1.453 125)≈0.068 4>0[1.437 5,1.453 125] 1.445 3125∵|1.453 125-1.437 5|=0.015 625<2×0.01,∴方程x3=3的根的近似值可取为1.445 312 5.故函数f(x)最右边的一个零点的近似值为1.445 312 5.跟踪训练2解:由f(1)=-2<0,f(2)=4>0,可以确定区间[1,2]作为计算的初始区间,用二分法逐步计算,具体如表.零点所在区间区间中点中点的函数值[1,2] x0=1+22=1.5 f(x0)=-0.125<0[1.5,2] x1=1.5+22=1.75 f(x1)≈1.609 4>0[1.5,1.75] x2=1.5+1.752=1.625 f(x2)≈0.666 0>0[1.5,1.625] x3=1.5+1.6252=1.562 5 f(x3)≈0.252 2>0[1.5,1.562 5] x4=1.5+1.562 52=1.53125由表中数据可知,|1.562 5-1.5|=0.062 5<2×0.06, 所以所求函数的一个正实数零点近似值为1.531 25.(四)【课堂小结,总结升华】略课堂练习2.A3.1.437 5。
第三章-3.2-函数与方程、不等式之间的关系高中数学必修第一册人教B版
知识点4 二分法
例4-5 (2024·广东省梅州市期中)用二分法研究函数 的零点时，经过第一次计算得, ，则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为( )
D
A., B., C., D.,
【解析】因为,，所以 ,故由用二分法求函数零点的步骤，知,第二次应计算的函数值为 .
题型6 不等式恒成立与能成立问题
例20 (2024·陕西省渭南市期中)设函数 .
（1）若对于一切实数,恒成立，求 的取值范围;
【解析】当 时，（此题易忽略对二次项系数的讨论,从而造成漏解）显然， 恒成立;当时，则有 解得 .的取值范围为 .
（2）对于,恒成立，求 的取值范围.
【解析】方法1当时，恒成立，即 恒成立.令, .当时，在 上是增函数, .，解得. .
例15（1） 解关于的不等式： .
【解析】将不等式变形为 .当，（根据与的大小关系分类讨论）即或 时，不等式的解集为或 ；当，即或时,不等式的解集为 ；当，即时，不等式的解集为或 .
（2）解关于的不等式: .
【解析】若，（题干未说明是二次不等式时，切勿忘记对 进行讨论）则原不等式为，故解集为 .若, .①当,即时，方程的两根为 , , 当时，原不等式的解集为 }.②当，即时，原不等式的解集为 .③当，即时，原不等式的解集为 .若， .
考向1 求函数的零点个数
例22 (天津高考题)已知函数函数 ,则函数 的零点个数为( )
A
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】方法1当时，,所以, ,此时函数的小于零的零点为 ;当时，,, ,函数无零点；当时， , , ,函数大于2的零点为 .综上可得函数 的零点的个数为2.
图3.2-13
区间端点值或区间中点值
2020版新教材3.2.1函数的零点、二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系课件新人教B版必修1
【类题·通】 解一元二次不等式的一般步骤
(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零. (2)计算对应方程的判别式.
(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明 方程没有实根. (4)根据函数图像与x轴的相关位置写出不等式的解集.
【习练·破】 已知集合M={x|x2-3x-28≤0}，N={x|x2-x-6>0}，则 M∩N为 ( ) A.{x|-4≤x<-2或3<x≤7} B.{x|-4<x≤-2或3≤x<7} C.{x|x≤-2或x>3} D.{x|x<-2或x≥3}
函数y= f(x)的图像
f(x)>0的解集
{x|x<x1 或x>x2}
b
{x|x≠- 2a }
R
f(x)<0的解集
{x|x1< x<x2}
⌀
⌀
【思考】 二次函数f(x)=ax2+bx+c中，二次项系数a<0时，怎样 求不等式f(x)>0或f(x)<0的解集？ 提示：对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可 以先把二次项系数化成正数，再求解；也可以画出二 次项系数为负数时的函数图像，再求解.
当x∈________________________时，f(x)=0； 当x∈________________________时，f(x)>0； 当x∈________________________时，f(x)<0.
【解析】根据图像知f(x)=0的解集是{-5，-4，2}. f(x)>0的解集是(-∞，-5)∪(-5，-4)∪(2，+∞)， f(x)<0的解集是(-4，2). 答案：{-5，-4，2} (-∞，-5)∪(-5，-4)∪(2，+∞) (-4，2)
人教B版高中数学必修一课件 第3章 函数的零点、二次函数的零点及其与对应方程、 不等式解集之间的关系
解:(方法一)设方程x2+x+a=0的两个根分别为x1,x2,则由题意可知
= 1-4 > 0,
1 2 = < 0,
解得a<0,所以实数a的取值范围是(-∞,0).
(方法二)令f(x)=x2+x+a,依题意知,函数f(x)有两个零点,且一个零点大于0,
一个零点小于0,
= 1-4 > 0,
所以函数f(x)的大致图象如图所示:
> 0,
(0) = -1 > 0,
则实数 a 应满足 = 4( + 1)2 -4(-1) > 0,
+1
> 0,
解得a>1,所以当a>0时,例3中的方程有两个大于零的不等实数根,此时a的
取值范围为a>1.
解决此类问题可设出方程对应的函数,根据函数的零点所在的区间分析区
下面对a进行分类讨论:
当a<0时,原方程无实数解;
当a=1时,原方程实数解的个数为3;
当0<a<1时,原方程实数解的个数为4;
当a>1或a=0时,原方程实数解的个数为2.
判断函数零点个数的三种方法
(1)利用方程的根转化为解方程,有几个不同的实数根就有几个零点.
(2)利用函数的图象.画出y=f(x)的图象,判断它与x轴交点的个数,从而判断
.
4.若函数f(x)=ax-b(b≠0)的零点是3,则函数g(x)=bx2+3ax的零点
是
.
解析:∵3是f(x)=ax-b的零点,
∴3a-b=0,即b=3a.
∴g(x)=bx2+3ax=3ax2+3ax=3ax(x+1),
新教材高中数学第三章函数3-2-1函数的零点二次函数的零点及其与对应方程不等式解集之间的关系课件新人
能力形成·合作探究 类型一 函数的零点(直观想象)
1．函数 f(x)＝xx＋ 2＋12，x－x≤30，，x>0 所有零点的集合为(
)
A．{1}
B．{－1}
C．{－1，1}
D．{－1，0，1}
【解析】选 C.由 f(x)＝xx2＋＋12，x－x≤30，，x>0， 令 f(x)＝0，当 x≤0 时，则 x＋1＝0，解得 x＝－1， 当 x>0 时，则 x2＋2x－3＝0，解得 x＝－3(舍去)或 x＝1， 综上，函数所有零点的集合为{－1，1}．
【解析】设函数 f(x)＝2x2＋5x－3， 令 f(x)＝0，得 2x2＋5x－3＝0， 即：(2x－1)(x＋3)＝0，从而 x1＝－3，x2＝12 ， 所以－3，12 是函数的零点， 所以函数 f(x)的图像如图①，与 x 轴相交于(－3，0)， 12，0 ，又因为函数 f(x)图像开口向上，
2．观察函数 y＝f(x)的图像，填空：
当 x∈________________________时，f(x)＝0； 当 x∈________________________时，f(x)>0； 当 x∈________________________时，f(x)<0.
【解析】根据图像知 f(x)＝0 的解集是：－13，－14，1，2 . f(x)>0 的解集是：－∞，－31 ∪－14，1 ∪(2，＋∞)， f(x)<0 的解集是：－13，－14 ∪(1，2). 答案：－31，－14，1，2 －∞，－13 ∪－14，1 ∪(2，＋∞) －31，－14 ∪(1，2)
【基础小测】
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”). (1)二次函数f(x)＝x2＋2x＋1－a2(a≠0)不一定存在零点．(
2020学年新教材高中数学第三章函数3.2函数与方程、不等式之间的关系练习(含解析)新人教B版必修第一册
3.2 函数与方程、不等式之间的关系最新课程标准：运用函数性质求方程近似解的基本方法(二分法)，再结合实例，更深入地理解用函数构建数学模型的基本过程，学习运用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题的方法.知识点一函数的零点1．零点的定义一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称α为函数y ＝f(x)的零点．2．方程的根与函数零点的关系状元随笔函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．知识点二二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系函数零点存在定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图像是连续不断的，并且f (a )f (b )<0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )中至少有一个零点，即∃x 0∈[a ，b ]，f (x 0)＝0.状元随笔 定理要求具备两条：①函数在区间[a ，b]上的图像是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)＜0.[基础自测]1．函数y ＝3x －2的图像与x 轴的交点坐标及其零点分别是( ) A.23；23 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0；23 C ．－23；－23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0；－23 解析：令3x －2＝0，则x ＝23，∴函数y ＝3x －2的图像与x 轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0，函数零点为23.答案：B2．函数f (x )＝3x －x 2的定义域为( ) A ．[0,3] B ．(0,3)C ．(－∞，0]∪[3，＋∞) D．(－∞，0)∪(3，＋∞)解析：要使函数f (x )＝3x －x 2有意义，则3x －x 2≥0，即x 2－3x ≤0，解得0≤x ≤3. 答案：A3．函数f (x )＝x 3－x 的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：f (x )＝x (x －1)(x ＋1)，令x (x －1)(x ＋1)＝0，解得x ＝0，x ＝1，x ＝－1，即函数的零点为－1,0,1，共3个．答案：D4．若函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧22－2a －b ＝0，32－3a －b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－6∴g (x )＝－6x 2－5x －1的零点是－12，－13.答案：－12，－13题型一 函数零点的概念及求法例1 (1)下列图像表示的函数中没有零点的是( )(2)不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．【解析】 (1)由图观察，A 中图像与x 轴没有交点，所以A 中函数没有零点． (2)由－x 2－3x ＋4>0得x 2＋3x －4<0，解得：－4<x <1， 所以不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为(－4,1)． 【答案】 (1)A (2)(－4,1)状元随笔 1.由函数图像判断函数是否有零点是看函数的图像与x 轴是否有交点． 2．求函数对应方程的根即为函数的零点． 方法归纳函数零点的求法求函数y ＝f (x )的零点通常有两种方法：其一是令f (x )＝0，根据解方程f (x )＝0的根求得函数的零点；其二是画出函数y ＝f (x )的图像，图像与x 轴的交点的横坐标即为函数的零点．跟踪训练1 若函数f (x )＝x 2＋x －a 的一个零点是－3，求实数a 的值，并求函数f (x )其余的零点．解析：由题意知f (－3)＝0，即(－3)2－3－a ＝0，a ＝6.所以f (x )＝x 2＋x －6. 解方程x 2＋x －6＝0，得x ＝－3或2. 所以函数f (x )其余的零点是2.由函数f(x)的零点是－3，得f(－3)＝0，求a. 题型二 确定函数零点的个数[教材P 111例6]例2 求证：函数f(x)＝x3－2x＋2至少有一个零点．【证明】因为f(0)＝2>0，f(－2)＝－8＋4＋2＝－2<0，所以f(－2)f(0)<0，因此∃x0∈[－2,0]，f(x0)＝0，即结论成立.教材反思判断函数零点个数的三种方法(1)方程法：若方程f(x)＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数．(2)图像法：由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系内作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图像．根据两个图像交点的个数来判定函数零点的个数．(3)定理法：函数y＝f(x)的图像在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，由f(a)·f(b)＜0即可判断函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上是单调函数，则函数f(x)在区间(a，b)内只有一个零点．跟踪训练2 (1)函数f(x)＝x－x－2的零点个数为( )A．0 B．1C．2 D．3(2)判断函数f(x)＝x－3＋ln x的零点个数．解析：(1)令f(x)＝0得x－x－2＝0，设t＝x(t≥0)，则t2－t－2＝0，解得t＝2或t＝－1(舍)．故x＝2即x＝4，因此方程f(x)＝0有一个根4，所以函数f(x)有一个零点．(2)令f(x)＝x－3＋ln x＝0，则ln x＝－x＋3，在同一平面直角坐标系内画出函数y＝ln x与y＝－x＋3的图像，如图所示：由图可知函数y＝ln x，y＝－x＋3的图像只有一个交点，即函数f(x)＝x－3＋ln x只有一个零点．答案：(1)B (2)一个状元随笔思路一：解方程求零点，方程f(x)＝0的实数根的个数就是函数f(x)的零点的个数；思路二：画出函数图像，依据图像与x轴的交点的个数来判断函数的零点个数．题型三 判断函数的零点所在的大致区间例3 设x 0是函数f (x )＝ln x ＋x －4的零点，则x 0所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)【解析】 因为f (2)＝ln 2＋2－4＝ln 2－2＜0，f (3)＝ln 3－1＞ln e －1＝0，f (2)·f (3)＜0.由零点存在性定理，得x 0所在的区间为(2,3)．【答案】 C状元随笔 根据零点存在性定理，对照选项，只需验证区间端点函数值的符号，或可借助于图像分析．方法归纳判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值． (2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．跟踪训练3 函数f (x )＝2x －1＋x －5的零点所在的区间为( )A.(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 解析：f (2)＝22－1＋2－5＜0，f (3)＝23－1＋3－5＞0，故f (2)·f (3)＜0，又f (x )在定义域内是增函数，则函数f (x )＝2x －1＋x －5只有一个零点，且零点所在的区间为(2,3)．答案：C利用f(a)·f(b)＜0求零点区间． 题型四 函数零点的应用[经典例题]例4 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________． 【解析】 作出f (x )的图像如图所示．当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2， ∴要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则4m－m2<m，即m2－3m>0.又m>0，解得m>3.【答案】(3，＋∞)方法归纳已知函数零点情况求参数的步骤及方法(1)步骤：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式(组)；③解不等式(组)，即得参数的取值范围．(2)方法：常利用数形结合法．跟踪训练4 已知关于x的方程|x2－4x＋3|－a＝0有三个不相等的实数根，则实数a的值是________．解析：如图，由图像知直线y＝1与y＝|x2－4x＋3|的图像有三个交点，则方程|x2－4x＋3|＝1有三个不相等的实数根，因此a＝1.答案：1状元随笔求解这类问题可先将原式变形为f(x)＝g(x)，则方程f(x)＝g(x)的不同解的个数等于函数f(x)与g(x)图像交点的个数，分别画出两个函数的图像，利用数形结合的思想使问题得解．课时作业 19一、选择题1．下列函数不存在零点的是( )A ．y ＝x －1xB ．y ＝2x 2－x －1C ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 (x ≤0)，x －1 (x ＞0) D ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 (x ≥0)，x －1 (x ＜0)解析：令y ＝0，得A 中函数的零点为1，－1；B 中函数的零点为－12，1；C 中函数的零点为1，－1；只有D 中函数无零点．答案：D2．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( ) A ．0,2 B ．0，12C ．0，－12D ．2，－12解析：∵2a ＋b ＝0，∴g (x )＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)． ∴零点为0和－12.答案：C3．用二分法研究函数f (x )＝x 5＋8x 3－1的零点时，第一次经过计算得f (0)<0，f (0.5)>0，则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为( )A ．(0,0.5)，f (0.125)B ．(0.5,1)，f (0.875)C ．(0.5,1)，f (0.75)D ．(0,0.5)，f (0.25) 解析：∵f (x )＝x 5＋8x 3－1，f (0)<0，f (0.5)>0， ∴f (0)·f (0.5)<0，∴其中一个零点所在的区间为(0,0.5)， 第二次应计算的函数值应为f (0.25)，故选D. 答案：D4．已知函数f (x )＝|x |＋1，g (x )＝k (x ＋2)．若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1,2) D ．(2，＋∞)解析：作出f (x )，g (x )图像，如图．因为A (0,1)，B (－2,0)，k AB ＝1－00－(－2)＝12，要使方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则函数f (x )与g (x )的图像有两个不同的交点，由图可知，12＜k ＜1.答案：B 二、填空题5．函数f (x )＝x 2－3x －18在区间[1,8]上________(填“存在”或“不存在”)零点． 解析：方法一 ∵f (1)＝12－3×1－18＝－20＜0，f (8)＝82－3×8－18＝22＞0，∴f (1)·f (8)＜0，又 f (x )＝x 2－3x －18在区间[1,8]上的图像是连续的， 故f (x )＝x 2－3x －18在区间[1,8]上存在零点． 方法二 令f (x )＝0，得x 2－3x －18＝0， ∴(x －6)(x ＋3)＝0.∵x ＝6∈[1,8]，x ＝－3∉[1,8]，∴f (x )＝x 2－3x －18在区间[1,8]上存在零点． 答案：存在6．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1 x >0x 2－x －2 x ≤0的零点为________．解析：f (x )＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >0x －1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0x 2－x －2＝0，∴x ＝1，x ＝－1，x ＝2(舍) 答案：1，－17．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a ＜0)在区间(0,1)上有零点，则a 的取值范围为________． 解析：由题意函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在区间(0,1)上单调递增，函数f (x )在(0,1)上有零点，可得：f (1)·f (0)＜0.∴a (2＋a )＜0.∴－2＜a ＜0. 答案：(－2,0) 三、解答题8．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f (x )＝x ＋3x； (2)f (x )＝x 2＋2x ＋4. 解析：(1)令x ＋3x＝0，解得x ＝－3， 所以函数f (x )＝x ＋3x的零点是－3. (2)令x 2＋2x ＋4＝0，由于Δ＝22－4×4＝－12＜0，所以方程x 2＋2x ＋4＝0无解，所以函数f (x )＝x 2＋2x ＋4不存在零点.9．已知函数f (x )＝x 2＋3(m ＋1)x ＋n 的零点是1和2，求函数y ＝nx 2＋mx ＋3的零点个数． 解析：由题可知，f (x )＝x 2＋3(m ＋1)x ＋n 的两个零点为1和2. 则1和2是方程x 2＋3(m ＋1)x ＋n ＝0的两根．可得⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝－3(m ＋1)，1×2＝n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝2.∴y ＝2x 2－2x ＋3∵Δ＝4－4×2×3＝－20<0 ∴无零点．[尖子生题库]10．已知二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋4，在下列条件下，求实数a 的取值范围．(1)零点均大于1；(2)一个零点大于1，一个零点小于1；(3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内．解析：(1)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得⎩⎪⎨⎪⎧(－2a )2－16≥0，f (1)＝5－2a ＞0，a ＞1，解得2≤a ＜52.即a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，52. (2)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得f (1)＝5－2a ＜0，解得a ＞52.即a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞. (3)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝4＞0，f (1)＝5－2a ＜0，f (6)＝40－12a ＜0，f (8)＝68－16a ＞0，解得 103＜a ＜174.即a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫103，174.。
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新教材高中数学第三章函数3.2函数与方程、不等式之间的关系第1课时函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系学案新人教B版必修第一册(教师独具内容)课程标准：1.理解函数零点的概念.2.会求函数的零点.3.能结合学过的函数图像，了解函数的零点与方程解的关系．教学重点：1.函数零点的概念.2.函数的零点与其对应方程解的关系．教学难点：1.求函数的零点.2.函数的零点与其对应不等式解集之间的关系.【情境导学】(教师独具内容)在二次函数y＝x2－2x－3中令y＝0得x2－2x－3＝0，这是一个一元二次方程，那么这个一元二次方程的根与前面二次函数的图像有什么关系呢？【知识导学】知识点一函数零点的概念01函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即□02f(α)＝0，则称α(1)一般地，如果□为函数y＝f(x)的零点．(2)α是函数f(x)零点的充分必要条件是□03(α，0)是函数图像与x轴的公共点．知识点二二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点(1)当Δ＝b2－4ac>0时，方程ax2＋bx＋c＝0的解集中有□01两个元素□02x1，x2，且□03x1，x2是f(x)的□04两个零点，f(x)的图像与x轴有□05两个公共点□06(x1,0)，(x2,0)．(2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0的解集中□07只有一个元素□08x0，且□09x0是f(x)□10唯一的零点，f(x)的图像与x轴有□11一个公共点．(3)当Δ＝b2－4ac<0时，方程ax2＋bx＋c＝0□12没有实数根，此时f(x)□13无零点，f(x)的图像与x轴□14没有公共点．【新知拓展】1．函数的零点不是一个点，而是f(x)＝0的根，是函数y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标．2．方程的根与函数零点的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有的函数都有零点．( )(2)若方程f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2，则函数y ＝f (x )的零点为(x 1,0)，(x 2,0)．( )(3)不论实数a 取什么值，不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集一定与函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的零点有关．( )答案 (1)× (2)× (3)√ 2．做一做(1)下列各图像表示的函数中没有零点的是( )(2)函数f (x )＝x 2－5x 的零点是________． 答案 (1)D (2)0和5题型一 求函数的零点 例1 求下列函数的零点． (1)f (x )＝x 2＋7x ＋6；(2)f (x )＝x 2＋4x －12x －2.[解] (1)解方程x 2＋7x ＋6＝0，得x ＝－1或x ＝－6，所以函数的零点是－1，－6.(2)解方程x 2＋4x －12x －2＝0，得x ＝－6，所以函数的零点为－6.金版点睛求函数零点的方法函数的零点就是对应方程的根，求函数的零点常有两种方法： (1)令f (x )＝0，方程f (x )＝0的根就是函数的零点；(2)画出函数f (x )的图像，图像与x 轴交点的横坐标就是函数的零点．[跟踪训练1] (1)若函数f (x )＝x 2＋x －a 的一个零点是－3，求实数a 的值，并求函数f (x )其余的零点；(2)求下列函数的零点： ①y ＝－x 2－x ＋20； ②y ＝(x 2－2)(x 2－3x ＋2)； ③y ＝x 3－7x ＋6； ④f (x )＝x 4－1.解 (1)由题意，知f (－3)＝0， 即(－3)2－3－a ＝0，a ＝6， ∴f (x )＝x 2＋x －6.解方程x 2＋x －6＝0，得x ＝－3或2. ∴函数f (x )其余的零点是2. (2)①令y ＝0，即－x 2－x ＋20＝0，解得x 1＝－5，x 2＝4，所以所求函数的零点为－5,4.②令y ＝0，即(x 2－2)(x 2－3x ＋2)＝0，(x ＋2)(x －2)·(x －1)(x －2)＝0， 解得x 1＝－2，x 2＝2，x 3＝1，x 4＝2，所以所求函数的零点为－2，2，1,2. ③因为x 3－7x ＋6＝(x 3－x )－(6x －6)＝x (x 2－1)－6(x －1)＝x (x ＋1)(x －1)－6(x －1)＝(x －1)(x 2＋x －6)＝(x －1)(x －2)(x ＋3)，所以由x 3－7x ＋6＝0，得x 1＝－3，x 2＝1，x 3＝2，所以所求函数的零点为－3,1,2.④由于f (x )＝x 4－1＝(x 2＋1)(x ＋1)(x －1)， 所以方程x 4－1＝0的实数根是x 1＝－1，x 2＝1. 故函数的零点是－1,1.题型二 函数零点的个数问题例2 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x <0，x 2－1，x >0的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] 解法一：方程x ＋2＝0(x <0)的根为x ＝－2，方程x 2－1＝0(x >0)的根为x ＝1，所以函数f (x )有2个零点：－2与1.解法二：画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x <0，x 2－1，x >0的图像，如图所示，观察图像可知，f (x )的图像与x 轴有2个交点，所以函数f (x )有2个零点．[答案] C 金版点睛判断函数零点个数的方法(1)直接求出函数的零点进行判断． (2)结合函数图像进行判断．[跟踪训练2] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2，x >0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 由f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧16－4b ＋c ＝c ，4－2b ＋c ＝－2.∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2，x ≤0，2，x >0.当x ≤0时，f (x )＝x 2＋4x ＋2＝x ，解得x ＝－1或x ＝－2. 当x >0时，f (x )＝2＝x ，解得x ＝2. ∴方程f (x )＝x 的解有3个．故选C.题型三 利用函数的零点求不等式的解集 例3 利用函数求下列不等式的解集：(1)－2x 2＋x －6<0；(2)－x 2＋6x －9≥0； (3)x 2－2x －3>0.[解] (1)设f (x )＝－2x 2＋x －6，令f (x )＝0，得2x 2－x ＋6＝0，即2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋478＝0，该方程无解．因此函数f (x )无零点，从而f (x )的图像与x 轴没有交点，又因为函数图像是开口向下的抛物线，因此可得所求不等式的解集为R .(2)设f (x )＝－x 2＋6x －9，令f (x )＝0，得x 2－6x ＋9＝0，即(x －3)2＝0，从而x ＝3. 因此函数f (x )的零点为3，从而f (x )的图像与x 轴相交于(3,0)，又因为函数图像是开口向下的抛物线，因此可得所求不等式的解集为{3}．(3)设f (x )＝x 2－2x －3，令f (x )＝0，得x 2－2x －3＝0，即(x －3)(x ＋1)＝0，从而x ＝3或x ＝－1.因此3和－1都是函数f (x )的零点，从而f (x )的图像与x 轴相交于(3,0)和(－1,0)．又因为函数图像是开口向上的抛物线，因此可得所求不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．金版点睛利用函数的零点求不等式解集的一般步骤(1)根据所求不等式设出函数； (2)求出函数的零点；(3)根据函数的图像写出不等式的解集．[跟踪训练3] 求下列不等式的解集： (1)－x 2＋8x －3>0；(2)x 2－3x ＋1≤0； (3)－4x 2＋4x －1>0.解 (1)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0，所以方程－x 2＋8x －3＝0有两个不等实根x 1＝4－13，x 2＝4＋13，又二次函数y ＝－x 2＋8x －3的图象开口向下，所以原不等式的解集为{x |4－13<x <4＋13}．(2)因为Δ＝9－4＝5>0，所以方程x 2－3x ＋1＝0有两个不等实数根x 1＝3－52，x 2＝3＋52，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪3－52≤x ≤3＋52. (3)设f (x )＝－4x 2＋4x －1，令f (x )＝0，得4x 2－4x ＋1＝0，即(2x －1)2＝0，从而x ＝12. 因此函数f (x )的零点为12，从而f (x )的图像与x 轴相交于⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，又因为函数图像是开口向下的抛物线，因此可得所求不等式的解集为∅.题型四 函数f (x )＝g (x )－h (x )的零点问题例4 已知函数f (x )＝|x 2－2x |－a ，求满足下列条件的a 的取值范围． (1)函数f (x )没有零点； (2)函数f (x )有两个零点； (3)函数f (x )有三个零点； (4)函数f (x )有四个零点．[解] 函数y ＝|x 2－2x |的图像如图所示．(1)函数f (x )没有零点，即函数y ＝a 与y ＝|x 2－2x |的图像没有交点，观察图像可知，此时a <0.(2)函数f (x )有两个零点，即函数y ＝a 与y ＝|x 2－2x |的图像有两个交点，观察图像可知此时a ＝0或a >1.(3)函数f (x )有三个零点，即函数y ＝a 与y ＝|x 2－2x |的图像有三个交点，由图像易知a ＝1.(4)函数f (x )有四个零点，即函数y ＝a 与y ＝|x 2－2x |的图像有四个交点，由图像易知0<a <1.金版点睛转化思想在求解函数零点问题中的应用求解函数f (x )＝g (x )－h (x )的零点，求方程g (x )＝h (x )的实数根和求函数f (x )＝g (x )－h (x )的图像与x 轴的交点坐标均可转化为探究函数g (x )和h (x )图像的交点情况．观察图像，数形结合，易于解决问题．[跟踪训练4] 对实数a和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －1)，x ∈R .若函数y ＝f (x )－c 的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )A ．(－1,1]∪(2，＋∞)B ．(－2，－1]∪(1,2]C ．(－∞，－2)∪(1,2]D ．[－2，－1]答案 B解析 令(x 2－2)－(x －1)≤1，得－1≤x ≤2，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，－1≤x ≤2，x －1，x <－1或x >2.∵函数y ＝f (x )－c 的图像与x 轴恰有两个公共点，即函数f (x )的图像与直线y ＝c 恰有两个公共点．∴画出函数f (x )的图像(如图)可得实数c 的取值范围是(－2，－1]∪(1,2]．1．函数y ＝4x －2的零点是( ) A ．2B ．(－2,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 D.12答案 D解析 令y ＝4x －2＝0，得x ＝12.∴函数y ＝4x －2的零点为12.2．下列图像表示的函数中没有零点的是( )答案 A解析 因为B ，C ，D 函数的图像均与x 轴有交点，所以函数均有零点，A 的图像与x 轴没有交点，故函数没有零点．故选A.3．不等式6x 2＋x －2≤0的解集为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，12B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－23∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－23答案 A解析 设f (x )＝6x 2＋x －2，令6x 2＋x －2＝0.得(2x －1)(3x ＋2)＝0，从而x ＝12或x ＝－23.由函数f (x )的图像可知所求不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，12.故选A. 4．已知函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是________．答案 －12，－13解析 由题意知，方程x 2－ax －b ＝0的两根为2,3，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＋3＝a ，2×3＝－b ，即a ＝5，b ＝－6，∴方程bx 2－ax －1＝－6x 2－5x －1＝0的根为－12，－13，即为函数g (x )的零点． 5．利用函数求下列不等式的解集： (1)－x 2＋7x >6；(2)(5－x )(x ＋1)≥0. 解 (1)由－x 2＋7x >6，得x 2－7x ＋6<0.设f (x )＝x 2－7x ＋6，令f (x )＝0，得x 2－7x ＋6＝0.解得x ＝1或x ＝6.因此函数的零点为1和6.由函数的图像可知，不等式x 2－7x ＋6<0的解集为(1,6)．故原不等式的解集为(1,6)．(2)原不等式可化为(x －5)(x ＋1)≤0.设f (x )＝(x －5)(x ＋1)，则函数的零点为5，－1.由函数的图像可知不等式(x －5)(x ＋1)≤0的解集为[－1,5]．故原不等式的解集为[－1,5]．。